【2014-2015学年高中数学(人教A版,必修一) 第一章集合与函数概念 1.1习题课 课时作业

第1讲 §1.1.1 集合的含义与表示¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.¤知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈，2N -∉.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数.解：（1）用描述法表示为：2{|(23)0}x R x x x ∈--=； 用列举法表示为{0,1,3}-. （2）用描述法表示为：{|27}x Z x ∈<<； 用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B .解：由3217k +=，解得5k Z =∈，所以17A ∈；由325k +=-，解得73k Z =∉，所以5A -∉； 由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈.【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合. 解：（1）3{(,)|}{(1,4)}26y x x y y x =+⎧=⎨=-+⎩. （2）2{|4}{|4}y y x y y =-=≥-. （3）2{|}{|0}x y x x x==≠.点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例4】已知集合2{|1}2x aA a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ． 解：化方程212x ax +=-为：2(2)0x x a --+=．应分以下三种情况： ⑴方程有等根且不是2±：由 △=0，得94a =-，此时的解为12x =，合．⑵方程有一解为2，而另一解不是2-：将2x =代入得2a =-，此时另一解12x =-，合．⑶方程有一解为2-，而另一解不是2：将2x =-代入得2a =，此时另一解为21x =+，合．综上可知，9{,2,2}4A =--．点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.第1练 §1.1.1 集合的含义与表示※基础达标1．以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）. A. 中国古代四大发明 B. 地球上的小河流 C. 方程210x -=的实数解 D. 周长为10cm 的三角形 2．方程组{23211x y x y -=+=的解集是（ ）.A . {}51，B. {}15，C. (){}51，D. (){}15， 3．给出下列关系：①12R ∈； ②2Q ∈；③ *3N ∈；④0Z ∈. 其中正确的个数是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 44．有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3，2，1}；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1，1，2}；（4）集合{45}x x <<是有限集. 其中正确的说法是（ ）.A. 只有（1）和（4）B. 只有（2）和（3）C. 只有（2）D. 以上四种说法都不对5．下列各组中的两个集合M 和N, 表示同一集合的是（ ）.A. {}M π=, {3.14159}N =B. {2,3}M =, {(2,3)}N =C. {|11,}M x x x N =-<≤∈, {1}N =D. {1,3,}M π=, {,1,|3|}N π=- 6．已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是 . 7．已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为 . ※能力提高8．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数223y x x =-+的函数值组成的集合； （2）函数232y x =-的自变量的值组成的集合. 9．已知集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，试用列举法表示集合A . ※探究创新 10．给出下列集合：①{(x ，y )|x ≠1，y ≠1，x ≠2，y ≠-3}； ②{{12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎨⎬≠≠-⎩⎭且 ③{{12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎨⎬≠≠-⎩⎭或 ； ④{(x ，y )|[(x -1)2+(y -1)2]·[(x -2)2+(y +3)2]≠0}． 其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点（1，1），（2，-3）之外的所有点的集合”的序号有 .第2讲 §1.1.2 集合间的基本关系¤学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用Venn 图表达集合间的关系.¤知识要点：1. 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A 是集合B 的子集（subset ），记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.2. 如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），即集合A 与集合B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A B =.A BB A A B A BA ．B ．C ．D ．3. 如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作A ≠⊂B （或B ≠⊃A ）.4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set ），记作∅，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质：A A ⊆；若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆；若A B A =I ，则A B ⊆；若A B A =U ，则B A ⊆.¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空：（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.（2）∅ 2{|20}x R x ∈+=； 0 {0}； ∅ {0}； N {0}. 解：（1）， ；（2）=， ∈， ，. 【例2】设集合1,,}22{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B 关系的是（ ）. 解：简单列举两个集合的一些元素，3113{,1,,0,,1,,}2222A =⋅⋅⋅---⋅⋅⋅，3113{,,,,,}2222B =⋅⋅⋅--⋅⋅⋅，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．另解：由21,}2{|n x n B x +=∈=Z ，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．【例3】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，求实数a 的值.解：由26023x x x +-=⇒=-或，因此，{}2,3M =-. （i ）若0a =时，得N =∅，此时，N M ⊆； （ii ）若0a ≠时，得1{}N a =. 若N M ⊆,满足1123a a ==-或，解得1123a a ==-或. 故所求实数a 的值为0或12或13-. 点评：在考察“A B ⊆”这一关系时，不要忘记“∅” ，因为A =∅时存在A B ⊆. 从而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ，求实数x 的值.解：若22a b axa b ax +=⎧⎨+=⎩⇒a +ax 2-2ax =0, 所以a (x -1)2=0，即a =0或x =1. 当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去； 当x =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去.若22a b ax a b ax⎧+=⎨+=⎩⇒2ax 2-ax -a =0. 因为a ≠0，所以2x 2-x -1=0, 即(x -1)(2x +1)=0. 又x ≠1，所以只有12x =-. 经检验，此时A =B 成立. 综上所述12x =-. 点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第2练 §1.1.2 集合间的基本关系※基础达标1．已知集合{}{}3,,6,A x x k k Z B x x k k Z ==∈==∈, 则A 与B 之间最适合的关系是（ ）. A.A B ⊆ B.A B ⊇ C. A ≠⊂B D. A ≠⊃B2．设集合{}|12M x x =-≤<，{}|0N x x k =-≤，若M N ⊆，则k 的取值范围是（ ）. A ．2k ≤ B ．1k ≥- C ．1k >- D ．2k ≥3．若2{,0,1}{,,0}a a b -=，则20072007a b +的值为（ ）. A. 0 B. 1 C. 1- D. 24．已知集合M ={x |x =2k +14,k ∈Z }, N ={x |x =4k +12, k ∈Z }. 若x 0∈M ，则x 0与N 的关系是（ ）. A. x 0∈N B. x 0∉N C. x 0∈N 或x 0∉N D.不能确定5．已知集合P ={x |x 2=1}，集合Q ={x |ax =1}，若Q ⊆P ，那么a 的值是（ ）.A. 1B. －1C. 1或－1D. 0，1或－1 6．已知集合{},,,A a b c =，则集合A 的真子集的个数是 . 7．当2{1,,}{0,,}b a a a b a=+时，a =_________，b =_________. ※能力提高8．已知A ={2,3}，M ={2,5,235a a -+}，N ={1,3, 2610a a -+}，A ⊆M ，且A ⊆N ，求实数a 的值. 9．已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-.若B A ⊆，求实数m 的取值范围. ※探究创新10．集合S ={0，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x -1∉A 且x +1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，写出S 中所有无“孤立元素”的4元子集.第3讲 §1.1.3 集合的基本运算（一）¤学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.¤知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.