高中数学期中试卷

2023-2024学年河北省部分高中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l ：2x +√3y −1=0的斜率为（ ） A ．−2√33B ．−√32C ．2√33D ．√322．若方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣5）B ．（﹣5，+∞）C ．（﹣∞，5）D ．（5，+∞）3．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 29+y 25=1的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，若|PF 1|＝2，则|PF 2|＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PD →=3DC →，则BD →在AC →方向上的投影向量为（ ）A ．34AC →B ．−23AC →C ．−34AC →D ．23AC →5．若圆O 1：x 2+y 2＝25与圆O 2：（x ﹣7）2+y 2＝r 2（r ＞0）相交，则r 的取值范围为（ ） A ．[2，10]B ．（2，10）C ．[2，12]D ．（2，12）6．若A （2，2，1），B （0，0，1），C （2，0，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．2√305B ．√305C ．2√55D ．√557．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为A （第一象限），并与双曲线C 交于点B ，若FB →=BA →，则l 的斜率为（ ） A ．2B ．1C ．12D ．−748．已知实数x ，y 满足2x ﹣y +2＝0，则√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8的最小值为（ ） A ．3√13B ．10+√13C ．108D ．117二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则（ ）A ．BC →−A 1A →=AD 1→B ．BC →−A 1A →=2AD 1→C ．EF →=12A 1C 1→D ．EF →=A 1C 1→10．在同一直角坐标系中，直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1的位置可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，且|PF 1|=43|PF 2|，cos ∠PF 2F 1=35，则下列结论正确的有（ ） A ．椭圆E 的离心率为57B ．椭圆E 的离心率为45C ．PF 1⊥PF 2D ．若△PF 1F 2内切圆的半径为2，则椭圆E 的焦距为1012．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH ﹣NPQM 是正四棱柱，下层底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F ，G ，H 在底面ABCD 的投影分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，若AF =√5，则下列结论正确的有（ ）A ．该几何体的表面积为32+8√2+4√6B ．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36πC ．直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63D ．点M 到平面BFG 的距离为√63三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点N 是点M （3，3，4）在坐标平面Oxz 内的射影，则|ON →|= ． 14．若双曲线C ：x 2m+1+y 2m 2−m−2=1的实轴长与虚轴长相等，则m ＝ ．15．过点M(√3，0)作圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 ．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ，则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 1：x +ay ﹣a +2＝0与l 2：2ax +（a +3）y +a ﹣5＝0． （1）当a ＝1时，求直线l 1与l 2的交点坐标； （2）若l 1∥l 2，求a 的值．18．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，E ，F 分别为P A ，PC 的中点，DG →=2GP →． （1）证明：B ，E ，G ，F 四点共面．（2）记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．19．（12分）已知P 是圆C ：x 2+y 2＝12上一动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ →=2PM →，记点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）若A ，B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为(−85，25)，求|AB |的值．20．（12分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB 的长为16米，最大高度CD 的长为4米，以C 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）21．（12分）如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为2的等边三角形，M ，Q 分别为AC ，A 1B 1的中点，且MQ ⊥AB ． （1）证明：MC 1⊥AB ．（2）若BB 1＝4，MQ =√15，求平面MB 1C 1与平面MC 1Q 夹角的余弦值．22．（12分）如图，已知F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点． （1）求E 的方程．（2）过直线l ：x ＝1上任意一点T 作直线l 1，l 1与E 的左、右两支相交于A ，B 两点．直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2（与l 1不重合），l 2与E 的左、右两支相交于C ，D 两点．证明：∠ABD ＝∠ACD ．2023-2024学年河北省部分高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l ：2x +√3y −1=0的斜率为（ ） A ．−2√33B ．−√32C ．2√33D ．√32解：将l 的方程转化为y =−2√33x +√33，则l 的斜率为−2√33． 故选：A ．2．若方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣5）B ．（﹣5，+∞）C ．（﹣∞，5）D ．（5，+∞）解：因为方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，所以42+22+4m ＞0，解得m ＞﹣5． 故选：B ．3．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 29+y 25=1的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，若|PF 1|＝2，则|PF 2|＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：椭圆E ：x 29+y 25=1，可知a ＝3，因为P 是椭圆E 上一点，所以|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 2|＝6﹣|PF 1|＝4． 故选：D ．4．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PD →=3DC →，则BD →在AC →方向上的投影向量为（ ）A ．34AC →B ．−23AC →C ．−34AC →D ．23AC →解：因为P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，故以A 为坐标原点，AB ，AC ，P A 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，令AB ＝a ，AC ＝b ，P A ＝c ，则A （0，0，0），B （a ，0，0），C （0，b ，0），D(0，34b ，14c)， 则AC →=(0，b ，0)，BD →=(−a ，34b ，14c)，所以BD →在AC →方向上的投影向量为AC →⋅BD →|AC →|⋅AC →|AC →|=34b 2|b|⋅AC →|b|=34AC →．故选：A ．5．若圆O 1：x 2+y 2＝25与圆O 2：（x ﹣7）2+y 2＝r 2（r ＞0）相交，则r 的取值范围为（ ） A ．[2，10]B ．（2，10）C ．[2，12]D ．（2，12）解：∵O 1与O 2相交， ∴|r ﹣5|＜|O 1O 2|＜|r +5|， 又|O 1O 2|＝7，∴|r ﹣5|＜7＜|r +5|，解得2＜r ＜12． 故选：D ．6．若A （2，2，1），B （0，0，1），C （2，0，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．2√305B ．√305C ．2√55D ．√55解：由题意得，BA →=(2，2，0)，BC →=(2，0，−1)，则BA →在BC →上的投影向量的模为|BA →⋅BC →||BC →|=√5，则点A 到直线BC 的距离为√|BA →|2−(|BA →⋅BC →||BC →|)2=√(√8)2−(4√5)2=2√305． 故选：A ．7．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为A （第一象限），并与双曲线C 交于点B ，若FB →=BA →，则l 的斜率为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．−74解：由已知直线l 的方程为y =b ax ，即bx ﹣ay ＝0，点F （c ，0），则|FA|=|bc|√b +(−a)2=b ，因为FB →=BA →，所以B 为线段AF 的中点，则|BF|=b2， 设双曲线C 的左焦点为F 1，则|BF 1|=2a +b2， 在△BFF 1中，由余弦定理可得：cos ∠BFF 1=|BF|2+|FF 1|2−|BF 1|22|BF||FF 1|=b 24+4c 2−(2a+b 2)22×b2×2c=2b−ac， 又cos ∠BFF 1=bc ，所以a ＝b ，故l 的斜率为1， 故选：B ．8．已知实数x ，y 满足2x ﹣y +2＝0，则√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8的最小值为（ ） A ．3√13B ．10+√13C ．108D ．117解：√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8=√(x −9)2+y 2+√(x −2)2+(y −2)2， 该式表示直线l ：2x ﹣y +2＝0上一点到P （9，0），Q （2，2）两点距离之和的最小值． 而P ，Q 两点在l 的同一侧，设点P 关于l 对称的点P ′（x 0，y 0），则{y 0−0x 0−9=−122×x 0+92−y 0+02+2=0，解得{x 0=−7y 0=8，∴P ′（﹣7，8），故√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8≥|P′Q|=√(−7−2)+(8−2)2=3√13． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则（ ）A ．BC →−A 1A →=AD 1→B ．BC →−A 1A →=2AD 1→C ．EF →=12A 1C 1→D ．EF →=A 1C 1→解：BC →−A 1A →=AD →+AA 1→=AD 1→，A 正确，B 不正确，又因为EF →=12A 1C 1→，故C 正确，D 不正确． 故选：AC ．10．在同一直角坐标系中，直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1的位置可能是（ ）A ．B ．C ．D ．解：A ．取m ＝1，则直线l ：y ＝x +1与曲线C ：x 2+y 2＝1满足图中的位置关系，因此A 正确； B ．联立{y =mx +1x 2+my 2=1，化为（1+m 3）x 2+2m 2x +m ﹣1＝0，若直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1有交点，则Δ＝4m 4﹣4（1+m 3）（m ﹣1）＝m 3﹣m +1＞0． 由曲线C ：x 2+my 2＝1结合图形，则0＜1m ＜1，∴m ＞1，满足Δ＞0，因此B 正确；C ．由曲线C ：x 2+my 2＝1结合图形，则0＜1m ＜1，∴m ＞1，直线l 与椭圆应该有交点，因此C 不正确；D ．由图可知：直线l 经过点（1，0），则m ＝﹣1，联立{y =−x +1x 2−y 2=1，化为x ＝1，y ＝0，即直线l 与双曲线的交点为（1，0），因此D 正确． 故选：ABD ．11．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，且|PF 1|=43|PF 2|，cos ∠PF 2F 1=35，则下列结论正确的有（ ） A ．椭圆E 的离心率为57B ．椭圆E 的离心率为45C ．PF 1⊥PF 2D ．若△PF 1F 2内切圆的半径为2，则椭圆E 的焦距为10解：A 、B 选项，由椭圆的定义得，|PF 1|+|PF 2|＝2a ，已知|PF 1|=43|PF 2|，解得|PF 1|=87a ，|PF 2|=67a ，由cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2−|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=4c 2−47a 2247ac=35， 整理得5a 2+18ac ﹣35c 2＝0，即（a +5c ）（5a ﹣7c ）＝0，则a ＝﹣5c （舍去）或a =75c ，即c a=57，故椭圆E 的离心率为57，故A 正确，B 不正确；C 选项，由a =75c ，得|F 1F 2|=2c =107a ，则|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，故PF 1⊥PF 2，故C 正确； D 选项，由PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2内切圆的半径为2，得2c ＝2a ﹣4，因为a =75c ，所以c ＝5，即椭圆E 的焦距为10，故D 正确． 故选：ACD ．12．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH ﹣NPQM 是正四棱柱，下层底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F ，G ，H 在底面ABCD 的投影分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，若AF =√5，则下列结论正确的有（ ）A ．该几何体的表面积为32+8√2+4√6B ．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36πC ．直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63D ．点M 到平面BFG 的距离为√63解：设F ，G 在平面ABCD 的投影分别为AB ，BC 的中点R ，S ，由于AF =√5，AB ＝4，所以F 到平面ABCD 的距离为FR =√AF 2−(12AB)2=1， 由于上、下两层等高，所以P 到平面ABCD 的距离为2，又FG =RS =12AC =2√2，由于GS ＝FR ＝1，BS =RB =12×4=2 所以BG =GC =√GS 2+BS 2=√5=BF =AF ，所以△AFB ≌△BGC ，同理可得△CDH ≌△ADE ≌△AFB ≌△BGC ，△BFG ≌△CHG ≌△DEH ≌△AEF ， 则点B 到FG 的距离为√BF 2−(12FG)2=√(√5)2−(√2)2=√3，则△ABF 的面积为12AB ⋅FR =12×4×1=2，△BFG 的面积为12×2√2×√3=√6，故该几何体的表面积4×2+4×√6+4×4+2√2×2√2+2√2×4=32+8√2+4√6，故A 正确； 将该几何体放置在一个球体内，要使该球体体积最小，则球心在该几何体上下底面中心所连直线上， 且A 、B 、C 、D ，N 、P 、Q 、M 均在球面上，设球心到下底面ABCD 的距离为x ， 由于四边形MNPQ 为边长为2√2的正方形，四边形ABCD 为边长为4的正方形， 则其对角线长度分别为4，4√2，则(2√2)2+x 2=22+(2−x)2，解得x ＝0，则该球体的半径为2√2，体积为4π3×(2√2)3=64√2π3，故B 错误；以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则C （4，4，0），P （2，0，2），B （4，0，0），F （2，0，1），G （4，2，1），M （2，4，2），CP →=(−2，−4，2)，BF →=（﹣2，0，1），BG →=(0，2，1)，BM →=（﹣2，4，2）， 平面ABF 的一个法向量为m →=（0，1，0），则cos ＜CP →，m →＞=−42√6=−√63，设直线CP 与平面ABF 所成角为θ，则sinθ=|cos ＜CP →，m →＞|=√63，故直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63，故C 正确； 设平面BFG 的法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)，则{n →⋅BF →=−2x 1+z 1=0n →⋅BG →=2y 1+z 1=0，令x 1＝1，得n →=（1，﹣1，2）， 则点M 到平面BFG 的距离为|n →⋅BM →||n →|=222=√63，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点N 是点M （3，3，4）在坐标平面Oxz 内的射影，则|ON →|= 5 ． 解：由题可知，N （3，0，4），则ON →=(3，0，4)，∴|ON →|=√32+42=5． 故答案为：5．14．若双曲线C ：x 2m+1+y 2m 2−m−2=1的实轴长与虚轴长相等，则m ＝ 1 ．解：由题可知（m +1）+（m 2﹣m ﹣2）＝0，解得m ＝1或m ＝﹣1（舍去），∴m ＝1． 故答案为：1．15．过点M(√3，0)作圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 √3x −y =0 ．解：圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1①，则圆心C （0，1）， 以C （0，1），M （√3，0）为直径的圆的方程为：(x −√32)2+(y −12)2=1②，①﹣②可得，√3x −y =0，故直线AB 的方程为√3x −y =0． 故答案为：√3x −y =0．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ，则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为7√111111．解：设I ∩AA 1＝P ，连接NP ，MP ，直线NP 即为直线l ．易证得MP ∥CN ，由AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，得AP =13AA 1，以D 为坐标原点，DA ．DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝6，则得：N （0，0，3），P （6，0，2），A （6，0，0），C 1（0，6，6）， NP →=（6，0，﹣1），AC 1→=（﹣6，6，6）， 所以得：|cos ＜NP →，AC 1→＞|=|NP →⋅AC 1→||NP →|⋅|AC 1→|=37×63=7√111111，故直线与直线 AC 1 所成角的余弦值为7√111111．故答案为：7√111111． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 1：x +ay ﹣a +2＝0与l 2：2ax +（a +3）y +a ﹣5＝0． （1）当a ＝1时，求直线l 1与l 2的交点坐标； （2）若l 1∥l 2，求a 的值． 解：（1）因为a ＝1，所以l 1：x +y +1＝0，l 2：2x +4y ﹣4＝0，即x +2y ﹣2＝0， 联立{x +y +1=0x +2y −2=0解得{x =−4y =3，故直线l 1与l 2的交点坐标为（﹣4，3）．（2）因为l 1∥l 2，所以2a 2﹣a ﹣3＝0，解得a ＝﹣1或a =32， 当a ＝﹣1时，l 1与l 2重合，不符合题意． 当a =32时，l 1与l 2不重合，符合题意． 故a =32．18．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，E ，F 分别为P A ，PC 的中点，DG →=2GP →． （1）证明：B ，E ，G ，F 四点共面．（2）记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．解：（1）证明：因为E ，F 分别为P A ，PC 的中点， 所以BE →=12BA →+12BP →，BF →=12BC →+12BP →， 所以BG →=BD →+DG →=BD →+23DP →=BD →+23(BP →−BD →)=13BD →+23BP →=13BA →+13BC →+23BP →=23(12BA →+12BP →)+23(12BC →+12BP →)=23BE →+23BF →， 故B ，E ，G ，F 四点共面；（2）由正四棱锥的对称性知，V 1＝2V E ﹣PBG ，V 2＝2V A ﹣PBD ， 设点E 到平面PBG 的距离为d 1，点A 到平面PBD 的距离为d 2，由E 是P A 的中点得d 2＝2d 1， 由DG →=2GP →得S △PBD ＝3S △PBG ，所以V 1V 2=V E−PBG V A−PBD=13S △PBG ⋅d 113S △PBD ⋅d 2=16．19．（12分）已知P 是圆C ：x 2+y 2＝12上一动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ →=2PM →，记点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）若A ，B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为(−85，25)，求|AB |的值． 解：（1）设M （x ，y ），则Q （x ，0）， 因为PQ →=2PM →，则P （x ，2y ）， 因为P 在圆C 上，所以x 2+（2y ）2＝12， 故E 的方程为x 212+y 23=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若A ，B 是E 上两点，则{x 1212+y 123=1x 2212+y 223=1， 两式相减得x 12−x 2212+y 12−y 223=0，即y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)．因为线段AB 的中点坐标为(−85，25)，所以y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)=1，所以k AB ＝1，则直线AB 的方程为y ＝x +2．联立方程组{y =x +2x 212+y 23=1，整理得5x 2+16x +4＝0，其中Δ＞0， 则x 1+x 2=−165，x 1x 2=45， |AB|=√1+12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√225． 20．（12分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB 的长为16米，最大高度CD 的长为4米，以C 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）解：（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，由图形可得A（﹣8，0），B（8，0），D（0，4），设该圆的半径为r米，则r2＝82+（r﹣4）2，解得r＝10，圆心为（0，﹣6），故该圆弧所在圆的方程为x2+（y+6）2＝100．（2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则(d2)2+(6+1.6)2=102，解得d=2√42.24．若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为4×2.5+3×0.5=11.5＜2√42.24．隧道能并排通过4辆该种汽车；若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为5×2.5+4×0.5=14.5＞2√42.24，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车．综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车．21．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，M，Q分别为AC，A1B1的中点，且MQ⊥AB．（1）证明：MC1⊥AB．（2）若BB1＝4，MQ=√15，求平面MB1C1与平面MC1Q夹角的余弦值．（1）证明：因为△A1B1C1是等边三角形，Q为A1B1的中点，所以C1Q⊥A1B1，又AB∥A1B1，所以C1Q⊥AB，因为MQ⊥AB，C1Q∩MQ＝Q，所以AB⊥平面MC1Q，又MC1⊂平面C1MQ，所以MC1⊥AB；（2）解：取AB靠近点A的四等分点N，连接MN，NQ，易证得MN∥C1Q，则MN⊥AB，且MN=√32，由BB 1＝4，得QN =3√72，因为MQ =√15，所以MQ 2+MN 2＝QN 2， 即MQ ⊥MN ，又MQ ⊥AB ，从而MQ ⊥平面ABC ，以M 为坐标原点，MN 所在直线为x 轴，MQ 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则M （0，0，0），B 1（0，1，√15），C 1（−√3，0，√15）， 则MB 1→=（0，1，√15），MC 1→=（−√3，0，√15）， 设平面MB 1C 1的法向量为m →=（x ，y ，z ），则有{m →⋅MB 1→=y +√15z =0m →⋅MC 1→=−√3x +√15z =0，令z ＝1，得m →=(√5，−√15，1)，由图可知，n →=（0，1，0）是平面MC 1Q 的一个法向量，设平面MB 1C 1与平面MC 1Q 的夹角为θ，则cosθ=|m →⋅n →||m →||n →|=√1521=√357．22．（12分）如图，已知F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点． （1）求E 的方程．（2）过直线l ：x ＝1上任意一点T 作直线l 1，l 1与E 的左、右两支相交于A ，B 两点．直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2（与l 1不重合），l 2与E 的左、右两支相交于C ，D 两点．证明：∠ABD ＝∠ACD ．解：（1）∵F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点，∴{a 2+b 2=10409a2−69b2=1，解得a 2＝4，b 2＝6，∴E 的方程为x 24−y 26=1．（2）证明：设T （1，m ），由题意得直线l 1的斜率存在且不等于0， 设直线l 的方程为y ﹣m ＝k （x ﹣1），则直线l 2的方程为y ﹣m ＝﹣k （x ﹣1）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 联立方程组{y −m =k(x −1)x 24−y 26=1，整理得（3﹣2k 2）x 2+（4k 2﹣4km ）x ﹣2k 2+4km ﹣2m 2﹣12＝0，Δ＝（4k 2﹣4km ）2﹣（12﹣8k 2）（﹣2k 2+4km ﹣2m 2﹣12）＝﹣72k 2﹣48km +24m 2+144＞0， 则x 1+x 2=4k 2−4km 2k 2−3，x 1x 2=2k 2−4km+2m 2+122k 2−3，|AT |=√1+k 2|x 1−1|，|BT |=√1+k 2|x 2﹣1|，|CT |=√1+k 2|x 3﹣1|，|DT |=√1+k 2|x 4﹣1|， ∴|AT ||BT |＝（1+k 2）|（x 1﹣1）（x 2﹣1）|＝（1+k 2）|x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1| ＝（1+k 2）|2k 2−4km+2m 2+122k 2−3−4k 2−4km 2k 2−3+1|＝（1+k 2）|2m 2+92k 2−3|，同理，|CT ||DT |＝（1+k 2）|2m 2+92k 2−3，∴|AT||DT|=|CT||BT|，∴△ACT ∽△DBT ，∴∠ABD ＝∠ACD ．。

