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分段函数的理解

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分段函数的理解

分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数。

1、它是一个函数，不是几个不同函数的组合,是同一函数在自变量X的不同取值范围内的不同表达式。

2、最简单的分段函数是一次函数的分段函数。

分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。

谈谈中考中的分段函数

在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，分段函数是近几年中考数学中一种重要的题型。分段函数的应用题多设计成两种（段）情况以上，解答时需分段讨论。它是考查分类思想，读取、搜集、处理图像信息等综合能力的综合题。这些分段函数都是直线型，通常是由正比例函数的图像和一次函数的图像构成。下面我们归纳分析如下，供学习时参考。

一、两段型分段函数

1.1正比例函数与一次函数构成的分段函数

解答这类分段函数问题的关键,就是分别确定好正比例函数的解析式和一次函数的解析式。

例1、某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示：

（１）月通话为100分钟时，应交话费______元； （２）分别写出当0≤x≤100 , x≥100时，x与y之间的函数关系式；

（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？

分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在0到100分钟之间月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的正比例函数,当x≥100时, 月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的一次函数.

解：（1）观察图象可知月通话为100分钟时，应交话费40元；

（2）当0≤x≤100时,设y与x之间的函数关系式为y=kx，x=100时,y=40 所以y=2/5x

x≥100时, 设y与x之间的函数关系式为y=kx+b

由图知：x=100时,y=40；x=200时，y=60 则有 ,解之得 k=1/5,b=20

所求函数关系式为y=1/5x+20

（3）把x=280代入y=1/5x+20,得y=1/5x280+20=76， 即月通话为280分钟时，应交话费76元．

【巩固练习】

1、水费中的分段函数

某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图

(1)分别写出当0≤x≤15和x≥15时, y与x的函数关系式;

(2)若某户该月用水21吨, 则应交水费多少元?

2、电费中分段函数

今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：

（1）分别写出当0≤x≤100和x≥100时， y与x的函数关系式；

（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；

（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？

1.2一次函数与一次函数构成的分段函数

1、为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图5所示．

（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖励小强家务劳动的？

（2）分别写出当0≤x≤20和x≥20时， y与x的函数关系式；

（3）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？

1.3常数函数与一次函数构成的分段函数

例1、有甲、乙公司，甲公司每月通话的收费标准如图6所示；乙公司每月通话收费标准如表1所示．

（1）观察图6，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是 元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为 元；

（2）分别写出当0≤x≤100和x≥100时， y与x的函数关系式

（3）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？

二、三段型分段函数

如图7，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）

三、四段型分段函数

例7、星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩，从家出发2小时到达目的地，游玩3小时后按原路以原速返回，小强离家4小时40分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接小强，如图11，是他们离家的路程y(千米)与时间x(时)的函数图像。已知小强骑车的速度为15千米/时，妈妈驾车的速度为60千米/时。

(1)小强家与游玩地的距离是多少？

（2）分别写出当0≤x≤2,2≤x≤5,x≥s时， y与x的函数关系式

(3)妈妈出发多长时间与小强相遇？

四、五段型分段函数

例1、小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图象.

（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？

（3）分别写出当0≤x≤1,1≤x≤2,2≤x≤3,3≤x≤4和4≤x≤6时， y与x的函数关系式

（4）求小明出发两个半小时离家多远？

（4）求小明出发多长时间距家12千米？

《分段函数的理解》答案

1、解：在函数y=3X+2中， 令x=0,得y=2,因此图象交y轴与点（0,2） 令y=0,得3x+2=0,得x=-2/3，因此图象交x轴与点（-2/3,o）

∴ S=1/2×|-2/3|×|2| =2/3

2、解; 由题意得：令X＝0，得Y＝m，令Y＝0，得x=-2m

∴ S = 1/2|m||-2m| = 36 ∴ m2=36 ∴m=6或－6

（2） y=x/2+6, y>0,即x/2+6>0, 得x>-12 或 y=x/2-6, y>0,即x/2-6>0, 得x>12

3、解: ∵ y=k x+ b经过点（-2，0）， ∴ -2k + b = 0 , b=2k

∴ y = k x + 2k在x ,y轴的截距：-2, 2k即与两个坐标轴的交点为（0,2k ），（-2,0）

∴S = |-2|*|2k|/2 = 6 解得 |k|= 3 ∴ k=3或 -3 ∴函数解析式 y=-3x-6或y=3x+6

4、解：y=kx+3与x轴的交点为(-3/k,0)，与y轴的交点为(0,3)