并集交集补集概念由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（union set ）由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的交集（intersection set ） 对于集合A,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ） 记号 A B U （读作“A 并B ”） A B I （读作“A 交B ”）U A ð（读作“A 的补集”）符号 {|,}A B x x A x B =∈∈U 或{|,}A B x x A x B =∈∈I 且{|,}U A x x U x A =∈∉且ð图形表示¤例题精讲：【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<<I U 求ð. 解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤I ，(){|1,9}U C A B x x x =<-≥U 或，【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求：（1）()A B C I I ； （2）()A A B C I U ð. 解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------Q . （1）又{}3B C =Q I ，∴()A B C =I I {}3； （2）又{}1,2,3,4,5,6B C =Q U ， 得{}()6,5,4,3,2,1,0A C B C =------U . ∴ ()A A C B C I U {}6,5,4,3,2,1,0=------.UAA BB A I-1359x【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A =I ，求实数m 的取值范围. 解：由A B A =I ，可得A B ⊆.在数轴上表示集合A 与集合B ，如右图所示：由图形可知，4m ≥.点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C A B U ，()U C A B I ，()()U U C A C B I ， ()()U U C A C B U ，并比较它们的关系.解：由{1,2,3,4,5,8}A B =U ，则(){6,7,9}U C A B =U . 由{5,8}A B =I ，则(){1,2,3,4,6,7,9}U C A B =I 由{1,3,6,7,9}U C A =，{2,4,6,7,9}U C B =， 则()(){6,7,9}U U C A C B =I ，()(){1,2,3,4,6,7,9}U U C A C B =U .由计算结果可以知道，()()()U U U C A C B C A B =U I ，()()()U U U C A C B C A B =I U .另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.点评：可用Venn 图研究()()()U U U C A C B C A B =U I 与()()()U U U C A C B C A B =I U ，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.第3练 §1.1.3 集合的基本运算（一）※基础达标1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =,{}2,4,5A =，则U A =ð（ ）.A. ∅B. {}2,4,6C. {}1,3,6,7D. {}1,3,5,7 2．若{|02},{|12}A x x B x x =<<=≤<，则A B =U （ ）.A. {|2}x x <B. {|1}x x ≥C. {|12}x x ≤<D. {|02}x x << 3．右图中阴影部分表示的集合是（ ）. A. U A B I ð B. U A B I ð C. ()U A B I ð D. ()U A B U ð4．若{}{}0,1,2,3,|3,A B x x a a A ===∈，则A B =I （ ）. A. {}1,2 B. {}0,1 C. {}0,3 D. {}35．设集合{|12}M x x =-≤<,{|0}N x x k =-≤，若M N φ≠I ，则k 的取值范围是（ ）. A ．2k ≤ B ．1k ≥- C ．1k -> D ．12k -<≤6．设全集*{|8}U x N x =∈<，{1,3,5,7}A =，{2,4,5}B =,则()U C A B U = . 7．已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，那么集合M N I = . ※能力提高8．设全集*{|010,}U x x x N =<<∈，若{3}A B =I ，{1,5,7}U A B =I ð，{9}U UA B =I 痧，求集合A 、B .9．设U R =，{|24}A x x =-≤<，{|8237}B x x x =-≥-，求()U A B U ð、()()U UA B I 痧.※探究创新10．设集合{|(4)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(1)(4)0}B x x x =--=. （1）求A B U ，A B I ；（2）若A B ⊆，求实数a 的值；（3）若5a =，则A B U 的真子集共有 个, 集合P 满足条件()A B I ≠⊂P ≠⊂()A B U ，写出所有可能的集合P .第4讲 §1.1.3 集合的基本运算（二）¤学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中的一些数学思想方法.-2 4 m xB AA¤知识要点：1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：()()()U U U C A B C A C B =I U ,()()()U U U C A B C A C B =U I .2. 集合元素个数公式：()()()()n A B n A n B n A B =+-U I .3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维. ¤例题精讲：【例1】设集合{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，若{}9A B =I ，求实数a 的值. 解：由于{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，且{}9A B =I ，则有：当219 a -＝时，解得5a ＝，此时={4, 9, 25}={9, 0, 4}A B －，－，不合题意，故舍去； 当29a ＝时，解得33a ＝或－.3 ={4,5,9} ={9,2,2}a A B ＝时，－，－－，不合题意，故舍去； 3={4, 7 9}={9, 8, 4}a A B ＝－，－－，，－，合题意.所以，3a ＝－.【例2】设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求A B U , A B I .（教材P 14 B 组题2）解：{1,4}B =.当3a =时，{3}A =，则{1,3,4}A B =U ，A B =∅I ； 当1a =时，{1,3}A =，则{1,3,4}A B =U ，{1}A B =I ； 当4a =时，{3,4}A =，则{1,3,4}A B =U ，{4}A B =I ；当3a ≠且1a ≠且4a ≠时，{3,}A a =，则{1,3,4,}A B a =U ，A B =∅I .点评：集合A 含有参数a ，需要对参数a 进行分情况讨论. 罗列参数a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例3】设集合A ={x |240x x +=}， B ={x |222(1)10x a x a +++-=，a R ∈}，若A I B =B ，求实数a 的值． 解：先化简集合A ={4,0}-. 由A I B =B ，则B ⊆A ，可知集合B 可为∅，或为{0}，或{－4}，或{4,0}-. (i )若B =∅，则224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得a ＜1-； (ii )若0∈B ，代入得2a 1-=0⇒a =1或a =1-， 当a =1时，B =A ，符合题意；当a =1-时，B ={0}⊆A ，也符合题意．(iii )若－4∈B ，代入得2870a a -+=⇒a =7或a =1， 当a =1时，已经讨论，符合题意； 当a =7时，B ={－12，－4}，不符合题意． 综上可得，a =1或a ≤1-．点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A =B 和B =∅的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.【例4】对集合A 与B ，若定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，当集合*{|8,}A x x x N =≤∈，集合{|(2)(5)(6)0}B x x x x x =---=时，有A B -= . （由教材P 12 补集定义“集合A 相对于全集U 的补集为{|,}U C A x x x A =∈∉U 且”而拓展）解：根据题意可知，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =，{0,2,5,6}B = 由定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，则{1,3,4,7,8}A B -=.点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A 中排除B 的元素. 如果再给定全集U ，则A B -也相当于()U A C B I .第4练 §1.1.3 集合的基本运算（二）※基础达标1．已知集合A = {}1,2,4, B ={}8x x 是的正约数, 则A 与B 的关系是（ ）. A. A = B B. A ≠⊂B C. A ≠⊃B D. A ∪B =∅2．已知,,a b c 为非零实数, 代数式||||||||a b c abca b c abc +++的值所组成的集合为M , 则下列判断正确的是（ ）. A. 0M ∉ B. 4M -∉ C. 2M ∈ D. 4M ∈3．（08年湖南卷.文1）已知{}2,3,4,5,6,7U =，{}3,4,5,7M =，{}2,4,5,6N =，则（ ）. A ．{}4,6M N =I B.M N U =U C ．()u C N M U =U D. ()u C M N N =I4．定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，若{1,2,3}A =，{1,2}B =，则A B *中的所有元素数字之和为（ ）.A ．9 B. 14 C. 18 D. 215．设全集U 是实数集R ，{}2|4M x x =>与{}|31N x x x =≥<或都是U 的子集（如右图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）.A. {}|21x x -≤<B. {}|22x x -≤≤C. {}|12x x <≤D. {}|2x x <6．已知集合{11}A x x =-≤≤，{}B x x a =>，且满足A B φ=I ，则实数a 的取值范围是 . 7．经统计知，某村有电话的家庭有35家，有农用三轮车的家庭有65家，既有电话又有农用三轮车的家庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为 . ※能力提高8．已知集合2{|0}A x x px q =++=， 2{|20}B x x px q =--=，且{1}A B =-I ，求A B U ． 9．