一次函数及其图像(教案)
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1 中考命题趋势及复习对策
一次函数是数学中重要内容之一，题量约占全部试题的5％～10％，分值约占总分的5％～10％，题型既有低档的填空题和选择题，又有中档的解答题，更有大量的综合题，近几年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特征的阅读理解题、开放探索题、函数应用题，这部分试题包括了初中代数的所有数学思想和方法，全面地考查计算能力，逻辑思维能力、空间想象能力和创造能力．
针对中考命题趋势，在复习时应先理解一次函数概念．掌握其性质和图象，而且还要注重一次函数实际应用的练习．
一、函数
1、知识归纳
函数的概念
一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
函数的三种表达式：
（1）图象；（2）表格；（3）关系式。
要使函数的解析式有意义。
函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；
②函数的解析式是分式时，自变量的取值应使分母≠0；
③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0。
④函数的解析式是三次根式时，自变量的取值应是一切实数。
（2）对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义。
2、经典题型
题型考点一 求简单的函数关系式，识别自变量与因变量，给定自变量的值，相应地会求出函数的值。
例1.某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水300吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费。
⑴写出该单位水费y(元)与每月用水量x(吨)之间的函数关系式：
①用水量小于等于3000吨 ；
②用水量大于3000吨 。
⑵某月该单位用水3200吨，水费是 元；若用水2800吨，水费 元。
⑶若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位用水多少吨？
参考答案： (1)y=0.5 x 、y=1500＋ 0.8(x－3000)
(2)1660 1400
(3) 3050
例2.函数是研究 ( )
A．常量之间的对应关系的 B．常量与变量之间的对应关系的
C．变量与常量之间对应关系的 Ｄ．变量之间的对应关系的
题型考点二 确定函数的自变量取值范围，
例1 ．（2010四川凉山）在函数121xyx中，自变量x的取值范围是____
题型考点三 能根据实际问题的意义以及函数关系式，确定函数图像
例1、某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用了1小时爬了2千米，休息0.5小时后，又用了1小时爬上了山顶。游客爬山所用时间t与登山高度h间的函数关系用图形表示是（）
2
二、 一次函数
1、知识归纳
知识点一：一次函数的定义
函数y=______(k、b为常数，k_____,自变量x的次数是U__ _U次)叫做一次函数.
知识点二：正比例函数的定义
当b_____时，函数y=_____ (k______,比例系数U____)叫做正比例函数.
知识点三：一次函数与正比例函数的异同
（1）一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移b绝对值个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜ 0时，向下平移）。
（2）正比例函数是特殊的一次函数，当一次函数中y=kx+b的b=0时，一次函数就变成正比例函数y=kx
2、 经典题型
题型考点一： 理解一次函数和正比例函数的概念与定义
例1 已知函数y=(2-m)x+2m-3.求当m为何值时,
(1)此函数为正比例函数
此函数为一次函数
题型考点二：根据实际情况，确定一次函数解析式，求出相应的值
例1 气温随着高度的增加而下降，下降的一般规律是从地面到高空11km处，每升高1 km,气温下降6℃．高于11km时，气温几乎不再变化，设地面的气温为38℃，高空中xkm的气温为y℃．
（1）当0≤x≤11时，求y与x之间的关系式？
（2）求当x=2、5、8、11时，y的值。
（3）求在离地面13 km的高空处、气温是多少度？
（4）当气温是一16℃时，问在离地面多高的地方？
三、一次函数图像
1、知识归纳
知识点一
1、函数图象的的概念：把一个函数的自变量x与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫这个函数的图象；
2、画函数图象的步骤：
①列表；②描点；③连线．
知识点二：一次函数的图象
比例函数y=k x (k≠0)的图象是过原点和（1，___）两点的_____________
⑵一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象是过点(0，_____)、(______，0)的___________
（3）一次函数y=kx+b的k、b的值对一次函数图象的影响。 y y y y
o x o x o x o x
① ② ③ ④
①k﹥0,b﹥0, y＝kx +b的图象在一、二、三象限；
②k﹥0, b﹤0, y＝kx +b的图象在一、三、四象限；
③k﹤0,b﹥0, y＝kx +b的 图象在一、二、四象限；
k﹤0, b﹤0, y＝kx +b的图象在二、三、四象。
3 知识点三：一次函数的性质
比例函数y=kx(k≠0)是特殊的一次函数，当k>0时，图象过______象限，y随x的增大而______；当k<0时，图象过_______象限；y随x的增大而______.
