抽象代数讨论报告

GAOJIAO SHIYE高教视野3数学学习与研究2019.12高等代数视域下对抽象代数的学习经验探讨◎王璐阳（华中师范大学数学与统计学学院，湖北武汉430079）【摘要】高等代数作为数学专业的基础课程，为抽象代数的学习提供了支撑．由于抽象代数较难，所以可以尝试从高等代数中探寻对抽象代数的理解，本文尝试着从变换、等价、群、域、环、零因子以及环上的运算规律来阐释如何通过高等代数来学习抽象代数．【关键词】高等代数；抽象代数；教学在代数学科中，高等代数是数学专业课当中的一门较为基础的课程．学习抽象代数是建立在对高等数学的掌握基础上的．因此，抽象代数是数学专业的必修课，也是对高等数学中的数域、多项式等概念的高度概括和抽象．同时，高等数学也为抽象代数的学习提供了很多实用的模型．高等代数与抽象代数之间的关系较为紧密，在数学专业的学生中，很多学生难以理清它们之间的关系，他们认为高等数学较为简单，抽象数学较难．因此，在抽象数学的学习中可以尝试使用高等数学中的模型和知识来理解抽象数学中的概念．一、辨析两种“交换”概念在高等数学中，变换的概念一般可表述为：“一个集合A 到A 的映射称为A 的一个变换”．对这个概念则可以通过举例的形式让学生轻易掌握．但是，在教科书上没有相关的习题，学生可以从网络上寻找相关习题进行练习．还需要将“变换”的概念同“线性变换”进行区分，既能温故，又能促进新知识的学习．二、等价关系等价关系，属于集合上的概念，即集合A 与另外一个集合B 相等，它满足自反性、对称性以及传递性．这几种特性在教材中也给出了若干例子．在实际教学中，则需要先将“关系”的概念理解清楚，同时对“非等价关系”进行解释，这样就等于从另一个角度对“等价关系”进行了讲解．在学习这一概念之前，可以先复习高等代数中关于矩阵的“合同”和“相似”等相关概念．三、群、环和域概念在我们的教科书中，作者对群的定义进行了表述，分别给出了第一和第二定义，并且说明了这两个定义之间的关系，即一致性．学生在学习过程中可以先理解第一定义，然后理解普通加法，进一步研究为何普通乘法在非零集合中都符合第一定义的群概念．然后再导向第三定义．在第三定义中，可以反问自己：Mn （Ｒ）关于矩阵加法是群吗？通过自行翻查资料确定关于矩阵加法和乘法的相关性质以及定义，尝试去理解相关概念．然后，继续理解交换律可以在矩阵加法中运用．最后，将相关例子进行梳理，进行总结．通过群的例子，还可以进一步寻找已经学过的、类似地对环和域的概念进行理解．通过这种方法不仅可以使得学生重新对已学的知识进行复习，还能促进学生对新知识的掌握，使得学生感受到：群、环以及域的概念是对高等代数中的数域、多项式等的进一步概括以及抽象．通过这些方法使得学生明白抽象数学的非抽象性，有助于学生对该学科的学习．四、零因子零因子对于数学专业的学生来说是第一次出现在教材上，在高等数学中并没有相关的概念．教科书是先通过给出n 这一整数模型的剩余类环Zn ，当n 是合数的时候，则一定存在着两个非零元的元素相乘，其结果却是零元，并且进一步阐释了零因子的概念，区分了左零因子和右零因子两个因子，只有当一个数同时是左零因子和右零因子时，这个数就能称之为零因子了．这对学生来说仍然具有抽象性，那么可以尝试着对Mn （Ｒ）中两个非零的矩阵相乘的结果进行思考．如下例1：例1S =a b0[]0：a ，b ∈{}Ｒ关于矩阵加法和矩阵乘法是环．设A =010[]0，B =100[]∈S ，则AB =02ˑ2．通过这个例子阐释A 是环S 的左零因子，B 则为右零因子．还可以让学生通过例1来找出矩阵C ，并且使得BC =02ˑ2，这样也就说明了一个环内的右零因子不一定就是左零因子．五、环上的运算规律在环上则有两种运算方式：一种方式称为加法，另一种则称为乘法．这两种方式的运算则可以通过一定的分配律来进行联系．同时有些环内的运算规则较为复杂和烦琐，在学习过程中可以使用列表的方式将环内的运算规律以及Mn （Ｒ）上的矩阵运算规律加以比较，从而发现环内的运算规律和Mn （Ｒ）上的运算规律相符，正确理解环内运算规律．概言之，高等数学作为数学专业的基础课程，其知识点可以有效地对抽象代数进行支撑．事实上，抽象代数正是建立在高等数学等一些基础数学知识之上的，学生学习过程中可以充分采取熟悉的知识来理解和掌握新知识．【参考文献】［1］李浏兰，周立君，欧阳梦倩，罗李平．高等代数在抽象代数教学中的应用［J ］．湖南师范大学自然科学学报，2015（3）：91－94．［2］陶司兴．抽象代数课程教学方法研究与实践［J ］．赤峰学院学报（自然科学版），2016（4）：239－240．［3］赵婷．问题驱动教学模式在抽象代数教学中的应用［J ］．高师理科学刊，2016（8）：71－74．［4］王秀丽，陈尚弟．如何在教学中让学生觉得《抽象代数》不再“抽象”［J ］．大学数学，2011（2）：9－12．［5］杨涌，冯良贵，文军，刘春林．表示论在本科抽象代数教学中的应用［J ］．数学学习与研究，2016（3）：131－133．［6］李飞祥．抽象代数课程教学改革的研究与实践［J ］．安阳师范学院学报，2012（2）：105－107．。

