《等腰三角形》同步练习(有答案)_2706

八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步达标测评一．选择题（共8小题，满分32分）1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是36°，则此等腰三角形的两个相等底角的度数大小是（）A．54°B．63°C．27°D．27°或63°2．已知等腰三角形的一个外角等于140°，则这个三角形的三个内角的度数分别是（）A．20°、20°、140°B．40°、40°、100°C．70°、70°、40°D．40°、40°、100°或70°、70°、40°3．如图，△ABC中，DE∥BC，FB，FC分别平分∠ABC和∠ACB，已知BC＝20，AB＝18，AC＝16，则△ADE的周长是（）A．30B．32C．34D．364．如图钢架BAC中，焊上等长的钢条来加固钢架，若P1A＝P1P2，量得∠BP5P4＝100°，则∠A＝（）度．A．10B．20C．15D．255．如图，为了加固屋顶的钢架，焊上等长的钢条（P1P2、P2P3等）．若∠A＝15°，AP1＝P1P2，则这样的钢条最多只能焊上（）条．A．4B．5C．6D．76．如图，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，则∠A的范围是（）A．0°＜∠A＜15°B．0°＜∠A＜18°C．0°＜∠A＜20°D．0°＜∠A＜22.5°7．如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM 上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△A2021B2021A2022的边长为（）A．4044B．4046C．22020D．220218．如图，直线AB⊥CD，垂足为O，点P在∠BOC的平分线上，点E在直线AB上，且△EOP是等腰三角形，则这样的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共7小题，满分28分）9．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP．其中正确的是．10．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC＝．11．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝30°，AE＝AD，则∠EDC的度数是．13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角为°．14．如图，线段OP的一个端点O在直线a上，以OP为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能有个．15．如果△ABM和△ACN分别是以△ABC的边AB、AC为边的形外等边三角形，MC交BN 于P，连P A，则∠APN＝．三．解答题（共9小题，满分60分）16．如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，过AD上一点P作EF⊥AD，交AB于E、交AC于F，交BC延长线于M，则有正确结论：∠M＝（∠ACB﹣∠B）．请说明理由．17．如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE，使EC＝DE，求证：△ABC是等边三角形．18．如图，已知△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC．求证：DE+DF＝BG．19．如图，已知∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC，点F为BC中点．求证：AF⊥BC．20．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为∠ABC平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，作DH⊥BE于H，求证：H为BE的中点．21．已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．求证：△DEF是等边三角形．22．如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：△CMN是等边三角形．23．如图，等边△ABC的边长为12cm，D为AC边上一动点，E为AB延长线上一动点，DE 交CB于点P，点P为DE中点（1）求证：CD＝BE；（2）若DE⊥AC，求BP的长．24．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC边于D．（1）求证：PD＝DQ；（2）若△ABC的边长为1，求DE的长．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D．①若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；②若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．故选：D．2．解：（1）当40°角是顶角时，另两个底角度数为70°，70°；（2）当40°角是底角时，另两个角度数为40°，100°．故选：D．3．解：∵DE∥BC，∴∠BFD＝∠FBC，∠EFC＝∠BCF，∵FC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，∴∠BFD＝∠DBF，∠EFC＝∠ECF，∴DF＝DB，EF＝EC，∵△ADE的周长＝AD+AE+DE，DE＝DF+EF，∴△ADE的周长＝AD+BD+AE+EC＝AB+AC，∵AB＝18，AC＝16，∴△ADE的周长＝34．故选：C．4．解：∵AP1＝P1P2，P1P2＝P2P3，P3P4＝P2P3，P3P4＝P4P5，∴∠A＝∠P1P2A，∠P2P1P3＝∠P2P3P1，∠P3P2P4＝∠P3P4P2，∠P4P3P5＝∠P4P5P3，∴∠P3P5P4＝4∠A，∵∠P3P5P4+∠BP5P4＝180°，∠BP5P4＝100°，∴∠P3P5P4＝80°，∴∠A＝20°．故选：B．5．解：∵∠A＝∠P1P2A＝15°∴∠P2P1P3＝30°，∠P1P3P2＝30°∴∠P1P2P3＝120°∴∠P3P2P4＝45°∴∠P3P2P4＝45°∴∠P2P3P4＝90°∴∠P4P3P5＝60°∴∠P3P5P4＝60°∴∠P3P4P5＝60°∴∠P5P4P6＝75°∴∠P4P6P5＝75°∴∠P4P5P6＝30°∴∠P6P5P7＝90°，此时就不能在往上焊接了，综上所述总共可焊上5条．故选：B．6．解：采用排除法：①∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，当∠A＝15°，∴∠BCA＝∠A＝15°，∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°，∴∠BCD＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝180°﹣60°＝120°，∴∠ECD＝∠CED＝180°﹣∠BCD﹣∠BCA＝180°﹣120°﹣15°＝45°，∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣90°＝90°，∴∠EDF＝∠EFD＝180°﹣∠CDE﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠FGE＝∠GEF＝∠EFD+∠A＝60°+15°＝75°，即此时符合；①当∠A＝18°时，同法求出∠FEG＝∠FGE＝90°，此时△FEG不存在，此时不符合，同样，当∠A取大于18°的角都不符合，当∠A＝小于18°的数时，△FEG存在，即选项A、C、D错误，只有选项B正确；故选：B．7．解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∵∠MON＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，以此类推：△A2021B2021A2022的边长为22020．故选：C．8．解：如图，①当OP＝OE时，这样的点E由2个，②当PE＝OE时，这样的点E由1个，③当OP＝PE时，这样的点E由1个，∴这样的点P有4个，故选：D．二．填空题（共7小题，满分28分）9．解：∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，故①小题正确；∵△ACD≌△BCE（已证），∴∠CAD＝∠CBE，∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证），∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，在△ACP与△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP＝BQ，故③小题正确；PC＝QC，∴△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ＝60°，∴∠ACB＝∠CPQ，∴PQ∥AE，故②小题正确；∵AD＝BE，AP＝BQ，∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，即DP＝QE，∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，∴∠DQE≠∠CDE，故④小题错误．综上所述，正确的是①②③．故答案为：①②③．10．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BA＝BC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠E＝30°，BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴BC＝2DC，∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝∠E＝30°，∴CD＝CE＝1，∴BC＝2CD＝2，故答案为211．解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；同理可得∠EA3A2＝（）2×75°，∠F A4A3＝（）3×75°，∴第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）n﹣1×75°．故答案为：（）n﹣1×75°．12．解：设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，∠AED＝∠EDC+∠C＝x+y，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝x+y，则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x+y，又因为∠ADC＝∠B+∠BAD，所以2x+y＝y+30，解得x＝15，所以∠EDC的度数是15°．故答案是：15°．13．解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．故答案为：60或120．14．解：△AOP，△BOP，△COP，△DOP就是所求的三角形．15．解：∵△ABM和△ACN都是等边三角形，∴AB＝AM，AN＝AC，∠BAM＝∠CAN＝60°，∴∠BAM+∠BAC＝∠CAN+∠BAC，即∠CAM＝∠BAN，在△ABN与△AMC中，，∴△ABN≌△AMC（SAS），∴∠ANP＝∠ACP，又∵∠AEN＝∠PEC（对顶角相等），∵∠AEP＝∠NEC（对顶角相等），∴∠APN＝∠ACN＝60°．故答案为：60°．三．解答题（共9小题，满分60分）16．证明：∵EF⊥AD，AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∠APE＝∠APF＝90°，又∵∠AEF＝180°﹣∠1﹣∠APE，∠AFE＝180°﹣∠2﹣∠APF，∴∠AEF＝∠AFE，∵∠CFM＝∠AFE，∴∠AEF＝∠AFE＝∠CFM，∵∠AEF＝∠B+∠M，∠MFC＝∠ACB﹣∠M，∴∠B+∠M＝∠ACB﹣∠M，即：∠M＝（∠ACB﹣∠B）．17．证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，∵EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC，∴∠ECB＝∠EDF，∴△ECB≌△EDF（SAS），∴BE＝EF，∠B＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴BE＝BF，∵AE＝BD，∴DF＝AB，BC＝DF，∴AB＝BC，∴△ABC是等边三角形．18．证明：连接AD．则△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积，AB•DE+AC•DF＝AC•BG，∵AB＝AC，∴DE+DF＝BG．19．证明：∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C，∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∵点F为BC中点，∴AF⊥BC．20．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠SCB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠DBC，∴∠DBC＝∠E，∴△BDE为等腰三角形，BD＝ED，∵DH垂直于BE，∴H为BE中点（三线合一）．21．证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝DE，同理DE＝EF，∴DE＝DF＝EF．