海岸动力学复习题

第一章 波浪理论

1.1 建立简单波浪理论时，一般作了哪些假设?

【答】：（1）流体是均质和不可压缩的，密度ρ为一常数；

（2）流体是无粘性的理想流体；

（3）自由水面的压力均匀且为常数；

（4）水流运动是无旋的；

（5）海底水平且不透水；

（6）作用于流体上的质量力仅为重力，表面张力和柯氏力可忽略不计；

（7）波浪属于平面运动，即在xz水平面内运动。

1.2 试写出波浪运动基本方程和定解条件，并说明其意义。

【答】：波浪运动基本方程是Laplace方程：02222zx或写作：02。该方程属二元二阶偏微分方程，它有无穷多解。为了求得定解，需有包括初始条件和边界条件的定解条件：

初始条件：因波浪的自由波动是一种有规则的周期性运动，初始条件可不考虑。

边界条件：

（1）在海底表面，水质点垂直速度应为0，即0hzw

或写为在z=-h处， 0z

（2）在波面z=η处，应满足两个边界条件，一是动力边界条件、二是运动边界条件

A、动力边界条件 02122gzxtzz

由于含有对流惯性项2221zx，所以该边界条件是非线性的。

B、运动边界条件，在z=η处 0zxxt。该边界条件也是非线性的。

（3）波场上下两端面边界条件 ),(),,(zctxtzx

其中c为波速，x-ct表示波浪沿x正向推进。

1.3 试写出微幅波理论的基本方程和定解条件，并说明其意义及求解方法。

【答】：微幅波理论的基本方程为：02

定解条件：z=-h处， 0z

z=0处， 022zgt z=0处，tg1

),(),,(zctxtzx

求解方法：分离变量法

1.4 线性波的势函数为tkxkhzhkgHsincoshcosh2，

证明上式也可写成tkxkhzhkHcsinsinhcosh2

【证明】： 由弥散方程：khgktanh2以及波动角频率和k波数定义: T2, Lk2

可得：khLgTtanh22， 即 khkhLTgcoshsinh

由波速c的定义：TLc 故：ckhgkhsinhcosh

将上式代入波势函数： tkxkhzhkgHsincoshcosh2

得： tkxkhzhkHcsinsinhcosh2 即证。

1.5 由线性波势函数证明水质点的轨迹速度tkxkhzhkTHucossinhcosh,

tkxkhzhkTHwsinsinhsinh

并绘出相位tkx=0~2π时的自由表面处的质点轨迹速度变化曲线以及

相位=0, 2,32和2π时质点的轨迹速度沿水深的分布.

解：(1)证明: 已知势函数方程tkxkhzhkHcsinsinhcosh2

则tkxkhzhkHckxucossinhcosh2 其中: TLc,Lk2

tkxkhzhkTHucossinhcosh. 同理: tkxkhzhkHckzwsinsinhsinh2

tkxkhzhkTHsinsinhsinh

(2) 自由表面时z=0，则tkxkhTHucos)tanh(,tkxTHwsin

质点轨迹速度变化曲线见图.1kx-t

图.1

相位不同时速度由水深变化关系见下，其中水深z由-h到0。

当tkx=0时)](cosh[)sinh(hzkkhTHu,0w曲线见图.2

当tkx=时0u,)](sinh[)sinh(hzkkhTHw曲线见图.3

当tkx=时)](cosh[)sinh(hzkkhTHu,0w曲线见图.4

当tkx=3时0u,)](sinh[)sinh(hzkkhTHw曲线见图.5

当tkx=时)](cosh[)sinh(hzkkhTHu,0w同图.2

1.6 试根据弥散方程，编制一已知周期函数T和水深h计算波长，波速和波数的程序，并计算T=9s，h分别为25m和15m处的波长和波速。

解：该程序用c++语言编写如下：

)tanh(khTH

)sinh(khTH

-h 0 图.2 z u

TH

-h 0 图.3 z w -h 0

)sinh(khTH

)tanh(khTH

图.4 z

u -h 0

TH

图.5 z

w )tanh(khTH

kx-t u

TH

kx-t w

#include "iostream.h"

