2016-2017年上海市普陀区晋元高中高三(上)数学期中试卷和答案

2015-2016学年上海市普陀区高三（上）12月调研数学试卷（理科）一、填空题（本大题56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中，每小空格填对得4分，填错或不正确的位置一律得零分）1．若全集U=R，集合M={x|x（x﹣2）≤0}，N={1，2，3，4}，则N∩∁U M= ．2．若函数，，则f（x）+g（x）= ．3．在（2x﹣1）7的二项展开式中，第四项的系数为．4．在，则函数y=tanx的值域为．5．在数列{a n}中，a1=1，，则数列的各项和为．6．若函数f（x）=（x≥0）的反函数是f﹣1（x），则不等式f﹣1（x）＞f（x）的解集为．7．设O为坐标原点，若直线与曲线相交于A、B点，则扇形AOB的面积为．8．若正六棱柱的底面边长为10，侧面积为180，则这个棱柱的体积为．9．若在北纬45°的纬度圈上有A、B两地，经度差为90°，则A、B两地的球面距离与地球半径的比值为．10．方程的解x= ．11．设P是双曲线上的动点，若P到两条渐近线的距离分别为d1，d2，则d1•d2= ．12．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D，若在其12条棱中随机地取3条，则这三条棱两两是异面直线的概率是（结果用最简分数表示）13．若F是抛物线y2=4x的焦点，点P i（i=1，2，3，…，10）在抛物线上，且，则= ．14．若函数最大值记为g（t），则函数g（t）的最小值为．二、选择题（本大题20分，共4小题，每小题5分）15．下列命题中的假命题是（）A．若a＜b＜0，则B．若，则0＜a＜1C．若a＞b＞0，则a4＞b4D．若a＜1，则16．若集合，则“x∈A”是“x∈B”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件17．如图，在四面体ABCD，AB=CD，M，N分别是BC，AD的中点，若AB与CD所成的角的大小为60°，则MN和CD所成的角的大小为（）A．30° B．60° C．30°或60°D．15°或60°18．若函数，关于x的方程f2（x）﹣（a+1）f（x）+a=0，给出下列结论：①存在这样的实数a，使得方程由3个不同的实根；②不存在这样的实数a，使得方程由4个不同的实根；③存在这样的实数a，使得方程由5个不同的实数根；④不存在这样的实数a，使得方程由6个不同的实数根．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题：（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19．如图，椭圆+=1的左、右两个焦点分别为F1、F2，A为椭圆的右顶点，点P在椭圆上且∠PF1F2=arccos（1）计算|PF1|的值x（2）求△PF1A的面积．20．某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24πcm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm．（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？21．已知函数f（x）=2sin2x+sin2x﹣1．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）设，其中0＜x0＜π，求tanx0的值．22．已知n∈N*，数列{a n}的前n项和为S n，且2a n﹣S n=1．（1）求证：数列{a n}是等比数列，并求出通项公式；（2）对于任意a i、a j∈{a1，a2，…，a n}（其中1≤i≤n，1≤j≤n，i、j均为正整数），若a i和a j的所有乘积a i•a j的和记为T n，试求的值；（3）设，若数列{c n}的前n项和为C n，是否存在这样的实数t，使得对于所有的n都有成立，若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．23．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”（1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；（2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时，；当x=2时，f（x）=0．求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的零点．2015-2016学年上海市普陀区高三（上）12月调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中，每小空格填对得4分，填错或不正确的位置一律得零分）1．若全集U=R，集合M={x|x（x﹣2）≤0}，N={1，2，3，4}，则N∩∁U M= {3，4} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求解一元二次不等式化简M，求出其补集，再由交集运算得答案．【解答】解：∵M={x|x（x﹣2）≤0}={x|0≤x≤2}，∴∁U M={x|x＜0或x＞2}，又N={1，2，3，4}，∴N∩∁U M={3，4}．故答案为：{3，4}．2．若函数，，则f（x）+g（x）= 1（0≤x≤1）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】容易求出f（x），g（x）的定义域，求交集便可得出f（x）+g（x）的定义域，并可求得f（x）+g（x）=．【解答】解：；解得，0≤x≤1；∴（0≤x≤1）．故答案为：．3．在（2x﹣1）7的二项展开式中，第四项的系数为﹣560 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】直接利用二项式定理写出结果即可即可．【解答】解：在（2x﹣1）7的二项展开式中，第四项的系数为： =﹣560．故答案为：﹣560．4．在，则函数y=tanx的值域为[﹣1，1] ．【考点】正切函数的图象．【分析】根据正切函数的图象与性质，求出x∈[﹣，]时函数y=tanx的值域即可．【解答】解：∵，∴﹣1≤tanx≤1，∴函数y=tanx的值域为[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．5．在数列{a n}中，a1=1，，则数列的各项和为2n﹣1 ．【考点】数列的求和．【分析】由，变形a n+1+1=2（a n+1），利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵，∴a n+1+1=2（a n+1），∴数列{a n+1}是等比数列，首项为2，公比为2．∴a n+1=2n，∴a n=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．6．若函数f（x）=（x≥0）的反函数是f﹣1（x），则不等式f﹣1（x）＞f（x）的解集为{x|x＞1} ．【考点】反函数．【分析】由y=f（x）=（x≥0），求出f﹣1（x）=x3，x≥0，由此能求出不等式f﹣1（x）＞f（x）的解集．【解答】解：设y=f（x）=（x≥0），则x=y3，x，y互换，得f﹣1（x）=x3，x≥0，∵f﹣1（x）＞f（x），∴，∴x9＞x，∴x8＞1，解得x＞1．∴不等式f﹣1（x）＞f（x）的解集为{x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．7．设O为坐标原点，若直线与曲线相交于A、B点，则扇形AOB的面积为．【考点】直线与圆的位置关系；扇形面积公式．【分析】通过曲线方程确定曲线表示单位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点），y=时，∠AOB=π，即可求出扇形AOB的面积．【解答】解：由曲线，得x2+y2=1（y≥0）∴曲线表示単位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点）y=时，∠AOB=π，扇形AOB的面积为=．故答案为：．8．若正六棱柱的底面边长为10，侧面积为180，则这个棱柱的体积为450．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据侧面积公式求出棱柱的高，根据底面边长求出底面积，代入体积公式得出体积．【解答】解：设棱柱的底面边长为a，高为h，则S侧=6ah=60h=180，解得h=3．S底==150．∴正六棱柱的体积V=S底h=450．故答案为：450．9．若在北纬45°的纬度圈上有A、B两地，经度差为90°，则A、B两地的球面距离与地球半径的比值为．【考点】球面距离及相关计算．【分析】求出球心角，然后A、B两点的距离，求出两点间的球面距离，即可求出A、B两地的球面距离与地球半径的比值．【解答】解：地球的半径为R，在北纬45°，而AB=R，所以A、B的球心角为：，所以两点间的球面距离是：，所以A、B两地的球面距离与地球半径的比值为；故答案为：．10．方程的解x= log23 ．【考点】对数的运算性质．【分析】化简可得4x﹣5=4（2x﹣2），从而可得（2x）2﹣4•2x+3=0，从而解得．【解答】解：∵，∴4x﹣5=4（2x﹣2），即（2x）2﹣4•2x+3=0，∴2x=1（舍去）或2x=3；∴x=log23，故答案为：log23．11．设P是双曲线上的动点，若P到两条渐近线的距离分别为d1，d2，则d1•d2=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先确定两条渐近线方程，设双曲线C上的点P（x，y），求出点P到两条渐近线的距离，结合P在双曲线C上，即可求d1•d2的值．【解答】解：由条件可知：两条渐近线分别为x±y=0设双曲线C上的点P（x，y），则点P到两条渐近线的距离分别为d1=，d2=所以d1•d2=•==．故答案为：．12．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D，若在其12条棱中随机地取3条，则这三条棱两两是异面直线的概率是（结果用最简分数表示）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】正方体ABCD﹣A1B1C1D，在其12条棱中随机地取3条，先求出基本事件总数，再求出这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数，由此能求出这三条棱两两是异面直线的概率．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D，在其12条棱中随机地取3条，基本事件总数n==220，这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数m=8，∴这三条棱两两是异面直线的概率是p===．故答案为：．13．若F是抛物线y2=4x的焦点，点P i（i=1，2，3，…，10）在抛物线上，且，则= 200 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义得抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，因此求出抛物线的准线方程，结合题中数据加以计算，即可得到本题答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线为x=﹣1，∴根据抛物线的定义，P i（i=1，2，3，…，2015）到焦点的距离等于P i到准线的距离，即|P i F|=x i+1，，可得1﹣x1+1﹣x2+…+1﹣x100=0，∴x1+x2+…+x100=100∴|P1F|+|P2F|+…|P100F|=（x1+1）+（x2+1）+…+（x100+1）=（x1+x2+…+x100）+100=100+100=200．故答案为：200．14．若函数最大值记为g（t），则函数g（t）的最小值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】化简sinx+=sinx+3+﹣3，从而可得0≤sinx+3+﹣3≤，从而求得g（t）=f max（x）=，从而求值．【解答】解：∵sinx+=sinx+3+﹣3，∵﹣1≤sinx≤1，∴2≤sinx+3≤4，∴3≤sinx+3+≤，∴0≤sinx+3+﹣3≤，∴g（t）=f max（x）=，∴当t=时，函数g（t）有最小值为；故答案为；．二、选择题（本大题20分，共4小题，每小题5分）15．下列命题中的假命题是（）A．若a＜b＜0，则B．若，则0＜a＜1C．若a＞b＞0，则a4＞b4D．若a＜1，则【考点】命题的真假判断与应用．【分析】正确选项进行证明，不正确选项，举出反例即可．【解答】解：对于A，a＜b＜0，则•a＜•b，∴，正确对于B，，则＞0，∴0＜a＜1，正确对于C，a＞b＞0，a4＞b4，正确；对于D，a=， =2＞1，不正确，故选：D．16．若集合，则“x∈A”是“x∈B”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先分别求出集合A，B，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【解答】解：∵≥0，∴0≤x＜3，∴A=（0，3]，∵lg|2x﹣3|＜0=lg1，∴|2x﹣3|＜1，且2x﹣3≠0，∴1＜x＜2，且x≠∴B=（1，）∪（，2），∴“x∈A”是“x∈B”成立的必要非充分条件，故选：B．17．如图，在四面体ABCD，AB=CD，M，N分别是BC，AD的中点，若AB与CD所成的角的大小为60°，则MN和CD所成的角的大小为（）A．30° B．60° C．30°或60°D．15°或60°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取BD中点O，连结MO、NO，由已知得∠ONM是MN和CD所成的角（或补角），且∠MON=60°，OM=ON，由此能求出MN和CD所成的角的大小．【解答】解：取BD中点O，连结MO、NO，∵在四面体ABCD，AB=CD，M，N分别是BC，AD的中点，AB与CD所成的角的大小为60°，∴MO，NO，∴∠ONM是MN和CD所成的角（或所成角的补角），且∠MON=60°，OM=ON，∴∠ONM=60°，或∠ONM=30°，∴MN和CD所成的角为60°或30°．故选：C．18．若函数，关于x的方程f2（x）﹣（a+1）f（x）+a=0，给出下列结论：①存在这样的实数a，使得方程由3个不同的实根；②不存在这样的实数a，使得方程由4个不同的实根；③存在这样的实数a，使得方程由5个不同的实数根；④不存在这样的实数a，使得方程由6个不同的实数根．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由f2（x）﹣（a+1）f（x）+a=0可解得f（x）=1或f（x）=a，作函数的图象，从而讨论求解．【解答】解：∵f2（x）﹣（a+1）f（x）+a=0，∴f（x）=1或f（x）=a，作函数的图象如下，，当a=1时，方程有3个不同的实根，故①正确；当a＞1或a≤﹣1时，方程有6个不同的实根，故④不正确；当﹣1＜a＜1时，方程有5个不同的实根，故③正确；综上可知，不存在这样的实数a，使得方程由4个不同的实根；故②正确；故选：C．三、解答题：（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19．如图，椭圆+=1的左、右两个焦点分别为F1、F2，A为椭圆的右顶点，点P在椭圆上且∠PF1F2=arccos（1）计算|PF1|的值x（2）求△PF1A的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据椭圆的性质，可得|PF1|=x，则|PF2|=10﹣x，|F1F2|=2=8，结合已知可余弦定理构造方程，解得x值；（2）由出sin∠PF1F2，进而计算△PF1F2的面积，可得P到x轴的距离d，结合△PF1A的底边|F1A|=a+c=9，可得三角形面积．【解答】解：（1）∵椭圆+=1的左、右两个焦点分别为F1、F2，P为椭圆上一点，|PF1|=x，则|PF2|=10﹣x，|F1F2|=2=8，∵∠PF1F2=arccos，故cos∠PF1F2==，解得：x=6，（2）由∠PF1F2=arccos，可得：sin∠PF1F2==，故△PF1F2的面积S=（5+）•（5﹣）•=，故P到x轴的距离d==，由|F1A|=a+c=9，可得△PF1A的面积为：×=20．某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24πcm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm．（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）笼具的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积；（2）求出笼具的表面积即可，笼具的表面积包括圆柱的侧面，上底面和圆锥的侧面．【解答】解：（1）设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，高为h1，则2πr=24π，解得r=12cm．h1=cm．∴笼具的体积V=πr2h﹣=π×=3552π≈11158.9cm3．（2）圆柱的侧面积S1=2πrh=720cm2，圆柱的底面积S2=πr2=144πcm2，圆锥的侧面积为πrl=240πcm2．故笼具的表面积S=S1+S2+S3=1104πcm2．故制造50个这样的笼具总造价为：元．答：这种笼具的体积约为11158.9cm3，生产50个笼具需要元．21．已知函数f（x）=2sin2x+sin2x﹣1．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）设，其中0＜x0＜π，求tanx0的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．【分析】（1）利用三角函数的关系结合辅助角公式进行化简，即可求函数f（x）的单调递增区间；（2）化简条件，利用同角的三角函数的关系式建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（1）f（x）=2sin2x+sin2x﹣1=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）．由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得2kπ≤x≤2kπ，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数f（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）cos（+α）cos（﹣α）+sin2α=（cos cosα）2﹣（sin sinα）2+sin2α=cos2α﹣sin2α+sin2α=，即f（）=sin（2×﹣）=sin（x0﹣）=，即sinx0﹣cosx0=，①平方得2sinx0cosx0=，∵0＜x0＜π，∴cosx0＞0，则sinx0+cosx0==②，由①②得sinx0=，cosx0=，则tanx0==．22．已知n∈N*，数列{a n}的前n项和为S n，且2a n﹣S n=1．（1）求证：数列{a n}是等比数列，并求出通项公式；（2）对于任意a i、a j∈{a1，a2，…，a n}（其中1≤i≤n，1≤j≤n，i、j均为正整数），若a i和a j的所有乘积a i•a j的和记为T n，试求的值；（3）设，若数列{c n}的前n项和为C n，是否存在这样的实数t，使得对于所有的n都有成立，若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】数列与不等式的综合；等比数列的通项公式；数列的极限．【分析】（1）当n≥2时通过2a n﹣S n=1与2a n﹣1﹣S n﹣1=1作差，进而计算可得结论；（2）通过（1）可得T n的表达式，进而计算即得结论；（3）通过（1）可知数列{c n}的通项公式，利用并项相加、分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．【解答】（1）证明：∵2a n﹣S n=1，∴当n≥2时，2a n﹣1﹣S n﹣1=1，两式相减，整理得：a n=2a n﹣1（n≥2），又∵2a1﹣S1=1，即a1=1，∴数列{a n}是首项为1、公比为2的等比数列，∴a n=2n﹣1；（2）解：∵T n=（1+2+22+…+2n﹣1）（1+2+22+…+2n﹣1）=•=4n﹣2•2n+1，∴==1；（3）结论：存在这样的实数t，使得对于所有的n都有成立．理由如下：由（1）可知，1+b n=3log2a n=3n﹣3，即b n=3n﹣4，b n+1=3n﹣1，故c n=（﹣1）n+1b n•b n+1=（﹣1）n+1（3n﹣4）（3n﹣1），c n+1=（﹣1）n+2（3n﹣1）（3n+2），特别地，当n为奇数时，有n+1为偶数，此时c n+c n+1=（3n﹣4）（3n﹣1）﹣（3n﹣1）（3n+2）=﹣6（3n﹣1），①若n为偶数，则C n=（c1+c2）+（c3+c4）+…+（c n﹣1+c n）=﹣6×[2+8+…+（3n﹣4）]=﹣n（3n﹣2），由可知t≤﹣（3﹣）对所有正偶数n都成立，故t≤﹣；②若n为奇数，则C n=C n﹣1+c n（n≥2），由①可知C n=﹣（n﹣1）（3n﹣5）+（3n﹣4）（3n﹣1）=n2﹣3n﹣，其中C1=﹣2满足上式；由①②可得实数t的取值范围是：t≤﹣，所以存在这样的实数t，使得对于所有的n都有成立．23．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”（1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；（2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时，；当x=2时，f（x）=0．求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的零点．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）由题意可得（a+x）2=k（a﹣x）2，化为（1﹣k）x2+2a（1+k）x+（1﹣k）a2=0对x∈R成立，需满足条件，解方程即可判断；（2）哟题意可得sin（a+x）=ksin（a﹣x），运用两角和差公式，化简结合余弦函数的值域即可得到所求数对；（3）由（1，1）和（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，所以f（1+x）=f（1﹣x）且f（2+x）=﹣f（2﹣x），可得f（x）为周期为4的函数，求得0＜x＜1，1＜x＜2，2＜x ＜3，3＜x＜4，x=0，1，2，3，4的函数解析式，可得2014＜x＜2015，2015＜x＜2016，x=2014，2015，2016的解析式，即可得到所求零点．【解答】解：（1）由f（x）=x2及f（a+x）=kf（a﹣x），可得（a+x）2=k（a﹣x）2，即为（1﹣k）x2+2a（1+k）x+（1﹣k）a2=0对x∈R成立，需满足条件，解得，故k=1≠0，a存在，所以f（x）=x2∈M．（2）由f（x）=sinx∈M得：sin（a+x）=ksin（a﹣x），sinacosx+cosasinx=k（sinacosx﹣cosasinx），所以（1+k）cosasinx+（1﹣k）sinacosx=0，sin（x+φ）=0对任意的x∈R都成立，只有k2+2kcos2a+1=0，即cos2a=﹣（k+），由于|k+|≥2（当且仅当k=±1时，等号成立），所以|cos2a|≥1，又因为|cos2a|≤1，故|cos2a|=1．其中k=1时，cos2a=﹣1，a=nπ+，n∈Z；k=﹣1时，cos2a=1，a=nπ，n∈Z．故函数f（x）的“伴随数对”为（nπ+，1）和（nπ，﹣1），n∈Z．（3）因为（1，1）和（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，所以f（1+x）=f（1﹣x）且f（2+x）=﹣f（2﹣x），于是f（x+4）=f（x），故函数f（x）是以4为周期的函数．若0＜x＜1，则1＜2﹣x＜2，此时f（x）=f（2﹣x）=﹣cos（x），若2＜x＜3，则1＜4﹣x＜2，此时f（x）=﹣f（4﹣x）=﹣cos（x），若3＜x＜4，则0＜4﹣x＜1，此时f（x）=﹣f（4﹣x）=cos（x），f（x）=故f（x）=当2014≤x≤2016时，函数f（x）的零点分别为2014，2015，2016．。