∴△DEF是等边三角形．22．证明：∵△ABC是等边三角形，△CDE是等边三角形，M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，∴∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠ECD+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，AM＝BN；∴AC＝BC，∠CAD＝∠CBE，AM＝BN，∴△AMC≌△BNC（SAS），∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN；又∵∠NCM＝∠BCN﹣∠BCM，∠ACB＝∠ACM﹣∠BCM，∴∠NCM＝∠ACB＝60°，∴△CMN是等边三角形．23．（1）证明：作DF∥AB交BC于F，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，∵DF∥AB，∴∠CDF＝∠A＝60°，∠DFC＝∠ABC＝60°，∠DFP＝∠EBP，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝DF，∵点P为DE中点，∴PD＝PE，在△PDF和△PEB中，，∴△PDF≌△PEB（AAS），∴DF＝BE，∴CD＝BE；（2）解：∵DE⊥AC，∴∠ADE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠A＝30°，∴AD＝AE，∠BPE＝∠ACB﹣∠E＝30°＝∠E，∴BP＝BE，由（1）得：CD＝BE，∴BP＝BE＝CD，设BP＝x，则BE＝CD＝x，AD＝12﹣x，∵AE＝2AD，∴12+x＝2（12﹣x），解得：x＝4，即BP的长为4．24．（1）证明：如图，过P做PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD ∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角形；∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ．（2）△APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，△PFD≌△QCD，∴CD＝DF，DE＝EF+DF＝AC，∵AC＝1，DE＝．。

人教版-八年级数学上册《第十三章等腰三角形》同步练习题及答案学校班级姓名学号一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为（）A．B．C．D．或2．一个等腰三角形两边长分别为20和10，则周长为（）A．40 B．50 C．40或50 D．不能确定3．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（）A．AB=2BD B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．∠B=∠C4．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且BD=BE，CD=CF，∠A=70°，那么∠FDE等于（）A．40°B．45°C．55°D．35°5．如图，已知中，AB=AC，E、D分别为、上的点，连接BD，DE，若AD=DE=BE，∠C=70°，则的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°6．如图，在等边△ABC中，点D、E分别是BC、AB边上的点，且AE=BD，AD与CE交于点F，则∠DFC 的度数为（）A．45°B．60°C．65°D．75°7．如图，点B和点C是对应顶点，记，当时，与之间的数量关系为（）A．B．C．D．8．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=16，则BC的长是．10．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，点D在直线BC上，CD＝CA，则∠DAB的度数为．11．如图，在中，∠C=90°，AD=ED，∠CDE=72°，则的大小等于度．12．如图，在等边中，BD=CE，与交于P，，垂足为，PD=2，PQ=6，则的长为.13．如图，在中，点在边上，于点，若的面积为6，则的面积为.三、解答题：（本题共5题，共45分）14．已知，如图，等边△ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE=DC，求证：AD=BE．15．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求EB：EA的值．16．如图，和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边.求证.17．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连接DC，以DC为边，作等边△DCE，点B、E在CD的同侧，CE与BD交于点F，连接BE，按要求将图形补完整；（1）求证：△ADC≌△BDE；（2）求证：BD垂直平分CE．18．如图，在中，AB=AC，D为的中点，于点E，于点F，且DE=DF，连接，点G在的延长线上，且CD=CG．（1）求证：是等边三角形；（2）若，求的长．参考答案：1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 6．B 7．B 8．C9．810．75°或15°11．5412．1413．1014．证明：在等边△ABC中，AB=CA，∠BAC=∠ACB=60°，∴∠EAB=∠DCA=120°．在△EAB和△DCA 中，∴△EAB≌△DCA（SAS），∴AD=BE15．解：如图，连接AD∵AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点∴∠BAD=60°，AD⊥BC∴∠B=90°﹣60°=30°∵DE⊥AB∴∠ADE=90°﹣60°=30°设EA=x在Rt△ADE中，AD=2EA=2x在Rt△ABD中，AB=2AD=4x∴EB=AB﹣EA=4x﹣x=3x∴EB：EA=3x：x=3．16．证明：和是顶角相等的等腰三角形，得出∴AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE在和中，.17．（1）解：补充图形如下：∵和都是等边三角形∴，CD=ED，∠ADB=∠CDE∴∴在和中∴（2）解：由（1）得∴在等腰中有∴由已知在等边三角形中有∴为的垂直平分线即垂直平分．18．（1）证明：∵，DF⊥BC∴∵D为的中点∴在与中∴∴∴∵∴∴是等边三角形；（2）解：由（1）知，是等边三角形∴∴∵∴连接，则∴∴∵∴∵∴∴∴CG=2。

人教版八年级上第十三章等腰三角形同步练习题学校:___________姓名：___________班级：___________一、填空题1．等腰三角形一边长为5，另一边长为7，则周长为__________.2．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的____________；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的_____________．3．如图，在Rt△ABC 中，△ABC =90°，以AC 为边，作△ACD ，满足AD=AC ，点E 为BC 上一点，连接AE ，2△BAE=△CAD ，连接DE ．若BE =a ，CE=b ，则DE =____（用含a 、b 的代数式表示）．4．如图，△ABC 中，∠B =75°，∠C =30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连结AD ，则∠BAD 的度数为______．5．将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC 按如图所示的位置放置，如果45CDE ∠=︒，那么∠BAF 的度数为______．6．如图，AB =BC =CD ，AB ∠BC ，∠BCD =30°，则∠BAD =________°．7．在正方形ABCD 中，5AB =，点E 、F 分别为AD 、AB 上一点，且AE AF =，连接BE 、CF ，则BE CF +的最小值是______．二、单选题8．若三角形的两边长分别为4和7，则该三角形的周长可能为（ ）A ．9B ．14C ．18D ．229．如图，ABC AED ≌△△，点D 在BC 边上．若∠EAB ＝50°，则∠ADE 的度数是（ ）A ．50°B ．60°C ．65°D ．30°10．如图，AB 过半∠O 的圆心O ，过点B 作半∠O 的切线BC ，切点为点C ，连接AC ，若∠A ＝25°，则∠B 的度数是（ ）A ．65°B ．50°C ．40°D ．25°11．如图，直线a b ∥，等边三角形ABC 的顶点C 在直线b 上，240∠=︒，则1∠的度数为（）A．80︒B．70︒C．60︒D．50︒12．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）个．A．5B．6C．8D．9三、解答题13．如图，在ABC中()<，过点C作CD ABAB BC=，CB上∥，在CD上截取CD CB、．截取CE AB=，连接DE DB(1)求证：ABC ECD△△；≌△的面积．(2)若90,3,A AB BD∠=︒==BCD14．如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF AD∥．(1)求证：ABE FMN ≌△△；(2)若8AB =，6AE =，求ON 的长．15．已知：如图，AB CD ，点E 在AC 上．求证：A CED D ∠=∠+∠．参考答案：1．17或19【分析】先确定第三边的取值范围，再确定第三边的长，最后求周长即可．【详解】∠7-5＜第三边＜7+5，∠2＜第三边＜12，∠该三角形是等腰三角形，∠第三边为5或7，∠周长为5+5+7=17或5+7+7=19，故答案为：17或19．【点睛】本题考查了三角形的三边关系和对等腰三角形的认识，解题关键是理解题意，确定第三边的取值．2．垂直平分线垂直平分线【分析】根据轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）．据此填空．【详解】解：根据轴对称的性质，可得如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线．或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，故答案为：垂直平分线，垂直平分线．【点睛】本题主要考查轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）．3．2a+b##b+2a【分析】延长EB至G，使BE=BG，从而得到∠GAE=∠CAD，进一步证明∠GAC=∠EAD，且AE=AG，接着证明∠GAC∠∠EAD，则DE=CG，即可求解．【详解】解：如图，延长EB至G，使BE=BG，∠∠ABC=90°，∠AB∠GE，∠AB 垂直平分GE ，∠AG =AE ，∠GAB =∠BAE =12∠DAC ， ∠2∠BAE =∠GAE ，∠∠GAE =∠CAD ，∠∠GAE +∠EAC =∠CAD +∠EAC ，∠∠GAC =∠EAD ，在∠GAC 与∠EAD 中，AG AE GAC EAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠GAC ∠∠EAD （SAS ），∠DE =CG ，∠BE =a ，CE=b ，∠DE =CG =CE +GE =CE +2BE =2a +b ，故答案为：2a +b ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定和性质，通过二倍角这一条件，构造两倍的∠BAE ，是本题的突破口，也是常用方法．4．45°##45度【分析】根据内角和定理求得∠BAC =75°，由中垂线性质知DA =DC ，即∠DAC =∠C =30°，从而得出答案．【详解】解：在△ABC 中，∠∠B =75°，∠C =30°，∠∠BAC =180°-∠B -∠C =75°，由作图可知MN 为AC 的中垂线，∠DA =DC ，∠∠DAC =∠C =30°，∠∠BAD =∠BAC -∠DAC =45°，故答案为：45°．【点睛】本题主要考查作图-基本作图，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5．15︒##15度【分析】由题意可确定DE AF ∥，30ABC ∠=︒，再根据平行线的性质和三角形外角的性质即可解答．【详解】由题意可知DE AF ∥，∠45AFC CDE ∠=∠=︒．由含30°角的三角板的特点可知：30ABC ∠=︒，∠15BAF AFC ABC ∠=∠-∠=︒．故答案为：15︒【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，三角板中的角度计算．利用数形结合的思想是解题关键．6．15【分析】把CD 绕着点C 逆时针旋转60°到达CE 的位置，连接CE ，DE ，BE ，可得∠CDE 是等边三角形，从而得到DE =CD =CE ，∠DEC =60°，再由∠BCD =30°，可得BC ∠DE ，然后根据AB =BC =CD ，可得BC =CE ，AB =DE ，从而得到()1180752BEC BCE ∠=︒-∠=︒，进而得到∠BED =15°，再证得四边形ABED 是平行四边形，即可求解．【详解】解：如图，把CD 绕着点C 逆时针旋转60°到达CE 的位置，连接CE ，DE ，BE ，∠∠DCE =60°，CD =CE ，∠∠CDE 是等边三角形，∠DE =CD =CE ，∠DEC =60°，∠∠BCD =30°，∠∠BCE =30°，∠∠BCD =∠BCE ，∠BC ∠DE ，∠AB =BC =CD ，∠BC =CE ，AB =DE ，∠()1180752BEC BCE ∠=︒-∠=︒， ∠∠BED =∠BEC -∠DEC =15°，∠AB ∠BC ，∠AB ∠DE ，∠四边形ABED 是平行四边形，∠∠BAD =∠BED =15°．