八年级数学下册 163 时 二次根式的加减学案 新版新人教版

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16。

3二次根式的加减一、教学目标（1）理解和掌握二次根式加减的方法;（2)含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.二、课时安排1课时三、教学重点二次根式的加减等运算规律。

四、教学难点最简二次根式的判断，及二次根式的混合运算.五、教学过程（一）新课导入【过渡】在之前的学习当中，我们学习了同类项的合并,大家还记得同类项合并的计算方法吗？我们来检测一下吧。

学生活动：计算下列各式。

(1)2x+3x；（2)2x5—5x5+5x5；（3）3x+2x+3y; （4)3a2—2a2+a3【过渡】上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并。

同类项合并就是字母不变，系数相加减.而我们本节内容，则主要是学习二次根式的加减,那么这两者之间有没有什么共同点呢？现在，就让我们一起来探究一下吧.（二）讲授新课1．二次根式的加减【过渡】按照我们刚刚复习的同类项的合并,我们来试着思考一下，这样的同类项合并能否用于二次根式呢？我们来看看课本12页的思考题.【过渡】问题是要判断能否截出两个正方形，转化为几何问题,即为判断两个正方形的边长和与长方形的边长的大小，若小于长方形的边长，则说明不能截出。

那么两个正方形的边长分别是和，两者之和为+.该如何计算这个呢？（学生讨论回答)结合我们复习的同类项合并，可以这样计算。

新人教版八年级数学下册二次根式教案（14篇）篇1：新人教版八年级数学下册二次根式教案1.二次根式：式子( ≥0)叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：(1)( )2= ( ≥0); (2)5.二次根式的运算：(1)因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.= ? (a≥0，b≥0); (b≥0，a>0).(4)有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1) ，其中是二次根式的是_________(填序号).例2、求下列二次根式中字母的取值范围(1) ;(2)例3、在根式1) ，最简二次根式是( )A.1) 2)B.3) 4)C.1) 3)D.1) 4)例4、已知：例5、 (龙岩)已知数a，b，若 =b-a，则 ( )A. a>bB. a2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a移到根号内，得 ( )A. ;B. - ;C. - ;D.例2. 把(a-b)-1a-b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：，其中a= ，b= .例5、如图，实数、在数轴上的位置，化简：4、比较数值(1)、根式变形法当时，①如果，则;②如果，则。

人教版数学八年级下册16.3《二次根式的加减》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册16.3《二次根式的加减》是本节课的主要内容。

在此之前，学生已经学习了二次根式的性质和乘除运算，本节课将进一步引导学生学习二次根式的加减运算。

教材通过实例引入二次根式的加减运算，让学生在实际问题中体会和理解二次根式的加减法则。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次根式的性质和乘除运算，具备了一定的数学基础。

但学生在进行二次根式的加减运算时，容易出错，对运算法则理解不深。

因此，在教学过程中，需要帮助学生巩固已学的知识，并通过实例让学生深入理解二次根式的加减法则。

三. 教学目标1.理解二次根式的加减法则，并能正确进行二次根式的加减运算。

2.培养学生运用二次根式解决实际问题的能力。

3.提高学生的数学思维能力和运算能力。

四. 教学重难点1.重点：二次根式的加减法则，二次根式的加减运算。

2.难点：理解二次根式加减法则是如何得出的，如何运用二次根式加减法则解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，通过实例引入二次根式的加减运算，激发学生的学习兴趣。

2.运用合作学习法，让学生在小组内讨论二次根式的加减法则，培养学生相互学习、共同进步的能力。

3.采用归纳总结法，引导学生总结二次根式的加减法则，加深学生对知识的理解。

4.运用练习法，让学生在实践中掌握二次根式的加减运算。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，展示二次根式的加减运算实例。

2.准备一些练习题，用于巩固学生的学习成果。

3.准备黑板，用于板书重要的运算过程和结论。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何进行二次根式的加减运算。

