案例——中点四边形

《各种四边形各边中点形成什么图形》专项练习中点四边形定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形解决办法：连接对角线，利用三角形中位线定理证明一、顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形已知：四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形（提示：连接AC）利用三角形中位线证明，两组对边分别平行的四边形是平行四边形二、顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形已知：平行四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形（提示：连接AC）利用三角形中位线证明，一组对边培训且相等的四边形是平行四边形三、顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形已知：矩形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是菱形（提示：连接AC、BD）利用矩形对角线相等、中位线性质可得四边相等的四边形是菱形四、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形已知：菱形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是矩形（提示：连接AC、BD）利用菱形对角线垂直、中位线性质可得四个角是直角的四边形是矩形五、顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形已知：正方形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是正方形利用正方形对角线垂直相等、中位线性质可得四边相等又有一直角的四边形是正方形六、顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形已知：梯形ABCD中，AD//BC AB=DC, 点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是菱形（提示：连接AC，BD）利用梯形对角线相等、中位线性质可得四边相等的四边形是菱形。

《中点四边形》教学设计永年区第一实验学校 王晓敏教学目标：（一）知识与技能 1、学生能利用三角形中位线定理判断中点四边形的形状；在此过程中培养学生观察、归纳、猜想、概括的能力．2、感受中点四边形的形状取决于原四边形的两条对角线的位置与长短；培养学生一些基本的数学思想方法如“化归思想”、“类比推理”“逆向思维”等思想方法。

3、通过图形变换使学生掌握简单添加辅助线的方法。

（二）过程和方法1、通过对图形既相互变化，又相互联系的内在规律。

培养学生观察、发现、分析、探索知识的能力及创造性思维和归纳总结能力；2、通过命题探索过程认识到事物的发展都从感性到理性，有特殊到一般再到特殊的过程，只要弄清它的内在变化规律，就能使所学知识拓展引伸. （三）情感、态度与价值观要求1、通过学生亲自参与、发现和证明，培养学生的参与意识及合作精神，激发学生探索数学的兴趣，体验数学学习的过程与探索成功后的喜悦。

2．让学生感受到数学既来源于生活实际，又是解决生活中许多问题的工具. 从而促使学生热爱数学.教学重点：中点四边形形状判定和证明教学难点：探究各类四边形的中点四边形的形状与原四边形的对角线关系 教学方法：合作探究学习法教学用具：各种特殊四边形图片，几何画板及PPT 课件 教学过程：一．知识回顾： 1.三角形中位线如图，在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 的中点. DE 就是△ABC 的一条中位线.那么DE 与BC 有什么样的数量与位置关系呢？设计意图：为本节内容作理论基础与准备，并体现“低起点”的策略。

二、猜想验证，探索新知2．已知：点D 、E 、F 分别是⊿ABC 边BC 、AC 、AB 的中点，则 ABC DEF ∆∆和的形状及面积有何关系?DBCBA DCE“猜一猜”：实物演示：教师带领学生利用不同形状的四边形卡纸现场折叠构造中点四边形。

师提问：我们刚才通过折得到的新四边形形状一样吗？是什么四边形？学生猜想并回答。

经典题型1
例题1：如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H是边AB、BC、CD、DA的中点.
（1）请问四边形EFGH是什么形状的四边形？并证明；
（2）若四边形ABCD是矩形，四边形EFGH是什么形状的四边形？并证明；
（3）若四边形ABCD是菱形，四边形EFGH是什么形状的四边形？并证明.
思路分析：准确画出图形，通过观察就可以得到（1）四边形EFGH是平行四边形；（2）四边形EFGH是菱形；（3）四边形EFGH是矩形。

证明思路可以有多种——条件中有四个中点，显然在考查中位线的知识，而中位线的结论中有“中位线与第三边”的位置关系与数量关系，所以可以从“边”的角度来判定四边形是平行四边形。

经典题型2
例题2：如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H是边AB、BC、CD、DA的中点.
（1）请问四边形EFGH是什么形状的四边形？并证明；
（2）要使四边形EFGH是矩形，需要原四边形对角线满足怎样的条件？并证明；（3）要使四边形EFGH是矩形，需要原四边形对角线满足怎样的条件？并证明.
思路分析：由例题1，我们就知道四边形EFGH是平行四边形；
（2）四边形EFGH中，图形中就没有给出对角线，说明判定它是矩形，应该用“……的平行四边形中是矩形”，故只能用“一个角是直角的平行四边形是矩形”了，从而应该添加条件“AC⊥BD”即可。

（3）四边形EFGH中，图形中就没有给出对角线，说明判定它是菱形，应该用“……的平行四边形中是菱形”，故只能用“一组邻边相等的平行四边形是矩形”了，从而应该添加条件“AC=BD”即可。

重难点专项突破：中点四边形模型（4种题型）【知识梳理】【考点剖析】题型一、利用中点求长度例1.如图，某花木场有一块四边形ABCD的空地，其各边的中点为E、F、G、H，测得对角线AC＝11米，BD＝9米，现想用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆总长度是（）A．20米B．11米C．10米D．9米【答案】A【解析】∵E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 各边的中点，∴EF 、FG 、GH 、HE 分别为△ABC 、△BCD 、△CDA 、△ABD 的中位线， ∴EF ＝12AC ＝112（米），FG ＝12BD ＝92（米），HG ＝12AC ＝112（米）， HE ＝12BD ＝92（米），∴四边形EFGH 总长度＝EF +FG +GH +HE ＝20（米）， 故选：A ．【变式1】在四边形ABCD 中，8AC BD ==，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则22EG FH +的值为（ ）A ．18B ．36C ．48D ．64【答案】D【解析】连接EF 、FG 、GH 、EH ，∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点， ∴11//,//,,22EF AC HG AC EF AC FG BD ==，∴//EF HG ，同理//EH FG ， ∴四边形EFGH 为平行四边形，∵AC BD =，∴EF FG =，∴平行四边形 EFGH 为菱形， ∴EG FH ⊥，2EG OG =，2FH OH =，()2222222221(2)(2)4448642EG FH OE OH OE OH EH BD ⎛⎫+=+=+==⨯== ⎪⎝⎭故选：D ．【变式2】如图，已知矩形ABCD 的对角线AC 的长为10cm ，连结矩形各边中点E 、F 、G 、H 得四边形EFGH ，则四边形EFGH 的周长为（ ）cm ．A ．20B ．C ．D ．25【答案】A 【解析】连接BD ，∵H 、G 是AD 与CD 的中点，∴HG 是△ACD 的中位线， ∴HG=12AC=5cm ，同理EF=5cm ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴根据矩形的对角线相等，即BD=AC=10cm ， ∵H 、E 是AD 与AB 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线， ∴EH=12BD=5cm ，同理FG=5cm ，∴四边形EFGH 的周长为20cm ． 故选A ．【变式3】如图，点O 为四边形ABCD 内任意一点，E ，F ，G ，H 分别为OA ，OB ，OC ，OD 的中点，则四边形EFGH 的周长为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．不能确定【答案】C【解析】∵E ，F 分别为OA ，OB 的中点，∴EF 是△AOB 的中位线，∴EF=12AB=3， 同理可得：FG=12BC=5，HG=12DC=6，EH=12AD=4，∴四边形EFGH 的周长为=3+5+6+4=18， 故选C ．题型二、利用中点求面积例2.如图，四边形ABCD 中，点E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点，若△EFG 的面积为4，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．18【答案】C【解析】记△BEF ,△DGH ,△CFG ,△AEH 的面积分别为1234,,,S S S S ，四边形ABCD 的面积为S .连接AC .∵BF =CF ，BE =AE ，CG =DG ，AH =DH ，∴EF ∥AC ,1,2EF AC =GH ∥AC ,12GH AC =，∴EF ∥GH ，EF =GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∴S 平行四边形EFGH =2S △EFG =8，∵△BEF ∽△BAC ，∴11,4S S ABC =同理可得214S S ACD ，= ∴1211()44ABC ACD S S S S S +=+=， 同法可得3414S S S +=，∴123412S S S S S ，+++= ∴S 四边形EFGH =12S ， ∴S =2S 四边形EFGH =16.故选C.【变式1】定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点作为和美四边形的中心．（1）写出一种你学过的和美四边形______；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是（ ） A ．矩形 B ，菱形 C ．正方形 D ．无法确定（3）如图1，点O 是和美四边形ABCD 的中心，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点，连接OE OF OG 、、OH 、，记四边形AEOH BEOF CGOF DHOG 、、、的面积为1234S S S S 、、、，用等式表示1234S S S S 、、、的数量关系（无需说明理由）（4）如图2，四边形ABCD 是和美四边形，若4,2,5AB BC CD ===,求AD 的长．【答案】（1）正方形；（2）A ；（3）S 1+S 3=S 2+S 4；（4 【解析】（1）正方形是学过的和美四边形，故答案为：正方形； （2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是矩形， 如图，四边形ACBD 中，对角线AB ⊥CD ，即为“和美四边形”， 点E 、F 、G 、H 分别是AC 、AD 、BD 、BC 的中点， ∴EF ∥CD ∥HG ，且EF=HG=12CD ，EH ∥FG ∥AB ，且EH=FG=12AB ， ∴四边形EFGH 为平行四边形，∵AB ⊥CD ，∴EF ⊥EH ，∴平行四边形EFGH 是矩形；故选：A ．（3）连接AC 和BD ，由和美四边形的定义可知，AC ⊥BD ，则∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°， 又E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴△AOE 的面积=△BOE 的面积，△BOF 的面积=△COF 的面积，△COG 的面积=△DOG 的面积，△DOH 的面积=△AOH 的面积，∴S 1+S 3=△AOE 的面积+△COF 的面积+△COG 的面积+△AOH 的面积=S 2+S 4；（4）如图，连接AC 、BD 交于点O ，则AC ⊥BD ， ∵在Rt △AOB 中，AO 2=AB 2-BO 2，Rt △DOC 中，DO 2=DC 2-CO 2，AB=4，BC=2，CD=5，∴可得AD 2=AO 2+DO 2=AB 2-BO 2+DC 2-CO 2=AB 2+DC 2-BC 2=42+52-22=37，即可得AD =．【变式2】如图，在四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，6BD =，E ，F ，G ，H 分别是四边的中点，则四边形EFGH 的面积为__________．【答案】12【解析】∵点E 、F 分别为边AB 、BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF=12AC ， ∵AC=8，∴EF=4，同理，HE ∥BD ，HE=1BD 32=， ∴四边形EFGH 是平行四边形， ∵EH ∥BD ，AC ⊥BD ，∴EH ⊥AC ，∵EF ∥AC ，∴EF ⊥HE ，∴四边形EFGH 是矩形， ∴矩形EFGH 的面积=HE ×EF=12． 故答案为：12．题型三、找规律问题例3.如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD =，各边中点分别为1A 、1B 、1C 、1D ，顺次连接得到四边形1111D C B A ，再取各边中点2A 、2B 、2C 、2D ，顺次连接得到四边形2222A B C D ，……，依此类推，这样得到四边形n n n n A B C D ，则四边形n n n n A B C D 的面积为（ ）A ．162n−B ．182n − C ．412n −−D ．不确定【答案】B【解析】∵四边形A 1B 1C 1D 1的四个顶点A 1、B 1、C 1、D 1分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴A 1B 1∥AC ，A 1B 112=AC ，∴△BA 1B 1∽△BAC ．∴△BA 1B 1和△BAC 的面积比是相似比的平方，即14． 即1114BA B S=S △ABC ，同理可证：1114DD C S =S △ADC ， 1114AD A S =S △ABD ，S △CB 1C 114=S △BDC ，∴111112A B C D S =四边形S 四边形ABCD ，同法可证2222111112A B C D A B C D S S =四边形四边形，又四边形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝4，AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 的面积是16．∴四边形A n B n ∁n D n 的面积116822n n −==．故选：B ．【变式1】如图1，1A ，1B ，1C ，1D 分别是四边形ABCD 各边的中点，且AC BD ⊥，6AC =，10BD =．（1）试判断四边形1111D C B A 的形状，并证明你的结论；（2）如图2，依次取11A B ，11B C ，11C D ，11D A 的中点2A ，2B ，2C ，2D ，再依次取22A B ，22B C ，22C D ，22D A 的中点3A ，3B ，3C，3D ……以此类推，取11n n A B −−，11n n B C −−，11n n C D −−，11n n D A −−的中点n A ，n B ，n C ，n D ，根据信息填空：①四边形1111D C B A 的面积是__________； ②若四边形n n n n A B C D 的面积为1516，则n =________； ③试用n 表示四边形n n n n A B C D 的面积___________． 【答案】（1）矩形，见解析；（2）①15，②5，③1152n − 【解析】（1）四边形1111D C B A 是矩形，证明：∵1A ，1B ，1C ，1D 分别是四边形ABCD 各边的中点， ∴11A B AC ，11C D AC ，∴1111A B C D ，同理可得1111A D B C ∥，∴四边形1111D C B A 是平行四边形，又∵AC BD ⊥，易得1111A B B C ⊥，∴四边形1111D C B A 是矩形； （2）①由题意可知：A 1B 1=12AC=3，A 1D 1=12BD=5，四边形1111D C B A 的面积=3×5=15；②由构图过程可得：A 2D 2=B 2C 2=12B 1D 1=12C 2D 2=B 2A 2=12A 1C 1=12可知四边形2222A B C D 为菱形，∴2222A B C D S =222212A C B D ⨯=111112A B B C ⨯=152；同理可求：3333A B C D S =154，4444A B C D S =158，…，n n n n A B C D S =1152n −，故当四边形n n n n A B C D 的面积为1516时，1152n −=1516，解得：n=5；③由②可知：用n 表示四边形n n n n A B C D 的面积为1152n −.故答案为：（1）矩形，见解析；（2）①15，②5，③1152n −题型四、中点综合问题例4.通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式就是方程思想，已学过的《勾股定理》及《一次函数》都与它有密切的联系，最近方程家族的《一元二次方程》我们也学习了它的求解方法和应用。