故答案为：15【点睛】本题主要考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握图形的旋转，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．7．【分析】如图所示，作D 关于直线AB 的对称点D ，连接D F DF '，，先证明∠ABE ∠∠ADF 得到BE =DF ，则BE D F '=，从而推出当C 、F 、D 三点共线时，CF D F '+有最小值，即BE +CF 有最小值，最小值为CD '，由此求解即可．【详解】解：如图所示，作D 关于直线AB 的对称点D ，连接D F DF '，，∠D F DF '=，AD AD '=，∠四边形ABCD 是正方形，∠AB =AD =CD ，∠ADC =90°，又∠∠F AD =∠EAB ，AF =AE ，∠∠ABE ∠∠ADF （SAS ），∠BE =DF ，∠BE D F '=，∠BE CF CF D F '+=+，∠当C 、F 、D 三点共线时，CF D F '+有最小值，即BE +CF 有最小值，最小值为CD '，在Rt ∠D DC '中，CD '故答案为：【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．8．C【分析】根据三角形三边之间的关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”确定第三边的取值范围，即可确定三角形的周长的取值范围．【详解】解：设三角形的第三边为x，∠三角形的两边长分别为4和7，∠7-4<x<7+4，即：3<x<11，∠3+4+7<x+4+7<11+4+7，即：14 <x+4+7<22，符合条件的只有C选项，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系以及不等式的性质1，熟练地掌握三角形三边之间的关系和不等式的性质1是解题的关键．9．C【分析】根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠EAD，于是可得∠DAC＝∠EAB，代入即可．【详解】解：∠ABC∠∠AED，∠∠BAC＝∠EAD，∠∠EAB＋∠BAD＝∠DAC＋∠BAD，∠∠DAC＝∠EAB＝50°，∠AD＝AC∠∠ADC＝∠C＝∠ADE＝118065 2DAC︒-∠=︒（）故选C．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．10．C【分析】连接OC，根据切线的性质，得出∠OCB＝90°，再利用圆的半径相等，结合等边对等角，得出∠A＝∠OCA，然后再利用三角形的外角和定理，得出∠BOC的度数，再利用直角三角形两锐角互余，即可得出∠B的度数．【详解】解：连接OC，∠BC与半∠O相切于点C，∠∠OCB＝90°，∠∠A＝25°，∠OA＝OC，∠∠A＝∠OCA，∠∠BOC＝2∠A＝50°，∠∠B＝90°﹣∠BOC＝40°．故选：C【点睛】本题考查了切线的性质、等边对等角、三角形外角和定理、直角三角形两锐角互余，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．11．A【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数．【详解】解：∠∠ABC为等边三角形，∠∠A＝60°，∠∠A＋∠3＋∠2＝180°，∠∠3＝180°−40°−60°＝80°，∥，∠a b∠∠1＝∠3＝80°．故选：A ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了平行线的性质．12．C【分析】分别以点O 、A 为圆心，以OA 的长度为半径画弧，与坐标轴的交点即为所求的点P 的位置．【详解】解：如图，以点O 、A 为圆心，以OA 的长度为半径画弧与坐标轴有6个交点，OA 的垂直平分线与坐标轴的交点有2个，综上所述，满足条件的点P 有8个．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解更简便．13．(1)证明见解析(2)10ACD S =【分析】（1）根据AB CD ∥，可以得到ABC ECD ∠=∠，即可用SAS 证明得出结论； （2）根据全等三角形的性质，可以得到90CED A ∠=∠=︒，设BE x =，则3CD BC x ==+，因为在Rt BED △中，222DE BD BE =-，而在Rt CED 中，222DE CD CE =-，即可列出方程求出三角形的面积．（1）证明：∠AB CD ∥∠ABC ECD ∠=∠又∠,AB CE BC CD ==∠()ABC ECD SAS ≌；（2）由（1）ABC ECD ≌△△， ∠90CED A ∠=∠=︒，设BE x =，∠3AB CE ==，则3CD BC x ==+，在Rt BED △中，222DE BD BE =-，在Rt CED 中，222DE CD CE =-，∠2222BD BE CD CE -=-，即2222(3)3x x -=+-，整理得：23100x x +-=，解得：122,5x x ==-（舍去），∠2BE =，∠4DE ==，235BC BE CE =+=+=， ∠11541022ACD S BC DE =⨯⨯=⨯⨯=△． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解一元二次方程，用方程思想解决几何问题是本题的关键．14．(1)见详解 (2)254【分析】（1）先证明四边形ADFM 是矩形，得到AD =MF ，∠AMF =90°=∠MFD ，再利用MN ∠BE 证得∠MBO =∠OMF ，结合∠A =90°=∠NFM 即可证明；（2）利用勾股定理求得BE =10=MN ，根据垂直平分线的性质可得BO =OE =5，BM =ME ，即有AM =AB -BM =8-ME ，在Rt ∠AME 中，222AM AE ME +=，可得222(8)6ME ME -+=，解得：254ME =，即有254BM ME ==，再在Rt ∠BMO 中利用勾股定理即可求出MO ，则NO 可求．（1） 在正方形ABCD 中，有AD =DC =CB =AB ，∠A =∠D =∠C =90°，BC AD ∥，AB DC ∥，∠MF AD∥，∠A=∠D=90°，AB DC∥，∠四边形ADFM是矩形，∠AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，∠∠BMF=90°=∠NFM，即∠BMO+∠OMF=90°，AB=AD=MF，∠MN是BE的垂直平分线，∠MN∠BE，∠∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO，∠∠MBO=∠OMF，∠90NFM AMF ABOMF MBO⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∠∠ABE∠∠FMN；（2）连接ME，如图，∠AB=8，AE=6，∠在Rt∠ABE中，10==BE，∠根据（1）中全等的结论可知MN=BE=10，∠MN是BE的垂直平分线，∠BO=OE=12BE=5，BM=ME，∠AM=AB-BM=8-ME，∠在Rt∠AME中，222AM AE ME+=，∠222(8)6ME ME-+=，解得：254 ME=，∠254 BM ME==，∠在Rt ∠BMO 中，222MO BM BO =-，∠154MO ==， ∠ON =MN -MO =15251044-=． 即NO 的长为：254． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，掌握勾股定理是解答本题的关键．15．见解析【分析】由题意依据三角形内角和定理和平行线的性质以及等式的性质和角的等量代换进行分析求证即可.【详解】解：在CDE △中，∠180C CED D ∠+∠+∠=︒（三角形内角和定理），∠180CED D C ∠+∠=︒-∠（等式的性质），又∠//AB CD （已知），∠180A C ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），∠180A C ∠=︒-∠（等式的性质），∠A CED D ∠=∠+∠（等量代换）．【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．。

13.3 等腰三角形同步习题一．选择题1．等腰三角形的两边长为3和7，则其周长为（）A．17B．13C．13或17D．以上都不对2．等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则周长为（）A．13cm B．17cm C．13cm或17cm D．11cm或17cm 3．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，最小边BC＝4cm，则最长边AB的长为（）A．8cm B．6cm C．cm D．5cm4．在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝40°，则∠C为（）A．40°B．70°C．40°或70°D．100°5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD，若∠BAD＝55°，∠B＝50°，则∠DEC的度数为（）A．125°B．120°C．115°D．110°6．如图，将边长为7cm的等边△ABC沿边BC向右平移5cm得到△A'B'C'，则四边形AA'C'B 的周长为（）A．30cm B．31cm C．32cm D．33cm7．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DA＝DE，DB＝BE＝EC．若∠ABC ＝130°，则∠C的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°8．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2，D为BC的中点，AE＝AB，则△EBD 的面积为（）A．B．C．D．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BC＝15，DE ＝6，则CE的长为（）A．3.5B．4.5C．5D．5.510．如图，在等边△ABC中，BC＝4，D，E分别是AB，AC的中点，EF⊥BC于点F，连接DF．则DF等于（）A．2B．3C．D．2二．填空题11．如图，AD、BE是等边△ABC的两条高线，AD、BE交于点O，则∠AOB＝度．12．等腰三角形周长为20cm，则腰长xcm的取值范围是．13．在等腰三角形ABC中，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，则∠BAC等于．14．如图，在△ABC中，AE＝DE＝BD，AD＝EC，∠1＝17°，则∠EBC的度数是．15．如图，点C为线段AB上一点，且CB＝2，分别以AC、BC为边，在AB的同一侧作等边△ACD和等边△CBE，连接DE，AE，∠CDE＝30°，则△ADE的面积为．三．解答题16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形内一点，连接AD，BD，CD，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）求∠ADB的度数．17．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC．（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（2）请选择（1）中的一种情形，说明你的理由．参考答案1．A2．B3．A4．B5．C6．B7．D8．B9．B10．C11．120．12．5＜x＜1013．90°或75°或15°14．56°15．416．（1）证明：∵∠BDC＝90°，∠DBC＝45°，∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠DBC＝45°，∴∠DBC＝∠BCD，∴DB＝DC．在△ABD与△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD；（2）解：∵△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ADB＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC+∠BDC＝360°，∠BDC＝90°，∴∠ADB＝（360°﹣90°）＝135°．17．解：（1）由①②或①③可以判定△ABC是等腰三角形；（2）由①②判定△ABC是等腰三角形，理由如下：在△BOE和△COD中，∵∠EBO＝∠DCO，BE＝CD，∠BOE＝∠COD，∴△BOE≌△COD，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OBC+∠EBO＝∠OCB+∠DCO，即：∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．①③判定△ABC是等腰三角形，理由如下：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，又∵∠EBO＝∠DCO，∴∠OBC+∠EBO＝∠OCB+∠DCO，即：∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．。