漫谈抽象代数你若是没有认真看过代数,你就不能准确地估计数学到底有多么深刻;你若是没有认真看过代数,你也不能明白为什么抽象的理论也能为人类思维所把握——代数中最不可理解的就是,代数竟然是可以理解的。

代数的深刻来自数学思想,而不是运算——论运算,微分和积分都比它复杂得多,这就是物理大师Feynman选择矩阵而不是偏微分方程来给低年级本科生讲述量子力学的原因(参阅Feynman物理学讲义卷III,赵凯华的新概念量子物理也用的是这种讲法:因为矩阵和代数运算更接近高中数学,几乎每个读过物理奥赛书的同学都会用行列式求解电路的基尔霍夫方程组——奥赛总是尽量回避微积分,必要的时候就用“小量分析”代替,并且取名为“微元法”、“近似法”,但就是不说这是微积分)。

其实,运算的艰深算不得深刻,至多只能算繁琐(譬如电力系统和集成电路,分析和运算极其复杂,但用到的不过是普通物理和固体物理之类的低级知识,根本用不上相对论、量子力学、量子场论这类思想深刻的东西)。

它没有几何那么直观(因此许多人不喜欢它,嫌它太抽象),确实(对于物理学家来说),但换个角度来看,这反倒是它的优点:一方面,在它的世界里,你不必担心自己的空间想象能力(和你的同行相比,你的逻辑推理能力恰好可以弥补空间想象能力的不足);另一方面,就数学本身而言,人类总是不可避免要面对一些高维(甚至无限维)的客体,这时,不仅你想象不出来,其他人也想象不出来,这正是代数大显身手的地方。

有人说,抽象有什么好,我想象不出来。

其实你那是先给自己灌输了一个错误观念,即一个事物只有当它可以想象出来才是真实的,才能接受。

为什么非要想象出来呢?只要依循着逻辑一步步严密地推理就足够了,因而这种担心完全是不必要的。

所以,你可以把数学看得很神圣,但不要把它看得很神秘——望而生畏会阻碍你的进步。

代数的魅力就在于,深刻又易于思考,哪怕你对研究对象一无所知,也能依循着逻辑去思考——它那么简单,简单到只需要逻辑(除此之外再也不需要别的了)就能把握真理(你必须相信,纯理论可以主宰世界);但它的思想又那么深刻,深刻到所有几何都能统一用变换群来描述。

中国地质大学（武汉）近世代数学习报告课程名称：近世代数学号： *************：***学院：数理学院专业：数学与应用数学对近世代数的重要性的认识抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪。

抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。

由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。

抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。

抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。

被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一。

他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学。

他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。

伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。

他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。

伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。

最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。

本学期学习总结第一章基本概念1、集合的幂集：以集合A的一切子集为元素构成的集合，记为或2A。

（含n个元素的集合的子集有2n个，即幂集中的元素共有2n个）2、积（笛卡尔积）：A×B={（a，b）|aA，bB}叫A与B的积。

（A×B≠B×A）3、A到B的对应法则为A到B的映射①②③，x的象在B中。

数学中的群论与抽象代数数学中的群论与抽象代数是数学领域中重要而广泛研究的分支。

通过群论和抽象代数的概念和方法，我们可以研究各种代数结构，并深入理解数学的抽象本质。

本文将介绍群论和抽象代数的基本概念、应用领域以及相关的重要定理。

一、群论的基本概念群是数学中最基本的代数结构之一。

群由一个非空集合G和一个二元运算*组成，满足以下四个条件：封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性。

1.封闭性：对于任意的a、b∈G，a*b∈G。

2.结合律：对于任意的a、b、c∈G，(a*b)*c=a*(b*c)。

3.单位元存在性：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有a*e=e*a=a。

4.逆元存在性：对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a*b=b*a=e。

在群中，我们可以进行乘法运算，通过乘法运算可以定义群元素的多次运算，例如a^n = a*a*...*a (n个a)。

群论的研究主要关注于群的性质及其在代数、几何和物理等领域的应用。

二、抽象代数的基本概念抽象代数是研究代数结构及其性质的数学分支。

在群论的基础上，抽象代数发展了更为广泛的代数结构，如环、域和向量空间等。

1.环：环是一个包含两个二元运算（加法和乘法）的集合R，满足以下条件：R关于加法构成一个阿贝尔群，乘法满足封闭性、结合律和分配律。

2.域：域是一个包含两个二元运算（加法和乘法）的集合F，满足以下条件：F关于加法构成一个阿贝尔群，乘法满足封闭性、结合律、分配律和乘法逆元存在性。

3.向量空间：向量空间是一个包含两个二元运算（加法和数量乘法）的集合V，满足以下条件：V关于加法构成一个阿贝尔群，数量乘法满足封闭性、结合律、单位元存在性和分配律。

通过抽象代数的研究，我们可以将代数结构抽象为符合特定条件的集合和运算规则，从而更好地研究代数结构的普遍性质和规律。

三、群论与抽象代数的应用领域群论和抽象代数在数学领域的应用非常广泛，它们不仅是研究其他学科的基础，而且在密码学、代数几何、物理学等领域也有着重要的应用。

抽象代数教学的思考作者：张倩李慧珍来源：《教育》2016年第08期摘要：本文从抽象代数课程的特点出发，结合教学经验，探讨抽象代数的教学方法。

关键词：抽象代数教学方法抽象代数又名近世代数，是数学及其相关专业硕士研究生的一门基础理论课程。

它是研究各种代数系统的结构的一门学科，以群、环、域的理论为主要内容。

抽象代数中的等价、划分、同构等思想方法已经渗透到社会和自然科学的各个分支，其结果已应用到自然科学技术的诸多方面，它已经成为一些国家从事通讯、系统工程、计算机科学等领域从事开发的研究人员的基本工具。

抽象代数课程简介抽象代数在很多领域都有很好地应用，国内的很多大学把它列为本科生、研究生的选修课程，更是数学及其相关专业的必修课程。

通过学习抽象代数，使研究生掌握群、环和域等代数结构以及这些代数结构保持运算的基础理论和基本方法；了解抽象代数最新前沿问题；通过建立和研究抽象对象，培养抽象的逻辑思维能力、抽象的想象能力以及严谨的逻辑推理能力是十分必要的。

作为一门基础学科，抽象代数中包含了大量抽象的概念，和现实生活联系较少，因而是一门艰涩难懂的课程。

并且传统的抽象代数课程教学是单纯地追求概念的抽象性、逻辑的严密性、结论的明确性和体系的完整性，这样势必会使抽象代数课程的知识与现实脱节，导致一些学生感到抽象代数枯燥乏味、无用，从而直接影响了学生对抽象代数课程和后继课程的学习热情。