已知集合U =2{2,3,23}a a +-，A ={|a +1|，2}，U C A ={a +3}，求实数a 的值. ※探究创新10．（1）给定集合A 、B ，定义A ※B ={x |x =m -n ，m ∈A ，n ∈B }．若A ={4，5，6}，B ={1，2，3}，则集合A ※B 中的所有元素之和为（ ）A ．15B ．14C ．29D ．-14（2）设全集为U ，集合A 、B 是U 的子集，定义集合A 、B 的运算：A *B ={x |x ∈A ，或x ∈B ,且x ∉A ∩B }，则(A *B )*A等于（ ）A ．AB ．BC ．()U A B ð∩D ．()U A B ð∪（3）已知集合A ={x |2x n ≠且3x n ≠，n ∈N ，x ∈N *，x ≤100}，试求出集合A 的元素之和.第5讲 §1.2.1 函数的概念¤学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.¤知识要点：1. 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作y =()f x ，x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.2. 设a 、b 是两个实数，且a <b ，则：{x |a ≤x ≤b }＝[a ,b ] 叫闭区间； {x |a <x <b }＝(a ,b ) 叫开区间；{x |a ≤x <b }＝[,)a b ， {x |a <x ≤b }＝(,]a b ，都叫半开半闭区间.符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞. 3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域： （1）121y x =+-；（2）3312x y x -=--.解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-， 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞U U .（2）由330120x x -≥⎧⎪⎨--≠⎪⎩，解得3x ≥且9x ≠，所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞U .【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）3254x y x+=-； （2）22y x x =-++. 解：（1）要使函数有意义，则540x -≠，解得54x ≠. 所以原函数的定义域是5{|}4x x ≠.32112813(45)233233305445445445444x x x y x x x x ++-+==⨯=⨯=-+≠-+=-----，所以值域为3{|}4y y ≠-.（2）22192()24y x x x =-++=--+. 所以原函数的定义域是R ，值域是9(,]4-∞.【例3】已知函数1()1xf x x-=+. 求：（1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式解：（1）由121x x -=+，解得13x =-，所以1(2)3f =-.（2）设11x t x -=+，解得11t x t -=+，所以1()1t f t t -=+，即1()1xf x x-=+. 点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.【例4】已知函数22(),1x f x x R x =∈+.（1）求1()()f x f x +的值；（2）计算：111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++.解：（1）由2222222221111()()1111111x x x x f x f x x x x x x ++=+=+==+++++.（2）原式11117(1)((2)())((3)())((4)())323422f f f f f f f =++++++=+=点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.第5练 §1.2.1 函数的概念※基础达标1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）. A. 1,xy y x== B. 211,1y x x y x =-+=-gC. 33,y x y x == D. 2||,()y x y x ==2．函数21232xy x x -=--的定义域为（ ）.A. (,1]-∞B. (,2]-∞C. 11(,)(,1]22-∞--ID. 11(,)(,1]22-∞--U3．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）.4．下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）.5．已知函数()f x 的定义域为[1,2)-，则(1)f x -的定义域为（ ）.A ．[1,2)-B ．[0,2)-C ．[0,3)-D ．[2,1)-6．已知()f x ＝2x ＋x ＋1，则(2)f ＝______；f ［(2)f ］＝______． 7．已知2(21)2f x x x +=-，则(3)f = . ※能力提高8．（1）求函数21x y x -=-的定义域； （2）求函数2113x y x+=-的定义域与值域. 9．已知2()f x ax bx c =++，(0)0f =，且(1)()1f x f x x +=++，试求()f x 的表达式.※探究创新10．已知函数()f x ，()g x 同时满足：()()()()()g x y g x g y f x f y -=+；(1)1f -=-，(0)0f =，(1)1f =，求(0),(1),(2)g g g 的值.第6讲 §1.2.2 函数的表示法¤学习目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念.¤知识要点：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）.3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”.判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f .¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．解：盒子的高为x ，长、宽为2a x －，所以体积为V ＝2(2)x a x －.又由20a x >－，解得2a x <. 所以，体积V 以x 为自变量的函数式是2(2)V x a x =－，定义域为{|0}2a x x <<.【例2】已知f (x )=333322x x x x-⎧++⎪⎨+⎪⎩ (,1)(1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值.解：∵ 0(,1)∈-∞， ∴ f (0)=32. 又 ∵ 32>1，∴ f (32)=(32)3+(32)-3=2+12=52，即f [f (0)]=52. 【例3】画出下列函数的图象：（1）|2|y x =-； （教材P 26 练习题3） （2）|1||24|y x x =-++.解：（1）由绝对值的概念，有2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩.所以，函数|2|y x =-的图象如右图所示.（2）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，所以，函数|1||24|y x x =-++的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，当( 2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.解：3, 2.522,211,10()0,011,122,233,3x x x f x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪--≤<⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪=⎩. 函数图象如右：点评：解题关键是理解符号[]m 的概念，抓住分段函数的对应函数式.第6练 §1.2.2 函数的表示法※基础达标1．函数f (x )= 2(1)xx x ⎧⎨+⎩,0,0x x ≥< ，则(2)f -=（ ）.A. 1 B .2 C. 3 D. 42．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t ，离开家里的路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是（ ）.3．已知函数()f x 满足()()()f ab f a f b =+，且(2)f p =，(3)f q =，那么(12)f 等于（ ）.A . p q + B. 2p q + C. 2p q + D. 2p q +4．设集合A ＝｛x ｜0≤x ≤6｝，B ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是（ ）. A. f ：x →y ＝12x B. f ：x →y ＝13xC. f ：x →y ＝14x D. f ：x →y ＝16x 5．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的话费由[]3.71,(04)() 1.06(0.52),(4)m f m m m <≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩g 给出，其中[]m 是不超过m 的最大整数，如：[]3.743=，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是（ ）.A. 3.71B. 4.24C. 4.77D. 7.956．已知函数(),mf x x x=+且此函数图象过点（1，5），实数m 的值为 . 7．24,02(),(2)2,2x x f x f x x ⎧-≤≤==⎨>⎩已知函数则 ；若00()8,f x x ==则 . ※能力提高8．画出下列函数的图象：（1）22||3y x x =-++； （2）2|23|y x x =-++.9．设二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-且()f x =0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求()f x 的解析式※探究创新10．（1）设集合{,,}A a b c =，{0,1}B =. 试问：从A 到B 的映射共有几个？ （2）集合A 有元素m 个，集合B 有元素n 个，试问：从A 到B 的映射共有几个？第7讲 §1.3.1 函数的单调性¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别.¤知识要点：1. 增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasing function ）. 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x )的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；→计算f (x 1)－f (x 2) →判断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间（0，1）上的单调性. 解：任取12,x x ∈(0,1)，且12x x <. 