八年级数学上册《第十三章等腰三角形》同步练习题及答案(华东师大版）班级姓名学号一、选择题1.已知等腰三角形的两边长分别为7和5，则它的周长是( )A.12B.17C.19D.17或192.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为( )A.36°B.60°C.72°D.108°3.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线.若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是( )A.20°B.35°C.40°D.70°4.等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于( )A.腰上的高B.腰上的中线C.底角的平分线D.顶角的平分线5.如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次)，不能得到两个等腰三角形纸片的是( )om6.如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数( )A.1个B.3个C.4个D.5个7.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB ＝∠EAC，则添加的条件不能为( )A.BD＝CEB.AD＝AEC.DA＝DED.BE＝CD8.如图，△ABC中∠A=30°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB 边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，C点恰好落在BE上，此时∠CDB=82°，则原三角形的∠B为( )A.75°B.76°C.77°D.78°二、填空题9.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，请你再添加一个条件，确定△ABC是等腰三角形.你添加的条件是 .10.△ABC中其周长为7，AB＝3，当BC＝时，△ABC为等腰三角形.11.一个等腰三角形的两边长分别为5和2，则这个三角形的周长为.12.我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝12，则该等腰三角形的顶角为________度.13.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于.14.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝BC，那么∠A＝ .三、解答题15.如图，△ABC中，AC＝BC，点D在BC上，作∠ADF＝∠B，DF交外角∠ACE的平分线CF于点F.（1）求证：CF∥AB；（2）若∠CAD＝20°，求∠CFD的度数.16.如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°，求∠B的度数.17.如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD=BE，求证：△ABC为等腰三角形.18.如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形.19.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC 的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.20.如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D，过B作BE⊥AD交AD于F，交AC于E.(1)求证：△ABE为等腰三角形；(2)已知AC＝11，AB＝6，求BD长.参考答案1.D.2.C3.B.4.A5.B6.D7.C8.D9.答案为：BD ＝CD(答案不唯一).10.答案为：1或2.11.答案为：12.12.答案为：36.13.答案为：70°或20°.14.答案为：36°.15.（1）证明：∵AC ＝BC∴∠B ＝∠BAC∵∠ACE ＝∠B+∠BAC∴∠BAC ＝12∠ACE ∵CF 平分∠ACE∴∠ACF ＝∠ECF ＝12∠ACE ∴∠BAC ＝∠ACF∴CF ∥AB ；（2）解：∵∠BAC ＝∠ACF ，∠B ＝∠BAC ，∠ADF ＝∠B ∴∠ACF ＝∠ADF∵∠ADF+∠CAD+∠AGD ＝180°，∠ACF+∠F+∠CGF ＝180° 又∵∠AGD ＝∠CGF∴∠F ＝∠CAD ＝20°.16.解：∵AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°∴∠CAD＝(180°﹣100°)÷2＝40°∵∠CDB是△ACD的外角∴∠CDB＝∠A＋∠ACD＝100°＝40°＋100°＝140°∵DC＝DB∴∠B＝(180°﹣140°)÷2＝20°.17.证明：∵DF⊥AC∴∠DFA=∠EFC=90°.∴∠A=∠DFA﹣∠D，∠C=∠EFC﹣∠CEF∵BD=BE∴∠BED=∠D.∵∠BED=∠CEF∴∠D=∠CEF.∴∠A=∠C.∴△ABC为等腰三角形.18.证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠DAC∵DE∥AC∴∠ADE＝∠DAC.∴∠BAD＝∠ADE∵AD⊥BD∴∠ADB＝90°∴∠BAD＋∠B＝90°.∵∠BDE＋∠ADE＝90°∴∠B＝∠BDE∴BE＝DE∴△BDE是等腰三角形.19.证明：(1)∵AD∥BC(已知)∴∠ADC＝∠ECF(两直线平行，内错角相等)∵E是CD的中点(已知)∴DE＝EC(中点的定义).∵在△ADE与△FCE中∴△ADE≌△FCE(ASA)∴FC＝AD(全等三角形的性质).(2)∵△ADE≌△FCE∴AE＝EF，AD＝CF(全等三角形的对应边相等)∴BE是线段AF的垂直平分线∴AB＝BF＝BC＋CF∵AD＝CF(已证)∴AB＝BC＋AD(等量代换).20.证明：(1)∵BE⊥AD∴∠AFE＝∠AFB＝90°又∵AD平分∠BAC∴∠EAF＝∠BAF又∵在△AEF和△ABF中∠AFE＋∠EAF＋∠AEF＝180°，∠AFB＋∠BAF＋∠ABF＝180°∴∠AEF＝∠ABF∴AE＝AB∴△ABE为等腰三角形；(2)连接DE，∵AE＝AB，AD平分∠BAC∴AD垂直平分BE∴BD＝ED∴∠DEF＝∠DBF∵∠AEF＝∠ABF∴∠AED＝∠ABD又∵∠ABC＝2∠C∴∠AED＝2∠C又∵△CED中，∠AED＝∠C＋∠EDC∴∠C＝∠EDC∴EC＝ED∴CE＝BD.∴BD＝CE＝AC﹣AE＝AC﹣AB＝11﹣6＝5.。

人教版八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步训练1．如图，△ABC是等边三角形，△BCD是等腰三角形，且BD＝CD，过点D作AB的平行线交AC于点E，若AB＝8，DE＝6，则BD的长为（）A．6B．C．D．2．求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC．求证AB＝AC．以下是排乱的证明过程：①又∠1＝∠2，②∴∠B＝∠C，③∵AD∥BC，④∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，⑤∴AB＝AC．证明步骤正确的顺序是（）A．③→②→①→④→⑤B．③→④→①→②→⑤C．．①→②→④→③→⑤D．①→④→③→②→⑤3．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE＝BC，则∠AFE＝（）A．100°B．105°C．110°D．115°4．如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B、C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接FD，FE．当点D在BC边上移动时，有下列三个结论：①△DEF一定为等腰三角形；②△CFG一定为等边三角形；③△FDC可能为等腰三角形．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC 交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝2，则BC的长为（）A．12B．16C．20D．86．如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，点E在AB上，DE⊥CB，垂足为F，连接AF则下列结论中错误的是（）A．AB＝AC B．∠AFC＝∠DC．∠AEF+∠D＝180°D．∠AFC＞∠FCD7．如果一个等腰三角形的两边长为2和5，那么这个三角形的周长是（）A．9B．12C．9或12D．不确定8．若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的底角度数是（）A．50°B．80°C．50°或70°D．80°或40°9．若等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，则它的周长为（）A．22cm B．17cm C．22cm或17cm D．22cm或19cm 10．等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，它的第三边是（）cm．A．4 B．9 C．4或9 D．大于5且小于1311．下列对△ABC的判断，错误的是（）A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形B．若AB＝BC，∠C＝50°，则∠B＝50°C．若AB＝BC，∠A＝60°，则△ABC是等边三角形D．若∠A＝20°，∠C＝80°，则△ABC是等腰三角形12．已知等腰三角形的周长为19，一边长为8，则此等腰三角形的底边长为（）A．3B．8C．3或8D．8或5.513．若等腰三角形的顶角是大于60°的锐角，则底角度数的取值范围是（）A．x＜60°B．x≤60°C．45°＜x＜60°D．45°≤x＜60°14．△ABC中，∠BAC＝∠BCA，AD平分∠BAC，DE∥AC，下列说法正确的是（）A．∠B＝36°B．∠ADB＝108°C．∠ADB＝3∠EDA D．∠AED＝3∠B 15．等腰三角形的两边长为3和8，则这个等腰三角形的周长是（）A．14B．19C．14或19D．2016．如图，在△ABC中，AB＝AC，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；（2）作射线AD，连接BD，CD．则下列结论中错误的是（）A．∠BAD＝∠CAD B．△BCD是等边三角形C．AD垂直平分BC D．S四边形ABDC＝AD⋅BC17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线l交BC于点D．若∠BAD＝78°，则∠B的度数是（）A．34°B．30°C．28°D．26°18．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM 交AB于点E．若AE＝5，BE＝1，则EC的长度是（）A．B．C．9D．19．如图，在等腰△ABD中，∠A＝32°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD，则∠EBD的度数为．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC长为半径画弧交AC于点C和点D，再分别以点C和点D为圆心，大于DC长为半径画弧，两弧相交于点F，作射线BF交AC于点E．若∠A＝40°，则∠EBC＝度．21．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝35°，D是BC边上的动点，连接AD，若△ABD 为直角三角形，则∠DAC的度数为．23．已知等腰三角形的一个内角为110°，则等腰三角形的底角的度数为．24．用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中两根木棒的长度分别为3cm和6cm，则第三根木棒长为cm．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝16cm，则BD＝cm．26．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形，符合条件的C点有个．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AC的中垂线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，则图中等腰三角形有个．28．如图，在△ABC中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝32°，求∠DAC的度数．29．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于点E，直线AE交BC于点D，说明AD⊥BC的理由．30．若关于x，y的二元一次方程组的解都是正数．（1）求a的取值范围；（2）若此方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和底边的长，且这个等腰三角形的周长为12，求a的值．31．如图，在△ABC中，D是三角形内一点，连接DA、DB、DC，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AB＝AC．参考答案1．解：连接AD交BC于点O，取AC中点N，连接ON，如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝8，∠ABC＝60°，∵△BCD是等腰三角形，∴BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴BO＝CO＝4，∵AN＝CN，∴ON＝AB＝4，ON∥AB，∵AB∥DE，∴ON∥DE，∴OD＝AO，∴AO＝4，∴OD＝2，在Rt△BOD中，BD＝＝2．故选：B．2．解：∵③AD∥BC，∴④∠1＝∠B，∠2＝∠C，∵①∠1＝∠2，∴②∠B＝∠C，∴⑤AB＝AC，故证明步骤正确的顺序是③→④→①→②→⑤，3．