市二中学2016-2017学年第一学期高三数学期中考试2016。

11考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、填空题（4*12=48分)1.向量(3,4)a =与向量(1,0)b =的夹角大小为 。

34arctan 2. 若33)6cos(=-θπ,则=-)6(sin 2πθ．323.关于 x y 、的方程组{2542x my nx y +=-=的增广矩阵经过变换后得到()103011，则()m n =.()12-4. 函数)62sin(2π-=x y 与y 轴最近的对称轴方程是 ．6x π=-5.设函数()22,2,2xx f x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩,若()1(21)f a f a +≥-，则实数a 的取值范围是_________2a ≤6.设函数)(x f 的定义域为R ，且为奇函数，当0>x 时,x xx f 2)(2+-=。

若)(x f 在区间[]21--a ，上是单调递增函数，则a的取值范围是 .31≤<a7.平行四边形ABCD 中，已知AB ＝4,AD ＝3，∠BAD ＝60°,点E ，F 分别满足错误!＝2错误!,错误!＝错误!,则错误!·错误!＝ ．－6。

8.已知数列}{na 的前n 项和nS 满足234=-n nS a，其中．则数列}{na 的通项公式为_________.142-⋅=n na9. 若0x >，则函数121++=x x y 的最小值为___________12210.数列{}na 中，若2ia k =（122kk i +<≤,*i ∈N ,k ∈N),则满足2100iia a+≥ 的i 的最小值为 ．12811.分形几何学是数学家伯努瓦曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科。