例如，问学生：“已知√3 + √5 = a，求a的值。

”让学生尝试解答，从而引出本节课的主题。

2.呈现（10分钟）展示几个二次根式的加减运算实例，让学生观察和分析。

例如：2√5 + 3√5引导学生观察这些实例，发现二次根式加减运算的规律。

16.3 二次根式的加减(1)课型: 新授课上课时间：课时： 1学习内容：二次根式的加减学习目标：1、理解和掌握二次根式加减的方法．2、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．重难点关键 1．重点：二次根式化简为最简根式．2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．学习过程一、自主学习（一）、复习引入计算．（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3== == == ==以上题目，是我们所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．（二）、探索新知学生活动：计算下列各式．（1）22+32（2）28-38+58== ==（3）7+27+397（4）33-23+2== ==由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，如22与8表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？也可以．32+8=32+22=52 33+27=33+33=63所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．例1．计算（1）8+18（2）16x+64x==== ====例2．计算（1）348-913+312（ 2）（48+20）+（12-5）==== ===归纳：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．二、巩固练习教材练习三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展1、例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（293x x+y3xy）-（x1x-5xyx）的值．2、归纳小结本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．四、课堂检测（一）、选择题1．以下二次根式：①12；②22；③23；④27中，与3是同类二次根式的是（）．A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④2．下列各式：①33+3=63；②177=1；③2+6=8=22；④243=22，其中错误的有（）．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个二、填空题1．在8、1753a、293a、125、323aa、30.2、-218中，与3a是同类二次根式的有________．2．计算二次根式5a-3b-7a+9b的最后结果是________．三、综合提高题15 2.23680415-13544550.01）2．先化简，再求值．（yx33xyy-（xy36xy x=32，y=27．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，把ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 的外部时，则A ∠与1∠和2∠之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）A ．3212A ∠=∠-∠B ．22(12) A ∠=∠-∠C ．12 2 A ∠=∠-∠D ．12 A ∠=∠-∠【答案】C 【分析】根据折叠性质得出∠A=∠A′，根据三角形外角性质得出∠1=∠DOA+∠A ，∠DOA=∠2+∠A′，即可得出答案．【详解】如图，∵根据折叠性质得出∠A=∠A′，∴∠1=∠DOA+∠A ，∠DOA=∠2+∠A′，∴∠1=∠A+∠2+∠A ，∴2∠A=∠1-∠2，故选C ．【点睛】本题考查三角形折叠角度问题，掌握折叠的性质和三角形外角性质是关键.2．下列各式从左到右的变形正确的是( )A ．211a a a+=+ B ．2222255102a b ab c abc -=- C ．b a a b b a a b--=--+ D ．29133m m m -=-+ 【答案】C【分析】由分式的加法法则的逆用判断A ，利用约分判断B ，利用分式的基本性质判断C ，利用约分判断D ． 【详解】解：由22111a a a a a a a+=+=+，所以A 错误， 由2222225555105(2)2a b ab a a ab c ab bc bc --•==--•-，所以B 错误， 由()()b a b a a b b a b a a b----==-----+，所以C 正确， 由29(3)(3)333m m m m m m -+-==+--，所以D 错误． 故选C ．【点睛】本题考查分式加减运算的逆运算与分式的基本性质，掌握运算法则与基本性质是关键，3．小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可能．．．是（ ） A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形 【答案】C【分析】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能.【详解】解：因为用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，所以小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是正五边形. 故选：C【点睛】用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案. 4．若,,a b c 是三角形的三边长，则式子()22a b c --的值（ ）.A ．小于0B ．等于0C ．大于0D ．不能确定【答案】A【分析】先利用平方差公式进行因式分解，再利用三角形三边关系定理进行判断即可得解.【详解】解：22()a b c --=(a-b+c)(a-b-c) 根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，(a-c+b)(a-c-b)<0故选A.本题考查了多项式因式分解的应用，三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键.5．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．3x+3y+1＝3（x+y）+1 B．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2C．（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2D．x（x﹣y）＝x2﹣xy【答案】B【分析】根据因式分解的意义，可得答案．【详解】解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；C、是整式的乘法，故C错误；D、是整式的乘法，故D错误；故选：B．【点睛】把多项式化为几个整式的积的形式，即是因式分解6．如图，AB＝AC，AE＝AD，要使△ACD≌△ABE，需要补充的一个条件是( )A．∠B＝∠C B．∠D＝∠E C．∠BAC＝∠EAD D．∠B＝∠E【答案】C【解析】解：∠BAC=∠EAD，理由是：∵∠BAC=∠EAD，∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，∴∠BAE=∠CAD，在△ACD和△ABE中，∵AC=AB，∠CAD=∠BAE，AD=AE，∴△ACD≌△ABE(SAS)，选项A，选项B，选项D的条件都不能推出△ACD≌△ABE,只有选项C的条件能推出△ACD≌△ABE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用,能正确运用定理进行推理是解此题的关键,注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS．7．某校八（2）班6名女同学的体重（单位：kg）分别为35，36，38，40，42，42，则这组数据的中位数是（）A．38 B．39 C．40 D．42【答案】B【解析】根据中位数的定义求解，把数据按大小排列，第3、4个数的平均数为中位数．【详解】解：由于共有6个数据，所以中位数为第3、4个数的平均数，即中位数为38402=39，故选：B．【点睛】本题主要考查了中位数．要明确定义：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，若这组数据的个数是奇数，则最中间的那个数叫做这组数据的中位数；若这组数据的个数是偶数，则最中间两个数的平均数是这组数据的中位数．8．下列数据的方差最大的是（）A．3，3，6，9，9 B．4，5，6，7，8 C．5，6，6，6，7 D．6，6，6，6，6【答案】A【分析】先计算出各组数据的平均数，再根据方差公式计算出各方差即可得出答案．【详解】解：A、这组数据的平均数为15×（3+3+6+9+9）=6，方差为15×[（3-6）2×2+（6-6）2+（9-6）2×2]=7.2；B、这组数据的平均数为15×（4+5+6+7+8）=6，方差为15×[（4-6）2+（5-6）2+（6-6）2+（7-6）2+（8-6）2]=2；C、这组数据的平均数为15×（5+6+6+6+7）=6，方差为15×[（5-6）2+（6-6）2×3+（7-6）2]=0.4；D、这组数据的平均数为15×（6+6+6+6+6）=6，方差为15×（6-6）2×5=0；故选A.本题主要考查方差，熟练掌握方差的计算方法是解题的关键．9．已知21x y =⎧⎨=⎩是方程2x －ay ＝5的一个解，则2a 的值为（ ） A ．14 B ．4 C ．25 D ．1【答案】D【分析】把x 与y 的值代入方程计算求出a 的值，代入原式计算即可求出值．【详解】把21x y =⎧⎨=⎩代入方程得：4﹣a ＝5， 解得：a ＝﹣1，则22=(1)a -＝1，故选：D ．【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的即为能使方程左右两边相等的未知数的值．10．下列说法正确的是（ ）A ，则x=0或1B ．算术平方根是它本身的数只有0C ．2 3D 【答案】C【分析】根据算术平方根，立方根，实数和数轴的关系逐个判断即可．【详解】A ，则x=0或±1，故本选项错误；B 、算术平方根是它本身的数有0和1，故本选项错误；C 、23，故本选项正确；D 、数轴上的点可以表示无理数，有理数，故本选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，实数和数轴的关系的应用，主要考查学生的辨析能力和理解能力．二、填空题11．某鞋店一周内销售了某种品牌的男鞋60双，各种尺码的销售量统计如下：销量/双 3 7 6 16 18 8 2 由此你能给这家鞋店提供的进货建议是________________________.【答案】25.5cm 尺码的鞋子可以多进一些（答案不唯一，符合实情就行）【分析】利用众数的意义进行解答即可.【详解】解：去鞋厂进货时25.5cm 尺码型号的鞋子可以多进一些，这组数据中的众数是25.5，故男鞋中型号25.5cm 尺码销售较好，25.5cm 尺码的鞋子可以多进一些.故答案为：25.5cm 尺码的鞋子可以多进一些. （答案不唯一，符合实情就行）【点睛】本题题主要考查了众数的意义，理解众数反映了一组数据的集中程度，是描述一组数据集中趋势的量是解答本题的关键.12．等腰三角形ABC 的顶角为120°，腰长为20，则底边上的高AD 的长为_____．【答案】1【分析】画出图形，结合条件可求得该三角形的底角为30°，再结合直角三角形的性质可求得底边上的高．【详解】解：如图所示：∵∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，∴()1B 180120302︒︒︒∠=-=， ∴Rt △ABD 中，11AD AB 201022==⨯=， 即底边上的高为1，故答案为：1．