2019_2020学年高中数学第2讲参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线练习新人教A版选修4_4

2019-2020学年高中数学第2讲参数方程4 渐开线与摆线学案新人教A 版选修4-4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019-2020学年高中数学第2讲参数方程4 渐开线与摆线学案新人教A版选修4-4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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四渐开线与摆线学习目标:1。

借助教具或计算机软件,观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹（平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹（渐开线），了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．（重点)2.通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线）的生成过程;了解摆线在实际应用中的实例．（难点)教材整理1 渐开线及其参数方程阅读教材P40～P41“思考”及以上部分,完成下列问题．1．把线绕在圆周上,假设线的粗细可以忽略，拉着线头逐渐展开，保持线与圆相切，线头的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．2．设基圆的半径为r,圆的渐开线的参数方程是错误!(φ为参数）．教材整理2 摆线及其参数方程阅读教材P41~P42，完成下列问题．1．当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点运动的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．2．设圆的半径为r，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是错误!（φ是参数)．错误!（φ为参数)表示的是（）A．半径为5的圆的渐开线的参数方程B．半径为5的圆的摆线的参数方程C．直径为5的圆的渐开线的参数方程D．直径为5的圆的摆线的参数方程［解析］根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B正确．[答案]B圆的渐开线的参数方程【例1】A，B对应的参数分别是错误!和错误!，求A,B两点的距离．[思路探究]先写出圆的渐开线的参数方程,再把A，B对应的参数代入参数方程可得对应的A,B两点的坐标,然后使用两点之间的距离公式可得A,B之间的距离．［自主解答]根据条件可知圆的半径是1,所以对应的渐开线参数方程是错误!(φ为参数)，分别把φ＝错误!和φ＝错误!代入，可得A，B两点的坐标分别为A错误!，B错误!.那么,根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为｜AB｜＝错误!＝错误!错误!。

【2019最新】高中数学第二章参数方程2-4平摆线和渐开线课后训练练习1给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的平摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( )．A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④2平摆线=2sin =21cos x t t y t (-)⎧⎨(-)⎩，(0≤t ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )．A ．(π－2,2)B ．(3π＋2,2)C ．(π－2,2)或(3π＋2,2)D ．(π－3,5)3如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )．A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π4我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线()()sin ,1cos x r y r ϕϕϕ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为( )． A ．=sin ,=1cos x r y r ϕϕϕ(-)⎧⎨(-)⎩(φ为参数)B ．=1cos ,=sin x r y r ϕϕϕ(-)⎧⎨(-)⎩(φ为参数) C ．,1x rsin y r cos ϕϕ=⎧⎨=(-)⎩(φ为参数)D ．1cos ,sin x r y r ϕϕ=(-)⎧⎨=⎩(φ为参数)5半径为3的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标为__________．6已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数π2ϕ=，则点P的坐标为________．7已知平摆线的生成圆的直径为80 mm，写出平摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高．8已知圆的渐开线cos sin,sin cosx ry rϕϕϕϕϕϕ=(+)⎧⎨=(-)⎩(φ为参数，0≤φ＜2π)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积．参考答案1 答案：C 对于一个圆，只要半径确定，渐开线和平摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．2答案：C 由y ＝2得2＝2(1－cos t )，∴cos t ＝0.∵0≤t ≤2π，∴π=2t 或3π2. ∴x 1＝ππ2sin 22⎛⎫- ⎪⎝⎭＝π－2， x 2＝332πsin π22⎛⎫- ⎪⎝⎭＝3π＋2. ∴交点的直角坐标为(π－2,2)或(3π＋2,2)．3答案：C 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 4答案：B 关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换．所以要写出平摆线方程关于直线y ＝x 的对称曲线方程，只需把其中的x 与y 互换．5 答案：6k π(k ∈Z ) ∵r ＝3，∴平摆线的参数方程为=33sin =33cos x y ϕϕϕ-⎧⎨-⎩，(φ为参数)． 把y ＝0代入，得cos φ＝1.∴sin φ＝0，∴φ＝2k π(k ∈Z )．∴x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z )．6 答案：(π，2) 由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为=2cos sin =2sin cos x y ϕϕϕϕϕϕ(+)⎧⎨(-)⎩，(φ为参数)． 当π=2ϕ时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为(π，2)． 7答案：解：∵平摆线的生成圆的半径r ＝40 mm ，∴此平摆线的参数方程为=40sin =401cos x t t y t (-)⎧⎨(-)⎩，(t 为参数)，它一拱的拱宽为2πr ＝2π×40＝80π(mm)，拱高为2r ＝2×40＝80(mm)．8 答案：解：把已知点(3,0)代入参数方程得3=cos sin 0=sin cos r r ϕϕϕϕϕϕ(+)⎧⎨(-)⎩，，解得=0=3.r ϕ⎧⎨⎩，所以基圆的面积S ＝πr 2＝π×32＝9π.。