它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图:易知第三行有白圈5个,黑圈4个。

2016-2017学年上海市金山中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（每题4分，共56分）1．（4分）已知集合A={x|log2（x﹣1）＜2}，B={x|2＜x＜6}，且A∩B=．2．（4分）已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣5x+a ＞0的解集是．3．（4分）若tan（α+）=sin2α+cos2α，α∈（，π），则tan（π﹣α）=．4．（4分）在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是．5．（4分）=．6．（4分）若将函数y=cos（2x）的图象向左平移个单位长度，则平移后的函数对称轴为．7．（4分）在△ABC中，a=5，b=8，C=60°，则的值为．8．（4分）关于x的方程k•4x﹣k•2x+1+6（k﹣5）=0在区间[0，1]上有解，则实数k的取值范围是．9．（4分）若函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），且函数图象过，则函数的图象一定过．10．（4分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S5、S4、S6成等差数列，则数列{a n}的公比q的值等于．11．（4分）已知不等式对于任意xy＞0恒成立，求正实数a的范围．12．（4分）将正整数排成如图所示：其中第i行，第j列的那个数记为a i j，则数表中的2015应记为．13．（4分）若偶函数y=f（x）（x∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，则函数g（x）=f（x）﹣|lgx|的零点个数为个．14．（4分）若数列{a n}满足“对任意正整数n，恒成立”，则称数列{a n}为“差非增数列”．给出下列数列{a n}，n∈N*：①a n=2n++1，②a n=n2+1，③a n=2n+1，④a n=ln，⑤a n=2n+．其中是“差非增数列”的有（写出所有满足条件的数列的序号）．二、选择题（每题5分，共20分）15．（5分）若a、b∈R，则“a＜b＜0”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）已知角θ的终边经过点P（x，3）（x＜0）且cosθ=x，则x等于（）A．﹣1 B．﹣ C．﹣3 D．﹣17．（5分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x ≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（）A．﹣2 B．1 C．0 D．218．（5分）已知a＞0且a≠1，函数在区间（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log a||x|﹣b|的图象是（）A．B．C．D．三、简答题（共74分）19．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a2+b2﹣c2=4S ．△ABC（1）求角C的大小；（2）若c=，求a﹣b的取值范围．20．（14分）已知数列{a n}的前n项和，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1；（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求的最大项的值，并指出是第几项．21．（14分）某生产旅游纪念品的工厂，拟在2017年度进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x（单位：万件）与年促销费用t（单位：万元）之间满足3﹣x与t+1成反比例（若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件）；已知工厂2017年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为“年平均每件生产成本的1.5倍”与“年平均每件所占促销费的一半”之和时，则当年的产量和销量相等．（利润=收入﹣生产成本﹣促销费用）；（1）请把该工厂2017年的年利润y（单位：万元）表示成促销费t（单位：万元）的函数；（2）试问：当2017的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？22．（16分）已知函数f（x）=x2﹣x|x﹣a|﹣3a，a＞0．（1）若a=1，求f（x）的单调区间；（2）求函数在x∈[0，3]上的最值；（3）当a∈（0，3）时，若函数f（x）恰有两个不同的零点x1，x2，求的取值范围．23．（18分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=0，a1+a2+a3+…+a n+n=a n+1，n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{a n+1}是等比数列；（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为T n，b1=1，点（T n+1，T n）在直线上，若不等式对于n∈N*恒成立，求实数m的最大值．2016-2017学年上海市金山中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共56分）1．（4分）（2016秋•金山区校级期中）已知集合A={x|log2（x﹣1）＜2}，B={x|2＜x＜6}，且A∩B=（2，4）．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11 ：计算题；37 ：集合思想；4O：定义法；5J ：集合．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵log2（x﹣1）＜2，∴，解得1＜x＜4，∴A=（1，4），∵B={x|2＜x＜6}=（2，6），∴A∩B=（2，4），故答案为：（2，4）【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（4分）（2016秋•金山区校级期中）已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是（﹣，﹣）．【考点】74：一元二次不等式的解法．【专题】35 ：转化思想；4Q：参数法；59 ：不等式的解法及应用．【分析】根据不等式ax2+5x+b＞0的解集求出a与b的值，再化简不等式bx2﹣5x+a＞0，求出解集即可．【解答】解：不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则ax2+5x+b=0的实数根是3和2，由根与系数的关系，得3+2=﹣，3×2=，解得a=﹣1，b=﹣6，不等式bx2﹣5x+a＞0可化为﹣6x2﹣5x﹣1＞0，即6x2+5x+1＜0，即（2x+1）（3x+1）＜0，解得﹣＜x＜﹣，∴不等式的解集是（﹣，﹣），故答案为：（﹣，﹣）．【点评】本题考查了根与系数的关系及一元二次方程和一元二次不等式的关系，是基础题目．3．（4分）（2016秋•金山区校级期中）若tan（α+）=sin2α+cos2α，α∈（，π），则tan（π﹣α）=3．【考点】GI：三角函数的化简求值．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；56 ：三角函数的求值．【分析】由两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知可得=，整理即可解得tanα的值，结合α的范围及诱导公式即可计算得解．【解答】解：∵tan（α+）=sin2α+cos2α，∴==，整理可得：tan2α（3+tanα）=0，解得：tanα=0，或﹣3，∵α∈（，π），可得：tanα＜0，∴tanα=﹣3，∴tan（π﹣α）=﹣tanα=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．4．（4分）（2016秋•金山区校级期中）在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4L ：消元法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式及前n项和公式列出方程组，能求出公差．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，∴，解得a1=4，d=．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．（4分）（2016秋•金山区校级期中）=．【考点】6F：极限及其运算．【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想；4G ：演绎法；5M ：推理和证明．【分析】利用裂项求和，再求极限，可得结论．【解答】解：=（1﹣+﹣+…+﹣+﹣）==，故答案为．【点评】本题考查裂项求和，考查极限知识，正确求和是关键．6．（4分）（2016秋•金山区校级期中）若将函数y=cos（2x）的图象向左平移个单位长度，则平移后的函数对称轴为．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；44 ：数形结合法；57 ：三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数平移的性质，将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度可得：y=cos[2（x+）]=cos（2x+），根据余弦函数的性质可得：对称轴方程为：2x+=kπ，（k∈Z）化简即可得到对称轴方程．【解答】解：由题意，函数y=cos（2x的）图象向左平移个单位长度，可得：y=cos[2（x+）]=cos（2x+），∴由2x+=kπ（k∈Z），解得：x=﹣（k∈Z），故答案为：．【点评】本题主要考查函数y=Acos（ωx+∅）的图象变换，再考查性质的运用能力，比较基础．属于基础题．7．（4分）（2010•江阴市校级模拟）在△ABC中，a=5，b=8，C=60°，则的值为﹣20．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】在△ABC中，a=5，b=8，C=60°中=120°然后用数量积求值即可．【解答】解：=故答案为：﹣20．【点评】本题考查平面向量的数量积，多数同学错误认为，从而出错．8．（4分）（2008•浦东新区一模）关于x的方程k•4x﹣k•2x+1+6（k﹣5）=0在区间[0，1]上有解，则实数k的取值范围是[5，6] ．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【专题】11 ：计算题．【分析】换元：令t=2x，则t∈[1，2]，原方程化为k•t2﹣2k•t+6（k﹣5）=0，根据题意，问题转化为此方程在[1，2]上有零点，根据二次函数零点的判定方法即可求得结论．【解答】解：令t=2x，则t∈[1，2]，∴方程k•4x﹣k•2x+1+6（k﹣5）=0，化为：k•t2﹣2k•t+6（k﹣5）=0，根据题意，此关于t的一元二次方程在[1，2]上有零点，整理，得：方程k（t2﹣2t+6）=30，当t∈[1，2]时存在实数解∴，当t∈[1，2]时存在实数解∵t2﹣2t+6=（t﹣1）2+5∈[5，6]∴故答案为[5，6]【点评】本题以指数型二次方程为例，考查了根的存在性及函数零点的知识点，属于中档题．请同学们注意解题过程中变量分离思路的应用，它可以化繁为简、化难为易．9．（4分）（2016秋•金山区校级期中）若函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），且函数图象过，则函数的图象一定过．【考点】4R：反函数．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），且函数的图象过点，代入计算出函数y=f（x）的图象过哪一个点，根据原函数与反函数图象的关系，我们易得函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）过什么点，进而得到函数的图象过的定点．【解答】解：∵函数的图象过点，∴﹣=tan﹣f（2），即f（2）=，即函数y=f（x）的图象过点（2，），则函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）过（，2）点，∴函数的图象一定过点（，2﹣），故答案为：．【点评】本题考查反函数的性质，考查反函数的对称性，属于基础题．10．（4分）（2016秋•金山区校级期中）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S5、S4、S6成等差数列，则数列{a n}的公比q的值等于﹣2．【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；54 ：等差数列与等比数列．【分析】根据题意，由S5、S4、S6成等差数列，可得2S4=S5+S6，分2种情况讨论：①q=1、②q≠1，分别代入等比数列的前n项和公式，计算可得q的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，S5、S4、S6成等差数列，则2S4=S5+S6成等差数列，①、当q=1时，S n=na1，则S5=5a1，S4=4a1，S6=6a1，S5、S4、S6成等差数列不成立，故舍去．②、当q≠1时，有2=+，变形可得：0=2a5+a6，∴a5（2+q）=0，解得q=﹣2．则数列{a n}的公比为q=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．11．（4分）（2016秋•金山区校级期中）已知不等式对于任意xy＞0恒成立，求正实数a的范围a≥4．【考点】7F：基本不等式．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5T ：不等式．【分析】首先分析题目已知不等式对任意x、y的正实数恒成立．故对不等式左边展开后，利用基本不等式得恒成立的满足条件（+1）2≥9，然后解不等式，可求a值【解答】解：因为（x+y）（+）=1+a++≥1+a+2=1+a+2=（+1）2，a＞0，要使原不等式恒成立，则只需（+1）2≥9，即+1≥3，解得a≥4，故答案为：a≥4．【点评】此题主要考查基本不等式的应用，在利用基本不等式求参数的值或范围时，只需求出式子的最小值或最大值，使其满足已知条件即可．12．（4分）（2016•南开区模拟）将正整数排成如图所示：其中第i行，第j列的那个数记为a i j，则数表中的2015应记为a4579．【考点】F1：归纳推理．【专题】29 ：规律型；5M ：推理和证明．【分析】本题考查的是归纳推理，解题思路为：分析各行数的排列规律，猜想前N行数的个数，从而进行求解．【解答】解：前1行共有：1个数前2行共有：1+3=4个数前3行共有：1+3+5=9个数前4行共有：1+3+5+7=16个数…由此猜想：前N行共有N2个数，∵442=1936＜2015，452=2025＞2015，故2015应出现在第45行，又由第45行的第一个数为1937，故2015应为第79个数，故答案为：a4579【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．13．（4分）（2016秋•金山区校级期中）若偶函数y=f（x）（x∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，则函数g（x）=f（x）﹣|lgx|的零点个数为10个．【考点】52：函数零点的判定定理．【专题】35 ：转化思想；44 ：数形结合法；51 ：函数的性质及应用．【分析】运用函数的对称性和奇偶性，确定函数y=f（x）的周期，构造函数y=f （x），h（x）=|lgx|，则函数g（x）=f（x）﹣|lgx|的零点问题转化为图象的交点问题，结合图象，即可得到结论．【解答】解：∵偶函数y=f（x）（x∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），即函数f（x）关于x=1对称，即有f（x+2）=f（﹣x）=f（x），则函数y=f（x）的周期为2，构造函数y=f（x），h（x）=|lgx|，画出它们的图象，则函数g（x）=f（x）﹣|lgx|的零点问题转化为图象的交点问题，由于f（x）的最大值为1，所以x＞10时，图象没有交点，在（0，1）上有一个交点，（1，3），（3，5），（5，7），（7，9）上各有两个交点，在（9，10）上有一个交点，故共有10个交点，即函数零点的个数为10．故答案为：10．【点评】本题的考点是函数零点与方程根的关系，主要考查函数零点的定义，关键是正确作出函数图象，注意掌握周期函数的一些常见结论：若f（x+a）=f（x），则周期为a；若f（x+a）=﹣f（x），则周期为2a等．14．（4分）（2015•泉州校级模拟）若数列{a n}满足“对任意正整数n，恒成立”，则称数列{a n}为“差非增数列”．给出下列数列{a n}，n∈N*：①a n=2n++1，②a n=n2+1，③a n=2n+1，④a n=ln，⑤a n=2n+．其中是“差非增数列”的有③④（写出所有满足条件的数列的序号）．【考点】8H：数列递推式．【专题】23 ：新定义；51 ：函数的性质及应用．【分析】把恒成立化为a n+a n+2≤2a n+1恒成立，然后逐一验证5个数列得答案．【解答】解：①若a n=2n++1为“差非增数列”，则恒成立，即恒成立，此式显然不正确，①不是“差非增数列”；②若a n=n2+1为“差非增数列”，则n2+1+（n+2）2+1≤2（n+1）2+2，即2≤0恒成立，此式显然不正确，②不是“差非增数列”；③若a n=2n+1为“差非增数列”，则2n+1+2（n+2）+1≤2[2（n+1）+1]，即0≤0恒成立，此式显然正确，③是“差非增数列”；④若a n=ln为“差非增数列”，则ln+ln≤2ln，即恒成立，也就是2n+3≥0恒成立，此式显然正确，④是“差非增数列”；⑤若a n=2n+为“差非增数列”，则，即2≤0恒成立，此式显然不正确，②不是“差非增数列”．故答案为：③④．【点评】本题是新定义题，考查了数列的函数特性，考查了计算能力，是中档题．二、选择题（每题5分，共20分）15．（5分）（2016•浦东新区三模）若a、b∈R，则“a＜b＜0”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；R3：不等式的基本性质．【专题】11 ：计算题．【分析】利用不等式的性质判断出“a＜b＜0”则有“a2＞b2”，通过举反例得到“a2＞b2”成立推不出“a＜b＜0”成立，利用充要条件的有关定义得到结论．【解答】解：若“a＜b＜0”则有“a2＞b2”反之则不成立，例如a=﹣2，b=1满足“a2＞b2”但不满足“a＜b＜0”∴“a＜b＜0”是“a2＞b2”的充分不必要条件，故选A．【点评】此题主要考查不等式与不等关系之间的联系，此题可以举反例进行求解．16．（5分）（2016秋•金山区校级期中）已知角θ的终边经过点P（x，3）（x＜0）且cosθ=x，则x等于（）A．﹣1 B．﹣ C．﹣3 D．﹣【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4G ：演绎法；56 ：三角函数的求值．【分析】求出OP的距离，直接利用三角函数的定义，求出cosθ，列出方程，即可求出x的值．【解答】解：已知角α的终边经过点P（x，3）（x＜0）所以OP=，由三角函数的定义可知：cosθ=x=，x＜0解得x=﹣1．故选A．【点评】本题是基础题，考查三角函数的定义的应用，考查计算能力．17．（5分）（2016•山东）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（）A．﹣2 B．1 C．0 D．2【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用．【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），得到f（1）=﹣f（﹣1），当x＜0时，f（x）=x3﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，即可得出结论．【解答】解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．∴f（6）=f（1），∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），∴f（1）=﹣f（﹣1），∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，∴f（﹣1）=﹣2，∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，∴f（6）=2．故选：D．【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．18．（5分）（2013•嘉定区二模）已知a＞0且a≠1，函数在区间（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log a||x|﹣b|的图象是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象；4O：对数函数的单调性与特殊点．【专题】31 ：数形结合．【分析】根据函数是一个奇函数，函数在原点出有定义，得到函数的图象一定过原点，求出b的值，根据函数是一个增函数，看出底数的范围，得到结果．【解答】解：∵函数在区间（﹣∞，+∞）上是奇函数，∴f（0）=0∴b=1，又∵函数在区间（﹣∞，+∞）上是增函数，所以a＞1，所以g（x）=log a||x|﹣1|定义域为x≠±1，且当x＞1递增，当0＜x＜1递减，故选A【点评】本题考查函数奇偶性和单调性，即对数函数的性质，本题解题的关键是看出题目中所出现的两个函数性质的应用．三、简答题（共74分）19．（12分）（2016秋•锦州期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a2+b2﹣c2=4S△ABC．（1）求角C的大小；（2）若c=，求a﹣b的取值范围．【考点】HS：余弦定理的应用．【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；57 ：三角函数的图像与性质；58 ：解三角形．【分析】（1）运用三角形的面积公式和余弦定理，可得cosC=sinC，由同角的商数关系和特殊角的函数值，可得角C；（2）运用正弦定理和两角差的正弦公式，结合正弦函数的单调性，即可得到所求范围．【解答】解：（1）由a2+b2﹣c2=4S△ABC得：a2+b2﹣c2=4×absinC=2absinC，即=sinC，即cosC=sinC，即为tanC=1，又角C为△ABC的内角，所以∠C=45°；（2）由正弦定理得：====2，可得a=2sinA，b=2sinB，所以a﹣b=2sinA﹣sinB=2sin A﹣sin（﹣A）=2sinA﹣（cosA+sinA）=sinA﹣cosA=sin（A﹣），又因为0＜A＜π，所以﹣＜A﹣＜，可得﹣＜sin（A﹣）＜1，所以﹣1＜sin（A﹣）＜，故a﹣b的取值范围是（﹣1，）．【点评】本题考查解三角形中的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，以及正弦函数的单调性的运用，属于中档题．20．（14分）（2016秋•金山区校级期中）已知数列{a n}的前n项和，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1；（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求的最大项的值，并指出是第几项．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；48 ：分析法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）运用n=1，a1=S1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得a n，再由等差数列的通项公式可得b n的通项或由n=1，n=2，解方程可得b n的通项；（2）求出c n，变形，运用n≥4时，c n递减，且n=1，2，3均为负的，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=3+8=11，当n≥2时，，又a n=6n+5对n=1也成立，所以a n=6n+5．又因为{b n}是等差数列，设首项为b1，公差为d，则由a n=b n+b n+1得：6n+5=（2d）n+（2b1﹣d），且该等式恒成立，所以：，所以，所以b n=3n+1；法二：当n=1时，2b1=11﹣d；当n=2时，2b2=17﹣d，相减可得d=3，所以数列{b n}的通项公式为．（2）==，由n≥4时，c n递减，且c4=；又c1＜0，c2＜0，c3＜0，所以当n=4的时候取得最大值．【点评】本题考查数列通项的求法，注意运用数列递推式和等差数列通项公式，考查数列中的最大值，注意运用数列的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．（14分）（2016秋•锦州期末）某生产旅游纪念品的工厂，拟在2017年度进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x（单位：万件）与年促销费用t（单位：万元）之间满足3﹣x与t+1成反比例（若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件）；已知工厂2017年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为“年平均每件生产成本的1.5倍”与“年平均每件所占促销费的一半”之和时，则当年的产量和销量相等．（利润=收入﹣生产成本﹣促销费用）；（1）请把该工厂2017年的年利润y（单位：万元）表示成促销费t（单位：万元）的函数；（2）试问：当2017的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？【考点】5D：函数模型的选择与应用．【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想；4G ：演绎法；51 ：函数的性质及应用．【分析】（1）根据3﹣x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，可求出k的值；进而通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数；（2）利用基本不等式求出最值，即可得结论．【解答】解：（1）设反比例系数为k（k≠0），有因为当t=0时x=1，代入得k=2，所以；易得：，化简得：；（2），当且仅当t=7时取等号；所以，当2017年的促销费投入7万元时，工厂的年利润最大为42万元．【点评】本题主要考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题．22．（16分）（2016秋•金山区校级期中）已知函数f（x）=x2﹣x|x﹣a|﹣3a，a ＞0．（1）若a=1，求f（x）的单调区间；（2）求函数在x∈[0，3]上的最值；（3）当a∈（0，3）时，若函数f（x）恰有两个不同的零点x1，x2，求的取值范围．【考点】3W：二次函数的性质．【专题】33 ：函数思想；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用．【分析】（1）根据二次函数以及一次函数的性质求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论a的范围求出函数的最小值和最大值即可；（3）求出f（x）的根，求的表达式，得到其范围即可．【解答】解：（1）x≤1时，函数f（x）的对称轴是x=，开口向上，故f（x）在上单调递减，在上单调递增．（2），当0＜a≤3时，f（x）=2x2﹣ax﹣3a的对称轴是x=＜1，∴f（x）在[0，）递减，在（，3]递增，而f（0）=﹣3a＜f（3）=0，∴f（x ）的最小值，最大值f（3）；当3＜a＜6时，对称轴x=，1＜＜3，故f（x）在[0，）递减，在（，3]递增，∴f（x ）的最小，最大值f（3），当6≤a＜12时，最小值，最大值f（0）当a≥12时，最小值f（3），最大值f（0）（3）当0＜a＜3时，令f（x）=0，可得，（因为f（a）=a2﹣3a＜0，所以x3＞a舍去）所以，在0＜a＜3上是减函数，所以．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质以及分类讨论思想，是一道中档题．23．（18分）（2015•东莞二模）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=0，a1+a2+a3+…+a n+n=a n+1，n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{a n+1}是等比数列；（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为T n，b1=1，点（T n+1，T n ）在直线上，若不等式对于n∈N*恒成立，求实数m的最大值．第21页（共23页）【考点】8E：数列的求和；8D：等比关系的确定．【专题】54 ：等差数列与等比数列．=2a n+1，变形利用等比数列的定义即可证明；【分析】（Ⅰ）利用递推式可得：a n+1（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由点（T n，T n ）在直线上，可得+1，利用等差数列的通项公式可得：，利用递推式可得b n=n．利用不等式，可得R n =，利用“错位相减法”可得：．对n分类讨论即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由a1+a2+a3+…+a n+n=a n+1，得a1+a2+a3+…+a n﹣1+n﹣1=a n（n≥2），两式相减得a n=2a n+1，+1+1=2（a n+1）（n≥2），变形为a n+1∵a1=0，∴a1+1=1，a2=a1+1=1，a2+1=2（a1+1），∴{a1+1}是以1为首项，公比为2的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∵点（T n，T n ）在直线上，+1∴，故是以为首项，为公差的等差数列，则，∴，当n≥2时，，∵b1=1满足该式，∴b n=n．∴不等式，即为，令，则，第22页（共23页）两式相减得，∴．由恒成立，即恒成立，又，故当n≤3时，单调递减；当n=3时，；当n≥4时，单调递增；当n=4时，；则的最小值为，所以实数m 的最大值是．【点评】本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、“错位相减法”、数列的单调性，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．第23页（共23页）。