∴ S=1/2×|3|×|-3/k | =9 即 |-3/k |=6 ∴-3/k = 6 或 -3/k = -6 得：k=±1/2

5、解：设L的方程是：y=k x+ b（k≠0) ∵直线l经过点A（-2,2）∴-2k+b=2;即：b=2k+2;

∴l的方程是：y=kx+2k+2 ∴L和坐标轴的交点分别是：(0 ,

2k+2 ),(-(2k+2)/k,0 )

∴ L和两个坐标轴围成的三角形的面积是： S=|2k+2| *

|-(2k+2)/k| /2 = 2(k+1)2/|k| =1

（1）当K>0时 S= 2(k+1)^2/k=1 (此方程无解） （2）当K<0时 S= 2(k+1)^2/k=-1

解的：k=-2;k=-1/2所以有：b=-2;b=1 所以这样的直线有两条： y=-2x-2 y=-x/2+1

1、解：（1）从图象上可知道，小强父母给小强的每月基本生活费为150元；

当0≤x≤20时，y（元）是x（小时）的一次函数，不妨设y=k1x+150，同时，图象过点（20，200），所以，200=k1×20+150，解得：k1=2.5，所以，y=2.5x+150，

当20＜x时，y（元）是x（小时）的一次函数，不妨设y=k2x+b，同时，图象过点（20，200），（30，240），

所以 ， ，解得：k2=4，b=120，所以，y=4x+120，

所以，如果小强每月家务劳动时间不超过20小时，每小时获奖励2.5元；

如果小强每月家务劳动时间超过20小时，那么20小时按每小时2.5元奖励，超过部分按每小时4元奖励

（2）从图象上可知道，小强工作20 小时最多收入为200元，而5月份得到的费用为250元，大于200元，所以说明4月小强的工作时间一定超过20小时，所以应选择分段函数中当20＜x时的一段，所以，由题意得，4x+120=250，

解得：x=32.5

答：当小强4月份家务劳动32.5小时，5月份得到的费用为250元． 评析：本题不仅考查同学们对分段函数意义的理解，而且同时还考查了同学们对分类思想的掌握情况，和对分段函数的选择能力。

2、解析：1）从图6，可以看出，这是常数函数与一次函数构成的分段函数，

当0≤t≤100时，话费金额y=20；

当t＞100时，话费金额y是通话时间t的一次函数，不妨设y=kt+b，且函数经过点（100，20）和（200，40），

所以， ,解得：k=0.2，b=0,所以，y=0.2t,

所以,甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是20元；当甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为0.2元；

2)仔细观察表1,可以知道乙公司每月通话收费y=0.15t+2.5,

当0≤t≤100时，甲公司的话费金额y=20；乙公司通话收费y=0.15t+2.5k≤15+2.5=17.5,

所以,李女士如果月通话时间不超过100分钟，她选择乙通迅公司更合算；

因为，0.15t+2.5=0.2t，所以，t=500，

所以，当通话时间t=500分钟时，选择甲、乙两家公司哪一家都可以；

因为，0.15t+2.5＞0.2t，所以，t＜500，所以，当通话时间100＜t＜500分钟时，选择甲公司；

因为，0.15t+2.5＜0.2t，所以，t＞500，所以，当通话时间t＞500分钟时，选择乙公司；

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分段函数的应用

分段函数的应用

1 分段函数的应用

教学目标：

（1）使学生掌握分段函数的表达式；

（2）学会运用分类讨论的数学思想方法.

教学重点：

分段函数的在实际问题中的应用.

教学难点：

分类讨论思想的应用.