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：30度角所对的直角边是斜边的一半.13．如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，点F 在AD 上，AF ＝6cm ，BF ＝12cm ，∠FBM ＝∠CBM ，点E 是BC 的中点，若点P 以1cm/秒的速度从点A 出发，沿AD 向点F 运动；点Q 同时以2cm/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 运动到F 点时停止运动，点Q 也同时停止运动．当点P 运动_____秒时，以点P 、Q 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．【答案】3或1【分析】由四边形ABCD是平行四边形得出：AD∥BC，AD=BC，∠ADB=∠CBD，又由∠FBM=∠CBM，即可证得FB=FD，求出AD的长，得出CE的长，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，根据题意列出方程并解方程即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ADB=∠CBD，∵∠FBM=∠CBM，∴∠FBD=∠FDB，∴FB=FD=12cm，∵AF=6cm，∴AD=18cm，∵点E是BC的中点，∴CE=12BC=12AD=9cm，要使点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则PF=EQ即可，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，根据题意得：6-t=9-2t或6-t=2t-9，解得：t=3或t=1．故答案为3或1．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用等知识．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．14．如图，在△ABC中，∠A=63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN=133°，则∠B的度数为__________．【答案】70°【解析】解：∵∠AEN=∠A+∠ADE，∠AEN=133°，∠A=63°，∴∠ADE=70°．∵MN∥BC，∴∠B=∠ADE=70°．故答案为70°．15．纳米是一种长度单位，1纳米=-910米，已知某种植物花粉的直径约为46 000纳米，用科学记数法表示表示该种花粉的直径为____________米．【答案】4.6×10-1【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：46000纳米×10-9=4.6×10-1米．故答案为：4.6×10-1．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．16．计算3827-的结果等于 ． 【答案】23- 【分析】根据立方根的定义求解可得．【详解】解：3827-=23-. 故答案为23-. 【点睛】本题主要考查立方根，掌握立方根的定义是解题的关键．17．如图，直线a b ∥，ABC ∆的顶点C 在直线b 上，边AB 与直线b 相交于点D ．若BCD ∆是等边三角形，20A ∠=︒，则1∠＝__°【答案】40【分析】根据等边三角形的性质得到∠BDC=60°，根据平行线的性质求出∠2，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【详解】如图，∵△BCD 是等边三角形，∴∠BDC=60°，∵a ∥b ，∴∠2=∠BDC=60°，由三角形的外角性质可知，∠1=∠2-∠A=1°，故答案为1．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、平行线的性质，掌握三角形的三个内角都是60°是解题的关键．三、解答题18．为迎接“均衡教育大检查”，县委县府对通往某偏远学校的一段全长为1200 米的道路进行了改造，铺设草油路面．铺设400 米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高25%，结果共用13天完成道路改造任务．（1）求原计划每天铺设路面多少米；（2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？【答案】（1）80；（2）1．【解析】（1）设原计划每天铺设路面x 米，则提高工作效率后每天完成（1+25%）x 米，根据等量关系“利用原计划的速度铺设400 米所用的时间+提高工作效率后铺设剩余的道路所用的时间=13”，列出方程，解方程即可；（2）先求得利用原计划的速度铺设400 米所用的时间和提高工作效率后铺设剩余的道路所用的时间，根据题意再计算总工资即可.【详解】（1）设原计划每天铺设路面x 米，根据题意可得：()400120040013125%x x-+=+ 解得：80x =检验：80x =是原方程的解且符合题意，∴ 80x =答：原计划每天铺设路面80米．原来工作400÷80＝5（天）．（2）后来工作()()120040080120%8⎡⎤-÷⨯+=⎣⎦（天）．共支付工人工资：1500×5+1500×（1+20%）×8=1（元）答：共支付工人工资1元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确找出等量关系，由等量关系列出方程是解决本题的关键． 19．每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．治理杨絮一一您选哪一项？（单选）A ．减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量B ．调整树种结构，逐渐更换现有杨树C ．选育无絮杨品种，并推广种植D ．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮E ．其他根据以上统计图，解答下列问题：（1）本次接受调查的市民共有 人；（2）扇形统计图中，扇形E 的圆心角度数是 ；（3）请补全条形统计图；（4）若该市约有90万人，请估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数．【答案】（1）2000；（2）28.8°；（3）补图见解析；（4）36万人.【解析】分析：（1）将A 选项人数除以总人数即可得；（2）用360°乘以E 选项人数所占比例可得；（3）用总人数乘以D 选项人数所占百分比求得其人数，据此补全图形即可得；（4）用总人数乘以样本中C 选项人数所占百分比可得．详解：（1）本次接受调查的市民人数为300÷15%=2000人，（2）扇形统计图中，扇形E 的圆心角度数是360°×1602000=28.8°， （3）D 选项的人数为2000×25%=500，补全条形图如下：（4）估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数为90×40%=36（万人）．点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20．如图，在1010⨯网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，若点()3,4A ，则点C 的坐标_______________；（2）将AOC ∆向左平移5个单位，向上平移2个单位，则点C 的坐标变为_____________；（3）若将AOC ∆的三个顶点的横纵坐标都乘以12-，请画出111AO C ∆； （4）图中格点AOC ∆的面积是_________________；（5）在x 轴上找一点P ，使得PA PC +最小，请画出点P 的位置，并直接写出PA PC +的最小值是______________．【答案】（1）()4,2；（2）()1,4-；（3）见解析；（4）5；（537【分析】（1）根据第一象限点的坐标特征写出C 点坐标；（2）利用点平移的坐标变换规律求解；（3）将△AOC 的三个顶点的横纵坐标都乘以- 12得到A 1、C 1的坐标，然后描点即可； （4）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算△AOC 的面积；（5）作C 点关于x 轴的对称点C′，然后计算AC′即可．【详解】解：（1）如图，点C 的坐标()4,2；（2）将AOC ∆向左平移5个单位，向上平移2个单位，则点C 的坐标变为()1,4-；（3）如图，11AOC ∆为所作；（4）图中格点AOC ∆的面积111442142435222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=； （5）如图，作C 关于x 轴的对待点C ’,连接C ’A 交x 轴于点P ，点P 即为所求作的点，PA PC +的最小值221637PA PC AC ''=+==+=．故答案为（1）()4,2；（2）()1,4-；（4）5；（5）37.【点睛】本题考查了作图-平移变换及轴对称变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．也考查了最短路径问题．21．如图，正方形ABCD 是由两个小正方形和两个小长方形组成的，根据图形解答下列问题：（1）请用两种不同的方法表示正方形ABCD 的面积，并写成一个等式；（2）运用（1）中的等式，解决以下问题：①已知5a b +=，3ab =，求22a b +的值；②已知11x z y +-=，()9x y z -=，求()22x y z -+的值. 【答案】（1）正方形ABCD 的面积可表示为：()2a b +或222a ab b ++；等式：()2222a b a ab b +=++；（2）①2219+=a b ；②103.【分析】（1）用正方形的面积公式直接求出正方形的面积；利用四个矩形的面积之和求出正方形的面积，即可得到一个等式；（2）①根据（1）中的等式进行直接求解即可；②令a=x-y,对等式进行变形后，利用（1）中的等式进行求解.【详解】（1）正方形ABCD 的面积可表示为：()2a b +或222a ab b ++等式：()2222a b a ab b +=++（2）①∵5a b +=，3ab =，由（1）得：()2222a b a ab b +=++∴222523a b =+⨯+∴2219+=a b②令a=x-y ，则a+z=11，az=9∴原式可变形为：()2222x y z a z -+=+()22a z az =+-21129=-⨯103=【点睛】本题考查的是完全平方公式的几何意义，能根据（1）中求出的等式对完全平方公式进行变形是关键. 22．如图，在△BCD 中，BC=4，BD=1．（1）求CD 的取值范围；（2）若AE ∥BD ，∠A=11°，∠BDE=121°，求∠C 的度数．【答案】（1）1<DC<9；（2）∠C=70°．【分析】(1)根据三角形三边关系进行求解即可得；(2)根据平行线的性质求得∠AEC的度数，继而根据三角形内角和定理即可求得答案. 【详解】(1)在△BCD中，BD-BC<CD<BD+BC，又∵BC=4，BD=1，∴1-4<CD<1+4，即1<DC<9；(2)∵AE∥BD，∠BDE=121°，∴∠AEC=180°-∠BDE=11°，又∵∠A+∠C+∠AEC=180°，∠A=11°，∴∠C=70°．【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键. 23．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，5，13．【答案】 (1)详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的图形，（2）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的图形.【详解】解：（1）如图1所示：正方形ABCD即为所求；（2）如图2所示：三角形ABC即为所求．【点睛】本题考查了利用勾股定理求直角三角形的边长，熟练掌握定理即可求解.24．已知x＝1，y＝，求下列代数式的值：（1）x1+1xy+y1；（1）x1﹣y1．