2015-2016学年上海市普陀区晋原中学高二（上）期中数学试卷一、填空题1．已知{a n]为等差数列，a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=15，则a3+a4= ．2．已知数列{a n}的前n项和S n=5﹣4×2﹣n，则其通项公式为．3．已知a n=（n∈N*），设a m为数列{a n}的最大项，则m= ．4．在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，如果EH、FG相交于一点M，那么M一定在直线上．5．在等差数列{a n}中，若a n+a n+2=4n+6（n∈N*），则该数列的通项公式a n= ．6．若存在，则实数r的取值范围是．7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为．8．已知数列{a n}的通项公式为a n=log3（n∈N*），设其前n项和为S n，则使S n＜﹣4成立的最小自然数n等于．9．等比数列{a n}的公比0＜q＜1，a172=a24，则使a1+a2+…+a n＞++…+成立的正整数n的最大值为．10．数列{a n}的通项公式an=，前n项和为S n，则= ．11．在等差数列{a n}中，＜﹣1，若它的前n项和S n有最大值，则使S n取得最小正数的n= ．12．设数列{a n}的首项a1=，前n项和为S n，且满足2a n+1+S n=3（ n∈N*）．则满足＜＜的所有n的和为．13．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数；1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n}为“斐波那契数列”．那么是斐波那契数列中的第项．14．已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，满足f（x8）+f（x9）+f（x10）+f（x11）=0，则x2015的值为．二、选择题15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是（）A．0＜θ＜B．0＜θ≤C．0≤θ≤D．0＜θ≤16．已知数列{a n}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有，其中S n表示数列{a n}的前n项和．则=（）A．0 B．1 C．D．217．某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一都有A，B两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的，下星期一会有20%的人改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%的人改选A种菜．用a n，b n分别表示在第n个星期一选A种菜的人数和选B种菜的人数，如果a1=300，则a10为（）A．300 B．350 C．400 D．45018．数列{a n}满足a1=1，，记数列{a n2}前n项的和为S n，若对任意的n∈N*恒成立，则正整数t的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．7三、解答题19．四面体A﹣BCD的棱长均为a，E、F分别为棱AD、BC的中点，求异面直线AF与CE所成的角的余弦值．20．2014年，中国联想集团以28亿元收购摩托罗拉移动公司，并计划投资30亿元来发展该品牌；2014年摩托罗拉手机的销售量为100万部．据专家预测，从2015年起，摩托罗拉手机的销售量每年比上一年增加100万部，每年的销售利润比上一年减少10%．已知2014年销售利润平均每部为300元．（Ⅰ）若把2014年看做第一年，第n年的销售利润为多少？（Ⅱ）到2020年年底，中国联想集团能否通过摩托罗拉手机实现盈利？（即销售利润超过总投资，参考数据：0.96≈0.53，0.97≈0.47，0.98≈0.43）．21．数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n+1=S n+n．（1）写出a2，a3，a4的值，并求{a n}的通项公式；（2）正项等差数列{b n}的前n项和为T n，且T3=9，并满足a1+b1，a2+b2，a3+b3，成等比数列．（i）求数列{b n}的通项公式（ii）设B n=++…+，试确定B n与的大小关系，并给出证明．22．设函数f（n）=，a n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2n），（1）求a1，a2，a3的值（2）设b n=a n+1﹣a n，写出b n与b n+1的递推关系，并求{b n}的通项公式．（3）设数列{c n}的通项公式为c n=log2（3a n﹣2）﹣10，n∈N*，数列{c n}的前n项和为S n，问1000是否为数列{c n•S n}中的项？若是，求出相应的项数，若不是，请说明理由．23．（文）已知数列{a n}的各项均为正数，a1=1，a2=m，且对任意n∈N*，都有．数列{a n}前n项的和S n（1）若数列{a n}是等比数列，求c的值和；（2）若数列{a n}是等差数列，求m与c的关系式；（3）c=1，当n≥2，n∈N*时，求证：是一个常数．2015-2016学年上海市普陀区晋原中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．已知{a n]为等差数列，a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=15，则a3+a4= 8 ．【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】直接利用等差数列的性质，求出a3，a4，然后a3+a4的值．【解答】解：{a n]为等差数列，a1+a3+a5=9，可得a3=3，a2+a4+a6=15，可得a4=5，∴a3+a4=8．故答案为：8．【点评】本题考查等差数列的基本性质的应用，考查计算能力．2．已知数列{a n}的前n项和S n=5﹣4×2﹣n，则其通项公式为．【考点】数列的函数特性．【专题】计算题．【分析】由数列{a n}的前n项和S n=5﹣4×2﹣n，利用公式直接求解．【解答】解：a1=S1=5﹣4×2﹣1=3，a n=S n﹣S n﹣1=（5﹣4×2﹣n）﹣（5﹣4×2﹣n+1）==22﹣n．当n=1时，，∴．故答案为：．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．3．已知a n=（n∈N*），设a m为数列{a n}的最大项，则m= 8 ．【考点】数列的函数特性．【专题】函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】把数列a n==1+，根据单调性，项的符号判断最大项．【解答】解：∵a n=（n∈N*），∴a n==1+根据函数的单调性可判断：数列{a n}在[1，7]，[8，+∞）单调递减，∵在[1，7]上a n＜1，在[8，+∞）上a n＞1，∴a8为最大项，故答案为：8【点评】本题考查了数列与函数的结合，根据单调性求解，属于中档题．4．在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，如果EH、FG相交于一点M，那么M一定在直线BD 上．【考点】平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据题意，可得直线EH、FG分别是平面ABD、平面BCD内的直线，因此EH、FG的交点必定在平面ABD和平面BCD的交线上．而平面ABD交平面BCD于BD，由此即可得到点P在直线BD【解答】解：∵点E、H分别在AB、AD上，而AB、AD是平面ABD内的直∴E∈平面ABD，H∈平面ABD，可得直线EH⊂平面ABD，∵点F、G分别在BC、CD上，而BC、CD是平面BCD内的直线，∴F∈平面BCD，G∈平面BCD，可得直线FG⊂平面BCD，因此，直线EH与FG的公共点在平面ABD与平面BCD的交线上，∵平面ABD∩平面BCD=BD，∴点M∈直线BD．故答案为：BD．【点评】本题给出空间四边形，判断直线EH、FG的交点与已知直线BD的位置关系，着重考查了平面的基本性质和空间直线的位置关系判断等知识，属于基础题．5．在等差数列{a n}中，若a n+a n+2=4n+6（n∈N*），则该数列的通项公式a n= 2n+1 ．【考点】等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知条件易得数列的首项和公比，可得通项公式．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a n+a n+2=4n+6，①∴a n+2+a n+4=4（n+2）+6，②②﹣①可得a n+4﹣a n=8，即4d=8，解得d=2，把n=1代入a n+a n+2=4n+6可得2a1+4=10，解得a1=3，∴通项公式a n=3+2（n﹣1）=2n+1故答案为：2n+1【点评】本题考查等差数列的通项公式，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．6．若存在，则实数r的取值范围是．【考点】数列的极限．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据数列极限存在的条件，列出不等式，即可求得r的取值范围．【解答】解：∵存在，∴0＜，∴3r2+4r+1≥0且2r+1≠0，r≠0，∴r≤﹣1或r≥﹣．故答案为：．【点评】本题考查极限性质及其运算，解题的关键是理解存在的条件，属于基础题．7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；压轴题；数形结合；转化思想．【分析】根据题意知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，解三角形即可求得结果．【解答】解：连接DE，设AD=2易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3∴cos∠DAE==，故答案为：．【点评】此题是个基础题．考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想．8．已知数列{a n}的通项公式为a n=log3（n∈N*），设其前n项和为S n，则使S n＜﹣4成立的最小自然数n等于81 ．【考点】数列与函数的综合．【专题】转化思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用．【分析】求得a n=log3=log3n﹣log3（n+1），运用裂项相消求和求得S n=﹣log3（n+1），再由对数不等式的解法可得n的范围，进而得到n的最小值．【解答】解：a n=log3=log3n﹣log3（n+1），即有前n项和为S n=log31﹣log32+log32﹣log33+…+log3n﹣log3（n+1）=﹣log3（n+1），由S n＜﹣4，即为log3（n+1）＞4，解得n+1＞81，即有n＞80，则n的最小值为81．故答案为：81．【点评】本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查对数的运算性质和不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．9．等比数列{a n}的公比0＜q＜1，a172=a24，则使a1+a2+…+a n＞++…+成立的正整数n的最大值为18 ．【考点】数列与不等式的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】求出数列的前n项和，根据不等式之间的关系即可得到结论．【解答】解：设首项为a1，公比为q，依题意有（a1q16）2=a1q23，∴a1q9=1．则a1＞0，且a1=q﹣9，∵{a n}为等比数列，∴{ }是以为首项，为公比的等比数列．则不等式等价为，∵0＜q＜1，把a1=q﹣9，即a12=q﹣18代入整理，得q﹣18（1﹣q n）＞q1﹣n（1﹣q n），∴q﹣18＞q1﹣n，∴﹣18＜1﹣n，即n＜19，∵n∈N*，∴n的最大值为18．故答案为：18．【点评】本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和的应用，考查数列与不等式的应用，综合性较强，运算量较大．10．数列{a n}的通项公式an=，前n项和为S n，则= ．【考点】数列的极限．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】先利用裂项相消法求出S n，再求极限即可．【解答】解：S n=1+=1+﹣+﹣+…+﹣=﹣，则==．故答案为：．【点评】本题考查数列极限的求法，属中档题，解决本题的关键是先用裂项相消法求和，再利用常见数列极限求解．11．在等差数列{a n}中，＜﹣1，若它的前n项和S n有最大值，则使S n取得最小正数的n= 19 ．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】由题意可知，等差数列{a n}中a1＞0，公差d＜0，可将＜﹣1转化为：＜0，于是a11＜0，a10＞0，由等差数列的前n项和公式可求得S n取得最小正数的n．【解答】解：∵等差数列{a n}中，它的前n项和S n有最大值，＜﹣1，∴a1＞0，公差d＜0，又将＜﹣1⇔＜0，∴是a11＜0，a10＞0，a10+a11＜0．∴S n=an2+bn中其对称轴n=﹣=10，又S19==19a10＞0，而S20=＜0，1与19距离对称轴n=10的距离相等，∴S1=S19．∴使S n取得最小正数的n=1或n=19．故答案为：1或19．【点评】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n项和公式，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．12．设数列{a n}的首项a1=，前n项和为S n，且满足2a n+1+S n=3（ n∈N*）．则满足＜＜的所有n的和为7 ．【考点】数列递推式；数列的函数特性．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据递推数列，得到数列{a n}是公比q=，首项a1=的等比数列，解不等式即可得到结论．【解答】解：∵2a n+1+S n=3，∴2a n+2+S n+1=3，两式相减得2a n+2+S n+1﹣2a n+1﹣S n=0，即2a n+2+a n+1﹣2a n+1=0，则2a n+2=a n+1，当n=1时，2a2+a1=3，则a2=，满足2a2=a1，即2a n+1=a n，则即数列{a n}是公比q=，首项a1=的等比数列，则前n项和为S n==3﹣3•（）n，==1+（）n，若＜＜，则＜1+（）n＜，即＜（）n＜，则7＜2n＜17，则n=3或4，则3+4=7，故答案为：7【点评】本题主要考查递推数列的应用，根据递推数列得到数列{a n}是公比q=，首项a1=的等比数列是解决本题的关键．13．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数；1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n}为“斐波那契数列”．那么是斐波那契数列中的第101 项．【考点】数列递推式．【专题】转化思想；等差数列与等比数列．【分析】令a0=0，根据斐波那契数列的性质可得：那么==a101，即可得出．【解答】解：令a0=0，根据斐波那契数列的性质可得：那么==a101，因此是斐波那契数列中的第101项．故答案为：101．【点评】本题考查了斐波那契数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，满足f（x8）+f（x9）+f（x10）+f（x11）=0，则x2015的值为4011 ．【考点】数列与函数的综合；数列的函数特性．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】设x8=a，则x9=a+2，x10=a+4，x11=a+6，则f（a）+f（a+2）+f（a+4）+f（a+6）=0，结合奇函数关于原点的对称性可知，f（a）+f（a+6）=0，f（a+2）+f（a+4）=0．所以f（a+3）=0=f（0），x8=﹣3．设数列{x n}通项x n=x1+（n﹣1）．x8=x1+14=﹣3．x1=﹣17．通项x n=2n﹣19．由此能求出x2015的值．【解答】解：设x8=a，则x9=a+2，x10=a+4，x11=a+6，∴f（a）+f（a+2）+f（a+4）+f（a+6）=0，且f（a）＜f（a+2）＜f（a+4）＜f（a+6），∴f（a）＜0且f（a+6）＞0．结合奇函数关于原点的对称性可知，f（a）+f（a+6）=0，f（a+2）+f（a+4）=0．∴f（a+3）=0=f（0），即a+3=0．∴x8=﹣3．设数列{x n}通项x n=x1+2（n﹣1）．∴x8=x1+14=﹣3．解得x1=﹣17．∴通项x n=2n﹣19．∴x2015=2×2015﹣19=4011．故答案为：4011．【点评】本题考查函数的性质和运用，考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意对称性的合理运用．二、选择题15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是（）A．0＜θ＜B．0＜θ≤C．0≤θ≤D．0＜θ≤【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】由题意在正方体ABCD﹣A1BC1D1中，点P在线段AD1上运动，根据A1B∥D1C，将CP与A1B成角可化为CP与D1C成角，然后再求解．【解答】解：∵A1B∥D1C，∴CP与A1B成角可化为CP与D1C成角．∵△AD1C是正三角形可知当P与A重合时成角为，∵P不能与D1重合因为此时D1C与A1B平行而不是异面直线，∴；故选D．【点评】此题主要考查异面直线及其所成的角，解题的关键是CP与A1B成角可化为CP与D1C成角，此题是一道好题．16．已知数列{a n}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有，其中S n表示数列{a n}的前n项和．则=（）A．0 B．1 C．D．2【考点】数列的极限；数列递推式．【专题】计算题．【分析】令n=1求出首项，然后根据4a n=4S n﹣4S n﹣1进行化简得a n﹣a n﹣1=2，从而得到数列{a n}是等差数列，直接求出通项公式即可；进而求出结论．【解答】解：∵4S1=4a1=（a1+1）2，∴a1=1．当n≥2时，4a n=4S n﹣4S n﹣1=（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2，∴2（a n+a n﹣1）=a n2﹣a n﹣12，又{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1=2．数列{a n}是等差数列，∴a n=2n﹣1．∴===．故选：C．【点评】本题主要考查了数列的递推关系，以及数列的极限．解决本题的关键在于根据递推关系求出数列的通项．17．某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一都有A，B两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的，下星期一会有20%的人改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%的人改选A种菜．用a n，b n分别表示在第n个星期一选A种菜的人数和选B种菜的人数，如果a1=300，则a10为（）A．300 B．350 C．400 D．450【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得数列递推公式：，又a n+b n=500，两式联立消去b n得数列{a n}的递推公式，由a1=300可求得a2=300，从而可知a10值．【解答】解：依题意得，消去b n得：a n+1=a n+150．由a1=300，得a2=300，从而得a10=300．故选A．【点评】本题考查数列在实际问题中的应用，考查学生对数学知识的应用能力，属中档题．18．数列{a n}满足a1=1，，记数列{a n2}前n项的和为S n，若对任意的n∈N*恒成立，则正整数t的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．7【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；转化思想．【分析】由题干中的等式变形得出数列{}是首项为1，公差为4的等差数列，得出a n2的通项公式，证明数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）是递减数列，得出数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）的最大项，再由，求出正整数得m的最小值．【解答】解：∵，∴，∴（n∈N*），∴{}是首项为1，公差为4的等差数列，∴=1+4（n﹣1）=4n﹣3，∴a n2=∵（S2n+1﹣S n）﹣（S2n+3﹣S n+1）=（a n+12+a n+22+…+a2n+12）﹣（a n+22+a n+32+…+a2n+32）=a n+12﹣a2n+22﹣a2n+32=﹣﹣=＞0，∴数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）是递减数列，数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）的最大项为S3﹣S1=a22+a32==，∵≤，∴m≥又∵m是正整数，∴m的最小值为10．故选A．【点评】本题考查数列与不等式的结合问题，难度之一为结合已知和要求的式子，观察出数列是等差或等比数列；难度之二求数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）的最大值，证数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）是递减数列，证明方法：（S2n+1﹣S n）﹣（S2n+3﹣S n+1）＞0．是解题的关键．三、解答题19．四面体A﹣BCD的棱长均为a，E、F分别为棱AD、BC的中点，求异面直线AF与CE所成的角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线角转化为一个三角形的内角来计算．【解答】解：由题意可得四面体A﹣BCD为正四面体，如图，连接BE，取BE的中点K，连接FK，则FK∥CE，故∠AFK即为所求的异面直线角或者其补角．设这个正四面体的棱长为2，在△AKF中，AF==CE，KF=CE=，KE==，∴AK===．△AKF中，由余弦定理可得cos∠AFK===．【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．20．2014年，中国联想集团以28亿元收购摩托罗拉移动公司，并计划投资30亿元来发展该品牌；2014年摩托罗拉手机的销售量为100万部．据专家预测，从2015年起，摩托罗拉手机的销售量每年比上一年增加100万部，每年的销售利润比上一年减少10%．已知2014年销售利润平均每部为300元．（Ⅰ）若把2014年看做第一年，第n年的销售利润为多少？（Ⅱ）到2020年年底，中国联想集团能否通过摩托罗拉手机实现盈利？（即销售利润超过总投资，参考数据：0.96≈0.53，0.97≈0.47，0.98≈0.43）．【考点】数列的应用．【专题】应用题；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）仔细阅读题意得出机的销售量构成了首项为100，公差为100的等差数列．每部手机的销售利润构成首项为300，公比为0.9的等比数列．求出关于n的通项公式即可得出第n年的销售利润．（II）运用导数得出S=30000（1+2×0.9+3×0.92+4×0.93+5×0.94+6×0.95+7×0.96）再运用错位相减法求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵摩托罗拉手机的销售量每年比上一年增加100万部，因此手机的销售量构成了首项为100，公差为100的等差数列．∴a n=100n，∵手机销售利润按照每年比上一年减10%，因此每部手机的销售利润构成首项为300，公比为0.9的等比数列．∴．∴第n年的销售利润记为c n，则．（Ⅱ）到2020年年底，设销售利润总和为S万元，则S=30000（1+2×0.9+3×0.92+4×0.93+5×0.94+6×0.95+7×0.96）①，0.9S=30000（1×0.9+2×0.92+3×0.93+4×0.94+5×0.95+6×0.96+7×0.97）②①﹣②得S=30000（100﹣170×0.97）≈603000万元=60.3亿元而总投资为28+30=58亿元，∵60.3＞58，∴可以盈利．答：（Ⅰ）第n年的销售利润为30000n×0.9n﹣1万元；（Ⅱ）到2020年年底，中国联想集团能通过摩托罗拉手机实现盈利．【点评】本题考察了等差，等比数列的定义，通项公式，前n项和的求解，错位相减法的运用，考察了，阅读分析，计算化简能力．21．数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n+1=S n+n．（1）写出a2，a3，a4的值，并求{a n}的通项公式；（2）正项等差数列{b n}的前n项和为T n，且T3=9，并满足a1+b1，a2+b2，a3+b3，成等比数列．（i）求数列{b n}的通项公式（ii）设B n=++…+，试确定B n与的大小关系，并给出证明．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）由a1=2，a n+1=S n+n，可得a2=a1+1=3，同理可得a3=7，a4=15．当n≥2时，a n=S n﹣1+（n ﹣1），可得a n+1﹣a n=a n+1，变形为a n+1+1=2（a n+1），即可得出．（2）（i）设正项等差数列{b n}的为d＞0，由T3=9，可得3b2=9，解得b2．由于a1+b1，a2+b2，a3+b3，成等比数列，可得=（a1+b1），（3+3）2=（2+3﹣d），代入解出即可得出d．（ii）=＜=．利用“裂项求和”与不等式的性质即可证明．【解答】解：（1）∵a1=2，a n+1=S n+n，可得a2=a1+1=3，同理可得a3=7，a4=15．当n≥2时，a n=S n﹣1+（n﹣1），∴a n+1﹣a n=a n+1，变形为a n+1+1=2（a n+1），∴当n≥2时，数列{a n+1}是等比数列，首项为4，公比为2．∴a n+1=4•2n﹣2，化为a n=2n﹣1．∴a n=．（2）（i）设正项等差数列{b n}的为d＞0．∵T3=9，∴ =3b2=9，解得b2=3．∵a1+b1，a2+b2，a3+b3，成等比数列，∴=（a1+b1），∴（3+3）2=（2+3﹣d），化为d2+12d﹣13=0，解得d=1或d=﹣13（舍去）．∴b n=b2+（n﹣2）=3+n﹣2=n+1．（ii）=＜=．∴B n=++…+＜+++…++=，∴B n＜．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用、“裂项求和”方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．设函数f（n）=，a n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2n），（1）求a1，a2，a3的值（2）设b n=a n+1﹣a n，写出b n与b n+1的递推关系，并求{b n}的通项公式．（3）设数列{c n}的通项公式为c n=log2（3a n﹣2）﹣10，n∈N*，数列{c n}的前n项和为S n，问1000是否为数列{c n•S n}中的项？若是，求出相应的项数，若不是，请说明理由．【考点】数列与函数的综合．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】（1）由函数f（n），结合a n，可得a1，a2，a3；（2）由题意，得a n+1=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2n）+f（2n+1）+…+f（2n+1），作差，得a n+1﹣a n，由函数解析式结合等差数列的求和公式计算可求得结果；（3）由a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1），运用等比数列的求和公式可得a n，c n，再由等差数列的求和公式，再由c n•S n，即可判断1000是否在其中．【解答】解：（1）由函数f（n）=，a n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2n），得a1=f（1）+f（2）=1+f（1）=2；a2=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1+1+3+f（2）=5+1=6；a3=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=1+1+3+1+5+3+7+1=22；（2）由a n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2n），可得a n+1=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2n）+f（2n+1）+…+f（2n+1），则有b n=a n+1﹣a n=f（2n+1）+…+f（2n+1）=（2n+1）+（2n﹣1+1）+（2n+3）+（2n﹣2+1）+（2n+5）+（2n﹣1+3）+…+1=1+3+5+…+（2n+1）+…+（2n+1﹣1）=（1+2n+1﹣1）•2n=4n．即有b n+1=4b n，且b n=4n；（3）由a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=2+4+16+..+4n﹣1=2+=，即有c n=log2（3a n﹣2）﹣10=2n﹣10，S n=n（c1+c n）=n（2n﹣18）=n（n﹣9），即有c n•S n=2n（n﹣5）（n﹣9），当n≤13时，c n•S n≤c13•S13=832＜1000，当n≥13时，c n•S n≥c14•S14=1260＞1000，故1000不是{c n•S n}中的项．【点评】本题考查了分段函数与数列通项公式的综合应用，主要考查分段函数的意义和等差数列的求和公式，以及累加法求数列的通项，考查运算能力，属于中档题．23．（文）已知数列{a n}的各项均为正数，a1=1，a2=m，且对任意n∈N*，都有．数列{a n}前n项的和S n（1）若数列{a n}是等比数列，求c的值和；（2）若数列{a n}是等差数列，求m与c的关系式；（3）c=1，当n≥2，n∈N*时，求证：是一个常数．【考点】数列的极限；数列递推式．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（1）确定数列的通项，利用，可以求c的值，分类讨论求和，即可求；（2）求出数列的公差，利用，建立关系式，可求m与c的关系式；（3）利用分析法进行证明．【解答】（1）解：由题意得：，∴ 1分∴m2n=m n﹣1m n+1+c，∴c=0，2分∵数列{a n}的各项均为正数，∴m＞0当m=1时，∴S n=n，a n=1， =0；4分当m＞0且m≠1时，∴，5分∴6分当0＜m＜1时；当m＞1时，∴，∴=；7分（2）解：由题意得：d=a2﹣a1=m﹣1，8分∴a n=1+（n﹣1）（m﹣1），a n+1=1+n（m﹣1），a n+2=1+（n+1）（m﹣1），9分∵，∴[1+n（m﹣1）]2=[1+（n﹣1）（m﹣1）][1+（n+1）（m﹣1）]+c，10分∴c=（m﹣1）2，12分；（3）证明：计算，猜想，14分欲证明恒成立只需要证明恒成立即要证明a n+1（a n﹣1+a n+1）=a n（a n+a n+2）恒成立即要证明恒成立（***）∵，∴（***）左边=（***）右边=∴（***）成立 18分【点评】本题考查数列的通项与求和，考查数列的极限，考查分析法的运用，综合性强．。