教学手段：

案例教学法，开放式教学，讨论法

教学过程：

一、案例引入：

近年来，由于用电紧张，用电成本增加，为使居民节约用电，浙江省2004年8月1日抄见电量开始执行新的居民生活用电价格。一户一表居民用户实施阶梯式累进电价：月用电量低于50千瓦时（含50千瓦时）部分不调整；月用电量在50千瓦时—200千瓦时部分，电价每千瓦时上调0.03元；月用电量超过200千瓦时部分，电价每千瓦时上调0.10元。执行峰谷电价的居民用户以总电量与阶梯基数比对进行计算。居民合表用户和学校等集体用户的电价每千瓦时上调0.02元。双月抄表的一户一表居民用户的阶梯基数电量按标准月度基数电量乘二执行。对于调价当月抄表计算的双月抄表居民用户，本次抄见电量的一半按原电价计算，另一半按照调整后新电价计算，阶梯基数电量执行标准月度基数电量。

另：未安装峰谷电的用户价格为每度0.53元；安装峰谷电的用户计价方法为：从早上8时至晚上10时为峰电，价格为每度0.56元，从晚上10时至次日早上8时为谷电，价格为每度0.28元。

附：“千瓦时”是一电量单位，即我们平时常说的“度”。

二、案例讨论：

1．讨论：

（1）假设你是一位普通用户，你最关心的是什么？

（2）上述案例中指出了多少种不同的用户？

（3）根据实际生活经验，我们要讨论的重点是哪一类或哪几类用户？

2 2．计算：

（1）若甲用户未安装峰谷电，单月抄表，某月抄见总电量为150度，按规定他应缴纳多少电费？

150×0.53＋（150－50）×0.03＝82.5元

（2）若乙用户已安装峰谷电，单月抄表，某月抄见总电量为285度，其中峰电150度，谷电135度，按规定他应缴纳多少电费？

150×0.56＋135×0.28＋（200－50）×0.03＋（285－200）×0.10＝134.8元

分段函数的应用总结

分段函数的应用总结

分段函数的应用总结

分段函数是数学中常见的一种函数形式，它在不同的定义域区间上有不同的表达式。在实际问题中，我们经常遇到需要用分段函数来描述的情况。本文将总结几个常见的应用场景，以帮助读者理解和应用分段函数。

一、电费计算

电费计算是一个常见的应用分段函数的例子。在电费计算中，电费的计算方式通常与用电量有关。比如，一个城市的电价标准规定如下：

当用电量小于等于100度时，电费为每度0.5元；

当用电量大于100度且小于等于200度时，电费为每度0.6元；

当用电量大于200度时，电费为每度0.7元。

我们可以用以下分段函数来表示电费的计算方式：

\[ f(x) = \begin{cases}

0.5x, & \text{if } 0 \leq x \leq 100 \\

0.6x, & \text{if } 100 < x \leq 200 \\

0.7x, & \text{if } x > 200

\end{cases}

\] 其中，x表示用电量，f(x)表示对应的电费。通过这个分段函数，我们可以根据不同的用电量来计算相应的电费，帮助人们合理使用电力资源。

二、阶梯药价

阶梯药价是医疗领域中常用的分段函数应用。在一些国家或地区，医疗费用的计算方式与购买的药品数量有关。通常情况下，每种药品购买的数量越多，单价就越低。

以某种药品为例，假设其价格规定如下：

当购买数量小于等于10盒时，单盒价格为30元；

当购买数量大于10盒且小于等于50盒时，单盒价格为25元；

当购买数量大于50盒时，单盒价格为20元。

我们可以用以下分段函数来表示阶梯药价的计算方式：

\[ f(x) = \begin{cases}

30x, & \text{if } 0 \leq x \leq 10 \\

25x, & \text{if } 10 < x \leq 50 \\

20x, & \text{if } x > 50

初二数学分段函数知识点解析

初二数学分段函数知识点解析

初二数学分段函数知识点解析

分段函数是初中数学中的重要内容之一，它通过不同的定义域范围将一个函数分成若干个部分，每个部分使用不同的表达式描述。分段函数在数学中的应用非常广泛，能够帮助我们更好地理解和解决实际问题。本文将对初二数学分段函数的知识点进行解析，并以具体的例子来说明其应用。