2023北京十四中高一（上）期中数 学2023.11出题人：高一备课组 审核人：高一备课组注意事项1．本试卷共4页，共21道小题，满分150分.考试时间120分钟.2．在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号.3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4．在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5．答题不得使用任何涂改工具.第一部分一、选择题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}12A x x =-≤≤，{}0B x x =>，则A B ⋃=（ ）A. {}2x x ≤ B. {}1x x ≥- C. {}1x x >- D. {}x x >2. 方程组222x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（ ）A.()(){}1,1,1,1--- B.()(){}1,1,1,1-C. ()(){}1,1,1,1-- D. ∅3. 已知命题p ：1x ∃>，210x ->，那么p ⌝是（ ）A. 1x ∀>，210x ->B. 1x ∀>，210x -≤C. 1x ∃>，210x -≤ D. 1x ∃≤，210x -≤4. 设,,R a b c ∈，且a b >，则（ ）A. 22ac bc > B.11a b< C. 22a b > D. 33a b >5. 已知0x >，0y >，22x y +=，则xy 的最大值是（ ）A.14B. 12C.49D. 16. 已知11x f x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，那么()2f =（ ）A. -1B. 12-C. 12D. 17. 函数()21f x x x=-的零点个数是（ ）A.0B. 1C. 2D. 38. 已知函数()f x 的定义域为R ，则“()00f =”是“()f x 是奇函数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 设函数()24,4,1, 4.2x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩若函数()y f x =在区间(),1a a +上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. (],1-∞ B. []1,4 C. [)4,+∞ D. (][),14,-∞⋃+∞10. 如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C ,的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段 ,,AB BCCA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（ ）A. 123x x x >>B. 132x x x >>C. 231x x x >>D. 321x x x >>第二部分二、填空题共5小题．11.函数1()f x x=+的定义域为________．12. 若关于x 的方程20x ax a -+=的两根的平方和为3，则实数=a ______．13. 已知函数()3,0,1,0.1x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩若()02f x =，则实数0x =______；函数()f x 的值域为______14. 已知函数()f x 的定义域为[]0,1．能够说明“若()f x 在区间[]0,1上的最大值为()1f ，则()f x 是增函数”为假命题的一个函数是_________．15. 调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1kg 积分1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100kg ，则额外奖励x 分（x 为正整数）.月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换.①当10x =时，若某家庭某月产生120kg 生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换_____元；②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x 的最大值为___________.三、解答题共6小题．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 设全集U =R ，集合{}250A x x x =+>，集合{}4B x x m =-<，其中R m ∈．（1）当2m =时，求A B ⋂，()U A B ð；（2）若BA ⊆，求m 的取值范围．17. 已知函数()226f x x ax a =-++，其中R ．（1）当0a =时，求函数()f x 的图象与直线5y x =交点的坐标；（2）若函数()f x 有两个不相等的负实数零点，求a 的取值范围；（3）若函数()f x 在()2,+∞上不单调，求a 的取值范围．18. 已知a ，b 都是正实数，（1）试比较33+a b 与22ab a b +的大小，并证明；（2）当1a b +=时，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．19. 已知函数()261xf x x =+．（1）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（2）用定义证明函数()f x 在()0,1上单调递增；（3）画出函数()f x 的图像，并直接写出函数()f x 的值域．20. 某机床厂今年年初用98万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用．已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和t （单位：万元）与使用时间x （N x *∈，单位：年）之间的函数关系式为：2210t x x =+．该机床每年的生产总收入为50万元．设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元．（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）？（3）使用若干年后，对该机床的处理方案有两种：①当盈利额达到最大值时，以12万元价格再将该机床卖出．②当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格再将该机床卖出；研究一下哪种处理方案较为合理？请说明理由．21. 设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．参考答案第一部分一、选择题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 【答案】B【分析】利用并集的定义可求A B ⋃.【详解】[)1,A B =-+∞ ,故选：B 2. 【答案】C【分析】直接求出方程组的解，再用列举法表示即可.【详解】由2202x y x y +=⎧⎨+=⎩，消去x 得222y =，解得1y =±，所以方程组的解为11y x =⎧⎨=-⎩或11y x =-⎧⎨=⎩，所以方程组222x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集()(){}1,1,1,1--.故选：C 3. 【答案】B【分析】由特称命题的否定，直接判断得出答案.【详解】解：已知命题p ：1x ∃>，210x ->，则p ⌝为：1x ∀>，210x -≤.故选：B 4. 【答案】D【分析】根据不等式的基本性质，以及函数3y x =的单调性，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，当0c =时，可得22ac bc =，所以A 不正确；对于B 中，由11b a a b ab--=，因为a b >，则0b a -<，但ab 符号不确定，所以B 错误；对于C 中，例如1,2a b ==-，可得22a b <，所以C 错误；对于D 中，由函数3y x =为单调递增函数，所以33a b >，所以D 正确.故选：D.5. 【答案】B【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】由于0x >，0y >，22x y +=，所以22x y +=≥，故12xy ≤，当且仅当2x y =，即11,2y x ==时等号成立，故选：B 6. 【答案】D【分析】根据题意，令12x =，代入即可求解.【详解】由函数11x f x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，令12x =，可得()1221112f ==-.故选：D.7. 【答案】B【分析】令()0f x =求出方程的解，即可判断.【详解】令()0f x =，即210x x-=，解得1x =，所以函数()21f x x x=-有且仅有一个零点1.故选：B 8. 【答案】B【分析】通过反例和奇函数的性质可直接得到结论.【详解】若()2f x x =，则()00f =，此时()f x 为偶函数，充分性不成立；若()f x 为奇函数，且其定义域为R ，则()00f =恒成立，必要性成立；∴函数()f x 的定义域为R ，则“()00f =”是“()f x 是奇函数”的必要不充分条件.故选：B.9. 【答案】D【分析】根据函数图象即可求解.【详解】作出函数的图象如下：当12a +≤时，即1a ≤，()y f x =在区间(),1a a +上单调递增，当4a ≥时，()y f x =在区间(),1a a +上单调递增，故a 的取值范围为(][),14,-∞⋃+∞，故选：D10. 【答案】C【分析】根据每个三岔路口驶入与驶出相应的环岛路段的车辆数列出等量关系，即可比较出大小．【详解】依题意，有13350555x x x =+-=-，所以13x x <，同理，211302010x x x =+-=+，所以12x x <，同理，32230355x x x =+-=-，所以32x x <，所以132x x x <<．故选：C ．【点睛】本题主要考查不等关系的判断，属于基础题．第二部分二、填空题共5小题．11. 【答案】(,0)(0,2]-∞ 【分析】根据题意列关于x 的不等式组即可求解.【详解】由题要使得()f x 有意义，则200x x -≥⎧⎨≠⎩，故2x ≤且0x ≠，从而()f x 的定义域为(,0)(0,2]-∞ ，故答案为：(,0)(0,2]-∞ .12. 【答案】1-【分析】设方程的两根分别为12,x x ，结合二次函数的性质得到1212,x x a x x a +==，且a<0或4a >，再由方程20x ax a -+=的两根的平方和为3，列出方程，即可求解.【详解】设20x ax a -+=的两根分别为12,x x ，可得1212,x x a x x a +==，且22()440a a a a ∆=--=->，解得a<0或4a >，因为方程20x ax a -+=的两根的平方和为3，所以2222121212()223x x x x x x a a +=+-=-=，解得1a =-或3a =（舍去），所以1a =-.故答案为：1-.13. 【答案】 ①. 1- ②. (],3-∞【分析】根据分段函数的性质，令032x +=、0121x =+解之即可；结合33(0)x x +≤≤和101(0)1x x <<>+即可求出函数的值域.【详解】当00x ≤时，032x +=，解得01x =-；当00x >时，0121x =+，解得012x =-（舍去），所以01x =-；当0x ≤时，33x +≤；当0x >时，1011x <<+，所以函数()f x 的值域为(,3]-∞.故答案为：1-；(,3]-∞.14. 【答案】()212f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈（答案不唯一）【分析】利用二次函数的性质写出一个函数即可【详解】对于函数()212f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈，函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且()()1014f f ==，所以()f x 在区间[]0,1上的最大值为()()1014f f ==，但是函数在[]0,1上不具有单调性，故命题“若()f x 在区间[]0,1上的最大值为()1f ，则()f x 是增函数”为假命题.故答案为：()212f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈（答案不唯一）15. 【答案】 ①. 13 ②. 36【分析】①计算出该家庭月底的积分，再拿积分乘以0.1可得出该家庭该月积分卡能兑换的金额；②设每个家庭每月产生的垃圾为kg t ，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为()f t 元，分0100t ≤<、100t ≥两种情况讨论，计算()f t 的表达式，结合()0.340.4f t t ≤⨯可求得x 的最大值.【详解】①若某家庭某月产生120kg 生活垃圾，则该家庭月底的积分为12010130+=分，故该家庭该月积分卡能兑换1300.113⨯=元；②设每个家庭每月产生的垃圾为kg t ，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为()f t 元.若0100t ≤<时，()0.10.340.40.136f t t t t =<⨯=恒成立；若100t ≥时，()0.10.10.340.4f t t x t =+≤⨯，可得()min 0.3636x t ≤=.故x 的最大值为36.故答案为：①13；②36.三、解答题共6小题．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 【答案】（1）{}06A B x x ⋂=<<，(){}56U A B x x ⋃=-≤<ð （2）{9m m ≤-或}4m ≥【分析】（1）解一元二次不等式求出集合A ，解绝对值不等式求出集合B ，再根据集合的运算法则计算可得；（2）由B A ⊆，可得45m +≤-或40m -≥，解得即可.【小问1详解】由250x x +>，即()50x x +>，解得0x >或5x <-，所以{5A x x =<-或}0x >，则{}50U A x x =-≤≤ð，由4x m -<，即44x m -<-<，解得44m x m -<<+，所以{}44B x m x m =-<<+，当2m =时，{}26B x x =-<<，所以{}06A B x x ⋂=<<，(){}56U A B x x ⋃=-≤<ð.【小问2详解】因为{}44B x m x m =-<<+且B A ⊆，所以45m +≤-或40m -≥，解得9m ≤-或4m ≥，即m 的取值范围为{9m m ≤-或}4m ≥.17. 【答案】（1）()2,10，()3,15 （2）{}62a a -<<- （3）{}2a a >【分析】（1）由0a =得()265f x x x =+=，解方程即可；（2）利用转化的思想可知方程()0f x =有两个不相等的负实数根12,x x ，进而()21212Δ44606020a a x x a x x a ⎧=-+>⎪=+>⎨⎪+=<⎩，解之即可；（3）根据二次函数的性质可得2a >，即可求解.【小问1详解】当0a =时，()26f x x =+，由()265f x x x =+=，即2560x x -+=，解得12x =，23x =所以函数()f x 的图象与直线5y x =的交点为()2,10，()3,15；【小问2详解】若函数()f x 有两个不相等的负实数零点12,x x ，则方程()0f x =有两个不相等的负实数根12,x x ，有()21212Δ44606020a a x x a x x a ⎧=-+>⎪=+>⎨⎪+=<⎩，解得62a -<<-所以a 的取值范围是{}62a a -<<-；【小问3详解】依题意：二次函数()226f x x ax a =-++的对称轴方程为x a =，则2a >，即a 的取值范围是{}2a a >．18. 【答案】（1）3322a b ab a b +≥+，证明见详解 （2）证明见详解【分析】（1）利用做差法可得答案；（2）利用基本不等式可得答案．【小问1详解】结论：3322a b ab a b +≥+，当且仅当a b =时，等号成立.证明：()()()()33223232a baba b a ab b a b+-+=-+-()()()()22222a a b b b a a b a b =-+-=+-，因为a ，b 都是正数，所以()()20a b a b +-≥，当且仅当a b =时，等号成立，即3322a b ab a b +≥+，当且仅当a b =时，等号成立；【小问2详解】因为a ，b ，c 都是正数，且1a b +=，所以11111122a b a b b a a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5259b a a b ⎛⎫=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立．19. 【答案】（1）()f x 是奇函数，证明见详解 （2）证明见详解 （3）图像见详解，[]3,3-【分析】（1）根据奇偶性的定义即可求解，（2）根据函数单调性的定义即可求解，（3）根据描点法即可求解.【小问1详解】函数()f x 是奇函数，证明如下：函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称，且()()()2266()11x xf x f x x x ---===--++所以函数()f x 是奇函数．【小问2详解】任取1x ，()20,1x ∈且12x x <则()()()()()()211212122222121261661111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++因为1201x x <<<，所以210x x ->，1210x x -<，即()()()()2112221261011x x x x xx --<++从而()()12f x f x <所以函数()f x 在()0,1上单调递增【小问3详解】由于()()()()11212900,,13,2,32555f f f f f ⎛⎫=====⎪⎝⎭，故描点可得图象为，函数()f x 的值域为：[]3,3-20. 【答案】（1）224098,(N )y x x x *=-+-∈ （2）3（3）方案（2）比较合理，理由见详解【分析】（1）根据题意，即可得到使用x 年后数控机床的盈利额为y 的函数关系式；（2）由（1）中y 与x 之间的函数关系式，令0y >，列出不等式，即可求解；（3）根据题意，求得每种方案的总盈利，比较大小，即可得到结论.【小问1详解】解：由题意，使用过程中所需要的各种支出费用总和t 与使用时间x 之间的函数关系式为2210t x x =+，且该机床每年的生产总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元，可得y 与x 之间的函数关系式()22502109824098,(N )y x x x x x x *=-+-=-+-∈．【小问2详解】解：由（1）知：2*24098,()y x x x =-+-∈N令0y >，可得2240980x x -+->，解得1010x -<<+，因为N x *∈，所以317x ≤≤且N x *∈，故从第3年开始盈利.【小问3详解】解：由（1）知2*24098,()y x x x =-+-∈N 因为22240982(10)102102y x x x =-+-=--+≤，所以按第一方案处理总例如为10212114+=万元；又由98982404024012yx x x x x ⎛⎫=-+-=-+≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当982x x =时，即7x =时，等号成立，所以当第7年时，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12730114⨯+=万元；由于第二方案使用的时间短，则选第二方案较为合理.21. 【答案】（1）{}6,10,15B =（2）7 （3）不存在，理由见解析【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【小问1详解】{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=【小问2详解】设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。