上海市进才中学2015学年第一学期期中考试题（时间 120 分钟，满分 150 分）[高三年级][数学理科]试卷（2015年11月）1．已知集合，，，，}5321{},,2,1{==B k A 若}5,3,2,1{=B A 则=k ．2．方程13log log 29=+x x 的解是=x ．3．函数sin y x =和cos y x =均为减函数的区间是 ．4．已知集合}045|{},1|||{2≥+-=≤-=x x x B a x x A ，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ．5．已知函数)(x f y =是奇函数，若2)()(+=x f x g 且1)1(=g ，则=-)1(g ． 6．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+*()n N ∈，则lim nn nna S →∞= ．7．若0x π≤<，则满足方程tan(4)14x π-=的角的集合是 ．8．在无穷等比数列}{n a 中，31=a ，12=a ，则=++++-∞→)(lim 12531n n a a a a .9．已知函数)(x f y =存在反函数()x f y 1-=，若函数xx f y 1)(+=的图像经过点)2,1(，则函数()xx fy 11-=-的图像经过点 ．10．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为2，则112n na a a a a a a a +=⋅⋅⋅ ．11．不等式21-≥-x x 的解集是 ．12．给出以下命题①若dbc a cd b a <<<>>则,0,0；②如果)(42121q q p p +=⋅，则关于x 的实系数二次方程0,0222112=++=++q x p x q x p x 中至少有一个方程有实根；③若Z k k x ∈≠,π则2sin 1sin ≥+x x ；④当]2,0(∈x 时，xx x f 1)(-=无最大值。

其中真命题的序号是 ．13．已知函数⎩⎨⎧>-≤-=-)0()1()0(12)(x x f x x f x ，若关于x 方程x a x f =)(有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 ．14．设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，前n 项和为n S ，满足22222345a a a a +=+，77S =，则 使得12m m m a aa ++⋅为数列{}n a 中的项的所有正整数m 的值为 .二、选择题（本大题共有4题，每小题5分）15．已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是 （ ） （A ）最小正周期为π的奇函数 （B ）最小正周期为2π的奇函数 （C ）最小正周期为π的偶函数 （D ）最小正周期为2π的偶函数16．已知命题“非空集合M 中的元素都是集合P 中的元素”是假命题，现有下列命题： ①M 中的元素都不是P 的元素； ②M 中有不属于P 的元素； ③M 中有属于P 的元素； ④M 中的元素不都是P 的元素。