这就要求教师在授课时灵活选用教学方法，培养学生的理性思维和数学素养。

抽象代数的教学方法从具体到一般，结合实际背景讲解抽象的概念作为抽象代数中最基本的群、环、域、模四种代数体系，都是比较抽象的。

比如“群”，如果按照通常用的定义——例——性质——定理的模式来给学生讲述，他们会觉得不好掌握，只能死记概念。

其实，“群”有丰富的实际背景。

许多数学家说“对称即群”。

近年来，教师们改进了教学方法，讲“群的定义”时，按照“客观世界中的对称——对称变换群的定义——抽象群的定义”的顺序来讲解，效果很好。

《抽象代数》课程的一些体会邓少强（数学系）近几年，我担任了我院非数学专业课程《抽象代数》的主讲任务。

由于该课程是我院非数学专业课程总体改革的重要一环，院领导和各相关人员对本课程都非常重视。

通过几年的教学实践，我在教学方法、手段等方面都积累了一定的经验。

下面谈谈自己的体会，与大家分享。

首先，一门课程是否成功，准确的定位是关键之一。

课程开始之前，我们碰到的第一个问题就是，这门课程到底要讲到什么程度。

《抽象代数》本来是数学系传统课程之一，并不将数学专业与其他专业分开来上，后来由于其他专业计算机等课程的增加，才将这门重要的课程从非数学专业的教学计划中删去。

这样做的好处自然是可以开设更多更“现代”的课程。

但是时间一长，问题就接踵而至。

由于受到的数学训练不够，本院非数学专业的很多学生基础不够扎实，进一步学习的能力不强。

最明显的表现就是，连续几届考研，我院报考本校的很多学生的成绩还比不上一般的师范类大学的学生；而报考经济类专业的一些学生，其《高等数学》的成绩比不上经济类专业的学生。

正是由于这一原因，我院才下定决心，重新在非数学各专业中开设传统的数学课，如《实变函数》、《泛函分析》、《微分方程》等。

但是，恢复开课并不意味着可以将以前数学专业对应课程的教材、内容或者教学方法照搬。

因为这些专业的学生，无论基础、能力或者学习的兴趣等方面，毕竟与数学专业的学生大不相同。

因此，本课程必须力求适合这些学生的具体情况，既要达到加强学生的基础和训练学生的抽象思维能力的目的，又不能把目标定的太高，使学生望而生畏。

举一个最简单的例子来说，我国出版的抽象代数的教材就没有一本适合本课程。

传统教材大都求多、求全，习题力求设计得有难度和深度，讲法务必严格，有的甚至以其讲法抽象为荣。

当然，这样的教材对于数学专业的学生而言是有好处的，因为他们将来的工作要求他们必须具有十分坚实的学科基础和相当强的抽象思维能力。

但是，对于非数专的学生而言，使用的教材过于深奥，不但收不到预想的效果，反而会使学生因为惧怕而失去学习的兴趣。

【关键字】心得体会抽象代数心得体会篇一：抽象代数学习心得The Learning Experience Of Abstract Algebra 抽象代数学习心得When I contacted with abstract algebra firstly,I felt like such a course was very difficult for me, because the material is written in English, each one strange English word brought me a lot of pressure. Especially in the class, I feel that I can't keep up with the teacher. Because before unstanding the definition during my study, I have to translate the English words back to the Chinese in my mind, so it greatly reduced the efficiency of my study and it has become one of the biggest difficulties in my learning abstract algebra.当我刚开始接触抽象代数这么课程时，我感觉这么课程对我来说是很困难的，因为教材是全英文撰写的，一个个陌生的英语词汇给我带来了很大的压力。

尤其在课堂上，我感觉我完全不能跟上老师思路。

因为我在学习过程中在理解和思考定义之前，我必须将英文词汇的意思在脑海中翻译回中文，这样大大地降低了我学习的效率，因此成了我学习抽象代数中的最大困难之一。

When I was thinking about how to solve the difficulties, I think back to the reference books which the teacher had recommended to us, so I found some reference books about abstract algebra in the school library. After reading these books, they make me feel relaxed studying of abstract algebra. Because these reference books are in Chinese and they eliminated the ambiguity of understanding the definition or theorem which caused by I was not familiar with the English. Before class, I will see a Chinese reference book first, (来自: 小龙文档网:抽象代数心得体会)and then looking at the teaching material which written in English, it will make me feel much easier to understand the teaching material content.在我思考怎样解决这个困难的时候，我回想到老师向我们推荐的参考书，于是我在学校图书馆找到了一些关于抽象代数的参考书。

