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无穷小量与无穷大量的比较

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1-3无穷小与无穷大

1-3无穷小与无穷大

1 1 = lim = x→ 0 x 2 + 3 3
19
例7 求 解
ln (1 + x ) lim x→ 0 x
ln(1 + x) ~ x
ln (1 + x ) x lim = lim =1 x→ 0 x→ 0 x x tan x − si n x lim x→ 0 ln(1 + x 3 )
sin x (1 − co s x ) = lim x→ 0 cos x x 3
x2 − 9 ( Q lim x − 3 = 6 ) x →3 当 x → 0 时, sin x 是关于 x 的 等价 无穷小
sin x = 1 Q lim x →0 x
16
3、无穷小的等价代换
β 定理 设在自变量的同一变化过程中α ~ α ′， ~ β ′，
且
β′ lim α′
x →∞
x+4 2.lim x→1 x − 1
3x 2 − 4 3.(1) lim 3x − 2 ( 2 ) lim 2 x →∞ 4 x − x + 3
( 3) lim ( x 2 − 3x + 2 ) x →∞
12 1 4. lim − 3 x→−2 x + 2 x +8
α = o(β ) ; α →c≠0 c （2）若β ，
为同阶无穷小; 为常数, 为常数,则称 α与β 为同阶无穷小;
β
（ 3 ）若
α → 1,则称α与β 为等价无穷小,记作α 等价无穷小 无穷小, β
．
15
例如: 例如: 当 x → 0时, 3x 2 是比 x 高阶 的无穷小
3x 2 Q lim =0, ∴ 3x 2 = o( x)( x → 0) ) ( x →0 x 当x → 3 时, x 2 − 9 与x − 3 是 同阶无穷小

无穷小量与无穷大量

无穷小量与无穷大量
x→2 →2
2
lim ( x + 3 x)
2
0 正解：∵ lim 正解 = = =0 ， x→2 x 2 + 3 x lim ( x 2 + 3 x) 10
x →2 x →2
x−2
lim ( x − 2)
x + 3x ∴ lim =∞ 。 x→2 x − 2
2
例.求下列极限
3x − 4 x + 2 ∞ （1） lim ( 型 ) 3 x→∞ 7 x + 5 x − 3 ∞ 3 4 2 − + 2 x x 2 x3 3x − 4 x + 2 解：※ 若 a0 ⋅b0 ≠ 0 ， m, n∈N + ，则 = 0 ； lim = lim 5 3 x→∞ 7 x 3 + 5 x − 3 x→∞ 7+ − 2 3 x ax 0 3 b , 当 m = n, 7 x + 5 x n−1 ∞ −3 （2） lim x n + a x +L型 0 ( + a) a0 2 1 x→ lim ∞ 3x − 4 xm−1 ∞ n = ∞, 当 m < n, +2 m x →∞ b x + b x +L+ bm 0 1 0, 当 m > n. 3 7 x +5x −3 解： lim =∞ 。 2 x→∞ 3 x − 4 x + 2
无穷小量和无穷大量
1.无穷小量 1.无穷小量
定义 1
若 lim X = 0 ，则称 X 为该极限过程中的
无穷小量，简称无穷小。
例如：当 x → 0 时， sin x 和 tan x 是无穷小量；
当 x → xo 时， x− xo 是无穷小量；

无穷大量与无穷小量

无穷大量与无穷小量
故当 x → +∞ 时 f ( x ) 和 g ( x ) 不能比较 不能比较.
例1 证明 : 当x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
4 x tan 3 x tan x 3 解 lim ) = 4, = 4 lim( 4 x→0 x→0 x x
故当 x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
性质2 有限个无穷小量之积仍为无穷小量. 性质 ： 有限个无穷小量之积仍为无穷小量 注:无穷多个无穷小量之积不一定是无穷小量. 无穷多个无穷小量之积不一定是无穷小量.
性质3： 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量. 性质 ： 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量 证 设函数 u( x )在0 < x − x 0 < δ 1内有界， 内有界，
2 2
, .
趋
零的 快
度
定义: 定义:
设α , β 是同一过程中的两个无 穷小, 且β ≠ 0.
α (1) 如果 lim = 0, 就说α是比β 高阶的无穷小, β 记作 α = o( β );
(2) 如果 lim
记作α 记作α=O(β)或 β=O(α) β)或 α α 特别地： 如果 lim = 1, 称α与β是等价的无穷小; β 记作 α ~ β ; α 此外， 如果 lim k = A ( A ≠ 0, k > 0), 称α是β的k阶无穷小. β α (3) 如果 lim = ∞, 称α是比β低阶的无穷小. β
π 无界， y( xn ) = 2nπ + , 当n充分大时, y( xn ) > M . 无界， 2 1 ′ ( 2) 取 x n = ( n = 0,1,2,3,L) 2 nπ
当n充分大时 , x ′ 可以任意小 , n

无穷小无穷大

无穷小无穷大

即lim 2 arctan x 0
x ?
即lim arctan x
x ?