普陀区2016-2017学年第一学期高三数学质量调研2016.12一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. 1．若集合{}R ,|2∈==y x y x A ，{}R ,sin |∈==x x y y B ，则=B A I .2.若22παπ<<-，53sin =α，则=α2cot . 3.函数x x f 2log 1)(+=（1≥x ）的反函数=-)(1x f.4.若5522105)1(x a x a x a a x ++++=+Λ，则=+++521a a a Λ.5.设∈k R ，若1222=--k x k y 表示焦点在y 轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是. 6.设∈m R ，若函数()11)(32+++=mx x m x f 是偶函数，则)(x f 的单调递增区间是.7.方程()()23log 259log 22-+=-xx 的解=x .8.已知圆C :022222=++++k y kx y x （R k ∈）和定点()1,1-P ，若过P 可以作两条直线与圆C 相切，则的取值范围是.9.如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，1==BC AB ，若C A 1与平面11BCC B 所成的角为6π，则三棱锥ABC A -1的体积为. 10.掷两颗骰子得两个数，若两数的差为d ，则{}2,1,0,1,2--∈d 出现的概率的最大值为（结果用最简分数表示）.11.设地球半径为R ，若A 、B 两地均位于北纬︒45，且两地所在纬度圈上的弧长为R π42，则A 、B 之间的球面距离是（结果用含有R 的代数式表示）.12.已知定义域为R 的函数)(x f y =满足)()2(x f x f =+，且11<≤-x 时，21)(x x f -=；函数⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,lg )(x x x x g ，若)()()(x g x f x F -=，则[]10,5-∈x ，函数)(x F 零点的个数是.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.若b a <0<，则下列不等关系中，不能成立．．．．的是……………………（）. 14.设无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为，前项和为n S .则“11=+q a ”是“1lim =∞→n n S ”成立的……（）)A (充分非必要条件()B 必要非充分条件()C 充要条件()D 既非充分也非必要条件15.设βα--l 是直二面角，直线在平面α内，直线在平面β内，且、与均不垂直，则（）)A (与可能垂直，但不可能平行()B 与可能垂直，也可能平行()C 与不可能垂直，但可能平行()D 与不可能垂直，也不可能平行16.+的最小值为，则下列判断正确的是（）)A (()B 确定，则唯一确定()C 唯一确定()D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知∈a R ，函数||1)(x a x f += （1）当1=a 时，解不等式x x f 2)(≤；（2）若关于的方程02)(=-x x f 在区间[]1,2--上有解，求实数的取值范围. 18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的点，x PQ ⊥轴，垂足为Q ,且621=F F ，935arccos 21=∠F PF ，△21F PF 的面积为23.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若M 是椭圆上的动点，求MQ 的最大值,并求出MQ 取得最大值时M 的坐标.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为8.73/cm g ，总重量为8.5kg .其中一个螺帽的三视图如下图所示（单位:毫米）. （1）这堆螺帽至少有多少个；（2）对上述螺帽作防腐处理，每平方米需要耗材0.11千克， 共需要多少千克防腐材料（结果精确到01.0）20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知数列{}n a 的各项均为正数，且11=a ，对于任意的*N n ∈，均有()14121+⋅=-+n n n a a a ，=n b ()11log 22-+n a .（1）求证：{}n a +1是等比数列，并求出{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 中去掉{}n a 的项后，余下的项组成数列{}n c ，求10021c c c +++Λ； （3）设11+⋅=n n n b b d ，数列{}n d 的前项和为n T ，是否存在正整数m （n m <<1），使得1T 、m T 、n T 成等比数列，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数)(x f y =,若存在实数m 、（0≠m ），使得对于定义域内的任意实数，均有)()()(k x f k x f x f m -++=⋅成立，则称函数)(x f 为“可平衡”函数，有序数对()k m ,称为函数)(x f 的“平衡”数对.（1）若1=m ，判断x x f sin )(=是否为“可平衡”函数，并说明理由；（2）若∈a R ，0≠a ，当变化时，求证：2)(x x f =与xa x g 2)(+=的“平衡”数对相同； （3）若1m 、2m R ，且⎪⎭⎫⎝⎛2,1πm 、⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2πm 均为函数x x f 2cos )(=的“平衡”数对. 当40π≤<x 时，求2221m m +的取值范围.普陀区2016-2017学年第一学期高三数学质量调研评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分）1-6:：4分；7-12：5分。

上海市普陀区2017届上学期高三年级期末调研考试试卷（数学理）（含答案）word版上海市普陀区2017届上学期高三年级期末调研考试数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）1. 设平面向量，，则 .2. 已知函数,,若的反函数的图像经过点，则.3. 已知集合，，则 .4. 若数列对任意的都有，且，则= .5. 若直线的一个法向量为，则直线的倾斜角为 .6. 已知，其中是第四象限角，则 .7. 已知一个球的半径为，一个平面截该球所得小圆的半径为，该小圆圆心到球心的距离为，则关于的函数解析式为 .8. 抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆的一个焦点，则此抛物线的焦点到其准线的距离为 .9. 若函数，则 .10. 某种电子产品的采购商指导价为每台200元，若一次采购数量达到一定量，还可享受折扣. 右图为某位采购商根据折扣情况设计的算法程序框图，则该程序运行时，在输入一个正整数之后，输出的变量表示的实际意义是；若一次采购85台该电子产品，则元.11. 方程为的曲线上任意两点之间距离的最大值为 .12. 高一数学课本中，两角和的正弦公式是在确定了两角差的余弦公式后推导的. 即. （填入推导的步骤）13. 已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是 .14. 在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的四面体的以下判断中，所有正确的结论是（写出所有正确结论的编号）①能构成每个面都是等边三角形的四面体；②能构成每个面都是直角三角形的四面体；③能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体；④能构成三个面为不都全等的直角三角形，一个面为等边三角形的四面体.二、选择题（本大题满分20分）15. “”是“”的（）A. 充分非必要条件；B.必要非充分条件；C. 充要条件；D. 既非充分又非必要条件.16. 设为非零实数，则关于函数，的以下性质中，错误．．的是（）A. 函数一定是个偶函数；B. 函数一定没有最大值；C. 区间一定是的单调递增区间；D. 函数不可能有三个零点.17. 双曲线上到定点的距离是6的点的个数是（）A. 0个；B. 2个；C. 3个；D. 4个.18. 若对于任意角，都有，则下列不等式中恒成立的是（）A. ；B. ；C. ；D..三、解答题（本大题满分74分）19. （本题满分10分）已知数列（，），试判定：依据、的不同取值，集合含有三个元素，并用列举法表示集合.20. （本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）为了贯彻节能减排的理念，国家制定了家电能耗的节能标准.以某品牌的节能型冰箱为例，该节能型冰箱使用一天（24小时）耗电仅度，比普通冰箱约节省电能，达到国家一级标准.经测算，每消耗100度电相当于向大气层排放千克二氧化碳，而一棵大树在60年的生命周期内共可以吸收1吨二氧化碳.（1）一台节能型冰箱在一个月（按天不间断使用计算）中比普通冰箱相当于少向大气层排放多少千克的二氧化碳（精确到千克）？（2）某小城市数千户居民现使用的都是普通冰箱. 在“家电下乡”补贴政策支持下，若每月月初都有150户居民“以旧换新”换购节能型冰箱，那么至少多少个月后（每月按30天不间断使用计算），该市所有新增的节能型冰箱少排放的二氧化碳的量可超过150棵大树在60年生命周期内共吸收的二氧化碳的量？21. （本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分）已知的三个内角A、B、C的对边分别为、、.（1）若当时，取到最大值，求的值；（2）设的对边长，当取到最大值时，求面积的最大值.22.（本题满分16分，其中第1小题9分，第2小题7分）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1，高为（），动点在侧棱上移动.设与侧面所成的角为.（1）当时，求点到平面的距离的取值范围；（2）当时，求向量与夹角的大小..23. （本题满分20分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题10分.）平面直角坐标系中，已知，…，是直线上的个点（，、均为非零常数）.（1）若数列成等差数列，求证：数列也成等差数列；（2）若点是直线上一点，且，求的值；（3）若点满足，我们称是向量，，…，的线性组合,是该线性组合的系数数列.当是向量，，…，的线性组合时，请参考以下线索：①系数数列需满足怎样的条件，点会落在直线上？②若点落在直线上，系数数列会满足怎样的结论？③能否根据你给出的系数数列满足的条件，确定在直线上的点的个数或坐标？试提出一个相关命题（或猜想）并开展研究，写出你的研究过程.【本小题将根据你提出的命题（或猜想）的完备程度和研究过程中体现的思维层次，给予不同的评分】高三调研数学试卷参考答案及评分标准一、填空题（每小题4分，满分56分）：1. ；2. 4；3. ；4. （文，理）40；5. ；6. （或）；7. ，；8. 4； 9.理：；文：； 10.表示一次采购共需花费的金额; ；11. ；12. ；13. 理：；文：2； 14. 理：①②③④；文：①②③.二、选择题（每题4分，满分16分）：题号15 16 17 18 答案 B C B D三、解答题：19.（本题满分10分）（理科）解：由结论：“当时，”且根据本题条件，故本题需根据变量和常数1的大小比较进行分类讨论：（1）当时，；（2）当时，；（3）当或时，有. 故集合含有以上三个元素，用列举法表示集合. ...3 ...6 ...9 (10)（文科）解：如图，延长DA至E，CB至F，使得DA=AE，CB=BF. 联结AF，PF，EF，DF. 因为ABCD是正方形，所以AD//BF，且AD=BF，所以AF//BD. 故（或其补角）的大小即为异面直线与所成角的大小. (3)又正方形边长为2，PD=1，故，，.所以，.于是，，所以异面直线与所成角的大小为.…7…9(10)20.（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）解:（1）由于节能型冰箱比普通冰箱约节省电能，故一台节能型冰箱一天（小时）消耗的度电相当于比普通冰箱少消耗的电能，即一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱要少消耗电：（度）；设一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱要少排放千克的二氧化碳，则（千克）.故一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱少向大气层排放约千克的二氧化碳.（2）设个月后()，这些节能型冰箱少排放的二氧化碳可超过150棵大树在年生命周期内所吸收的二氧化碳的量.依题意，有，因为，故可解得.所以，至少经过10个月后，这些节能型冰箱少排放的二氧化碳可超过150棵大树在年生命周期内共吸收的二氧化碳的量.…3…6(10)(14)21. （本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分）解：（1）因为…2故当时，原式取到最大值，即三角形的内角时，最大值为.（2）由（1）结论可得，此时. 又，因此，当且仅当时等号成立.所以.故面积的最大为. ...5 ...7 ...9 ...12 (14)22.（本题满分16分，理科：第1小题9分，第2小题7分；文科：第1小题3分，第2小题6分，第3小题7分）（理科）解：（1）设BC的中点为D，连结AD、DM，则有于是，可知即为AM与侧面BCC1所成角.因为，点到平面的距离为，不妨设，.在Rt△ADM 中，.由,,故.而当时，，即，所以，点到平面的距离的取值范围是. （2）解法一：当时，由（1）可知,故可得,.设向量与的夹角为，因为...3 (6)...9 ...11 ...13 (15).所以，故向量与夹角的大小为.解法二：如图，以中点O 为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在直线为轴（其中点为中点），建立空间直角坐标系. 由（1）可知，当时，.所以有，，，,，即，. 设向量与夹角为，则故向量与夹角的大小为.解法三：如图，过点作//，交于.联结.因为是正三棱柱，故可得.当时，由（1）可知,故可得.在等腰三角形中，不难求得，即异面直线与所成角为，而图中不难发现，与夹角的大小为异面直线与所成角的补角，即与夹角的大小为. …16 …10 …13 …16 …11 …14 …16（文科）解:（1）为偶函数，对恒成立，即对恒成立，又，于是得对恒成立，.（2）由（1）得可知，当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为和，单调递减区间为和.（3）解法一：由偶函数的性质得：函数在区间上也必定有零点，即方程在区间上有实数解，则，设，可知函数在区间上单调递增，则，.解法二：若函数在区间上存在零点，则必有即.…3…6…9(12)(14)(16)(13)(16)23. （本题满分20分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题10分）解：（1）证：设等差数列的公差为,因为，所以为定值，即数列也成等差数列.（2）证：因为点、和都是直线上一点，故有()…4…6于是，令，，则有.（3）（文科）假设存在点满足要求, 则有，又当时，恒有，则又有，所以又因为数列成等差数列，于是，所以，故，同理，且点在直线上（是、的中点），即存在点满足要求. ...9 ...10 (12)(15)...18 (20)（3）（理科）提出命题：（在本题大前提下）若点满足，则系数数列的和是点在直线上的充要条件.证明：设，由条件，先证充分性：“当时，点在直线上”.因为，。