数论报告读后感
通过老师的讲授、相关资料的查询以及与同学的讨论，我了解到信息安全的基础是加密处理，掌握了最基本的加密原理，才能对破密及防盗有进一步的研究。

所以，这就需要密码学这门课来完善我们的基础知识体系。

同时，记得老师说过信息安全的尖端拼的是数学功底，我们需要的是强大的数学思维以及深厚的数学功底。

所以，我们学院安排了密码学基础和抽象代数这两人专业课。

这两门课将对我们今后的学习工作提供最基础的理论与逻辑的支持，但是，同时又要求有更加基础的学科来做铺垫，那就是我们这堂课所学的数论基础。

由于种原因，我们这届的数论基础课是第一届开课，也将是最后一节课，我不免对未来失去学习这门课的学弟学妹们表示遗憾。

我对“数论”这个名词的概念来自于高中数学竞赛期间参加的培训班，当时有许多名师来为我们讲授各种竞赛知识，包括苏远东教授和陶平生教授的初等数论。

因此，当我听说我们要学习这门课的时候，我很是高兴，感觉毫无压力。

但是，正如前言所述，初等数论是主要用算术方法研究整数性质的一个数论分支，它是数学中最古老的分支之一。

同时，在数学发展史上，常常可以发现，对初等数论中某些问题的研究，曾促使数学中新分支的发展。

近几十年来，初等数论在计算机科学、组合数学、代数编码、信号的数字处理等领域内得到广泛的应用，而且许多较深刻的结果都得到了应用。

抽象代数——小组学习报告前言：抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。

由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量(vector)、矩阵（matrix)、变换（transformation）等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。

抽象代数是现代数学的基础，也是现代科学的基础. 它研究代数系统的代数结构，而代数结构是数学各种研究对象的一个重要的侧面. 它介绍了现代代数学的基础知识和基本方法. 数学的各个分支都或多或少地用到它的概念、理论和方法，即使应用很广的数值计算和计算机软件也要用到它，而且在理论物理和物理化学的部分分支中也有应用. 它还是自然科学、工程科学、管理科学相关专业的重要基础之一. 抽象代数是高级科技人才进行深造的一个不可缺少的台阶.抽象代数在培养抽象思维能力和逻辑推理能力方面起着特殊的重要作用，不愧被称为抽象概念的宝塔、逻辑推理的楷模. 正是由于其中概念的抽象性，推理的严谨性，方法的技巧性，从而给学者带来了相当的困难. 因此，采用小组学习的方式，希望在最短的时间里对课堂遗留的一些问题作较深刻和全面的学习与了解.当今社会正处于知识经济时代，个人的知识与能力毕竟是有限的，离开了合作，许多目标难以实现。

今天的学习方式就是明天的生活方式、生存方式。

小组合作学习是在学生已有的知识、经验和文化背景的基础上建构新知识的，学生知识、经验和文化背景的差异会导致对理解知识的侧重点不同，小组合作学习通过学生间的互动、交流能够实现优势互补，从而促进知识的建构。

通过合作学习，学生的合作意识和能力均得到培养，学生在学习过程中减轻压力、增强自信心，增加动手实践的机会，因此能够培养创新精神和实践能力，同时促进全体学生的个性发展，形成良好人际关系，促进学生个性健全发展。

讨论目录：1、 设α、β是两个不相交的轮换，则βααβ= .2、 写出4S 中的所有轮换 .3、 教材20P .例2、例3.（对称性变换、对称性群）4、 教材23P .定理2.（晶体对称性定律）5、 设1H ，2H ，…，n H ，…≤G ，则j i H H 未必是G 的子群.（构造反例）6、 ><S 的构造。