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD是BC边上的中线，∴∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，∴∠CDE＝90°，∵DE＝BC，∴DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴∠AEF＝∠DEC＝45°，∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故选：B．4．解：∵DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，∴FE＝FD，∴△DEF一定为等腰三角形，故①正确；∵DE⊥AB，DE⊥FG，∴AB∥FG，∴∠FGC＝∠B＝60°，又∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，∴△CFG中，∠C＝∠CFG＝∠CGF，∴△CFG一定为等边三角形；故②正确；∵∠FDC＞∠FGC＝60°，∠C＝60°，∠CFD＜∠CFG＝60°，∴△FDC不可能为等腰三角形．故③错误；5．解：∵CM平分∠ACB交AB于点M，∴∠NCM＝∠BCM，∵MN∥BC∴∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，∵MN平分∠AMC，∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，∴∠B＝30°；∵AN＝2，∠AMN＝∠B＝30°，∴MN＝2AN＝4，∴NM＝NC＝4，∴AC＝AN+NC＝6，∴BC＝2AC＝12，故选：A．6．解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BCD，∠AEF+∠D＝180°，故C选项正确；∵CB平分∠ACD，∴∠ACB＝∠BCD，∴∠ACB＝∠B，∴AC＝AB，故A选项正确；∵DE⊥CB，∴∠CFD＝90°，∴∠D+∠BCD＝90°，假如∠AFC＝∠D，则∠CAF＝∠CFD＝90°，而∠CAF不一定是90°，∴∠AFC与∠D不一定相等，故B选项错误；∵∠AFC是△ABF的外角，∴∠AFC＞∠B，∵∠B＝∠FCD，∴∠AFC＞∠FCD，故D选项正确，故选：B．7．解：∵2+2＝4＜5，∴腰的长不能为2，只能为5，∴等腰三角形的周长＝2×5+2＝12，故选：B．8．解：在△ABC中，设∠A＝x，∠B＝x+30°，分情况讨论：当∠A＝∠C为底角时，2x+（x+30°）＝180°，解得x＝50°，底角∠A＝50°；当∠B＝∠C为底角时，2（x+30°）+x＝180°，解得x＝40°，底角∠B＝70°．故这个等腰三角形的底角的度数为50°或70°．故选：C．9．解：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，∵4+4＜9，∴不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，此时符合三角形的三边关系定理，此时等腰三角形的周长是4cm+9cm+9cm＝22cm，故选：A．10．解：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，∵4+4＜9，∴不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，此时符合三角形的三边关系定理，所以三角形的第三边为9cm，故选：B．11．解：A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，故此选项正确，不符合题意；B．若AB＝BC，∠C＝50°，则∠A＝∠C＝50°，∠B＝100°，故此选项错误，符合题意；C．若AB＝BC，∠A＝60°，则∠A＝∠C＝60°，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形，故此选项正确，不符合题意；D．若∠A＝20°，∠C＝80°，则∠B＝80°，∠C＝∠B＝80°，所以△ABC是等腰三角形，故此选项正确，不符合题意．故选：B．12．解：本题可分两种情况：①当腰长为8时，底边长＝19﹣2×8＝3；经检验，符合三角形三边关系；②底边长为8，此时腰长＝（19﹣8）÷2＝5.5，经检验，符合三角形三边关系；因此该等腰三角形的底边长为3或8．故选：C．13．解：设等腰三角形的底角为x°，则顶角为（180°﹣2x），由题意可得：60°＜180°﹣2x＜90°，∴45°＜x＜60°，∴底角度数的取值范围是45°＜x＜60°，故选：C．14．解：设∠CAD＝x°，∵AD平分∠BAC，∠BAC＝∠BCA，∴∠BCA＝∠BAC＝2x°，∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠BCA＝2x°，∠ADE＝∠CAD＝x°，∴∠ADB＝∠BDE+∠ADE＝2x°+x°＝3x°，即∠ADB＝3∠EDA，故选：C．15．解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是8，但是3+3＜8，故不构成三角形，舍去．②若3是底，则腰是8，8．3+8＞8，符合条件．成立．故周长为：3+8+8＝19．故选：B．16．解：根据作图方法可得BC＝BD＝CD，∵BD＝CD，∴点D在BC的垂直平分线上，∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上，∴AD是BC的垂直平分线，故C结论正确；∴O为BC中点，∴AO是△BAC的中线，∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，故A结论正确；∵BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，故B结论正确；∵四边形ABDC的面积＝S△BCD+S△ABC＝BC•DO+BC•AO＝BC•AD，故D选项错误，故选：D．17．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AC的垂直平分线l交BC于点D，∴AD＝DC，∴∠DAC＝∠C，∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，∴∠ADB＝2∠B，∵∠BAD＝78°，∴∠B+∠ADB+∠BAD＝∠B+2∠B+78°＝180°，∴∠B＝34°，故选：A．18．解：由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，AC＝AB＝BE+AE＝5+1＝6，在Rt△ACE中，CE＝＝，故选：A．19．解：∵AD＝AB，∠A＝32°，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠A）＝74°，由作图可知，EA＝EB，∴∠ABE＝∠A＝32°，∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝74°﹣32°＝42°，故答案为：42°．20．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ACB＝（180°﹣40°）÷2＝70°，由题意可知，BC＝BD，∴∠BDC＝∠ACB＝70°，∴∠CBD＝180°﹣70°×2＝40°，由题意可知，BF平分∠DBC，∴∠EBC＝∠CBD＝20°．故答案为：20．21．解：连接DE，∵在边长为2的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝1，且DE∥AC，BD＝BE＝EC＝1，∵EF⊥AC于点F，∠C＝60°，∴∠FEC＝30°，∠DEF＝∠EFC＝90°，∴FC＝EC＝，故EF＝＝＝，∵G为EF的中点，∴EG＝，∴DG＝＝，故答案为：．22．解：如图，∵AB＝AC，∠B＝35°，∴∠B＝∠C＝35°，∴∠BAC＝110°，当∠BAD＝90°时，∠DAC＝110°﹣90°＝20°；当∠ADB＝90°时，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠DAC＝∠BAD＝55°．故答案为：20°或55°．23．解：∵等腰三角形的一个内角是110°，∴等腰三角形的顶角为110°，∴等腰三角形的底角为35°，故答案为：35°．24．解：组成等腰三角形的两根木棒的长度分别为3cm和6cm，根据三角形三边关系可得，组成等腰三角形的第三根木棒长为6cm，故答案为：6．25．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，∴BD＝DC＝BC，∵BC＝16cm，故答案为：8．26．解：观察图形可知，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点，但其中一个与B点重合，故此时符合条件的点由1个；若以点B为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点；线段AB的垂直平分线与y轴有1个交点；∴符合条件的C点有：1+2+1＝4（个），故答案为：4．27．解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴△ABC是等腰三角形，∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）÷2＝36°，∵AC的中垂线交BC于点D，交AC于点E，∴AD＝CD，∴△ADC是等腰三角形，∠DAC＝∠C＝36°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝72°，∠ADB＝∠DAC+∠C＝72°，∴∠BAD＝∠ADB，∴△BAD是等腰三角形．故图中等腰三角形有3个．故答案为：3．28．解：∵∠B＝40°，∠C＝32°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝108°，由作图可知：BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）÷2＝70°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝38°．29．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠EBC＝，，∴∠EBC＝∠ECB，∴EB＝EC，∴AE垂直平分BC，∴AD⊥BC．30．解：（1）解得，∵若关于x、y的二元一次方程组的解都为正数，∴，解得：a＞1；（2）∵二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和一条底边的长，这个等腰三角形的周长为12，∴2（a﹣1）+a+2＝12，解得：a＝4，∴x＝3，y＝6，故3，3，6不能组成三角形，∴2（a+2）+a﹣1＝12，解得：a＝3，∴x＝2，y＝5，故2，5，5能组成等腰三角形，∴a的值是3．31．证明：∵∠1＝∠2，∴DB＝CD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴AB＝AC．。

八年级数学上册等腰三角形同步练习班级考号姓名总分一．选择题（共8小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（）A．5个B．6个C．7个D．8个2．如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．53．下列条件中不能确定是等腰三角形的是（）A．三条边都相等的三角形D．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形B．有一个锐角是45°的直角三角形C．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形4．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出四个条件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD．上述四个条件中，选择两个可以判定△ABC 是等腰三角形的方法有（）A．2种B．3种C．4种D．6种5．下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=30°，∠B=60°B．∠A=50°，∠B=80°C．AB=AC=2，BC=4 D．AB=3，BC=7，周长为136．下列说法中：（1）顶角相等，并且有一腰相等的两个等腰三角形全等；（2）底边相等，且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等，且有一角是50°的两个等腰三角形全等；（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．已知下列各组数据，可以构成等腰三角形的是（）A．1，2，1 B．2，2，1 C．1，3，1 D．2，2，58．已知：如图，下列三角形中，AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）A．①③④B．①②③④C．①②④D．①③二．填空题（共10小题）9．用若干根火柴（不折断）紧接着摆成一个等腰三角形，底边用了10根，则一腰至少要用_________根火柴．10．如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=_________11．如图，△ABC是等腰三角形，且AB=AC，BM，CM分别平分∠ABC，∠ACB，DE经过点M，且DE∥BC，则图中有_________个等腰三角形．12．在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B的度数是_________．13．在△ABC中，∠A=100°，当∠B=_________°时，△ABC是等腰三角形．14．如图，在△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1=_________度，图中有_________个等腰三角形．15．若三角形三边长满足（a﹣b）（a﹣c）=0，则△ABC的形状是_________．