圆周运动
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追求卓越 用心服务 1 学生: 教师: 日期:
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课题 匀速圆周运动
教学目标 1.认识匀速圆周运动的概念，理解线速度的概念；
2.理解线速度、角速度、周期之间的关系；
3.掌握匀速圆周运动向心力、向心加速度的相关公式。
重难点透视 1.理解匀速圆周运动是变速运动；
2.运用极限法理解线速度的瞬时性；
3.理解向心力是由法向合力提供的，而不是一种特殊的力。
知识点剖析
序号 知识点
1 圆周运动
2 匀速圆周运动的向心力和向心加速度
3 圆周运动的实例分析
教学内容
一、基本概念：
（一）圆周运动：
1、定义：物体运动轨迹为圆称物体做圆周运动。
2、分类：
⑴匀速圆周运动：
质点沿圆周运动，如果在任意相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。
物体在大小恒定而方向总跟速度的方向垂直的外力作用下所做的曲线运动。
注意：这里的合力可以是万有引力——卫星的运动、库仑力——电子绕核旋转、洛仑兹力——带电粒子在匀强磁场中的偏转、弹力——绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转、重力与弹力的合力——锥摆、静摩擦力——水平转盘上的物体等．
⑵变速圆周运动：如果物体受到约束，只能沿圆形轨道运动，而速率不断变化——如小球被绳或杆约束着在竖直平面内运动，是变速率圆周运动．合力的方向并不总跟速度方向垂直．
3、描述匀速圆周运动的物理量 华为教育-----你身边的良师益友！
追求卓越 用心服务 2 （1）轨道半径（r）：对于一般曲线运动，可以理解为曲率半径。
（2）线速度（v）：
①定义：质点沿圆周运动，质点通过的弧长S和所用时间t的比值，叫做匀速圆周运动的线速度。
②定义式：tsv
③线速度是矢量：质点做匀速圆周运动某点线速度的方向就在圆周该点切线方向上，实际上，线速度是速度在曲线运动中的另一称谓，对于匀速圆周运动，线速度的大小等于平均速率。
（3）角速度（ω，又称为圆频率）：
①定义：质点沿圆周运动，质点和圆心的连线转过的角度跟所用时间的比值叫做匀速圆周运动的角速度。
②大小：Tt2 (φ是t时间内半径转过的圆心角)
③单位：弧度每秒（rad/s）
④物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢
（4）周期（T）：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。
（5）频率（f，或转速n）：物体在单位时间内完成的圆周运动的次数。
各物理量之间的关系：
rtrvfTtrfTrtsv2222
注意：计算时，均采用国际单位制，角度的单位采用弧度制。
（6）圆周运动的向心加速度
①定义：做匀速圆周运动的物体所具有的指向圆心的加速度叫向心加速度。
②大小：rrvan22（还有其它的表示形式，如：rfrTvan2222）
③方向：其方向时刻改变且时刻指向圆心。
对于一般的非匀速圆周运动，公式仍然适用，为物体的加速度的法向加速度分量，r为曲率半径；物体的另一加速度分量为切向加速度a，表征速度大小改变的快慢（对匀速圆周运动而言，a=0）
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追求卓越 用心服务 3 （7）圆周运动的向心力
匀速圆周运动的物体受到的合外力常常称为向心力，向心力的来源可以是任何性质的力，常见的提供向心力的典型力有万有引力、洛仑兹力等。对于一般的非匀速圆周运动，物体受到的合力的法向分力nF提供向心加速度（下式仍然适用），切向分力F提供切向加速度。
向心力的大小为：rmrvmmaFnn22（还有其它的表示形式，如：
rfmrTmmvFn2222）；向心力的方向时刻改变且时刻指向圆心。
实际上，向心力公式是牛顿第二定律在匀速圆周运动中的具体表现形式。
典型例题：
例题、如图为一皮带传动装置，大轮与小轮固定在同一根轴上，小轮与另一中等大小的轮子间用皮带相连，它们的半径之比是1∶2∶3.A、B、C分别为轮子边缘上的三点，那么三点线速度之比vA∶vB∶vC= ;角速度之比ωA∶ωB∶ωC= ;转动周期之比TA∶TB∶TC= 。
解析：本题讨论皮带传送装置线速度、角速度和周期之间的关系问题。因此首先要抓住传动装置的特点:同轴传动的是角速度相等，皮带传动是两轮边缘的线速度大小相等，再利用v=ωr找关系。
由图可知，A、B两点线速度相等，A、C两点角速度相等.又v=ωr,可得CAcArrvv=31,所以vA∶vB∶vC=1∶1∶3;又可得BABArvrv//=12,有ωA∶ωB∶ωC=2∶1∶2;因T=2,则TA∶TB∶TC=1∶2∶1.