【答案】（1）16；（1）﹣【分析】（1）根据已知条件先计算出x+y＝4，再利用完全平方公式得到x1+1xy+y1＝（x+y）1，然后利用整体代入的方法计算；（1）根据已知条件先计算出x+y＝4，x﹣y＝﹣，再利用平方差公式得到x1﹣y1＝（x+y）（x﹣y），然后利用整体代入的方法计算．【详解】（1）∵x＝1y＝∴x+y＝4，∴x1+1xy+y1＝（x+y）1＝41＝16；（1））∵x＝1，y＝，∴x+y＝4，x﹣y＝﹣，∴x1﹣y1＝（x+y）（x﹣y）＝4×（﹣）＝﹣【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、完全平方公式、平方差公式，熟记完全平方公式和平方差公式，利用整体思想方法解决问题是解答的关键．25．一个等腰三角形的一边长为5，周长为23，求其他两边的长．【答案】其他两边为9cm，9cm．【分析】分两种情况解答：5为腰长或5为底边长，根据周长求出另两边的长度并验证是否能构成三角形. 【详解】若长为5的边是腰, 设底边长为xcm,则2×5+x=23，解之得x=1．∵5+5＜1∴长度为5,5,1的三条线段不能组成三角形.若长为5的边是底边, 设腰长为xcm,则2 x+5=23,解之得x=9.∵5+9＞9∴长度为5,9,9的三条线段能组成三角形.答：其他两边为9cm,9cm.【点睛】此题考查等腰三角形的定义，三角形三边的关系.八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列因式分解结果正确的是（ ）A ．2a 2﹣4a=a （2a ﹣4）B ．()2222a ab b a b -+-=-- C ．2x 3y ﹣3x 2y 2+x 2y=x 2y （2x ﹣3y ）D ．x 2+y 2=（x+y ）2 【答案】B【分析】根据因式分解的方法对各式进行判断即可得出答案．【详解】A 、2a 2-4a=2a （a-2），故此选项错误；B 、-a 2+2ab-b 2=-（a-b ）2，此选项正确；C 、2x 3y-3x 2y 2+x 2y=x 2y （2x-3y+1），故此选项错误；D 、x 2+y 2无法分解因式，故此选项错误；故选B ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．2．如下图，将ABC ∆绕点C 顺时针方向旋转43︒得A CB ∆''，若AC A B ''⊥，则BAC ∠等于（ ）A ．43︒B ．45︒C ．47︒D ．50︒【答案】C 【分析】根据旋转的性质，得∠ACA ′=43°，BAC ∠=∠A ′，结合垂直的定义和三角形内角和定理，即可求解．【详解】∵将ABC ∆绕点C 顺时针方向旋转43︒得A CB ∆''，点A 对应点A ′，∴∠ACA ′=43°，BAC ∠=∠A ′，∵AC A B ''⊥，∴∠A ′=180°-90°-43°=47°，∴BAC ∠=∠A ′=47°．故选C ．【点睛】本题主要考查旋转的性质和三角形内角和定理，掌握旋转的性质以及三角形内角和等于180°，是解题的关键．3．如图，若△ABC≌△DEF，且BE＝5，CF＝2，则BF的长为（）A．2 B．3 C．1.5 D．5【答案】C【分析】根据全等三角形的对应边相等得到BC＝EF，故BF＝CE，然后计算即可．【详解】∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∵BF＝BC﹣FC，CE＝FE﹣FC，∴BF＝CE，∵BE＝1，CF＝2，∴CF＝BE﹣CE﹣BF，即2＝1﹣2BF．∴BF＝1.1．故选C．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．4．在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴因此.【详解】A、不是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意．故选B.【点睛】考核知识点：轴对称图形识别.5．下列各点在函数23y x =-+的图象上的点的是（ ）A ．(1,1)-B ．()2,6-C ．(2,1)-D ．(3,2)-【答案】C【分析】先将四项各点的横坐标代入函数的解析式，求出其对应的纵坐标，然后逐项判断即可．【详解】A 、令1x =-代入得，2(1)35y =-⨯-+=，此项不符题意B 、令2x =-代入得，2(2)37y =-⨯-+=，此项不符题意C 、令2x =代入得，2231y =-⨯+=-，此项符合题意D 、令3x =代入得，2333y =-⨯+=-，此项不符题意故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握理解函数的图象与性质是解题关键．6．已知ABC ∆中，AB AC =，求证：90B ∠<︒，运用反证法证明这个结论，第一步应先假设（ ）成立A ．90B ∠≥︒B ．90B ∠>︒C ．90A ∠>︒D ．90A ∠≥︒ 【答案】A【分析】根据反证法的步骤，第一步要从结论的反面出发假设结论，即可判断．【详解】解：90B ∠<︒的反面为90B ∠≥︒故选A ．【点睛】此题考查的是反证法的步骤，掌握反证法的第一步为假设结论不成立，并找到结论的反面是解决此题的关键．7．如图，已知△ABC 中，∠A=75°，则∠1+∠2=( )A．335°°B．255°C．155°D．150°【答案】B【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=75°，∴∠B+∠C=180°﹣∠A=105°．∵∠1+∠2+∠B+∠C=360°，∴∠1+∠2=360°﹣105°=255°．故选B．点睛:本题考查了三角形、四边形内角和定理，掌握n边形内角和为（n﹣2）×180°（n≥3且n为整数）是解题的关键．8．《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则列方程组为（）A．15022503x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B．15022503y yx x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C．15022503x yy x⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩D．15022503y yx x⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩【答案】A【解析】设甲的钱数为x，人数为y，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也能为50”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y，依题意，得：15022503x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩． 故选A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．9．计算21211x x x x ++⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭的结果是 ( ) A ．x+1B ．11x +C ．1x x +D ．1x x+ 【答案】B 【解析】按照分式的运算、去分母、通分、化简即可. 【详解】21211x x x x ++⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭=1·x 1?x x x （）++= 11x +. 【点睛】此题主要考察分式的运算.10．某手机公司接到生产300万部手机的订单，为尽快交货.…，求每月实际生产手机多少万部？在这道题目中，若设每月实际生产手机x 万部，可得方程300 1.53005x x⨯-=，则题目中“…”处省略的条件应是（ ）A ．实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果延期5个月完成B ．实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果提前5个月完成C ．实际每月生产能力比原计划降低了50%，结果延期5个月完成D ．实际每月生产能力比原计划降低了50%，结果提前5个月完成【答案】B 【分析】由x 代表的含义找出1.5x 代表的含义，再分析所列方程选用的等量关系，即可找出结论． 【详解】设每月实际生产手机x 万部，则1.5x 即150%x +表示：实际每月生产能力比原计划提高了50%， ∵方程300 1.53005x x ⨯-=，即3003005150%x x -=+， 其中300150%x +表示原计划生产所需时间，300x 表示实际生产所需时间， ∴原方程所选用的等量关系为：实际生产比原计划提前5个月完成，即实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果提前5个月完成．故选：B ．【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据所列分式方程，找出选用的等量关系是解题的关键．二、填空题11．一次函数y ax b =+，当0y <时，23x <-，那么不等式0ax b +≥的解集为__________. 【答案】23x ≥- 【解析】解不等式ax ＋b≥0的解集，就是求一次函数y ＝ax ＋b 的函数值大于或等于0时自变量的取值范围．【详解】∵不等式ax ＋b ⩾0的解集，就是一次函数y ＝ax ＋b 的函数值大于或等于0时，当y ＜0的解集是x ＜23-， ∴不等式ax ＋b ⩾0的解集是x ⩾23-. 故答案为：x ⩾23-. 【点睛】 本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键掌握解不等式ax ＋b ＞0的解集, 就是求一次函数y ＝ax ＋b 的函数值大于或等于0时自变量的取值范围，认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系.12．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点G 处，点D 落在点H 处．若∠1＝62°，则图中∠BEG 的度数为_____．【答案】56°【解析】根据矩形的性质可得AD//BC ，继而可得∠FEC=∠1=62°，由折叠的性质可得∠GEF=∠FEC=62°，再根据平角的定义进行求解即可得.【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD//BC ，∴∠FEC=∠1=62°，∵将一张矩形纸片ABCD 沿 EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点 G 处，∴∠GEF=∠FEC=62°，∴∠BEG=180°-∠GEF-∠FEC=56°，故答案为56°.【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质是解题的关键.13．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D 点．若BD 平分∠ABC, 则∠A＝________________ °．【答案】1．【解析】试题分析：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵AB的垂直平分线MN交AC于D点．∴∠A＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠C＝2∠A＝∠ABC，设∠A为x，可得：x+x+x+2x＝180°，解得：x＝1°，故答案为1．点睛：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得出角相等，然后在一个三角形中利用内角和定理列方程即可得出答案．14．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A的坐标是(-2，0)，点B在y轴上，若OA=2OB，则点B的坐标是______．【答案】（0，1）或（0，-1）【分析】先得出OA的长度，再结合OA=2OB且点B在y轴上，从而得出答案．【详解】∵点A的坐标是（-2，0），∴OA=2，又∵OA=2OB，。