16．如果一个三角形有两个角分别为80°，50°，则这个三角形是_________三角形．17．在平面上用18根火柴首尾相接围成等腰三角形，这样的等腰三角形一共可以围攻成_________种．18．如图，已知AD平分∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是_________三角形．三．解答题（共5小题）19．如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O．AB=DC，AC=BD．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC的形状是_________．（直接写出结论，不需证明）20．已知：如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．求证：△ABC是等腰三角形．21．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO=∠ECO；②∠BDO=∠CEO；③BD=CE；④OB=OC．（1）上述四个条件中，哪两个可以判定△ABC是等腰三角形？（2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形．22．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，CD平分∠ACB，试说明△BCD是等腰三角形．23．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，连接AC，△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B′C相交于点O，连接BB′．（1）求证：△ABC≌△CDA．（2）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；（3）图中阴影部分的△AB′O和△CDO是否全等？若全等请给出证明；若不全等，请说明理由．附：参考答案答案：一、DCDCBABA二、9、6；10、3；11、5；12、80°或50°或20°；13、40度；14、72,3；15、等腰三角形；16、等腰；17、4；18、等腰三、19、（1）证明：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（SSS）．（2）解：∵△ABC≌△DCB，∴∠OBC=∠OCB．∴OB=OC．∴△OBC为等腰三角形．故填等腰三角形．20、解答：证明：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵AO平分∠BAC，∴OE=OF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．∵∠1=∠2，∴OB=OC．∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．∴∠5=∠6．∴∠1+∠5=∠2+∠6．即∠ABC=∠ACB．∴AB=AC．∴△ABC是等腰三角形．21解：（1）①③，①④，②③和②④；（2）以①④为条件，理由：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．又∵∠DBO=∠ECO，∴∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．22解：△ABC中∵AB=AC，∠A=36°∴∠B=∠ACB=（180°﹣∠A）=72°∵CD平分∠ACB∴∠DCB=∠ACB=36°在△DBC中∠BDC=180°﹣∠B﹣∠DCB=72°=∠B∴CD=CB即△BCD是等腰三角形．23、解：（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∠ACD=∠BAC，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（ASA）；（2）图中所有的等腰三角形有：△OAC，△ABB′，△CBB′；∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，又∵△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，∴△AB′C≌△ABC，∴∠ACB=∠ACB′，AB=AB′，即△ABB′为等腰三角形，∴∠DAC=∠ACB′，∴OA=OC，即△OAC为等腰三角形，∵CB=CB′，∴△CBB′为等腰三角形；（3）△AB′O≌△CDO，理由为：证明：∵△AB′C≌△ABC，且△ABC≌△CDA，∴△AB′C≌△CDA，∴B′C=DA，AB′=CD，又OA=OC，∴DA﹣OA=B′C﹣OC，即OB′=OD，在△AB′O和△CDO中，，∴△AB′O≌△CDO．。

八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步达标训练1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D＝∠DBC ＝60°，若BD＝5cm，DE＝3cm，则BC的长是cm．2．如图所示，P是等边三角形ABC内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，若PB＝3，则PP′＝．3．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM 上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝a，则△A6B6A7的边长为．4．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝100°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．当α＝°时，△AOD是等腰三角形．5．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP．其中正确的是．6．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E ＝30°，则BC＝．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，EF垂直平分AB，则∠FBC的度数为．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于．9．如图，在△ABC中，AC＝AD＝BD，当∠B＝25°时，则∠BAC的度数是．10．如图：∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD，则∠ECD等于°．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC，AD＝DE＝EB，则∠A＝°．12．在同一平面内，将两块正三角形的纸板的两个顶点重合在一起．（1）如图1重叠部分∠AOD＝30°，求∠COB的大小；（2）如图2重叠部分∠AOD＝15°，求∠COB的大小；（3）如图3，若两图形除O外没有重叠，∠AOD＝10°，求∠COB的大小；（4）求∠AOD和∠COB的数量关系．13．如图，三角形ABC中，AC＝BC，D是BC上的一点，连接AD，DF平分∠ADC交∠ACB的外角∠ACE的平分线于F．（1）求证：CF∥AB；（2）若∠DAC＝40°，求∠DFC的度数．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB．（1）若AB＝AC＝10cm，BC＝6cm，求△BCE的周长；（2）若∠A＝40°，求∠EBC的度数．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N．（1）若∠ABC＝70°，求∠MNA的度数．（2）连接NB，若AB＝8cm，△NBC的周长是14cm．求BC的长．16．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，（1）求∠F的度数；（2）若CD＝5，求DF的长．17．在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝40°，AD＝AE．求∠CDE的度数．18．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M．（1）求∠E的度数．（2）求证：M是BE的中点．19．如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1．（1）求证：AD＝BE；（2）求AD的长．20．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．21．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，点E在边AC上，且AD＝AE．（1）如图1，当AD是边BC上的高，且∠BAD＝30°时，求∠EDC的度数；（2）如图2，当AD不是边BC上的高时，请判断∠BAD与∠EDC之间的关系，并加以证明．22．如图，△ABC中，AC＝BC，点D在BC上，作∠ADF＝∠B，DF交外角∠ACE的平分线CF于点F．（1）求证：CF∥AB；（2）若∠CAD＝20°，求∠CFD的度数．23．如图所示，在△ABC中，MN⊥AC，垂足为N，且MN平分∠AMC，△ABM的周长为9cm，AN＝2cm，求△ABC的周长．24．如图所示，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A＝60°，∠BDC＝95°，求△BDE各内角的度数．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，∠B＝30°，连接AD．（1）若∠BAD＝45°，求证：△ACD为等腰三角形；（2）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数．26．如图在△ABC中，AB＝AC＝9，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长．参考答案1．解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠DBC＝∠D＝60°，∴△BDM为等边三角形，∴BD＝DM＝BM＝5，∵DE＝3，∴EM＝2，∵△BDM为等边三角形，∴∠DMB＝60°，∵AN⊥BC，∴∠ENM＝90°，∴∠NEM＝30°，∴NM＝1，∴BN＝4，∴BC＝2BN＝8（cm），故答案为8．2．解：因为△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，∴∠PBP′＝60°，BP＝BP′，∴△BPP′为等边三角形，∴PP′＝BP＝3．故答案为：3．3．解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝a，∴A2B1＝a，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4a，A4B4＝8B1A2＝8a，A5B5＝16B1A2＝16a，以此类推：A6B6＝32B1A2＝32a．故答案是：32a．4．解：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△COD为一等边三角形，∴∠COD＝60°假设OD＝OA，则α+100°+60°+∠AOD＝360°，∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝α，∵△COD为一等边三角形，∴∠ADO＝α﹣60°，∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA＝α﹣60°，∴∠AOD＝180°﹣2（α﹣60°），解得α＝100°，当OD＝AD时，α+100°+60°+∠AOD＝360°，∠AOD＝，解得α＝160°，当OA＝AD时，α+100°+60°+∠AOD＝360°，∠AOD＝α﹣60°，解得，α＝130°，综上所述，满足条件的α的值为100°或160°或130°．故答案为100或160或130．5．解：∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，故①小题正确；∵△ACD≌△BCE（已证），∴∠CAD＝∠CBE，∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证），∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，在△ACP与△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP＝BQ，故③小题正确；PC＝QC，∴△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ＝60°，∴∠ACB＝∠CPQ，∴PQ∥AE，故②小题正确；∵AD＝BE，AP＝BQ，∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，即DP＝QE，∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，∴∠DQE≠∠CDE，故④小题错误．综上所述，正确的是①②③．故答案为：①②③．6．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BA＝BC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠E＝30°，BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴BC＝2DC，∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝∠E＝30°，∴CD＝CE＝1，∴BC＝2CD＝2，故答案为27．