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分段函数的性质与应用

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全国名校高考数学优质学案专题汇编（附详解）

- 1 - 分段函数的性质与应用

分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。即“分段函数——分段看”

一、基础知识：

1、分段函数的定义域与值域——各段的并集

2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。

3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。如果不便作出，则只能通过代数方法比较,fxfx的关系，要注意,xx的范围以代入到正确的解析式。

4、分段函数分析要注意的几个问题

（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。否则是断开的。例如：221,34,3xxfxxx，将3x代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。再比如

221,31,3xxfxxx中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断全国名校高考数学优质学案专题汇编（附详解）

- 2 - 开的两段。

（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。例如：13fxx，可转化为：13,113,1xxfxxx

5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论

6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。

二、典型例题

例1：已知函数2211()1xxfxxaxx，若04ffa，则实数a_____

思路：从里向外一层层求值，00212f 0242fffa

所以4242aaa

答案：2a

例2：设函数cos,011,0xxfxfxx，则103f的值为_________

思路：由fx解析式可知，只有0x，才能得到具体的数值，0x时只能依靠11fxfx向0x 正数进行靠拢。由此可得：

107412123433333fffff，而 全国名校高考数学优质学案专题汇编（附详解）

- 3 - 221cos332f 10932f

答案：92

小炼有话说：含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）比如在本题中：0,11xfxfx可以立即为间隔为1的自变量，函数值差1，其作用在于自变量取负数时，可以不断1直至取到正数。理解到这两点，问题自然迎刃而解。

例3：函数34,22,21xxfxxx，则不等式1fx的解集是( )

A. 5,1,3 B. 5,1,33

C. 51,3 D. 5,33

思路：首先要把1fx转变为具体的不等式，由于fx是分段函数，所以要对x的范围分类讨论以代入不同的解析式：当2x时，1341fxx，可解得：1x或53x。所以1x或523x；当2x时，211211fxxx解得3x，所以23x，综上所述：5,1,33x

答案：B

例4：已知函数10()10xxfxxx，则不等式1(1)1xxfx的解集是________ 全国名校高考数学优质学案专题汇编（附详解）

- 4 - 思路：要想解不等式，首先要把1fx转变为具体的表达式，观察已知分段函数， 10()10xxfxxx，x占据f整个括号的位置，说明对于函数fx而言，括号里的式子小于0时，代入上段解析式，当括号里的式子大于0时，代入下段解析式。故要对1x的符号进行分类讨论。（1）当101xx时，111fxxx，不等式变为：2111xxxxx

（2）当101xx时，111fxxx，不等式变为：

2112101212xxxxxx

1,12x

答案：1,12x

例5：已知函数2123,021,0xxxxfxx，则不等式283fxfxx的解集为___________

思路：本题如果通过分类讨论将不等式变为具体不等式求解，则难点有二：一是要顾及28,3xxx的范围，则需要分的情况太多；二是具体的不等式可能是多项式与指数式混在一起的不等式，不易进行求解。所以考虑先搁置代数方法，去分析fx的图像性质，发现fx的两段解析式均可作图，所以考虑作出fx的图像，从而发现fx是增函数，从而无论28,3xxx在哪个范围，228383fxfxxxxx，从而解得：4x或2x

答案：,42,

小炼有话说：含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是全国名校高考数学优质学案专题汇编（附详解）

- 5 - 利用代数手段，通过对x进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解(比如例3，例4）。另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式（比如例5）。

例6：已知函数222,02,0xxxfxxxx.若21fafaf，则a的取值范围是

A．1,0 B．0,1 C．1,1

D．2,2

思路：本题可以对a进行分类讨论，以将21fafaf变成具体不等式求解，但也可从,aa的特点出发，考虑判断fx的奇偶性，通过作图可发现fx为偶函数，所以fafa，所解不等式变为1faf，再由图像可得只需1a，即11a

答案：C

小炼有话说：

（1）本题判断函数fx的奇偶性可以简化运算，而想到这一点是源于抓住所解不等式中,aa的特点。由此可见，有些题目的思路源于式子中的一些暗示

（2）由于fx两段图像均易作出，所以在判断fx奇偶性时用的是图像法。对于某些不易作图的分段函数，在判断奇偶性时就需要用定义法了，下面以本题为例说说定义法如何判断：整体思想依然是找到,fxfx ，只是在代入过程中要注意,xx的范围：设0,x，则,0x，2222,22fxxxfxxxxx，所以全国名校高考数学优质学案专题汇编（附详解）

- 6 - fxfx，即fx为偶函数

例7：已知函数22()12,()2fxxgxxx，若(),()()()(),()()gxfxgxFxfxfxgx，则()Fx的值域是_______________

解析：Fx是一个分段函数，其分段标准以,fxgx的大小为界，所以第一步先确定好x的取值，解不等式：22122fxgxxxx，解得：113x，故2212,13112,13xxxFxxxorx ，分别求出每段最值，再取并集即可