则1221121212222()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=----. 由于1201x x <<<，110x -<，210x -<，210x x ->，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >.所以，函数2()1xf x x =-在（0，1）上是减函数. 【例2】求二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<的单调区间及单调性.解：设任意12,x x R ∈，且12x x <. 则22121122()()()()f x f x ax bx c ax bx c -=++-++221212()()a x x b x x =-+-1212()[()]x x a x x b =-++.若0a <，当122b x x a <≤-时，有120x x -<，12bx x a+<-，即12()0a x x b ++>，从而12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在(,]2b a -∞-上单调递增. 同理可得()f x 在[,)2ba-+∞上单调递减.【例3】求下列函数的单调区间：（1）|1||24|y x x =-++；（2）22||3y x x =-++.解：（1）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，其图象如右.由图可知，函数在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数.（2）22223,02||323,0x x x y x x x x x ⎧-++≥⎪=-++=⎨--+<⎪⎩，其图象如右.由图可知，函数在(,1]-∞-、[0,1]上是增函数，在[1,0]-、[1,)+∞上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到(||)f x 的图象. 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.【例4】已知31()2x f x x +=+，指出()f x 的单调区间. 解：∵ 3(2)55()322x f x x x +--==+++， ∴ 把5()g x x-=的图象沿x 轴方向向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到()f x 的图象，如图所示.由图象得()f x 在(,2)-∞-单调递增，在(2,)-+∞上单调递增.点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知()f x a b ++平移变换规律.第7练 §1.3.1 函数的单调性※基础达标1．函数26y x x =-的减区间是（ ）.A . (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞ 2．在区间（0，2）上是增函数的是（ ）.A. y =－x +1B. y =xC. y = x 2－4x ＋5 D. y =2x3．函数()||()(2)f x x g x x x ==-和的递增区间依次是（ ）.A. (,0],(,1]-∞-∞B. (,0],[1,)-∞+∞C. [0,),(,1]+∞-∞D. [0,),[1,)+∞+∞ 4．已知()f x 是R 上的增函数，令()(1)3F x f x =-+，则()F x 是R 上的（ ）. A ．增函数 B ．减函数 C ．先减后增 D ．先增后减5．二次函数2()2f x x ax b =++在区间(-∞，4)上是减函数，你能确定的是（ ）.A. 2a ≥B. 2b ≥C. 4a ≤-D. 4b ≤-6．函数()f x 的定义域为(,)a b ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x -->，则()f x 在(,)a b 上是 . （填“增函数”或“减函数”或“非单调函数”）7．已知函数f (x )= x 2－2x ＋2，那么f (1)，f (－1)，f (3)之间的大小关系为 . ※能力提高8．指出下列函数的单调区间及单调性：（1）3()1x f x x +=-；（2）2|23|y x x =-++ 9．若2()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f ==. （1）求b 与c 的值；（2）试证明函数()f x 在区间(2,)+∞上是增函数.※探究创新10．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数m 、n 均有()()()1f m n f m f n +=+-，且1()22f =，又当12x >-时，有()0f x >. （1）求1()2f -的值； （2）求证：()f x 是单调递增函数.第8讲 §1.3.1 函数最大（小）值¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 能利用单调性求函数的最大（小）值.¤知识要点：1. 定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x = M . 那么，称M 是函数()y f x =的最大值（Maximum Value ）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value ）的定义.2. 配方法：研究二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值，先配方成224()24b ac b y a x a a-=++后，当0a >时，函数取最小值为244acb a -；当0a <时，函数取最大值244ac b a-.3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：【例1】求函数261y x x =++的最大值.解：配方为2613()24y x =++，由2133()244x ++≥，得260813()24x <≤++. 所以函数的最大值为8.【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.解：设他将售出价定为x 元，则提高了(10)x -元，减少了10(10)x -g 件，所赚得的利润为(8)[10010(10)]y x x =---g g .即2210280160010(14)360y x x x =-+-=--+. 当14x =时，max 360y =.所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360元. 【例3】求函数21y x x =+-的最小值.解：此函数的定义域为[)1,+∞，且函数在定义域上是增函数， 所以当1x =时，min 2112y =+-=，函数的最小值为2.点评：形如y ax b cx d =+±+的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究. 【另解】令1x t -=，则0t ≥，21x t =+，所以22115222()48y t t t =++=++，在0t ≥时是增函数，当0t =时，min 2y =，故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）25332,[,]22y x x x =--∈-； （2）|1||2|y x x =+--.解：（1）二次函数232y x x =--的对称轴为2bx a=-，即1x =-. 画出函数的图象，由图可知，当1x =-时，max 4y =； 当32x =时，min 94y =-.所以函数25332,[,]22y x x x =--∈-的最大值为4,最小值为94-.（2） 3 (2)|1||2|2 1 (12)3 (1)x y x x x x x ≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩.作出函数的图象，由图可知，[3,3]y ∈-. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.第8练 §1.3.1 函数最大（小）值※基础达标 1．函数42y x =-在区间 []3,6上是减函数，则y 的最小值是（ ）. A . 1 B. 3 C. －2 D. 52．函数221y x x =-+的最大值是（ ）.A. 8B. 83C. 4D. 433．函数2()2f x x ax a =-+在区间(,1)-∞上有最小值，则a 的取值范围是（ ）. A ．1a < B ．1a ≤ C ．1a > D ． 1a ≥4．某部队练习发射炮弹，炮弹的高度h 与时间t 的函数关系式是()24.914.718h t t t =-++则炮弹在发射几秒后最高呢（ ）.A. 1.3秒B. 1.4秒C. 1.5秒 D 1.6秒5. 23()1,[0,]2f x x x x =++∈已知函数的最大（小）值情况为（ ）.A. 有最大值34，但无最小值B. 有最小值34，有最大值1C. 有最小值1，有最大值194D. 无最大值，也无最小值6．函数32y x x =--的最大值是 .7．已知3()3xf x x =-，[4,6]x ∈. 则()f x 的最大值与最小值分别为 . ※能力提高8．已知函数2()2f x x x =-+.（1）证明()f x 在[1,)+∞上是减函数;（2）当[]2,5x ∈时，求()f x 的最大值和最小值.9．一个星级旅馆有100个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如右： 欲使每天的的营业额最高，应如何定价？ ※探究创新10．已知函数2142a y x ax =-+-+在区间[0，1]上的最大值为2，求实数a 的值. 第9讲 §1.3.2 函数的奇偶性¤学习目标：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性.¤知识要点：1. 定义：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）. 如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-），那么函数()f x 叫奇函数（odd function ）.2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称.3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别()f x -与()f x 的关系. ¤例题精讲：【例1】判别下列函数的奇偶性： （1）31()f x x x=-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-. 解：（1）原函数定义域为{|0}x x ≠，对于定义域的每一个x ，都有3311()()()()f x x x f x x x-=--=--=--， 所以为奇函数. （2）原函数定义域为R ，对于定义域的每一个x ，都有()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=--+-+=-++=，所以为偶函数.（3）由于23()()f x x x f x -=+≠±，所以原函数为非奇非偶函数. 【例2】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x -=+，求()f x 、()g x . 解：∵ ()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ∴ ()()f x f x -=-，()()g x g x -=.则1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪---=⎪-+⎩，即1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪--=⎪-+⎩.两式相减，解得2()1x f x x =-；两式相加，解得21()1g x x =-. 【例3】已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式.解：作出函数22242(1)2,0y x x x x =-+=--+≥的图象，其顶点为(1,2). ∵ ()f x 是偶函数， ∴ 其图象关于y 轴对称.作出0x <时的图象，其顶点为(1,2)-，且与右侧形状一致， ∴ 0x <时，22()2(1)224f x x x x =-++=--.点评：此题中的函数实质就是224||y x x =-+. 注意两抛物线形状一致，则二次项系数a 的绝对值相同. 此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下.【另解】当0x <时，0x ->，又由于()f x 是偶函数，则()()f x f x =-，所以，当0x <时，22()()2()4()24f x f x x x x x =-=--+-=--.【例4】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0)-∞上是减函数，实数a 满足不等式22(33)(32)f a a f a a +-<-，求实数a 的取值范围.解：∵ ()f x 在区间(,0)-∞上是减函数， ∴ ()f x 的图象在y 轴左侧递减.房价（元） 住房率（%）160 55 140 65 120 75 10085。