解：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C＝65°．∵EF垂直平分AB，∴∠ABF＝∠A＝50°．∴∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝65°﹣50°＝15°．故答案为：15°．8．解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠ACE＝∠A+∠ABC，即∠1+∠2＝∠3+∠4+∠A，∴2∠1＝2∠3+∠A，∵∠1＝∠3+∠D，∴∠D＝∠A＝×30°＝15°．故答案为：15°．9．解：∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝25°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝25°+25°＝50°，∵AD＝AC，∴∠C＝∠ADC＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣25°﹣50°＝105°，故答案为105°．10．解：∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝15°，∴∠CBD＝∠A+∠BCA＝30°，∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∴∠ECD＝∠A+∠CDB＝15°+30°＝45°，11．解：设∠A＝x，∵AD＝DE，∴∠DEA＝∠A＝x，∵DE＝EB，∴∠EBD＝∠EDB＝，∵∠BDC＝∠A+∠DBA＝x+＝，∵AB＝AC，BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝∠ABC＝，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，即：x+＝180°，∴x＝45°，∴∠A＝45°．故答案为45．12．解：（1）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝30°，∴∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD＝60°+60°﹣30°＝90°；（2）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝15°，∴∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD＝60°+60°﹣15°＝105°；（3）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝10°，∴∠COB＝∠COD+∠AOB+∠AOD＝60°+60°+10°＝130°；（4）当∠AOD是两个角的重叠的角，则∠COB＝120°﹣∠AOD；当∠AOD是两个角的相离时的角，且∠AOD≤60°，则∠COB＝120°+∠AOD；当∠AOD是两个角的相离时的角，且∠AOD＞60°，则∠COB＝360°﹣（120°+∠AOD）＝240°﹣∠AOD．13．（1）证明：∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB，∴∠ACE＝∠ABC+∠CAB＝2∠ABC∵CF是∠ACE的平分线，∴∠ACE＝2∠FCE∴2∠ABC＝2∠FCE，∴∠ABC＝∠FCE，∴CF∥AB；（2）∵CF是∠ACE的平分线，∴∠ACE＝2∠FCE＝∠ADC+∠DAC∵DF平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠FDC；∴2∠FCE＝∠ADC+∠DAC＝2∠FDC+∠DAC，∴2∠FCE﹣2∠FDC＝∠DAC∵∠DFC＝∠FCE﹣∠FDC∴2∠DFC＝2∠FCE﹣2∠FDC＝∠DAC＝40°∴∠DFC＝20°．14．解：（1）∵DE垂直平分AB∴EA＝EB，∴△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+EA+CE＝BC+AC＝16（cm）；（2）∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C＝70°，∵EA＝EB，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝30°．15．（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∴∠A＝40°，∵MN是AB的垂直平分线，∴AN＝BN，∴∠ABN＝∠A＝40°，∴∠ANB＝100°，∴∠MNA＝50°；（2）①∵AN＝BN，∴BN+CN＝AN+CN＝AC，∵AB＝AC＝8cm，∴BN+CN＝8cm，∵△NBC的周长是14cm．∴BC＝14﹣8＝6cm．16．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；（2）∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED＝DC＝5，∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝10．17．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝40°，∠ADC＝90°，又∵AD＝AE，∴∠ADE＝＝70°，∴∠CDE＝90°﹣70°＝20°．18．（1）解：∵三角形ABC是等边△ABC，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，又∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠E＝∠ACB＝30°；（2）证明：连接BD，∵等边△ABC中，D是AC的中点，∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°由（1）知∠E＝30°∴∠DBC＝∠E＝30°∴DB＝DE又∵DM⊥BC∴M是BE的中点．19．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝CA＝BC，∠BAE＝∠ACD＝60°；在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AD＝BE；（2）解：∵△ABE≌△CAD，∴∠CAD＝∠ABE，∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAE＝60°；∵BQ⊥AD，∴∠AQB＝90°，∴∠PBQ＝90°﹣60°＝30°，∵PQ＝3，∴在Rt△BPQ中，BP＝2PQ＝6，又∵PE＝1，∴AD＝BE＝BP+PE＝6+1＝7．20．解：△APQ为等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC．在△ABP与△ACQ中，∵，∴△ABP≌△ACQ（SAS）．∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．∵∠BAC＝∠BAP+∠P AC＝60°，∴∠P AQ＝∠CAQ+∠P AC＝60°，∴△APQ是等边三角形．21．解：（1）∵AD是边BC上的高，∴∠ADC＝90°，∵AB＝AC，∴AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝30°，∴∠CAD＝30°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°；（2）∠BAD＝2∠EDC，理由：∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠EDC，∴∠B+∠BAD＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠∠EDC＝∠C+2∠EDC，∴∠BAD＝2∠EDC．22．（1）证明：∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC，∵∠ACE＝∠B+∠BAC，∴∠BAC＝，∵CF平分∠ACE，∴∠ACF＝∠ECF＝，∴∠BAC＝∠ACF，∴CF∥AB；（2）解：∵∠BAC＝∠ACF，∠B＝∠BAC，∠ADF＝∠B，∴∠ACF＝∠ADF，∵∠ADF+∠CAD+∠AGD＝180°，∠ACF+∠F+∠CGF＝180°，又∵∠AGD＝∠CGF，∴∠F＝∠CAD＝20°．23．解：∵MN⊥AC，且平分∠AMC，∴∠MAC＝∠MCN，∴MA＝MC，且AN＝NC＝2cm，∵△ABM的周长为9cm，∴AB+AM+BM＝9cm，∴AB+BM+MC＝9cm，即AB+BC＝9cm，且AC＝2AN＝4cm，∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝9+4＝13cm．24．解：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD．∵DE∥BC，交AB于点E，∴∠CBD＝∠BDE∴∠EBD＝∠BDE．∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠A+∠ABD＝∠BDC，∴∠EBD＝∠BDC﹣∠A＝95°﹣60°＝35°，∴∠BDE＝∠DBE＝35°，∴∠BED＝180°﹣∠EBD﹣∠EDB＝180°﹣35°﹣35°＝110°．25．（1）证明：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵∠BAD＝45°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝120°﹣45°＝75°，∠ADC＝∠B+∠BAD＝75°，∴∠ADC＝∠CAD，∴AC＝CD，即△ACD为等腰三角形；（2）解：有两种情况：①当∠ADC＝90°时，∵∠B＝30°，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝90°﹣30°＝60°；②当∠CAD＝90°时，∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝120°﹣90°＝30°；即∠BAD的度数是60°或30°．26．解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×120°＝60°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝∠BAD＝×60°＝30°，∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°，∴∠DAE＝∠F＝30°，∴AD＝DF，∵∠B＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝AB＝×9＝4.5，∴DF＝4.5．。

13．3等腰三角形13．3.1等腰三角形第1课时等腰三角形的性质知识点1等边对等角1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为()A．40° B．50° C．60° D．70°2．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE.若∠ABC＝30°，则∠D为() A．85°B．75°C．60°D．30°3．如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA＝OB.若剪刀张开的角为30°，则∠A ＝．4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BD，AD＝CD，求∠CAD的度数．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，且BD＝DC.求证：∠ABD＝∠ACD.知识点2等腰三角形“三线合一”6．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是() A．∠B＝∠CB．AD⊥BCC．AD平分∠BACD．AB＝2BD7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D.若BD＝2 cm，则CD＝cm.第7题图第8题图8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE ＝∠BAD.10．已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，∠A＝50°，则∠DBC的度数为．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD 的度数为()A．30° B．45°C．50°D．75°第12题图第13题图13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在BC边上，在线段AC的延长线上取点D，使得CD＝CE，连接DE，CF是△CDE的中线．若∠FCE＝52°，则∠A的度数为() A．38° B．34°C．32° D．28°14．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝．第14题图第15题图15．如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠CAE＝16°，则∠B＝．16．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE.17．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点，直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G.求证：AE＝CG.第2课时等腰三角形的判定知识点1等角对等边1．