沪科版数学九年级上册教案3：22.2 相似三角形的判定

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一. 教学要求

1. 了解相似多边形的含义，经历相似多边形概念所形成的过程，探索相似多边形的本质特征。

2. 理解相似三角形的概念，深化对相似三角形的理解和认识。

3. 掌握两个三角形相似的判定条件，能够运用三角形的相似条件解决简单的问题。

二. 重点及难点

重点：

1、了解相似多边形的含义，正确理解概念的应用方法。

2、理解相似三角形的概念，掌握相似三角形的本质特征。

3、识别相似三角形，掌握相似三角形的判定条件，并运用三角形的相似条件解决简单的问题。

难点：

1、多边形边角关系的理解。

2、深化对相似三角形的理解和认识。

3、运用相似三角形条件解决一些实际问题。

三. 课堂教学

［知识要点］

知识点1、相似多边形的概念：对应角相等，且对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。

例如：四边形ABCD与四边形ABCD

说明：相似多边形的定义要注意一定要满足两个条件：对应角相等，对应边成比例，这两个条件缺一不可。

知识点2、相似比：相似多边形对应边的比叫作相似比。

说明：〔1〕两个全等的多边形一定是相似多边形，其相似比等于1。

〔2〕相似比大于零，因为两个多边形的边长都是正数，所以对应边的比，即相似比也必是正数。如△ABC∽△A’B’C’的相似比ABkAB，那么△A’B’C’ ∽△ABC的相似比是1ABABk。

知识点3、相似多边形定义的逆向思维：如果两个多边形相似，那么对应角相等，对应边成比例，如相似四边形ABCD∽四边形A’B’C’D’

那么,,,AABBCCDD，ABBCCDDAABBCCDDA。

知识点4、相似三角形的定义：三个角对应相等，且三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

说明：相似三角形定义的双重性：

〔1〕在△ABC和△A’B’C中，假设,,AABBCC，且ABBCCAABBCCA，那么△ABC∽△A’B’C。 .

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 〔2〕假设△ABC∽△A’B’C，那么,,AABBCC，

ABBCCAABBCCA

知识点5、相似比：两个三角形对应边的比叫作相似比。 知识点6、相似三角形与全等三角形的区别与联系

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，能够完全重合指的是形状一样且大小也相等，全等三角形的根本性质是对应角相等，对应边也相等，而性状一样，大小不一定相等的两个三角形就是相似三角形，形状一样就是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例，这是相似三角形的一个最根本的性质。

全等三角形与相似三角形的一样之处，〔1〕两者都强调形状一样。〔2〕两者都强调把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样可以比拟容易的找出对应角和对应边，〔３〕两者的性质也非常相似，都是关于边和角，主要是线段，周长与面积等，它们研究的方法也很类似，它们的联系：全等三角形是相似比为1的相似三角形，即全等三角形是相似三角形的一种特殊情况。

全等三角形与相似三角形的主要区别：全等三角形要求对应边相等，而相似三角形只要求对应边成比例，当对应边的比值等于1时，这两个三角形不仅相似而且全等，总之，两个三角形全等一定是相似，但相似不一定全等。

知识点7、三角形相似的条件

全等三角形是相似比为1的相似三角形，它们的共同点是对应角相等，不同点是全等三角形对应边相等，而相似三角形是对应边成比例，全等三角形是相似三角形的特例。

三角形全等的判别 三角形相似的判别

SAS 两边对应成比例，且夹角相等

SSS 三边对应成比例

ASA〔AAS〕 两角对应相等

HL 有一直角边与斜边对应成比例

知识点8、三角形相似的根本图形

〔1〕平行型：①如图“A型〞即公共角所对应的边平行，那么△ADE∽△ABC

②“X型〞，即对顶角对的边平行，那么△AOB∽△DOC

〔2〕相交型：①“共角型〞，即其公共角的对边不平行，且有另一对角相等，那么有

△ABC∽△ADE

②“共角共线型〞，即公共角的对边不平行，且有另一对角相等，两个三角形有一条公.