一、什么是分段函数

分段函数（piecewise function），又称离散函数，指的是在定义域上不同区间内可以有不同的表达式。通常我们用一个大括号表示不同区间上的表达式，例如：

\[ f(x)=\begin{cases}

x+1, & x<0 \\

x^2, & x\geq0

\end{cases} \]

这个函数在定义域上可以分为两个区间，即负无穷到0和0到正无穷，分别使用了x+1和x^2作为函数表达式。

二、分段函数的定义域和值域

对于分段函数来说，每个区间上都有一个对应的函数表达式。因此，我们需要确定每个区间的定义域。在上面的例子中，第一个区间定义域为负无穷到0，第二个区间定义域为0到正无穷。 而对于整个分段函数的定义域，应该是各个区间定义域的并集。在上面的例子中，整个函数的定义域为负无穷到正无穷，即(-∞, +∞)。

值域的确定需要分别计算每个区间的值域，然后取所有值域的并集。对于上面的例子来说，第一个区间的值域为(-∞, 1)，第二个区间的值域为[0, +∞)。因此，整个函数的值域为(-∞, 1]。

三、分段函数的图像和性质

分段函数的图像通常由各个区间的图像组成。在上面的例子中，第一个区间图像为一条斜率为1的直线，第二个区间图像为一条开口向上的抛物线。

分段函数具有一些特殊的性质。首先，分段函数的图像是不连续的，因为在不同的区间上使用了不同的表达式。其次，分段函数可能具有端点处的间断点。例如，在上面的例子中，函数在x=0处具有间断点，因为0既属于第一个区间也属于第二个区间。

四、分段函数的应用举例

高数中常见的分段函数

高数中常见的分段函数

高数中常见的分段函数

分段函数是高等数学中非常常见且重要的一个概念。它在很多实际问题中起着关键的作用。本文将介绍分段函数的定义、性质、求导方法以及一些常见的应用例子，旨在帮助读者更好地理解和应用分段函数。

首先，什么是分段函数？分段函数是由两个或多个函数在不同的区间内给出的数学表达式。换句话说，当自变量落在不同的区间时，函数的表达式也随之变化。这种函数形式可以用于刻画实际问题中存在的多个不同情况或条件下的变化规律。

分段函数的定义如下：设有函数f(x)和非空有限个实数a1，a2，...，an。则称f(x)在区间(a1，a2]上的定义为一个函数表达式g1(x)，在区间(a2，a3]上的定义为一个函数表达式g2(x)，...，在区间(an-1，an]上的定义为一个函数表达式gn(x)。分段函数f(x)的定义可以表示为：

f(x) = {g1(x)，a1

{g2(x)，a2

...

{gn(x)，an-1

接下来，我们来探讨分段函数的性质。首先，分段函数是一个连续函数。在每个定义区间内，分段函数都是一个连续函数。其次，分段函数的导数也是一个分段函数。在每个定义区间内，分段函数的导数都可能存在不连续点。注意，分段函数在定义区间的端点处可能出现间断点，需要特别关注。

求导是一个重要的数学工具，对于分段函数也不例外。我们可以按照分段函数的定义域进行求导。对每个定义区间内的函数表达式分别求导，然后再考虑定义区间的端点。需要注意的是，对于定义区间的端点处的连续性，一定要使用左导数和右导数进行讨论。

最后，我们来看几个常见的应用例子，以帮助读者更好地理解分段函数的用途。例子一：某公司的工资表如下：月工资在2000元及以下的职员薪资按月计算，2000元至4000元的按周计算，高于4000元的按天计算。设计一个分段函数来计算职员的薪资。例子二：某商品的商业折扣根据购买的数量有所不同，购买1-50件商品不打折，购买51-100件商品打8折，购买101件以上的商品打7折。设计一个分段函数来计算商品的价格。