第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示一、集合、元素的概念与关系1.集合、元素的概念：（1）元素：把研究对象统称为元素，通常用小写字母a，b，c …表示；（2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合，通常用大写字母A，B，C …表示.①集合是一个整体；②构成集合的元素通常有数、式、点等数学对象外，还可以是其它任何确定对象.2.元素与集合的关系：元素与集合“属于”与“不属于”的关系.（1）如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A .“∈”，“∉”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合的从属关系.二、集合中元素的特征1.确定性：构成集合的元素必须是确定的.如“个子高的同学”这组对象不能构成集合；“身高大于170cm的同学”这组对象可以构成集合.2.互异性：集合的元素必须是互不相同的.如方程x2-2x+1=0的解构成的集合是{1}，不能写成{1,1}3.无序性：集合中元素的排列次序无先后之分.如集合{1,2}与{2,1}是同一个集合.例1.下列每组对象是否构成一个集合：（1）数学必修1课本的难题；×（2）不超过20的非负数；√（3）方程x2-16=0的解；√（4）π的近似值. ×例2.在集合{3，x,x2－2x}中，写出x应满足的条件.解：x≠3，x2-2x≠3，x2-2x≠x，解得x≠3且x≠0且x≠-1三、常见的数集及其记法非负整数集（自然数集） N正整数集 N*或N+整数集 Z实数集 R有理数集 Q例3.用符号“∈”或“∉”填空（1）1 ∈ N*；（2）0 ∈ N；（3）√3∈ Z；（4）π∈ Q.四、集合的表示1.自然语言法：用语言文字叙述的形式描述集合的方法.如被3除余2的正整数的集合.2.列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“{}”括起来表示集合的方法.（1）元素减用逗号隔开；（2）元素不能重复；（3）元素较多，元素又呈现一定的规律在不发生无解的情况下，可以列出几个元素作为代表，其他元素可以用省略号表示；如不大于100的正整数构成的集合，可表示成{1,2,3，… ,100}.（4）可以表示有限集合，也可以表示无限集合.如正整数集合，可表示成{1,2,3，… }3.描述法：（1）用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.（2）具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号，再画一条竖线，在竖线后写出这个这个集合中元素所具有的共同特征及集合元素的取值范围.（3）描述法的一般形式是{x| p (x),x∈I }.不等式x－2>4的解集x>6可表示成{x|x>6，x∈R}（4）注意事项：①.写清楚集合中元素的代表符号及取值范围，如小于6的自然数集合可表示成{x|x<6，x∈N }；②.用简明、准确的语言说明集合元素中的性质；③.不能出现未被说明的字母，如{x|x=2m,x∈Z }中m未被说明，故此集合元素是不明确的；④.所有描述的内容都要写在集合括号内，如{x|x=2m,x∈Z }，m∈N*，不符合要求，应{x|x=2m, m∈N*，x∈Z}；⑤.元素的取值范围从上下文来看，明确的可以省略不写，如{x|x=2m, m∈N*，x∈Z }可写成{x|x=2m, m∈N*}；⑥.应当准确的使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x|x<-1或x>-1}等.4.图示法5.Venn图法6.有限集、无限集（1）当集合中的元素的个数有限时，称之为有限集；（2）当集合中的元素的个数无限时，则称之为无限集.对于有限集，集合{1，2，3，4 }与集合{2，1，3，4 }表示同一个集合，但对于无限集合{1，2，3，4，… }，不能写成{2，1，3，4，… }例4.用特定的方法表示下列集合：（1）A={（x ，y ）x+y=5，x ，y ∈N}；（例举法）（2）B={31，24，35，46，57}.（描述法） 解：（1）A={（0，5），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（5，0）}（2）B={x|2x x +,x ∈N *} 五、数集与点集的区分方法：要弄清集合中元素的形式，代表元素的属性.{x|y=x 2+1}表示有函数y=x 2+1中所有自变量的取值组成的集合，即{x|x ∈R}，{（x ，y ）|y=x 2+1}表示函数y=x 2+1图象上所有点组成的集合.【例题讲解】题型一：集合的概念例5.判断下列每组对象能否构成一个集合：（1）著名的科学家； ×（2）高一（1）班所有矮个子同学； ×（3）高一（1）班不超过17周岁的同学； √（4）所有参加2012年伦敦奥运会的国家. √题型二：集合与元素之间的关系例6.已知a=123-，A={x|x=m+3n ，m ，n ∈Z}，则a 与A 之间是什么关系？ 解：a=2+3=2+3×1, 且2,1∈Z ，所以a ∈A.题型三：集合的表示例7.已知集合M={x|x=3n ，n ∈Z}，N={x|x=3n+1，n ∈Z}，P={x|x=3n-1，n ∈Z}，且a ∈M ，b ∈N ，c ∈P.设d=a-b+c ，则（ B ）A.d ∈M B. d ∈N C. d ∈P D.以上都不对 解：设a=3p ，b=3q+1，c=3s-1，p ，q ，s ∈Z ，p-q+s-1∈Z则d=3p-(3q+1)+(3s-1)=3(p-q+s)-2=3(p-q+s-1)+1，所以d ∈N例8.方程组⎩⎨⎧=-=+422y x y x 的解集用列举法表示为 {（2，-2）} ，用描述法表示为 {（x ，y ）|⎩⎨⎧=-=+422y x y x } .例9.如图，用描述法表示图中阴影部分（含边界）点的坐标组成的集合.解：{（x ，y ）|-1≦x ≦23，-21≦y ≦1，且xy ≧0} 例10.用适当的方法表示下列集合：（1）由所有正偶数组成的集合；（2）由1 ，2 ，3这三个数字中的一部分数字或全部数字（不重复）所组成自然数的集合.解：（1）{x|x=2m,m ∈N *}（2）{1,2,3,12,13,21,23,31,32，123,132,213,231,312,321}例11（探究型）.集合A={x|x=3n+1，n ∈Z}，B={x|x=3n+2，n ∈Z}，M={x|x=6n+3，n ∈Z}，（1）若m ∈M ，问是否有a ∈A ，b ∈B ，使m=a+b 成立？（2）对于任意a ∈A ，b ∈B ，是否一定有a+b=m ，且m ∈M ？证明你的结论.解：（1）当a=3k+1，B=3k+2，k ∈Z ，a+b=3k+1+3k+2=6k+3 ,k ∈Z ，即m=a+b 成立.（2）设a=3p+1，b=3q+2，p ，q ∈Z ，m=a+b=3p+1+3q+2=3(p+q)+3 , p+q ∈Z当p+q=2i ，i ∈Z 时，m=a+b=3(p+q)+3=6i+3，i ∈Z ，即m ∈M ，当p+q=2i+1，i ∈Z 时，m=a+b=3(p+q)+3=6i+6，i ∈Z ，即m ∉M.题型四：元素的互异性例12.由实数x ，-x|x|，2x ，(2x )2，-33x 所组成的集合中最多含有 4 个元素. 解析：当x>0，集合含有x ，-x ，x 2，-x 2 4个元素.例13.已知集合A={a-2，2a 2+5a ，12 }，且-3∈A ，求a 的值.解：（1）当a-2=－3时，a=-1，2a 2+5a=-3(舍去)（2）当2a 2+5a=-3时， a 1=-1，a-2=-3(舍去)a 2=-23，a-2=-72. 此时A={-72，-3，12 }. 题型五：拓展性例14.A=ax 2+2x+1=0是由方程（a ∈R ）的实数根组成的集合.（1）当A 中有两个元素时，求a 取值范围；（2）当A 中没有元素时，求a 取值范围；（3）当A 中仅有一个元素时，求a 的值，并求出此元素.解：（1）当A 中有两个元素时，a ≠0，∆=4-4a>0，a<1；（2）当A 中没有元素时，∆=4-4a<0，a>1；（3）当A 中仅有一个元素时，①a=0时，x=-21为此元素； ②a ≠0时，∆=4-4a=0，a=1，x=-1为此元素.1.1.2 集合间的基本关系一、Venn 图：用平面封闭的曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图.优点清晰直观，缺点不能表示元素的特征. 例1.用表示下列集合之间的关系：A={x|x 是平行四边形}， B={x|x 是菱形}，C={x|x 是矩形}，D={x|x 是正方形}二、子集及其性质1.子集的概念：对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，称集合A 是集合B 的子集，记作A ⊆B （或B ⊇A ）；读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.（1）A 是B 的子集的含义：若A ⊆B ，则有x ∈A ⇒ x ∈B（2）如果A 中存在着不是B 中的元素，那么A 不包含于B ，或B 不包含A ，记作A B ⊄；读作“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）.（3）A 是B 的子集不能理解为A 是由B 的部分元素组成的集合，A 可能为∅.（4）若A=B ，A 中任意一个元素都是B 中的元素，但此时我们也称A 是B 的子集.2.子集的性质（1）任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A ；（2）对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，且B ⊆C ，那么A ⊆C.例2.设集合A={1,3，a}，B={1，a 2-a+1}，且B ⊆A ，求a 的值.解：∵B ⊆A ，∴a 2-a+1∈A ，a 2-a+1=3或 a 2-a+1=a当a 2-a+1=3时，a=-1或a=2； 当a 2-a+1=a 时，a=1（舍去）.