2
1 只有当x ,即 lim x 2 arctan x
作

业
习题二 (P73) 5. 6.（3）（4） 7.（3）（4）
一.无穷小量
极限为 0 的变量称为无穷小量，简称无穷小。 性质1： 性质2： 性质3： 推论：
推论2：常数因子可以提到极限号外，即：lim cy = c lim y （ c 为常数）。 推论3：如果 n 为正整数，且limy存在,则： lim y n (limy)n 如果 n 为正整数，且limy存在,则： lim y (limy )
1 n 1 n
f(x) 法则3：若 lim f(x) = A， limg(x) = B 0，则 lim 存在， g(x) f(x) lim f (x) A 且 lim g(x) lim g( x ) B
x x0 x x0
a0 x n a1 x n1 ... an f ( x0 ) 0 0
3 x 1 (注：对于有理分式函数，首先 例2：求 lim 2 x2 x 6 要验证分母极限是否为零。)
解： 因为 lim( x 2 6) (lim x )2 lim 6 22 6 10 0
大。因此，无穷大可有如下定义： 若 正数 M（无论多么大），变量 y 在某变化 过程中，总有那么一个时刻，在那时刻之后，恒有 | y |>M 成立，则称变量 y 在该变化过程中为无穷大。
练习:
1 当x ?时, 是无穷小量. ln(3 x )
1 解:若 是无穷小, 则 ln(3 x )应该为无穷大. ln(3 x )

高教社2024高等数学第五版教学课件-1.4 无穷小与无穷大

高教社2024高等数学第五版教学课件-1.4 无穷小与无穷大
是无穷小.
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以 是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1

→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1

⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以 是

→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′

′

微积分——无穷大量与无穷小量讲解.ppt

微积分——无穷大量与无穷小量讲解.ppt

x 因为lim lim x 0, 当x 0时，x 2比x较高阶的 x 0 x x 0 无穷小量，可以记做 x 2 o( x )
反之，当 x 0时，x是比x 2较低阶的无穷小量。
x 1 1 lim lim , 当x 0时，x与2 x是同阶的 x 0 2 x x 0 2 2 无穷小量。
练习题答案
一、1、0； 3、 ； 二、0 x
1 . 4 10 2
2、 lim f ( x ) C ；
x x
1 4、 . f ( x)
（二）无穷小量
定义2.9: 以0为极限的变量，称为无穷小量.
亦即，对于任意给定的 正数，如果在变量y的 变化过程中，总有那么 一个时刻，在那个时刻 以后，不等式 | y | 无穷小量。 例如
1 1 lim n 0, 当n 时，变量yn n 是无穷小量. n 2 2
| y | M 又因为 是无穷小量，所以，对于任意的 0，总有
那么一个时刻，在那个时刻以后，恒有
| |

M
于是，在上述两个时刻 中较晚的时刻以后，恒 有
| y || || y | M

M

成立，故 y 是无穷小量。
推论
常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量
1 例4 求 lim x sin x 0 x 1 1 解 因为lim x＝0. 而 | sin | 1，即sin 是有界变量。 x 0 x x 1 故 lim x sin ＝0 x 0 x
0
显然，x2比x与2x趋于0的速度快得多。 快慢是相对的，是相互比较而言。因此有
定义2.10 设，是同一过程中的两个无穷小量，
如果 lim 0, 则称是比较高阶的无穷小量， 记做 o( ) 如果 lim c 0 c为常量） （ , 则称是比是同阶的 无穷小量。特别当 c 1时，称与是等价的 无穷小量，记做 ～。 如果 lim , 则称是比较低阶的无穷小量。