四边形拓展练习——中点应用中点，特别是线段的中点是几何图形中的一个特殊点，直角三角形斜边中线、等腰三角形三线合一、中心对称图形、三角形中位线和梯形中位线等都有其身影．那么，如何恰当地利用中点和处理与中点有关的问题呢？关键在于：充分挖掘中点所包含的信息，合理联想构造含中点的图形来解决问题．一、利用中点构造三角形中线例1．如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 是中线，AE BD ⊥交BC 于点E ．求证：2BE CE =．例2．如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 是中线，AM BD ⊥于M ，交BC 于点E ．求CDE S ∆．【注】如果是等腰三角形的问题，则腰上的中点即为构造全等三角形创造了条件．三角形中线的性质是分三角形为两个面积相等的小三角形．在涉及求面积时，往往是常用的结论之一．二、利用中点构造中心对称三角形例3．如图，在梯形ABCD 中，90D ∠=︒，M 为AB 中点． 若 6.5CM =，17BC CD DA ++=，求梯形ABCD 的面积．BB例4．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ．求直线BF 与DE 所夹的锐角的度数．【注】：在四边形问题中，若已知条件中有一边的中点，往往可利用中点构造中心对称的全等的三角形，从而把分散的条件相对集中，为解题创造有利条件．三、利用中点构造三角形中位线例5．如图，在ABC ∆中，7AC =，4BC =，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，且1902AED C ∠=︒+∠．求CE 的长．例6．如图，已知AD 为ABC ∆的角平分线，AB ＜AC ，在AC 上截取CE AB =，M 、N 分别为边BC 、AE 的中点．求证：//MN AD ．【注】：在四边形问题中，当已知条件中出现四边形对边的两个中点时，常见的方法是：另外作对角线的中点，再利用三角形的中位线来解题．EA四、利用中点构造直角三角形斜边中线和三角形中位线例7．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，E G 、分别为AD AC 、的中点，DF BE ⊥，垂足为F ．求证：FG DG =．例8．如图，在ABC ∆内取一点P ，使PBA PCA ∠=∠，作PD AB ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ．求证：DE 的垂直平分线必经过BC 的中点M ．【注】：当题目的条件中涉及到三角形一边的中点和直角三角形时，常用的方法是：另取一边（一般取斜边）的中点，为沟通直角三角形斜边中线定理和三角形中位线定理架起一座桥梁．五、利用中点构造梯形中位线例9．在梯形ABCD 中，90ABC DCB ∠=∠=︒，AD 上有一点E 使得BE EC ⊥，且45CED ∠=︒．求证：AB CD BC +=．例10．如图，M N 、分别是四边形ABCD 边AB CD 、的中点，BN 与MC 交于点P ，AN 与MD 交于点Q ．求证：BCP ADQ MQNP S S S ∆∆=+四边形．六、利用多个中点构造三角形和四边形例11．如图，在任意五边形ABCDE 中，M N P Q 、、、分别为AB CD BC DE 、、、的中点，K L 、分别为MN PQ 、的中点．求证：//KL AE 且1=4KL AE ．例12．在六边形ABCDEF 中，//AB DE ，//BC EF ，//CD FA ，AB DE BC EF +=+，1111A B D E 、、、分别是边AB BC DE EF 、、、的中点，且1111A D B E =．求证：CDE AFE ∠=∠．ABE1ADABCD配套练习：1．如图，在菱形ABCD 中，100A ∠=︒，M N 、分别是边AB BC 、的中点，MP CD ⊥于点P ，求NPC ∠的度数．2．如图，在ABC ∆中，D 为边BC 的中点，点E F 、分别在边AC AB 、上，且ABE ACF ∠=∠，BE 与CF 交于点O ，作OP AC ⊥，OQ AB ⊥，P Q 、为垂足．求证：DP DQ =．3．如图，在ABC ∆中，2A B ACB ∠+∠=∠，8BC =，D 为AB 的中点，且CD =，求AC 的长．BBD BAFE MABCDM4．如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，AD BC ⊥于D ，M 为BC 的中点，求证：12DM AB =5．如图，在ABC ∆中，2ABC C ∠=∠，AD 平分BAC ∠，过BC 的中点M 作AD 的垂线，交AD 的延长线于F ，交AB 的延长线于E ，求证：12BE BD =．6．如图，已知五边形ABCDE 中，90,ABC AED BAC EAD ∠=∠=︒∠=∠。

设计意图：采用直观的形式，引导学生发现总结未知图形特点，直接给出定义。

并给出充分的时间，让学生理解。

2、小组探究：中点四边形的形状操作几何画板，让学生观察，同时思考证明方法。

学生分析，并给出结论：中点四边形是平行四边形。

引导学生经历定理“操作----观察---猜测----证明”的得出过程。

板书：顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形。

引导学生分析命题的条件和结论部分，并学习将文字语言转化成为符号语言与图形语言。

教师板书过程：已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.选出小组代表对本组的发现、以及论证进行展示。

学生总结出所得的结论：顺次连接任意四边形的四边中点得到一个平行四边形。

方法一：连接一条对角线，根据判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

方法二：连接两条对角线;根据判定定理：两组学生认真观察、畅所欲言表达自己的发现。

学生经历定理的得出过程，并感受数学三种语言之间的相互转化。

选择不同层次的学生口述证明过程，并让不同学生展现不同的证明方法，发展学生的逻辑思维能力。

教师总结归纳。

对边分别相等（平行）的四边形是平行四边形。

设计意图：通过几何画板的动态演示效果，强化学生对图形化换中各种关系的理解。

通过活动经历定理的得出过程，体验数学的严谨性。

经历数学三种语言的自由转化过程，能准确无误分析命题的条件和结论部分，能用正确的数学符号语言转化成已知和求证，并准确画出图形。

锻炼学生的课堂语言表达能力，增强学生思维的逻辑性。

3、如果顺次连接特殊四边形（平行四边形、菱形、矩形、正方形）各边中点所构成的中点四边形是什么图形?结合几何画板观察，小组合作探究。

一般四边形的中点四边形都是________平行四边形的中点四边形是__________矩形的中点四边形是________________菱形的中点四边形是________________正方形的中点四边形是______________设计意图：在上一个环节中，学生已经具备了证明一般中点四边形的方法。

《中点四边形》说课稿各位老师：大家好，我说课的内容是人教版八年级下第19章第二节《特殊平行四边形》一一中点四边形。

下面，我从教材分析、学情分析、教学方法、教学过程、教学评价、设计思想等五个方面来谈一谈我对这节课的教学设计。

一、教材分析教材的地位与作用：在前面的学习中，学生已经对矩形、菱形和正方形的判定、性质及其相互关系进行了初步的探索，对证明的必要性和证明的方法有了一定的了解和掌握，无论从知识体系，还是从证明的方法体系，本节课都是在原基础上的进一步发展，对四边形性质的研究已不是停留在操作、实验层面，而是用以归纳、推理为主要方法，并以三角形中位线定理为其理论基础，讨论、论证由各边中点所构成的四边形及其判定的正确性，这样做，对于引导学生把握平行四边形的变化规律，进行推理探究和逆向思维，都具有明显的积极作用和促进价值。

教材内容的特点：与传统的教学内容相比，新课程下的这节内... 容更加强调学习的过程和数学思维的发生发展过程，而不仅仅局限在概念、性质获得的结果；强调知识的综合，不仅仅局限在以往的新知识的介绍上。

重视数学思想方法与数学思维的建构。

教学目标：在新理念下，要加强对学生的主动性和探究性培养，同时基于教材和学生的实际情况，确定本节课的教学目标如下:1、知识与技能目标：能判别一个任意四边形的中点四边形，并能给予证明。