数学中的抽象代数数学是一门广泛应用于各个领域的学科，而抽象代数则是数学的一个重要分支。

抽象代数主要研究代数结构及其相互之间的关系，其中包括群论、环论和域论等。

一、群论群论是抽象代数的基础，它研究了一种集合与一种运算之间的结构关系。

一个群由一个集合及其上的一个二元运算组成。

这个运算满足封闭性、结合律、恒等元素以及逆元素等性质。

群论的研究对象包括对称群、置换群、循环群和矩阵群等。

群论的应用非常广泛，例如在密码学中，群论被用来研究加密算法和安全性。

此外，群论还在物理学中发挥了重要作用，特别是在粒子物理学和量子力学中的对称性研究中。

二、环论环论是抽象代数的另一个重要分支，它研究了一种集合上的两种运算：加法和乘法。

环的定义要求加法是一个阿贝尔群，并且乘法满足结合律和分配律。

环论的研究对象包括整环、域以及有限环等。

环论的应用也非常广泛，例如在计算机科学中，环论被用来研究编码理论和数据结构。

此外，在代数几何和代数拓扑中，环论也有重要的应用。

三、域论域论是抽象代数中最高级别的分支之一，它研究了一种集合上的两种运算：加法和乘法。

域的定义要求加法和乘法构成一个交换群，并且除零元素以外的元素都有乘法逆元。

常见的域有有理数域、实数域和复数域等。

域论在数论和代数几何中有广泛的应用。

在数论方面，域论被用来研究数的性质和整数解的存在性。

在代数几何中，域论则用于研究代数曲线和代数曲面等几何对象。

总结抽象代数作为数学的一个重要分支，涉及了群论、环论和域论等多个领域。

它们不仅在数学本身具有重要而深远的影响，也在其他学科中发挥重要作用。

通过对抽象代数的学习和研究，我们可以理解和应用更加深入和广泛的数学理论，推动数学在各个领域的发展与应用。

数学的抽象性和严密性使得它成为了一门强大而美丽的学科，而抽象代数则是数学中最具代表性和重要性的分支之一。

本文主要分为两个部分，第一部分是对这学期所学课程进行一下总结，第二部分是通过对群论的理解，把它应用到信号处理中去。

一、代数学引论的课程总结代数学是人类认识自然和改造世界的必然产物，是数学中最重要的、基础的分支之一。

代数学的历史悠久，随着人类生活的提高，生产技术的进步，科学和数学本身的需要而产生和发展。

在这个过程中，代数学的研究对象和研究方法发生了重大的变化。

代数学可分为初等代数学和抽象代数学两部分。

初等代数学是更古老的算术的推广和发展，而抽象代数学则是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。

“抽象的”、“形式的”或“公理化的”方向在代数学的领域中造成了新的高涨，特别在群论、域论、赋值论、理想论、超复数系理论等部中引起了一系列新概念的形成，建立了许多新的联系，并导致了一系列深远的结果。

我们这学期所学的《代数学引论》一书，正是抽象代数的一部分。

这门课程是高等代数的后续课程，代数学引论中的很多一般理论都建立在高等代数的一些具体的群、环、域上，例如，置换群、n阶矩阵环、数域p上的多项式环是高等代数提供的一些具体的代数结构。

代数学是研究各种代数系统如群、环、域、格、模、代数等的运算性质及其结构，就此而言仍然保持了代数研究量的运算关系的特征。

不过这里的量已不再是具体的数、文字，而是一般的抽象符号。

这些符号由某些结合法运算联系着。

它是一门研究各种代数系统的结构及其性质的数学学科。

它是在初等代数的基础上经过数系概念的推广，以及实施代数运算范围的扩大。

它是研究具有代数结构的集合的性质，刻划它们并加以分类，这些对象是用公理定义的。

代数系统首先是一个集合，集合是一类固定对象的全体。

与此定义了集合上的等价关系，集合间的映射等。

一个代数系统到另一个代数系统的映射，只有与它们的代数运算联系起来，才能发挥重要作用，保持运算的映射就是同构或同态。

本书首先介绍了初等数论和集合论的一些知识，为学习代数学做了必要的准备。

其次学习了群，环，域与模四个基本代数结构的基本性质，最后学习了Galois(伽罗瓦)理论的一些基本知识。

抽象代数学习心得转载 2012年05月12日 20:17:06•标签：•作业 /•语言•正在学习抽象代数，但不知抽象代数的学习方法和具体的存在意义（虽然老师和我们说抽象代数能解决很多问题，但他还是没有演示给我们看到底如何怎么解决，还停留在一个抽象认识的层面），网上搜索时发现这篇文章，转载分享。