四 渐开线与摆线1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．2．摆线的概念及产生过程一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ＋φsin φ，y ＝r φ－φcos φ(φ为参数)．(2)摆线的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ－sin φ，y ＝r－cos φ(φ为参数)．关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系． 以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0，向量OM 0―→的方向为x 轴正方向，建立坐标系．设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM .按渐开线定义，弧AM 0的长和线段AM 的长相等，记OA ―→和x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM |＝AM 0＝4θ.作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得OA ―→＝(4cos θ，4sin θ)．由几何知识知∠MAB ＝θ，AM ―→＝(4θsin θ，－4θcos θ)， 得OM ―→＝OA ―→＋AM ―→＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．又OM ―→＝(x ，y )，因此有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝θ＋θsin θ，y ＝θ－θcos θ(θ是参数)．这就是所求圆的渐开线的参数方程．用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤 (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M (x ，y )． (2)取定点运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．(4)用向量运算得到OM ―→的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．1．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2t ＋t sin t ，y＝2t －t cos t(t 是参数)上与t ＝π4对应的点的直角坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，1－π4B.⎝⎛⎭⎪⎫1－π4，1＋π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－π4，1－π4D.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，－1－π4答案：A2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．解：取φ为参数，φ为基圆上点与原点的连线与x 轴正方向的夹角． ∵直径为10，∴半径r ＝5.代入圆的渐开线的参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ这就是所求的圆的渐开线的参数方程.利用向量知识和三角函数的有关知识求解．当圆滚过α角时，圆心为点B ，圆与x 轴的切点为A ，定点M 的位置如上图所示，∠ABM ＝α.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA 的长和圆弧AM 的长相等，它们的长都等于2α，从而B 点坐标为(2α，2)，向量OB ―→＝(2α，2)，向量MB ―→＝(2sin α，2cos α)， BM ―→＝(－2sin α，－2cos α)， 因此OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． 动点M 的坐标为(x ，y )，向量OM ―→＝(x ，y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α－sin α，y ＝－cos α这就是所求摆线的参数方程．(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹． (2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r 是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．3．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －sin t ，y ＝－cos t(t 是参数，0≤t ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是________．答案：(π－2,2)或(3π＋2,2)4．圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O .圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M 的轨迹方程．解：由题意设M (x M ，y M )，则x M ＝r ·φ－r cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π2＝r (φ－sin φ)，y M ＝r ＋r sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π2＝r (1－cos φ)．即点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ－sin φ，y ＝r －cos φ(φ为参数)．课时跟踪检测(十三)一、选择题1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12π D ．14π解析：选C 根据条件可知，圆的摆线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入，得φ＝2k π(k ∈Z)，此时x ＝6k π(k ∈Z)． 2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点． 其中正确的说法有( )A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④解析：选C 对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．3．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1 B. 2 C.10 D.3π2－1 解析：选 C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，3，∴|AB |＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋－2＝10.4.如图ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH 的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解析：选C 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.二、填空题5．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ，y ＝r －cos φ(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________．解析：关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于y ＝x 对称的曲线方程，只需把其中的x ，y 互换．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r－cos φ，y ＝r φ－sin φ(φ为参数)6．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是__________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________．解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为 2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8. 答案：2 ⎝⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π87．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为______________ .解析：圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ－sin φ，y ＝r －cos φ(φ为参数)，令r (1－cos φ)＝0，得φ＝2k π(k ∈Z)，代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)(k ∈Z)，又∵过(1,0)，∴r (2k π－sin 2k π)＝1(k ∈Z)，∴r ＝12k π(k ∈Z)． 又∵r ＞0，∴k ∈N *.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k πφ－sin φ，y＝12k π－cos φ(φ为参数，k ∈N *)三、解答题8．有一个半径是2a 的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M ，与轮子中心的距离是a ，求点M 的轨迹方程．解：设轮子中心为O ，则OM ＝a .点M 的轨迹即是以O 为圆心，a 为半径的基圆的摆线． 由参数方程知点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a φ－sin φ，y ＝a－cos φ(φ为参数)．9．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．10．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．解：令y ＝0，可得a (1－cos φ)＝0，由于a ＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)． 代入x ＝a (φ－sin φ)，得x ＝a (2k π－sin 2k π)(k ∈Z)． 又因为x ＝2，所以a (2k π－sin 2k π)＝2(k ∈Z)， 即得a ＝1k π(k ∈Z)．又由实际可知a ＞0，所以a ＝1k π(k ∈N *)． 易知，当k ＝1时，a 取最大值为1π.代入即可得圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πφ－sin φ，y＝1π－cos φ(φ为参数)．圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πcos φ＋φsin φ，y ＝1πsin φ－φcos φ(φ为参数)．。