2023北京通州高二（上）期中数 学本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 直线20x y -+=的倾斜角为（ ）A.π4B.π3C.2π3D.3π42. 已知()2,3,1A --，()6,5,3B -，则AB =（ ）A. B. C. D. 123. 已知()2,3,1a =-，()1,3,0b =，()0,0,1c = ，则()a b c ⋅+ 等于（ ）A. -4B. -6C. -7D. -84. 已知圆1C ：222880x y x y +++-=，圆2C ：()()222210x y -+-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含5. 设直线1l ：240ax y +-=，2l ：()120x a y +++=.则“1a =”是“12l l //”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 已知ABCD 为矩形，4,1,AB AD ==点P 在线段CD 上，且满足AP BP ⊥，则满足条件的点P 有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个7. 如图，四面体ABCD 中，AB a=，AC b = ，AD c = ，M 为BD 的中点，N 为CM 的中点，则AN =（ ）A. 111444a b c ++B. 111442a b c ++C. 111222a b c ++ D. 111424a b c ++ 8. 在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，则AM 和CN 夹角的余弦值为（ ）A.23C.13D. 23-9. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，1AA =，60BAD ∠=︒，1145DAA BAA ∠=∠=︒，AC 与BD 相交于点O .则1OA 的长为（ ）B. 2C. D. 10. 过直线1y x =-上一点P 作圆()2252x y -+=的两条切线1l ，2l ，切点分别为A ，B ，当直线1l ，2l 关于1y x =-对称时，线段PA 的长为（ ）A. 4B. D. 2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB 的斜率为_____________.12. 在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，则直线1AA 到平面11BB C C 的距离为_______13. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0AB = ，()0,2,0AC = ，()0,0,2AD = .则CD 与CB的夹角的余弦值为___________；CD 在CB的投影向量a = ___________.14. 若直线y x b =+与曲线y =恰有一个公共点，则实数b 的一个可能取值是_________.15. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈.给出下列四个结论：①所有满足条件的点P 组成的区域面积为1；②当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值；③当1λ=时，点P 到1A B 距离的最小值为1；④当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P .则所有正确结论的序号为__________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 已知直线1:280l x y +-=，直线2:20l x y -+=，设直线1l 与2l 的交点为A ，点P 的坐标为()2,0.（1）求点A 的坐标；（2）求经过点P 且与直线1l 平行的直线方程；（3）求以AP 为直径的圆的方程.17. 已知直线10x y -+=，圆22:420C x y x y m +--+=.（1）若直线与圆相交，求实数m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，设直线与圆交于A ，B 两点.（i ）求线段AB 的垂直平分线的方程；（ii ）若AB =m 的值.18. 如图，在五面体ABCDEF 中，平面ABCD 为正方形，平面ABFE 平面CDEF EF =，AD ED ⊥.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.（1）求证：//CD 平面ABFE ；（2）若1EF ED ==，2CD EF =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面ADE 与平面BCF 夹角的大小.条件①：CD EA ⊥；条件②：CF =.19. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是棱AB ，11B C ，11C D ，1D D 的中点.（1）求证：,,,E F G H 四点共面；（2）求1B D 与平面EFGH 所成角的正弦值；（3）求点1B 到平面EFGH 的距离.20. 已知四边形ABCD 为正方形，O 为AC ，BD 的交点，现将三角形BCD 沿BD 折起到PBD 位置，使得PA AB =，得到三棱锥P ABD -.（1）求证：平面PBD ⊥平面ABD ；（2）棱PB 上是否存在点G ，使平面ADG 与平面ABD ？若存在，求PG GB；若不存在，说明理由.21. 长度为6的线段PQ ，设线段中点为G ，线段PQ 的两个端点P 和Q 分别在x 轴和y 轴上滑动.（1）求点G 的轨迹方程；（2）设点G 的轨迹与x 轴交点分别为A ，B （A 点在左），与y 轴交点分别为C ，D （C 点在上），设H 为第一象限内点G 的轨迹上的动点，直线HB 与直线AD 交于点M ，直线CH 与直线=3y -交于点N .试判断直线MN 与BD 的位置关系，并证明你的结论.参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】A【分析】根据解析式可得直线斜率为1k =，再由倾斜角与斜率之间的关系可得π4θ=.【详解】设直线的倾斜角为θ，将直线20x y -+=化为斜截式可得2y x =+，即直线斜率为1k =；所以tan 1k θ==，又[)0,πθ∈，所以π4θ=.故选：A 2. 【答案】D【分析】由空间向量模长的坐标表示代入计算即可求得结果.【详解】由()2,3,1A --，()6,5,3B -可得()8,8,4AB =-，所以12AB == .故选：D 3. 【答案】B【分析】根据空间向量的坐标运算法则进行运算即可.【详解】因为()2,3,1a =- ，()1,3,0b =，()0,0,1c = ，所以(1,3,1)b c +=，则()21(3)3116a b c ⋅+=⨯+-⨯+⨯=-，故选：B 4. 【答案】C【分析】依题意将圆的一般方程化为标准方程求出两圆圆心和半径，比较圆心距与两半径之差、之和的关系即可得出结论.【详解】根据题意将1C 化为标准方程可得()()221425x y +++=，即圆心()11,4C --，半径15r =；由()()222210x y -+-=可知圆心()22,2C ，半径2r =；此时圆心距为12C C ==，121255r r r r +=+-=-；显然1212122r r C C r r -+<<，即两圆相交.故选：C 5. 【答案】C【分析】求出12l l //时a 的值，即可判定.【详解】因为直线1l ：240ax y +-=，2l ：()120x a y +++=，故12l l //时，有(1)20a a +-=，解得1a =，或者2a =-，当1a =时，1l ：240x y +-=，2l ：220x y ++=，12l l //；当2a =-时，1l ：2240x y -+-=，即20x y -+=，2l ：20x y -+=，则两直线重合，故12l l //时，1a =，则“1a =”是“12l l //”的充要条件，故选：C.6. 【答案】C【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系,设出P 点坐标，算出,AP BP 坐标，由AP BP ⊥得到0AP BP =，构建方程求解即可.【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，可得()()0,0,4,0A B ,因为点P 在线段CD 上，所以可设()(),1,04P t t ≤≤，所以()(),1,4,1AP t BP t ==-,又AP BP ⊥，所以0AP BP =，可得4t =()410t t -+=，解得；2t =±，即满足条件的点P 有2个.故选：C.7. 【答案】D【分析】利用空间向量的线性运算，以,,a b c 为基底表示出向量AN即可.【详解】由题可知AN AM MN +=，由M 为BD 的中点，N 为CM 的中点可得()12AM MN AB AD NC +=++，即()()()111222AN AB AD NC AB AD NA AC a c NA b ++=+++=+=++，即()12AN a c NA b =+++ ，所以()122AN a c b =++，即111424AN a b c =++ .故选：D 8. 【答案】A【分析】根据正四面体性质取BN 的中点为P ，即可知AMP ∠即为异面直线AM 和CN 的夹角的平面角,计算出各边长利用余弦定理即可求得结果.【详解】连接BN ，取BN 的中点为P ，连接,AP MP ，如下图所示：由正四面体的棱长为1可得AM CN BN ===又,M P 分别是,BC BN 的中点，所以//MP CN，且12MP CN ==所以AMP ∠即为异面直线AM 和CN 的夹角的平面角，又易知BN AN ⊥，且12PN BN ==AP ===因此337241616cos 3AMP +-∠==，即AM 和CN 夹角的余弦值为23.故选：A 9. 【答案】B【分析】把111122OA AA AB AD =--两边平方并展开，根据向量数量积的定义计算即可.【详解】因为1111122OA AA AO AA AB AD =-=--,所以221111||22OA AA AB AD =-- 22111111442AA AB AD AA AB AA AD AB AD=++-⋅-⋅+⋅11844444422=++--⨯⨯⨯4=,则12OA =，即1OA 的长为2,故选：B.10. 【答案】C【分析】根据题意画出图形，观察图形可知圆心与点P 的连线垂直于直线1y x =-，利用这一关系即可求得切线段的长.【详解】如图所示，圆心(5,0)C ,连接CP ,因为直线1l ，2l 关于直线1y x =-对称，所以CP 垂直于直线1y x =-，故CP而||AC =,则PA ==,故选：C.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 【答案】2-【详解】由两点间斜率计算公式可得42201k -==--，故答案为2-.12. 【分析】先作出直线1AA 上的点到平面11BB C C 的垂线段，然后利用勾股定理求出垂线段的长度即可.【详解】在正三棱柱111ABC A B C -中，在底面ABC 内作AD BC ⊥，因为平面11BB C C ⊥底面ABC ，平面11BB C C 底面ABC BC =，所以AD ⊥平面11BB C C ，因为11AA CC ∥，1AA ⊄平面11BB C C ，1CC ⊂平面11BB C C ，所以1AA ∥平面11BB C C ，所以AD 即为直线1AA 到平面11BB C C 的距离，因为ABC 为等边三角形，且2AB =，所以直线1AA 到平面11BB C C 的距离为AD ==.13. 【答案】 ①. 12 ②. ()1,1,0-【分析】先根据空间向量的坐标运算求出CD 与CB的坐标，然后由向量夹角的运算公式和投影向量的计算公式即可求出结果.【详解】因为()2,0,0AB =，()0,2,0AC = ，()0,0,2AD = ，所以()0,2,2CD AD AC =-=- ，()2,2,0CB AB AC =-=-，所以1cos ,2CD CB CD CB CD CB 〈〉===，CD 在CB的投影向量为()cos ,1,1,0CB CD CD CB CB〈〉=-.故答案为：12；()1,1,0-.14. 【答案】1-（答案不唯一）【分析】画出图象，结合图象确定一个公共点时的位置，求出相应的b 的值，数形结合可得答案.【详解】曲线y =1的圆的上半部分，如图所示，有图可知，当直线y x b =+在2l 和3l 之间移动或与半圆相切，即处于1l 的位置时，直线与圆恰好有一个公共点，当直线y x b =+在3l 时，经过点(1,0)，所以1b =-，当直线y x b =+在2l 时，经过点()1,0-，所以1b =，1=，所以b =，或者b =（舍），故b =或者11b -≤<.故答案为: 1.-15. 【答案】①②③【分析】对于①，根据条件得点P 在正方形11BCC B 内，即可判断；对于②，点P 在线段11B C 上，从而点P 到平面1A BC 的距离为定值，1A BC S △为定值，从而三棱锥1P A BC -的体积为定值；对于③，点P 在线段1CC 上，当点P 与C 重合时，BP 即为P 到1A B 距离的最小值为1，从而判断；对于④，由题点P 在线段EF 上，当1A B ⊥平面1AB P 时，可得1//AE AB ，与1AE AB A ⋂=矛盾，从而即可判断.【详解】如图所示，对于①，因为1BP BC BB λμ=+ ，[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，所以点P 在正方形11BCC B 内（包括正方形），而正方形11BCC B 的面积为1，故①正确；对于②，1μ=时，1BP BC BB λ=+ ，所以1111,BP BB BC B P BC B C λλλ-=== ,故点P 在线段11B C 上，由题易得11//B C 平面1A BC ,所以11B C 上的点到平面1A BC 的距离都相等，又1112A BC S == 所以三棱锥1P A BC -的体积为定值，故②正确；对于③，1λ=时，1BP BC BB μ=+ ，所以111,BP BC BB CP BB CC μμμ-=== ,所以点P 在线段1CC 上，连接BP ,由题意可得，BC ⊥平面11ABB A ,1A B ⊂平面11ABB A ,1BC A B ⊥,当点P 与C 重合时，BP 即为P 到1A B 距离的最小值为1，故③正确；对于④，当12μ=时，112BP BC BB λ=+，取1BB 的中点E ,1CC 的中点F ,则点P 在线段EF 上，若1A B ⊥平面1AB P ，则AP ⊂平面1AB P ,必有1A B AP ⊥,因为PE ⊥平面11ABB A ，1A B ⊂平面11ABB A ，所以1PE A B ⊥,AP PE P ⋂=,所以1A B ⊥平面APE ，则有1A B AE ⊥,又11A B AB ⊥,所以1//AE AB ,与1AE AB A ⋂=矛盾，故不存在满足题意的点，④错误，故答案为：①②③.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 【答案】（1）()2,4（2）240x y +-=（3）()()22224x y -+-=【分析】（1）解两直线方程构成的方程组即可得解；（2）求出直线1l 的斜率，然后利用点斜式即可求出直线方程；（3）根据中点坐标公式求出圆心坐标，再利用两点距离公式求出半径，进而可得圆的方程.【小问1详解】由28020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得24x y =⎧⎨=⎩，所以直线1l 与2l 的交点为()2,4A .【小问2详解】由1:280l x y +-=得直线1l 的斜率为2-，又点P 的坐标为()2,0，所以经过点P 且与直线1l 平行的直线方程为()22y x =--，即240x y +-=.【小问3详解】因为()2,4A ，()2,0P ，所以AP 的中点坐标为()2,2，22AP=，所以以AP 为直径的圆的方程为()()22224x y -+-=.17. 【答案】（1）(),3-∞（2）（i ）30x y +-= （ii ）52m =【分析】（1）由题意，根据圆心到直线的距离小于半径列式求解即可；（2）（i ）由题意线段AB 的垂直平分线经过圆心，从而可直接求得直线方程；（ii ）由弦长AB =.【小问1详解】由22420x y x y m +--+=得()()22215x y m -+-=-，所以当5m <时，22420x y x y m +--+=表示以()2,1为半径的圆，由于直线10x y -+=与圆相交，所以圆心到直线的距离d =<所以3m <，即实数m 的取值范围为(),3-∞.【小问2详解】（i）由题意，线段AB 的垂直平分线经过圆心()2,1，斜率为1-，所以线段AB 的垂直平分线的方程为()12y x -=--，即30x y +-=.（ii ）由于圆心到直线的距离d ，AB =所以由AB ==解得52m =.18. 【答案】（1）证明见详解（2）选条件①π4；选条件②π4【分析】（1）根据条件知//AB CD ，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直接坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量夹角的余弦值即可求出夹角的大小.【小问1详解】因为在五面体ABCDEF 中，平面ABCD 为正方形，所以//AB CD ,又CD ⊄平面ABFE ，AB ⊂平面ABFE ,故//CD 平面ABFE ；【小问2详解】若选条件①：根据已知条件可得：CD AD ⊥,因为CD EA ⊥，EA AD A ⋂=,EA ⊂平面ADE ,AD ⊂平面ADE ,所以CD ⊥平面ADE ,因为DE ⊂平面ADE ,所以CD DE ⊥,则以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DE 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直接坐标系如下图所示，因为1EF ED ==，22CD EF ==，所以(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,1),D A B C E则(2,0,0)BC =- ,由(1)知，//CD 平面ABFE ，CD ⊂平面CDEF ,又平面ABFE 平面CDEF EF =,所以//CD EF ,所以12EF CD =,所以(0,1,1),F 即(0,1,1)FC =- .因为CD ⊥平面ADE ,所以平面ADE 的法向量为(0,2,0)DC = ,设平面BCF 的法向量为(,,)n x y z = ，则200n BC x n FC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1,y =则(0,1,1)n = ，设平面ADE 与平面BCF 夹角为θ，则cos n DC n DC θ⋅===,又π02θ≤≤，则π,4θ=即平面ADE 与平面BCF 夹角的大小为π.4若选条件②：由(1)知，//CD 平面ABFE ，CD ⊂平面CDEF ,又平面ABFE 平面CDEF EF =,所以//CD EF ,过点F 作//FG ED ,交CD 于点G ,则四边形EFGD 为平行四边形，又1EF ED ==，2CD EF =，则1,1FG ED CG CD DG ===-=,又因为CF =则222CF FG CG =+,故π2FGC ∠=,即CG FG ⊥，则CD DE ⊥,则以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DE 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直接坐标系如下图所示，因为1EF ED ==，22CD EF ==，所以(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,1),D A B C E则(2,0,0)BC =- ,又12EF CD =,所以(0,1,1),F 即(0,1,1)FC =- .因为CD ⊥平面ADE ,所以平面ADE 的法向量为(0,2,0)DC = ,设平面BCF 的法向量为(,,)n x y z = ，则200n BC x n FC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1,y =则(0,1,1)n = ，设平面ADE 与平面BCF 夹角为θ，则cos n DC n DC θ⋅===,又π02θ≤≤，则π,4θ=即平面ADE 与平面BCF 夹角的大小为π.419. 【答案】（1）证明见详解（2）13（3【分析】（1）取1BB 的中点,M 连接,,EM FM HM ，先证,,,H M F G 四点共面，再证,,,H M G E 四点共面，又这两个平面重合，即可证明；（2）以D 为原点，建立空间直角坐标系，求得平面EFGH 的法向量，1DB 与法向量夹角的余弦值的绝对值即为所求；（3）利用点到平面距离的向量表示公式计算即可.【小问1详解】如图，取1BB 的中点,M 连接,,EM FM HM ,因为,,,E F G H 分别是棱AB ，11B C ，11C D ，1D D 的中点，易得11//HM B D ,11//GF B D ,所以//HM GF ,所以,,,H M F G 四点共面，又1111//,//,//EM AB HG DC AB DC ,所以//EM HG ，则,,,H M G E 四点共面，而过不共线的的三点,,H M G 的平面具有唯一性，则平面HMFG 与平面EMGH 重合，故,,,E F G H 四点共面.【小问2详解】以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的的边长为a则()()1,,,0,0,0,0,,0,222a aaB a a a D E a F a a G a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，则1(,,),(,,0),(,0,)22a a DB a a a GF GE a a ===-，设(),,n x y z = 是平面EFGH 的法向量，则00022000aan GFx y x y x z n GE ax az ⎧⎧⋅=+=+=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎪⎩-=⎩，取1x =,则1, 1.y z =-=所以(1,1,1)n =- ，所以1B D 与平面EFGH所成角的正弦值为11111sin ,cos ,3n DB n DB n DB n DB ⋅====⋅ 【小问3详解】由（2）知平面EFGH 的法向量(1,1,1)n =- ，又()11,0,0FB =因为1m FB m ⋅==即1B 到平面EFGH20. 【答案】（1）证明见解析（2）存在满足题意的点G ，且1PGGB =【分析】（1）由平面与平面垂直的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ADG 与平面ABD 的法向量，然后根据求面面角的方法即可列式求解.【小问1详解】因为四边形ABCD 为正方形，所以OA OB OC OD ===，,OC OB OA OB ⊥⊥，所以折起后，OA OB OP OD ===，OP OB ⊥，由于折起前有222OA OB AB +=，且折起后PA AB =，所以折起后有222OA OP PA +=，即OP OA ⊥，又OP OB ⊥，OA OB O = ，,OA OB ⊂平面ABD ，所以OP ⊥平面ABD ，又OP ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABD .【小问2详解】由（1）知OP OB ⊥，OP OA ⊥，OA OB ⊥，所以以O 为原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，以OP 为z 轴建立空间直角坐标系，设1OA =，则()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,1P ，则()1,1,0AD =-- ，()0,1,1PB =- ，()1,0,1AP =- ，假设存在满足题意的点G ，设()()0,,01PG PB λλλλ==-≤< ，则()1,,1AG AP PG λλ=+=-- ，设平面ADG 的法向量为(),,n x y z = ，则·0·0AD n AG n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即()010x y x y z λλ--=⎧⎨-++-=⎩，令1x =，得1y =-，11z λλ+=-，即11,1,1n λλ+⎛⎫=- ⎪-⎝⎭ ，易知平面ABD 的一个法向量为()0,0,1m = ，因为平面ADG 与平面ABD，所以11cos ,n m n m n m λλ+-〈〉=== ，解得12λ=，所以在棱PB 上存在点G ，使平面ADG 与平面ABD，且G 为棱PB 的中点，所以1PG GB=.21. 【答案】（1）229x y +=；（2）//MN BD ，证明见解析.【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OG 的长度，进而判断出G 的轨迹，得到轨迹方程；（2）写出,,,A B C D 四点的坐标，联立直线HB 与直线AD 的方程求出点M 的坐标，联立直线CH 与直线=3y -的方程求出N 的坐标，再利用坐标求出MN k 并与BD k 进行比较即可.【小问1详解】在Rt POQ 中，因为G 是线段PQ 的中点，所以1||||32OG PQ ==，所以G 的轨迹为以O 为圆心，以3为半径的圆，所以G 的轨迹方程为229x y +=.【小问2详解】//MN BD ，证明如下：依题意，下列各点坐标为(3,0),(3,0),(0,3),(0,3)A B C D --，直线AD 的方程为3y x =--.因为H 为第一象限内点G 的轨迹上的动点，故设0000(,)(03,03)H x y x y <<<<，且22009x y +=.设直线HB 的方程为00(3)3y y x x =--，00(3)33y y x x y x ⎧=-⎪-⎨⎪=--⎩ ，解得0000000339363y x x x y y y x y -+⎧=⎪+-⎪⎨-⎪=⎪+-⎩，即00000003396()33y x y M x y x y -+-+-+-，.试题21设直线CH 的方程为0033y y x x -=+，00333y y x x y -⎧=+⎪⎨⎪=-⎩ ，解得00633x x y y -⎧=⎪-⎨⎪=-⎩，即006(3)3x N y ---.所以000000000633339633MN y x y k y x x x y y -++-=-+++-- 0000000000(23)(3)(3)(3)2(3)y x y y y x y x x y -++--=-+-++-20000220000039392x y y x x y y x x --+=-+++200002200000391392(9)x y y x x y y x y --+==+--+-，又03130BD MN k k +===-，所以//MN BD.。