无穷小量与无穷大量

无穷小量与无穷大量

x → 0 时， x ∼ sin x ∼ tan x ，1− cos x = 2(sin x )2 ∼ 2( x )2 = 1 x2 。
2
22
我们指出 lim arcsin x = 0 。事实上，对任意 0 < ε ≤ π ，只要 0 < x < sin ε ，就
x→0
2
有 0 < arcsin x < arcsin(sin ε ) = ε ，因此， lim arcsin x = 0 。由于 arcsin x 为奇函数， x→0+
x→
5
lim[ f (x)g(x)] = ∞ 。
x→
⑤ lim f (x) = ∞ ， lim g(x) = a ( a ≠ 0 ，但可以 a = ∞ )，则 lim[ f (x)g(x)] = ∞ 。
x→
x→
x→
【备注 4.5】
(i) ①的结论要注意无穷大量的方向。
(ii)②的结论显然。我们可以形象地理解为给大海增添一滴水或减少一滴水，对
x − x0
< δ1 时，
f (x)
>
M K
，
存在 δ2 > 0 ，当 0 < x − x0 < δ2 时， g(x) > K 。取 δ = min(δ1, δ2 ) ，则当
0<
x − x0
< δ 时，
f (x)g(x)
>
M K
K
= M 。因此， lim [ f (x)g(x)] = ∞ 。 x → x0
x
x→0
β ，α (x) 与 β (x) 无法比较。
④ 无穷小量的等价关系是一种等价关系。也就是说：设

无穷小量与无穷大量

无穷小量与无穷大量

当
x
0
x 时，ln
x
是负无穷大，记作
lim
ln x 。
x ，1 就不是无穷大，而是无穷小x了0。 x
②无穷大是指绝对值可以无限变大的变量，绝不
能与任何一个绝对值很大的常数如101000 ，
10001000 等混为一谈。
问：两个无穷大量的和是否是无穷大量？
答：不一定。
例如： f (x) 2x 1 ， g(x) 2x ，
2x
lim f (x) ， lim g(x) ，它们都是无穷大量，
x
x
但 lim [ f (x) g(x)] lim 1 0 是无穷小量。
x
x 2x
又如： f (x) 2x cosx ， g(x) 2x ，
lim f (x) ， lim g(x) ，它们都是无穷大量，
x
x
但 lim [ f (x) g(x)] lim cosx 不存在。
例．求下列极限
（1） lim xsin 1 ； （2） lim arctanx 。
x0 x
x x
错！
错！
（1）错正解： li∵m lximsinx10 l，im而x sliimn 1sin11， 0 ； x0x0 x x0 x0x x ∴ lim xsin 1 0 。 x0 x
（2） 解： ∵ lim 1 0 ，而arctan x ，
无穷小量和无穷大量
1.无穷小量 定义 1 若lim X 0 ，则称 X 为该极限过程中的
无穷小量，简称无穷小。
例如：当x0 时，sin x 和tanx 是无穷小量； 当 x x时，xx 是无穷小量；
当x 时， ax (a 1) 是无穷小量；
当 x 时， 1 是无穷小量。 x2