2、过程与方法目标：通过对有关中点四边形的逆命题的判别与证明，培养学生的探究能力、分析能力和解决问题的能力；学会从不同的角度认识与解决问题。

3、情感与态度目标：进一步应用转化的数学思想。

给学生提供主动探索学习的时间与空间，学会与他人合作交流，培养质疑、反思的探究意识。

教学重点及难点：本节的教学重点是判断一个四边形的中点四边形的形状，并应用三角形的中位线定理、特殊平行四边形的判定进行证明。

而教学难点是倒过来探究中点四边形的形状与原四边形之间的关系。

因为倒过来能否成立涉及充分必要条件理论，而限于初中教学内容，所以只能从观察、演示中归纳出正确结论。

四边形常见模型目录题型01中点四边形模型 1题型02十字架模型 4题型03对角互补模型 8题型04半角模型 11题型05含60°的菱形模型 16题型06三垂线模型 20题型01中点四边形模型1.(23-24九年级上·山东枣庄·期中)若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是()A.矩形B.菱形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形【答案】C【详解】解：如图，设点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，∵四边形EFGH是菱形，∴EF=FG=GH=EH，∵BD=2EF，AC=2FG，∴BD=AC．∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选：C．2.(23-24九年级上·山西朔州·期中)如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点O，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD和AD的中点，顺次连接EF，FG，GH和HE得到四边形EFGH．若AC=10,BD =12，则四边形EFGH的面积等于()A.30B.35C.40D.60【答案】A【详解】解：∵点E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF ∥AC ，EF =12AC ，∵AC =10，∴EF =12AC =5，同理，可得：HG ∥AC ，HG =12AC =5，∴EF ∥HG ，EF =HG ，∵点E ，H 分别为边AB ，AD 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线，∴EH ∥BD ，EH =12BD =6，同理，可得：FG ∥BD ，FG =12BD =6，∴EH ∥FG ，EH =FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴EF ⊥EH ，∴∠FEH =90°，∴平行四边形EFGH 是矩形，∴矩形EFGH 的面积为：6×5=30，即四边形EFGH 的面积为30．故选：A ．3.(23-24九年级上·山东东营·期中)如图，把矩形ABCD 沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE ，则顺次连接四边形ADEC 各边中点，得到的四边形的形状一定是．【答案】菱形【详解】解：∵把矩形ABCD 沿直线AC 折叠，点B 落在E 处，∴CD =AE =AB ，∵顺次连接四边形ADEC 各边中点，∴H 、F 分别是DE 、AD 的中点，∴HF =12AE ．同理FM =12CD ,NH =12CD ,MN =12AE ，又∵DC =AE ，∴HN =HF =FM =MN ，∴四边形HFMN 是菱形．∴得到的四边形的形状一定是：菱形．故答案为：菱形．4.(23-24九年级上·河南信阳·期中)已知：如图，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ，得到四边形EFGH (即四边形ABCD 的中点四边形)．(1)求证：四边形EFGH 的形状是平行四边形；(2)当四边形ABCD 的对角线满足条件时，四边形EFGH 是矩形；(3)当四边形ABCD 的对角线满足条件时，四边形EFGH 是菱形．【答案】(1)证明见解析(2)互相垂直(3)AC =BD【详解】(1)证明：如图，连接AC 、BD ，∵点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 的中点，∴EF 、GH 分别为△ABC 、△ADC 的中位线，∴EF =12AC ，EF ∥AC ，GH =12AC ，GH ∥AC ，∴EF =GH ，EF ∥GH ，∴四边形EFGH 的形状是平行四边形；(2)解：当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是矩形，∵EF ∥AC ，FG ∥BD ，AC ⊥BD ，∴EF ⊥FG ，∴平行四边形EFGH 是矩形，故答案为：互相垂直；(3)解：当AC =BD 时，四边形EFGH 是菱形，∵EF =12AC ，FG =12BD ，AC =BD ，∴EF =FG ，∴平行四边形EFGH 是菱形，故答案为：相等．5.(23-24九年级上·福建泉州·期中)已知：如图，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG 、GH ，HE ，得到四边形EFGH (即四边形ABCD 的中点四边形)．(1)求证：四边形EFGH 是平行四边形；(2)当四边形ABCD 的对角线满足条件时，四边形EFGH 是矩形？并说明理由．【答案】(1)见详解(2)AC ⊥BD ，见详解【详解】(1)解：连接AC ，如图，∵四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，∴HG ∥AC ,HG =12AC ,EF ∥AC ,EF =12AC ，∴HG ∥EF ,HG =EF ，∴四边形EFGH 是平行四边形；(2)解：AC ⊥BD ，理由如下：连接AC ，BD ，∵四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，∴HG ∥AC ,EH ∥BD ．∵AC ⊥BD ，∴HG ⊥EH ，∴∠EHG =90°，∴平行四边形EFGH 是矩形．故答案为：AC ⊥BD ．题型02十字架模型6.(23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中)如图，将一边长为15的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E ，使DE =8，折痕为PQ ，则PQ 的长为()A.15B.16C.17D.18【答案】C 【详解】解：过点P作PM ⊥BC 于点M ，由折叠得到PQ ⊥AE ，∴∠DAE +∠APQ =90°，又∠DAE +∠AED =90°，∴∠AED =∠APQ ，∵AD ∥BC ，∴∠APQ =∠PQM ，则∠PQM =∠APQ =∠AED ，∠D =∠PMQ ，PM =AD∴△PQM ≌△ADE∴PQ =AE =82+152=17．故选：C ．【点睛】本题考查正方形的折叠问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，平行线的性质等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．7.(23-24九年级上·四川成都·期中)如图，将边长为4的正方形纸片ABCD 折叠，使得点A 落在边CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AD 、BC 上，则折痕FG 的长度为．【答案】25【详解】解：如图，过点G 作GH ⊥AD 于H ，则四边形ABGH 中，HG =AB ，由翻折变换的性质得GF ⊥AE ，∵∠AFG +∠DAE =90°，∠AED +∠DAE =90°，∴∠AFG =∠AED ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =AB ，∴HG =AD ，在△ADE 和△GHF 中，∠GHF =∠D∠AFG =∠AED GH =AD，∴△ADE ≌△GHF (AAS )，∴GF =AE ，∵点E 是CD 的中点，∴DE =12CD =2，在Rt △ADE 中，由勾股定理得，AE =AD 2+DE 2=42+22=25，∴GF 的长为25．故答案为：25．【点睛】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．8.(23-24九年级上·江苏泰州·期中)如图，正方形纸片ABCD 的边长为24，E 是边CD 上一点，连接AE 、折叠该纸片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上，若DE =10，则GE 的长为【答案】9813【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =AD =24，∠BAD =∠D =90°，由折叠及轴对称的性质可知，△ABF ≌△GBF ，BF 垂直平分AG ，∴BF ⊥AE ，AH =GH ，∴∠BAH +∠ABH =90°，又∵∠FAH +∠BAH =90°，∴∠ABH =∠FAH ，∴△ABF ≌△DAE (ASA )，∴AF =DE =10，在Rt △ABF 中，BF =AB 2+AF 2=242+102=26，S △ABF =12AB •AF =12BF •AH ，∴24×10=26AH ，∴AH =12013，∴AG =2AH =24013，∵AE =BF =26，∴GE =AE -AG =26-24013=9813，故答案为：9813．【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．9.(23-24九年级上·陕西商洛·期中)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，CE ，DF 相交于点G ，连接AG ，求证：(1)CE ⊥DF ．(2)∠AGE =∠CDF ．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【详解】(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC =CD =AD ，∠B =∠BCD =90°，∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴BE =12AB ，CF =12BC ，∴BE =CF ，在△CBE 与△DCF 中，BC =CD∠B =∠FCD BE =CF，∴△CBE ≌△DCF SAS ，∴∠ECB =∠FDC ，∵∠BCE +∠ECD =∠BCD =90°，∴∠ECD +∠CDF =90°，∴∠CGD =90°，∴CE ⊥DF ．(2)延长CE ，交DA 的延长线于H ，∵在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠AHE =∠BCE ，∵点E 是AB 的中点，∴AE =BE ，∵∠AHE =∠BCE ，∠AEH =∠CEB ，AE =BE ，∴△AEH ≌△BEC AAS ，∴AH =BC ，∵在正方形ABCD 中，AD =BC ，∴AH =AD ，∵CE ⊥DF∴∠HGD =90°，∴AG 是Rt △HGD 斜边的中线，AG =12DH =AD ，∠ADG =∠AGD ，∠AGE +∠AGD =∠HGD =90°，∠CDF +∠ADG =∠CDA =90°，∠AGE=∠CDF．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质等，综合性很强，解题的关键是能够综合运用上述知识．题型03对角互补模型10.(23-24九年级上·江苏泰州·期中)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE．若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于()A.7B.9C.16D.25【答案】C【详解】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O，∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，AE2=AO2+OE2，在Rt△COE中，CE2=CO2+OE2，∴AE2-CE2=AO2-CO2，在Rt△AOB中，AO2=AB2-OB2，在Rt△COB中，CO2=BC2-OB2，∴AO2-CO2=AB2-BC2=52-32=16，∴AE2-CE2=16，故选：C．【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键．11.(23-24·山东淄博·期中)如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC=a，AC=b，AB=c，则下列关系式中成立的是()A.a2+b2=5c2B.a2+b2=4c2C.a2+b2=3c2D.a2+b2=2c2【答案】A【详解】设EF =x ，DF =y ，根据三角形重心的性质得AF =2y ，BF =2EF =2x ，利用勾股定理得到4x 2+4y 2=c 2，4x 2+y 2=14b 2，x 2+4y 2=14a 2，然后利用加减消元法消去x 、y 得到a 、b 、c 的关系．【解答】解：设EF =x ，DF =y ，∵AD ，BE 分别是BC ，AC 边上的中线，∴点F 为△ABC 的重心，AF =12AC =12b ，BD =12a ，∴AF =2DF =2y ，BF =2EF =2x ，∵AD ⊥BE ，∴∠AFB =∠AFE =∠BFD =90°，在Rt △AFB 中，4x 2+4y 2=c 2，①在Rt △AEF 中，4x 2+y 2=14b 2，②在Rt △BFD 中，x 2+4y 2=14a 2，③②+③得5x 2+5y 2=14(a 2+b 2)，∴4x 2+4y 2=15(a 2+b 2)，④①-④得c 2-15(a 2+b 2)=0，即a 2+b 2=5c 2．故选：A ．【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了勾股定理．12.(23-24九年级上·河北石家庄·期中)已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD ，对角线AC ，BD 交于点O ．(1)若AB =5，OA =3，OC =4，则BC =；(2)若AD =2，BC =5，则AB 2+CD 2=；(3)若AB =m ，BC =n ，CD =c ，AD =d ，则m ，n ，c ，d 之间的数量关系是．【答案】427m 2+c 2=n 2+d 2【详解】(1)∵AC ⊥BD ，∴∠BOC =∠COD =∠DOA =∠AOB =90°，∴OB =AB 2-OA 2=52-32=4，∴CB =OB 2+OC 2=42+42=42．故答案为42．(2)由(1)得：∴OB 2+OC 2=BC 2，OA 2+OD 2=AD 2，OB 2+OA 2=AB 2，OC 2+OD 2=CD 2，∴AB 2+CD 2=OB 2+OA 2+OC 2+OD 2=BC 2+AD 2，∵AD =2，BC =5，∴AB 2+CD 2=2 2+5 2=7．故答案为7．(3)由(2)得：AB 2+CD 2=BC 2+AD 2，∴m 2+c 2=n 2+d 2．故答案为m 2+c 2=n 2+d 2．【点睛】本题考查勾股定理的应用问题，熟练利用勾股定理和等量代换是解题的关键．13.(23-24九年级上·安徽芜湖·期中)如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是(填序号)．