射影定理课件

关于射影定理 第 1 页 共 3 页 ABCDabcpqh关于射影定理

【知识要点】

射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB

则，1．CD2＝AD·BD

2．BC2＝BD·AB

AC2＝AD·AB

很容易推出：ADBDACBC22．

AC·BC＝AB·CD．

BC2＋AC2＝AB2．

222111CDACBC．

AC＋BC＜AB＋CD．

用图中小写字母a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系：

① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ qpba22 ；⑤ ab＝ch ；

⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ 222111hba；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q．

利用上述关系式， “知二可求四” ，即在a、b、c、p、q、h这六个量中，已知两个量就可求出其余四个量来。同学们自己可任意设出两个量，练习求另外四个量（在设的时候，要注意构成直角三角形的基本条件：斜边大于直角边．参考几何第二册P.262页11题）．

（由于现行教材中没有讲射影定理，所以在使用该定理时应注明：“由射影定理得”几个字）

【例题与练习】

1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，CD⊥AB，E为BC上任意一点，CF⊥AE于F．

求证：△ADF∽△AEB

2．在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，CD⊥AB，E为DC延长线上任意一点，BM⊥AE于M交CD于F．

求证：CD2＝DE·DF （定值问题）

3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，CD⊥AB，M为BC中点，延长DM交AC延长线于N．

面积射影定理

射影定理是我们初中时就接触了的几何定理，它是由古希腊数学家欧几里得提出的一个重要定理，在它的帮助下我们不仅可以证明勾股定理，还可以快捷地解决许多几何问题。在这里我想介绍一下同样由他提出的一个重要定理——面积射影定理。

定理的叙述如下：平面图形射影面积等于被射影图形的面积乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。（即原射SScos）。

相信大家对这个定理一定不会感到陌生，因为在学习立体几何时我们就曾用它来求二面角的余弦值。但是定理的相关证明并没给出，所以在这里提供一种方法（可能不是很靠谱-_-）。

本着由特殊到一般的理念，我们就先从三角形开始吧。（如图）从图中我们可以看到两个三角形所在平面成角，而为了方便，不妨将它们平移至θ

特殊位置。（如图）于是易知cosDECEABDSABCS。而对于无法平移至一边重合的三角形，我们可以采用延长一边的办法补全两个三角形，再结合相似知识，同样可以得证，（如图）

接下来我们开始讨论一般图形了，一般图形所具有的特点是没有明显的高和宽，这就迫使我们不得不转变思路。所以，我们可以尝试将图形分割，并且可以想象，当图形被等分成无限多块时，如果每一小块都符合定理，那么整个图形也就同样符合了。因此，我们以一个不规则图形为例进行说D

B θ

A C

E

明。（如图）

在图示的心形图形中，我们将图形用正方形网格进行分割，当网格数趋于无穷大时，图形将被分割为无限多块面积相等的小正方形（就如同构成影像的像素），所以证明一般图形就转为证明正方形了。在证明正方形时我们则可以将正方形分成两个三角形，再结合上开头的结论，这样，证明就完成了。

关于面积射影定理的应用，当属大家所熟知的求二面角余弦值了。但是在其他地方它也可以大显身手，比如求椭圆的面积。

我们知道椭圆是圆柱体被一斜平面所截时产生的图形，

（如图）所以由图可知椭圆面与圆柱底面成角，由面积射影定理得cos圆椭圆SS，即cos2rS椭圆。又因为rbra22,cos22,所以ababrScoscoscos2椭圆

1 射影定理◆总复习 认真解答,一定要细心哟!

定义：射影定理的内容是在直角三角形中，每条直角边是这条直角边在斜边的射影和斜边的比例中项，斜边上的高线是两条直角边在斜边射影的比例中项

例如：公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下

(1)(AD)^2;=BD·DC,

(2)(AB)^2;=BD·BC ,

(3)(AC)^2;=CD·BC 。

例题1：

1、ABC中，90A，ADBC于点D，AD=6，BD=12，则CD=，AC= ，22:ABAC= 。

2、如图1-1，在RtABC中，CD是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（ ）线段的长，就可以求其他线段的长

3、如图2-1，在RtABC中，90ACB，CDAB，AC=6，AD=3.6，则BC= ．

3、已知CD是ABC的高，,DECADFCB，如图3-1，求证：CEFCBA∽

变式训练：

图1—4—3，已知：BD、CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G、H，交CE于F，且∠H=∠BCF。求证：GD2=GF·GH。

2 射影定理◆总复习 认真解答,一定要细心哟!

中考链接：

如图3-2，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中点，DEAM，E是垂足，求证：2224abDEab

创新训练：

如图1-2，在矩形ABCD中，1,3DEACADECDE，则EDB

切割线定理与射影定理

射影定理： 如图，ABC为直角三角形，AD为斜边BC上的高，那么有下面的性质成立：AD²=BD×DC，AB²=BD×BC，AC²=CD×BC

这个性质的证明很简单，可以用相似三角形的原理来证明，在这里就忽略，感兴趣的朋友可以自己搜索搜索。

切割线定理： PT是切线，另外两条是割线，则有：PT²=PB×PA=PD×PC。证明过程网上也是一搜一大堆。

这两个定理的结论是否看起来形式上有点相似？是的，其实他们根本就是说的一个东西……这两个定理其实就是一个结论，如果学生可以将这两个定理归结于一个，那么怎么说，都是大有好处的，理由如下：

如下图所示，以AB的中心，AB的一半为半径做圆，因为AD⊥BD，那么D点必在 又由于AC⊥AB，故可以知道。CA其实就是该圆在A点的切线。CB是一条割线，那么根据切割线定理，AC²=CD×CB……！这不刚好就是射影定理吗？同理你也可以解释AB²=BD×BC。有点特色的就是第一条了。以此就可以看出来，射影定理其实就是去掉圆以后的切割线定理。要说的是根据AD²=BD×DC可以得出一个著名的不等式——均值不等式。