无穷小量与无穷大量

无穷小量与无穷大量

无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是微积分中重要的概念之一。

它们在极限理论的研究中起着重要的作用，能够描述数列、函数等的趋势和极限。

本文将从无穷小量和无穷大量的定义、性质以及在微积分中的应用等方面进行介绍和探讨。

一、无穷小量的定义和性质无穷小量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于零的量。

通常用符号"ε"或者"δ"表示。

具体而言，如果对于任意给定的正数ε，存在另一个正数δ，使得当自变量趋于某个值x时，函数值满足0<|f(x)|<ε，那么函数f(x)就是无穷小量。

无穷小量具有以下的性质：1. 无穷小量的高阶无穷小量比低阶无穷小量高阶，也就是说，当x趋于某个值时，x的幂次越高的无穷小量趋于零的速度越快。

2. 无穷小量可以进行四则运算，即两个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量。

3. 无穷小量与有界函数的乘积还是无穷小量。

4. 无穷小量与无穷小量的乘积还是无穷小量。

这些性质使得无穷小量在微积分的运算中具有重要的意义，可以方便地进行极限的计算和推导。

二、无穷大量的定义和性质无穷大量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于无穷的量。

通常用符号"∞"表示。

具体而言，如果对于任意给定的正数M，存在另一个正数δ，使得当自变量趋于某个值x时，函数值满足f(x)>M，那么函数f(x)就是无穷大量。

无穷大量具有以下的性质：1. 无穷大量的相反数是无穷小量。

2. 无穷大量与有界函数的乘积可以是无穷大量或者无穷小量，具体取决于有界函数的性质。

3. 无穷大量与无穷大量的四则运算结果不确定，可能是无穷大量、无穷小量或者有限量，具体取决于无穷大量的相对大小关系。

无穷大量在极限的计算和研究中起着重要的作用，可以帮助我们判断函数的趋势和性质，解决一些特殊的极限问题。

三、无穷小量与极限的关系无穷小量是极限的重要概念，它与极限之间存在着密切的关系。

当我们讨论函数在某一点的极限时，实际上就是在讨论自变量趋于某一点时，函数值的趋势。

2.4 无穷大量与无穷小量

2.4 无穷大量与无穷小量
证明
时的有界量， 由于 g ( x ) 是 x → X 时的有界量，
0 ≤ f ( x ) g( x ) ≤ M f ( x ) (x → X )
则存在常数 M > 0, 使得 g ( x ) ≤ M ( x → X )
从而
由于 f ( x ) = o(1) ( x → X )， 从而 lim M f ( x ) = M lim f ( x ) = 0,
记为α ~ β ( x → X )
(二) Def2.７: 二 ７
α和β为数列时同样定义. → 变化趋势下的两个无穷大量， 设 α 和 β 均是 x→ X 变化趋势下的两个无穷大量， α 且lim = A， x→X β 的低阶的无穷大量. (1)如果 = 0 则称 α 是 β 的低阶的无穷大量 A ， 的高阶的无穷大量. 或称 β 是 α 的高阶的无穷大量 记为 = o(β )(x → X) α 是同阶的无穷大量. (2)如果 ≠ 0 则称 α 与 β 是同阶的无穷大量 A ，
x →0
lim x = 0 +
lim ln x = 0
x →1
x = o ( 1 ) ( x → 0+ );
ln x = o ( 1 ) ( x → 1 );
e x = o ( 1 ) ( x → ∞ );
x → ∞
lim e x = 0
定义2.5 若 lim f ( x ) = ∞ , 则称 f ( x )是 x → X 时无穷大量 . 定义 x→ X
1 2 1 cos x ~ x , 2
x ~ ln(1 + x) ~ e 1,
x
当 x → 1 时,
ln x ~ x 1.
a x 1 ~ x ln a (a > 0, a ≠ 1) (1 + x )a 1 ~ ax (a ≠ 0 是常数 )

2[1].4__无穷大量与无穷小量

2[1].4__无穷大量与无穷小量

g( x ) ( f ( x )) lim lim 1 1 x X f ( x ) x X f ( x)
由函数极限的局部保号性有
g( x ) 1 f ( x) 2
x X x X
(x X )
当 lim f ( x ) 时, lim f ( x ) ，
x X
lim g ( x )u( x ) A ,
v( x ) lim B x X g( x )
则
x X
lim f ( x )u( x ) A,
v( x ) lim B. x X f ( x )
证明
由 f ( x ) ~ g( x ) ( x X ) 可得
f ( x ) lim f ( x )u( x ) lim g( x )u( x ) x X x X g( x )
x X
无穷大量.
关于无穷小量与无穷大量注意以下几个问题：
(1) lim f ( x ) 只是一个记号，其含义 是极限
x X x X
lim f ( x ) 不存在且 x X 时，f ( x ) 趋于无穷大；
x x0
( 2) lim f ( x ) 的充要条件是 lim f ( x ) ,
2 2
例3、 x 0时f ( x ) ~ x , 证：f ( x ) x是x的高阶无穷小量。 设
f ( x) 证 :由题义可知： 0 lim 1 x x
由无穷小与函数极限的关系 可知:
f ( x) f ( x) x f ( x) 1 1 x x x
其中为x 0时的无穷小量
f ( x) lim lim g( x )u( x ) A, x X g( x ) x X v( x ) g( x ) v ( x ) lim lim x X f ( x ) x X f ( x ) g ( x ) g( x ) v( x ) lim lim B. x X f ( x ) x X g( x )