第1章信息化基础知识1.1 信息化基础知识信息化是当代社会生产力发展和人类文明进步的强大动力，国家信息能力是国家竞争力的重要组成部分。

20世纪90年代以来，信息技术不断创新，信息产业持续发展，信息网络广泛普及，信息化成为全球经济社会发展的显着特征，井逐步向一场全方位的社会变革演进。

进入21世纪，信息化对经济社会发展的影响更加深刻。

广泛应用、高度渗透的信息技术正孕育着新的重大突破。

信息资源日益成为重要生产要素、无形资产和社会财富，被认为是与土地、能源、材料同等重要的战略资源。

因特网开辟了无限广阔的信息空间，成为信息传播和知识扩散的崭新的重要载体，同时也加剧了各种思想文化的相互激荡。

电子政务在提高行政效率、改善政府效能、扩大民主参与等方面的作用日益显着。

信息安全的重要性与日俱增，成为各国面临的共同挑战。

信息化使现代战争形态发生重大变化，是世界新军事变革的核心内容。

全球数字鸿沟呈现扩大趋势，发展失衡现象日趋严重。

发达国家信息化发展目标更加清晰，正在出现向信息社会转型的趋向；越来越多的发展中国家主动迎接信息化发展带来的新机遇，力争跟上时代潮流。

全球信息化正在引发当今世界的深刻变革，重塑世界政治，经济、社会、文化和军事发展的新格局。

加快信息化发展，已经成为世界各国的共同选择。

信息化的迅猛发展震撼全球，日益成为国际竞争和各国经济社会发展的战略制高点。

1.1-1信息1．关于信息的基本概念各种文献中有许多对于信息的不同理解和表述，其中最值得注意的是以下几种。

控制论的创始人维纳( Norbert Wiener)认为：信息就是信息，既不是物质也不是能量。

这个论述第一次把信息与物质和能量相提并论。

信息论的奠基者香农（Claude E．Shannon）认为：信息就是能够用来消除不确定性的东西。

这个论述第一次阐明了信息的功能和用途。

比较流行的另一种说法认为：信息是事先不知道的报导。

还有，哲学界认为：信息是事物普遍联系的方式。