2015-2016学年上海市普陀区高三（上）调研数学试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1．集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B=．2．函数f（x）=x2﹣1（x≤﹣1）的反函数f﹣1（x）= ．3．函数y=2﹣sin2ωx的最小正周期为π，则实数ω的值为．4．已知数列{a n}的前n项的和（a∈R）．则a8= ．5．若，且α是第二象限的角．则= ．6．若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是．7．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为6的扇形．则该圆锥的体积为．8．函数，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则= ．9．设f（x）=ax2+2x﹣3，g（x）=x2+（1﹣a）x﹣a，M={x|f（x）≤0}，P={x|g（x）≥0}．若M∩P=R，则实数a的取值集合为．10．不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的范围为．11．如果用反证法证明“数列{a n}的各项均小于2”，有下列四种不同的假设：①数列{a n}的各项均大于2；②数列{a n}的各项均大于或等于2；③数列{a n}中存在一项a k，a k≥2；④数列{a n}中存在一项a k，a k＞2．其中正确的序号为．（填写出所有假设正确的序号）12．已知全集U={n|1≤n≤2015，n∈N*}，集合A、B都是U的子集，且A∪B=U，A∩B≠∅，若A∩∁U B={1，2}，则满足条件的集合B∩∁U A的个数是．13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则△ABC 的最小角等于．14．如果定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“Z函数”．给出函数：①y=﹣x3+1；②y=2x；③；④．以上函数为“Z函数”的序号为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号涂在答题纸相应的位置上.每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个，一律得零分.15．在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波．若两个声波随时间的变化规律分别为：，则这两个声波合成后（即y=y1+y2）的声波的振幅为（）A．B．6 C．D．316．异面直线a、b分别在平面α、β内，若α∩β=ℓ，则直线ℓ必定是（）A．分别与a、b相交B．与a、b都不相交C．至少与a、b中之一相交D．至多与a、b中之一相交17．函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b=g（a）的图象可以是（）A．B．C．D．18．设等差数列{a n}的前n项和为S n，在同一个坐标系中，a n=f（n）及S n=g（n）的部分图象如图所示，则（）A．当n=4时，S n取得最大值B．当n=3时，S n取得最大值C．当n=4时，S n取得最小值D．当n=3时，S n取得最大值三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AC⊥BC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：DE∥面BCC1B1；（2）若CB=1，，．求异面直线A1E和CD所成角的大小．20．已知函数f（x）=sinωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．P、Q分别是图象上的一个最高点和最低点，R为图象与x轴的交点，且四边形OQRP为矩形．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到函数y=g（x）的图象．已知，g（α）=，求f（α）的值．21．某中学为了落实“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）若在矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪．已知：矩形AMPN健身场地每平方米的造价为，草坪的每平方米的造价为（k为正常数）．设总造价T关于S的函数为T=f（S），试问：如何选取|AM|的长，才能使总造价T最低．22．已知函数，（a，b∈R）为奇函数．（1）求b值；（2）当a=﹣2时，存在x0∈[1，4]使得不等式f（x0）≤t成立，求实数t的取值范围；（3）当a≥1时，求证：函数g（x）=f（2x）﹣c（c∈R）在区间（﹣∞，﹣1]上至多有一个零点．23．已知数列{a n}、{b n}满足：a1=，a n+b n=1，b n+1=．（1）求a2，a3；（2）证数列{}为等差数列，并求数列{a n}和{b n}的通项公式；（3）设S n=a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1，求实数λ为何值时4λS n＜b n恒成立．2015-2016学年上海市普陀区高三（上）调研数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1．集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B={1，2，3} ．【考点】并集及其运算；交集及其运算．【分析】根据题意，若A∩B={2}，则2∈A，则可得2a=2，可得a的值，进而可得b的值，再由并集的意义，可得答案．【解答】解：根据题意，若A∩B={2}，则2∈A，2∈B，而已知A={3，2a}，则必有2a=2，故a=1，又由2∈B，且a=1则b=2，故A∪B={1，2，3}，故答案为{1，2，3}．【点评】本题综合考查并集、交集的意义与运算，要求学生有一定的逻辑分析能力．2．函数f（x）=x2﹣1（x≤﹣1）的反函数f﹣1（x）= ．【考点】反函数．【专题】方程思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由函数y=x2﹣1（x≤﹣1），可得x=，（y≥0）．即可得出反函数．【解答】解：由函数y=x2﹣1（x≤﹣1），可得x=，（y≥0）．∴函数f（x）的反函数f﹣1（x）=﹣（x≥0）．故答案为：﹣（x≥0）．【点评】本题考查了反函数的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．函数y=2﹣sin2ωx的最小正周期为π，则实数ω的值为±1．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．【分析】利用二倍角的余弦函数，化简求解函数的周期即可．【解答】解：函数y=2﹣sin2ωx=2﹣=cos2ωx+，函数y=2﹣sin2ωx的最小正周期为π，可得：，解得实数ω=±1．故答案为：±1．【点评】本题考查二倍角公式的应用，函数的周期的求法，考查计算能力．4．已知数列{a n}的前n项的和（a∈R）．则a8= 128 ．【考点】数列的函数特性．【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由（a∈R）．可得当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可得出．【解答】解：∵（a∈R）．∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣a﹣（2n﹣1﹣a）=2n﹣1，∴a8=27=128．故答案为：128．【点评】本题考查了递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．若，且α是第二象限的角．则= ．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值．【分析】由sinα的值及α是第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，原式利用诱导公式化简，将cosα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sinα=，且α是第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣，则原式=﹣cosα=，故答案为：【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．6．若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是[3，+∞）．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题．【分析】先求出不等式|x﹣1|＜a的解集为集合B，再根据条件可知{x|0＜x＜4}⊂B，建立关于a的不等式组，解之从而确定 a的取值范围．【解答】解：|x﹣1|＜a⇒1﹣a＜x＜a+1由题意可知﹣≤x＜0 0＜x＜4是1﹣a＜x＜a+1成立的充分不必要条件∴解得a≥3∴实数a的取值范围是[3，+∞）故答案为：[3，+∞）【点评】本题考查充分不必要条件的应用，解题时要注意含绝对值不等式的解法和应用，属于基础题．7．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为6的扇形．则该圆锥的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】首先求出底面圆的半径，再利用勾股定理求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为6的扇形．，圆锥的母线l满足： =，解得：r=2，∴这个圆锥的高是：h==4．故圆锥的体积：V=πr2h=，故答案为：【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．8．函数，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则= ﹣2 ．【考点】极限及其运算；函数的零点．【专题】计算题；极限思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】先求出函数的零点，x n=﹣﹣1，再求极限．【解答】解：令f n（x）=0得，+（x+1）=0，解得x n=﹣﹣1，其中，=1，所以， x n=﹣﹣1=﹣1﹣1=﹣2，故填：﹣2．【点评】本题主要考查了极限及其运算，以及函数零点的求解，属于基础题．9．设f（x）=ax2+2x﹣3，g（x）=x2+（1﹣a）x﹣a，M={x|f（x）≤0}，P={x|g（x）≥0}．若M∩P=R，则实数a的取值集合为{﹣1} ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】M∩P=R，M=P=R，利用判别式，即可得出结论．【解答】解：∵M∩P=R，∴M=P=R，∴，且（1﹣a）2+4a≤0，∴a=﹣1，故答案为：{﹣1}．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．10．不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的范围为[1，3] ．【考点】绝对值三角不等式．【专题】计算题．【分析】由对勾函数的性质，我们可以求出不等式左边的最小值，再由三角函数的性质，我们可以求出siny的最大值，若不等式恒成立，则|a﹣2|≤1，解这个绝对值不等式，即可得到答案．【解答】解：∵∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）∴||∈[2，+∞），其最小值为2又∵siny的最大值为1故不等式恒成立时，有|a﹣2|≤1解得a∈[1，3]故答案为[1，3]【点评】本题考查的知识点是绝对值三角不等式的解法，其中根据对勾函数及三角函数的性质，将不等式恒成立转化为|a﹣2|≤1，是解答本题的关键．11．如果用反证法证明“数列{a n}的各项均小于2”，有下列四种不同的假设：①数列{a n}的各项均大于2；②数列{a n}的各项均大于或等于2；③数列{a n}中存在一项a k，a k≥2；④数列{a n}中存在一项a k，a k＞2．其中正确的序号为③．（填写出所有假设正确的序号）【考点】反证法与放缩法．【专题】证明题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】由于用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“数列{a n}的各项均小于2”的否定为：“数列{a n}中存在一项a k，a k≥2”，由此得出选项．【解答】解：用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，“数列{a n}的各项均小于2”的否定为：“数列{a n}中存在一项a k，a k≥2”，故答案为：③．【点评】本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．12．已知全集U={n|1≤n≤2015，n∈N*}，集合A、B都是U的子集，且A∪B=U，A∩B≠∅，若A∩∁U B={1，2}，则满足条件的集合B∩∁U A的个数是22013﹣1 ．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】转化思想；定义法；集合．【分析】根据全集U中元素的个数，结合题意得出集合A、B中元素的个数，再求出B∩C∪A的所有子集数．【解答】解：∵全集U={n|1≤n≤2015，n∈N*}，集合A、B都是U的子集，且A∪B=U，A∩B≠∅，A∩∁U B={1，2}，∴集合A中至少有三个元素：1，2，n，且A∩B≠∅，∴B∩C U A中的元素应至多有2016﹣3=2013，∴集合B∩C∪A的所有子集（去掉∅）个数为：22013﹣1．故答案为：22013﹣1．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算问题，解题时应认真审题，以免出错．13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则△ABC 的最小角等于．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】方程思想；转化思想；平面向量及应用．【分析】，化为（20a﹣15b）+（12c﹣20a）=，根据，不共线，可得20a﹣15b=12c﹣20a=0，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵，∴20a+15b+12c=0，化为（20a﹣15b）+（12c﹣20a）=，∵，不共线，∴20a﹣15b=12c﹣20a=0，化为b=a，c=a．∴边a最小，因此角A最小，由余弦定理可得：cosA===．∴A=arccos．故答案为：arccos．【点评】本题考查了向量三角形法则、向量共线共面定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．如果定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“Z函数”．给出函数：①y=﹣x3+1；②y=2x；③；④．以上函数为“Z函数”的序号为②④，．【考点】函数与方程的综合运用；函数的值．【专题】计算题；新定义；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用已知条件推出函数的单调性，然后判断即可．【解答】解：定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f （x2）+x2f（x1），可得：x1[f（x1）﹣f（x2）]＞x2[f（x1）﹣f（x2）]，即（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，∴函数f（x）为“Z函数”．就是增函数．①y=﹣x3+1；是减函数，不是“Z函数”．②y=2x；是增函数，是“Z函数”．③；表示增函数，不是“Z函数”．④．函数是增函数，是“Z函数”．故答案为：②④．【点评】本题考查函数的新定义，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号涂在答题纸相应的位置上.每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个，一律得零分.15．在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波．若两个声波随时间的变化规律分别为：，则这两个声波合成后（即y=y1+y2）的声波的振幅为（）A．B．6 C．D．3【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【专题】整体思想；定义法；三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的辅助角公式，结合两角和差的正弦公式将函数进行化简即可得到结论．【解答】解：∵，∴y=y1+y2=3sin（100πt）+3cos（100πt+）=3sin（100πt）+3cos100πtcos﹣3sin（100πt）sin=3sin（100πt）+cos100πt﹣sin（100πt）=sin（100πt）+cos100πt=3sin（100πt+），则函数的振幅为3，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数的化简，利用辅助角公式是解决本题的关键．16．异面直线a、b分别在平面α、β内，若α∩β=ℓ，则直线ℓ必定是（）A．分别与a、b相交B．与a、b都不相交C．至少与a、b中之一相交D．至多与a、b中之一相交【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】证明题．【分析】由题意直线ℓ与a、b可都相交，也可只与一条相交，故A、B、D错误；但直线ℓ不会与两条都不相交，可由反证法进行证明．【解答】解：由题意直线ℓ与a、b可都相交，也可只与一条相交，故A、B、错误；但直线ℓ不会与两条都不相交，若l与a、b都不相交，因为l与a都在α内，所以l∥a，同理l∥b，所以a∥b，这与a、b异面直线矛盾，故直线ℓ至少与a、b中之一相交．C正确．故选C【点评】本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查推理能力和空间想象能力．17．函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b=g（a）的图象可以是（）A．B．C．D．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数的图象．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】根据a变动时，以及函数的值域可知b为定值4，结合选项即可得到答案．【解答】解：根据选项可知a≤0a变动时，函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，∴2|b|=16，b=4故选B．【点评】本题主要考查了指数函数的定义域和值域，同时考查了函数图象，属于基础题．18．设等差数列{a n}的前n项和为S n，在同一个坐标系中，a n=f（n）及S n=g（n）的部分图象如图所示，则（）A．当n=4时，S n取得最大值B．当n=3时，S n取得最大值C．当n=4时，S n取得最小值D．当n=3时，S n取得最大值【考点】数列的函数特性．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由图象可知可能：①a7=0.7，S7=﹣0.8，a8=﹣0.4．②a7=0.7，S7=﹣0.8，S8=﹣0.4．③a7=﹣0.8，S7=0.7，a8=﹣0.4．④a7=﹣0.8，S7=0.7，S8=﹣0.4．分别利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可判断出．【解答】解：由图象可知可能：①a7=0.7，S7=﹣0.8，a8=﹣0.4，由a7=0.7，a8=﹣0.4，可得d=﹣1.1，a1=7.3．∴S7=＞0，与S7=﹣0.8，矛盾，舍去．②a7=0.7，S7=﹣0.8，S8=﹣0.4．由S7=﹣0.8，S8=﹣0.4，可得a8=0.4，∴ =﹣0.4，解得a1=﹣0.5，∴a8=﹣0.5+7d，解得d=≠0.4﹣0.7=﹣0.3，矛盾，舍去．③a7=﹣0.8，S7=0.7，a8=﹣0.4．由a7=﹣0.8，S7=0.7，可得=0.7，解得a1=1，∴﹣0.8=1+6d，解得d=﹣0.3，而﹣0.4﹣（﹣0.8）=0.4，矛盾，舍去．④a7=﹣0.8，S7=0.7，S8=﹣0.4．由a7=﹣0.8，S7=0.7，可得，解得a1=1．∴﹣0.8=1+6d，解得d=﹣0.3，∴a8=﹣0.8﹣0.3=﹣1.1，∴S8=0.7﹣1.1=﹣0.4，满足条件．∴a n=a1+（n﹣1）d=1﹣0.3（n﹣1）=1.3﹣0.3n≥0，解得=4+，因此当n=4时，S n取得最大值．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了数形结合的思想方法、分类讨论的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AC⊥BC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：DE∥面BCC1B1；（2）若CB=1，，．求异面直线A1E和CD所成角的大小．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）由三角形中位线定理得DE∥BC，由此能证明DE∥面BCC1B1．（2）取AD的中点F，连EF，A1F，则EF∥CD，∠A1EF为异面直线A1E和CD所成角（或其补角），由此能求出∠A1EF为异面直线A1E和CD所成角．【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC，…∵BC⊆面BCC1B1…DE⊄面BCC1B1…∴DE∥面BCC1B1…（2）解：取AD的中点F，连EF，A1F，∵EF∥CD，∴∠A1EF为异面直线A1E和CD所成角（或其补角）…在△A1EF中，，，，∴…∴∠A1EF为异面直线A1E和CD所成角为…【点评】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．已知函数f（x）=sinωx（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．P、Q分别是图象上的一个最高点和最低点，R为图象与x轴的交点，且四边形OQRP为矩形．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到函数y=g（x）的图象．已知，g（α）=，求f（α）的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）设函数f（x）的最小正周期为T，则P（，）、Q （，），由四边形为矩形得=T2﹣3=0，故T=4，ω=，即可得f（x）=sin x．（Ⅱ）y=g（x）=f（x﹣）=sin（x﹣）可得sin（α﹣）=，又，可求得cos（α﹣）=﹣，从而可求f（α）的值．【解答】解：（Ⅰ）设函数f（x）的最小正周期为T，则P（，）、Q （，），∵四边形OQRP为矩形．∴OP⊥OQ，∴ =T2﹣3=0，∴T=4．∴ω===，∴f（x）=sin x．（Ⅱ）y=g（x）=f（x﹣）=sin（x﹣），∵g（α）=sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=．又，∴α﹣∈（，π），∴cos（α﹣）=﹣．∴f（α）=sinα=sin[（α﹣）+]= [sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin]= []=．【点评】本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．21．某中学为了落实“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）若在矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪．已知：矩形AMPN健身场地每平方米的造价为，草坪的每平方米的造价为（k为正常数）．设总造价T关于S的函数为T=f（S），试问：如何选取|AM|的长，才能使总造价T最低．【考点】不等式的实际应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；不等式．【分析】（1）根据题意，分析可得，欲求健身场地占地面积，只须求出图中矩形的面积即可，再结合矩形的面积计算公式求出它们的面积即得，最后再根据二次函数的性质得出其范围；（2）对于（1）所列不等式，考虑到其中两项之积为定值，可利用基本不等式求它的最大值，从而解决问题．【解答】解：（1）在Rt△PMC中，显然|MC|=30﹣x，∠PCM=60°，∴，…矩形AMPN的面积，x∈[10，20]…于是为所求．…（2）矩形AMPN健身场地造价T1=…又△ABC的面积为，即草坪造价T2=，…由总造价T=T1+T2，∴，．…∵，…当且仅当即时等号成立，…此时，解得x=12或x=18，所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低．…【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、基本不等式的应用、矩形的面积等基础知识，属于中档题．22．已知函数，（a，b∈R）为奇函数．（1）求b值；（2）当a=﹣2时，存在x0∈[1，4]使得不等式f（x0）≤t成立，求实数t的取值范围；（3）当a≥1时，求证：函数g（x）=f（2x）﹣c（c∈R）在区间（﹣∞，﹣1]上至多有一个零点．【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．【专题】综合题；转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和性质建立方程关系即可得到结论．（2）根据函数单调性和最值的关系进行求解即可，（3）根据函数单调性的定义先判断函数的单调性，利用函数单调性和函数零点之间的关系进行证明．【解答】解：（1）∵函数，（a，b∈R）为奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x），即﹣4x﹣+b=﹣4x﹣﹣b，（a，b∈R，…∴b=﹣b，即b=0；…（2）当a=﹣2时，f（x）=4x﹣．…∵函数y=4x，y=﹣在[1，4]均单调递增，…∴函数f（x）在[1，4]单调递增，…∴当x∈[1，4]时，f（x）min=f（1）=2…∵存在x0∈[1，4]使得不等式f（x0）≤t成立∴t≥2．…（3）证明：g（x）=f（2x）﹣c=4•2x+﹣c，…设x1＜x2≤﹣1，…∵x1＜x2≤﹣1，∴x1+x2＜﹣2，＜4•2﹣2=1，∵a≥1，即﹣a≤﹣1，∴﹣a＜0，又＜0，∴g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），∴函数g（x）在（﹣∞，﹣1]单调递减，…又c∈R，结合函数图象知函数g（x）在（﹣∞，﹣1]上至多有一个零点．…【点评】本题主要考查函数奇偶性的定义和单调性的应用，利用函数单调性的定义是解决本题的关键．23．已知数列{a n}、{b n}满足：a1=，a n+b n=1，b n+1=．（1）求a2，a3；（2）证数列{}为等差数列，并求数列{a n}和{b n}的通项公式；（3）设S n=a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1，求实数λ为何值时4λS n＜b n恒成立．【考点】数列的求和；数列的函数特性；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等差关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由给出的，循环代入a n+b n=1和可求解a2，a3；（2）由a n+b n=1得a n+1+b n+1=1，结合，去掉b n与b n+1得到a n+1与a n的关系式，整理变形后可证得数列{}是以4为首项，1为公差的等差数列，求出其通项公式后即可求得数列{a n}和{ b n}的通项公式；（3）首先利用裂项求和求出S n，代入4λS n＜b n，通过对λ分类讨论，结合二次函数的最值求使4λS n ＜b n恒成立的实数λ的值．【解答】（1）解：∵，∴，，，，．∴；（2）证明：由，∴=，∴，即a n﹣a n+1=a n a n+1，∴∴数列{}是以4为首项，1为公差的等差数列．∴，则，∴；（3）解：由，∴S n=a1a2+a2a3+…+a n a n+1===．∴，要使4λS n＜b n恒成立，只需（λ﹣1）n2+（3λ﹣6）n﹣8＜0恒成立，设f（n）=（λ﹣1）n2+3（λ﹣2）n﹣8当λ=1时，f（n）=﹣3n﹣8＜0恒成立，当λ＞1时，由二次函数的性质知f（n）不满足对于任意n∈N*恒成立，当λ＜l时，对称轴n=f（n）在[1，+∞）为单调递减函数．只需f（1）=（λ﹣1）n2+（3λ﹣6）n﹣8=（λ﹣1）+（3λ﹣6）﹣8=4λ﹣15＜0∴，∴λ≤1时4λS n＜b n恒成立．综上知：λ≤1时，4λS n＜b n恒成立．【点评】本题考查了等差、等比数列的通项公式，考查了数列的裂项求和，考查了数列的函数特性，训练了恒成立问题的求解方法，解答过程中注意分类讨论的数学思想，属中档题．。