第4讲无穷大量与无穷小量

第4讲无穷大量与无穷小量

2
故 | a | | f (x) | | a | 2
1 2 f (x) | a |
x U(x0,0 ) ,
即 x x0
时,
1 f (x)
有界 .
故 lim (x) 0 .
xx0 f (x)
有界量与无穷小量之积
注意：
(i) 一般说来,有界量的倒数不一定有界. 例如, f (x) = x, x(0, 1).
n .
例4
在某极限过程中,
无穷大量是否一定是无界量 ?
无界量是否一定是无穷大量 ?
例如, {xn}: 0, 2, 0, 4, , 0, 2n, 0,
,
xn
n
(1)n n 2
.
不论 N 取多么大, 当n N 时, 总有等于 0 的项使
| xn | M 不成立, 故当 n 时, {xn} 不是无穷大量. 但该数列是无界的.
n
xn
.
定义2 M 0, 若 0, 当0 | x x0 | 时, 有
| f (x) | M
成立, 则称 f (x) 为 x x0 时的无穷大量, 记为
lim f (x) 或
xx0
f (x) (x x0) .
无穷大量描述的是变量的变化趋势, 不是指一个很大的数.
类似地可以定义
不着不急一, 定看再个是例无题穷: 大量.
当
x
( 不妨设
| x | 1) 时, |
g(x) |
1 x2
1,
f1(x) x (x ) , f2(x) x3 (x ) ,
而
f1(x)
g(x)
x
1 x2
1 x
0
(x ) .
f2(x)

无穷小量与无穷大量

无穷小量与无穷大量
1 + 2x 当 0 < x < δ 时, 就有 > M. x 1 + 2x ∴ lim = ∞. x →1 x
定理 4(无穷大量的性质) 在自变量的某一变化过程中， （1）两个正(负)无穷大的和仍是正(负)无穷大； （2）无穷大与有界量的和是无穷大； （3）极限不为零的量与无穷大的乘积是无穷大； （4）用不为零的有界量除无穷大所得的商仍是无穷大．
例如 0,2,0,4, 1 + ( −1)n , n, 2
1∞. x →1 x − 1
y=
证 ∀ M > 0， 要使
1 > M, x −1
1 x −1
1 1 , 即 x −1 < , 取δ = M M
1 1 当0 < x − 1 < δ = 时, 就有 > M. M x −1
tan x − sin x 例2 求 lim . 3 x →0 sin 2 x
错 解 当x → 0时, tan x ~ x , sin x ~ x .
x− x 原式 × lim = x →0 3 = 0. (2 x )
解
当x → 0时, sin 2 x ~ 2 x ,
1 3 tan x − sin x = tan x (1 − cos x ) ~ x , 2 1 3 x 1 2 原式 = lim . 3 = x → 0 (2 x ) 16
当 x → 0时,x , x 2 , sin x , 1 − cos x 均是无穷小量.
当 x → 0＋ 时, x 是无穷小量 .
1 当x → ∞时， 是无穷小量. x
2. 无穷小量的性质 定理1 在自变量的同一变化过程中, （1）有限个无穷小的代数和仍然是无穷小. （2）有限个无穷小的乘积仍然是无穷小. （3）无穷小与有界量(函数)的乘积是无穷小. 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 1 例如, n → ∞时, 是无穷小， n 1 但n个 之和为1不是无穷小. n 推论1 在自变量的同一变化过程中,有极限的变量 与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.

第四节 无穷大量与无穷小量

第四节 无穷大量与无穷小量

二、无穷小量与无穷大量阶的比较
1、无穷小量阶的比较
x2 = 0 lim , lim 3x = ∞ , lim sin x = 1 . 观察 x →0 3x x→0 x 2 x →0 x
两个无穷小比值的极限的各种不同情况, 反映了不 同的无穷小趋于零的“快慢”程度. 在x→0的过程中, x2比3x趋于零的速度快些, 反过来 3x比x2趋于零的速度慢些, 而sin x与x趋于零的速度相仿.
当k充分大时 , y( x k ) > M . ( k ′ = 0,1,2,3,⋯)
π y ( x k ) = 2 kπ + , 2 1 ( 2) 取 x k ′ = 2k ′π
无界， 无界，
当 k ′ 充分大时 , x k ′ < δ ,
但 y( x k ′ ) = 2k ′π sin 2k ′π = 0 < M .
•定理2(等价无穷小替换定理)
β β′ β′ 设α~α ′, β~ β ′, 且 lim 存在, 则 lim = lim . α α′ α′ β β β ′ α′ 证明 lim =lim ⋅ ⋅ α β ′ α′ α β β′ α′ β′ = lim ⋅ lim ⋅ lim =lim . β′ α′ α α′
不是无穷大． 不是无穷大．
一、 无穷小量与无穷大量
例2: 试从函数图形判断下列极限.
(1)
lim tanx,
x→
π
2
x→
lim+ tanx,
π
2
x→
lim− tanx,
π
2
(2)
(3)
x → +∞
lim e x ,
x → −∞
lim e x ,

