八上数学专题全等三角形辅助线

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1 全等三角形中常见题型添加辅助线

一. 教学内容：全等三角形常见题型添加辅助线

1、 常见辅助线添加方法和语言表达

2、 常见例题详细解析

3、 常见习题巩固复习

二．知识要点：

1、几何题目添加辅助线的方法和语言表达

（1）作线段：连接……；

（2）作平行线：过点……作……∥……；

（3）作垂线（作高）：过点……作……⊥……，垂足为……；

（4）作中线：取……中点……，连接……；

（5）延长并截取线段：延长……使……等于……；

（6）截取等长线段：在……上截取……，使……等于……；

（7）作角平分线：作……平分……；作角……等于已知角……；

（8）作一个角等于已知角：作角……等于……。

2、全等三角形中的基本图形的构造与运用

常用的辅助线的添加方法：

（1）倍长中线（或类中线）法：若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。

（2）截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；②补短：将一条较八上数学专题全等三角形辅助线

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2 短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。

（3）一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。

（4）角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。

（5）角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）旋转重合法：用旋转构造三角形全等。

（6）构造特殊三角形：主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造)和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。

三、基本模型：

（1）

DABC

△ABC中AD是BC边中线

EDABC

方式1： 延长AD到E，使DE=AD，连接BE

FEDCBA

方式2：间接倍长，作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E，连接BE 八上数学专题全等三角形辅助线

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NDCBAM

方式3： 延长MD到N，使DN=MD，连接CD

（2）

由△ABE≌△BCD导出 由△ABE≌△BCD导出 由△ABE≌△BCD导出

BC=BE+ED=AB+CD ED=AE-CD EC=AB-CD

（3）角分线，分两边，对称全等要记全

角分线+垂线，等腰三角形必呈现（三线合一）

（4）

①旋转： 八上数学专题全等三角形辅助线

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方法：延长其中一个补角的线段（延长CD到E，使ED=BM ，连AE或延长CB到F，使FB=DN ，连AF ）

结论：①MN=BM+DN ②ABCCMN2 ③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM

②翻折：

思路:分别将△ABM和△ADN以AM和AN 为对称轴翻折，但一定要证明 M、P、N三点共线.（∠B+∠D=0180且AB=AD）

（5）手拉手模型

①△ABE和△ACF均为等边三角形

结论：（1）△ABF≌△AEC；（2）∠B0E=∠BAE=60°（“八字型”模型证明）；（3）OA平分∠EOF

拓展： 八上数学专题全等三角形辅助线

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条件：△ABC和△CDE均为等边三角形

结论：（1）、AD=BE （2）、∠ACB=∠AOB （3）、△PCQ为等边三角形

（4）、PQ∥AE （5）、AP=BQ （6）、CO平分∠AOE （7）、OA=OB+OC （8）、OE=OC+OD （（7），（8）需构造等边三角形证明）

②△ABD和△ACE均为等腰直角三角形

结论：（1）、BE=CD （2）BE⊥CD

③ABEF和ACHD均为正方形

结论：（1）、BD⊥CF （2）、BD=CF

变形一：ABEF和ACHD均为正方形，AS⊥BC交FD于T，

求证：①T为FD的中点. ②.ADFABCSS

方法一：

方法二： 八上数学专题全等三角形辅助线

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方法三：

变形二：ABEF和ACHD均为正方形，M为FD的中点，求证：AN⊥BC

④当以AB、AC为边构造正多边形时，总有：∠1=∠2=n360180.

PFEDIHGBCA 21PGFEDKJIHACB

四、典型例题： 八上数学专题全等三角形辅助线

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7 EDFCBADCBA考点一：倍长中线（或类中线）法：

核心母题 已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

练习：

1、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

2、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

EDCBA

3、如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC，求证：CD=2CE。

4、已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE=∠BAE．求证：AF=BC+FC．

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8 5、已知：如图，在ABC中，ACAB，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交AE于点F，DF=AC.

求证：AE平分BAC。

考点二：截长补短法：

核心母题 如图，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB=AD+BC．

3、如图，在ABC中，60ABC，AD，CE分别为ACBBAC,的平分线，求证：AC=AE+CD

考点三：一线三等角问题（“K”字图）

核心母题 已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC边上一点，∠ADE=45°，AD=DE，求证：BD=EC.

练习：

1、已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD． 第 1 题图 ABFDECA

B C D E

O 八上数学专题全等三角形辅助线

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3、如图，在ABC中，BCACACB,90，直线MN经过点C，且MNAD于点D，MNBE于点E。

（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD—BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问：DE，AD，BE有怎样的等量关系？请写出等量关系，并加以证明。

A B C

N M D E

A B C

N M

D

E B C M

N E

D