普陀区2016学年高三数学期中调研一，填空题（每题4分，共48分） 1.已知集合{}022>-+=x x x A ，{}x y y B 2log ==，则()______=B A C R2.若,51cos =α且α是第四象限的角，则_______2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα3.函数()()21212-<+=x x x f 的反函数是()x f 1-，则()____51=-f 4.在81⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，常数项是_________________5.若圆锥的侧面展开图是一个半径是cm 2的半圆，则该圆锥的体积是_________6.方程()13lg lg =-+x x 的解是_____=x7.已知k 是与n 无关的正整数，则lim ∞→n _____1 (21112)=⎪⎭⎫⎝⎛+--+-+-k n n n nk n 8.若()x f 是定义在R 上的奇函数，且在()+∞,0上是增函数，又().03=-f 则()0≤x xf 的解是_______9在数列=++++=23211,.......S a a a a S n n n n n n n a a a S a a a 322123221......,........++=+++++++，关于321,,S S S 有下列四个命题（1）若数列{}n a 等差，则321,,S S S 也等差 （2）若数列{}n a 等比，则321,,S S S 也等比 （3）若321,,S S S 等差，则数列{}n a 也等差 （4）若321,,S S S 等比，则数列{}n a 也等比 其中正确命题的序号是___________10,已知集合{}R x a x x x A ∈-<-++=,213212，若φ≠R A ，则实数a 的取值范围是__________________11,已知向量c b a ,,满足b a ⊥，且{}3,2,1=++___________ 12.设函数()()⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-=0,1,2x a x x x a x x f ，若函数()()3-=x f x g 有且只有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________________二，选择题（每题4分，共24分） 13，已知R b R a ∈∈,则“a>b ”是“ba 11<”成立的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 即不充分也不必要条件14.已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<>+=2,0sin πϕωϕωx x f 的最小正周期是π，其图像向右平移6π个单位后得到函数()()x x g ωsin =的图像，则函数()x f 的图像（ ） A 关于直线12π=x 对称 B 关于直线125π=x 对称 C 关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,12π对称 D 关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,125π15.对于函数()x f ，若存在常数,0≠a 使得x 取定义域内的每一个值，都有()()x a f x f -=2成立，则称函数()x f 为“准偶函数”，下列函数中是“准偶函数”的是（ ）A ()21x x f = B ()2x x f = C ()()1cos +=x x f D ()()x x f 2log =（注：累计里程是指汽车从出厂开始累计行驶的路程） 在这段时间里，该车每行驶100千米平均油耗量是（ ） A 6升 B 8升 C 10升 D 12升17.设数列{}n a 的前n 项和是n S ，若{}n a 和{}n Sn+都是公差为d ()0≠d 的等差数列，则1a 的值是（ ） A 2 B -43 C 21- D 3418.已知正方形1111D C B A ABCD -，记过点A 且与三直线.AB AD. AA 1所成角相等的直线的条数为m,过点A 与三个平面11,,AD AC AB 所成角都相等的直线的条数是 n,则（ ） A ，m=1,n=1 B m=4,n=1 C m=3,n=4 D m=4,n=4三．解答题（本大题满分78分） 19.（本题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ..对应的边分别是a,b,c 已知()1cos 32cos =+-C B A （1）求角A 的大小（2）若ABC ∆的面积5,35==b S ，求C B sin sin 的值20.（本题满分14分，7+7=14）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ,底面ABCD 是棱形，060,2=∠=BAD AB （1）求证；⊥BD 平面PAC（2）若AB PA =，求异面直线PB 与AC 所成角21.（本题16分，8+8=16）某玩具厂在一段时间内生产x 套某电子玩具产品所需要成本费用是P 元，每套电子玩具售出的价格为Q 元，期中N x xQ x x P ∈+=++=,2045,10155002。

南模中学2021学年第一学期高三期中考试数学学科（理）试卷一、填空题：(每题4分)1.函数23()(0)f x x x -=<的反函数是1()f x -=___________.2. 已知1sin cos 2αα=+，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么cos 2sin()4απα-的值为3.函数3()sin())22f x x x ππ=-++,方程()0f x k -=在[0,]x π∈上有两个不等的实根,那么实数k 的取值范围为 .4.关于函数()sin 2cos 2f x x x =-有以下命题：①函数()y f x =的最小正周期为π； ②直线4x π=是()y f x =的一条对称轴； ③点(,0)8π是()y f x =的图象的一个对称中心；④将()y f x =的图象向左平移4π个单位，可取得2y x =的图象． 其中真命题的序号是 .5. 某船在A 处看灯塔S 在北偏东30°方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航行，通过40分钟航行到B 处，看灯塔S 在北偏东75°方向，那么现在该船到灯塔S 的距离约为 海里.6. 设A 是自然数集的一个非空子集，关于k A ∈,若是2k A ∉，A 那么k 是A 的一个“酷元”,给定集合{}2lg(36),S x y x x N ==-∈,设集合M 由集合S 中的两个元素组成，且集合M 中的两个元素都是“酷元”，那么如此的集合M 有 个．7.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率别离是32和53. 现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B. 设甲、乙两组的研发彼此独立. 假设新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；假设新产品B 研发成功，估量企业可取得利润100万元. 那么该企业可获利润的数学期望为 万元.8. .设函数()sin f x x x π=+,则1240264027()()()()2014201420142014f f f f ++++= . 9.关于函数()f x ,假设在概念域内存在实数x ,知足()()f x f x -=-,那么称()f x 为“局部奇函数”．若 ()2x f x m =+是概念在[1,1]-上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是 .10.假设不等式23log 0a x x -<在1(0,)3x ∈内恒成立，则a 的取值范围是 ．11.设180,0,102y x y x x y>>+++=，那么2x y +的最大值为 . 12. 已知偶函数()f x 知足对任意的x R ∈均有(1)(3)f x f x +=-,且2(1)[0,1]()1(1,2]m x x f x x x ⎧-∈=⎨-∈⎩,假设方程3()f x x =恰有5个实数解,那么实数m 的取值范围是 .13.已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+, ()g x mx =,假设关于任一实数x()f x 与()g x 至少有一个为正数，那么实数m 的取值范围是 .14.已知函数()(2)f x x a x =+,且关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ,假设11[,]22A -⊆,那么实数a 的取值范围是 .二、选择题: (每题5分)15. 若是关于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 例如 []3.273=，[]0.60=.那么“[][]x y =”是“1x y -<”的（ ）A ．充分而没必要要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件16.以下函数中，既是偶函数，又在区间()1,2内是增函数的为 （ ） A. 22log 2x y x -=+ B. cos 2y x = C. 222x xy --= D. 2log y x = 17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边别离a ，b ，c ，给出以下命题：①A＞B ＞C ，那么sinA ＞sinB ＞sinC ；②必存在A ，B ，C ，使tanAtanBtanC ＜tanA+tanB+tanC 成立；③若tanAtanB ＞1，那么△ABC 必然是钝角三角形；④若a=40，b=20，B=25°，△ABC 必有两解．其中真命题个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 18.已知函数2212(1),,1,12()111,0,.362x x x x f x x x ⎧⎛⎤-+-∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩函数π()sin()22(0)6g x a x a a =-+>,假设存在[]12,0,1x x ∈, 使得12()()f x g x =成立,那么实数a 的取值范围是（ ）A ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题：19. （此题12分） 函数22()log 1x f x x -=-的概念域为集合A,关于x 的不等式2212()()2ax a x a R +<∈的解集为B,求使A B B ⋃=的实数a 的取值范围.20、（此题14分）已知函数21()2cos 22f x x x =--, （1）求函数()f x 在[0,]2π的最大值和最小值,并给出取得最值时的x 值;（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边别离为a ，b ，c ，且c =，()0f C =，假设sin 2sin B A =，求a ，b 的值．21、（此题14分）已知函数22()()()6x x f x e a e a -=-+-- , x R ∈(1)求()f x 的最小值; (2)假设函数()f x 在R 上存在零点,求实数a 的取值范围.22. （此题16分）已知函数()22f x x a x x =-+,a R ∈(1)若0a =,判定函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；(2）假设函数()f x 在R 上是增函数，求实数的取值a 范围；(3）假设存在实数[2,2]a ∈-,使得关于x 的方程()(2)0f x tf a -=有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．23.（此题18分）已知函数()y f x =，x D ∈，若是关于概念域D 内的任意实数x ，关于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有()()f x T mf x +>成立，那么称函数()y f x =是D 上的m 级类增周期函数，周期为T ．假设恒有()()f x T mf x +=成立，那么称函数()f x 是D 上的m 级类周期函数,周期为T ．(1)已知函数2()f x x ax =-+是[3,)+∞上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围；(2)已知T=1，()y f x =是[0,)+∞上m 级类周期函数，且()y f x =是 [0,)+∞上的单调递增函数,当[0,1)x ∈时,()2x f x =，求实数m 的取值范围；(3)是不是存在实数k ，使函数()cos f x kx =是R 上的周期为T 的T 级类周期函数，假设存在，求出实数k 和T 的值，假设不存在，说明理由．南模中学2021学年第一学期高三期中考试数学学科（理）试卷参考答案1. -32(0)x x-> 2.142- 3.3[,3)24. ①③5. 626. 57. 1408. 40279.5[,1]4-- 10.1[,1)2711. 1812.837415415837 (,)(,) 6666++++--⋃13. (0,8) 14. （-1,0）15.A 16.D 17.C 18. A 19.20．22.考点函数奇偶性的判断；函数单调性的性质．专题函数的性质及应用．分析（1）若a=0，根据函数奇偶性的定义即可判断函数y=f（x）的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数a的取值范围；（3）根据方程有三个不同的实数根，建立条件关系即可得到结论．解答解：（1）函数y=f（x）为奇函数．当a=0时，f（x）=x|x|+2x，∴f（﹣x）=﹣x|x|﹣2x=﹣f（x），∴函数y=f（x）为奇函数；（2）f（x）=，当x≥2a时，f（x）的对称轴为：x=a﹣1；当x＜2a时，y=f（x）的对称轴为：x=a+1；∴当a﹣1≤2a≤a+1时，f（x）在R上是增函数，即﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数；（3）方程f（x）﹣tf（2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解．①当﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数，∴关于x的方程f（x）=tf（2a）不可能有三个不相等的实数根；…（9分）②当a＞1时，即2a＞a+1＞a﹣1，∴f（x）在（﹣∞，a+1）上单调增，在（a+1，2a）上单调减，在（2a，+∞）上单调增，∴当f（2a）＜tf（2a）＜f（a+1）时，关于x的方程f（x）=tf （2a）有三个不相等的实数根；即4a＜t﹣4a＜（a+1）2，∵a＞1，∴．设，∵存在a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜h（a）max，又可证在（1，2]上单调增∴＜h（a）max=，∴1＜t＜③当a＜﹣1时，即2a＜a﹣1＜a+1，∴f（x）在（﹣∞，2a）上单调增，在（2a，a﹣1）上单调减，在（a﹣1，+∞）上单调增，∴当f（a﹣1）＜tf（2a）＜f（2a）时，关于x的方程f（x）=tf （2a）有三个不相等的实数根；即﹣（a﹣1）2＜t﹣4a＜4a，∵a＜﹣1，∴，设，∵存在a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜g（a）max，又可证在[﹣2，﹣1）上单调减，∴g（a）max=，∴1＜t＜；综上：1＜t＜．23 .。