#include

const double pi=3.1415926,g=9.8;

void main( )

{ double x0,x,L,k,c,h;

int i,T;

cout<<"please input T and h\n"<<"T=";

cin>>T;

cout<<"h=";

cin>>h;

x0=1.0e-8;

x=(4*pi*pi*h)/(g*T*T*tanh(x0));

for(i=1;(fabs(x-x0)>1.0e-8);i++)

{ x0=x;

x=(4*pi*pi*h)/(g*T*T*tanh(x0));

}

L=2*pi*h/x;

k=2*pi/L;

c=L/T;

cout<<"L="<

}

运算可得 当T=9s,h=25m时,L=111.941m,c=12.4379m/s

当T=9s,h=15m时,L=95.5096m,c=10.6122m/s

1.7 证明只有水深无限深时，水质点运动轨迹才是圆。

【证明】：微幅波波浪水质点运动轨迹方程为：1)()(220220bzzaxx

式中))sinh()](cosh[2(0khhzkHa为水平长半轴，))sinh()](sinh[2(0khhzkHbb为垂直短半轴。

在深水的情况下，即h→无穷大，

有：)()()(00002121)](sinh[hzkhzkhzkeeehzk，

khkhkheeekh2121)sinh(， )()()(00002121)](cosh[hzkhzkhzkeeehzk

那么，水平长半轴000222)sinh()](cosh[2)(0kzkhkhkzkhhzkeHeeeHeeHkhhzkHa

垂直短半轴000222)sinh()](sinh[2)(0kzkhkhkzkhhzkeHeeeHeeHkhhzkHb

所以当水深无限深时，长半轴a与短半轴b相等，水质点运动轨迹是圆。问题得证。

1.8 证明线性波单位水柱体内的平均势能和平均动能为2161gh

【证明】： 单位水柱体内的平均势能dxdzgzLLElp001dxgLl0221

其中: tkxhcos2

 LEpdxtkxLgHl022cos1218

LgH82Ltkxkx02sin4121 =2161gh

单位水柱体内的平均动能dxdzwuLLElhk220021

其中: tkxkhzhkTHucossinhcosh

tkxkhzhkTHwsinsinhsinh

tkxzhktkxzhkkhTHwu2222222222sinsinhcoscoshsinh

tkxhzkkhTH222222cossinhsinh

dxdztkxhzkkhLTHLElhk00222222cossinhsin2

llhhdxdztkxdxdzhzkkhLTH0002022222)(cosh)]([sinhsin2 lhtkxtkxkhkhkzkLkhkzkLkhLTH002222)()sinh(212)22sinh(4)2(sin2

)2sinh(4sin22222khkLkhLTH

)cosh()sinh(224sin222222khkhLkhLTH

)tanh(21622khgTLgH

=2161gH

1.9 在水深为20m处,波高H=1m,周期T=5s,用线性波理论计算深度z=-2m,-5m,-10m处水质点轨迹直径.

【解法1】：由弥散方程：khgktanh2 T2, Lk2

利用题1.6可得L=38.8m k=0.162m-1

h/L=20/38.8=0.515>0.5 为深水波

故此时质点运动轨迹为一直径D为0kzHe的圆

不同0z值下的轨迹直径可见下表：

Z0 -2 -5 -10

D 0.723 0.445 0.198

【解法2】：将弥散方程khgktanh2 可写成0tanh2khgk

编制Excel计算表格如下，通过变化波长L的值，满足方程=0的L值即为所求波长。

周期T 频率=2PI/T 水深h 波长L 波数k=2PI/L kh tanh（kh） 方程=0？

5 1.2566372 20 10 0.6283 12.5664 1.0000 -4.5847

20 0.3142 6.2832 1.0000 -1.5027

25 0.2513 5.0265 0.9999 -0.8862

30 0.2094 4.1888 0.9995 -0.4745

35 0.1795 3.5904 0.9985 -0.1793

38 0.1653 3.3069 0.9973 -0.0386