三. 匀速圆周运动的实例变形
（一）汽车过桥 华为教育-----你身边的良师益友！
追求卓越 用心服务 4 原型：汽车过凸桥
1.如图1所示，汽车受到重力G和支持力FN，合力提供汽车过桥所需的向心力。假设汽车过桥的速度为v，质量为m，桥的半径为r，rmvFGN2。
FNG
图1
★解析 当支持力为零时，只有重力提供汽车所需的向心力，即rmvG20，grv0
1. 当汽车的速度0vv，汽车所受的重力G小于过桥所需的向心力，汽车过桥时就会离开桥面飞起来。
2. 当汽车的速度0vv，汽车所受的重力G恰好等于过桥需要的向心力，汽车恰好通过桥面的最高点。),(020grvrmvG
3. 当汽车的速度0vv，汽车所受的重力G大于所需的向心力，此时需要的向心力要由重力和支持力的合力共同来提供。)(2rmvFGN
因此，汽车过凸桥的最大速度为gr。
模型一：绳拉小球在竖直平面内过最高点的运动。
2.如图2所示，小球所受的重力和绳的拉力的合力提供小球所需的向心力，即rvmFmgT2。
vGFT
图2 华为教育-----你身边的良师益友！
追求卓越 用心服务 5 ★解析 当绳的拉力为零时，只有重力提供小球所需的向心力，即rmvG20，grv0
1. 当小球的速度0vv，物体所受的重力G已不足以提供物体所需的向心力。不足的部分将由小球所受的绳的拉力来提供，只要不超过绳的承受力，已知物体的速度，就可求出对应的拉力。)(2rvmFmgT
2. 当小球的速度0vv，物体所受的重力G刚好提供物体所需的向心力。),(020grvrmvG
3. 当小球的速度0vv，物体所受的重力G大于所需的向心力，此时小球将上不到最高点。
因此，绳拉小球在竖直平面内过最高点时的最小速度为grv0。
实例：翻转过山车
3.如图3所示：由于过山车在轨道最高点所受的力为重力和轨道的支持力，故分析方法与模型一类似。
GFN
图3
模型二：一轻杆固定一小球在竖直平面内过最高点的运动。
4.如图4所示，物体所受的重力和杆对球的弹力的合力提供物体所需的向心力，即rvmFmgT2
vFTG
图4
★解析 当杆对球的弹力为零时，只有重力提供小球所需的向心力，即rmvG20，grv0
1. 当小球的速度0vv，物体所受的重力G已不足以提供物体所需的向心力。不足的部分将由小球所 华为教育-----你身边的良师益友！
追求卓越 用心服务 6 受的杆的拉力来提供。（此时杆对小球的弹力为向下的拉力，参考图3）。已知物体的速度，就可求出对应的拉力。)(2rvmFmgT
2. 当小球的速度0vv，物体所受的重力G刚好提供物体所需的向心力。),(020grvrmvG
3. 当小球的速度0vv，物体所受的重力G大于所需的向心力，多余的部分将由杆对小球的支持力来抵消。（此时杆对小球的弹力为向上的支持力）。)(2rvmFmgT
4. 当小球的速度0v，物体所受的重力G等于杆对小球的支持力。)(TFmg
因此，一轻杆固定一小球在竖直平面内过最高点的最小速度为0。
（二）火车转弯
原型：火车转弯
5.如图5所示，火车在平直的轨道上转弯，将挤压外轨，由外轨给火车的弹力提供火车转弯所需的向心力，这样久而久之，将损坏外轨。
图5
故火车转弯处使外轨略高于内轨，火车驶过转弯处时，铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力的合力指向圆心，提供火车转弯所需的向心力（如图6所示）。这就减轻了轮缘与外轨的挤压。
θGFFN
图6
★解析 当火车的速度为0v时，火车所需的向心力全部由重力和支持力的合力来提供，即rvmmg20tan，tan0grv。
1. 若火车的速度0vv，将挤压外轨；
2. 若火车的速度0vv，将挤压内轨。 华为教育-----你身边的良师益友！
追求卓越 用心服务 7
模型一：圆锥摆
小球所需的向心力由重力和绳的拉力的合力来提供（如图7所示）
θFTGF
图7
模型二：小球在漏斗中的转动
小球所需的向心力由重力和漏斗的支持力的合力来提供（如图8所示）
θFFNG
图8
四. 匀速圆周运动的多解问题
匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个做匀速圆周运动，另一个做其他形式的运动。由于这两种运动是同时进行的，因此，依据等时性建立等式来解待求量是解答此类问题的基本思路。特别需要提醒注意的是，因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在表达做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去，以下几例运算结果中的自然数“n”正是这一考虑的数学化。
【例13】如图13所示，直径为d的圆筒绕中心轴做匀速圆周运动，枪口发射的子弹速度为v，并沿直径匀速穿过圆筒。若子弹穿出后在圆筒上只留下一个弹孔，则圆筒运动的角速度为多少？