⑵一次函数y=kx＋b(k ≠ 0)的图象平行于直线y = kx ,可由它平移而得，当k>0时，y随x的增大而______；当k<0时，y随x的增大而______
知识点四：三个“一次”的关系
⑴在一次函数y=kx＋b中，令y=0，得一元一次方程kx＋b=0，它的根就是一次函数y=kx＋b的图象与x轴交点的 .
⑵一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)的解集可以看作一次函数y=kx＋b当函数值大于或小于0时相应的自变量x值的 .
⑶两直线交点的坐标，就是由这两条直线的解析式组成的______________的解.
2、 经典题型
题型考点一：函数图象的概念
例 1.列表：
x „ -2 -1 0 1 2 „
y=-2x+5 „ 9 7 5 3 1 „
2.描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标第内描出相应的点.
3.连线：把这些点依次连接起来，得到y=-2x+5的图象，它是一条直线.
图象：
题型考点二：通过图像确定函数的解析式
例1．（2010山东聊城）如图，过点Q（0，3.5）的一次函数与正比例函数y=2x的图象相交于点P，能表示这个一次函数图象的方程是（ ）
A．3x－2y+3.5＝0 B．3x－2y－3.5＝0 C．3x－2y+7＝0 D．3x+2y－7＝0
题型考点三：一次函数的增减性
例1 已知关于x的一次函数182)3(2mxmy．
(1)m为何值时，函数的图象和直线y=－x平行?
(2)m为何值时，y随x的增大而减小？
解：(1)由题意，m需满足431301822mmmm，，
故m=4时，函数的图象平行于直线y=－x；
当3－m<0时，即m>3时，y随x的增大而减小．
题型考点四：一次函数图像与象限关系
1.一次函数ykxb的图象只经过第一、二、三象限，则( ) 第9题图
4 A．00kb， B．00kb，
C．00kb， D．00kb，
2（2009年湖北十堰市）一次函数y=2x－2的图象不经过的象限是（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知直线y=(5－3m)x+32m－4与直线y=21x+6平行，求此直线的解析式.
题型考点五：自变量与因变量取值范围
例1、已知y－1与x成正比例，当x=－2时，y=4
（1）求出y与x函数表达式
（2）把（1）中函数图象向上平移2个单位，设点（a，－2）在这个平移图象上求a值。
（3）如果x取值范围0≤x≤5，求y取值范围
四、确定一次函数的表达式
1、知识归纳
知识点一：求一次函数的表达式
用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤: .
2、经典题型
题型考点一：用待定系数法求一次函数解析式
1 .当x=5时一次函数y=2x+k和y=3kx－4的值相同，那么k和y的值分别为（ ）
A.1,11 B.－1,9 C.5,11 D.3,3
2 .若直线y=kx+b经过A（1，0），B（0，1），则（ ）
A.k=－1,b=－1 B.k=1,b=1
C.k=1,b=－1 D.k=－1,b=1
3、已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。
4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。
题型考点一：一次函数图像与面积
例8. 已知直线ykx4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。
xyECBAOF
五、一次函数图像的应用
知识点一：
若直线l与直线ykxb关于 y
2
O 1 x
5 （1）x轴对称，则直线l的解析式为ykxb
（2）y轴对称，则直线l的解析式为ykxb
（3）直线y＝x对称，则直线l的解析式为ykxbk1
（4）直线yx对称，则直线l的解析式为ykxbk1
（5）原点对称，则直线l的解析式为ykxb
例1. 若直线l与直线yx21关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。
解：由（2）得直线l的解析式为yx21
题型考点一：利用图像信息解决实际问题
1、某自来水公司中为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，某户居民每月应交水费y（元）是用水量x（t）的函数，其图象如图所示
（1）与出x≤8时，函数表达式。