答案：7,9

例8：已知函数(2)1(1)()log(1)aaxxfxxx，若()fx在,单调递增，则实数a的取值范围是_________

思路：若fx在,单调增，则在R上任取12xx，均有12fxfx，在任取中就包含12,xx均在同一段取值的情况，所以可得要想在R上单调增，起码每一段的解析式也应当是单调递增的，由此可得：201aa ，但仅仅满足这个条件是不够的。还有一种取值可能为12,xx不在同一段取值，若也满足12xx，均有12fxfx，通过作图可发现需要左边函数的最大值不大于右边函数的最小值。代入1x，有左段右端，即21log103aaa

综上所述可得：2,3a 全国名校高考数学优质学案专题汇编（附详解）

- 7 - 答案：2,3

例9：已知21.1,01,0,1xxfxxx，则下列选项错误的是（ ）

A. ①是1fx的图像 B. ②是fx的图像

C. ③是fx的图像 D. ④是fx的图像

思路：考虑先作出fx的图像（如右图所示），再按照选项进行验证即可：A. 1fx为fx向右平移一个单位，①正确；B. fx为fx关于y轴对称的图像，②正确；C. fx为fx正半轴图像不变，负半轴作与fx正半轴关于y轴对称的图像，③正确；D. fx的图像为fx在x轴上方的图像不变，下方图像沿x轴对称翻折。而fx图像均在x轴上方，所以fx应与fx图像相同。④错误

答案：D 全国名校高考数学优质学案专题汇编（附详解）

- 8 - 例10：函数31,12sin,12xxfxxx ，则下列结论正确的是（ ）

A. 函数fx在1,上为增函数 B. 函数fx的最小正周期为4

C. 函数fx是奇函数 D. 函数fx无最小值

思路：可观察到fx的图像易于作出，所以考虑先作图，再看由图像能否判断各个选项，如图所示可得：BC选项错误，D选项fx存在最小值12f，所以D错误，A选项是正确的

答案：A

小炼有话说：（1）本题利用数形结合是最为简便的方法，一方面是因为fx本身便于作图，另一方面四个选项在图上也有具体的含义。

（2）分段函数作图过程中，尤其在函数图象断开时，一定要注意端点处属于哪个解析式。本题中1x就属于2sin2yx部分，所以才存在最小值。

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分段函数的性质

分段函数的性质

分段函数的性质

分段函数是数学中重要的一种函数类型，即一个函数由若干段不同的部分组成，在每个部分内使用不同的函数式。分段函数可以表示出许多实际问题中的关系，例如函数图像中的转折点、阶梯函数、指数函数等；因此，分段函数的性质对理解和应用这类函数非常重要。

本文将着重探讨分段函数的性质，包括定义域、值域、奇偶性、单调性、极限、导数等方面。

一、定义域和值域

分段函数的定义域是指函数在哪些自变量的取值范围内有定义，而值域则是指函数可以取到的所有值的集合。

对于一个形如 $f(x)=\begin{cases} f_1(x), &x\in D_1\\ f_2(x),

&x\in D_2 \end{cases}$ 的分段函数，其定义域为 $D=D_1\bigcup

D_2$，即两个段所对应的自变量值域的并集。

对于值域，分段函数的取值范围取决于各段函数式的取值范围及其交集和并集。例如，当 $f_1(x)$ 取最大值而 $f_2(x)$ 取最小值时，整个分段函数的取值范围即为两个取值范围的交集。反之，当 $f_1(x)$ 取最小值而 $f_2(x)$ 取最大值时，整个分段函数的取值范围即为两个取值范围的并集。

二、奇偶性和周期性

对于分段函数的奇偶性和周期性，需要分别讨论每个分段函数的性质。

当一个分段函数 $f(x)$ 的每一段函数 $f_i(x)$ 均为奇函数或偶函数时，整个分段函数也具有相应的奇偶性。例如，当

$f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 均为奇函数时，$f(x)$ 为奇函数；当

$f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 均为偶函数时，$f(x)$ 为偶函数。

对于周期性，当每一段函数 $f_i(x)$ 均为周期为 $T$ 的函数时，整个分段函数 $f(x)$ 也具有周期 $T$。

三、单调性和极限

对于分段函数的单调性和极限，也需要分别讨论每个分段函数的性质。

当一个分段函数 $f(x)$ 的每一段函数 $f_i(x)$ 均为单调递增或单调递减函数时，整个分段函数 $f(x)$ 也具有相应的单调性。例如，当 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 均为单调递增函数时，$f(x)$ 也为单调递增函数。

中考知识点分段函数

中考知识点分段函数

中考知识点分段函数

一、定义域和值域

分段函数的定义域和值域是由各个分段的定义域和值域确定的。

以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，其定义域为整个实数集，值域为 (-∞, +∞)。

二、分段函数的图像

对于分段函数，要根据每个分段的函数表达式来绘制图像。

以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0} 为例，在x<0时，图像是一条斜率为1的直线，过原点，并且在x=0处有一个开口向上的拐点。