这是我个人的一篇随谈性的文章，目的是和大家一起分享我学习抽象代数的体会。

我只是一个刚学完抽象代数没多久的本科生，这篇文章自然谈不上什么含金量。

不过我也曾长期处于菜鸟的阶段，也曾经苦闷过，现在回顾一番，有不少感受。

这篇文章是专为曾和我一样或者即将和我一样在代数学迷宫中闯荡的朋友所写，希望对大家有用。

我想对于初学抽象代数的人来说，他最感兴趣的就是一般高次代数方程的不可解性和尺规作图问题的解决。

这是他学习的兴趣的来源和前进的动力。

不过从最基本的群的定义开始，直到问题的最终的解决，仍然有一段不短的路。

有不少书试图一次性地将这一过程从头到尾展现给读者，我认为效果并不好。

最好是先入门，掌握基本的理论，再去看精密的东西。

那些一次讲下来的书，往往只讲后面结论用到的东西，对那些要求严格的读者来说，很难满意。

尤其难以让人全面地理解和掌握。

我的建议是：丘维声<<抽象代数基础>>——GTM167<<Field and Galois theory>>——GTM101<<Galoistheory>>.丘维声老师的<<抽象代数基础>> 是我非常钟爱的一本小书，叙述清晰，非常适合初学者作一学期的教材之用。

作者并未求全，而是有重点地介绍了抽象代数的主要内容。

课后有精选的习题。

<<Field and Galois theory>>的特点是循序渐进，每个定理都有精确的证明，而且内容全面，看过之后你会对域论和Galois理论有一个全面的了解。