2023-2024学年安徽省皖中联考高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线y ＝﹣cos45°的倾斜角为（ ） A ．0°B ．90°C ．135°D ．不存在2．已知向量a →=(−3，m ，−1)，b →=(n ，−2，1)，若a →∥b →，则（ ） A ．mn ＝1B ．mn ＝﹣1C ．m ﹣n ＝1D ．n ﹣m ＝13．已知A ，B 分别为椭圆E ：x 26+y 2m 2=1(0＜m ＜√6)的左、右顶点，点C 在E 上，若△ABC 是一内角为120°的等腰三角形，则m ＝（ ） A ．√22B ．1C ．√2D ．24．关于圆x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0有四个命题：①点A （1，﹣3）在圆内；②点B （2，3）在圆上；③圆心为（﹣1，0）；④圆的半径为3．若只有一个假命题，则该命题是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④5．如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，若AB ＝2A 1B 1，点M 在BD 1上，且BM ＝3D 1M ，则CM →=（ ）A ．34AA 1→+38AB →−58AD →B ．34AA 1→+34AB →−58AD →C ．34AA 1→−34AB →−58AD →D ．34AA 1→−38AB →+58AD →6．点P （﹣1，2）到直线l ：（m +1）x +（m ﹣2）y +1﹣2m ＝0（m ∈R ）的最大距离为（ ） A ．2√2B ．√5C ．2D ．√27．在如图所示的结构对称的实验装置中，底面框架ABCD 是边长为2的正方形，两等腰三角形框架ADE ，BCF 的腰长均为√3，EF ∥框架ABCD 所在的平面，EF ＝1，活动弹子M ，N 分别在EF ，AC 上移动，M ，N 之间用有弹性的细线连接，且3MF =√2AN 始终成立，则当MN 的长度取得最小值时，MF ＝（ ）A ．12B ．1017C ．2134D ．11178．若圆C 1：x 2+（y ﹣a ）2﹣4x ﹣5＝0与圆C 2：x 2+（y +b ）2﹣4x +3＝0相切，则√a 2+b 2的最小值为（ ）A ．√22B ．√2C ．2D ．2√2二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分） 9．已知A （0，1），B （﹣2，0），C （1，﹣1），则（ ） A ．直线AB 的方程为x ﹣2y +2＝0 B ．点A 到直线BC 的距离为√102C ．△ABC 为等腰直角三角形D ．△ABC 的面积为5 10．已知曲线C ：x 21−m+y 22+m=1为椭圆，则（ ）A ．﹣2＜m ＜1B ．若C 的焦点在x 轴上，则C 的焦距为2√−2m −1C ．若C 的焦点在x 轴上，则C 的短轴长取值范围为(0，√62) D ．若C 的焦点在y 轴上，则C 的离心率为√2m+12+m11．已知圆O ：x 2+y 2＝4内有一点P(1，12)，过点P 的直线l 与圆O 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作圆O 的切线l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点Q ，则（ ）A ．当l 在两坐标轴上截距相等时，l 的方程为2x +2y ﹣3＝0或x ﹣2y ＝0B ．点Q 的轨迹方程为2x +y ﹣8＝0C ．当|OQ |＝4时，点Q 的坐标为(125，165)或（4，0） D ．当|OQ |＝4时，直线l 的方程为3x +4y ﹣5＝0或x ＝112．已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AA 1＝2，点P ，Q 分别满足A 1P →=λAB →+μAD →−AA 1→，λ，μ∈[0，1]，CQ →=m CC 1→，m ∈[0，1]．甲、乙、丙、丁四名同学利用《空间向量与立体几何》这一章的知识对其进行研究，各自得出一个结论： 甲：当m =12时，存在λ，μ，使得A 1P →⊥QP →；乙：当m =12时，存在λ，μ，使得|A 1P →|+|PQ →|=2√3；丙：当m =78时，满足D 1P →⊥A 1Q →的λ，μ的关系为λ＝μ；丁：当m =116时，满足A 1P →⊥QP →的点P 围成区域的面积为π2．其中得出错误结论的同学有（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．小明研究一张坐标纸中四点A （﹣4，m ），B （1，0），C （3，0），D （2，n ）的关系时，发现直线AB 与CD 的方向向量互相垂直，则mn ＝ ．14．两平行直线3x ﹣ay +6＝0与x ﹣2y ﹣3＝0之间的距离为 ．15．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长均相等，∠ACC 1＝2∠A 1AB ＝120°，E ，F 分别为B 1C 1，A 1C 1的中点，则异面直线BE 与CF 所成角的余弦值为 ．16．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过y 轴上的点A 与F 2的直线与C交于点B ，且B 不在线段AF 2上，∠AF 1B ＝90°，2|AF 2|＝3|BF 2|，则C 的离心率为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC 的边AB 上的高所在的直线方程为2x +y ﹣3＝0，角C 的平分线所在的直线方程为x +y ﹣4＝0，E （0，﹣1）为边AC 的中点． （1）求边AB 所在的直线方程； （2）求点B 的坐标．18．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝2，P A ＝3，2PM →=MB →，PN →=ND →，PH →=14PA →．（1）证明：C ，M ，H ，N 四点共面； （2）求点P 到平面MNC 的距离．19．（12分）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为等边三角形，AB ＝2，M ，N 分别为BC ，AC 1的中点． （1）证明：MN ∥平面A 1BC 1；（2）若三棱锥A 1﹣ABC 1的体积为2√33，求平面ABC 1与平面A 1BC 1夹角的余弦值．20．（12分）在一公园内有一如图所示的绿化空地，∠AOB ＝120°，OA ，OB 为两条甬路（宽度忽略不计，均视作直线），在点E 处建一个八角亭，点E 到直线OA 的距离为50√311m ，到直线OB 的距离为(10√3+25√311)m ，过E 再修一条直线型的甬路（宽度忽略不计），与直线OA ，OB 分别交于M ，N 两点，其中OM ＝30m ，现建立如图所示的平面直角坐标系，请解决下面问题： （1）求M ，N 之间两路的长；（2）在△OMN 内部选一点F ，建一个可自动旋转的喷头，喷洒区域是一个以喷头F 为圆心的圆形，喷洒的水不能喷到△OMN 的外面，求喷洒区域的最大面积，并求此时圆F 的方程．21．（12分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠DAB ＝60°，M ，N 分别为BC ，CD 的中点，将△MNC 沿MN 折起，使点C 到点P 的位置，AP =√6． （1）证明：平面APN ⊥平面PMN ；（2）若Q 为线段AB 上一点，求PQ 与平面APM 所成角的正弦值的最大值．22．（12分）已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b2=1(a ＞b ＞0)经过P(3a ，a 2)，Q(−32，−1)两点．（1）求C 的方程；（2）设A 为C 的上顶点，过点B （0，﹣4）且斜率为k 的直线与C 相交于E ，F 两点，且点E 在点F 的下方，点M 在线段EF 上，若∠AMF ＝2∠ABM ，证明：|BE |•|MF |＝|BF |•|EM |．2023-2024学年安徽省皖中联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线y ＝﹣cos45°的倾斜角为（ ） A ．0°B ．90°C ．135°D ．不存在解：因为cos45°=−√22，所以直线y ＝﹣cos45°就是y =−√22，平行于x 轴，因此直线y ＝﹣cos45°的倾斜角为0°． 故选：A ．2．已知向量a →=(−3，m ，−1)，b →=(n ，−2，1)，若a →∥b →，则（ ） A ．mn ＝1B ．mn ＝﹣1C ．m ﹣n ＝1D ．n ﹣m ＝1解：a →=(−3，m ，−1)，b →=(n ，−2，1)， 由a →∥b →，得−3n=m −2=−11，解得m ＝2，n ＝3，所以n ﹣m ＝1． 故选：D ．3．已知A ，B 分别为椭圆E ：x 26+y 2m 2=1(0＜m ＜√6)的左、右顶点，点C 在E 上，若△ABC 是一内角为120°的等腰三角形，则m ＝（ ） A ．√22B ．1C ．√2D ．2解：A ，B 分别为椭圆E ：x 26+y 2m 2=1(0＜m ＜√6)的左、右顶点，点C 在E 上，若△ABC 是一内角为120°的等腰三角形，由椭圆的对称性可知，C 为E 的上或下顶点，且∠ACB ＝120°， 如图所示．不妨设C 为E 的上顶点，所以√6m=tan60°=√3，则m =√2．故选：C ．4．关于圆x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0有四个命题：①点A （1，﹣3）在圆内；②点B （2，3）在圆上；③圆心为（﹣1，0）；④圆的半径为3．若只有一个假命题，则该命题是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④解：若②③正确，则圆的半径r =√(−1−2)2+(3−0)2=3√2，可知圆方程为（x +1）2+y 2＝18， 由（1+1）2+（﹣3）2＜18，可知点A （1，﹣3）在圆内，①正确，而④的结论错误，符合题意； 若③④正确，则圆的方程为（x +1）2+y 2＝9，此时点B （2，3）不在圆上且点A （1，﹣3）在圆外，①②都错误，不合题意；其他两个条件的组合无法确定圆的方程，不能对剩余命题判断真伪，所以只有④是假命题． 故选：D ．5．如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，若AB ＝2A 1B 1，点M 在BD 1上，且BM ＝3D 1M ，则CM →=（ ）A ．34AA 1→+38AB →−58AD →B ．34AA 1→+34AB →−58AD →C ．34AA 1→−34AB →−58AD →D ．34AA 1→−38AB →+58AD →解：BD 1→=AD 1→−AB →=AA 1→+12AD →−AB →， 又因为BM ＝3D 1M ，所以BM →=34BD 1→=34AA 1→+38AD →−34AB →，所以CM →=BM →−BC →=BM →−AD →=34AA 1→+38AD →−34AB →−AD →=34AA 1→−34AB →−58AD →．故选：C ．6．点P （﹣1，2）到直线l ：（m +1）x +（m ﹣2）y +1﹣2m ＝0（m ∈R ）的最大距离为（ ） A ．2√2B ．√5C ．2D ．√2解：直线l 的方程（m +1）x +（m ﹣2）y +1﹣2m ＝0（m ∈R ） 可化为（x +y ﹣2）m +（x ﹣2y +1）＝0，由{x +y −2=0，x −2y +1=0，解得{x =1，y =1，则直线l 恒过定点Q （1，1），所以点P （﹣1，2）到直线l 的最大距离为√(−1−1)2+(2−1)2=√5． 故选：B ．7．在如图所示的结构对称的实验装置中，底面框架ABCD 是边长为2的正方形，两等腰三角形框架ADE ，BCF 的腰长均为√3，EF ∥框架ABCD 所在的平面，EF ＝1，活动弹子M ，N 分别在EF ，AC 上移动，M ，N 之间用有弹性的细线连接，且3MF =√2AN 始终成立，则当MN 的长度取得最小值时，MF ＝（ ）A ．12B ．1017C ．2134D ．1117解：取BC ，AD 的中点分别为H ，G ，连接GH ，与AC 交于点O ， 则GH ⊥BC ，连接FH ，EG ，则FH ⊥BC ，又GH ∩FH ＝H ，所以BC ⊥平面EFHG ，又BC ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面EFHG ．以O 为坐标原点，过O 作平行于AD 的直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，在平面EFHG 内过O 作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系．设MF ＝m （0≤m ≤1），则AN =3√22m ，在等腰三角形BCF 中，FH =√3−1=√2， 易知梯形EFHG 为等腰梯形，过F 作FQ ⊥GH ， 则FQ =√(√2)2−(2−12)2=√72，则M(0，12−m ，√72)，N(1−32m ，32m −1，0)， 则MN →=(1−32m ，52m −32，−√72)，所以|MN →|=√(1−32m)2+(52m −32)2+74=√172m 2−212m +5=√172(m −2134)2+239136， 当m =2134时，|MN →|取得最小值． 故选：C ．8．若圆C 1：x 2+（y ﹣a ）2﹣4x ﹣5＝0与圆C 2：x 2+（y +b ）2﹣4x +3＝0相切，则√a 2+b 2的最小值为（ ）A ．√22B ．√2C ．2D ．2√2解：由题得圆C 1：(x −2)2+(y −a)2=9，圆C 2：（x ﹣2）2+（y +b ）2＝1． 当圆C 1与圆C 2外切时，√(2−2)2+(a +b)2=4，所以（a +b ）2＝16，又a 2+b 2≥2(a+b2)2=8，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立， 所以√a 2+b 2≥2√2；当圆C 1与圆C 2内切时，√(2−2)2+(a +b)2=2，所以（a +b ）2＝4，又a 2+b 2≥2(a+b2)2=2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，所以√a 2+b 2≥√2． 故√a 2+b 2的最小值为√2． 故选：B ．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分） 9．已知A （0，1），B （﹣2，0），C （1，﹣1），则（ ） A ．直线AB 的方程为x ﹣2y +2＝0 B ．点A 到直线BC 的距离为√102C ．△ABC 为等腰直角三角形D ．△ABC 的面积为5解：对于A ：因为A （0，1），B （﹣2，0）， 所以，直线AB 的方程为x −2+y 1=1，整理得x ﹣2y +2＝0，A 项正确；对于B ：因为B （﹣2，0），C （1，﹣1），所以，直线BC 的斜率为k =−1−01−(−2)=−13，所以直线BC 的方程为y =−13(x +2)，即x +3y +2＝0， 则点A 到直线BC 的距离为d =√1+3=√102，B 项正确；对于C ：易知k AB =0−1−2−0=12，k AC =−1−11−0=−2， 则k AB •k AC ＝﹣1，即AB ⊥AC ，所以∠BAC ＝90°，又|AB|=√(0−1)2+(−2−0)2=√5，|AC|=√(−1−1)2+(1−0)2=√5，所以|AB |＝|AC |， 所以△ABC 为等腰直角三角形，C 项正确；对于D ：由上述可知，△ABC 的面积为12×√5×√5=52，D 项错误．故选：ABC ． 10．已知曲线C ：x 21−m+y 22+m=1为椭圆，则（ ）A ．﹣2＜m ＜1B ．若C 的焦点在x 轴上，则C 的焦距为2√−2m −1C ．若C 的焦点在x 轴上，则C 的短轴长取值范围为(0，√62)D ．若C 的焦点在y 轴上，则C 的离心率为√2m+12+m解：对A 选项，由题意可知{1−m ＞02+m ＞01−m ≠2+m，解得−2＜m ＜−12或−12＜m ＜1，故A 选项错误；对B 选项，当C 的焦点在x 轴上时，c =√a 2−b 2=√1−m −(2+m)=√−2m −1，所以C 的焦距为2√−2m −1，故B 选项正确；对C 选项，当C 的焦点在x 轴上时，1﹣m ＞2+m ＞0，所以−2＜m ＜−12，则0＜m +2＜32， 所以0＜2√m +2＜√6，则C 的短轴长的取值范围是(0，√6)，故C 选项错误； 对D 选项，当C 的焦点在y 轴上时，c =√a 2−b 2=√2+m −(1−m)=√2m +1， 所以C 的离心率为e =√2m+1√2+m=√2m+12+m ，故D 选项正确．故选：BD ．11．已知圆O ：x 2+y 2＝4内有一点P(1，12)，过点P 的直线l 与圆O 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作圆O的切线l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点Q ，则（ ）A ．当l 在两坐标轴上截距相等时，l 的方程为2x +2y ﹣3＝0或x ﹣2y ＝0B ．点Q 的轨迹方程为2x +y ﹣8＝0C ．当|OQ |＝4时，点Q 的坐标为(125，165)或（4，0） D ．当|OQ |＝4时，直线l 的方程为3x +4y ﹣5＝0或x ＝1解：当l 过原点时，直线l 的方程为x ﹣2y ＝0，此时AB 为圆O 的一条直径， 过A ，B 分别作圆O 的切线l 1，l 2，则l 1∥l 2，不满足题意，当l 不过原点时，设直线l 的方程为xa+y a=1，将P(1，12)代入解得a =32，此时l 的方程为2x +2y ﹣3＝0，A 项错误； 设Q （x 0，y 0），连接OA ，OB ，则OA ⊥AQ ，OB ⊥BQ ， 所以以OQ 为直径的圆的方程为x （x ﹣x 0）+y （y ﹣y 0）＝0，即x 2+y 2﹣x 0x ﹣y 0y ＝0，与x 2+y 2＝4相减得直线l 的方程为x 0x +y 0y ﹣4＝0， 又P(1，12)在直线l 上，则x 0+12y 0−4=0，所以2x 0+y 0﹣8＝0， 因此点Q 的轨迹方程为2x +y ﹣8＝0，B 项正确； 当|OQ |＝4时，点Q 在圆x 2+y 2＝16上，联立{x 2+y 2=162x +y −8=0，解得x =125或x ＝4，所以点Q 的坐标为(125，165)或（4，0），C 项正确；设AB 与OQ 的交点为D ，由图可知△AOD ～△QOA ，所以|OA||OQ|=|OD||OA|，即|OA |2＝|OQ |•|OD |，所以|OD |＝1， 当直线l 的斜率不存在时，x ＝1满足题意， 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y −12=k(x −1)， 即kx −y +12−k =0，由|12−k|√k 2+1=1，得k =−34，所以直线l 的方程为3x +4y ﹣5＝0，D 项正确． 故选：BCD ．12．已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AA 1＝2，点P ，Q 分别满足A 1P →=λAB →+μAD →−AA 1→，λ，μ∈[0，1]，CQ →=m CC 1→，m ∈[0，1]．甲、乙、丙、丁四名同学利用《空间向量与立体几何》这一章的知识对其进行研究，各自得出一个结论： 甲：当m =12时，存在λ，μ，使得A 1P →⊥QP →；乙：当m =12时，存在λ，μ，使得|A 1P →|+|PQ →|=2√3；丙：当m =78时，满足D 1P →⊥A 1Q →的λ，μ的关系为λ＝μ；丁：当m =116时，满足A 1P →⊥QP →的点P 围成区域的面积为π2．其中得出错误结论的同学有（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解：以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系．由A 1P →=λAB →+μAD →−AA 1→=AP →−AA 1→，λ，μ∈[0，1]，得AP →=λAB →+μAD →，λ，μ∈[0，1]，所以点P 为底面ABCD 内一点（包含边界）， 则A 1（0，0，2），Q （1，1，2m ），D 1（0，1，2）， 设P （x ，y ，0）（0≤x ≤1，0≤y ≤1）．对于甲同学，当m =12时，Q(1，1，1)，A 1P →=(x ，y ，−2)，QP →=(x −1，y −1，−1)， 若A 1P →⊥QP →，故得(x −12)2+(y −12)2=−32，显然方程无解，则点P 不存在，所以不存在λ，μ，使得A 1P →⊥QP →，故甲说法错误；对于乙同学，当m =12时，Q （1，1，1），点A 1关于平面ABCD 的对称点为A '，则A '（0，0，﹣2），连接A 'Q ，A 'P ， 则A 'P ＝A 1P ，所以|A 1P →|+|PQ →|=A′P +PQ ≥|A′Q →|=√11，所以存在点P ，使得|A 1P →|+|PQ →|=2√3，所以存在λ，μ，使得|A 1P →|+|PQ →|=2√3，故乙说法正确；对于丙同学，当m =78时，Q(1，1，74)，D 1P →=(x ，y −1，−2)，A 1Q →=(1，1，−14)由D 1P →⊥A 1Q →，得x +y −1+(−2)×(−14)=0，即x +y =12(0≤x ≤1，0≤y ≤1)， 所以点P 的轨迹为△ABD 中平行于边BD 的中位线，当P 为该中位线的中点时，λ＝μ， 当P 不为该中位线的中点时，λ≠μ，故丙说法错误；对于丁同学，当m =116时，Q(1，1，18)，A 1P →=(x ，y ，−2)，QP →=(x −1，y −1，−18)，由A 1P →⊥QP →，整理得(x −12)2+(y −12)2=14，所以点P 的轨迹为正方形ABCD 的内切圆，其区域的面积为(12)2π=14π，故丁说法错误．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．小明研究一张坐标纸中四点A （﹣4，m ），B （1，0），C （3，0），D （2，n ）的关系时，发现直线AB 与CD 的方向向量互相垂直，则mn ＝ ﹣5 ．解：由于四点A （﹣4，m ），B （1，0），C （3，0），D （2，n ）的关系时， 直线AB 与CD 的方向向量互相垂直， 由题意可知m−0−4−1⋅0−n3−2=−1，整理得mn ＝﹣5． 故答案为：﹣5．14．两平行直线3x ﹣ay +6＝0与x ﹣2y ﹣3＝0之间的距离为 √5 ． 解：由两直线3x ﹣ay +6＝0与x ﹣2y ﹣3＝0平行可知a ＝6， 所以直线3x ﹣6y +6＝0，即x ﹣2y +2＝0， 所以两直线之间的距离d =|2−(−3)|√1+(−2)=√5．故答案为：√5．15．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长均相等，∠ACC 1＝2∠A 1AB ＝120°，E ，F 分别为B 1C 1，A 1C 1的中点，则异面直线BE 与CF 所成角的余弦值为√156．解：设三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长均为1，AB →=a →，AC →=b →，AA 1→=c →， 由∠ACC 1＝2∠A 1AB ＝120°，得∠A 1AC ＝∠A 1AB ＝60°， ∴a →⋅b →=1×1×cos60°=12，b →⋅c →=12，a →⋅c →=12，又CF →=c →−12b →，BE →=BB 1→+B 1E →=BB 1→+12BC →=BB 1→+12(AC →−AB →)=c →+12(b →−a →)， ∴BE →⋅CF →=[c →+12(b →−a →)]•(c →−12b →)=c →2−12a →⋅c →−14b →2+14a →⋅b →=58，又|CF →|=√(c →−12b →)2=√32，|BE →|=√[c →+12(b →−a →)]2=√52，∴cos ＜BE →，CF →＞=BE →⋅CF→|BE →|⋅|CF →|=√156，故异面直线BE 与CF 所成角的余弦值为√156． 16．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过y 轴上的点A 与F 2的直线与C交于点B ，且B 不在线段AF 2上，∠AF 1B ＝90°，2|AF 2|＝3|BF 2|，则C 的离心率为 √55． 解：如图，设|BF 2|＝2m ， 则|AF 2|＝3m ．由椭圆的定义可知|BF 1|＝2a ﹣2m ，因为点A 在y 轴上，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点， 所以|AF 1|＝|AF 2|＝3m ， 由∠AF 1B ＝90°，得（2a ﹣2m ）2+（3m ）2＝（5m ）2， 则2a ﹣2m ＝4m ，所以a ＝3m ，由cos ∠AF 2F 1＝﹣cos ∠BF 2F 1， 得c 3m=−4c 2+4m 2−16m 22×2c×2m，整理得9m 2＝5c 2， 则m =√53c ，所以a =3m =√5c ， 故e =c a =√55． 故答案为：√55．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC 的边AB 上的高所在的直线方程为2x +y ﹣3＝0，角C 的平分线所在的直线方程为x +y ﹣4＝0，E （0，﹣1）为边AC 的中点． （1）求边AB 所在的直线方程； （2）求点B 的坐标．解：（1）由{2x +y −3=0x +y −4=0，解得{x =−1y =5；所以点C 的坐标为（﹣1，5），又E （0，﹣1）为边AC 的中点，所以A （1，﹣7）， 又边AB 上的高所在的直线方程为2x +y ﹣3＝0， 其斜率为﹣2，所以直线AB 的斜率为12，所以边AB 所在的直线方程为y +7=12(x −1)， 即x ﹣2y ﹣15＝0．（2）设A （1，﹣7）关于直线方程x +y ﹣4＝0对称的点为A 1（a ，b ），则{b+7a−1⋅(−1)=−1a+12+b−72−4=0，解得a ＝11，b ＝3，则A 1（11，3），又角C 的平分线所在的直线方程为x +y ﹣4＝0， 所以点A 1在直线BC 上， 所以直线BC 的方程为y−35−3=x−11−1−11，即x +6y ﹣29＝0，联立{x −2y −15=0x +6y −29=0，解得{x =372y =74；故点B 的坐标为(372，74)． 18．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝2，P A ＝3，2PM →=MB →，PN →=ND →，PH →=14PA →．（1）证明：C ，M ，H ，N 四点共面； （2）求点P 到平面MNC 的距离．（1）证明：因为P A ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥AD ，P A ⊥AB ，又四边形ABCD 为正方形，所以AB ⊥AD ．建立如图的空间直角坐标系A ﹣xyz ，可得A （0，0，0），C （2，2，0），P （0，0，3）， 由2PM →=MB →，PN →=ND →，PH →=14PA →， 得PM PB=13，PN PD =12，PH PA=14，则H （0，0，94），M （23，0，2），N （0，1，32），所以CH →=(−2，−2，94)，CM →=(−43，−2，2)，CN →=(−2，−1，32)，设CH →=λCM →+μCN →，则{ −2=−43λ−2μ−2=−2λ−μ94=2λ+32μ，解得λ=34，μ=12，所以CH →=34CM →+12CN →，故C ，M ，H ，N 四点共面．（2）解：设平面MNC 的法向量为m →=(a ，b ，c)， 由{CM →⋅m →=0CN →⋅n →=0，可得{−43a −2b +2c =0−2a −b +32c =0，取a ＝3，则m →=(3，6，8)，由H （0，0，94），P （0，0，3），可得HP →=(0，0，34)，所以点P 到平面MNC 的距离d =|HP →⋅m →||m →|=|8×34|√3+6+8=6√109109．19．（12分）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为等边三角形，AB ＝2，M ，N 分别为BC ，AC 1的中点． （1）证明：MN ∥平面A 1BC 1； （2）若三棱锥A 1﹣ABC 1的体积为2√33，求平面ABC 1与平面A 1BC 1夹角的余弦值．解：（1）证明：连接AM ，则AM ⊥BC ，以M 为坐标原点，MA ，MB 所在直线分别为x ，y 轴，以过M 与BB 1平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝a ，则M(0，0，0)，B(0，1，0)，A 1(√3，0，a)，N(√32，−12，12a)，因为MN →=(√32，−12，12a)，BA 1→=(√3，−1，a)，所以MN →=12BA 1→，所以MN ∥A 1B ， 因为MN ⊄平面A 1BC 1，A 1B ⊂平面A 1BC 1， 所以MN ∥平面A 1BC 1．（2）过点C 1作C 1D ⊥A 1B 1，垂足为D ，易知C 1D =√3， 因为平面A 1B 1C 1⊥平面ABB 1A 1， 所以C 1D ⊥平面ABB 1A 1，由V 三棱锥A 1−ABC 1=V 三棱锥C 1−ABA 1，得13×12AA 1×AB ×C 1D =2√33， 即13×12AA 1×2×√3=2√33，所以AA 1＝2， 则C 1(0，−1，2)，A(√3，0，0)，AC 1→=(−√3，−1，2)，BC 1→=(0，−2，2)，A 1C 1→=(−√3，−1，0)．设平面ABC 1的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)， 由{AC 1→⋅m →=−√3x 1−y 1+2z 1=0BC 1→⋅m →=−2y 1+2z 1=0，令y 1＝1，得m →=(√33，1，1)，设平面A 1BC 1的法向量为n →=(x 2，y 2，z 2)，由{A 1C 1→⋅n →=−√3x 2−y 2=0BC 1→⋅n →=−2y 2+2z 2=0，令y 2＝1，则n →=(−√33，1，1)，所以cos〈m →，n →〉=−13+1+173=57，故平面ABC 1与平面A 1BC 1夹角的余弦值为57．20．（12分）在一公园内有一如图所示的绿化空地，∠AOB ＝120°，OA ，OB 为两条甬路（宽度忽略不计，均视作直线），在点E 处建一个八角亭，点E 到直线OA 的距离为50√311m ，到直线OB 的距离为(10√3+25√311)m ，过E 再修一条直线型的甬路（宽度忽略不计），与直线OA ，OB 分别交于M ，N 两点，其中OM ＝30m ，现建立如图所示的平面直角坐标系，请解决下面问题： （1）求M ，N 之间两路的长；（2）在△OMN 内部选一点F ，建一个可自动旋转的喷头，喷洒区域是一个以喷头F 为圆心的圆形，喷洒的水不能喷到△OMN 的外面，求喷洒区域的最大面积，并求此时圆F 的方程．解：（1）因为∠AOB ＝120°，且直线OB 的斜率为tan120°=−√3， 所以直线OB 的方程为y =−√3x ， 由点E 到直线OA 的距离为50√311m ，设点E （a ，50√311），a ＞0， 由题意知|√3a+50√311|√3+1=√3a+50√3112=10√3+25√311，解得a ＝20，所以E(20，50√311)，又M （30，0），则直线ME 的斜率为k ME =−5√311， 所以MN 的方程为y =−5√311(x −30)， 由{y =−√3x y =−5√311(x −30)，解得{x =−25y =25√3； 所以点N(−25，25√3)，所以M ，N 之间甬路的长为|MN |=√(30+25)2+(0−25√3)2=70m ． （2）由（1）知，|ON|=√(−25)2+(25√3)2=50， 当喷洒区域面积最大时，圆F 与直线OA ，OB ，MN 均相切，易知△OMN 的内切圆F 的圆心在∠AOB 的平分线上， 即在直线y =√3x 上，设圆心F(a ，√3a)(a ＞0)，则半径r =√3a ， 由12|OM|×|ON|sin120°=12(|OM|+|ON|+|MN|)×√3a ，得12×30×50×√32=12×(30+50+70)×√3a ，解得a ＝5，因此喷洒区域的最大面积S ＝πr 2＝75πm 2． 所以圆心F(5，5√3)，半径r =5√3，所以圆F 的方程为(x −5)2+(y −5√3)2=75．21．（12分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠DAB ＝60°，M ，N 分别为BC ，CD 的中点，将△MNC 沿MN 折起，使点C 到点P 的位置，AP =√6． （1）证明：平面APN ⊥平面PMN ；（2）若Q 为线段AB 上一点，求PQ 与平面APM 所成角的正弦值的最大值．（1）证明：连接AC ，BD ，AC 与MN 交于点O ，连接OP ， 则AC ⊥BD ，又M ，N 分别为BC ，CD 的中点，所以MN ∥BD ， 则AC ⊥MN ，因为MN ⊥OA ，MN ⊥OP ，OA ∩OP ＝O ， 所以MN ⊥平面APO ，又AP ⊂平面APO ，所以MN ⊥AP ， 在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠DAB ＝60°，则在△ADN 中，由余弦定理得AN =√AD 2+DN 2−2AD ⋅DNcos120°=√4+1−2×2×1×(−12)=√7，因为PN ＝CN ＝1，所以AP 2+PN 2＝AN 2， 则AP ⊥PN ，又PN ∩MN ＝N ，所以AP ⊥平面PMN ，因为AP ⊂平面APN ，所以平面APN ⊥平面PMN ．（2）解：以O 为原点，以OA ，OM 所在直线分别为x ，y 轴，过O 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(3√32，0，0)，B(√32，1，0)，M(0，12，0)． 由（1）可知，平面APO ⊥平面ABCD ，易知P(√36，0，√63) 所以AM →=(−3√32，12，0)，AP →=(−4√33，0，√63)，AB →=(−√3，1，0)． 设平面APM 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则{AM →⋅m →=0，AP →⋅m →=0，即{−3√32x +12y =0，−4√33x +√63z =0， 令x ＝1，则m →=(1，3√3，2√2)．设AQ →=λAB →=(−√3λ，λ，0)(0≤λ≤1)，则PQ →=AQ →−AP →=(4√33−√3λ，λ，−√63)， 设PQ 与平面APM 所成角为θ，显然当λ＝0时，sin θ＝0，不满足题意，所以0＜λ≤1，所以1λ≥1， 所以sin θ＝|cos ＜PQ →，m →＞|=2√3λ6√4λ−8λ+6=√33√6(1λ−23)2+43， 所以当1λ=1，即λ＝1时，sin θ取得最大值为√66． 22．（12分）已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)经过P(3a ，a 2)，Q(−32，−1)两点． （1）求C 的方程； （2）设A 为C 的上顶点，过点B （0，﹣4）且斜率为k 的直线与C 相交于E ，F 两点，且点E 在点F的下方，点M 在线段EF 上，若∠AMF ＝2∠ABM ，证明：|BE |•|MF |＝|BF |•|EM |． 解：（1）因为椭圆C 经过P(3a ，a 2)，Q(−32，−1)两点，所以{14+9a 2b 2=11a 2+94b 2=1， 解得a 2＝4，b 2＝3或a 2=43，b 2=9（舍去），则C 的方程为y 24+x 23=1；（2）证明：由（1）知A （0，2），不妨设直线EF 的方程为y ＝kx ﹣4，E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），M （x 0，y 0），联立{y 24+x 23=1y =kx −4，消去y 并整理得（3k 2+4）x 2﹣24kx +36＝0，此时Δ＝（﹣24k ）2﹣4（3k 2+4）•36＝144（k 2﹣4）＞0，解得k 2＞4，由韦达定理得x 1+x 2=24k3k 2+4，x 1x 2=363k 2+4，因为∠AMF ＝2∠ABM ，所以2∠ABM ＝∠ABM +∠BAM ，即∠ABM ＝∠BAM ，则|AM |＝|BM |，所以点M 在线段AB 的垂直平分线y ＝﹣1上，此时y 0＝﹣1．易知|BE||BF|=x 1x 2， 不妨设EM →=λMF →，可得（x 0﹣x 1，y 0﹣y 1）＝λ（x 2﹣x 0，y 2﹣y 0），即x 0﹣x 1＝λ（x 2﹣x 0），①因为点M （x 0，y 0）在直线EF 上，所以y 0＝kx 0﹣4，则x 0=3k =7224k =2×363k 2+424k 3k 2+4=2x 1x2x 1+x 2，所以x 0（x 1+x 2）＝2x 1x 2， 即x 2x 0﹣x 1x 2＝x 1x 2﹣x 1x 0， 整理得x 0−x 1=x1x 2(x 2−x 0)，②联立①②，可得λ=x1x 2， 所以EM →=x1x 2MF →， 可得|EM||MF|=x 1x 2，则|BE||BF|=x 1x 2=|EM||MF|， 故|BE |•|MF |＝|BF |•|EM |．。

