矩阵的正交对角化

科技信息　０高校讲￣２　０　ＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ　２００８年第２１期　

矩阵同时对角化　

赵俊锋　

（忻州师范学院专科部　山西忻州０３４０００）　

【摘要】矩阵对角化是高等代数研究的重点问题之一。对于一个矩阵对角化的问题，已得到了良好的研究结果。本文分析了一些矩阵对角　

化的矩阵类，进一步研究了两个矩阵同时对角化的条件，得到了一些结果。　

【关键词】矩阵；对角化；同时对角化　

Ｍａｔｒｉｃｅｓ’ｏｐｐｏｓｉｔｅ　ａｎｇｌｅ　ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｌｙ　

【Ａｂｓｔｒａｃｔ］Ｔｈｅ　ｍａｔｒｉｘ　ｏｐｐｏｓｉｔｅ　ａｎｇｌｅ　ｉｓ　ｏｎｅ　ｏｆ　ｋｅｙ　ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ　ｉｎ　ａｄｖａｎｃｅｄ　ａｌｇｅｂｒａ　ｒｅｓｅａｒｃｈ．Ｒｅｇａｒｄｉｎｇ　ａ　ｍａｔｒｉｘ　ｏｐｐｏｓｉｔｅ　ａｎｇｌｅ　ｑｕｅｓｔｉｏｎ．ｉｔ　ｏｂｔａｉｎｓ　

ｔｈｅ　ｇｏｏｄ　ｒｅｓｕｌｔ．Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ａｎａｌｙｓｅｓ　ｓｏｍｅ　ｍａｔｒｉｃｅｓ　ｃｌａｓｓｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍａｔｒｉｘ　ｏｐｐｏｓｉｔｅ　ａｎｇｌｅ．ｓｔｕｄｉｅｓ　ｔｈｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｔｗｏ　ｍａｔｒｉｃｅｓ’ｏｐｐｏｓｉｔｅ　ａｎｇｌｅ　

ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｌｙ，ａｎｄ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｓｏｍｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ．　

【Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ］Ｍａｔｒｉｘ，ｏｐｐｏｓｉｔｅ　ａｎｇｌｅ，ｏｐｐｏｓｉｔｅ　ａｎｇｌｅ　ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｌｙ．　

１．前言　

在当代社会，数学已经成为现代文化的重要组成部分。在高等代　数或线性代数中，矩阵对角化占有重要地位。在矩阵理论、二次型及线　

性变换等问题上矩阵对角化有广泛的应用。它是高等代数研究的主要　

内容，也是理论体系最完善的一部分。单个矩阵对角化的问题已在高　等代数或线性代数教材中有了系统的讨论。本文主要讨论两个或多个　

矩阵对角化问题，探讨一部分同时对角化的矩阵类，进而加深对矩阵　

矩阵的正交对角化是线性代数中一个重要的概念和方法。正交对角化是指将一个实对称矩阵或复Hermite矩阵通过相似变换，化为对角矩阵的过程。在这个过程中，新的矩阵具有一些特殊的性质，其中对角元素是原矩阵的特征值，而非对角元素为零。

要进行矩阵的正交对角化，首先需要满足两个条件：矩阵的特征值存在且为实数，且矩阵的特征值对应的特征向量构成一组正交向量组。对于实对称矩阵和复Hermite矩阵而言，这两个条件是成立的。

以实对称矩阵为例，假设有一个实对称矩阵A，其特征值为λ1, λ2, ...,

λn，对应的特征向量为v1, v2, ..., vn。由于实对称矩阵的特征值都为实数，所以可以得出特征向量是线性无关的，并且可以正交化得到一组标准正交基{u1,

u2, ..., un}。

接下来，将标准正交基{u1, u2, ..., un}作为列向量组成一个矩阵U，其中每一列就是一个单位特征向量。由于特征向量是一个实数域上的向量，对于任意的特征向量ui和uj，都有其内积成立：ui·uj = δij。