人教版数学八年级下册《二次根式的加减运算》教学设计1一. 教材分析人教版数学八年级下册《二次根式的加减运算》是中学数学中比较重要的一部分，它既是对之前学习的一次复习和巩固，也是为之后学习更复杂数学知识做铺垫。

本节课主要让学生掌握二次根式加减的运算方法，理解并熟练运用二次根式加减的运算规则。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了二次根式的基本概念和性质，对二次根式的运算有一定的了解。

但学生在实际操作中，可能会对一些特殊情况处理不够准确，如含有同类项的二次根式加减，以及不同类二次根式的加减。

三. 教学目标1.让学生掌握二次根式加减的运算方法。

2.让学生能够正确进行二次根式的加减运算。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：二次根式加减的运算方法。

2.教学难点：理解并熟练运用二次根式加减的运算规则，特别是在处理含有同类项和不同类二次根式的情况。

五. 教学方法采用讲解法、引导法、练习法、讨论法等，以学生为主体，教师为引导，通过具体的例子和练习题，让学生在实践中掌握二次根式的加减运算方法。

六. 教学准备1.教材和人教版数学八年级下册相关章节。

2.教学PPT。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习之前学过的二次根式的基本概念和性质，引导学生进入本节课的主题——二次根式的加减运算。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示二次根式的加减运算规则，让学生初步了解并掌握二次根式的加减方法。

3.操练（10分钟）让学生通过具体的例子，运用二次根式的加减规则进行计算，教师在这个过程中进行个别指导和解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生进一步巩固二次根式的加减运算方法。

5.拓展（5分钟）引导学生思考二次根式加减运算的推广，如三次根式、四次根式的加减运算。

6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学的二次根式的加减运算方法，以及自己在学习过程中的收获和不足。

7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生在家里进行巩固练习。

16.3二次根式的加减(1)教学内容二次根式的加减教学目标知识与技能目标：理解和掌握二次根式加减的方法．过程与方法目标：先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．重难点关键1．重点：二次根式化简为最简根式．2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．教法： 1、引导发现法 : 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；2、讲练结合法:在例题教学中，引导学生阅读，与同类项进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。