第1篇一、引言大学期间，我选择了抽象代数作为一门选修课程。

在此之前，我对数学的理解仅停留在高中阶段，对抽象代数的概念和内容知之甚少。

然而，通过这一学期的学习，我对抽象代数有了全新的认识，不仅加深了我对数学的理解，也锻炼了我的逻辑思维能力和解决问题的能力。

以下是我对抽象代数课程的一些心得体会。

二、课程内容概述抽象代数是一门研究代数结构的学科，主要包括群、环、域等概念。

在学习过程中，我们接触到了大量的抽象概念和理论，如群的同态、环的运算、域的构造等。

这些内容看似复杂，但通过深入学习和理解，我们可以发现其中的规律和美。

三、心得体会1. 深入理解抽象概念在学习抽象代数的过程中，我深刻体会到抽象概念的重要性。

许多同学在学习过程中对抽象概念感到困惑，认为难以理解。

然而，正是这些抽象概念构成了抽象代数的基础。

只有深入理解这些概念，才能更好地掌握抽象代数的理论和方法。

例如，在学习群的概念时，我们首先需要理解什么是群，群的基本性质是什么。

通过学习，我们了解到群是一种代数结构，具有封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。

这些性质不仅帮助我们理解群的结构，也为后续学习群的同态、群的自同构等概念奠定了基础。

2. 培养逻辑思维能力抽象代数是一门逻辑性极强的学科。

在学习过程中，我们需要运用严密的逻辑推理来证明各种定理和性质。

这种逻辑思维能力的培养对我今后的学习和工作具有重要意义。

例如，在学习环的概念时，我们需要证明环的运算满足结合律、分配律等性质。

这要求我们运用逻辑推理，从定义出发，逐步推导出环的运算性质。

这种逻辑思维能力的培养使我更加注重思考问题的严谨性，提高了我的分析问题和解决问题的能力。

3. 增强解决问题的能力抽象代数课程中的许多问题都需要我们运用抽象思维和逻辑推理来解决。

在学习过程中，我逐渐掌握了如何从抽象的概念出发，逐步解决问题。

这种能力的提升对我今后的学习和工作具有很大的帮助。

例如，在学习域的构造时，我们需要构造一个满足特定条件的域。

浅谈抽象代数的应用1 引言代数学作为数学的一个重要分支，有着悠久的历史。

早期代数学的研究对象是具体的, 以方程根的计算为研究中心。

那时人们已经能够用根式来求解四次以下的方程的根。

此后几乎经历了三百年的时间，数学家们企图用用根式解一般的五次方程而没有成功。

阿贝尔(N.H.Abel)在1824 年证明了高于四次的一般方程不能用根式求解。

伽罗瓦(E.Galois)在1829-1831 年间完成的论文中, 基于其提出的群(置换群)的概念, 建立了代数方程可用根式求解的充要条件。

从而彻底解决了代数方程用根式求解这一近三百年的数学难题。

伽罗瓦提出的“群”概念, 导致了代数学在研究对象、研究方法上的深刻变革,一系列新的代数领域被建立起来。

1930—1931年范·德·瓦尔登(B．L．vander Waerden，1903—)的《近世代数学》一书问世，在数学界引起轰动，由此之后，抽象代数学或近世代数学成为代数学的主流。

一个集合及其上的代数运算构成一个代数结构(代数系统),抽象代数的主要研究内容是研究各种代数结构, 它是在从较高层次上, 撇开形式上很不相似的代数结构的个性, 抽象出其共性, 用统一的方法描述、研究与推理, 从而得到一些反映事物本质的结论, 再把它们应用到具体的系统中去。

由于代数结构中运算的个数以及对运算性质要求的不同, 从而产生了各种各样的代数结构, 这就形成了抽象代数的不同分支, 其中最基本、最重要的分支是群、环和域。

由于代数运算贯穿于任何数学理论与应用中, 以及代数运算和其中元素的一般性, 抽象代数的研究在数学里是基础性的, 其研究方法与结论已渗透到与之相近的数学学科中去。

不仅如此, 抽象代数还为现代物理学、现代化学以及计算机科学、现代通信与密码学提供了语言, 其研究方法与重要结论在上述领域都有重要应用。

抽象代数不仅是计算机科学中广泛使用的数学工具, 而且成为计算机科学的理论基础之一, 如自动机理论、形式语言、数据结构、密码学以及逻辑电路设计、编码理论等。

数学专业：《抽象代数》课程思政在教学中的浅谈适用专业：高职(1):数学教育本科(1):数学与应用数学适用课程：抽象代数相关思政元素：抽象概括能力/积极性分析能力/综合能力/创造性思维/发散性思维/抽象思维/数学素养/逻辑推理能力相关思政资源：蜚声海内外的杰出数学家——苏步青2009年度国家最高科学技术奖获奖者——数学家谷超豪数学大师陈省身的家教智慧数学天才张益唐：对真理的追求比占有更可贵尼尔斯·亨利克·阿贝尔——挪威数学家1抽象代数课程简介抽象代数又名近世代数，是在学生学习了高等代数和解析几何课程后的继续学习与发展的课程，同时也是数学系学生后继学习代数数论，代数几何，代数拓扑等课程所必需的一门基础课程。

它是研究各种代数系统的结构的一门学科，以群、环、域的理论为主要内容。

抽象代数中的等价、划分、同构等思想方法已渗透到社会和自然科学的各个分支，它的结果已应用到自然科学技术的许多方面，它已成为一些先进国家从事通讯、系统工程、计算机科学等领域从事开发事业的研究人员的基本工具，同时在教育教学方面，抽象代数的许多内容对于中学数学教学具有指导意义。

作为高师数学与应用数学专业的学生，学习抽象代数的基础知识，掌握其基本理论和基本思想方法是十分必要的。

因而，“抽象代数”是高等学校数学专业与信息专业的重要必修课程之一。

2抽象代数的教学作为一门基础学科，抽象代数中积聚了大量抽象的概念和定理证明，并且内容逻辑性强，习题也以证明题为主，这使得学生学习起来非常的困难，也为教师的教学工作带来了严峻的考验。

为此，笔者根据实际教学中的切身体验，仅就教学中的几个问题谈一谈体会，以期更好地总结思考，抛砖引玉。

2．1关于教材的选择我国出版的抽象代数教材很多，但大都求全、求多、习题力求设计的有难度有深度，当然，这对数学本科专业的学生而言是好事，这些教材能训练他们的抽象思维、逻辑推理能力，培养他们的数学素养。

但对于数学专科生或者非数学专业的学生而言，使用较难的教材不仅收不到预期的效果，反而会让学生因为惧怕而失去学习的兴趣。