上海市松江二中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、单选题13．已知平面a ，直线l、m ，若m a Ì，则“//l m ”是“//l a ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．球的两个平行截面面积分别为5π和8π，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．615．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，“20250a =”是“()40494049,n n S Sn n *-=<ÎN ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．已知正方体1111ABCD A B C D -是一个棱长为2的正方体容器，E ，F 分别为AB ，BC的中点，下列选项中正确的是（ ）1．Ì【分析】由线面位置关系直接可得答案.【详解】由已知A l Î，B l Î，且A a Î，B a Î，则直线l 与a 有无数个公共点，即直线l a Ì，故答案为：Ì.2．128【分析】由地推公式得出数列是等比数列，由等比数列的通项公式得到8a 的值.【详解】∵12n n a a +=，∴数列{}na 是首项为1，公比为2的等比数列，∴77812128a a q ===.故答案为：128.3．1【分析】根据//a b ，可得两平面的法向量共线，再根据空间向量的共线定理即可得解.【详解】因为//a b ，所以两平面的法向量共线，所以存在唯一实数l ，使得()()2,4,21,2,k l -=--，11()(22AB AC AB AC é+-+êëuuur uuu r uuu r uuu 111222AB AC AD -++=-uuu r uuu r uuu r 故答案为：111222a b -++r r设(14)BF x x =<£，则4CF x =-11144422222DEF x =´-´´-´´-V 在DSF V 中，4,DS SF x ==，DF数学归纳法求证.。

一、选择题（每题5分，共30分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，那么f(2)的值为（）A. -1B. 1C. 3D. 52. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于直线y=x的对称点为（）A. (3,2)B. (2,3)C. (3,3)D. (2,2)3. 已知等差数列{an}的公差为d，且a1 + a5 = 12，a3 = 6，则d的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 64. 若a、b、c是等比数列，且a + b + c = 21，a + c = 18，则b的值为（）A. 3B. 6C. 9D. 125. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为（）A. 60°B. 45°C. 75°D. 30°二、填空题（每题5分，共25分）6. 已知等差数列{an}的公差为d，且a1 = 3，a5 = 15，则d = __________。

7. 函数f(x) = x^2 - 2x - 3在区间[-1, 3]上的最大值为 __________。

8. 在△ABC中，若∠A = 30°，∠B = 75°，则∠C = __________。

9. 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，若a1 + a2 + a3 = 27，a1 + a2 = 15，则a1 = __________。

10. 函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|的零点为 __________。

三、解答题（每题10分，共40分）11. （10分）已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且f(1) = 2，f(2) = 4，f(3) = 6，求函数f(x)的解析式。

12. （10分）已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a1 + a5 = 12，a3 = 6，求该数列的通项公式。

2023-2024学年山东省青岛二中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线y ＝2x +1关于x 轴对称的直线方程为（ ） A ．y =12x −1B ．y =12x +1C ．y ＝﹣2x +1D ．y ＝﹣2x ﹣12．两条平行直线l 1：3x +4y ﹣5＝0与l 2：6x +8y ﹣5＝0之间的距离是（ ） A ．0 B ．12C ．1D ．323．若椭圆x 23+y 24=1的长轴端点与双曲线y 22−x 2m=1的焦点重合，则m 的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．﹣2D ．24．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√5，C 的一条渐近线与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于A ，B 两点，则|AB |＝（ ） A ．√55B ．2√55C ．3√55D ．4√555．如果直线y =−√33x +m 曲线y =√1−x 2有两个不同的公共点，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．[1，2√33）B ．[√33，2√33）C ．（−√33，2√33] D ．（−2√33，2√33） 6．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （3，0），过点F 且斜率为12的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（ ） A ．x 245+y 236=1 B ．x 236+y 227=1C ．x 227+y 218=1D ．x 218+y 29=17．已知直线l ：y =kx +18与抛物线y ＝2x 2相交于A ，B 两点，若|AF |＝1，则|AB |＝（ ） A ．2 B ．87C ．98D ．328．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上的动点，I 和G 分别是△PF 1F 2的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．√33C ．√32D ．√63二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知方程C ：x 216+k −y 29−k =1(k ∈R)，则下列说法中正确的有（ ） A ．方程C 可表示圆B ．当k ＞9时，方程C 表示焦点在x 轴上的椭圆C ．当﹣16＜k ＜9时，方程C 表示焦点在x 轴上的双曲线D ．当方程C 表示椭圆或双曲线时，焦距均为1010．已知圆C 1：x 2+y 2＝9与圆C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16，下列说法正确的是（ ） A ．C 1与C 2的公切线恰有4条B ．C 1与C 2相交弦的方程为3x +4y ﹣9＝0 C ．C 1与C 2相交弦的弦长为245D ．若P ，Q 分别是圆C 1，C 2上的动点，则|PQ |max ＝1211．已知双曲线x 2−y 22=1的左右顶点为A 1，A 2，左右焦点为F 1，F 2，直线l 与双曲线的左右两支分别交于P ，Q 两点，则（ ）A ．若∠F 1PF 2=π3，则△PF 1F 2的面积为2√3B ．直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于M ，N 两点，则|PM |＝|NQ |C ．若P A 1的斜率的范围为[﹣8，﹣4]，则P A 2的斜率的范围为[−12，−14] D ．存在直线l 的方程为2x ﹣y ﹣1＝0，使得弦PQ 的中点坐标为（1，1）12．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，与y 轴交于点E ，过点P 作抛物线的切线与准线交于点M ，连接QM ，若PQ →=3QE →，则（ ） A ．k MP •k MQ ＝﹣1 B ．PF →=2FQ →C ．∠MFQ 为钝角D ．S △POQ ：S △PMQ ＝4：9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．抛物线y ＝﹣6x 2的准线方程为 ．14．若直线y ＝kx +1与圆x 2+y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ =π2（其中O 为原点），则k 的值为 ． 15．一动圆C 与圆C 1：x 2+y 2+4y +3＝0外切，同时与圆C 2：x 2+y 2﹣4y ﹣77＝0内切，则动圆C 圆心的轨迹方程为 ． 16．如图，过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）引圆x 2+y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，若|MO |﹣|MT |＝2a ﹣c ，则双曲线的离心率为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点的坐标为A （2，1），B （4，7），C （﹣4，3），求： （1）求△ABC 的面积；（2）求△ABC 的外接圆的标准方程．18．（12分）已知直线x ﹣my ﹣4＝0和圆O ：x 2+y 2＝5，且直线和圆交于A ，B 两点． （1）当m 为何值时，截得的弦长为4； （2）若OA →⋅QB →≤0，求m 的取值范围．19．（12分）已知O 为坐标原点，A （1，0），B （﹣1，0），直线AM ，BM 的斜率之积为4，记动点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）直线l 经过点（0，﹣2），与E 交于P ，Q 两点，线段PQ 中点D 在第一象限，且纵坐标为2，求|PQ |．20．（12分）已知动圆C 过定点D （2，0），且截y 轴所得弦长为4． （1）求动圆圆心的轨迹T 的方程；（2）过点T （0，1）的直线L 与轨迹T 交于A ，B 两点，若F 为轨迹T 的焦点，且满足k F A +k FB ＝1，求|TA |•|TB |的值．21．（12分）椭圆C 与双曲线2x 2﹣2y 2＝1有相同的焦点，且过(1，32)． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，当动点M 在定直线x ＝4上运动时，直线AM ，BM 分别交椭圆于两点P ，Q ．（i ）证明：点B 在以PQ 为直径的圆内； （ii ）求四边形APBQ 面积的最大值．22．（12分）已知点（2，3）在双曲线C ：x 2a 2−y 2a 2+2=1上． （1）双曲线上动点Q 处的切线交C 的两条渐近线于A ，B 两点，其中O 为坐标原点，求证：△AOB 的面积S 是定值；（2）已知点P(12，1)，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上取异于点M 、N 的点H ，满足|PM||PN|=|MH||HN|，证明：点H 恒在一条定直线上．2023-2024学年山东省青岛二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线y ＝2x +1关于x 轴对称的直线方程为（ ） A ．y =12x −1B ．y =12x +1C ．y ＝﹣2x +1D ．y ＝﹣2x ﹣1解：∵关于x 轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴直线y ＝2x +1关于x 轴对称的直线的函数表达式是﹣y ＝2x +1，即y ＝﹣2x ﹣1． 故选：D ．2．两条平行直线l 1：3x +4y ﹣5＝0与l 2：6x +8y ﹣5＝0之间的距离是（ ） A ．0B ．12C ．1D ．32解：3x +4y ﹣5＝0，即6x +8y ﹣10＝0，故这两平行线l 1：3x +4y ﹣5＝0与l 2：6x +8y ﹣5＝0之间的距离为√62+82=12．故选：B ． 3．若椭圆x 23+y 24=1的长轴端点与双曲线y 22−x 2m=1的焦点重合，则m 的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．﹣2D ．2解：椭圆x 23+y 24=1的长轴端点为（0，2），（0，﹣2），所以双曲线的焦点为（0，2），（0，﹣2）， 所以2+m ＝4，所以m ＝2． 故选：D ． 4．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√5，C 的一条渐近线与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于A ，B 两点，则|AB |＝（ ） A ．√55B ．2√55C ．3√55D ．4√55解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√5，可得c =√5a ，所以b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝±2x ，一条渐近线与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于A ，B 两点，圆的圆心（2，3），半径为1，圆的圆心到直线y ＝2x 的距离为：√1+4=√5，所以|AB |＝2√1−15=4√55． 故选：D ． 5．如果直线y =−√33x +m 曲线y =√1−x 2有两个不同的公共点，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．[1，2√33） B ．[√33，2√33）C ．（−√33，2√33]D ．（−2√33，2√33）解：由y =√1−x 2可得：x 2+y 2＝1，（y ≥0），则该曲线为以原点为圆心，以1为半径的x 轴上方的半圆， 直线和曲线的图象如图所示： 当直线与圆相切于点C 1+(−√33)=1，解得m =2√33， 当直线与半圆相交于AB 两点时，把A （1，0）代入直线方程可得：m =√33， 则由数形结合可得直线与曲线有两个不同的交点时，m 的取值范围为：[√33，2√33）， 故选：B ．6．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （3，0），过点F 且斜率为12的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（ ） A ．x 245+y 236=1 B ．x 236+y 227=1C ．x 227+y 218=1D ．x 218+y 29=1解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则代入椭圆方程，两式相减可得(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0，∵线段AB 的中点坐标为（1，﹣1），∴y 1−y 2x 1−x 2=b 2a 2，∵直线的斜率为12， ∴b 2a 2=12，∵右焦点为F （3，0）， ∴a 2﹣b 2＝9， ∴a 2＝18，b 2＝9， ∴椭圆方程为：x 218+y 29=1．故选：D ．7．已知直线l ：y =kx +18与抛物线y ＝2x 2相交于A ，B 两点，若|AF |＝1，则|AB |＝（ ） A ．2B ．87C ．98D ．32解：由抛物线y ＝2x 2方程可知p =14， 因为直线过抛物线的焦点F ， 当k ＝0时，直线方程为y =18， 则|AF|=p =14不满足题意， 即k ≠0， 联立{y =kx +18y =2x2，消x 可得：2y 2−(12+k 2)y +132=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=1+2k 24，y 1y 2=164，由抛物线的定义可得：1|AF|+1|BF|=1y 1+18+1y 2+18=y 1+y 2+14y 1y 2+18(y 1+y 2)+164=1+2k 24+1418×1+2k 24+132=8，因为|AF |＝1， 所以|BF|=17，所以|AB|=|AF|+|BF|=1+17=87． 故选：B ．8．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上的动点，I 和G 分别是△PF 1F 2的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．√33C ．√32 D ．√63解：如图，设P （m ，n ）（m ＞0，n ＞0），则G （m 3，n3），因为IG 与x 轴平行，所以I 的纵坐标为n3，即△PF 1F 2的内切圆的半径r =n 3，则S △PF 1F 2=12⋅2c ⋅n =12(2a +2c)⋅n3， 所以3c ＝a +c ， ∴e =c a =12， 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知方程C ：x 216+k −y 29−k=1(k ∈R)，则下列说法中正确的有（ ）A ．方程C 可表示圆B ．当k ＞9时，方程C 表示焦点在x 轴上的椭圆C ．当﹣16＜k ＜9时，方程C 表示焦点在x 轴上的双曲线D ．当方程C 表示椭圆或双曲线时，焦距均为10 解：方程C ：x 216+k −y 29−k=1(k ∈R)， 对于A ，当方程C 可表示圆时，16+k ＝k ﹣9＞0，无解，故A 错误； 对于B ，当k ＞9时，x 216+k−y 29−k=x 216+k+y 2k−9=1，16+k ＞k ﹣9，表示焦点在x 轴上的椭圆，故B正确；对于C ，当﹣16＜k ＜9时.x 216+k−y 29−k=1，16+k ＞0，9﹣k ＞0，表示焦点在x 轴上的双曲线，故C 正确；对于D ，当方程C 表示双曲线时，c 2＝16+k +9﹣k ＝25；当方程C 表示椭圆时，c 2＝16+k ﹣（k ﹣9）＝25，所以焦距均为10，故D 正确． 故选：BCD ．10．已知圆C 1：x 2+y 2＝9与圆C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16，下列说法正确的是（ ） A ．C 1与C 2的公切线恰有4条B ．C 1与C 2相交弦的方程为3x +4y ﹣9＝0 C ．C 1与C 2相交弦的弦长为245D ．若P ，Q 分别是圆C 1，C 2上的动点，则|PQ |max ＝12解：由已知得圆C 1的圆心C 1（0，0），半径r 1＝3，圆C 2的圆心C 2（3，4），半径r 2＝4，|C 1C 2|=√(3−0)2+(4−0)2=5，r 2−r 1＜d ＜r 1+r 2，故两圆相交，所以C 1与C 2的公切线恰有2条，故A 错误； 两圆方程相减可得C 1与C 2相交弦的方程为3x +4y ﹣9＝0， 所以C 1到相交弦的距离为95，故相交弦的弦长为2√9−(95)2=245，故B ，C 正确；．若P ，Q 分别是圆C 1，C 2上的动点，则|PQ |max ＝|C 1C 2|+r 1+r 2＝12，故D 正确． 故选：BCD ．11．已知双曲线x 2−y 22=1的左右顶点为A 1，A 2，左右焦点为F 1，F 2，直线l 与双曲线的左右两支分别交于P ，Q 两点，则（ ）A ．若∠F 1PF 2=π3，则△PF 1F 2的面积为2√3B ．直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于M ，N 两点，则|PM |＝|NQ |C ．若P A 1的斜率的范围为[﹣8，﹣4]，则P A 2的斜率的范围为[−12，−14] D ．存在直线l 的方程为2x ﹣y ﹣1＝0，使得弦PQ 的中点坐标为（1，1）解：双曲线x 2−y 22=1的左右顶点为A 1，A 2，左右焦点为F 1，F 2，直线l 与双曲线的左右两支分别交于P ，Q 两点，在双曲线x 2−y 22=1中，a =1，b =√2，c =√3，A 1(−1，0)，A 2(1，0)，F 1(−√3，0)，F 2(√3，0)． 对于A ，易得△PF 1F 2为双曲线的焦点三角形，所以S △PF 1F 2=b2tan θ2=2√3，故A 正确； 对于B ，不妨设x 2−y 22=λ，当λ＝1时表示双曲线，当λ＝0时表示该双曲线的两条渐近线．设直线l ：y ＝kx +m ，与双曲线方程联立后可得（k 2﹣2）x 2+2kmx +m 2+2λ＝0，应满足k 2﹣2≠0且Δ＞0．由韦达定理可知x 1+x 2=2km 2−k2，y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2k 2m 2−k2+2m ，都与λ无关．所以线段PQ 的中点与线段MN 的中点重合，不妨设为T ．由|PT |＝|QT |，|NT |＝|MT |可知|PM |＝|QN |，故B 正确； 对于C ，由于P 在双曲线上，A 1，A 2分别为双曲线的左右顶点，由性质可得k PA 1⋅k PA 2=b2a2=2，所以若P A 1的斜率范围为[﹣8，﹣4]，则P A 2的斜率的范围为[−12，−14]，C 正确；对于D ，将直线方程与双曲线联立，可得Δ＜0，故直线与双曲线无交点，所以不存在中点，D 错误． 故选：ABC ．12．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，与y 轴交于点E ，过点P 作抛物线的切线与准线交于点M ，连接QM ，若PQ →=3QE →，则（ ） A ．k MP •k MQ ＝﹣1 B ．PF →=2FQ →C ．∠MFQ 为钝角D ．S △POQ ：S △PMQ ＝4：9解：由题可知p ＝2， 因为PQ →=3QE →， 所以有|EP |＝4|EQ |，过P ，Q 作y 轴的垂线分别交于P '，Q '， 根据三角形相似可得|PP '|＝4|QQ '|， 即x P ＝4x Q ，又因为x P x Q =p 24=1， 得x P =2，x Q =12，所以P(2，2√2)，Q(12，−√2)， 则直线l ：y =2√2x −2√2．对于A ，由切线方程yy 0＝p （x +x 0）可得，过点P(2，2√2)的切线方程为x −√2y +2=0， 与准线相交于M(−1，√22)，易得k MP •k MQ ＝﹣1， 即A 正确；对于B ，由x P =2，x Q =12可得|PF|=3，|QF|=32， 则PF →=2FQ →， 即B 正确；对于C ，因为FM →=(−2，√22)，FQ →=(−12，−√2)，FM →⋅FQ →=0， 所以∠MFQ 为直角， 即C 错误；对于D ，因为△POQ 与△PMQ 同底， 则面积之比即为高之比，又点O 到PQ 的距离d 1=2√2√8+1=2√23，点M 到PQ 的距离d 2=|−2√2−√22−2√2|√8+1=3√22，所以S △POQS △PMQ=d 1d 2=2√233√22=49，即D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．抛物线y ＝﹣6x 2的准线方程为 y =124． 解：根据题意，抛物线y ＝﹣6x 2的准线方程为x 2=−16y ， 其开口向下，且p =112， 则其准线方程为：y =124；故答案为：y =124． 14．若直线y ＝kx +1与圆x 2+y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ =π2（其中O 为原点），则k 的值为 ±1 ．解：因为直线y ＝kx +1与圆x 2+y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ =π2（其中O 为原点）， 可得∠OPQ =π4，所以圆心到直线y ＝kx +1的距离为d ＝OP •sin =π4=√22， 又圆心O （0，0）到直线y ＝kx +1的距离d =|0−0+1|√k +1，所以√k 2+12=√22⇒k ＝±1． 故答案为：±1．15．一动圆C 与圆C 1：x 2+y 2+4y +3＝0外切，同时与圆C 2：x 2+y 2﹣4y ﹣77＝0内切，则动圆C 圆心的轨迹方程为y 225+x 221=1 ．解：圆C 1：x 2+y 2+4y +3＝0的圆心坐标为C 1（0，﹣2），半径为r 1＝1， 圆C 2：x 2+y 2﹣4y ﹣77＝0的圆心坐标为C 2（0，2），半径为r 2＝9， 设动圆C 的圆心坐标为C （x ，y ），半径为r ， 则|CC 1|＝r +1，|CC 2|＝9﹣r ， 则|CC 1|+|CC 2|＝r +1+9﹣r ＝10，则点C 的轨迹是以（0，﹣2），（0，2）为焦点，长轴长为10的椭圆， 设其方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)，则2a ＝10，c ＝2，可得a 2＝25，b 2＝a 2﹣c 2＝25﹣4＝21， 则动圆C 圆心的轨迹方程为y 225+x 221=1．故答案为：y 225+x 221=1． 16．如图，过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）引圆x 2+y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，若|MO |﹣|MT |＝2a ﹣c ，则双曲线的离心率为53．解：设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 2（c ，0）（c ＞0），连接PF 2，OM ．则△PF 2F 中，|FM |＝|MP |，|FO |＝|OF 2|， 则|MO|=12|PF 2|，由直线FT 与圆x 2+y 2＝a 2相切，可得|FT|=√|OF|2−|OT|2=√c 2−a 2=b ． 又双曲线x 2a 2−y 2b 2=1中，|PF |﹣|PF 2|＝2a ，则|MO|−|MT|=12|PF 2|−(12|PF|−|FT|)=12(|PF 2|−|PF|)+|FT|=b −a ， 又|MO |﹣|MT |＝2a ﹣c ， 则2a ﹣c ＝b ﹣a ， 整理得3a ﹣c ＝b ，两边平方整理得5a 2﹣3ac ＝0， 则双曲线的离心率e =ca =53． 故答案为：53．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点的坐标为A （2，1），B （4，7），C （﹣4，3），求： （1）求△ABC 的面积；（2）求△ABC 的外接圆的标准方程． 解：（1）A （2，1），B （4，7），C （﹣4，3）， AC =√[2−(−4)]2+(1−3)2=2√10， AB =√(2−4)2+(1−7)2=2√10， BC =√[4−(−4)]2+(7−3)2=4√5，△ABC 为等腰三角形，可得BC 中点D （0，5），所以ℎ=|AD|=2√5，S △ABC =12ℎ×|BC|=20，故△ABC 的面积为20； （2）A （2，1），B （4，7），C （﹣4，3），则k AB =62=3，k AC =2−6=−13， 因为k AB •k AC ＝﹣1，所以AB ⊥AC ，所以外接圆圆心O 恰好为BC 中点D （0，5），r =√22+42=2√5， 所以三角形外接圆标准方程为x 2+（y ﹣5）2＝20．18．（12分）已知直线x ﹣my ﹣4＝0和圆O ：x 2+y 2＝5，且直线和圆交于A ，B 两点． （1）当m 为何值时，截得的弦长为4； （2）若OA →⋅QB →≤0，求m 的取值范围．解：（1）由圆O ：x 2+y 2＝5，可得圆心O （0，0），半径r =√5， 设直线与圆心距离为d ， 因为|AB |＝4，所以d =√r 2−(|AB|2)2=√5−4=1， 又圆心到直线的距离为d =√1+m 2，所以√1+m 2=1，解得m ＝±√15；（2）因为OA →⋅OB →≤0，所以∠AOB ≥π2，有r ≥√2d ，即√5≥42√1+m 2，解得m ∈(−∞，−3√155]∪[3√155，+∞)， 所以m 的取值范围为（﹣∞，−3√155]∪[3√155，+∞）． 19．（12分）已知O 为坐标原点，A （1，0），B （﹣1，0），直线AM ，BM 的斜率之积为4，记动点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）直线l 经过点（0，﹣2），与E 交于P ，Q 两点，线段PQ 中点D 在第一象限，且纵坐标为2，求|PQ |．解：（1）不妨设点M 的坐标为（x ，y ）， 因为k AM =y x−1，k BM =yx+1， 所以k AM ⋅k BM=y 2x 2−1=4， 整理得x 2−y 24=1，所以E 的方程为x 2−y 24=1(x ≠±1)；（2）当直线PQ 的斜率不存在时，显然不符合题意；不妨设直线PQ 方程为y ＝kx ﹣2，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 联立{y =kx −2x 2−y 24=1，消去y 并整理得（4﹣k 2）x 2+4kx ﹣8＝0，此时Δ＝16k 2+32（4﹣k 2）＞0且4﹣k 2≠0， 解得k 2＜8且k 2≠4， 由韦达定理得x 1+x 2=4k k 2−4，x 1x 2=8k 2−4，因为线段PQ 中点D 在第一象限，且纵坐标为4， 所以x 1+x 2＞0，y 1+y 2=k(x 1+x 2)−4=16k 2−4=8，解得k =√6或k =−√6（舍去）， 所以直线PQ 为y =√6x −2， 此时x 1+x 2=2√6，x 1x 2＝4，则|PQ|=√1+k 2⋅|x 1−x 2|=√7⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√14． 20．（12分）已知动圆C 过定点D （2，0），且截y 轴所得弦长为4． （1）求动圆圆心的轨迹T 的方程；（2）过点T （0，1）的直线L 与轨迹T 交于A ，B 两点，若F 为轨迹T 的焦点，且满足k F A +k FB ＝1，求|TA |•|TB |的值．解：（1）不妨设动圆圆心O 1（x ，y ），圆O 1截y 轴所得弦为MN ， 此时|O 1D |＝|O 1M |， 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ， 此时点H 为MN 的中点， 所以√x 2+22=√(x −2)2+y 2， 整理得y 2＝4x （x ≠0）；当O 1在y 轴上时，动圆O 1过定点D （2，0），且在y 轴上截得弦MN 的长为4， 此时O 1与原点O 重合，即点（0，0）也满足方程y 2＝4x ，所以动圆圆心O 1的轨迹T 的方程为y 2＝4x ； （2）易知直线斜率存在， 不妨设直线l 的方程为y ＝kx +1，联立{y =kx +1y 2=4x ，消去y 并整理得k 2x 2+（2k ﹣4）x +1＝0，此时Δ＝（2k ﹣4）2﹣4k 2＝16﹣16k ＞0， 解得k ＜1，由韦达定理得{x 1+x 2=4−2kk 2x 1x 2=1k 2， 因为F （1，0），此时k FA +k FB =y 1x 1−1+y2x 2−1=y 1(x 2−1)+y 2(x 1−1)(x 1−1)(x 2−1)=(kx 1+1)(x 2−1)+(kx 2+1)(x 1−1)(x 1−1)(x 2−1)=2kx 1x 2+(1−k)(x 1+x 2)−2x 1x 2−(x 1+x 2)+1=2k⋅1k2+(k−1)(2k−4)k2−21k 2−4−2k k2+1=4−4k k 2+2k−3=1，解得k ＝﹣7或k ＝1， 因为k ＜1， 所以k ＝﹣7． 故|TA||TB|=√1+k 2|x 1−0|×√1+k 2|x 2−0|=(1+k 2)|x 1x 2|=1+k 2k2=5049． 21．（12分）椭圆C 与双曲线2x 2﹣2y 2＝1有相同的焦点，且过(1，32)． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，当动点M 在定直线x ＝4上运动时，直线AM ，BM 分别交椭圆于两点P ，Q ．（i ）证明：点B 在以PQ 为直径的圆内； （ii ）求四边形APBQ 面积的最大值．解：（1）因为椭圆C 与双曲线2x 2﹣2y 2＝1有相同的焦点， 所以椭圆C 的焦点为（±1，0）， 不妨设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），因为椭圆C 过(1，32)， 所以12a 2+(32)2b 2=1，①又a 2＝b 2+1，②联立①②，解得a 2＝4，b 2＝3， 则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（2）（i ）证明：易知A （﹣2，0），B （2，0）， 不妨设M （4，t ），t ＞0，P （x p ，y p ），Q （x Q ，y Q ）， 易知直线AM ，BM 斜率均存在，且k AM =t 6，k BM =t 2，则直线AM 的方程为y =t6(x +2)，BM 的方程为y =t2(x −2)， 联立{y =t6(x +2)x 24+y23=1，消去y 并整理得（27+t 2）x 2+4t 2x +4t 2﹣108＝0， 由韦达定理得﹣2x p =4t 2−10827+t 2，解得x p =54−2t 227+t 2， 则y p =t 6(x p +2)=18t27+t， 联立{y =t2(x −2)x 24+y23=1，消去y 并整理得（3+t 2）x 2﹣4t 2x +4t 2﹣12＝0， 由韦达定理得2x Q =4t 2−123+t 2， 解得x Q =2t 2−63+t 2，则y Q =t 2（x Q ﹣2）=−6t3+t 2， 所以BP →=(−4t 227+t 2，18t 27+t 2)，BQ →=(−123+t 2，−6t3+t 2)，则BP →•BQ →=−60t 2(27+t 2)(3+t 2)＜0，所以∠PBQ 为钝角，则点B 在以PQ 为直径的圆内；（ii ）易知S 四边形APBQ =12×|AB |×|y P ﹣y Q |=48t(9+t 2)(9+t 2)+12t 2=489+t 2t +12t9+t2，不妨设λ=9+t 2t ，t ＞0，此时λ=9+t 2t =9t +t ≥2√9t ⋅t =6，当且仅当t ＝3时，等号成立，易知函数y =λ+12λ在[6，+∞）上单调递增， 所以y =λ+12λ≥6+2＝8， 此时S 四边形APBQ =48λ+12λ≤488=6， 由对称性可知，当点M 的坐标为（4，3）或（4，﹣3）时，四边形APBQ 面积最大值，最大值为6． 22．（12分）已知点（2，3）在双曲线C ：x 2a 2−y 2a 2+2=1上． （1）双曲线上动点Q 处的切线交C 的两条渐近线于A ，B 两点，其中O 为坐标原点，求证：△AOB 的面积S 是定值；（2）已知点P(12，1)，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上取异于点M 、N 的点H ，满足|PM||PN|=|MH||HN|，证明：点H 恒在一条定直线上．解：（1）证明：因为点（2，3）在双曲线C ：x 2a 2−y 2a 2+2=1上，所以4a 2−9a 2+2=1，解得a 2＝1， 则双曲线方程为x 2−y 23=1， 当切线方程的斜率存在时，不妨设过点（x 0，y 0）的切线方程为y ﹣y 0＝k （x ﹣x 0），联立{y −y 0=k(x −x 0)x 2a2−y 2b2=1，消去y 并整理得(1a 2−k 2b 2)x 2+(2k 2x 0b 2−2k 2y 0b 2)x +2kx 0y 0−k 2x 02−y 02−b 2b 2=0， 因为Δ=(2k 2x 0b2−2k 2y 0b 2)2−4(1a 2−k 2b 2)⋅2kx 0y 0−k 2x 02−y 02−b 2b2=0， 即(y 0−kx 0)2=a 2k 2−b 2， 又k =y−y0x−x 0，可得(y 0−y−y 0x−x 0⋅x 0)2=a 2(y−y0x−x 0)2−b 2，所以(xy 0−x 0y)2=a 2(y −y 0)2−b 2(x −x 0)2，对等式两边同除以a 2b 2，得(xy 0−x 0y)2a 2b 2=(y−y 0)2b 2−(x−x 0)2a 2，即x 2y 02−2xy 0x 0y+x 02y 2a 2b 2=y 2−2y 0y+y 02b 2−x 2−2x 0x+x 02a 2，因为x 02a 2−y 02b 2=1，x 2a 2−y 2b 2=1，所以x 2y 02−2xy 0x 0y+x 02y 2a 2b 2=−2−2y 0y b 2+2x 0x a 2，联立{ x 02a 2−y 02b 2=1x 2a 2−y 2b 2=1，两式相乘得x 02x 2a 4−x 02y 2a 2b 2−x 2y 02a 2b 2+y 02y 2b 4=1，所以x 02y 2a 2b 2+x 2y 02a 2b 2=−1+x 02x 2a 4+y 02y 2b 4，可得−1+x 02x 2a 4+y 02y 2b 4+−2xy 0x 0y a 2b 2=−2−2y 0y b2+2x 0x a 2， 即−1+(x 0x a 2−y 0y b 2)2=−2+2(x 0x a 2−y 0yb 2)， 不妨令t =x 0x a 2−y 0y b2， 此时﹣1+t 2＝﹣2+2t ， 即（t ﹣1）2＝0， 解得t ＝1， 所以x 0x a 2−y 0y b 2=1，当切线斜率不存在时，此时切点为（±a ，0），切线方程为x ＝±a ，满足x 0x a 2−y 0y b 2=1，综上，x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)上一点（x 0，y 0）的切线方程为x 0x a 2−y 0y b 2=1，不妨设Q （m ，n ）， 此时x 2−y 23=1过点Q （m ，n ）的切线方程为mx −ny 3=1， 所以mx −ny3=1为x 2−y 23=1过点Q （m ，n ）的切线方程， 易知双曲线的两条渐近线方程为y =±√3x ， 联立{mx −ny3=1y =√3x，解得{x 1=3m−3ny 1=3√33m−√3n ，联立{mx −ny3=1y =−√3x ， 解得{x 2=33m+3ny 2=−3√33m+√3n，所以直线AB 方程为y−y 1x−x 1=y 2−y 1x 2−x 1，即（y ﹣y 1）（x 2﹣x 1）﹣（y 2﹣y 1）（x ﹣x 1）＝0， 此时点O 到直线AB 的距离为121211√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)=1221√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)，又|AB|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)， 则△AOB 的面积S =21221√(x2−x 1)2+(y 2−y 1)√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)=12|x 1y 2−x 2y 1|=123m−3n √33m+3n 3m+3n √33m−3n=12|−18√39m 2−3n 2|=12|−18√39|=√3，为定值；（2）证明：若直线l 斜率不存在，此时直线l 与双曲线右支无交点，不合题意，不满足条件， 所以直线l 斜率存在，不妨设直线l 方程y −1=k(x −12)，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{y −1=k(x −12)x 2−y 23=1，消去y 并整理得(3−k 2)x 2+(k 2−2k)x −(14k 2−k +4)=0，易知{Δ＞03−k 2≠0k 2−2kk 2−3＞014k 2−k+4k 2−3＞0，因为14k 2−k +4=14(k −2)2+3＞0恒成立，所以k 2﹣3＞0， 即k 2﹣2k ＞0，解得−2−2√133＜k ＜−3，第21页（共21页）由韦达定理得x 1+x 2=k 2−2k k 2−3，x 1x 2=14k 2−k+4k 2−3， 不妨设H （x H ，y H ）， 因为|PM||PN|=|MH||HN|，所以x 1−12x 2−12=x H −x 1x 2−x H， 即2x 1x 2−(x H +12)(x 1+x 2)+x H =0，由x 1+x 2=k 2−2kk 2−3，x 1x 2=14k 2−k+4k 2−3， 可得x H =8−k 3−2k ， 当x H =8−k 3−2k 时， 解得y H =19−4k 2(3−2k)， 则x H −y H =8−k 3−2k −19−4k 2(3−2k)=−12， 故点H 恒在一条定直线x −y =−12上．。