无穷小量与无穷大量

无穷小量与无穷大量
lim f (x) A f (x) A ．
证明略．
1.1 无穷小量
3．无穷小量的性质 性质 1 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量． 证明 以两个无穷小量的和为例．
设
lim (x)
xx0
0
，lim xx0
(x)
0
，由极限定义知：
0
，1
0
，当
0
|
x
x0
|
1
时， | (x)
|
2
；
0
，
2
0
1.1 无穷小量
例 2 求 lim x2 sin 1 ．
x0
x
解 因为 sin 1 1 ，当 x 0 时， x2 是无穷小量．根据无穷小量的性质 3，当 x
x 0 时， x2 sin 1 是无穷小量，即 x
lim x2 sin 1 0 ．
x0
x
1.2 无穷大量
1．无穷大量的概念 定义 2 在自变量的某个变化过程中，绝对值无限增大的函数称为无穷大量，简称无穷大， 记作 lim f (x) ．
x
2
cos x 是无穷小量．
1.1 无穷小量
例 1 下列变量在自变量怎样的变化过程中为无穷小量：
（1） 1 ； x 1
（2） 2x 4 ；
（3） 2x ；
（4）
1 4
x
．
解 （1）因为 lim 1 0 ，所以当 x 时， 1 为无穷小量．
x x 1
x 1
（2）因为 lim(2x 4) 0 ，所以当 x 2 时， 2x 4 为无穷小量． x2
例如，当 x 1时， 1 无限增大，所以当 x 1时， 1 是无穷大，即 lim 1 ．

高等数学 第五讲无穷大量,无穷小量

高等数学 第五讲无穷大量,无穷小量
1 ,e x2 是当x 时的无穷小量. x
注意 ① 无穷小量是以0为极限的变量；讲一个函 数是无穷小量，必须指出自变量的变化趋势；
② 无穷小量不一定是零，零作为函数来 讲是无 穷小量； ③ 任何非零常数，不论其绝对值如何小，都不
是无穷小量。因为非零常数的极限是其本身， 并不是零。
例1： lim 1 0, limsin x 0, lim cos x 0,
(1) lim tgx, lim tgx, lim tgx,
x
2
x 2
x 2
(2) lim ex , x
lim ex ,
x
解： (1)
lim tgx,
x
2
y
lim tgx,
x
2
lim tgx,
x
2
y = tgx
yx
x
0 x y 3
2
2
2
(2) lim ex , x
lim ex ,
x
y y xo x–
y ex
y x
x x+
从图上看出 lim ex , lim ex 0.
x
x
三、无穷大量的运算性质
1. ±，
都不一定是无穷大量，也不一
定是无穷小量.
但有 (+)+(+) = +, ()+()= .
± (有界量) = ， ± 常量 = ,
2. 0, (有界量)不一定是无穷大量. 但有 =, C = (C为非0常量).
(1) 如果lim 0,就说是比高阶的无穷小,
记作 o();
(2) 如果 lim C(C 0), 就说与是同阶的无穷小;
特殊地 如果lim 1,则称与是等价的无穷小;
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§5 无穷小量与无穷大量的比较先看数列的情形．设,n n x y 是无穷小量，即：lim n →∞n x ＝0，lim n →∞ny ＝0．考虑n nn y x ∞→lim可能出现各种情形：0lim ≠=∞→c y x nn n ， n c x n =，n y ＝1n ； 0lim =∞→nn n y x ， n x ＝21n ，n y ＝1n ； ∞=∞→nn n y x lim ， n x n 1=，21n y n =n n n y x ∞→lim 不存在 nn n y x ∞→lim 是有界量，n x ＝(1)n n -，n y ＝1n ， n n n y x∞→lim 是无界量，但非无穷大，n x ＝[1(1)]n n +-，n y ＝21n， 这时n nx y ＝[1(1)]nn +- 可见，有些无穷小量可以比较，但有些不能。

