刚体的基本运动

第三章 刚体力学

§3.1 刚体运动的分析 §3.2 角速度矢量

§3.3 刚体运动微分方程 §3.4 刚体平衡方程

§3.5 转动惯量 §3.6 刚体的平动与定轴转动

§3.7刚体的平面平行运动

§3.1 刚体运动的分析

一、描述刚体位置的独立变量

1.刚体是特殊质点组drij=0,注意:它是一种理想模型,形变大小可忽略时可视为刚体。

2.描述刚体位置的独立变数

描述一个质点需(x,y,z), 对刚体是否用3n个变量？否,由于任意质点之间的距离不变,如确定不在同一直线上的三点,即可确定刚体的位置,需9个变量，由于两点间的距离保持不变，所以共需9-3=6个变量即可。

刚体的任意运动=质心的平动+绕质心的转动，描述质心可用(x,y,z), 描述转轴可由α,β,γ。

二、刚体的运动分类

1.平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行.

任意一点均可代表刚体的运动，通常选质心为代表.需要三个独立变量,可以看成质点力学问题.(注意:平动未必是直线运动)

2.定轴转动: 刚体上有两点不动,刚体绕过这两点的直线转动,该直线为转轴. 需要一个独立变量φ

3.平面平行运动: 刚体上各点均平行于某一固定平面运动。可以用平行于固定平面的截面代表刚体。需要三个独立变量。

4.定点运动: 刚体中一点不动,刚体绕过固定点的瞬转转动。需三个独立的欧拉角。

5.一般运动: 平动+转动

§3.2 角速度矢量

定轴转动时角位移用有向线段表示,右手法确定其方向.有向线段不一定是矢量,必须满足平行四边形法则,对定点转动时,不能直接推广,因不存在固定轴.

刚体在dt时间内转过的角位移为dn ，则角速度定义为 0limtdtdtnnω

角速度反映刚体转动的快慢。

线速度与角速度的关系： ,tddddrvrnrωr §3.3 刚体运动微分方程

5.1 刚体和刚体的基本运动 导入：质点模型是牛顿为了简化运动分析而提出来的，质点系包含众多质点，也是理想模型，因为它

们都是描述有质量的点，根据研究问题的性质，忽略了其大小和形状。与其对应，有另外一种理想模型--刚体。 刚体是考虑其大小和形状的物体，而且在力的作用下保持不变。刚体是由大量质点组成的的，在力的

作用下，组成物体的所有质点之间的距离始终保护不变。物体受力作用总是要发生变形的，因此没有真正

的刚体，刚体是力学中一个十分有用的理想模型。

刚体的运动可以分为平动和定轴转动，是刚体的两种最简单、也是最基本的运动形式。刚体的运动一般说来是比较复杂的，但可以证明，刚体的复杂运动可分解为平动和绕瞬时轴的转动。因此，研究刚体的

平动和转动时研究刚体复杂运动的基础。 讨论：刚体的平动怎么描述？ 刚体运动时，若在刚体内所作的任意一条直线，都始终保持和自身平行，这种运动就称为刚体的平动。

因此，作平动的刚体上的各点的运动轨迹都相同，在任意时刻各点的速度、加速度也都相同。 综上所述，在刚体平动时，只要知道刚体上任意一点的运动，就可以完全确定整个刚体的运动，通常

是用刚体的质心运动来代表作平动刚体的运动。质心，质量中心的简称，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。质点系的质心是质点系质量𝑀分布的平均位置，刚体看作是一个质点系。设质点系由𝑛个

质点组成，它们的质量分别是𝑚1,𝑚2,…,𝑚𝑛，若用𝑟1⃗⃗ ,𝑟2⃗⃗⃗ ,…,𝑟𝑛⃗⃗⃗ 分别表示质点的位置。则质点系的质心位置𝑟𝜎⃗⃗⃗ 为，

𝑟𝜎⃗⃗⃗ =∑𝑚𝑖𝑟𝑖⃗ 𝑖𝑀 讨论：刚体的转动怎么描述？

在某一时刻𝑡刚体的转动，是绕着某一转轴转动，角速度为ω，角加速度为α，假设刚体绕转轴转动，角坐标𝜃是时间𝑡的单值连续函数，即 𝜃=𝑓(𝑡) 则有𝜔=𝑑𝜃𝑑𝑡=𝑓′(𝑡)；α=𝑑𝜔𝑑𝑡=𝑓′′(𝑡) 通过给出绕定轴转动的角速度和角加速度，可以描述刚体的转动。