(2)【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图甲，在四边形ABCD 中，若AC ⊥BD ，则AB 2+CD 2=AD 2+BC 2．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由．(3)【问题解决】如图乙，在△ABC 中，BC =3，AC =4，D ，E 分别是AC ，BC 的中点，连接AE ，BD ，有AE ⊥BD ，求AB ．【答案】(1)②④；(2)猜想正确，理由见解析；(3)AB =5【详解】解：(1)∵菱形、正方形的对角线相互垂直，∴菱形和正方形符合垂美四边形的定义，故答案为：②④；(2)猜想正确，理由如下：∵四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴∠AOB =∠COD =∠BOC =∠AOD =90°，∴AB 2=OA 2+OB 2，CD 2=OC 2+OD 2，BC 2=OB 2+OC 2，AD 2=OA 2+OD 2，∴AB 2+CD 2=OA 2+OB 2+OC 2+OD 2，BC 2+AD 2=OB 2+OC 2+OA 2+OD 2，∴AB 2+CD 2=AD 2+BC 2；(3)∵BC =3，AC =4，D 、E 分别是AC 、BC 的中点，∴AD =12AC =2，BE =12BC =32，DE =12AB ，∵AE ⊥BD ，∴AB 2+ED 2=AD 2+BE 2，∴5 4AB2=4+94，∴AB=5．14.(23-24九年级上·福建福州·期中)如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)在我们学过：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，能称为垂美四边形的是；(只填序号)(2)如图，垂美四边形ABCD的对角线交于点O,AB=2,BC=3,AD=4，求CD的长度．【答案】(1)③④(2)21【详解】(1)解：∵菱形和正方形的对角线相互垂直，矩形和平行四边形的对角线不一定垂直，∴只有正方形和菱形能称为垂美四边形，故答案为：③④；(2)∵AC⊥BD，∴AB2=AO2+BO2，BC2=BO2+CO2，DC2=DO2+CO2，AD2=AO2+DO2，∴AB2+DC2=AO2+BO2+DO2+CO2，BC2+AD2=AO2+BO2+DO2+CO2，∴AB2+DC2=BC2+AD2；∵AB=2,BC=3,AD=4∴CD2=32+42-22=9+16-4=21∴CD=21．题型04半角模型15.(23-24九年级上·四川眉山·期中)(半角模型)如图，正方形ABCD中，E是AB上的点，F是BC上的点，且∠EDF=45°．求证：AE+CF=EF．【答案】见解析【详解】证明：如图，在BC的延长线上截取CG=AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=∠DCG=90°，∴△ADE≌△CDG SAS，∴DE=DG，∠ADE=∠CDG．∵∠EDF=45°，则∠ADE+∠CDF=∠ADC-∠EDF=45°∴∠FDG=∠CDF+∠CDG=45°．∴∠EDF=∠FDG．在△DEF 和△DGF 中DE =DG∠EDF =∠FDG DF =DF，∴△DEF ≌△DGF SAS ∴EF =GF ．即EF =GC +CF∴AE +CF =EF ．16.(23-24九年级上·广西南宁·期中)【探索发现】如图①，四边形ABCD 是正方形，M ，N 分别在边CD 、BC 上，且∠MAN =45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将△ADM 绕点A 顺时针旋转90°，点D 与点B 重合，得到△ABE ，连接AM 、AN 、MN．(1)试判断DM ，BN ，MN 之间的数量关系，并写出证明过程．(2)如图②，点M 、N 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 的延长线上，∠MAN =45°，连接MN ，请写出MN 、DM 、BN 之间的数量关系，并写出证明过程．【答案】(1)MN =DM +BN ．证明见解析(2)MN =BN -DM ．证明见解析【详解】(1)解：MN =DM +BN ．证明如下：由旋转，可知：AE =AM ，BE =DM ，∠EAM =90°．∠ABE =∠D =90°∴点E 、B 、C 共线∵∠MAN =45°∴∠EAN =∠EAM -∠MAN =45°=∠MAN在△EAN 和△MAN 中AE =AM∠EAN =∠MANAN =AN∴△EAN ≌△MAN (SAS )∴EN =MN∵EN =BE +BN∴MN =DM +BN (2)解：MN =BN -DM ．证明如下：在BC 上取BE =MD ．连接AE ，∵AB =AD ，∠B =∠ADM ，∠EAM =90°∴△ABE ≌△ADM (SAS )∴AE =AM ，∠BAE =∠MAD∵∠MAN =45°∴∠EAN=∠EAM-∠MAN=45°=∠MAN在△EAN和△MAN中，AE=AM∠EAN=∠MANAN=AN∴△EAN≌△MAN(SAS)∴EN=MN∵EN=BN-BE∴MN=BN-DM【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质进行等量转化是解题的关键．17.(23-24九年级上·广东汕尾·期中)如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．(1)求证：△EAG≅△EAF；(2)若DF=3，求BE的长．【答案】(1)见解析(2)BE=2【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°；由旋转的性质可知：∠GAB=∠DAF，AG=AF，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°，∴∠GAB+∠BAE=∠GAE=45°，∴∠GAE=∠EAF=45°，在△EAG和△EAF中，AF=AG∠GAE=∠EAF AE=AE，∴△EAG≅△EAF SAS．(2)解：∵DF=3，CD=6，∴CF=3，由(1)可知：GE=EF，BG=DF，∴CG=9，∴CE+EF=9，在Rt△EFC中，由勾股定理得：CE2+CF2=EF2，即CE2+32=9-CE2，解得：CE=4，∴BE=BC-CE=6-4=2．18.(23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中)【问题情境】神奇的半角模型在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法．如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF=45°，AE、AF与BC、CD分别交于E、F两点，为了探究EF、BE、DF之间的数量关系，小明的思路如下：如图2，延长CB到点H，使BH=DF，连接AH，先证明△ADF≌△ABH，再证明△AHE≌△AFE．从而得到EF、BE、DF之间的数量关系．(1)提出问题：EF、BE、DF之间的数量关系为．(2)知识应用：如图3，AB=AD，∠B=∠D=90°，以A为顶点的∠BAD=120°，∠EAF=60°，AE、AF与BC、CD分别交于E、F两点，你认为(1)中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．(3)知识拓展：如图4，在四边形ABCD中，AB=AD=a，BC=b，CD=c．∠ABC与∠D互补，AE、AF与BC、CD分别交于E、F两点，且∠EAF=1∠BAD，请直接写出△EFC的周长=．(用2含a、b、c的式子表示．)【答案】(1)EF=DF+BE(2)(1)中的结论还成立，证明见解析(3)b+c【详解】(1)解：延长CB到点H，使BH=DF，连接AH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD,∠D=∠ABC=∠ABH=∠BAD=90°，∴△ADF≌△ABH，∴∠DAF=∠BAH,AH=AF，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=90°-∠EAF=45°，∴∠EAH=∠BAE+∠BAH=45°，∴∠EAH=∠EAF，∵AE=AE，∴△AHE≌△AFE，∴EF=EH，∵EH=BE+BH，∴EF=DF+BE；故答案为：EF=DF+BE(2)解：(1)中的结论还成立，证明如下：延长CB到点M，使BM=DF，连接AM，∵∠B=∠D=90°，∴∠ABM=∠D=90°，∵AB=AD，∴△ADF≌△ABM，∴∠DAF=∠BAM,AM=AF，∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，∴∠BAE+∠DAF=60°，∴∠EAM=∠BAE+∠BAM=60°，∴∠EAM=∠EAF，∵AE=AE，∴△AME≌△AFE，∴EF=EM，∵EM=BE+BM，∴EF=DF+BE；(3)解：如图，延长CB到点P，使BP=DF，连接AP，∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠ABP=180°，∴∠D=∠ABP，∵AB=AD，∴△ADF≌△ABP，∴∠DAF=∠BAP,AP=AF，∵∠EAF=1∠BAD，2∠BAD，∴∠BAE+∠DAF=12∴∠EAP=∠EAF，∵AE=AE，∴△APE≌△AFE，∴EF=EP，∵EP=BE+BP，∴EF=DF+BE，∵BC=b，CD=c，∴△EFC的周长=EF+CE+CF=DF+BE+CE+CF=BC+CD=b+c．故答案为：b+c题型05含60°的菱形模型19.(2024·上海·期中)菱形ABCD的边长为23，∠B=60°，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，那么△AEF周长为【答案】9【详解】解：过点A作AM⊥EF，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=BC=CD=23，∵∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =60°，∵AE ⊥BC ，∴BE =CE =12BC =232=3，∠BAE =∠DAF =30°，再Rt △AEB 中，AE =AB 2-BE 2=3，同理可证，∠DAF =∠CAF =30°，AF =3，∴∠EAF =120°-30°-30°=60°，AE =AF =3，∴△AEF 是等边三角形，边长为3∴△AEF 的周长是9．20.(23-24九年级上·重庆沙坪坝·开学考试)如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =60°，过点B 作BE ⊥AB 交CD 于点E ，连接AE ，F 为AE 的中点，连接CF ，CF 交BE 于点G ，则GF 的长为．【答案】192【详解】解：如图，取H 为BE 的中点，∵菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =60°，∴AB =BC =CD =4，AB ∥CD ，∠BAD =∠BCE =60°，∵F 为AE 的中点，H 为BE 的中点，∴EH =12BE ，FH 是△ABE 的中位线，∴FH =12AB =2，AB ∥FH ，∴AB ∥FH ∥CD ，∵BE ⊥AB ，∴FH ⊥BE ，CD ⊥BE ，∴∠FHE =∠BEC =90°，∴∠CBE =90°-60°=30°，∴CE =12BC =2，∴BE =BC 2-CE2=42-22=23，∴EH =12BE =3，∴FH =CE ，在△FHG 和△CEG 中，∠FHG =∠CEG∠FGH =∠CGE FH =CE，∴△FHG ≌△CEG (AAS )，∴EG =GH =12EH =32，在Rt △FHG 中，由勾股定理得：GF =FH 2+GH 2=22+32 2=192，故答案为：192．【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．21.(23-24九年级上·上海·期中)如图，菱形ABCD 中，AB =3，∠DAB =60°，AE =1，点P 为对角线AC上的一个动点，则PE +PB 的最小值为．【答案】7【详解】解：如图，连接BD ，PD ，过D 作DR ⊥AB 于R ，由菱形的对称性可得：PD =PB ，∴PB +PE =PD +PE ≥DE ，当D ,P ,E 三点共线时，PD +PE 最短，∵菱形ABCD 中，AB =3，∠DAB =60°，∴AB =AD =3，△ABD 为等边三角形，∴AR =BR =32，DR =AD 2-AR 2=323，∵AE =1，∴ER =32-1=12，∴DE =12 2+323 2=7，∴PB +PE 的最小值为：7；故答案为：7【点睛】本题考查的是菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，三角形的三边关系的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．22.(23-24九年级上·广西钦州·期中)如图，已知菱形ABCD 的边长为8，点M 是对角线AC 上的一动点，且∠ADC =120°，则MA +MB +MD 的最小值是．【答案】83【详解】解：如图，过点M 作ME ⊥AB 于点E ，连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB∥CD，AD=AB=DC=BC，∠DAB，∠MAE=12∴∠DAB+∠ADC=180°，∴∠DAB=180°-120°=60°，∴∠MAE=1∠DAB=30°，2△DAB是等边三角形，∵ME⊥AB，∴AM=2ME，∵MD=MB，∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2ME+DM，∴当D、M、E三点共线时，ME+DM取得最小值，此时ME+DM=DE，∴MA+MB+MD的最小值为2DE，AB=4，∴AE=12∴DE=AD2-AE2=82-42=43，∴2ME+DM=2DE=83，∴MA+MB+MD的最小值为83；故答案：83．23.(23-24九年级上·四川绵阳·开学考试)如图，△ABC中，∠BCA=90°，D是斜边AB的中点，若CE∥AB，DE∥BC，且DE交AC于点O，连接AE．(1)求证：四边形ADCE是菱形；(2)若∠B=60°，BC=6，则四边形ADCE的面积=．【答案】(1)证明见解析(2)183【详解】(1)证明：∵CE∥AB，DE∥BC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴CE∥BD，且EC=BD．∵D是斜边AB的中点，∴AD=BD，∴EC=AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠BCA=90°，D是斜边AB的中点，∴CD=12AB=AD，∴平行四边形ADCE是菱形．(2)解：∵∠BCA=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°，∵BC=6，∴AB=2BC=12，∴AC=AB2-BC2=122-62=63，由(1)知，四边形ADCE是菱形，四边形DBCE是平行四边形，∴AC⊥DE，DE=BC=6，∴菱形ADCE的面积=12AC×DE=12×63×6=183，故答案为：183【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．24.(23-24九年级上·浙江杭州·开学考试)如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．