定义3.10 设lim n →∞n x ＝0，lim n →∞n y ＝0．(1)若存在A >0，B >0及正整数N ，使得当n N >时，有 0<A ≤||||n n x y ≤B ， 则称n x 与n y 是同阶的无穷小量； (2)若limn →∞nnx y ＝1，则称n x 与n y 为等价的无穷小量，记为n x ～n y ；(3)若limn →∞nnx y ＝0，则称n x 为较n y 高阶的无穷小量，或称n y 是较n x 低阶的无穷小最．记为 n x ＝o(n y )． 自然地，符号)1(o x n =，就表示n x 为无穷小量。

n x 与n y 是同阶无穷小量⇔若存在A >0，B >0及正整数N ，使得当n N >时，有 0<A ≤||||n n x y ≤B ， ⇔则当n 充分大后，其绝对值互相被一常数倍限制着，即 ||n x ≤B ||n y ，||n y ≤1A||n x ， 它们趋向于0的速度可以用常数倍来度量n x 是比n y 高阶的无穷小量⇔n x ＝o(n y )⇔limn →∞nnx y ＝0 ⇔n nny x α=或n n n y x α=其中0lim =∞→n n α⇔0>∀ε，N ∃，当N n >时，n n y x ε<||这表明n x 趋于0的速度比n y 快得多。

n x 与n y 为等价无穷小量⇔n x ～n y ⇔limn →∞nnx y ＝1 ⇔n nny x α=-1，其中0lim =∞→n n α⇔n n n n y y x α+=⇔)(n n n n n y o y y x ==-α， 这表明：1、n 充分大时，n x 于n y 几乎相等。

2、两个等价无穷小量之差是比其自身更高阶的无穷小量还要引进一个记号：n x ＝()n O y ⇔ 如果n n x y 是有界的，即||n nxy ≤M )1(O x n = ⇔ 如果M x n ≤||几个常用结论： 1、若 limn →∞nnx y ＝0a ≠ ⇒ n x 与n y 是同阶的 ⇒ n x ＝()n O y 且)(n n x O y =因为由极限的性质知 limn →∞||||n nx y ＝||a >0则存在N ，当n N >时，有 2||||||||a a y x n n <- 或2||3||2||a y x a n n << 由 2||3||a y x n n < 得n x ＝()n O y由||2||2||a x y a n n <<得)(n n x O y = 2、n x ＝()n o y ⇒ n x ＝()n O y n x ＝()n o y ⇔limn →∞n n x y ＝0 ⇒ ||n nxy ≤M ⇒ n x ＝()n O y3、⇒=)1(o x n )1(O x n =例 1、 )1()1()1(nO n O n o =+ 只要证nn O no 1)1()1(+是有界量2、 )1()1()1(no n O n o =⋅ 只要证nn O no 1)1()1(⋅是无穷小量注意：上面的等式不可以反过来写！如果选定1n作为无穷小量的标准，若n x 满足limn →∞1nx n α＝a 0≠， 其中α是某个正常数，则称n x 是α阶无穷小量，这时 n x ＝anα＋n α )1(1o n n αα=是较1n α高阶的无穷小量，我们把anα称为n x 的主部。

例1n +－n ＝11n n ++是12阶的无穷小量，由于)(21111∞→→++n nn n 故其主部是12n .类似的概念也可转移到连续变量的函数极限．以x a →为例．设lim x a→()f x ＝0，lim x a→()g x ＝0，当x a →时()f x 与()g x 是同阶的无穷小量⇔若存在A >0，B >0以及0δ>, 当0||x a δ<-<时，有 A ≤()||()f xg x ≤B 当x a →时()f x 与()g x 是等价的无穷小量⇔lim x a →()()f xg x ＝1， ⇔()f x ～()g x （x a →）当x a →时()f x 是较()g x 高阶的无穷小量⇔ lim x a →()()f xg x ＝0 ⇔()f x ＝(o ()g x )（x a →）．若存在0δ>，使得()()f xg x 在0||x a δ<-<有界 ⇔()f x ＝(O ()g x ) (x a →)．例 判别下列等式是否正确)1(sin O x =（0→x ）， )1(sin o x =（0→x ）， )(sin x O x =（0→x ）， )(sin x o x =（0→x ） 解 0sin lim 0=→xx ⇔)1(sin o x =（0→x ），⇒)1(sin O x =（0→x ），1sin lim0=→x xx ⇒)(sin x O x =（0→x ）而 0sin lim 0≠→xx x ，故)(sin x o x =（0→x ）是不正确的。