学法： 1、类比的方法通过观察、类比，使学生感悟二次根式加减的模型，形成有效的学习策略。

2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。

3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。

4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。

媒体设计： PPT课件，展台。

课时安排： 1 课时。

教学过程 : 一、复习引入学生活动：计算下列各式．（1） 2x+3x ；（ 2） 2x2-3x 2+5x2；（ 3） x+2x+3y ；（ 4） 3a2-2a 2+a3教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．二、探索新知学生活动：计算下列各式．（1） 2 2 +32（2）28 -38 +58（3）7 +27 +39 7（4）3 3 -2 3 + 2老师点评：（ 1）如果我们把 2 当成x，不就转化为上面的问题吗？2 2 +3 2 =（2+3） 2 =5 2（ 2）把8 当成y；28 -38 +58 =（2-3+5）8 =48 =8 2（ 3）把7 当成z；7 +2 7 + 9 7=2 7 +2 7 +3 7 =（1+2+3） 7 =6 7（ 4）3看为 x，2看为 y．3 3 -2 3 + 2=（ 3-2 ）3 + 2= 3 + 2因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如2 2 与8 表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的．3 2 + 8 =3 2 +2 2 =5 23 3 + 27 =3 3 +3 3 =6 3所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将被开方数相同的二次根式进行合并．例 1．计算：（ 1）8 + 18 （ 2）16x + 64x分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．解：（ 1）8 + 18 =2 2 +3 2 =（2+3） 2 =5 2 ：（2）16x + 64x =4 x +8 x =（4+8）x =12 x例 2．计算：（ 1） 3 48 -9 1+3 12 ；（ 2）（48 + 20 ）+（12 - 5 ）3解：（ 1） 3 48 -9 1+3 12 =12 3 -3 3 +6 3 =（12-3+6） 3 =15 3 3（ 2）（48 + 20 ）+（12 - 5 ） = 48 + 20 + 12 - 5 =4 3 +2 5 +2 3 - 5 =6 3 + 5三、应用拓展：例22-4x-6y+10=0 ，求（2 2x ）- （ x 21 y ）3．已知 4x +y x 9x +yy 3-5xx3x的值．分析： 本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（ 2x-1 ）2+（ y-3 ）2=0，即 x=1，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同2类二次根式，最后代入求值．解：∵ 4x 2+y 2-4x-6y+10=0∵ 4x 2-4x+1+y 2-6y+9=0 ∴（ 2x-1 ） 2+（ y-3 ） 2=0∴ x= 1，y=32原式 =2x 9x +y 2x -x 21 +5x y3y 3xx =2x x + xy -x x +5 xy=xx +6 xy当 x= 1， y=3 时，2原式 = 1×1+63 = 2+36222 4四、归纳小结： 本节课应掌握： （ 1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式； （ 2）相同的最简二次根式进行合并． 五、布置作业：一、选择题1 ．以下二次根式：①12 ；② 22；③2；④27 中，与 3 是同类二次根式的3是（ ）．A．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④2 ．下列各式： ① 33 +3=6 3 ；②17 =1；③ 2 + 6 = 8 =2 2 ；④24=2 2 ，73其中错误的有（ ）．A ．3 个B ． 2 个C ． 1 个D ． 0 个二、填空题： 1．在 8 、175a 、 2 9a 、 125 、 2 3a 3、 30.2 、-21中，与3 3a83a 是同类二次根式的有 ________．2 ．计算二次根式 5a -3b -7 a +9 b 的最后结果是 ________．三、综合提高题： 1 ．已知5 ≈ 2.236 ，求（ 80 - 1 4 ）-（ 31 + 445 ）的值．（结5 5 5果精确到 0.01 ） 2 ．先化简，再求值．（ 6xy + 3 xy 3） - （4x x+ 36xy ），其中 x= 3， y=27．x y y 2答案 : 一、 1．C 2 ． A ；二、 1．175a2 3a 32 ． 6b -2 a3 a三、 1．原式 =4 5 - 35 - 4 5 - 12 5 = 1 5 ≈ 1× 2.236 ≈0.45555552．原式 =6xy +3 xy - （4 xy +6 xy ） =（6+3-4-6 ） xy =- xy ，当 x=板书设计：323 9 ， y=27 时，原式 =-27 =-222§ 16.3. 二次根式的加减（ 1）情境引入例 2 学生板演二次根式的加减法则例 3例 1练习 小结16.3二次根式的加减 (2)教学内容： 利用二次根式化简的数学思想解应用题． 教学目标知识与技能目标： 运用二次根式、化简解应用题．过程与方法目标： 通过复习， 将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题．情感与价值目标： 通过本节的学习培养学生： 利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．重难点关键： 讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．教法： 1、引导发现法 : 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用； 2、讲练结合法 : 在例题教学中，引导学生阅读，与整式的加减进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。

新人教版八年级数学下册第16章二次根式教案Lesson 1: The Concept of Quadratic Radicals1.Knowledge and Skills: Understand the concept of quadratic radicals and use the meaning of a (a≥0) to answer specific ns。

2.Process and Method: Raise ns for n。

analyze and summarize the concept。

analyze the XXX。

draw important ns。

and use XXX3.ns。

Attitudes。

and Values: Develop students' ability to observe。

analyze。

XXX quadratic radicals。

Learning Focus: XXX in the form of a (a≥0)。

solving specific problems using "a (a≥0)"。

preparing basic XXXXXX-XXX:Analysis of Student n: Students XXX。

Activity Content:1.XXX een positive square roots and negative square roots is that they are expressed as ±a。