三、集合相等：如果集合A 是集合B 的子集（A ⊆B ），且集合B 又是集合A 的子集（B ⊆A ），即集合A 和集合B 有相同的元素，就说集合A 与集合B 相等，记作A=B. B A A B B A =⇔⎭⎬⎫⊆⊆ 例3.下列各组中的两个集合相等的有（ ）① P={x|x=2n ，n ∈Z}，Q={x|x=2(n-1)，n ∈Z};②P={x|x=2n-1，n ∈N *}，Q={x|x=2n+1，n ∈N *}; ③P={x|x 2-x=0}，Q={x|x=1(1)2n+-，n ∈Z} A. ①②③ B.①③ C.②③ D.①②解：①P 是偶数集，Q 也是偶数集，所以P=Q ；②P 是正奇数集，Q 是大于1的正奇数集，所以P ≠Q ；③P={0,1}，Q={0,1}，所以P=Q.四、真子集及其性质1.真子集的概念：如果A ⊆B ，但存在元素x ∈B 且x ∉A ，那么A 是B 的真子集，记作A ⊂B.2.真子集的性质：对于集合A ，B ，C ，如果A ⊂B ，且B ⊂C ，那么A ⊂ C.AB例4.写出{a，b，c，d}的所有子集，并指出其中哪些是该集合的真子集.解：子集：∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}真子集：∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}五、空集及其性质1.空集的概念：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.如P={x|x2+3=0，x∈R}=∅.2.空集的性质（1）空集只有一个子集，即它本身.（2）空集是任何集合的子集，即∅⊆A.（3）空集是任何非空集合的真子集.例5.已知集合：（1）{0}；（2）{∅}；（3）{x|3m< x <m}；（4）{x|a+2< x <a}；（5）{x| x2-x+5=0,x∈R}.其中一定是空集的是（4）（5） .六、子集的个数：若有限非空集合A有n个元素，则集合A的子集的个数为2n.如{1,2}有四个子集分别是∅，{1}，{2}，{1,2}七、“∈”与“⊆”的区别：“∈”表示元素与集合之间的关系，如1∈N，-1∉N；“⊆”表示集合与集合之间的关系，如N⊆R，∅⊆N.八、0，{0}，∅，{∅}1.数0是一个数，{0}是一个元素是0的集合，∅是不含任何元素的集合，{∅}指以∅为元素的集合.2.0∈{0}，∅⊆{0}，∅∈{∅}，∅⊆{∅}.九、在数学中，用数轴直观地表示实数的取值范围的集合，这种方法叫数轴法.【例题讲解】题型一：集合之间的关系例6.判断下列两集合之间的关系：（1）A={2,3,6}，B={x|x是12的约数}；（2）A={0,1}，B={x|x2+y2=1，y∈N}；（3）A={ x|-1< x <2}，B={x|-2< x <2}；（4）A={（x，y）|xy <0}，B={（x，y）|x >0，y <0}解：（1）A={2，3，6}，B={1，2，3，4，6，12}，所以A是B的真子集.（2）A={0，1}，B={-1，0，1}，所以A是B的真子集.（3）A={ x|-1< x <2}，B={x|-2< x <2}，所以A是B的真子集.（4）A={（x，y）| x >0，y <0或x<0，y >0}，B={（x，y）|x>0，y<0}，所以B 是A 的真子集.例7.已知集合A={x|x=a+16，a ∈Z}，B={x|x=2b -31，b ∈Z}，C={x|x=2c +16，c ∈Z}，则A ，B ，C 满足的关系（ B ）A.A=B ⊂C B.A ⊂B=C C.A ⊂B ⊂C D.B ⊂C ⊂A解：A={x|x=a+16，a ∈Z}={x|x=616a +，a ∈Z}， B={x|x=2b -31，b ∈Z}={x|x=326b -，b ∈Z}={x|x=3(1)16b -+，b ∈Z}， C={x|x=2c +16，c ∈Z}={x|x=316c +，c ∈Z}， 所以A ⊂B=C 题型二：子集与真子集例8.已知集合M 满足{1，2}⊆M ⊂{1，2，3，4}，写出集合M.解：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}题型三：集合相等例9.已知集合A={a ，a+b ，a+2b}，B={a ，ac ，ac 2}，若A=B ，求c 的值.解：22a b aca b ac +=⎧⎨+=⎩，解得c=1(舍去) 或22a b aca b ac +=⎧⎨+=⎩，解得c=-21或c=1(舍去) 例10.集合X={x|x=2n+1，n ∈Z}，Y={y|y=4k ±1，k ∈Z}，试证明X=Y.证明：（1）设任意x 0∈X ，则x 0=2n 0+1，n 0∈Z ，①当n 0是偶数时，即n 0=2m ，x 0=2n 0+1=4m+1，m ∈Z ，x 0∈Y ，②当n 0是奇数时，即n 0=2m-1 ，x 0=2n 0+1=4m-1，m ∈Z ，x 0∈Y ，所以X ⊆Y.（2）设任意y 0∈Y ，则y 0=4k 0±1，k 0∈Z ，y 0=4k 0+1=2(2k 0)+1，y 0=4k 0-1=2(2k 0-1)+1，k 0∈Z ，y 0∈X, 所以Y ⊆X. 即X=Y. 题型四：含参数的集合例11.已知集合A={x|x 2-3x+2=0}，B={x|ax-2=0}，若B ⊆A ，求实数a 的取值集合. 解：由A={x|x 2-3x+2=0}，得A={1,2}，因为B ⊆A ，（1）当B=∅时，a=0，（2）当B ≠∅时，① B={1}，a=2，② B={2}，a=1， 所以实数a 的取值集合为{0,1,2}.例12.设集合A={x|x 2+4x=0}，B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0}，若B ⊆A ，求实数a 取值范围.解：由A={x|x 2+4x=0}，得A={0,-4}，因为B ⊆A ，（1）当B=∅时，∆=4(a+1)2x-4（a 2-1）<0，解得a<-1，（2）当B ≠∅时，①B={0}，∆=4(a+1)2x-4（a 2-1）=0，解得a=-1，B={0}成立，②B={4}，∆=4(a+1)2x-4（a 2-1）=0，解得a=-1，B={4}不成立，③B={0，4}，2(a+1)=-4，a 2-1=0，解得a=1，所以实数a 的取值范围a ≦-1或a=1.题型五：子集的个数例13.满足集合{x|x 2+1=0}⊆A ⊂{x|x 2-1=0}的集合A 个数是（ C ）.A.1 B.2 C.3 D.4 解：{x|x 2-1=0}={-1，1}，集合A 的个数为22-1=3题型六：集合与方程不等式的综合运用例14.已知集合A={x|x>0，x ∈R}，B={x|x 2-x+p=0},且B ⊆A ，求实数p 的范围.解：（1）当B=∅时，∆=1-4p<0，p>41， （2）当B ≠∅时，1212400101x x p x x p ⎧⎪+=>⎪∆>≥⎨==⎩－，解得：0<p ≦41， 所以p>0. 例15.已知集合A={x|x 2-3x+2≦0}，B={x|1≦x ≦a}，且B ≠∅.（1）若A ⊂B ，求a 的取值范围；（2）若B ⊆A ，求的取值范围.解：由A={x|x 2-3x+2≦0}，得A={x|1≦x ≦2}，（1）若A ⊂B ，a>2,（2）若B ⊆A ，1≦a ≦2.例16.若不等式|x|<1成立，则不等式[x-(a+1)]·[x-(a+4)]<0也成立，求a 的范围. 解：设 A={x||x|<1}，B={x|[x-(a+1)]·[x-(a+4)]<0}，则A={x|-1<x<1}，B={x|a+1<x<a+4}，∵不等式|x|<1成立，则不等式[x-(a+1)]·[x －(a+4)]<0也成立，∴A ⊆B ，即a+4≥1且a+1≤-1，解得－3≤a ≤-2.例17.已知集合A={x|1<ax<2}，B={x||x|<1}，是否存在实数a ，使得满足A ⊆B ？若存在，求出实数a 的取值范围.解：当由B={x||x|<1}，得：B={x|-1<x<1}，（1）当a=0时，A=∅，A ⊆B ，（2）当a>0时，A={x|1a <x<2a }，∵A ⊆B ，∴2111a a⎧≤⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩ ，解得a ≧2， （3）当a<0时，A={x|2a <x<1a }，∵A ⊆B ，∴1121a a⎧≤⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩ ，解得a ≦-2， 综上所述：a ≧2或a ≦-2或a=0时，A ⊆B.1.1.3 集合的基本运算一、并集及其性质1.并集：由所有属于集合A 或属于集合B 所有元素组成的集合，称集合A 与B 的并集，记作A ∪B ，（读作“A 并B ”）.如{}9,5,3,1=A ，{}7,5,3,2=B ，A ∪B={1,2,3,5,7,9} 2.并集的性质（1）A ∪B= B ∪A ；（2）A ∪A= A ；（3）A ∪∅= A ；（4）A ⊆( A ∪B)，B ⊆( A ∪B)；（5）A ∪B=A ⇔B ⊆A ，A ∪B=B ⇔A ⊆B. 二、交集及其性质1.交集：由所有属于集合A 且属于集合B 共同元素组成的集合，称集合A 与B 的并集，记作A ∩B ，（读作“A 交B ”）.如{}9,5,3,1=A ，{}7,5,3,2=B ，A ∩B={3,5} 2.交集的性质（1）A ∩B= B ∩A ；（2）A ∩A= A ；（3）A ∩∅=∅；（4）若A ⊆B ，则A ∩B=A ；（5）A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B. 三、全集与补集及其性质1.全集：在研究集合间的关系和运算时，我们所研究的集合常常是某一特定集合的子集，这个特定的集合叫做全集，记作U.全集不是固定不变的，它是依据具体问题来选择的.如我们所研究实数时U=R ，而研究整数时U=Z.2.补集：对于一个集合A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合，称为3 5 A 1 9 B 2 73 5 A 1 9 B 2 7集合A 相对于全集U 的补集，简称集合A 的补集.记作U C A .{}A x |∉∈=且U x x A C U 补集用Venn 图表示如图3.全集与补集的性质（1）A A C C U U =)(；（2）U C U ∅=；（3）U C U =∅；（4）U C A A ⋂=∅；（5）U C A A U ⋃=.例1.设全集U={x|x<6，x ∈N *}，A={1，3}，B={3，5},则()U C A B ⋃=( C )A. {1，4}B. {1，5}C. {2，4}D. {2，5}4.集合的运算律结合律：（1）A ∩(B ∩C)=( A ∩B)∩C ；（2）A ∪(B ∪C)=( A ∪B)∪C ；分配律：（3）A ∩(B ∪C)=( A ∩B)∪(A ∩C ）；（4）A ∪(B ∩C)=( A ∪B)∩(A ∪C).5.全集与补集的性质（1）若A ⊆B ，则（U C A ）⊇（U C B ）；反之，若（U C A ）⊆（U C B ），则A ⊇B.（2）若A=B ，则（U C A ）=（U C B ）；反之，若（U C A ）=（U C B ），则A=B.（3）德·摩根定律：①()U C A B ⋃=(U C A )∩(U C B ).②()U C A B ⋂=(U C A )∪(U C B ).6.求集合中的元素个数：用card 来表示有限集合A 中元素的个数，记作card(A). 如集合A={0，1，2，5}，则card(A)=4.（1）card( A ∪B) = card ( A)+ card ( B)－ card ( A ∩B).（2）card( A ∪B ∪C) = card ( A)+ card ( B) +card ( C)－card ( A ∩B)－card ( B ∩C)－card (C ∩A)+ card ( A ∩B ∩C)【例题讲解】题型一：集合的基本运算例2.设全集U={0，1,2,3,4}，集合A={0，1，2，3},B={2，3，4}，则（U C A ）∪（U C B ）等于（ C ）. A. {0} B. {0，1} C. {0，1，4} D. {0，1，2，3，4} U A例3.