【答案】(1)见解析(2)菱形的面积为83【详解】(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE=BC，又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵BE=FE，∴四边形BCFE是菱形；(2)解：∵∠BCF=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，作EG⊥BC于G，∴∠BEG=30∘,∠BGE=90∘，∴BG=12BE=2,∴EG=23，即高为23，∴菱形的面积为4×23=8 3.题型06三垂线模型25.(23-24九年级上·浙江嘉兴·期中)如图，在正方形ABCD中，点G为CD边上一点，以CG为边向右作正方形CEFG，连接AF，BD交于点P，连接BG，过点F作FH⎳BG交BC于点H，连接AH，交BD于点K，下列结论中错误的是()A.HE=CDB.△AHF是等腰直角三角形C.点P为AF中点D.PK=BK+DP【答案】D【详解】解：A．∵四边形CEFG是正方形，∴GF∥CE，GF=CE，∵BG∥HF，∴四边形BHFG为平行四边形，∴GF=BH，∴BH=CE，∴BC=HE，∵四边形ABCD为正方形，∴BC=CD．∴HE=CD，故A正确；B．∵ABCD是正方形，CEFG是正方形，∴AB=BC，CE=EF，∠ABH=∠HEF=90°，∵BC=HE，BH=CE，∴AB=HE，BH=EF，∴△ABH≌△HEF(SAS)，∴AH=HF，∠BAH=∠EHF，∵∠BAH+∠AHB=90°，∴∠EHF+∠AHB=90°，∴∠AHF=90°，∴△AHF为等腰直角三角形，故B正确；C．过H作HM⊥BC，HM与BD交于点M，连接MF，则MH∥EF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∠HBD=1∠ABC，2∴∠HBM=45°，∴BH=MH，∵△ABH≌△HEF，∴BH=EF，∴MH=EF，∴四边形EFMH为矩形，∴MF∥BE∥AD，MF=HE，∴∠DAP=∠MFP，∠ADP=∠FMP，∵AD=BC=HE，∴AD=MF，∴△P AD≌△PFM(ASA)，∴AP=FP，故C正确；D．将△ADP绕点A顺时针旋转90，得△ABQ，连接QK，则AQ=AP，∠QAP=90°，∵△AHF是等腰直角三角形，∴∠HAF=45°，∴∠QAK=∠P AK=45°，∵AK=AK，∴△AQK≌△APK(SAS)，∴QK=PK，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠ADB=45°，由旋转性质知，∠ABQ=∠ADP=45°，BQ=DP，∴∠QBK=90°，∴BK2+BQ2=QK2，∴BK2+DP2=KP2，故D错误；故选：D．【点睛】本题是正方形的一个综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，后两选项关键在构造全等三角形．26.(23-24九年级上·广西贵港·期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=7，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，EF垂直于CA的延长线于F，连接CE，则CE的长为()A.13B.15C.17D.20【答案】C【详解】∵四边形ABDE是正方形，∴∠BAE=90°，AE=AB，∵EF ⊥CA ，∴∠F =90°，∴∠EAF +∠AEF =90°，∵∠EAF +∠BAC =180°-∠BAE =90°，∴∠AEF =∠BAC ，在ΔAEF 和ΔBAC 中，∠F =∠ACB =90°∠AEF =∠BAC AE =AB，∴ΔAEF ≌ΔBAC AAS ，∴EF =AC =8，AF =BC =7，在Rt ΔECF 中，EF =8，FC =FA +AC =8+7=15，根据勾股定理得：CE =82+152=17，故选：C ．【点睛】此题考查了勾股定理，正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．27.(23-24九年级上·辽宁盘锦·期中)如图，正方形ABCD 的边长为3，点E 在AB 上，点F 在BC 的延长线上，且AE =CF ，则四边形EBFD 的面积为：．【答案】9【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =DC ，∠A =∠DCF =90°，∵AE =CF，∴△DAE ≅△DCF SAS ，∴四边形EBFD 的面积=正方形ABCD 的面积=32=9．故答案是9．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，准确计算是解题的关键．28.(23-24九年级上·陕西西安·期中)已知：点E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四条边中点，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE 得到四边形EFGH ．有下列说法：①四边形EFGH 是平行四边形；②当四边形ABCD 为平行四边形时，四边形EFGH 是菱形；③当四边形ABCD 为矩形时，四边形EFGH 是菱形；④当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是矩形；⑤若四边形EFGH 是正方形，则四边形ABCD 一定是正方形．其中正确的是()A.①③④B.①②⑤C.①③④⑤D.②④⑤【答案】A 【详解】解：如图所示，连接BD 、AC ，∵E 、H 分别为AD ，CD 中点，∴EH =12AC ，同理，FG =12AC ，EF =12BD ，HG =12BD ，∴EH =FG ，EF =HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，故①正确；当四边形ABCD 是矩形时，则AC =BD ，∴EH =EF ，∴平行四边形EFGH 是菱形，而当四边形ABCD 是平行四边形时，不能得出EH =EF ，故②错误，③正确；当AC ⊥BD 时，∵E 、F 、H 分别为AD 、AB 、CD 中点，∴EF ∥BD ，EH ∥AC ，∴EF ⊥EH ，∴四边形EFGH 是矩形，故④正确；∵EF =GH =12BD ，EH =FG =12AC ，四边形EFGH 是正方形，∴EF =GH =EH =FG ，EF ⊥EH ，∴BD =AC ，BD ⊥AC ，不能说明四边形ABCD 是正方形，故⑤错误；故选A ．29.(23-24九年级上·山东泰安·期中)如图，菱形ABCD 中，∠B =60°，AB =2cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为()A.23cmB.33cmC.43cmD.3cm【答案】B【详解】解：连接AC ，∵菱形ABCD ，∴AB =AD =BC =CD =2cm ，∠B =∠D ，∵E 、F 分别是BC 、CD 的中点，∴BE =12BC =1,DF =12CD =1，∴BE =DF =1，在△ABE 和△ADF 中，AB =AD∠B =∠D BE =DF，∴△ABE ≌△ADF (SAS )，∴AE =AF ,∠BAE =∠DAF ，∵∠B =∠D =60°，∴△ABC 与△ACD 是等边三角形，∴AE ⊥BC ，∴∠BAE =∠DAF =90°-60°=30°，AE =AB 2-BE 2=3，∵∠BAD =180°-∠B =120°，∴∠EAF =∠BAD -∠BAE -∠DAF =120°-30°-30°=60°，∴△AEF 是等边三角形，∴△AEF 的周长是33cm ．故选B ．30.(23-24九年级上·江苏无锡·期中)如图，在正方形ABCD 中，AB =4，点E 是边AD 的中点，将△DCE沿着CE 翻折，得到△D CE ，延长BD 交CE 的延长线于点H ，则EH =．【答案】255【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，AB =4，∴∠A =∠B =∠C =∠D =90°,AB =BC =CD =AD =4，∵点E 是边AD 的中点，∴DE =AE =12AD =2，在Rt △CDE 中，CE =DE 2+CD 2=22+42=25，∵将△DCE 沿着CE 翻折，得到△D CE ，∴∠DCE =∠D CE =12∠DCD ，∠D =∠CD E =90°，CD =CD =4，DE =D E =2，∴CD =BC ，如图，过点D ′作D F ⊥CH 于点F ，过点C 作CG ⊥BH 于点G ，则∠D CG =∠BCG =12∠BCD ，∴∠HCG =∠D CE +∠D CG =12∠DCD +12∠BCD =12(∠DCD +∠BCD )=12∠BCD =45°，∴∠H =45°，∴△D FH 为等腰直角三角形，HF =D F ，∵S ΔDCE =12D E ×CD =12CE ×D F ，∴D F =D E ×CD CE =2×425=455,∴HF =D F =455，在Rt △D EF 中，EF =D E 2-D F 2=22-455 2=255，∴EH =HF -EF =255，故答案为：255．【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，正确作出辅助线，根据题意推理论证得到∠H =45°是解题关键．31.(23-24九年级上·山西太原·期中)如图，在正方形ABCD 中，AB =3，点E 是BC 边上一点，且CE =2BE ，连接AE ，点F 是AB 边上一点，过点F 作FG ⊥AE 交CD 于点G ，连接EF ，EG ，AG ，则四边形AFEG 的面积为．【答案】5【详解】解：如图，过F 点作FH ⊥CD 于H ，∴∠FHG =90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =AB =3，∠B =∠C =90°，∴四边形BCHF 是矩形，∴FH =BC =AB =3，∠BFH =90°，∴∠GFH +∠AFG =90°，∵AE ⊥FG ，∴∠AFG +∠EBA =90°，∴∠EAB =∠GFH ，在△ABE 和△FHG 中，∠B =∠FHGAB =FH ∠BAE =∠HFG，∴△ABE ≌△FHG (ASA )∴AE =FG ，∵CE =2BE ，∴BE =13BC =1，∴AE =AB 2+BE 2=32+12=10，∴FG =10，∴S 四边形AFEG =12AE ⋅FG =12×10×10=5；故答案：5．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，对角形互相垂直的四边形面积等，掌握正方形中“十字架”模型的解法是解题的关键．32.(23-24九年级上·山西吕梁·期中)如图，正方形ABCD 的周长为16cm ，顺次连接正方形各边中点E 、F 、G 、H ，得到四边形EFGH 的面积等于cm 2．【答案】8【详解】解：连接AC ，BD ，∵点E 、F 、G 、H 是正方形各边的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，FG 是△ABC 的中位线，GH 是△BCD 的中位线，EH 是△ADC 的中位线，∴EF =GH =12BD ，FG =EH =12AC ，EF ∥BD ，FG ∥AC ，又∵AC =BD ，∴EF =FG =GH =EH ，∴四边形EFGH 是菱形，又∵AC ⊥BD ，EF ∥BD ，FG ∥AC ，∴EF ⊥FG ，∴四边形EFGH 是正方形∵正方形ABCD 的周长为16cm ，，∴AB =BC =CD =AD =4，在Rt △ABD 中，由勾股定理，得BD =42，，∴EF =12BD =22∴四边形EFGH 的面积=22 2=8cm 2．故答案为：8．33.(23-24九年级上·山东东营·开学考试)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边长为2，点B 在y 轴上，∠AOC =60°，则点B 的坐标为．【详解】解：如图，连接AC交BO于点D，∴OC=OA=2,OD=DB，AC⊥BD，∵∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴AC=OA=2，AC=1，∴AD=12∴OD=OA2-AD2=3，∴OB=2OD=23，∵点B在y轴上，∴点B的坐标为0,23．故答案为：0,23．34.(23-24九年级上·湖北咸宁·期中)在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°．EA交BD于M，AF交BD于N．(1)作△APB≌△AND(如图①)，求证：△APM≌△ANM；(2)求证：MN2=BM2+DN2；(3)矩形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，∠MAN=∠CMN=45°，(如图②)，请你直接写出线段MN，BM，DN之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)MN2=2BM2+2DN2．理由见解析【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∵∠EAF=45°．∴∠BAM+∠NAD=45°，∵△APB≌△AND，∴P A=NA，∠P AB=∠NAD，∴∠P AB+∠BAM=45°，∴∠P AM=∠NAM=45°，在△APM和△ANM中，P A=NA∠P AM=∠NAMAM=AM，∴△APM≌△ANM(SAS)；(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABD=∠ADB=45°，∵△APB≌△AND，∴PB=ND，∠ABP=∠ADB=45°，∴∠BPM=∠ABP+∠ABD=90°，∴PM2=BM2+PB2，∵△APM≌△ANM，∴PM=MN，∴MN2=BM2+DN2；(3)解：MN2=2BM2+2DN2．理由如下：将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△AB M ．如图：过点M 作M F⊥CD于F，连接M N，同(1)可证△AMN≌△AM N，∴M N=MN．∵∠C=90°，∠CMN=45°，∴CM=CN．设BM=a，DN=b，CM=c，则AD=a+c，CD=b+c，∴M F=AD-AB =AD-AB=a+c-(b+c)=a-b，NF=DN+DF=DN+B M =DN+BM=b+a．在Rt△M FN中，M N2=M F2+NF2=(a-b)2+(a+b)2=2a2+2b2，∴MN2=2BM2+2DN2．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形以及勾股定理，解题的关键是：(1)利用SAS即可证明△APM≌△ANM；(2)证明∠BPM=90°，利用勾股定理求解；(3)通过构造直角三角形，利用勾股定理找出MN2=2BM2+2DN2．35.(23-24九年级上·四川成都·期中)如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，CE=DF，AB=BE，AE与BF相交于点O，连接EF．(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若平行四边形ABCD的周长为22，CE=DF=3，∠ABE=60°，求AE的长．【答案】(1)见解析(2)4【详解】(1)证明：∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC,AD=BC，∵CE=DF，∴AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=BE，∴四边形ABEF是菱形；(2)解：∵平行四边形ABCD，∴AB=CD,AD=BC，∵平行四边形ABCD的周长为22，∴AB+BC=11，∴AB+BE+EC=11，∵AB=BE,CE=3，∴AB=BE=4，∵∠ABE=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=BE=4．【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．。