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝5，则AC的长为()A．2B．3C．4D．52．在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是() A．∠A＝50°，∠B＝70°B．∠A＝70°，∠B＝40°C．∠A＝30°，∠B＝90°D．∠A＝80°，∠B＝60°3．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，则△COD 等腰三角形．(填“是”或“不是”)第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°，若AC＝5 cm，则AB＝．5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F.求证：△ABC是等腰三角形．6．如图，△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝BE，求证：△ABC为等腰三角形．知识点2用尺规作等腰三角形7．已知等腰三角形的底边长为a，顶角的平分线长为b，求作这个等腰三角形．8．如图，已知点P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动)，∠AON＝45°，当∠A ＝时，△AOP为等腰三角形．9．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝40°，D，E是BC上的两点，且∠ADE＝∠AED＝80°，则图中共有等腰三角形()A．6个B．5个C．4个D．3个第9题图第10题图10．如图，在△ABC中，BP平分∠CBA，AP平分∠CAB，且DE∥AB，若CB＝12，AC ＝18，则△CDE的周长是．11．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，CD是∠ACD的平分线，交AB于点D，过点A作AE∥BC，交CD的延长线于点E.(1)求∠ADC的度数；(2)求证：AE＝AC；(3)试问△ADE是等腰三角形吗？请说明理由．13．如图，OA平分∠BAC，∠1＝∠2.求证：△ABC是等腰三角形．参考答案第1课时 等腰三角形的性质1．D 2．B 3．75°．4．解：∵△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BD ，AD ＝CD ，∴∠BAD ＝∠ADB ＝45°，∠DCA ＝∠CAD. ∴∠BDA ＝2∠CAD ＝45°. ∴∠CAD ＝22.5°. 5．证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB. ∵BD ＝CD ，∴∠DBC ＝∠DCB.∴∠ABC －∠DBC ＝∠ACB －∠DCB ， 即∠ABD ＝∠ACD. 6．D 7．2 8．55°．9．证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABD ＝∠C.又∵AD 是BC 边上的中线， ∴AD ⊥BC.∵BE ⊥AC ，∴∠BEC ＝∠ADB ＝90°. ∴∠C ＋∠CBE ＝∠ABD ＋∠BAD ＝90°. ∴∠CBE ＝∠BAD. 10．50°或80°． 11．25°． 12．B 13．D 14．35°． 15．37°．16．证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS )． ∴AD ＝AE.17．证明：∵点D 是AB 中点，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∴CD ⊥AB ，∠ACD ＝∠BCD ＝45°，∠CAD ＝∠CBD ＝45°. ∴∠CAE ＝∠BCG. 又∵BF ⊥CE ，∴∠CBG ＋∠BCF ＝90°. 又∵∠ACE ＋∠BCF ＝90°， ∴∠ACE ＝∠CBG.在△AEC 和△CGB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠CAE ＝∠BCG ，AC ＝CB ，∠ACE ＝∠CBG ， ∴△AEC ≌△CGB(ASA )． ∴AE ＝CG.第2课时 等腰三角形的判定1．D 2．B 3．是4．5__cm ．5．证明：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴DE ＝DF.∵点D 是BC 的中点， ∴BD ＝CD.在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ，DE ＝DF ， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF(HL )． ∴∠B ＝∠C.∴AB ＝AC ，即△ABC 为等腰三角形． 6．证明：∵DF ⊥AC ，∴∠DFA ＝∠EFC ＝90°. ∴∠A ＝∠EFC －∠D ， ∠C ＝∠DFA －∠CEF. ∵BD ＝BE ， ∴∠BED ＝∠D. ∵∠BED ＝∠CEF ， ∴∠D ＝∠CEF. ∴∠A ＝∠C.∴△ABC 为等腰三角形． 7．解：①作线段AB ＝a ；②作线段AB 的垂直平分线MN ，与AB 交于点D ； ③以点D 为圆心，b 为半径画弧，交MN 于点C ； ④连接AC ，BC ，则△ABC 就是所求作的三角形． 8．45°或67.5°或90° 9．C 10．30．11．证明：∵DE ∥AC ，∴∠CAD ＝∠ADE.∵AD 平分∠BAC ， ∴∠CAD ＝∠DAE. ∴∠ADE ＝∠DAE. ∵AD ⊥BD ，∴∠DAE ＋∠B ＝90°， ∠ADE ＋∠BDE ＝90°. ∴∠B ＝∠BDE.∴BE ＝DE ，即△BDE 是等腰三角形． 12．解：(1)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，∴∠B ＝∠ACB ＝12(180°－∠BAC )＝72°.∵CD 是∠ACB 的平分线， ∴∠DCB ＝12∠ACB ＝36°.∴∠ADC ＝∠B ＋∠DCB ＝72°＋36°＝108°. (2)证明：∵CD 是∠ACB 的平分线， ∴∠BCE ＝∠ACE. ∵AE ∥BC ， ∴∠BCE ＝∠E. ∴∠ACE ＝∠E. ∴AE ＝AC.(3)△ADE 是等腰三角形． 理由：∵AE ∥BC ， ∴∠EAB ＝∠B ＝72°.∵∠B ＝72°，∠DCB ＝36°，∴∠ADE ＝∠BDC ＝180°－72°－36°＝72°. ∴∠EAD ＝∠ADE. ∴AE ＝DE.∴△ADE 是等腰三角形． 13．证明：过点O 作OD ⊥AB 于点D ，OE ⊥AC 于点E ，则△BOD 和△COE 都是直角三角形．∵OA 平分∠BAC ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ， ∴OD ＝OE. ∵∠1＝∠2， ∴OB ＝OC.∴Rt △BOD ≌Rt △COE(HL )． ∴∠ABO ＝∠ACO.又∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．。

八年级数学上册《第十三章 等腰三角形》同步练习题附答案-人教版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．下列说法错误的是（ ）A ．等腰三角形两腰上的高相等B ．等腰三角形两腰上的中线相等C ．等腰三角形两底角的平分线相等D ．等腰三角形高、中线和角平分线重合2．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为40°，则顶角的度数为（ ）A ．40°B ．80°C ．100°D ．80°或100°3．如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于（ ）A ．25°B ．30°C ．45°D ．60°4．如图，BM 是△ABC 的角平分线，D 是BC 边上的一点，连接AD ，使AD=DC ，且∠BAD=120°，则∠AMB=（ ）A ．30°B ．25°C ．22.5°D ．20°5．如图， ABC ∆ 中， AB=7 ， AC=8 ， BD 、 CD 分别平分 ABC ∠ 、 ACB ∠ 过点 D 作直线平行于 BC ，交 AB 、 AC 于 E 、 F ，则 AEF ∆ 的周长为（ ）A ．9B ．11C ．15D ．186．如图，在ABC 中，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交于点P ，Q ，作直线PQ 交AB 于点D ，连接CD .若3595A B ∠=︒∠=︒，，则BCD ∠的度数为（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒7．如图所示，已知在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AC 上的点，且AE ＝CD ，连接AD ，BE 交于点P ，过点B 作BQ ⊥AD ，Q 为垂足，PQ ＝2，则BP 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．如图，△ABD 与△AEC 都是等边三角形，AB ≠AC ，下列结论中，正确的个数是（ ） ①BE ＝CD ；②∠BOD ＝60°；③∠BDO ＝∠CEO ；④若∠BAC ＝90°，且DA ∥BC ，则BC ⊥CE ．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．一个三角形有两条边相等，周长为18cm ，三角形的一边长为4cm ，则其他两边长分别为 cm ， cm ．10．如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，AD 为△ABC 的中线，∠B=72°，则∠DAC= °．11．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB 于D ．如果∠A ＝30°，AE ＝6，那么CE ＝ ．12．如图，点E 在线段AC 上AB CD ，AE=CD ，AB=CE ，若40A ∠=︒，50DBE ∠=︒则CED ∠的度数为 ．13．如图，在ABC 中，内角BAC ∠与外角CBE ∠的平分线相交于点P ，BE=BC ，PB 与CE 交于点H ，PG AD 交BC 于点F ，交AB 于点G ，连接CP ．下列结论：①2ACB APB ∠∠=；②PAC PAB S S AC AB =：：；③BP 垂直平分CE ；④∠PCF =∠CPF ．其中，正确的结论有 ．（填序号）三、解答题：（本题共5题，共45分）14．如图，△ABC 为等边三角形，D 、E 分别是BC 、AC 上的一点，且BD=CE ，AD 和BE 交于点P ，求∠APE 的度数．15．已知：△ABC 中，∠B 、∠C 的角平分线相交于点D ，过D 作EF ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ，求证：BE+CF=EF ．16．如图，ABC 中=45ABC ∠︒，D 为BC 上一点60ADC ∠=︒，AE BC ⊥于点E ，CF AD ⊥于点F ，AE 、CF 相交于点G（1）求ACF ∠的度数；（2）求证：12DF AG =．17．如图，已知ABC 中B E 40∠∠==︒，BAE 60∠=︒且AD 平分BAE ∠．（1）求证：BD =DE ；（2）若AB AC =，求CAD ∠的度数．18．已知，如图，ABC 是等边三角形AE CD =，BQ AD ⊥于Q ，BE 交AD 于点P ，求证：（1）BE AD =；（2）2BP PQ =参考答案：1．D 2．B 3．B 4．A 5．C 6．B 7．B 8．C9．7；710．1811．312．2013．①②③④14．解：∵BD=CE又∵AB=AC ，∠BCE=∠ABD∴△BAD ≌△CBE ，则∠BAD=∠CBE∵∠APE=∠ABP+∠BAD∴∠APE=∠ABP+∠CBE=∠ABC∴∠APE=∠ABC=60°15．证明：∵BD 平分∠ABC∴∠EBD=∠DBC∵EF ∥BC∴∠EDB=∠DBC∴∠EDB=∠EBD∴DE=BE同理CF=DF∴EF=DE+DF=BE+CF即BE+CF=EF16．（1）解：60ADC ∠=︒ AE BC ⊥30DAE ∴∠=︒15CAE ∠=︒45CAF CAE DAE ∴∠=∠+∠=︒CF AD ⊥9045ACF CAF ∴∠=︒-∠=︒．（2）证明：45CAF ACF ∠=∠=︒AF CF ∴=AE BC CF AD ⊥⊥，90AFG CFD ∴∠=∠=︒ 90FAG ADC FCD ADC ∠+∠=∠+∠=︒ FAG FCD ∴∠=∠在FAG 和FCD 中90AFG CFD AF CFFAG FCD ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA FAG FCD ∴≅FG DF ∴=在Rt FAG 中CF AD ⊥ 30FAG ∠=︒12FG AG ∴=12DF AG ∴=． 17．（1）证明：AD 平分BAE ∠BAD EAD 30∠∠∴==︒AD AD =B E 40∠∠==︒ ABD ∴≌()AED ASABD ED ∴=（2）解；ADE ADB 180B BAD 110∠∠∠∠==︒--=︒ ADC 70∠=︒EDC 1107040∠∴=︒-︒=︒．EDC E ∠∠∴=．FD FE ∴=．DFE 1804040100∠=︒-︒-︒=︒AFC 100∠∴=︒CAD 100EAD 1003070∠∠∴=︒-=︒-︒=︒18．（1）证明：ABC 是等边三角形AB AC ∴= 60BAC C ∠=∠=︒在BAE 与ACD 中AB AC BAC C AE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS BAE ACD ∴≌BE AD ∴=；（2）证明：由（1）得BAE ACD ≌ABE CAD ∴∠=∠60BAP CAD BAC ∠+∠=∠=︒60ABP BAP ∴∠+∠=︒60BPQ ABP BAP ∴∠=∠+∠=︒BQ AD ⊥90BQP ∴∠=︒30PBQ ∴∠=︒2BP PQ ∴=。