已知集合A={y|y=x 2-4x+3，x ∈R}，B={y|y=-x 2+2x+8，x ∈R}，求A ∪B ，A ∩B. 解：A={y|y=x 2-4x+3，x ∈R}={y|y=（x-2）2-1，x ∈R}={y|y ≧-1}B={y|y=-x 2+2x+8，x ∈R}={y|y=-(x-1)2+9，x ∈R}={y|y ≦9}A ∪B=R ，A ∩B={y|-1≦y ≦9}例4.已知全集U={x|x 为不大于10的非负偶数}，A={0，2，4，6}, B={x|x ∈A ，且x<4}， 求U C A 及A ∩（U C B ）.解：由题意得U={0，2，4，6，8，10},A={0，2，4，6}, B={0，2}，则U C A ={8，10}， A ∩U C B ={0，2，4，6}∩{4，6，8，10}={4，6}.例5. 全集U={x|x 为不大于9的正整数}，（U C A ）∩B ={1，3}, A ∩U C B ={2，4，8}， （U C A ）∩（U C B ）={6，9}，求集合A ，B.解：一、利用Venn 图解题（略）. 二、U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，（U C A ）∩（U C B ）=U C ( A ∪B)= {6，9}，∴A ∪B={1，2，3，4，5，7，8}，由（U C A ）∩B ={1，3}得,{1，3}∉A ，A={2，4，5，7，8}由A ∩（U C B ）={2，4，6，8}得，{2，4，6，8}∉B ，B={1，3，5，7} 例6. 已知U=R ，集合A={x|-x 2+2x+3>0，x ∈R}，B={x|x-2<0}，求A ∩（U C B ）. 解：A={x|-x 2+2x+3>0}，x ∈R}={x|-1<x<3}，B={x|x<2}，A ∩（U CB ）={x|-1<x<3}∩{x|x ≧2}={x|2≦x<3}. 题型二：含参数集合的运算例7.已知A={-1，3，2m-1}，B={3，m 2}，若A ∩B =B ，求m= 1 .例8. 已知M={2，3，a 2+4a+2}，N={0，7，a 2+4a-2，2-a}，且M ∩N={3，7}，求a 的值. 解：∵M ∩N={3，7}，∴7∈M ，即a 2+4a+2=7，解得：a=-5，或a=1，当a=-5时，a 2+4a-2=3，2-a=7，则N={0，7，3，7}，（舍去）.57 A 248 B1 3当a=1时，a 2+4a-2=3，2－a=1，则N={0，7，3，1}，所以a=1. 例9. 设全集u={2，3，a 2+2a －3}，A={|2a-1|，2}，U C A ={5}，求a 的值. 解：∵U C A ={5}，∴5∈u ，且5∉A ，即a 2+2a －3=5，解得a=-4或a=2，当a=-4时，|2a-1|=9，u={2，3，5}，A={9，2}，A ⊄U （舍去）. 当a=2时，|2a-1|=3，u={2，3，5}，A={3，2}，所以a=2.例10. 已知集合A={x|2a ≦x ≦a+3}，B={x|x<－1或x>5}，若A ∩B=∅，求a 的取值范围. 解：（1）当a=∅时，2a>a+3，解得a>3， （2）当a ≠∅时，2a ≦a+3，2a ≧-1且a+3≦5，解得-21≦a ≦2， 综上所述：-21≦a ≦2或a>3. 题型三：元素的个数例11.某班共有26名同学参加了数学、英语两科竞赛，其中两科都取得优秀的有8人，数学取得优秀但英语未取得优秀的有12人，英语取得优秀而数学未取得优秀的有4人，试求出数学取得优秀的人数、英语取得优秀的人数及两科均未取得优秀的人数. 解：设全集U={某班26名学生}， U=26 2A={数学取得优秀的学生}， B={英语取得优秀的学生}， 则card(U)=26，card(A ∩B)=8， card(A ∩U C B )=12，card(B ∩U C A )=4， card(A)=card(A ∩B)+card(A ∩U C B )=8+12=20， card(B)=card(A ∩B)+ card(B ∩U C A ))=8+4=12，card(A ∪B)=card(U)-card(A)-card(B)+card(A ∩B)=26-20-12+8=2.题型四：集合的综合运用例12. 已知集合A={x|x 2－4mx+2m+6=0}，B={x|x<0 }，若A ∩B ≠∅，求实数m 取值范围. 解：设U={m|∆=16m 2-4(2m+6)≧0}={m|m ≦-1或m ≧23}， 若A ∩B=∅，x 2-4mx+2m+6=0的两根x 1,x 2均非负, 有121240260m U x x m x x m ∈⎧⎪+=≥⎨⎪=+≥⎩，解得m ≧23，所以{m|m ≧23}关于U 的补集为{m|m ≦-1} 例13.设M ，P 是两个非空集合，规定M-P={x|x ∈M,且x ∉P}，根据这一规定，M-(M-P)等于（ D ）A.M B.P C.M ∪P D.M ∩P8 A 12 B4解：M-P={x|x ∈M,且x ∉P}=M ∩(U C P),则M-(M-P)=M ∩[U C (M-P)]=M ∩[U C (M ∩(U C P)]=M ∩[U C M ∪U C (U C P)] =M ∩[(U C M)∪P]=(M ∩U C M)∪(M ∩P)=∅∪(M ∩P)=M ∩P单元小结题型一：数学思想1.分类讨论思想1.若集合A={-1≦x ≦7}，集合B={x |n+1≦x ≦2n-3}，且B ⊆A ，求n 的取值范围. 解：（1）当B=∅时，n+1>2n-3，n<4，（2）当B ≠∅时，2311123 n n n n ⎧⎪-⎨⎪+-⎩+-≦≦7≧，解得4≦n ≦5， 综上所述：n ≦5.2.等价转化思想2.已知U={(x,y)|x ∈R,y ∈R},A=｛(x,y)|x+y=1｝，B=(x,y)|11yx=-｝，求（U C B ）∩A. 解：（U C B ）∩A=｛（1，0）｝.3.补集思想3.命题甲：方程x 2+mx+1=0有两个相异负根；命题乙：方程4x 2+4(m-2)x+1无实数根.这两个命题有且只有一个命题成立，求m 的取值范围.解：由命题甲得21240m x x m ⎧∆=->⎨+=-<⎩，解得m>2的解集为A ，即A=｛m |m>2｝，由命题乙得∆=16(m-2)2-16<0，解得1<m<3的解集为B ，即B=｛m |1<m<3｝，m 的取值范围为(A ∩U C B)∪(B ∩U C A)=｛m |m ≧3｝∪｛m |1<m ≦2｝.4.已知集合A=｛x |x 2+3x-18>0｝，B=｛x |(x-k)(x-k-1)≦0｝，若A ∩B ≠∅,求k 取值范围.解：A=｛x |x 2+3x-18>0｝=｛x |x>3或x<-6｝，B=｛x |(x-k)(x-k-1)≦0｝=｛x |k ≦x ≦k+1｝，若A ∩B=∅，则k 的取值范围｛k |k+1≦3｝∩｛k |k ≧-6｝=｛k |-6≦k ≦2｝所以，A ∩B ≠∅，则k 的取值范围｛x |x>2或x<-6｝.5.已知集合A=｛x |ax 2-3x+2=0｝，若集合A 中至少有一个元素，求a 的取值范围. 解：若A=∅，90042a a ≠∆=-⨯<⎧⎨⎩ ，解得a>98,所以，当a ≦98，集合A 中至少有一个元素 题型二：数轴分析法6.设全集U=R ，A=｛x |x>1｝，B=｛x |x+a<0｝，且B ⊂U C A ，求实数a 的取值范围. 解：如图，A=｛x |x>1｝⇒U C A=｛x |x ≦1｝，B=｛x |x+a<0｝=｛x |x<-a ｝,B ⊂UC A ⇒-a ≦1⇒a ≧-1.7.设A={x |-2<x<-1或x>1}，B={x |x 2+ax+b ≦0}，已知A ∪B=｛x |x>-2｝，A ∩B=｛x |1<x ≦3｝，试求a ，b 的值.解：如图，B=｛x |-1≦x ≦3｝，a=-(-1+3)=-2，b=-1×3=-3. 题型三：集合中元素的特性8.已知集合A=｛2,x,y ｝，B=｛2x,2,y 2｝，若A=B ，求x ，y 的值. 解：x=0,y=1或x=41，y=21. 题型四：空集的特殊性9.已知集合A=｛x |x>0｝，B=｛x |x 2-x+m=0｝，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围. 解：（1）当B=∅时，∆=1-4m<0⇒m>41， （2）当B ≠∅时，B ⊆A ⇒121400m x x m ∆=-⎧⎨=⎩≧≧，解得0≦m ≦41，综上所述：m ≧0.题型五：集合间的关系10.已知集合A=｛x |x=k+21,k ∈Z ｝，B=｛x |x=2k,k ∈Z ｝，则之间的关系（ A ）. A.A ⊂B B.A=B C.A ⊆B D.无法比较解：方法一：A=｛x |x=k+21,k ∈Z ｝=｛x |x=212k +,k ∈Z ｝，方法二：B=｛x |x=k,k ∈Z ｝∪｛x |x=k+21,k ∈Z ｝. 题型六：集合间的运算11.已知集合A=｛x |x 2+(m+2)x+1=0｝，若A ∩R *=∅，求实数m 的取值范围. 解：（1）当A=∅时，∆= (m+2)2-4<0⇒-4<m<0，（2）当A ≠∅时，()12240(2)0m x x m ⎧⎪⎨+=∆=+--+⎪⎩≧≦，解得m ≧0，综上所述：m>-4.12.设集合A=｛x |x+1≦0或x-4≧0｝，B=｛x |2a ≦x ≦a+2｝.（1）若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围；（2）若A ∩B=B ，求实数a 的取值范围. 解：A=｛x |x+1≦0或x-4≧0｝=｛x |x ≦-1或x ≧4｝ （1）A ∩B ≠∅⇒a 的取值范围｛a |2a ≦a+2｝∩｛a |a+2≧4或2a ≦-1｝=｛a |a ≦-21或a=2｝. （2）A ∩B=B ⇒B ⊆A ，①当B ≠∅，a 的取值范围=｛a |2a ≦a+2｝∩｛a |2a ≧4或a+2≦-1｝=｛a |a ≦-3或a=2｝. ②当B=∅时，2a>a+2，解得a>2， 综上所述：实数a 的取值范围a ≦-3或a ≧2. 13. 设A=｛x |x 2-ax+a 2-19=0｝，B=｛x |x 2-5x+6=0｝，C=｛x |x 2+2x-8=0｝.（1）若A ∩B=A ∪B ，求a 的值； （2）∅⊂A ∩B ，A ∩C=∅，求a 的值； （3）若A ∩B=A ∩C ≠∅.解：B=｛x |x 2-5x+6=0｝=｛2,3｝，C=｛-4,2｝（1）A ∩B=A ∪B ⇒B=A ，a=5.（2）∅⊂A ∩B ，A ∩C=∅⇒3∈A ，9-3a+a 2-19=0，解得a=-2或a=5（舍去）.（3）A ∩B=A ∩C ≠∅⇒2∈A ，4-2a+a 2-19=0，解得a=-3或a=5（舍去）.1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念一、函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；例1. 判断下列函数f（x）是否是以x为自变量的函数.（1） x →2x，x≠0，x∈R；√（2） x →y ，y2=x，x∈R*，y∈R；×二、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域1定义域：自变量的取值范围.（1）如果只给出解析式y=f(x)，没有指明它的定义域，则函数的定义域是指能使这个式子有意义的实数的集合；（2）函数的定义域通常由问题的实际背景确定.2对应关系：是函数的核心，对自变量实施对应操作的程序或方法.3值域：对于定义域A内的函数，其值域就是指集合{f(x)| x∈A }.三、函数相等：构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）.1．相等函数的图象完全相同，因此，又是可以借助于函数的图象来判断；2．值域是由定义域和对应关系决定的，值域不同时，两函数比不相等；3．两个函数相等时，与自变量和函数值的字母无关.例2. 判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？