2023-2024学年河南省濮阳市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线√3x +y +2024=0的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，点M （m ，n ，p ）关于平面xOy 对称的点的坐标是（ ） A ．（m ，n ，﹣p ）B ．（m ，﹣n ，﹣p ）C ．（﹣m ，n ，﹣p ）D ．（﹣m ，﹣n ，p ）3．抛物线x 2＝16y 的焦点到点（2，5）的距离为（ ） A ．2B ．√5C ．√7D ．44．已知正四棱锥P ﹣ABCD 的底面中心为O ，AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，则OP →=（ ）A ．−12a →−12b →−c →B ．12a →+12b →−c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →+12b →+c →5．过点A （﹣1，﹣1），B （2，2），C （﹣1，1）三点的圆的方程为（ ） A ．x 2+（y ﹣1）2＝9 B ．x 2+（y ﹣1）2＝4 C ．（x +1）2+y 2＝5D ．（x ﹣1）2+y 2＝56．如图所示为某高中校内伫立于教学楼前的“孔子像”的底座模型图，该底座可看作正方体BCDE ﹣HGJI 与直三棱柱ABH ﹣FEI 的组合体，且△ABH 为等腰直角三角形，则直线AH 与直线IG 所成的角为（ ）A ．π4B ．π6C ．2π3D ．π37．如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心F 1为一个焦点且离心率为12的椭圆，地球可看作半径为R 的球体，近地点离地面的距离为r ，则远地点离地面的距离l 为（ ）A ．3r +2RB ．2r +3RC ．r +2RD ．13r +R8．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点P 为△ABC 所在平面内以A ，B 为左、右顶点，√33为半短轴长的椭圆上的一动点，则PD 的最大值为（ ） A ．4B ．2C ．5√66D ．√333二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