三、分段函数的连续性

分段函数在分段点处可能不连续，需要通过计算极限来确定。

以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0} 为例，分段点x=0处的左极限等于0，右极限等于0，与f(0)=0相符，因此该分段函数在x=0处连续。

四、分段函数的性质

1. 分段函数的奇偶性由各个分段的奇偶性决定。

以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，第一段函数x+3是奇函数，第二段函数2x是偶函数，所以整个分段函数为奇函数。

2. 分段函数的单调性由各个分段的单调性决定。 以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，第一段函数x+3是递增函数，第二段函数2x也是递增函数，所以整个分段函数是递增函数。

3. 分段函数的最大值和最小值在每个分段函数的最大值和最小值中取得。

以函数f(x) = { x+3, x<0 2x, x>=0 } 为例，在第一段函数中，最小值为3，最大值不存在；在第二段函数中，最小值不存在，最大值也不存在。

四、分段函数的应用

1. 分段函数可以描述现实生活中的一些问题，如电话费计费等。

以电话费计费为例，某通信公司的计费标准为：前50分钟，每分钟0.5元；超过50分钟，每分钟0.3元。

假设通话时长为x分钟，对应的通话费用为函数f(x) = { 0.5x,

分段函数知识点总结

分段函数知识点总结

分段函数知识点总结

一、分段函数的定义

分段函数是指在定义域上将函数分成若干段，每一段上使用不同的函数表达式来描述函数的行为。它可以是由有限个函数组成的，也可以是由无限个函数组成的。一般来说，分段函数的定义域可以被划分成有限个不相交的区域，每个区域内使用不同的函数表达式描述函数的行为。

例如，一个简单的分段函数可以是这样的：

\[f(x) = \begin{cases}

2x, & \text{ if } x < 0 \\

x^2, & \text{ if } x \geq 0

\end{cases}\]

在这个例子中，定义域被分成两段：$x < 0$和$x \geq 0$，分别在这两个区域内使用不同的函数表达式来描述函数的行为。

二、分段函数的图像

分段函数的图像通常是由多个部分组成的，每个部分对应于函数定义域中的一个区域。因此，对于一个有限段的分段函数，其图像是由一些部分图像组成的；对于一个无限段的分段函数，则可能包含无限个部分图像。

以前面的例子$f(x) = \begin{cases}

2x, & \text{ if } x < 0 \\

x^2, & \text{ if } x \geq 0

\end{cases}$为例，其图像可以通过分别画出$y = 2x$和$y = x^2$的图像来得到。当然，我们也可以直接画出$f(x)$的图像，只需在$x = 0$处将两个部分对接起来即可。

对于无限段的分段函数，我们可能无法通过直接画出所有部分图像来得到完整的图像，但是我们可以通过分析函数表达式的性质来对函数的整体行为有所了解。

三、分段函数的性质

分段函数可以具有各种不同的性质，这取决于定义域内不同区域上使用的函数表达式。

首先，在定义域的各个区域内，分段函数可以具有不同的函数性质。在一个区域上，它可能是线性的；在另一个区域上，它可能是二次的，甚至是高次的多项式函数；在另一个区域上，它可能是指数函数、对数函数或者三角函数等。这就需要我们分别进行函数性质的分析和运算处理。

分段函数(整理)

分段函数(整理)

分段函数(整理)

什么是分段函数？

分段函数是指一个函数在定义域的不同区间上有不同的表达式或定义方式。通常，分段函数在定义域内被分成了多个不相交的区间，每个区间上有自己的表达式。

分段函数的定义形式

一般而言，分段函数可以用以下形式来表示：

\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}

f_1(x), & if\ x \in D_1 \\

f_2(x), & if\ x \in D_2 \\

... \\

f_n(x), & if\ x \in D_n \\

\end{array}

\right. \]

其中，\(f_1(x), f_2(x), ..., f_n(x)\) 是每个区间上的函数表达式，而 \(D_1, D_2, ..., D_n\) 则是定义域的不相交区间。

分段函数的图像

由于分段函数在不同区间上拥有不同的表达式，因此其图像通常表现为多个不相交的线段、曲线或点的集合。

分段函数的应用

分段函数广泛应用于各个领域，例如经济学、数学、物理学等。它可以模拟和描述各种现实情况和实验结果。在经济学中，分段函数可以用于描述不同经济阶层的收入分配情况；在物理学中，分段函数可以用于描述物体在不同时期的运动状态。

分段函数的性质

分段函数具有以下性质：

1. 分段函数的图像是不连续的，因为不同区间上的表达式存在不连续点。

2. 分段函数在定义域的各个区间上具有不同的特性和性质，需要根据具体情况进行分析和讨论。

3. 分段函数的导数在不同区间上可能存在不连续点。

总结 分段函数是一种以不同表达式定义的函数，它在定义域内的不同区间上具有不同的特性和性质。分段函数在模拟和描述各种现实情况中起着重要的作用，并且在数学和其他学科中都有广泛的应用。