第6章 刚体的基本运动习题

1.是非题（对画√，错画×）

6-1.平移刚体上各点的轨迹一定是直线。（ ）

6-2.在每一瞬时刚体上各点的速度相等，刚体作平移运动。（ ）

6-3.某瞬时刚体有两点的速度相等，刚体作平移运动。（ ）

6-4.研究刚体的平移运动用点的运动学知识即可。（ ）

6-5.平移刚体上各点的轨迹形状相同，同一瞬时刚体上各点的速度相等，各点的速度相等。（ ）

6-6.刚体在运动的过程中，存在一条不动的直线，则刚体作定轴转动。

6-7.刚体作定轴转动时各点的速度大小与到转轴的距离成正比，各点的加速度大小与到转轴的距离成反比。

6-8.刚体作定轴转动时法向加速度ωran2。（ ）

6-9.齿轮传递时其角速度的比等于半径的正比。（ ）

6-10.刚体作定轴转动时角速度与角加速度同号时，刚体作加速转动。（ ）

2.简答题

6-11.刚体作匀速转动时，各点的加速度等于零吗？为什么？

6-12.齿轮传递时，如图6-12所示，接触点的速度相等，加速度也相等吗？为什么？

6-13.下列刚体作平移还是作定轴转动：

（1）在直线轨道行驶的车箱。

（2）在弯道行驶的车箱。

（3）车床上旋转的飞轮。

（4）在地面滚动的圆轮。

6-14.如图所示，直角刚杆AO=1m，BO=2m，已知某瞬时A点的速度VA=4m/s，而B点的加速度与BO成α=45°，则该瞬时刚杆的角加速度α为多少？。

6-15.如图所示，鼓轮的角速度由下式 o A

VA a α

题6-14图 B

题6-15图 r

o

x  rxtan1

求得， (dtddtdωrxtan1）

问此解法对吗？为什么？

3.计算题

6-16.如图所示的机构中，已知O1A=O2B=AM=r=0.2m，O1O2=AB，轮O1的运动方程为tπ15（rad），试求当s50.t时，杆AB上的点M的速度和加速度。

- 1 - 习 题

6-1 杆O1A与O2B长度相等且相互平行，在其上铰接一三角形板ABC，尺寸如图6-16所示。图示瞬时，曲柄O1A的角速度为rad/s5，角加速度为2rad/s2,试求三角板上点C和点D在该瞬时的速度和加速度。

图6-16

m/s5.051.01AOvvDC

2221nnm/s5.251.0AOaaDC

21ττm/s2.021.0AOaaDC

6-2 如图6-17所示的曲柄滑杆机构中，滑杆BC上有一圆弧形轨道，其半径R=100mm，圆心O1在导杆BC上。曲柄长OA=100mm，以等角速度rad/s4绕O轴转动。设t=0时，0，求导杆BC的运动规律以及曲柄与水平线的夹角30时，导杆BC的速度和加速度。

图6-17

m4cos2.04cos1.02cos2cos21tttROAxO

m/s4sin8.01txO 30时 m/s4.01Ox

21m/s4cos2.3txO 21m/s36.1Ox

m/s4.0v 22m/s771.2m/s36.1a

6-3 一飞轮绕定轴转动，其角加速度为2cb,式中b、c均是常数。设运动开始时飞轮的角速度为0，问经过多长时间飞轮停止转动？

2cb tcbdd2 ttcb002dd0

tbcbc00|)arctan(1

)arctan(10bcbct

6-4 物体绕定轴转动的转动方程为334tt。试求物体内与转轴相距R=0.5m的一点，在t=0及t=1s时的速度和加速度度的大小，并问物体在什么时刻改变其转向。

234tt 294t t18