探究课：“神奇的中点四边形”教学实录及分析前郭县教师进修学校李宏伟探究课：“神奇的中点四边形”教学实录及分析前郭县教师进修学校李宏伟提出探究问题：刚才我们研究的是一般四边形．．．．．的中点四边形，如果继续探究下去，你还能提出探究的问题吗？（或教学风格分析用生命备课——激活生命，尊重个性——绽放生命，挑战自我。

一、精心备课，思路清晰。

本节课的设计由始至终在研究方法上贯穿一条主线：把四边形的问题转化为三角形的问题来解决，即连接对角线，利用中位线定理证明。

通过讨论和展示多种证明方法既开拓了学生的思路又始终引导学生沿主线展开研究。

所以在本节课中，充分利用多媒体灵活多变、信息容量大的特点，以学生为主体，通过观察、讨论、交流、推理等学习方式，把探索“中点四边形”这一内容轻松而又愉悦的学完。

在探究过程中多次运用了几种特殊四边形识别、性质和中位线性质定理，并在此基础上进行了应用和拓展，有效地培养了学生的抽象思维、逆向思维能力，解决问题的能力；渗透了从“特殊——一般——特殊”研究问题的思想方法；培养了学生勇于探索和勇于创新的精神。

二、面向全体，激活生命。

在这一节课上，我面向全体学生，充分体现了“教师主导作用，学生的主体地位”，使学生真正学有所得。

重视数学思想的不断渗透，无论是在活动中的结论探究还是在应用中的练习解答，始终引导学生化未知为已知，从学生原有认知出发，在学生原有的基础上展开探究，从易到难，从简单到复杂，层层递进，解决问题，不断渗透数学思想，为学生的全面发展而努力。

在研究问题方面，引导学生从特殊到一般，再到特殊。

通过对图形既相互变化，又相互联系的内在规律渗透辩证唯物主义观点，领悟事物是运动、变化、相互联系和相互转化的。

三、探索不断，热情高涨。

“问题是数学的心脏”。

本节课由问题“为什么说任意四边形的中点四边形都是平行四边形”的解决引入，再运用新知识来探索“特殊四边形的中点四边形的特殊性”，学生的注意力随着问题的提出和学习的深入而得到不断加强和调节，学生整节课的学习热情比较高。

多个中点，考虑（或构造）______________．
1. 如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，E ，F ，G 分别是
AB ，CD ，AC 的中点，若∠ACB ＝66°，∠CAD ＝20°，
则∠EFG =________.
2．如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，E 、F 分别是DC 及AB 的中点，射线FE 与AD 及BC 的延长线分别交于点H 及G ．试猜想∠AHF 与∠BGF 的关系，并给出证明．
3．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB=CD ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，连接FE 并延长，分别与BA ，CD 的延长线交于点M ，N ．
求证：∠BME=∠CNE ；（提示：取BD 的中点H ，连接FH ，HE 作辅助线）
（2）如图2，在△ABC 中，F 是BC 边的中点，D 是AC 边上一点，E 是AD 的中点，直线FE 交BA 的延长线于点G ，若AB=DC=2，∠FEC=45°，求FE 的长度．
A C D F
G
答案：1 . 2.相等
3. 提示：若猜想不出∠AHF 与∠BGF 的关系，可考虑使四边形ABCD 为特殊情况．如果给不出证明，可考虑下面作法，连结AC ，以F 为中心，将△ABC 旋转180°，得到△ABP ．
23。

中点构造（二）知识目标：模块一 斜边中线综合运用 例1、例2、例3、例4 难度：★★★ 模块二 “逆序脚拉脚”模型解法探究例5、例6、例7难度：★★★★知识导航：直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图，若AD 为Rt △ABC 斜边上 的中线，则AD ＝12BC 除此之外，还可以得到以下结论： （1）AD ＝BD ＝DC ；（2）∠B ＝∠DAB ，∠C ＝∠DAC ； （3）∠ADB ＝2∠C ，∠ADC ＝2∠B ；CD BA斜边中线的用法：斜边中线定理及推论示例剖析①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，若∠ACB ＝90°，AD ＝CD ，则AD ＝12BC ．（可以直接使用）CD BA②若∠ACB ＝90°，AD ＝CD ，则CD ＝BD ＝12AB ． （不能直接使用，需导角证明）CD BA③若A 、D 、B 共线，CD ＝AD ＝BD ，则 ∠ACB ＝90°．（不能直接使用，需导角证明）CD BA斜边中线相关模型：MMABDCCDBA如上图，在由两个共斜边的直角三角形组成的图中，若M 为斜边中点，总有结论： AM ＝MD ，∠AMD ＝2∠ABD ．模块一：斜边中线综合运用例1如图，△ABC 中，∠C ＝90°，D 在CB 上，E 为AB 中点，AD 、CE 相交于F ，且AD ＝DB ，若 ∠B ＝20°，则∠DFE ＝ ．FDCBEA练习（2017华一寄八下月考）如图，四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠ADC ＝90°，点E 为AC 中点，点F 为BD 中点，求证： EF ⊥BD ．FE BCDA例2已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在BC 上，点E 为AB 上，且BD ＝DE ，点P 、M 、N 分别为AD 、BE 、BC 的中点．（1）如图，若∠BAC ＝90°，求∠PMN 的度数；（2）若∠BAC ＝α，求∠PMN 的度数（用含α的代数式表示）．P CNDBM E A如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，点M 、N 分别是BC 、DE 的中点． （1）求证：MN ⊥DE ；（2）连接ME 、MD ，若∠BAC ＝60°，试判断△MED 的形状．CB MNDEA真题演练（2017粮道街中学八下月考第10题）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BD ＝AD ＝8，DC ＝6，P 为边AC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥BC 于F ，连接EF ，则EF 的最小值为（ ） A ．2825 B ． 565C ． 1422D ． 6 F AEBDCP例3已知：在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，M 是BC 中点，AD ⊥BC 于D ，求证：DM ＝12AB ． M CD BA（2017外校八下期中）如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC ＝75°，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE ＝2AB ，则 ∠AED ＝ ．D CFEBA例4（2017七一中学八下期中第23题）如图1，在平行四边形ABCD 中，点M 、P 分别在边AB 、DC 上，且MP ⊥DC ，N 是BC 的中点，连接MN 、PN ．（1）求证：MN ＝PN ；（2）如图2，当平行四边形ABCD 为菱形，且M 是AB 的中点时，若△NPC 为等腰三角形，求∠B 的度数．ADP CN BM图2图1M BN C P DA模块二：“逆序脚拉脚”模型解法探究例5 如图，已知△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角△ABF 和等腰直角△ACE ，D 为BC 中点，连DF 、EF ，求证：DE ＝DF ，DE ⊥DF ；ECDBFA如图，△ADB 、△ACE 、△BCF 均为等腰直角三角形，∠ADB ＝∠ACE ＝∠BFC ＝90°，AD ＝BD ， AE ＝CE ，BF ＝CF ，求线段DF 、BE 的关系．AFBDCE例6已知两个共一个顶点的等腰Rt △ABC 、Rt △CEF ，∠ABC ＝∠CEF ＝90°，连AF ，M 是AF 的中点，连接MB 、ME ．（1）如图1，当CB 与CE 在同一直线上时，求证：MB ∥CF ；（2）如图2，当CB 与CE 不在同一直线上时，求证：BM ＝ME ，BM ⊥ME ．ACFEMB图2图1B M EFC A例7 如图，△ACD ，以AC 、AD 为斜边分别向外作Rt △ABC 和Rt △AED ，∠BAC ＝∠EAD ＝α，090α︒<<︒，F 是CD 的中点，连接BF 、EF ． （1）求证：BF ＝EF ；（2）求∠BFE 的度数（用含α的代数式表示）．EDFCBA已知△ABC ，以AB 、AC 为腰向△ABC 外作等腰△ABE 和等腰△ACF ，AB ＝BE ，AC ＝CF ，∠ABE ＝ ∠ACF ，G 、M 、N 分别是BC 、AE 、AF 的中点，求证：GM ＝GN ．EMNFGCB A拓展已知△ABC 中，AB ＝AC ，N 为BC 中点，△DBE 中，DB ＝DE ，M 为BE 中点，∠ABC ＝∠DBE ＝α，连AD ，P 为AD 中点，连PM 、PN ．（1）如图，当BE 与BA 重合时，PM 与PN 有什么数量关系？先回答，并加以证明；PCD NM BE A（2）如图，把（1）中的△DBE 绕B 点逆时针旋转(0)ββα<<，其他条件不变，问（1）中结论还成立吗？先回答，再说明理由．AE BM NDCP课后作业：A 基础巩固1．（2017外校八下期中）如图，正方形ABCD 和正方形CGEF 的边长分别为2和3，且点B 、C 、G 在同一直线上，M 是线段AE 的中点，连接MF ，则MF 的长为（ ） A ．2 B ．22 C ． 22 D ． 24第3题图BD E AC 第2题图N MP CBA 第1题图DMFEG C BA2． 如图，在锐角△ABC 中，∠BAC ＝60°，BN 、CM 为高，P 为BC 的中点，连接MN 、MP 、NP ，则下列结论：①NP ＝MP ；②当∠ABC ＝60°时，MN ∥BC ；③BN ＝2AN ；④AN ：AB ＝AM ：AC ．其中一定正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个3． 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是斜边AB 的中点，DE ⊥AC ，垂足为E ，若DE ＝2， CD ＝25，则BE 的长为 ．4． 如图，△BCD 和△BCE 中，∠BDC ＝∠BEC ＝90°，O 为BC 的中点，BD 、CE 交于A ，∠BAC ＝120°，求证：DE ＝OE ．CBODEA5． 如图，△ABC 中，DM ＝12AB ，M 是BC 的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：∠B ＝2∠C ． ABD CM6． 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别在AB 、AC 上，且AE ＝EF ，点O 、M 分别为AF 、CE 的中点． 求证：（1）OM ＝12CE ； （2）OB ＝2OM ． MEBCF OAB 综合训练7． 已知，正方形ABCD 和正方形CEFG 共顶点C ，M 为AF 的中点． （1）如图1，若B 、C 、G 三点共线，求证：ME ＝MD ，ME ⊥MD ．（2）如图2，若将（1）中的正方形ABCD 绕C 点逆时针旋转任意一个锐角度数，其它条件不变，（1）中结论是否仍成立？请说明理由．EABCDMFG图2图1EDM FGC BA8． 如图等腰Rt △ABC 与等腰Rt △CDE 斜边AC 与CE 共线，连接BD 交AC 于M ，F 为AE 中点，连接BF ． （1）求证：BC －DE ＝2AF ；（2）试猜想∠DBF 的度数，并证明你的结论； （3）若AF ＝3，12EM CM ，求BD 的长 ． FME DCBAFME DC BA数学故事猴年闰腊月“等到猴年闰腊月吧！”这句话在日常生活中有时会听得到，意思是指，对于想办成一件事情或者实现一种愿望，似乎是没有多大的指望。