北京2023—2024学年第二学期期中练习高一数学（答案在最后）2024.04说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.sin120︒的值等于（）A.12-B.12C.2D.2【答案】D 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得到2，从而可求解.【详解】由题意可得sin1202︒=，故D 正确.故选：D.2.若角α的终边过点()4,3，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.45B.45-C.35D.35-【答案】A 【解析】【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3，所以4cos 5α==，所以π4sin cos 25αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：A3.已知扇形的弧长为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积是（）A.22cmB.24cm C.26cm D.28cm 【答案】B【解析】【分析】由条件结合弧长公式l R α=求出圆的半径，然后结合扇形的面积公式12S lR =可得答案．【详解】因为扇形的圆心角2rad α=，它所对的弧长4cm l =，所以根据弧长公式l R α=可得，圆的半径2R =，所以扇形的面积211424cm 22S lR ==⨯⨯=；故选：B ．4.向量a ，b ，c在正方形网格中的位置如图所示，若向量c a b λ=+，则实数λ=（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】将3个向量的起点归于原点，根据题设得到它们的坐标，从而可求λ的值.【详解】如图，将,,a b c的起点平移到原点，则()()()1,1,0,1,2,1a b c ==-= ，由c a b λ=+可得()()()2,11,10,1λ=+-，解得2λ=，故选：D.5.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（）A.()cos2f x x =B.()tan2x f x =C.()()tan f x x =- D.()sin f x x=【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A ，函数()cos2f x x =的最小正周期为π，因为()()()cos 2cos 2f x x x f x -=-==，所以()cos2f x x =为偶函数，A 错误，对于B ，函数()tan 2xf x =的最小正周期为2π，因为()()tan tan 22x x f x f x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()tan 2x f x =为奇函数，B 错误，对于C ，函数()()tan f x x =-的最小正周期为π，因为()()()tan tan f x x x f x -==--=-，所以函数()()tan f x x =-为奇函数，C 正确，对于D ，函数()sin f x x =的图象如下：所以函数()sin f x x =不是周期函数，且函数()sin f x x =为偶函数，D 错误，6.在ABC 中，4AB =，3AC =，且AB AC AB AC +=- ，则AB BC ⋅= （）A.16B.16- C.20D.20-【答案】B 【解析】【分析】将AB AC AB AC +=- 两边平方，即可得到0AB AC ⋅=，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为AB AC AB AC +=- ，所以()()22AB ACAB AC +=-，即222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，所以0AB AC ⋅= ，即AB AC ⊥ ，所以()220416AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=-=- .故选：B7.函数cos tan y x x =⋅在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图像为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分别讨论x 在3,,[,)22ππππ⎛⎫⎪⎝⎭上tan x 的符号，然后切化弦将函数化简，作出图像即可.【详解】因为3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin ,,23sin ,.2x x y x x πππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩故选：C.8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】首先求出()f x α+、()f x α-的解析式，再根据正弦函数的性质求出使()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数时α的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()sin 224f x x ααπ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()sin 224f x x ααπ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，若()f x α-是奇函数，则112π,Z 4k k απ-+=∈，解得11π,Z 82k k απ=-∈，若()f x α+是偶函数，则222π,Z 42k k αππ+=+∈，解得22π,Z 82k k απ=+∈，所以若()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数，则π,Z 82k k απ=+∈，所以由()ππ8k k α=+∈Z 推得出()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数，故充分性成立；由()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数推不出()ππ8k k α=+∈Z ，故必要性不成立，所以“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的充分不必要条件.故选：A9.已知向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则a b c ++ 的最大值是（）A.1+ B.C.D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可设出向量,,a b c 的坐标，由于这三个向量都是单位向量，则向量,,a b c的终点都落在以坐标原点为圆心的单位圆上，作出示意图，由向量的性质可知，只有当c 与a b +同向时，a b c ++ 有最大值，求解即可.【详解】因为向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，可设()1,0a =，()0,1b = ，(),c x y = ，如图，所以2a b += ，当c 与a b +同向时，此时a b c ++ 有最大值，为21+.故选：A .10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均为正方形ABCD 各边的中点（如图2），若P 为 BC 的中点，则()PO PA PB ⋅+=（）A .4B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算将()PO PA PB ⋅+ 化为OA 、OB 、OP表示，再根据平面向量数量积的运算律可求出结果.【详解】依题意得||||2OA OB ==，||2OP =，3π4AOP =Ð，π4BOP =Ð，所以3π2||||cos 22(242OA OP OA OP ⋅=⋅=⨯-=- ，π2||||cos 22242OB OP OB OP ⋅=⋅=⨯= ，所以()PO PA PB ⋅+= ()OP OA OP OB OP -⋅-+- 22||OA OP OB OP OP =-⋅-⋅+ 222228=-+⨯=.故选：C二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.写出一个与向量()3,4a =-共线的单位向量_____________.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】先求出a r ，则aa±即为所求.【详解】5a ==所以与向量()3,4a =- 共线的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）12.已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【解析】【分析】根据图象可得函数()f x 的最大值，最小值，周期，由此可求,A ω，再由5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭求ϕ，由此求得的解析式，然后求得π3f ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】由图可知，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，35ππ3π41234T =+=，当5π12x =时，函数()f x 取最大值2，又()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭所以2A =，32π3π44ω⨯=，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以5π5π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ5π4π,22363ϕϕ-<<<+<，所以5πππ,623ϕϕ+==-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.13.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ=__________.，若将函数()f x 图象仅向左平移π4个单位长度和仅向右平移π2个单位长度都能得到同一个函数的图象，则ω的最小值为__________.【答案】①.π6##1π6②.83##223【解析】【分析】由条件列方程求ϕ，再利用平移变换分别得到变换后的函数解析式，并根据相位差为2π,Z k k ∈求解；【详解】因为函数()()sin f x x ωϕ=+的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向左平移π4个单位长度得到函数ππππsin sin 4646y x x ωωω⎡⎛⎫⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎦⎝⎭⎣的图象，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向右平移π2个单位长度得到ππππsin sin 2626y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，则ππππ2π4626k ωω⎛⎫⎛⎫+--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Z k ∈），化简得3π2π4k ω=（Z k ∈），解得83k ω=（Z k ∈），由于0ω>，所以当1k =时，ω取得最小值83，故答案为：π8,63．14.已知边长为2的菱形ABCD 中，π3DAB ∠=，点E 满足3BE EC = ，点F 为线段BD 上一动点，则AF BE ⋅的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】建立如图平面直角坐标系，设BF BD λ= ，利用平面向量线性运算与数量积的坐标表示可得AF BE⋅关于λ的表达式，从而得解.【详解】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),A B C D ，因为3BE EC =，所以(33333,4444BE BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，由题意，设()01BF BD λλ=≤≤，则(()BF λλ=-=- ，则()()()2,02,AF AB BF λλ=+=+-=-，所以()3333324422AF BE λλ⋅=-+=+，因为01λ≤≤，所以当1λ=时，AF BE ⋅的最大值为3.故答案为：3.15.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.音有四要素，音调､响度､音长和音色.它们都与函数sin y A t ω=及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++⋯..给出下列四个结论：①函数1111sin sin 2sin 3sin 4sin1023410y x x x x x =++++⋯+不具有奇偶性；②函数()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③若某声音甲对应的函数近似为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，则声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度小；④若某声音乙对应的函数近似为()1sin sin 22x x x ϕ=+，则声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】对①，结合奇偶性的定义判断即可；对②，利用正弦型函数的单调性作出判断；对③，分别判断()(),g x h x 的振幅大小可得；对④，求出周期，可得频率，即可得出结论.【详解】对于①，令()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x =++++⋯+，所以()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 1023410F x x x x x x -=-+-+-+-+⋯+-，所以()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x -=-----⋅⋅⋅-，所以()()F x F x -=-，所以()F x 是奇函数，①错误；对于②，由ππ88x -≤≤可得，ππ244x -≤≤，3π3π388x -≤≤，ππ422x -≤≤，所以111sin ,sin2,sin3,234x x x x 都在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，②正确；对于③．因为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，所以π223g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()max 23g x ≥，即()g x 的振幅比()1sin22h x x =的振幅大，所以声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度大，所以③错误；对于④，因为()()()()112πsin 2πsin 24πsin sin 222x x x x x x ϕϕ+=+++=+=，所以函数()x ϕ为周期函数，2π为其周期，若存在02πα<<，使()()x x ϕϕα=+恒成立，则必有()()0ϕϕα=，()()110sin 0sin 00sin sin 222ϕϕααα∴=+===+，()sin 1cos 0αα∴+=，因为02πα<<，πα∴=，又()()()11πsin πsin 2πsin sin 222x x x x x ϕ+=+++=-+与()1sin sin 22x x x ϕ=+不恒相等，所以函数()1sin sin22x x x ϕ=+的最小正周期是2π，所以频率1112πf T ==而()h x 的周期为π，频率21πf =，12f f <，所以声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉，所以④正确．故答案为：②④.三､解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.如图，在ABC 中，2BD DC = ，E 是AD 的中点，设AB a = ，AC b = .（1）试用a ，b 表示AD ，BE ；（2）若1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，求AD BE ⋅ .【答案】（1）1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ （2）518-【解析】【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.【小问1详解】因为2BD DC = ，所以23BD BC = ，所以221)212(333333AB AC AB AB AC a b AD AB BD AB BC +-=+=+=+=+= .因为E 是AD 的中点，所以()11211()22323BE BA BD AB BC AB AC AB ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭ 51516363AB AC a b =-+=-+ .【小问2详解】因为1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，所以11cos ,1122a b a b a b ⋅==⨯⨯= ，由（1）知，1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ ，所以22125154233631899AD BE a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭541251892918=--⨯+=-.17.已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,a 内只有一个零点，直接写出实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的最小正周期为π，（2）函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（3）a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解即可；（2）利用正弦函数的单调区间结论求解；（3）求出()0f x =的解后可得a 的范围．【小问1详解】因为()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，Z k ∈，可得3ππππ88k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【小问3详解】由π()3sin(204f x x =+=可得，π2π4x k +=，Z k ∈所以ππ28k x =-，Z k ∈，因为函数()f x 在区间[]0,a 上有且只有一个零点，所以3π7π88a ≤<，所以实数a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<.（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角；（2）若⊥ AC BC ，求sin cos αα-的值.【答案】（1）OB 与OC 的夹角为π6，（2）sin cos 4αα-=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解.【小问1详解】因为()()()4,0,0,4,cos ,sin A B C αα，所以()()()4,0,0,4,cos ,sin OA OB OC αα=== ，所以()4cos ,sin OA OC αα+=+ ，由OA OC += ()224+cos sin 21αα+=，所以1cos 2α=，又0πα<<，，所以π3α=，13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC 的夹角为β()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅= 23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC 的夹角为π6，【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅= ，又()cos 4,sin AC αα=- ，()cos ,sin 4BC αα=- ，所以()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，所以1sin cos 4αα+=，所以152sin cos 016αα-=<，又0πα<<，所以ππ2α<<,所以()21531sin cos 11616αα--=-=，所以sin cos 4αα-=.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，再从条件①､条件②､条件③中选择两个作为一组已知条件.（1）确定()f x 的解析式；（2）设函数()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则是否存在实数m ，使得对于任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立？若存在，求实数m 的取值范围：若不存在，请说明理由.条件①：()f x 的最小值为2-；条件②：()f x 图像的一个对称中心为5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件③：()f x 的图像经过点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）选①②，②③，①③答案都为()2sin(2)6f x x π=+，（2）存在m 满足条件，m 的取值范围为2,0⎤⎦.【解析】【分析】（1）先根据已知求出()f x 的最小正周期，即可求解ω，选条件①②：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据对称中心可求ϕ，即可得解函数解析式；选条件①③：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求ϕ，可得函数解析式；选条件②③：根据对称中心可求ϕ，再根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求A 的值，即可得解函数解析式．（2）求出函数()f x ，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，再结合恒成立、能成立列式求解作答.【小问1详解】由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为π2，所以()f x 的最小正周期π2π2T =⨯=，所以2π2T ω==，此时()()sin 2f x A x ϕ=+.选条件①②：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为()f x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以56k ϕπ=π-，()k ∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件①③：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，则5π()16f =-，所以5π2sin()13ϕ+=-，即5π1sin()32ϕ+=-．因为||2ϕπ<，所以7π5π13π636ϕ<+<，所以5π11π36ϕ+=，所以π6ϕ=，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件②③：因为函数()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以5ππ(Z)6k k ϕ=-∈．因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =．所以π()sin(26f x A x =+．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，所以5π(16f =-，所以5ππsin 136A ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，11πsin 16A =-，所以2A =，所以()2sin(2)6f x x π=+．综上，不论选哪两个条件，()2sin(2)6f x x π=+.【小问2详解】由（1）知，()2sin(2)6f x x π=+，由20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此[]2()1,2f x ∈-，由10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：1ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，因此1()g x ⎡∈-⎣，从而1()1,g x m m m ⎡-∈---+⎣，由()()12m g x f x =-得：()()21f x g x m =-，假定存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，即存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()21f x g x m =-成立，则[]1,1,2m m ⎡---+⊆-⎣，于是得112m m --≥-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩，解得20m -≤≤，因此存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，所以实数m的取值范围是2,0⎤⎦.20.对于定义在R 上的函数()f x 和正实数T 若对任意x ∈R ，有()()f x T f x T +-=，则()f x 为T -阶梯函数.（1）分别判断下列函数是否为1-阶梯函数（直接写出结论）：①()2f x x =；②()1f x x =+.（2）若()sin f x x x =+为T -阶梯函数，求T 的所有可能取值；（3）已知()f x 为T -阶梯函数，满足：()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且对任意x ∈R ，有()()2f T x f x T x --=-.若函数()()F x f x ax b =--有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为123,,,x x x ⋅⋅⋅；若1a =时，证明：存在b ∈R ，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且213240464045x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-.【答案】（1）①否；②是（2）2πT k =，*k ∈N （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用T -阶梯函数的定义进行检验即可判断；（2）利用T -阶梯函数的定义，结合正弦函数的性质即可得解；（3）根据题意得到()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，从而取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合零点存在定理可知()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +，从而得解.【小问1详解】()2f x x =，则22(1)()(1)211f x f x x x x +-=+-=+≠；()1f x x =+，则(1)()11f x f x x x +-=+-=，故①否；②是.【小问2详解】因为()f x 为T -阶梯函数，所以对任意x ∈R 有：()()()()()sin sin sin sin f x T f x x T x T x x x T x T T +-=+++-+=+-+=⎡⎤⎣⎦.所以对任意x ∈R ，()sin sin x T x +=，因为sin y x =是最小正周期为2π的周期函数，又因为0T >，所以2πT k =，*k ∈N .【小问3详解】因为1a =，所以函数()()F x f x x b =--，则()()()()()()()F x T f x T x T b f x T x T b f x x b F x +=+-+-=+-+-=--=，()()()()()()()2F T x f T x T x b f x T x T x b f x x b F x -=----=+----=--=.取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则有3330444TT T F f b ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，30444T T T F F T F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()()F x f x x b =--在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，结合()()F T x F x -=，则有()F x 在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点4T ，在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点34T .又由于()()F x T F x +=，则对任意k ∈Ζ，有044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，对任意m ∈Z ，()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +.综上所述，存在3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且14T x =，234T x =，354T x =，474T x =，L ，404580894T x =，404680914T x =，其中，2132404640452T x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-=.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义T -阶梯函数，从而在第3小问推得()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，由此得解.。