二、几个常用的等价无穷小关系利用两个重要极限和函数的连续性，我们立即可以得到在自变量0→x 的趋向下，几个常用的等价无穷小关系x x ~sin （0→x ） 1sin lim0=→x xxx x ~tan （0→x ） =→x x x tan lim 01cos 1sin lim 0=→xx x xx x ~arcsin （0→x ） =→x x x arcsin lim01sin lim 0=→y yyx x ~arctan （0→x ） =→xx x arctan lim01tan lim 0=→y yy221~cos 1x x -（0→x ） =-→2021cos 1limx xx 1212sin 2lim 220=→xxxxx ~)1ln(+（0→x ）=+→xx x )1ln(lim 01ln )1ln(lim 10==+→e x x x x e x ~1-（0→x ）=-→xe x x 1lim 0=-→y y y ln 1lim11))1(1ln(1lim 1=-+-→y y y xx αα~1)1(-+（0→x ）=-+→xx x αα1)1(lim 01)1ln()1ln(1lim)1ln(0=++-+→x x x e x x αα 意义：1、用直线代替曲线，以简单代替复杂。

（在0=x 附近，可以用直线x y =代替曲线x y sin =）(在0=x 附近，可以用直线1-=x y 代替曲线x y ln =） 2、作无穷小等价代换，使许多复杂的极限都变得简单。

例1 =-+→114sin limx x x 8214lim=→x xx 注 1 在求极限过程中我们直接用x 4代换了x 4sin ，用x 21代换了11-+x ，是因为=-+→114sin lim 0x x x =-+→1121)214(44sin lim 0x xx x x x x x x x 214lim0→ 例2=-→3sin tan limx xx x xx x x x cos )cos 1(sin lim30-→21cos 1)cos 1(sin lim20=-=→x xx x x x问题1 下面的解法对吗？因为当0→x 时x x ~sin ，x x ~tan ，所以=-→3sin tan limx xx x 0lim3=-→x x x x问题2 ~tan x x sin (0→x )，两者都是x 的一阶无穷小。

但它们之差x x sin tan -却是x 的三阶无穷小。

是否两个x 的一阶等价无穷小之差总是x 的三阶无穷小？试考察例子： 3233)(x x x x f ++=， 3232)(x x x x g ++=， 当0→x 时)(x f 和)(x g 都是x 的一阶等价无穷小，但 =-→2)()(limxx g x f x 123lim2220=-→xx x x即 )()(x g x f -是x 的二阶无穷小。

问题3 两个同价无穷小之差是否一定是一个更高阶的无穷小。

试考察例子： 32335)(x x x x f ++=， 3232)(x x x x g ++= 当0→x 时)(x f 和)(x g 都是x 的一阶无穷小，但 24)()(x x x g x f +=-仍是x 的一阶无穷小。

若)(x f 和)(x g 是等价无穷小量，则)()(x g x f -是比其自身更高阶无穷小量。

事实上 0)()(lim 1)()()(lim00=-=-→→x f x g x f x g x f x x x x例5 求极限0lim x →22ln(12)tan x x+．解 因为 2ln(12)x +～22x (0)x →sin x ～x (0)x →， 所以 0lim x →22ln(12)tan x x+＝0lim x →222x x ＝2总起来说，无穷小量的比较是用它们趋向于0的速度快慢来衡量的．这个观念是分析中十分重要的观念，现在还不能很好体会．以后学多了，便会逐步加深理解．无穷小量的阶是无止尽的．换句话说，任一无穷小量都存在比它更高阶的无穷小量，也存在比它更低阶的无穷小量．下面的数列中，后者是比前者更高阶的无穷小量；而且，相邻的两个无穷小量之间还可插入无穷小量，使得后者是比前者更高阶的无穷小量． …{1ln ln n }，{1ln n }， {1n }， {1n e }， {1!n }，{1n n}，{1nn n}，…↑ ↑ ↑ }ln 1{2n {21n} {13n}根据无穷大量与无穷小量互为倒数的关系，当0x x →时，若()f x 是比()g x 更高阶的无穷小量， 则1()f x 是比1()g x 更高阶的无穷大量。