“中点四边形”教学设计晋江二中缪妹玉教材分析课题学习也是初中数学学习的一个组成部分，在每个学期的数学课本里都有两到三个课题，“中点四边形”一节课是《初中三年级下册》的课题学习的内容。

这一节课与平行四边形的基本性质及判别有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，即让学生了解原四边形的对角线与中点四边形的边有着密切的关系，又使学生加深对特殊平行四边形的判别的理解，还为日后的研究性学习做好准备,对培养学生的科学素养起到启蒙的重要作用。

设计理念1、学生往往不重视课题学习或找不到方法去研究这个课题。

而这节课的教学设计就是为学生研究这个课题在方法上搭建了一个平台。

2、利用新课程多元化的教学目标来设计教学，以教材作为实现教学目标的载体，把培养学生学生人文素养作为教学的最终目的和价值追求。

3、抛弃旧的知识传授型的教学模式，通过观察比较、动手操作、小组讨论，引导课堂实践。

在课堂实践过程中，教学设计要因学生的发展需要而改变。

教学目标1、知识与技能：让学生理解中点四边形的概念，掌握中点四边形的形状判定、证明及应用；培养学生独立分析问题、解决问题的能力。

2、过程与方法：经历“问题情境—建立模型—探索与猜想—解释与应用”，获得一些研究问题的方法和经验。

3、情感态度和价值观：激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索、勇于创新的精神。

教学重点：中点四边形形状判定和证明教学难点是：对确定中点四边形形状的主要因素的分析和概括教学准备：1、学生准备：预习本节课，完成导学案内容。

2、教师准备：设计导学案，引导学生预习；制作课件。

预见可能出现的问题：学生对中点四边形与原四边形的形状间的关系容易产生错误的认识，必须使学生认清中点四边形与原四边形的形状的确定是由原四边形的对角线的关系及中点四边形的邻边决定的。

采取对策：让学生从熟悉的图形:矩形、菱形入手,证明它们的中点四边形分别是菱形、矩形。

然后通过“回味刚才的证明过程,”让学生注意到在证明过程中运用了矩形、菱形的对角线相等、对角线互相垂直的性质,而没有用对角线互相平分的性质,从而把图形变式,将特殊情况予以推广。