2023-2024学年河北省衡水市武邑中学高三（上）期中数学试卷一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分，将答案填涂在答题卡上相应位置. 1．设集合A ＝{x |x 2﹣1＜0}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，2）C ．（﹣1，+∞）D ．(12，1)2．O 是正方形ABCD 的中心．若DO →=λAB →+μAC →，其中λ，μ∈R ，则λμ=（ ）A ．﹣2B ．−12C ．−√2D ．√23．若复数z ＝1﹣i +i 2﹣i 3+…+i 2022﹣i 2023，则复数z 的虚部为（ ） A ．0B ．﹣1C ．1D ．i4．正项等比数列{a n }中的a 1，a 4031是函数f(x)=13x 3−4x 2+6x −3的极值点，则log √6a 2016=（ ）A ．1B ．2C ．√2D ．﹣15．已知公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2，2a 5，3a 8成等差数列，则3S 3S 6=（ ）A ．134B ．1312 C ．94D ．11126．已知正四面体A ﹣BCD 的内切球的表面积为36π，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A ﹣BCD ，则所得截面的面积为（ ） A ．27√2B ．27√3C ．54√2D ．54√37．已知x =tan1.04，a =log 3x ，b =2a ，c =sinb ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a8．已知f （x ）＝2cos （2ωx −π6）+b sin2ωx +cos （2ωx +π2）（b ＞0，ω＞0）又g （x ）＝f （x ）﹣2√3，对任意的x 1，x 2均有g （x 1）+g （x 2）≤0成立，且存在x 1，x 2使g （x 1）+g （x 2）＝0，方程f （x ）+√3=0在（0，π）上存在唯一实数解，则实数ω的取值范围是（ ） A ．12＜ω≤56B ．12≤ω＜56C ．512＜ω＜34D ．512＜ω≤34二、多选题：本题共4小题，全部选对得5分，部分选对得2分，多选或错选均不得分，共计20分，将答案填涂在答题卡上相应位置.9．著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下、从小到大套着n 个中心带孔的圆盘．将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作．设将n 个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为a n ，则（ ）A ．a 2＝3B ．a 3＝8C ．a n +1＝2a n +nD ．a n =2n −110．折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子．如图1，其平面图是如图2的扇形AOB ，其中∠AOB ＝150°，OA ＝2OC ＝2OD ＝2，点F 在弧AB 上，且∠BOF ＝120°，点E 在弧CD 上运动（包括端点），则下列结论正确的有（ ）A ．OF →在OA →方向上的投影向量为√32OA →B ．若OE →=λOC →+μOD →，则λ+μ∈[1，√6+√2] C ．OD →⋅DA →=1−√3D ．EF →⋅EB →的最小值是﹣311．已知复数z 1＝cos α+i sin α，z 2＝cos β+i sin β，z 3＝cos γ+i sin γ，O 为坐标原点，z 1，z 2，z 3对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→，则以下结论正确的有（ ） A ．|z 1•z 2|＝|z 1|•|z 2|B ．若z 1•z 2＝z 1•z 3，则z 2＝z 3C ．若OZ 1→+OZ 2→=OZ 3→，则OZ 1→与OZ 2→的夹角为π3D ．若OZ 1→+OZ 2→+OZ 3→=0→，则△Z 1Z 2Z 3为正三角形 12．已知函数f(x)=lnx −a(x+1)x−1(a ∈R)，则下列说法正确的是（ ） A ．当a ＞0时，f （x ）在（1，+∞）上单调递增B ．若f （x ）的图象在x ＝2处的切线与直线x +2y ﹣5＝0垂直，则实数a =34C ．当﹣1＜a ＜0时，f （x ）不存在极值D ．当a ＞0时，f （x ）有且仅有两个零点x 1，x 2，且x 1x 2＝1 三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)={|log 3(x −1)|，1＜x ≤4x 2−10x +25，x ＞4，若方程f （x ）＝n 有4个解分别为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则(1x 1+1x 2)(x 3+x 4)= ． 14．函数f(x)=ln(2x1+x+a)为奇函数，则实数a ＝ ． 15．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱AB ，AD ，AA 1两两夹角都为60°，且AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M ，N 分别为BB 1，B 1C 1的中点，则MN 与AC 所成角的余弦值为 ． 16．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2a 6＝4，a 3＝1，则(S n +94)22a n的最小值为 ．四、解答题：（本大题满分70分，每题要求写出详细的解答过程否则扣分）17．（10分）函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，其中MN ∥x 轴． （1）求函数y ＝f （x ）的解析式；（2）将y ＝f （x ）的图像向右平移π4个单位，再向上平移2个单位得到y ＝g （x ）的图像，求g(π8)的值．18．（12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且（a +b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ． （1）求角A 的大小； （2）若sin B 是方程x 2−2x +99100=0的一个根，求cos C 的值． 19．（12分）函数y ＝2sin x ﹣1在（0，+∞）上的零点从小到大排列后构成数列{a n }． （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n ＝a 2n ﹣1+a 2n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．20．（12分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，AC ∩BD ＝O 1，AC ∩MN ＝G ．沿MN 将△CMN 翻折到△PMN 的位置，连接P A ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ﹣ABMND ．（1）在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面P AG ？证明你的结论； （2）当四棱锥P ﹣MNDB 体积最大时，求点B 到面PDG 的距离；（3）在（2）的条件下，在线段P A 上是否存在一点Q ，使得平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为√2929若存在，试确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由． 21．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n +a n ＝3． （1）求{a n }的通项公式； （2）数列{b n }满足b 1＝1，b n+1b n=n+22(n+1)，设数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n +a n ≥52．22．（12分）已知函数h （x ）＝ln （2ex ﹣e ），g （x ）＝2ax ﹣2a ，a ∈R ．（1）若曲线f （x ）＝h （x ）﹣g （x ）在（1，f （1））处的切线与直线x ﹣y +1＝0平行，求函数f （x ）的极值；（2）已知f （x ）＝h （x ）﹣g （x ），若f （x ）＜1+a 恒成立．求证：对任意正整数n ＞1，都有∑ln 2n k=1k 54＜n(n +1)．2023-2024学年河北省衡水市武邑中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分，将答案填涂在答题卡上相应位置. 1．设集合A ＝{x |x 2﹣1＜0}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，2）C ．（﹣1，+∞）D ．(12，1)解：A ＝{x |x 2﹣1＜0}＝（﹣1，1），B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }＝（12，2），则A ∩B ＝（12，1），故选：D ．2．O 是正方形ABCD 的中心．若DO →=λAB →+μAC →，其中λ，μ∈R ，则λμ=（ ）A ．﹣2B ．−12C ．−√2D ．√2解：因为O 是正方形ABCD 的中心，所以O 为AC 的中点，所以DO →=DC →+CO →=AB →+12CA →=AB →−12AC →，因为DO →=λAB →+μAC →， 所以λ=1，μ=−12，所以λμ=1−12=−2．故选：A ．3．若复数z ＝1﹣i +i 2﹣i 3+…+i 2022﹣i 2023，则复数z 的虚部为（ ） A ．0B ．﹣1C ．1D ．i解：z =1−i +i 2−i 3+⋯+i 2022−i2023=1×(1−(−i)2024)1−(−i)=1×(1−1)1+i=0，所以复数z 的虚部为0． 故选：A ．4．正项等比数列{a n }中的a 1，a 4031是函数f(x)=13x 3−4x 2+6x −3的极值点，则log √6a 2016=（ ）A ．1B ．2C ．√2D ．﹣1解：根据f(x)=13x 3−4x 2+6x −3，可得f ′（x ）＝x 2﹣8x +6，因为a 1，a 4031是函数f(x)=13x 3−4x 2+6x −3的极值点，所以a 1，a 4031是方程f ′（x ）＝x 2﹣8x +6＝0的两个实数根，所以a 1a 4031＝6，又因为数列{a n }为正项等比数列，所以a 1a 4031=a 20162=6，所以a 2016=√6，log √6a 2016=log √6√6=1． 故选：A ．5．已知公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2，2a 5，3a 8成等差数列，则3S 3S 6=（ ）A ．134B ．1312 C ．94D ．1112解：公比q 不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ， a 2，2a 5，3a 8成等差数列， 可得4a 5＝a 2+3a 8， 即为4a 1q 4＝a 1q +3a 1q 7，即3q 6﹣4q 3+1＝0，解得q 3=13（1舍去），则3S 3S 6=3•a 1(1−q 3)1−q •1−q a 1(1−q 6)=3•1−q 31−q 6=3•11+q 3＝3•11+13=94， 故选：C ．6．已知正四面体A ﹣BCD 的内切球的表面积为36π，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A ﹣BCD ，则所得截面的面积为（ ） A ．27√2B ．27√3C ．54√2D ．54√3解：设内切球半径为r ，由题意得4πr 2＝36π， 设正四面体棱长为a ，由三角形的性质得BE =√32a ，BO ′=23BE =23×√32a =√33a ， ∴在△ABO ′中，AO ′′=√AB 2−BO′2=√63a ，又AOOO′=31， ∴OO ′=14AO′=14×√63a =√612a ，∵OO ′＝3，∴√612a =3，解得a ＝6√6．∴BE =√32a =9√2，AO ′=√63a =12，在△ABE 中，S =12×|BE|×|AO′|=12×12×9√2=54√2． 过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A ﹣BCD ，所得截面的面积为54√2． 故选：C ．7．已知x =tan1.04，a =log 3x ，b =2a ，c =sinb ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解：因为π4＜1.04＜π3，x =tan1.04＜tan π3=√3，且x =tan1.04＞tan π4=1，则1＜x ＜√3，0＜a =log 3x ＜log 3√3=12，即0＜a ＜12；所以1＜b =2a ＜√2，即1＜b ＜√2，所以12=sin π6＜sin1＜c =sinb ＜1，即12＜c ＜1．所以a ＜c ＜b ． 故选：B ．8．已知f （x ）＝2cos （2ωx −π6）+b sin2ωx +cos （2ωx +π2）（b ＞0，ω＞0）又g （x ）＝f （x ）﹣2√3，对任意的x 1，x 2均有g （x 1）+g （x 2）≤0成立，且存在x 1，x 2使g （x 1）+g （x 2）＝0，方程f （x ）+√3=0在（0，π）上存在唯一实数解，则实数ω的取值范围是（ ） A ．12＜ω≤56B ．12≤ω＜56C ．512＜ω＜34D ．512＜ω≤34解：因为f(x)=2cos(2ωx −π6)+bsin2ωx +cos(2ωx +π2)=2sin(2ωx +π3)+(b −1)sin2ωx=bsin2ωx +√3cos2ωx =√b 2+3sin(2ωx +θ)， 其中θ满足tanθ=√3b，又由任意的x1，x2均有g（x1）+g（x2）≤0成立，即任意的x1，x2均有f(x1)+f(x2)≤4√3成立，且存在x1，x2使g（x1）+g（x2）＝0，可知f（x）最大值为2√3，所以√b2+3=2√3，又b＞0，所以b＝3，所以f(x)=2√3sin(2ωx+π6 )，当0＜x＜π时，π6＜2ωx+π6≤2ωπ+π6，又f（x）在（0，π）上存在唯一实数x0使f(x0)=−√3，即sin(2ωx0+π6)=−12，所以7π6＜2ωπ+π6≤11π6，所以12＜ω≤56．故选：A．二、多选题：本题共4小题，全部选对得5分，部分选对得2分，多选或错选均不得分，共计20分，将答案填涂在答题卡上相应位置.9．著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下、从小到大套着n个中心带孔的圆盘．将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作．设将n个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为a n，则（）A．a2＝3B．a3＝8C．a n+1＝2a n+n D．a n=2n−1解：将圆盘从小到大编为1，2，3，…号圆盘，则将第n+1号圆盘移动到3号柱时，需先将第1～n号圆盘移动到2号柱，需a n次操作；将第n+1号圆盘移动到3号柱需1次操作；再将1～n 号圆需移动到3号柱需a n 次操作，故a n +1＝2a n +1，故C 错误； 由此递推关系及a 1＝1可求得通项为a n =2n −1，故D 正确； 则a 2＝3，a 3＝7，故A 正确，B 错误． 故选：AD ．10．折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子．如图1，其平面图是如图2的扇形AOB ，其中∠AOB ＝150°，OA ＝2OC ＝2OD ＝2，点F 在弧AB 上，且∠BOF ＝120°，点E 在弧CD 上运动（包括端点），则下列结论正确的有（ ）A ．OF →在OA →方向上的投影向量为√32OA →B ．若OE →=λOC →+μOD →，则λ+μ∈[1，√6+√2] C ．OD →⋅DA →=1−√3D ．EF →⋅EB →的最小值是﹣3解：对于A 选项，由题意可知∠AOF ＝30°， 所以OF →在OA →方向上的投影向量为|OF →|cos30°⋅OA →|OA →|=√32OA →，即A 选项正确；对于B 选项，以点O 为坐标原点，OD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则D （1，0）、C(−√32，12)，设点E （cos θ，sin θ），其中0≤θ≤5π6， 由OE →=λOC →+μOD →可得(cosθ，sinθ)=λ(−√32，12)+μ(1，0)，所以{−√32λ+μ=cosθ12λ=sinθ，即{λ=2sinθμ=√3sinθ+cosθ，所以λ+μ=(2+√3)sinθ+cosθ=(√6+√2)sin(θ+π12)， 又因为0≤θ≤5π6，则π12≤θ+π12≤11π12，所以√6−√24≤sin(θ+π12)≤1， 所以λ+μ=(√6+√2)sin(θ+π12)∈[1，√6+√2]， 即B 选项正确；对于C 选项，DA →=OA →−OD →，所以OD →⋅DA →=OD →⋅(OA →−OD →)=OA →⋅OD →−OD →2=2×1×cos150°−12=−√3−1， 即选项C 错误；对于D 选项，E （cos θ，sin θ），其中0≤θ≤5π6，B （2，0）、F(−1，√3)， 则EB →=(2−cosθ，−sinθ)，EF →=(−1−cosθ，√3−sinθ)，所以EB →⋅EF →=(2−cosθ)(−1−cosθ)−sinθ(√3−sinθ)=−2sin(θ+π6)−1，因为0≤θ≤5π6，则π6≤θ+π6≤π， 故当θ+π6=π2时，即θ=π3时，EF →⋅EB →取最小值为﹣2﹣1＝﹣3，即D 选项正确．故选：ABD ．11．已知复数z 1＝cos α+i sin α，z 2＝cos β+i sin β，z 3＝cos γ+i sin γ，O 为坐标原点，z 1，z 2，z 3对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→，则以下结论正确的有（ ） A ．|z 1•z 2|＝|z 1|•|z 2|B ．若z 1•z 2＝z 1•z 3，则z 2＝z 3C ．若OZ 1→+OZ 2→=OZ 3→，则OZ 1→与OZ 2→的夹角为π3D ．若OZ 1→+OZ 2→+OZ 3→=0→，则△Z 1Z 2Z 3为正三角形 解：因为z 1＝cos α+i sin α，z 2＝cos β+i sin β，z 3＝cos γ+i sin γ， 所以|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝1，则|OZ 1→|＝|OZ 2→|＝|OZ 3→|＝1，对于A ，z 1•z 2＝cos αcos β﹣sin αsin β+（cos αsin β+sin αcos β）i ， 故|z 1•z 2|2＝（cos αcos β﹣sin αsin β）2+（cos αsin β+sin αcos β）2＝cos 2α•cos 2β﹣2cos α•cos β•sin α•sin β+sin 2α•sin 2β+cos 2α•sin 2β+2sin α•cos β•cos α•sin β+sin 2αcos 2β ＝cos 2α（cos 2β+sin 2β）+sin 2α（sin 2β+cos 2β）， ＝cos 2α+sin 2α ＝1，|z 1|•|z 2|＝1，所以|z 1•z 2|＝|z 1|•|z 2|，故A 正确； 对于B ，若z 1•z 2＝z 1•z 3，则z 2=z 1⋅z 3z 1=z 3，故B 正确； 对于C ，设OZ 1→与OZ 2→的夹角为θ，θ∈[0，π]， 若OZ 1→+OZ 2→=OZ 3→，则（OZ 1→+OZ 2→）2＝（OZ 3→）2， 即OZ 1→2+OZ 2→2＝1，即1+1+2cos θ＝1，所以cos θ=−12，所以θ=2π3，即OZ 1→与OZ 2→的夹角为2π3，故C 错误；对于D ，若OZ 1→+OZ 2→+OZ 3→=0→，则﹣（OZ 1→+OZ 2→）=OZ 3→， 则[﹣（OZ 1→+OZ 2→）]2=OZ 3→2，即（OZ 1→+OZ 2→）2=OZ 3→2，由C 选项可知OZ 1→与OZ 2→的夹角为2π3，同理OZ 2→与OZ 3→的夹角为2π3，OZ 1→与OZ 3→的夹角为2π3， 又|OZ 1→|＝|OZ 2→|＝|OZ 3→|＝1，所以∠Z 1Z 2Z 3＝∠Z 1Z 3Z 2＝∠Z 2Z 1Z 3=π3，故D 正确．故选：ABD ．12．已知函数f(x)=lnx −a(x+1)x−1(a ∈R)，则下列说法正确的是（ ）A ．当a ＞0时，f （x ）在（1，+∞）上单调递增B ．若f （x ）的图象在x ＝2处的切线与直线x +2y ﹣5＝0垂直，则实数a =34C ．当﹣1＜a ＜0时，f （x ）不存在极值D ．当a ＞0时，f （x ）有且仅有两个零点x 1，x 2，且x 1x 2＝1 解：因为f(x)=lnx −a(x+1)x−1(a ∈R)，x ＞0且x ≠1， 所以f ′（x ）=1x +2a (x−1)2， 对于A ，当a ＞0时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在（0，1）和（1，+∞）上单调递增，故正确； 对于B ，因为直线x +2y ﹣5＝0的斜率为−12，又因为f （x ）的图象在x ＝2处的切线与直线x +2y ﹣5＝0垂直， 令f ′（2）=12+2a ＝2，解得a =34，故正确； 对于C ，当﹣1＜a ＜0时，不妨取a =−12，则f ′（x ）=1x −1(x−1)2=x 2−3x+1x(x−1)2， 令f ′（x ）＝0，则有x 2﹣3x +1＝0，解得x 1=32−√52，x 2=32+√52， 当x ∈（0，32−√52）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ∈（32−√52，32+√52）时，f ′（x ）＜0，f（x ）单调递减；所以此时函数有极值，故错误；对于D ，由A 可知，当a ＞0时，f （x ）在（0，1）和（1，+∞）上单调递增， 当x ＞1时，f （e a ）＝a ﹣a （1+2e a −1）=−2ae a −1＜0， f （e 3a +1）＝3a +1﹣a （1+2e 3a+1−1）=(3a+1)(e 3a+1−1)−a(e 3a+1+1)e 3a+1−1＞3a(e 3a+1−1)−a(e 3a+1+1)e 3a+1−1=2a(e 3a+1−2)e 3a+1−1＞0，所以f （x ）在（1，+∞）上有一个零点， 又因为当0＜x ＜1时，f （e ﹣a ）＝﹣a ﹣a （1+2e −a −1）=2ae a −1＞0，f （e﹣3a ﹣1）＝﹣3a ﹣1﹣a （1+2e −3a−1−1）＝﹣3a ﹣1﹣a （1+2e 3a+11−e 3a+1）＝﹣3a ﹣1﹣a •1+e 3a+11−e 3a+1=− [（3a +1）+a •e 3a+1+11−e 3a+1 ]=−(3a+1)(1−e 3a+1)+a(e 3a+1+1)1−e 3a+1=−3a(1−e 3a+1)+a(e 3a+1+1)1−e 3a+1=−4a−2ae 3a+11−e 3a+1=2a(2−e 3a+1)e 3a+1−1＜0，所以f （x ）在（0，1）上有一个零点；所以f （x ）有两个零点，分别位于（0，1）和（1，+∞）； 设0＜x 1＜1＜x 2， 令f （x ）＝0，则有lnx −a(x+1)x−1=0， 所以ln 1x−a(1x +1)1x−1=−lnx −a⋅x+1x1−x x=−lnx −a(x+1)1−x =−lnx +a(x+1)x−1=−（lnx −a(x+1)x−1）＝0， 所以f （x ）＝0的两根互为倒数， 所以x 1x 2＝1，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)={|log 3(x −1)|，1＜x ≤4x 2−10x +25，x ＞4，若方程f （x ）＝n 有4个解分别为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则(1x 1+1x 2)(x 3+x 4)= 10 ． 解：作出函数f （x ）的大致图象，如下：可知，0＜n ＜1且当1＜x ≤4时，|log 3（x ﹣1）|＝n 有2个解x 1，x 2； log 3（x 1﹣1）＝﹣n ，log 3（x 2﹣1）＝n ， 得x 1=3−n+1，x 2=3n+1，∴1x 1+1x 2=13−n +1+13n +1=13n +1+3n 1+3n=1；当x ＞4时，由x 2﹣10x +21＝n 有2个解x 3，x 4，根据图象的对称性，得x 3+x 4＝10． ∴(1x 1+1x 2)(x 3+x 4)=1×10=10． 故答案为：10． 14．函数f(x)=ln(2x1+x+a)为奇函数，则实数a ＝ ﹣1 ． 解：根据题意，函数f(x)=ln(2x1+x+a)为奇函数，则f （x ）+f （﹣x ）＝0， 即ln （2x 1+x +a ）+ln （−2x1−x+a ）＝0，变形可得：a 2−(a+2)x 21−x 2=1，必有a ＝﹣1；故答案为：﹣1．15．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱AB ，AD ，AA 1两两夹角都为60°，且AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M ，N 分别为BB 1，B 1C 1的中点，则MN 与AC 所成角的余弦值为 √9114． 解：∵M ，N 分别为BB 1，B 1C 1的中点，∴MN →=12BC 1→=12AD →+12AA 1→，AC →=AB →+AD →，∴MN →2=14AD →2+14AA 1→2+12AD →⋅AA 1→=14+94+12×1×3×cos60°=134，AC →2=AB →2+AD →2+2AB →⋅AD →=4+1+2×2×1×cos60°＝7，MN →⋅AC →=（12AD →+12AA 1→）•（AB →+AD →）=12AD →2+12AB →⋅AD →+12AA 1→⋅AB →+12AA 1→⋅AD →=134，∴cos ＜MN →，AC →＞=MN →⋅AC →|MN →||AC →|=134√132×7=√9114．∴直线MN 与AC 所成角的余弦值为√9114． 故答案为：√911416．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2a 6＝4，a 3＝1，则(S n +94)22a n的最小值为 8 ．解：各项均为正数的等比数列{a n }，由a 2a 6＝4＝a 42，即a 4＝2， ∵a 3＝1， ∴q ＝2，a 1=14，∴a n =14×2n ﹣1＝2n ﹣3，S n =14(1−2n)1−2=2n ﹣2−14，∴（S n +94）2＝（2n ﹣2+2）2＝22（n ﹣2）+4×2n ﹣2+4，∴(S n +94)22a n=22(n−2)+4×2n−2+42n−2=2n ﹣2+42n−2+4≥2√2n−2⋅42n−2+4＝4+4＝8，当且仅当n ＝3时取等号，故答案为：8．四、解答题：（本大题满分70分，每题要求写出详细的解答过程否则扣分）17．（10分）函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，其中MN ∥x 轴． （1）求函数y ＝f （x ）的解析式；（2）将y ＝f （x ）的图像向右平移π4个单位，再向上平移2个单位得到y ＝g （x ）的图像，求g(π8)的值．解：（1）根据函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得函数的图象关于直线x =−π2−π62=−π3对称，5π12+π3=34×2πω，∴ω＝2．再根据五点法作图，可得2×5π12+φ＝0，求得φ=−5π6， 故函数f （x ）＝sin （2x −5π6）． （2）将y ＝f （x ）的图像向右平移π4个单位，可得y ＝sin （2x −π2−5π6）＝sin （2x −4π3）＝sin （2x +2π3）的图象；再向上平移2个单位得到y ＝g （x ）＝sin （2x +2π3）+2的图像． 故g(π8)=sin 11π12+2＝sin π12+2＝sin （π3−π4）+2＝（sin π3cos π4−cos π3sin π4）+2＝（√32×√22−12×√22）+2=√6−√24+2．18．（12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且（a +b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ． （1）求角A 的大小； （2）若sin B 是方程x 2−2x +99100=0的一个根，求cos C 的值． 解：（1）∵（a +b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ，∴利用正弦定理化简得：（a +b ）（a ﹣b ）＝c （c ﹣b ），即b 2+c 2﹣a 2＝bc ， ∴cos A =b 2+c 2−a 22bc =12，∵A ∈（0，π），∴A =π3．（2）∵x 2−2x +99100=0，解得：x 1=910，x 2=1110， ∵由sin B ≤1，得到sin B =910，可得cos B ＝±√1−sin 2B =±√1910， ∴cos C ＝﹣cos （A +B ）＝sin A sin B ﹣cos A cos B =√32×910−12×（±√1910）=9√3±√1920． 19．（12分）函数y ＝2sin x ﹣1在（0，+∞）上的零点从小到大排列后构成数列{a n }． （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n ＝a 2n ﹣1+a 2n ，求数列{b n }的前n 项和S n ． 解：（1）函数y ＝2sin x ﹣1的最小正周期为2π， 函数y ＝2sin x ﹣1在（0，2π）上的零点分别为π6，5π6，数列{a 2n ﹣1} 是以π6为首项，2π为公差的等差数列，即当n 为奇数时，a n =π6+n−12d =nπ−5π6； 数列{a 2n } 是以5π6为首项，2π为公差的等差数列，即当n 为偶数时，a n =5π6+n−22d =nπ−7π6． 综上a n ={nπ−5π6，n 为奇数nπ−7π6，n 为偶数；（2）b n ＝a 2n ﹣1+a 2n ＝4n π﹣3π， S n =(b 1+b n )n2=n(2n −1)π． 20．（12分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，AC ∩BD ＝O 1，AC ∩MN ＝G ．沿MN 将△CMN 翻折到△PMN 的位置，连接P A ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ﹣ABMND ．（1）在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面P AG？证明你的结论；（2）当四棱锥P﹣MNDB体积最大时，求点B到面PDG的距离；（3）在（2）的条件下，在线段P A上是否存在一点Q，使得平面QDN与平面PMN所成角的余弦值为√2929若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．解：（1）在翻折过程中总有平面PBD⊥平面P AG，证明：折叠前，因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，由于M，N分别是边BC，CD的中点，所以MN∥BD，所以MN⊥AC，折叠过程中，MN⊥GP，MN⊥GA，GP∩GA＝G，GP，GA⊂平面P AG，所以MN⊥平面P AG，所以BD⊥平面P AG，由于BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面P AG．（2）当平面PMN⊥平面MNDB时，四棱锥P﹣MNDB体积最大，由于平面PMN∩平面MNDB＝MN，GP⊂平面PMN，GP⊥MN，所以GP⊥平面MNDB，由于AG⊂平面MNDB，所以GP⊥AG，菱形ABCD边长为4，且∠DAB＝60°，所以BD＝4，AC=2√3，PG＝CG=√3，在Rt△O1DG中，DG=√22+(√3)2=√7，所以S△PGD=12×√7×√3=√212，S△BDG=12×4×√3=2√3，设点B到面PDG的距离为h，则由等体积法有V B﹣PDG＝V P﹣BDG，即13S△PDG×ℎ=13S△BDG×PG，即√212ℎ=2√3×√3，所以ℎ=4√21 7，所以点B到面PDG的距离为4√21 7．（3）存在，理由如下：在点G处有GA，GM，GP两两互相垂直，则以G为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，依题意可知P(0，0，√3)，D(√3，−2，0)，B(√3，2，0)，N(0，−1，0)，A(3√3，0，0)，PA →=(3√3，0，−√3)，设PQ ＝λP A （0≤λ≤1），则GQ →=GP →+PQ →=GP →+λPA →=(0，0，√3)+(3√3λ，0，−√3λ)=(3√3λ，0，√3−√3λ)，平面PMN 的法向量为n 1→=(1，0，0)，DQ →=(3√3λ−√3，2，√3−√3λ)，DN →=(−√3，1，0)， 设平面QDN 的法向量为n 2→=(x ，y ，z)， 则{n 2→⋅DQ →=(3√3λ−√3)x +2y +(√3−√3λ)z =0n 2→⋅DN →=−√3x +y =0，故可设n 2→=(λ−1，√3λ−√3，3λ+1)， 设平面QDN 与平面PMN 所成角为θ， 由于平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为√2929， 所以cosθ=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=|λ−1|√(λ−1)+(√3λ−√3)2+(3λ+1)=√2929，解得λ=12或λ＝3（舍去），所以当Q 是P A 的中点时，平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为√2929．21．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n +a n ＝3． （1）求{a n }的通项公式； （2）数列{b n }满足b 1＝1，b n+1b n=n+22(n+1)，设数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n +a n ≥52．解：（1）由S n +a n ＝3，当n ＝1时，S 1+a 1＝3，解得a 1=32；当n ≥2时，S n ﹣1+a n ﹣1＝3，相减得a n +a n ﹣a n ﹣1＝0，即a n a n−1=12，∴数列{a n }是以32为首项，12为公比的等比数列，故a n =32n ，验证n ＝1时成立， 故a n =32n ； （2）b 1＝1，b n+1b n=n+22(n+1)，故b n =b n b n−1⋅b n−1b n−2⋅⋯⋅b 2b 1⋅b 1=(12)n−1(n+1n ⋅n n−1⋅n−1n−2⋅⋯⋅32)×1=n+12n （n ≥2）， b 1＝1适合上式，则b n =n+12n ． ∴T n =22+322+423+⋯+n+12n ， 12T n =222+323+424+⋯+n+12n+1，两式相减可得： 12T n =1+122+123+124+⋯+12n−n+12n+1=1+122(1−12n−1)1−12−n+12n+1=32−n+32n+1，∴T n =3−n+32n ，T n +a n =3−n 2n ． 令c n =n 2n ，c n+1−c n =n+12n+1−n 2n =−n+12n+1，n ∈N *， 故c 1＝c 2，且c n+1−c n =−n+12n+1＜0，n ≥2，n ∈N *， c n 是从第二项开始单调递减数列，得(c n )max =c 1=c 2=12．故T n +a n =3−n 2n ≥3−12=52． 22．（12分）已知函数h （x ）＝ln （2ex ﹣e ），g （x ）＝2ax ﹣2a ，a ∈R ．（1）若曲线f （x ）＝h （x ）﹣g （x ）在（1，f （1））处的切线与直线x ﹣y +1＝0平行，求函数f （x ）的极值；（2）已知f （x ）＝h （x ）﹣g （x ），若f （x ）＜1+a 恒成立．求证：对任意正整数n ＞1，都有∑ln 2n k=1k 54＜n(n +1)．解：（1）由f （x ）＝ln （2ex ﹣e ）﹣2ax +2a ，可得f ′(x)=22x−1−2a ， 由条件可得f ′（1）＝2﹣2a ＝1，即a =12，则f(x)=ln(2x −1)−x +2，f ′(x)=22x−1−1=−(2x−3)2x−1(x ＞12)，令f′（x）＝0可得x=3 2，当x＞32时，f′（x）＜0，当12＜x＜32时，f′（x）＞0．所以f（x）在(32，+∞)上单调递减，在(12，32)上单调递增，所以f（x）的极大值为f(32)=ln2−32+2=ln2+12，无极小值．（2）证明：f（x）＜1+a，即ln（2x﹣1）﹣a（2x﹣1）＜0对任意的x＞12恒成立，即a（2x﹣1）＞ln（2x﹣1），其中x＞1 2，令t＝2x﹣1＞0，则at＞lnt，即at＞lnt⇒a＞lnt t，构造函数g(t)=lntt，则g′(t)=1−lnt2，令g′（t）＝0，得t＝e，列表如下：所以函数y＝g（t）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞），所以g(t)max=g(e)=1 e ，所以a＞1 e ，即a＞1e时，ln（2x﹣1）＜a（2x﹣1）恒成立，取a=25，则ln(2x−1)＜2(2x−1)5对任意的x＞12恒成立，令k＝2x﹣1（k∈N*），则lnk＜2k 5，所以ln1+ln2+ln3+⋯+ln(2n)＜25(1+2+3+⋯+2n)=2n(1+2n)5＜4n(n+1)5，所以∑2n k=154lnk＜n(n+1)，即∑ln2nk=1k54＜n(n+1)．。