2.What is the arithmetic square root of a number。

What is the meaning of a in a (a≥0)。

Review of Knowledge: What is the square root of a number。

1《16.3二次根式的加减》本课在学习二次根式乘除运算及化简的基础上，本课在学习二次根式乘除运算及化简的基础上，从算术平方根的运算出发，从算术平方根的运算出发，研究二次根式的加减运算．二次根式的运算方法与数的运算方法本质上是一致的．二次根式的运算方法与数的运算方法本质上是一致的．实数的运算律对二次根式的运算仍实数的运算律对二次根式的运算仍然适用．结合二次根式的化简、乘除和加减运算，利用交换律、结合律、分配律及多项式乘法公式进行二次根式的混合运算．进行二次根式的混合运算．1. 1. 探索二次根式加减运算的方法和步骤；探索二次根式加减运算的方法和步骤；2.2. 会进行二次根式的加减运算．会进行二次根式的加减运算．3.3. 通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想. .4.4. 类比有理数混合运算和整式混合运算，探索二次根式的加、减、乘、除混合运算顺序的步骤和方法方法. .5.5. 能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. .6.6. 通过学习二次根式的加、减、乘、除混合运算的学习，培养学生的运算能力、推理能力．1.1. 在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次根式的加减运算．在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次根式的加减运算．2.2. 熟练并准确地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算熟练并准确地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. .课件课件◆ 教材分析 ◆ 教学目标◆ 教学重难点 ◆◆ 课前准备◆◆ 教学过程第一课时一、复习引入：一、复习引入：问题1：什么叫最简二次根式？你能将18，8，23化为最简二次根式吗？化为最简二次根式吗？ 问题2：现有一块长7.5dm,7.5dm,宽宽5dm 的木板的木板,,能否采用如图的方式能否采用如图的方式,,在这块木板上截出两个面积分别是8dm 2和18dm 2的正方形木板的正方形木板? ? 提问提问::①大、小正方形木板的边长分别为18dm 和8dm,dm,木板是木板是否够宽否够宽??②木板是否够长呢②木板是否够长呢??③怎样计算818+的结果呢的结果呢? ?问题3：计算下列各式：（1）a+2a a+2a；；（2）3x-2x 3x-2x；；解：（1）a+2a=(1+2)a=3a a+2a=(1+2)a=3a；；（2）3x-2x=(3-2)x=x 3x-2x=(3-2)x=x；；【设计意图】回顾整式的加减及合并同类项法则，为后续学习二次根式的合并做准备【设计意图】回顾整式的加减及合并同类项法则，为后续学习二次根式的合并做准备. .二、新课讲解：1.1.探究二次根式的加法探究二次根式的加法探究二次根式的加法. .问题4：请类比整式的加减，计算下列各式：：请类比整式的加减，计算下列各式：（1）323+；（2）52-53.解：（1）333)21(323=+=+；（2）55)23(52-53=-=.【点拨】最简二次根式中，被开方数相同的二次根式的加减，直接把系数相加减，根号和根号内的数不变内的数不变. .问题5：53+能合并吗？为什么？82+呢？呢？解：53+不能合并，因为它们被开方数不相同；不能合并，因为它们被开方数不相同；232)21(22282=+=+=+.【小结】（1）二次根式能够进行合并的条件：①首先将二次根式化成最简二次根式；②观察被开方数是否相同开方数是否相同. .（2）二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并式合并. .练习1：下列各组二次根式中，能够合并的一组二次根式是（：下列各组二次根式中，能够合并的一组二次根式是（ ）A ．xy 与y x 2B ．22y x +与22y x - C ．mn 与n m + D．ab 2与ba 2 练习练习:2:2:2：：（教材P13练习）下列计算是否正确？为什么？练习）下列计算是否正确？为什么？（1）3838-=-；（2）9494+=+；（3）22223=-.解：（1）∵228=和3的被开方数不相同，的被开方数不相同，∴不能合并∴不能合并,,故错误故错误. .（2）∵53294=+=+，1394=+，故9494+¹+，故错误；，故错误；（3）∵22)23(2223=-=-，故正确故正确. .[点拨点拨]]化为最简二次根式后，只有被开方数相同的二次根式才能合并化为最简二次根式后，只有被开方数相同的二次根式才能合并. .2.2.二次根式加法的运用二次根式加法的运用二次根式加法的运用. .问题7：（教材例题）计算：（1）4580-；（2）a a 259+；（3）483316122+-；（4）)53()2012(-++.解：（1）553-544580==-； （2）a a a a a 853259=+=+；（3）3102831232-28483316122+=+=+-； （4）533535232)53()2012(+=-++=-++.练习3：（教材P13练习2）计算：（1）4580-；（2）a a 9194+； （3）52080+-；（4）)2798(18-+；（5）)681()5.024(--+.解：（1）553-544580==-； （2）a a a a a =+=+31329194； （3）535525452080=+-=+-；（4）33210332723)2798(18-=-+=-+；.42636422262)642()2262()681()5.024(5+=+-+=--+=--+）（问题6：前面问题2中，怎样计算818+的结果呢的结果呢??木板长7.5dm,7.5dm,宽宽5dm 5dm，是否够长？，是否够长？，是否够长？解：818+=2223+···化为最简二次根式·化为最简二次根式=2)23(+···乘法分配率·乘法分配率=25≈7.077.07＜＜7.5故木板够长故木板够长. .练习4：（教材P13练习3）如果两个圆的圆心相同，他们的面积分别是12.56和25.1225.12，求圆环的，求圆环的宽度d （π取3.143.14，结果保留小数点后两位），结果保留小数点后两位），结果保留小数点后两位）. .解：∵解：∵S S 圆=πr 2，∴d=r 大圆-r 小圆小圆=2224814.356.1214.312.25-=-=-=-ππ小圆大圆S S ≈0.83 答：圆环的宽度d 为0.83.三、课堂小结：三、课堂小结：1.1. 知识梳理：（1）二次根式合并的前提：化成最简二次根式之后，被开方数相同）二次根式合并的前提：化成最简二次根式之后，被开方数相同. .（2）二次根式加减的实质：合并被开方数相同的最简二次根式）二次根式加减的实质：合并被开方数相同的最简二次根式. .2.2.二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：①化成最简二次根式后，如果被开方数不相同，则不能进行合并；①化成最简二次根式后，如果被开方数不相同，则不能进行合并；②合并被开方数相同的最简二次根式时，②合并被开方数相同的最简二次根式时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变不变. .3.3. 二次根式加减运算的步骤：①去括号；②化简；③判断并合并．二次根式加减运算的步骤：①去括号；②化简；③判断并合并．4.4.二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别运算运算二次根式的乘除法二次根式的乘除法 二次根式的加减法二次根式的加减法 系数系数系数相乘除系数相乘除 系数相加减系数相加减被开方数被开方数 被开方数相乘除被开方数相乘除 被开方数不变被开方数不变化简化简 结果化成最简二次根式结果化成最简二次根式先化成最简二次根式先化成最简二次根式,,再合并被开方数相同的二次根式的二次根式((同类二次根式同类二次根式) )四、随堂测试：四、随堂测试：1.1.下列各式计算正确的是下列各式计算正确的是下列各式计算正确的是 ( () A.532=+ B.13334=- C.363332=´ D.3327=¸ 解析解析:A.:A.:A.不是同类二次根式，不能合并，故错误；不是同类二次根式，不能合并，故错误；不是同类二次根式，不能合并，故错误；B.B.合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；C.C.