（1）f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 ×（2）f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x√四、区间与无穷大1区间（1）概念：设a，b是两个实数，且a<b：满足不等式a≦x≦b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]；满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a，b）；满足不等式a≦x<b或a<x≦b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b），（a，b].（2）表示：在数轴上表示区间时：属于这个区间端点的实数，用实心点表示，不属于这个区间端点的实数，用空心点表示.2无穷大：实数集R可以用区间表示为（-∞，+∞），其中符号“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.（1）区间是集合的一种符号语言，因此区间与区间之间以及区间与集合之间可以用集合符号来连接，或进行区间之间的并、交、补运算.如[-1,4]∪[0,6]∩[1,7]=[-1,6]∩[1,7]=[1,6].（2）以“-∞”或“+∞”为区间的一段时，这一段必须是小括号.（3）区间内的数，左边必须小于右边.例3.用区间表示集合：{x|x=1或2<x≦3}.解：{x|x=1或2<x ≦3}={ 1 }∪(2,3] 五、求函数定义域的一般方法 【课堂练习】求下列函数的定义域： （1）|x |x 1)x (f -=；（2）x111)x (f +=；（3）5x 4x )x (f 2+--=.六、求函数的值域1.观察法：结构并不复杂的函数，可以通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知函数的值域求函数的值域.如函数211y x =+的值域是{y|0<y ≦1}.1≦x ≦2 2.配方法：二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).注意“定义域”.如函数y=x-2x +3的值域，y=x-2x +3=(x -1)2+2，故所求值域为[2，+∞]. 3.换元法：将函数通过换元转化为容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域.形如y=ax+b+cx d +(a ，b ，c ，d 均为常数，ac ≠0)的函数常用此法. 注意“新元”的取值范围. 例4.求函数x x y -+=142的值域解：设 x t -=1，则 t ≥0 x =1-t 2代入得 y =f (t )=2×(1-t 2)+4t =-2t 2+4t +2=-2(t -1)2+4， ∵t ≥0 ∴y ≤4. 4.分离常数法：形如cx dy ax b+=+. 例5.求函数211x y x -=+(1<x<2)的值域. 解：2122332111x x y x x x -+-===-+++，∵ 1<x<2，∴1<31x +<23，故所求值域为(21，1) 5.判别式法：形如22ax bx cy dx ex f ++=++(d ≠0)，注意检验分母为0时，函数的对应值.例6.求函数66522-++-=x x x x y 的值域.解：去分母得 (y -1)x 2+(y +5)x -6y -6=0 (*)，当 y ≠1时 ∵x ∈R ∴△=(y +5)2+4(y -1)×6(y +1)≥0，由此得 (5y +1)2≥0，∵定义域 { x | x ≠2且 x ≠3} ∴51-≠y ，y ≠1 综上所述，函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y | y ≠1且 y ≠51-}.6.反表示法 例7.求函数12x y x -=+(1)x ≥-的值域. 解：12x y x -=+⇒211y x y +=-，因1x ≥-，即2111y y +≥--，解得21y -≤<. 7.数形结合法七、复合函数1.复合函数的定义：如果y=f （t ）的定义域为A ，函数t=g （x ）的定义域为为D ，值域为C ，则当C ⊆A 时，称函数y=f [ g （x ）]为y=f （x ）与g （x ）在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，t=g （x ）叫做内层函数，y=f （t ）叫做外层函数.例8.已知f (x )=2x -3，g (x )=x 2+2，求复合函数f [g (x )]，g [f (x )].解：f [g (x )]=2(x 2+2)-3=2x 2+1，g [f (x )]=(2x -3)2+2=4x 2-12x +112.复合函数的定义域（1）函数y=f[ g （x ）]的定义域还是指x 的取值范围，而不是g （x ）的范围； （2）同一对应法则f 的定义域相同，即f （t ），f[g （x ）]中的t ，g （x ）的范围相同； ① 已知f （x ）的定义域为A ，求f[g （x ）]的定义域，其实质是已知g （x ）的取值范围为A ，求x 的取值范围；② 已知f[g （x ）]的定义域为B ，求f （x ）的定义域，其实质是已知f[g （x ）]中的x 取值范围为B ，求g （x ）的取值范围.（3）f （x ）与f[g （x ）]中的x 的含义不同.例9.已知f （x ）的定义域为[1，4]，求函数f （x+2）的定义域. 解：1≦x+2≦4⇒-1≦x ≦2.例10.已知(1)f x +的定义域为[0，3]，求函数f （x ）的定义域. 解：0≦x ≦3⇒1≦x+1≦4⇒1≦1x +≦2.【例题讲解】题型一：函数的定义例11.下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？（1）f ：把x 对应到3x+1；（2）g ：把x 对应到|x |+1；（3）h ：把x 对应到1x； （4）r ：把x 对应到x .解：（1）是.（2）是. （3）不是.（4）不是. 题型二：函数相等例12. 判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？（1）3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ；（2）x x f =)( 2)(x x g =；（3）121()y n n Z =-∈ 221()y n n Z =+∈； （4）x x f =)( 33)(x x F =. 解：1.不是同一函数，定义域不同.2.不是同一函数，值域不同.3.不是同一函数，对于关系不同.4.是同一函数.题型三：求函数的值及函数的解析式例13.已知：f(x)=x 2+x +3，求：(1)f ；1()f x； (1)f x +.解：f (1)=22-2+3=5.1()f x =(x 1)2-x1+3. f (x +1)=(x +1)2-(x +1)+3=x 2+x +3. 例14. 已知1()2f x x=-，()4g x x =+，求： （1）[(1)]f g ，[(1)]g f 的值； （2）[()]f g x ，[()]g f x .的表达式.解：（1）1[(1)](5)3f g f ==-，[(1)](1)5g f g ==. （2）111[()]2()2(4)2f g x g x x x ===---++. 11[()]()44422g f x f x x x =+=+=---. 题型四：求函数的定义域例15.求下列函数的定义域：（1）14)(2--=x x f ；（2）2143)(2-+--=x x x x f .解：（1）142≥-x ⇒33≤≤-x ，∴14)(2--=x x f 定义域为[3-，3].（2）23404112031x x x x x x x ⎧--≥≥≤-⎧⎪⇒⎨⎨+-≠≠-≠⎪⎩⎩或且⇒3314x x x <--<≤-≥或或.∴函数2143)(2-+--=x x x x f 的定义域为：{|3314}x x x x ⇒<--<≤-≥或或.题型五：求函数的值域 例16.求下列函数的值域（1）若x 为实数，求223y x x =++的值域；（2）1xy x =+； （3）224y x x =--.解：（1）x 为实数0x ⇒≥⇒2223(1)23y x x x =++=++≥.（2）1111(0)111x y x x x ==-≠≠+++. （3）24004x x x -≥⇒≤≤⇒2440x x -≤≤⇒20242x x ≤--≤. 题型六：含参数的函数的定义域 例17.已知函数218y ax bx =++的定义域为[3,6]-，求a ，b 的值.解：由题意得22(3)(6)031803180x x x x x x +-≥⇒--≥⇒-++≤，所以1a =-，3b =. 例18.已知函数268y mx mx m =-++的定义域为R ，求实数m 的取值范围.解：由题意得2680mx mx m -++≥，（1）当0m =时，2680mx mx m -++≥成立，（2）当0m ≠时，00m >⎧⎨∆≤⎩⇒20364(8)0m m m m >⎧⎨∆=-+≤⎩，解得01m <≤， 综上所述01m ≤≤.题型七：含参数的函数的值域例19.求使函数2221x ax y x x +-=-+的值域为(,2)-∞的a 的取值范围.解：22222222222(2)4001x ax x ax x x x a x x x +-<⇒+-<-+⇒-++>⇒∆<-+， 2(2)160a +-<，解得62a -<<例20.若函数2()1ax bf x x +=+的值域为[1,4]-，求实数a ，b 的值. 解：设2201ax by yx ax y b x +=⇒-+-=+， 当0y =时，显然成立，当0y ≠时，24()0a y y b ∆=--≥，2240y by a --≤，又14y -≤≤，1,4-是方程2240y by a --=的两根，由韦达定理的4a =±，3b =.题型八：抽象函数例21.已知函数)(x f 满足：()()()f x y f x f y +=+，则下列各式不恒成立的是（ D ）.A.(0)0f =B.(3)3(1)f f =C.11()(1)22f f =D.()()0f x f x -< 例22.已知函数()f x 满足对任意的x R ∈都有11()()222f x f x ++-=成立，则127()()()888f f f +++=L 7 . 1.2.2 函数的表示法一、常用的函数表示法有三种：解析法、列表法、图象法.二、分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值范围内，函数有不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.1.分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，各段定义域的交集是空集.2.分段函数的值域是各段函数在相应区间上函数取值集合的并集.三、映射：设A 、B 是非空的集合，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．y 是x 在映射f 作用下的象，x 称作y 的原象．函数是特殊的映射一一映射 四、求函数的解析式1.代入法：已知()f x ，求函数(())f u x 的解析式.如2()1f x x =-，222()()1f x x x x +=+-2.配凑法：已知[()]f g x ，求函数()f x 的解析式.如2(1)2(1)1f x x x x +=+=+-，2()1f x x =-，(1)x ≥.3.换元法：已知[()]f g x ，求函数()f x 的解析式. 例1.已知(1)2f x x x +=+，求()f x . 解：设1t x =+，1t ≥，21,21x t x t t =-=-+，22()21221,(1)f t t t t t t =-++-=-≥.4.待定系数法：已知函数的类型，求函数的解析式.例2.已知()f x 是一次函数, 且[()]41f f x x =-, 求()f x 的解析式。