《中点四边形》课后练习一、选择题（本大题共10小题）1．（2020春•崇川区校级期中）已知四边形ABCD的对角线相等，顺次连接四边形的四条边中点，所得到的新四边形的形状是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【分析】根据三角形中位线定理得到EF∥BD，GH∥BD，EF BD，GH BD，EH AC，根据菱形的判定定理证明即可．【解析】∵E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点，∴EF∥BD，GH∥BD，EF BD，GH BD，EH AC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC＝BD，EF BD，EH AC，∴EF＝EH，∴平行四边形EFGH是菱形，故选：C．2．（2020春•清江浦区期末）已知四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，且AC＝10，BD＝8，那么顺次连接四边形ABCD各边中点所得到的四边形面积为（）A．40B．20C．16D．8【分析】根据四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，K、L、M、N分别为四边形各边的中点，求证四边形KLMN为矩形和KN．KL的长，然后即可求出四边形KLMN的面积．【解析】如图，∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，K、L、M、N分别为四边形各边的中点，∴四边形KLMN为矩形，∴KN∥AC，且KN AC，∵AC＝10，∴KN10＝5，同理KL＝4，则四边形KLMN的面积为4×5＝20．故选：B．3．（2020春•木兰县期中）顺次连接四边形各边中点所构成的四边形是正方形，则原四边形可能是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到EF AC，EH BD，EH∥BD，EF∥AC，根据正方形的判定定理解答即可．【解析】如图，连接AC、BD，∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴EF是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，∴EF AC，EH BD，EH∥BD，EF∥AC，∵四边形EFGH为正方形，∴EH＝EF，∴AC＝BD，∵EH∥BD，EF∥AC，∠HEF＝90°，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD的对角线相等且互相垂直，∴四边形ABCD可能是正方形，故选：D．4．（2020春•徐州期中）如图，是一组由菱形和矩形组成的图案，第1个图中菱形的面积为S（S为常数），第2个图中阴影部分是由连接菱形各边中点得到的矩形和再连接矩形各边中点得到的菱形产生的，依此类推…，则第2020个图中阴影部分的面积可以用含S的代数式表示为（）（S≥2且S是正整数）A．B．C．D．【分析】观察图形发现第2个图形中的阴影部分的面积为，第3个阴影部分的面积为，依此类推，得到第n 个图形的阴影部分的面积即可．【解析】观察图形发现：第2个图形中的阴影部分的面积为，第3个图形中的阴影部分的面积为，…第n个图形中的阴影部分的面积为．故第2020个图中阴影部分的面积可以用含S的代数式表示为，故选：B．5．（2020秋•岐山县期中）如图，任意四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接AC，BD，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形B．若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形C．若AC＝BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH为正方形D．若AC与BD互相平分，且AC＝BD，则四边形EFGH是正方形【分析】连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可．【解析】A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC＝BD时，存在EF＝FG＝GH＝HE，故四边形EFGH 为菱形，故本选项不符合题意；B、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，故四边形EFGH为矩形，故本选项不符合题意；C、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC＝BD，且AC⊥BD，存在EF＝FG＝GH＝HE，∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，故四边形EFGH为正方形，故本选项不符合题意；D、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC与BD互相平分，且AC＝BD，故四边形EFGH为菱形，故本选项符合题意；故选：D．6．（2020秋•荥阳市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝60°，点D是斜边BC的中点，分别以点A，B为圆心，以BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接EA，EB，ED得到四边形EBDA，依次连接四边形EBDA四条边中点得到四边形GHIJ，若AC＝2，那么四边形GHIJ的周长为（）A．2B．2+2C．4+2D．4+4【分析】在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝2，∠C＝60°，推出BC＝2AC＝4，AB AC＝2，由BD＝CD，推出AD＝DB＝DC＝2，由作图可知，四边形ADBE是菱形，推出中点四边形GHIJ是矩形，求出IJ．IH，即可解决问题．【解析】在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝2，∠C＝60°，∴BC＝2AC＝4，AB AC＝2，∵BD＝CD，∴AD＝DB＝DC＝2，由作图可知，四边形ADBE是菱形，∴中点四边形GHIJ是矩形，∵AD＝AC＝DC，∴∠ADC＝60°，∵AE∥DB，∴∠EAD＝∠ADC＝60°，∵AE＝AD，∴△AED是等边三角形，∴AD＝DE＝2，∵AJ＝JE，AI＝ID，∴IJ DE＝1，∵BH＝DH，AI＝ID，∴IH AB，∴四边形GHIJ的周长＝2（1）＝2+2，故选：B．7．（2020秋•九龙坡区校级期中）如图，将正方形（图①）作如下操作：第1次，分别连接各边中点，得到5个正方形（图②）；第2次将图②中左上角的正方形按上述方法再分割得到9个正方形（图③），…，以此类推，若要得到2033个正方形，则需要操作（）次．A．506B．507C．508D．509【分析】根据正方形的个数变化规律，可得第n次得到（4n+1）个正方形，据此可得结论．【解析】∵第1次：得到4+1＝5个正方形；第2次：得到4×2+1＝9个正方形；…以此类推，第n次得到（4n+1）个正方形，若第n次得到2033个正方形，则4n+1＝2033，解得：n＝508．故选：C．8．（2020春•仙居县期末）如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD和DA的中点，连接EF，FG，GH和HE．若EH＝3EF，则下列结论正确的是（）A．AB EF B．AB＝2EF C．AB＝3EF D．AB EF【分析】连接AC、BD交于O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形EFGH是矩形，根据勾股定理计算即可．【解析】连接AC、BD交于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，∴EF AC，EF∥AC，EH BD，EH∥BD，∵EH＝3EF，∴OB＝3OA，∴AB OA，∴AB EF，故选：D．9．（2019秋•海淀区校级月考）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA中点，AC⊥BD．则下列相关叙述中错误的是（）A．连接EG，FH，则有EG＝FHB．若BD，则以E，F，G，H为顶点的四边形为正方形C．连接EG，FH，相交于点O，则OE＝OF＝OG＝OHD．若EF＝3，FG＝4，则EG＝5【分析】如图，连接EH，HG，FG，EF．EG，FH，设EG交FH于点O．证明四边形EFGH是矩形即可解决问题．【解析】如图，连接EH，HG，FG，EF．EG，FH，设EG交FH于点O．∵AE＝EB，AH＝DH，∴EH∥BD，EH BD，同法可证FG∥BD，FG BD，EF∥AC，∴EH＝FG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵ACBD，EF∥AC，∴EF⊥BD，∵EH∥BD，∴EH⊥EF，∴∠FEH＝90°，∴四边形EFGH是矩形，∴EG＝FH，∴OE＝OG＝OF＝OH，∴∠EFG＝90°，若EF＝3，FG＝4，则EG5．故选项A，C，D正确，故选：B．10．（2019春•青山区期中）如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形A n B n∁n D n．则下列结论正确的个数有（）①四边形A1B1C1D1是矩形；②四边形A4B4C4D4是菱形；③四边形A5B5C5D5的周长为；④四边形A n B n∁n D n的面积是．A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：①根据矩形的判定与性质作出判断；②根据菱形的判定与性质作出判断；③由四边形的周长公式：周长＝边长之和，来计算四边形A5B5C5D5的周长；④根据四边形A n B n∁n D n的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．【解析】①连接A1C1，B1D1．∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，∴四边形A1B1C1D1是平行四边形；∵AC⊥BD，∴四边形A1B1C1D1是矩形，∴B1D1＝A1C1（矩形的两条对角线相等）；∴A2D2＝C2D2＝C2B2＝B2A2（中位线定理），∴四边形A2B2C2D2是菱形；故①结论正确；②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；故②结论正确；③根据中位线的性质易知，A5B5A3B3A1B1AC，B5C5B3C3B1C1BD，∴四边形A5B5C5D5的周长是2（a+b），故③结论正确；④∵四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，∴S四边形ABCD＝ab÷2；由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，四边形A n B n∁n D n的面积是．故④结论正确．综上所述，①②③④正确．故选：A．二．填空题（共8小题）11．（2020春•广陵区校级期中）若顺次连接四边形ABCD四边中点所得的四边形是菱形，则原四边形的对角线AC、BD所满足的条件是AC＝BD．【分析】根据三角形中位线定理得到EF BD，EH AC，根据菱形的性质得到EF＝EH，得到答案．【解析】∵E、F、H分别是边AD、AB、CD的中点，∴EF BD，EH AC，∵四边形EFGH是菱形，∴EF＝EH，∵EF BD，EH AC，∴AC＝BD，故答案为：AC＝BD．12．（2020春•高淳区期末）△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D在△ABC内，且BD＝CD，∠BDC＝90°，E、F、G、H分别是AB、AC、BD、CD的中点，则四边形EFHG的面积为．【分析】连接AD并延长交BC于点P，根据线段垂直平分线的定义得到BP＝CP＝5，AP⊥BC，根据勾股定理求出AP，根据直角三角形的性质求出PD，得到AD的长，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形EFHG为矩形，根据矩形的面积公式计算，得到答案．【解析】连接AD并延长交BC于点P，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AP是线段BC的垂直平分线，∴BP＝CP＝5，AP⊥BC，在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，BP＝CP，∴DP BC＝5，在Rt△APB中，AP12，∴AD＝12﹣5＝7，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF BC＝5，EF∥BC，同理，GH BC，GH∥BC，EG BC＝3.5，EG∥AD，∴GH＝EF，GH∥EF，∴四边形EFHG为平行四边形，∵EF∥BC，EG∥AD，AP⊥BC，∴四边形EFHG为矩形，∴四边形EFHG的面积＝5，故答案为：．13．（2020春•邗江区期末）已知四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，且AC＝10，BD＝8，那么顺次连接四边形ABCD各边中点所得到的四边形面积为20．【分析】根据四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，K、L、M、N分别为四边形各边的中点，得到四边形KLMN为矩形和KN、KL的长，求出四边形KLMN的面积．【解析】如图，∵K、L分别为AD、AB的中点，∴KL是△ABD的中位线，∴KL BD＝4，KL∥BD，同理，NM BD，NM∥BD，ML AC＝5，ML∥AC，∴KL＝MN，KL∥MN，∴四边形KLMN为平行四边形，∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，NM∥BD，ML∥AC，∴KL⊥ML，∴四边形KLMN为矩形，∴四边形KLMN的面积为4×5＝20，故答案为：20．14．（2020春•东海县期末）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第2020个矩形的面积为．【分析】易得第二个矩形的面积为（）2，第三个矩形的面积为（）4，依此类推，第n个矩形的面积为（）2n﹣2．【解析】已知第一个矩形的面积为1；第二个矩形的面积为原来的（）2×2﹣2；第三个矩形的面积是（）2×3﹣2；…故第n个矩形的面积为：（）2n﹣2＝（）n﹣1．∴第2020个矩形的面积为，故答案是：．15．（2020春•广陵区期中）如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加AC＝BD条件，就能保证四边形EFGH是菱形．【分析】易得新四边形为平行四边形，那么只需让一组邻边相等即可，而邻边都等于对角线的一半，那么对角线需相等．【解析】∵顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH即为平行四边形，∴根据菱形的性质，只要再有一组邻边相等就为菱形，只要添加的条件能使四边形EFGH一组对边相等即可，例如AC＝BD，故答案为：AC＝BD．16．（2020•湘阴县一模）如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是AC⊥BD．【分析】根据三角形的中位线定理，可以证明所得四边形的两组对边分别和两条对角线平行，所得四边形的两组对边分别是两条对角线的一半，再根据平行四边形的判定就可证明该四边形是一个平行四边形；所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直．【解析】如图，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF AC，同理HG∥AC，HG AC，∴EF∥HG，EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形；要使四边形EFGH是矩形，则需EF⊥FG，即AC⊥BD；故答案为：AC⊥BD．17．（2020春•新乐市期末）对于任意矩形ABCD，若M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的中点，下面四个结论中，①四边形MNPQ是平行四边形；②四边形MNPQ是矩形；③四边形MNPQ是菱形；④四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是①③．【分析】连接AC、BD，由三角形中位线定理得出MN∥AC，MN AC，PQ∥AC，PQ AC，MQ∥BD，MQ BD，则MN∥PQ，MN＝PQ，MN＝MQ，证出四边形MNPQ是平行四边形，四边形MNPQ是菱形；①③正确；当AC⊥BD时，MN⊥MQ，四边形MNPQ是矩形，四边形MNPQ是正方形，②④不正确，即可得出结论．【解析】连接AC、BD，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∵M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的中点，∴MN是△ABC的中位线，PQ是△ACD的中位线，MQ是△ABD的中位线，∴MN∥AC，MN AC，PQ∥AC，PQ AC，MQ∥BD，MQ BD，∴MN∥PQ，MN＝PQ，MN＝MQ，∴四边形MNPQ是平行四边形，∴四边形MNPQ是菱形；故①③正确；当AC⊥BD时，MN⊥MQ，四边形MNPQ是矩形，四边形MNPQ是正方形．故②④不正确；故答案为：①③．18．（2020•通州区一模）如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④存在两个中点四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是①②③④．【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到PQ∥AC，PQ AC，MN∥AC，MN AC，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．【解析】①当AC与BD不平行时，中点四边形MNPQ是平行四边形；故存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②当AC与BD相等且不平行时，中点四边形MNPQ是菱形；故存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③当AC与BD互相垂直（B，D不重合）时，中点四边形MNPQ是矩形；故存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④如图所示，当AC与BD相等且互相垂直时，中点四边形MNPQ是正方形．故存在两个中点四边形MNPQ是正方形．故答案为：①②③④．。

《探究中点四边形形状》教案教学目标：１.知识与技能：(1)了解中点四边形的概念；(2)利用三角形中位线定理证明中点四边形是平行四边形,理解特殊的平行四边形的中点四边形的特征；(3)理解中点四边形的形状与原四边形的对角线的关系。

２. 过程与方法：(1)经历观察、猜想、证明中点四边形是平行四边形的过程熟练运用三角形中位线定理；(2)经历由一般到特殊的思维进程，发现并证明特殊的平行四边形的中点四边形的特征；３.情感态度与价值观：(1)通过数学活动培养学生观察、猜想、证明的探索精神；(2)通过小组讨论活动，培养学生合作的意识。

教学重点：１、任意四边形的中点四边形形状的判定和证明；２、特殊平行四边形的中点四边形形状的判定和证明。

教学难点：影响中点四边形形状的主要因素的分析和概括。

教学过程：一、复习旧知，情境引入１、回顾三角形中位线性质定理。

２、问题１：出示问题：一块白铁皮零料形状如图，工人师傅要从中裁出一块平行四边形白铁皮，并使四个顶点分别落在原白铁皮的四条边上，可以如何裁？（学生思考、讨论、分析，想出解决办法）师：你能证明吗？生：已知:如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点。

求证：四边形EFGH为平行四边形。

（学生可连接AC,也可连接AC、BD）二、探索活动１、中点四边形的定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。

２、结合引例得出结论：任意一个四边形的中点四边形，都为平行四边形。

问题2：观察这个图形，平行四边形EFGH各边与什么有关？各个内角又与什么有关？在问题2的基础上，完成下列三个探究。

探究1：四边形对角线满足什么条件时，它的中点四边形是矩形？探究2：四边形对角线满足什么条件时，它的中点四边形是菱形形？探究3：四边形对角线满足什么条件时，它的中点四边形是正方形形？学生四人小组合作探究并得出结论：（1）中点四边形的形状与原四边形的有密切关系；（2）只要原四边形的两条对角线，就能使中点四边形是菱形；（3）只要原四边形的两条对角线，就能使中点四边形是矩形；（４）要使中点四边形是正方形，原四边形要符合的条件是。

四边形的中点专题四边形的中点专题1..如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF丄DE与BC延长线交于点F.连接EF,与CD边交于点G,与对角线BD交于点H.(1)若BF=BD=2 ，求BE的长；(2)若M是EF中点，求证：MC垂直平分DB(1)解：•••四边形ABCDE方形，•••/ BCD=90，••• Rt△ BCD中, BC2 CD2 BD2，2 2即BC22 2 • BC=AB=1T DF丄DE, ADE y EDC=90 =Z EDC k CDF•/ ADE y CDFADE CDF在^ ADE?3 CDF中， AD CD ，A DCF 90•△ ADE^A CDF(ASA，-——2•AE=CF=BF-BC=2 1 • BE=AB-AE=1-1 .2 =21(2)证明：如图：连接DM BM T DF丄DE M为EF中点，• DM= EF,2vZ EBF=90，M 为EF 中点，• BM」EF,：BM=DM2• M在BD的垂直平分线上v BC=CD,.C在BD的垂直平分线上• MC垂直平分DB2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线丄AC于点E,求证：AD=2OE证明：取CD的中点F,连接EF, OFv四边形ABCD是平行四边形，•AO=COV DE I AC••/ DEC=90•••EF=FCV CD// AB•••/ CAB2 DCA=x.•••/ FEC K DCE= x.•••/ DAC K FOC=2 x.•••/ FEO K EFO= x••• OE=OFAD=2OE3.在平行四边形ABC冲，对角线相交于点O. E、F、P分别OB OC AD的中点, 且AC=2AB 求证：EP=EF证明：连接AE, V四边形ABCD是平行四边形3题••• AD=BC AC=2OA=2OC： AC=2AB•••OA=AB V E 为OB中点,••• AE! BD （三线合一定理），•••K AED=90 , V P 为AD中点,••• AD=2Ep v BC=AD •- BC=2EPV E、F分别是OB OC中点，• BC=2EF • EP=EF4.如图，点E为正方形ABCD外一点，/ BCE K BAE=15 ,AE=T3,O为BD的中点，连接OE,求OE的长。