应为应为18363332=´=´´，故错误；，故错误；D.39327327==¸=¸，故正确，故正确. .故选D.2.2.以下二次根式以下二次根式以下二次根式::①12,②22,③32,④27中, 化简后能合并成一项的是化简后能合并成一项的是化简后能合并成一项的是( ( ( )A.A.①和②①和②①和②B. B.②和③②和③②和③C. C.①和④①和④D.D.③和④③和④③和④解析：①3212=；②222=；③3632=；④3327=. 3.3. 计算：2-23的值是（的值是（） A.2 B.3 C.2 D.22 解析：解析：..222)13(2-23=-=.4.4. 一个等腰三角形的两边长分别为2332，, 则三角形的周长为则三角形的周长为则三角形的周长为. . 解析：分两种情况讨论：（1）当32为腰长，23为底边长时，周长为3423+；（2）当23为腰长，为32底边长时，周长为3226+.5.5. 若最简二次根式若最简二次根式14232+a 与16322-a 的被开方数相同的被开方数相同,,则a= a= . 解析：由题意得4a 2+1=6a 2-1-1，解得，解得a=a=±±1.6.6. 计算：（1）233-2332++； （2）101015-40+.第二课时一、复习引入：一、复习引入：1.1.计算：（1）728+；（2）68´；（3）324¸. 解：（1）282622728=+=+；（2）34486868==´=´；（3）228324324==¸=¸.【设计意图】复习二次根式的加减、乘除法则，为下面研究四则混合运算做准备【设计意图】复习二次根式的加减、乘除法则，为下面研究四则混合运算做准备. .2.2. 计算：（1）(2x-y)(2x-y)··zx zx；；（2）(2x 2y+3xy 2)÷xy xy；；（3）(2x+y)(x-3y) （3）(2x+3y)(2x-3y);(2x+3y)(2x-3y);（（4）(2x+1)2+(2x-1)2.解：（1）(2x-y)(2x-y)··zx=2x 2z-xyz z-xyz；；（2）(2x 2y+3xy 2)÷xy=2x 2y ÷xy+3xy 2÷xy=2x+2y xy=2x+2y；；（3）(2x+y)(x-3y)=2x 2-6xy+xy-3y 2=2x 2-5xy-3y 2;（4）(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x 2-9y 2;（5）(2x+1)2+(2x-1)2=4x 2+4x+1+4x 2-4x+1=8x 2+2.提问：上面的运算用到了哪些法则和公式？提问：上面的运算用到了哪些法则和公式？学生回顾：多项式乘单项式，多项式除以单项式、多项式乘多项式法则和平方差、完全平方公式学生回顾：多项式乘单项式，多项式除以单项式、多项式乘多项式法则和平方差、完全平方公式. .【设计意图】复习整式的四则运算和乘法公式，类比学习二次根式的混合运算【设计意图】复习整式的四则运算和乘法公式，类比学习二次根式的混合运算. .二、新课讲解：二、新课讲解：问题1：如果把上面的x ，y ，z 改成二次根式呢？以上的运算法则是否仍然成立？改成二次根式呢？以上的运算法则是否仍然成立？例1.1.（教材（教材P14例题3）计算：（1）6)38(´+；（2）226324¸-）（.解：（1）6)38(´+=6368´+´=1848+=2334+；（2）2263-24¸）（ =22632224¸-¸=3232-.【点拨】类比多项式乘单项式和多项式除以单项式法则计算，这里运用了分配率【点拨】类比多项式乘单项式和多项式除以单项式法则计算，这里运用了分配率. . 练习1：（教材P14练习1）计算：（1）)53(2+；（2）5)4080(¸+； 解：（1）)53(2+=5232´+´=106+；（2）5)4080(¸+=540580¸+¸=816+=224+.【小结】（1）与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；）与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；（2）最终的结果一定要化为最简二次根式）最终的结果一定要化为最简二次根式. . .问题2.2.（教材（教材P14面例4）例2.2. 计算：（1）)52()32(-×+；（2）)35)(35(-+. 解：（1）)52()32(-×+=152523)2(2--+=15222--=2213--；（2）)35)(35(-+=22)3()5(-=5-3=2.提问：你能说出上面两道题中每一步的依据是什么吗？提问：你能说出上面两道题中每一步的依据是什么吗？【小结】乘法公式使计算准确、简便，因此能用运算公式的，尽可能用运算公式．因为二次根式表示数，二次根式的运算也是实数的运算．根式表示数，二次根式的运算也是实数的运算．练习2：计算：（1）)17(72--=；（2）)2332)(2332(+-=.答案为：7214+-；6.练习3：计算2)322215324(×+-的结果是（的结果是（ ） A. A. 303-3320 B.30-3320 C.332303- D.332302- 练习3 计算：（1）)2762)(6227(-+；（2）2)377(-；（3）22)632()632(-+--+解：（1）)2762)(6227(-+=222762）（）（-=24-98=-74=-74；；（2）2)377(-=22)37(3772)7(+´´-=2114154-；（3）22)632()632(++--+=)]632()632)][(632()632[(++--++++-+ =)62()3222(-×+=21238--.练习4：已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0-4x-6y+10=0，求下面式子的值，求下面式子的值，求下面式子的值. . )1()(2y x y x y x y y xx +-+解：由4x 2+y 2-4x-6y+10=0得到得到(2x-1)(2x-1)2+(y-3)2=0,∴2x-1=0,y-3=0.解得，解得，x=x=21，y=3. )1()(2yx y x y x y y xx +-+ =yx x y y x 12--+ =y y x x y y y x--+=x y -当x=21，y=3时，时， 原式原式==223213-=-. 三、课堂小结：三、课堂小结：师生共同回顾本节课所学主要内容师生共同回顾本节课所学主要内容: :关于二次根式的四则混合运算关于二次根式的四则混合运算,,实质上就是实数的混合运算.(1)(1)运算顺序与有理式的运算顺序相运算顺序与有理式的运算顺序相同;(2);(2)运算律仍然适用运算律仍然适用运算律仍然适用;(3);(3);(3)与多项式的乘法和因式分解类似与多项式的乘法和因式分解类似与多项式的乘法和因式分解类似,,可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算.四、随堂检测：1. 下列二次根式中可以进行合并的是下列二次根式中可以进行合并的是( ) ( )A. ab 与2abB. 22n m + 与22n m -C. mn 与nm 11+ D. 438b a 与432b a 【知识点：同类二次根式】【知识点：同类二次根式】【参考答案】D【思路点拨】先化简成最简二次根式，再看被开方数是否相同【思路点拨】先化简成最简二次根式，再看被开方数是否相同. .2.2.计算：计算：)12)(12(-+的结果是（的结果是（）. A.23+ B.23- C.1D.3 【知识点：二次根式的混合运算】【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】【参考答案】C C【思路点拨】在整式运算中使用的公式在二次根式运算中照样适用，因此，【思路点拨】在整式运算中使用的公式在二次根式运算中照样适用，因此，本题利用平方差公式直本题利用平方差公式直接计算即可接计算即可. .3.3.若矩形相邻两边长分别是若矩形相邻两边长分别是cm 20和cm 125，则它们的周长是，则它们的周长是. .【知识点：二次根式混合运算】【知识点：二次根式混合运算】【参考答案】cm 514【思路点拨】矩形的周长【思路点拨】矩形的周长==（长（长++宽）×宽）×2 24. 计算：)4831375(12-+´的结果是（的结果是（） A.23 B.32 C. 6D. 12 【知识点：二次根式的混合运算】【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】【参考答案】D D【思路点拨】123232)34335(12)4831375(12=´=-+´=-+´5. 计算：3)4841311527(¸+-【知识点：二次根式的混合运算】【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】1-【解析】原式=1333)33533(-=¸-=¸+-略。