然后，构造一个对角矩阵Λ，其对角线上的元素为矩阵A的特征值。即Λ =

diag(λ1, λ2, ..., λn)。由于特征向量构成一组标准正交基，可以得到一个正交矩阵U，使得U^T·U = U·U^T = I，其中I为单位矩阵。

最后，可以得到正交对角矩阵D，使得D = U^T·A·U，其中D是一个对角矩阵，对角线上的元素即为A的特征值。这个过程就是矩阵的正交对角化。

矩阵的正交对角化具有很多重要的意义。首先，对角化可以将一个复杂的矩阵转化为一个很简单的矩阵，对于计算特征值和特征向量等操作提供了便利。其次，正交对角化可以保留矩阵的一些重要性质，如行列式的性质、迹的性质、矩阵的幂等性等。再次，正交对角化也为解决线性方程组和常微分方程等问题提供了基础。

需要注意的是，并非所有的矩阵都能进行正交对角化。只有满足条件的实对称矩阵和复Hermite矩阵才能通过正交对角化变换成对角矩阵。对于一般的矩阵，可以通过广义特征值问题进行变换。

求正交矩阵的方法

什么是正交矩阵

在线性代数中，正交矩阵是一种特殊的方阵，其列向量两两正交且模长为1。正交矩阵在许多数学和工程领域中被广泛应用，例如旋转变换和信号处理等。

一个 n × n 的实数方阵 A 是正交矩阵，当且仅当满足以下条件： - A 的每一列是单位向量，即每一列的模长为1； - A 的每一列两两正交，即任意两列的内积为0；

求正交矩阵的常见方法

下面将介绍几种常见的求解正交矩阵的方法。

基于正交对角化的方法

这是一种常见且简单的求解正交矩阵的方法。对于一个对称矩阵 A ，可以通过对

A 进行正交对角化得到正交矩阵 Q 和对角矩阵 D ，即 A = QDQ^T 。其中，Q 的列向量是 A 的特征向量，D 是 A 的特征值组成的对角矩阵。

步骤如下： 1. 计算矩阵 A 的特征值和特征向量； 2. 将特征向量组成的矩阵 Q

进行单位化，即使 Q 的每一列的模长为1； 3. 检查 Q 是否是一个正交矩阵，即

Q^TQ 是否等于单位矩阵。

基于Gram-Schmidt正交化过程的方法

Gram-Schmidt 正交化过程是一种常见的求解正交向量集的方法。可以使用该方法来求解正交矩阵。

步骤如下： 1. 对于一个给定的 n × m 矩阵 A ，假设它的列向量组成的集合为

{a1, a2, …, am}； 2. 对于 i = 1, 2, …, m ，依次进行以下操作： - 令 v_i

= a_i ； - 对于 j = 1, 2, …, i-1 ，执行以下操作： - 计算内积

coefficient = (v_i·v_j) / (v_j·v_j) ； - 更新 v_i = v_i - coefficient

* v_j ； - 求得 v_i 的模长为 norm = sqrt(v_i·v_i) ； - 将 v_i 单位化，即 v_i = v_i / norm ； 3. 最终得到的单位向量组成的矩阵 Q 即为正交矩阵。

摘 要

矩阵的对角化指的是矩阵与对角矩阵相似，而形式最简单的对角矩阵在矩阵理论中占有重要地位，因此研究矩阵的对角化问题是很有实用价值的．矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。目前对于矩阵可对角化的条件，矩阵对角化的方法和矩阵对角化的运用都有了较为全面和深入的研究。在归纳总结前人的基础之上，先给出了与对角化相关的概念，其次讨论了矩阵对角化的几个等价条件，最后总结了一些有关矩阵对角化的应用。

关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化

Abstract

Matrix diagonalization refers similarity matrix and a diagonal matrix, The simplest

form of a diagonal matrix plays an important role in matrix theory, Therefore Matrix

diagonalization problem is very practical value.

Whether matrix diagonalization matrix is a very important property. To be similar to

the necessary and sufficient condition for understanding keratosis, has been one of

linear algebra learning difficulties. At present more comprehensive and in-depth study

of the matrix can be diagonalized conditions, matrix methods and the use of matrix