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 共边，那么△ABC∽△ACD

③“蝴蝶型〞，即对顶角的对边不平行，且有另一对角相等，那么△ABC∽△ADE

〔3〕母子型：直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即△ADC∽△CDB∽△ACB

【典型例题】

例1. 两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，且较大的三角形的周长为60厘米，求另一个三角形的周长。

分析：两个相似三角形的最长的边的比即对应边的比，再根据等比性质求得两个三角形边长之和的比，即两个三角形的周长的比等于相似比，从而求得另一个三角形的周长。

解：不防设△ABC∽△A’B’C’，且AB=35厘米，AB=14厘米。

所以ABBCCAABBCCA3514

所以ABBCCAABBCCA52

因为ABBCCA=60厘米

所以ABBCCA=24厘米。

答：另一个三角形的周长为24厘米。

说明：利用等比性质能够顺利得出两个三角形的周长比，周长比等于相似比，此题顺利得解。

例2. 如图，Rt△ABC∽Rt△CBD，AB=4，AC=3，试求BD，CD的长。

分析：根据两个相似三角形中的一个三角形两边长，要求另一个三角形的两边长，由相似三角形对应边成比例，显然条件缺乏，但图中两个三角形有一条公共边BC并且都是直角三角形，所以根据勾股定理，在Rt△ABC中求出BC的长，BC又可以成为Rt△CBD中的.

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 边长，再根据比例式ACABCDBC，即可求得CD，然后用勾股定理或比例式求出BD。

解：因为Rt△ABC中，4,3ABAC

所以2222435BCABAC

因为Rt△ABC∽Rt△CBD

所以ACABCDBC，即345CD

所以154CD

因为ABBCBCBD，即455BD，

所以254BD

例3. 如图，△ADE∽△ABC，AD=8厘米，DB=4厘米，BC=15厘米

求〔1〕DE的长，〔2〕AEEC

分析：〔1〕求DE的长那么根据相似三角形对应边成比例，即有DEADBCAB，而ADAB的值用ADBD的值转化得到，从而等式中仅DE未知，用解方程的方法即可求得。〔2〕AEAC的值正好是两个相似三角形的对应边之比，由〔1〕即可求解，再由AEAC的比用比例性质可求得。

解：〔1〕因为△ADE∽△ABC，AD=8厘米，DB=4厘米，BC=15厘米

所以DEADBCAB，AB=AD+DB=12厘米。

所以81215DE

所以DE=10厘米。

〔2〕因为△ADE∽△ABC

所以AEAC＝ADAB＝23

所以32ACAE .

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 因为322ACAEAE，即12ECAE

所以2AEEC

说明：根据相似三角形的性质，并运用比例的根本性质进展运算，这是常用的根本方法，须熟练掌握，同时，此例也可用其他方法求解，如，由AEAC=23，设AE=2k，AC=3k，那么EC=AC-AE=k，所以22AEkECk

例4. 如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形。

〔1〕当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB

〔2〕当△ACP∽△PDB时，求APB

分析：〔１〕△ACP和△PDB中，已有一组角相等，只需这组角的两边成比例，然后再通过正三角形性质转化到AC，CD，DB的关系，

〔2〕当△ACP∽△PDB，那么对应角相等，这样可求出APB。

解：〔1〕因为△PCD是等边三角形，所以PC=CD=PD， 60PCDPDC，

即120PCAPDB

所以只要满足ACPCPDBD，△ACP∽△PDB

〔2〕因为△ACP∽△PDB，所以1,2AB

又因为160PDCB，所以1260

所以126060120APBCPD

例5. 如图，90AOB，OA=OB=BC=CD，请找出图中的相似三角形，并说明理由。

分析：有公共角的先确定，再找另一个角对应相等或夹边对应成比例。

解：△ABC∽△DBA

设OA=OB=BC=CD=a

那么AB=2a， 222BCaABa，2222ABaDBa .

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 所以BCABABDB，且ABCDBA

所以△ABC∽△DBA