重庆市万州区甘宁初级中学八年级数学下册21.3.1表示一组数据离散程度的指标教案1华东师大版【精品教案】

20.3.1 方差教学目标：1、知识与技能：了解方差的定义和计算公式. 理解方差的概念的产生和形成的过程. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小.2、过程与方法：经历探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法时以及区别，积累统计经验.3、情感态度与价值观：培养学生的统计意识，形成尊重事实、用数据说话的态度，认识数据处理的实际意义.教学重点：方差产生的必要性和运用方差公式解决实际问题并掌握其求法. 教学难点：理解方差公式，运用方差对数据波动情况的比较、判断. 教学过程 一、 课题引入2008年北京奥运会上，中国健儿取得了51金，21银，28铜的好成绩，位列金牌榜首位，其中，中国射击队功不可没，取得了四枚金牌.如果你是教练：现要挑选甲，乙两名射击手其中一名参加比赛.若你是教练，你认为挑选哪一位比较适宜？ 甲、乙两名射击手的测试成绩统计如下：⑴ 请分别计算两名射击手的平均成绩；⑵ 请根据这两名射击手的成绩在下图中画出折线统图；⑶=8=8x x 甲乙（环）（环）二、活动探究：1.方差的定义：设有n 个数据12n x x x ，，，，各数据与它们的平均数的差的平方分别是2221)()(x x x x --，，…，2()n x x -，，我们用它们的平均数，即用2222121[()()()]n x x x x x x x n=-+-++-来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作2s 。

方差意义：用来衡量一组数据的波动大小.在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大， 越不稳定. 归纳总结：（1）方差应用能更广泛地衡量一组数据的波动大小；（2）方差主要应用在平均数相等或接近时；（3）方差大波动大，方差小波动小，一般选波动小的.2.因此在上一题的引入中：计算方差的步骤可概括为“先平均，后求差，平方后，再平均”.在刚才的例子中，乙选手的方差为3.2，甲选手的方差为0.4，即S 2甲< S 2乙，因此，甲选手的成绩比较好，发挥比较稳定，在平均数相同的情况下，建议教练选甲选手参赛. 三、巩固提高1.样本5、6、7、8、9的方差是多少？2. 已知样本数据101，98，102，100，99，则这个样本的方差是（ ） A 、0 B 、1 C 、 D 、23. 7,7,7,7,7的方差是多少？方差是（ ）4. 5、6、7、8、9、的平均数是( )， 方差是（ ）. 98,99,100，101，102的平均数是（ ），方差是（ ）. 50，60，70，80，90的平均数是（ ），方差是（ ）.5. 3，10，15，18的平均数是( )， 方差是（ ）. 53,60,65,68的平均数是（ ），方差是（ ）. 150，500，750，900 的平均数是（ ），方差是（ ）. 四、小结(1)知识小结：通过这节课的学习：()()()()()[]4.0898********1222222=-+-+-+-+-=甲S ()()()()()[]2.388868108681051222222=-+-+-+-+-=甲S])()()[(1222212x x x x x x nx n -++-+-=(2)方法小结：求一组数据方差的方法：先求平均数，再利用方差公式求方差。

表示一组数据离散程度的指标教学目标：1.在进一步了解方差、标准差意义的基础上熟练计算一组数据的方差和标准差．2.能利用方差和标准差来说明一组数据的离散程度，解决一些简单的实际问题.教学重点：计算一组数据的极差，方差和标准差教学难点：利用极差，方差和标准差解决实际问题教学过程（一）回顾1.何为一组数据的极差?极差反映了这组数据哪方面的特征?答一组数据中的最大值减去最小值所得的差叫做这组数据的极差，极差反映的是这组数据的变化X围或变化幅度．2.方差和标准差的符号和计算公式是怎样的？它们反映了这组数据哪方面的特征？答方差和标准差分别用S2和表示．用表示一组数据的平均数，x1、x2、…x n表示n个数据，则这组数据方差的计算公式就是方差和标准差反映的是一组数据与平均值的离散程度或一组数据的稳定程度．（二）例题解析例甲、乙两小组各10名学生进行英语口语会话，各练习5次，他们每位同学的合格次数分别如下表：(1) 哪组的平均成绩高？(2) 哪组的成绩比较稳定？分析(1)比较平均成绩高低就是比较甲、乙两组合格次数的平均数的大小.(2)比较稳定程度应比较甲、乙两组的方差或标准差.所以甲、乙两组的平均成绩一样．所以甲组的合格的次数比较稳定． 说明①平均数是反映一组数据总体趋势的指标，方差、标准差均是表示一组数据离散程度的指标，故（2）中应选用方差或标准差．②计算方差的步骤可概括为“先平均，后求差，平方后，再平均”.（三）练习1. 样本方差的作用是（）(A)表示总体的平均水平 (B)表示样本的平均水平(C)准确表示总体的波动大小 (D)表示样本的波动大小2. 在样本方差的计算公式数字10 表示（）数字20表示（）3. 样本5、6、7、8、9、的方差是（） .4. 一个样本的方差是零,若中位数是a,则它的平均数是（ ）(A)等于 a (B)不等于a (C)大于a (D)小于a5.从甲、乙两名射击运动员中选拔一名参加比赛，预赛中，他们每人各打10发子弹，命中的环数如下：甲：9， 8， 9， 9， 8，， 10，10，， 9；2122220)20)20)(((...1210x x x n s ⎡⎤---=++⎢⎥⎣⎦乙：，，，，10， 8， 9，9，8，10．则甲的平均数是，乙的平均数是．你认为派去参加比赛比较合适？请结合计算加以说明．6.分别计算下列各组数据的平均数、极差、方差：(1) 3, 4, 5, 6, 7；(2) 23, 24, 25, 26, 27；(3) 6, 8, 10, 12, 14.观察上述各组数据之间的规律，以及各组数据的平均值、方差之间的联系，用算式表示你猜想出的结论．（三）小结同学们要在进一步了解方差、标准差意义的基础上熟练计算一组数据的方差和标准差．。

表示一组数据离散程度的指标教学目标：1．理解极差，方差、标准差的意义；2. 会计算一组数据的极差，方差和标准差3．能利用极差，方差和标准差解决一些简单的实际问题教学重点：计算一组数据的极差，方差和标准差教学难点：利用极差，方差和标准差解决实际问题教学过程（一）新授创设意境小明初一时对数学不感兴趣，遇到问题不爱动脑筋，作业能做就做，不会做就不做，因此他的数学成绩不太好，初一的一学年中四次考试的数学成绩分别是75、78、77、76．初一暑假时，小明参加了科技活动小组，在活动中，小明体会到学好数学的重要性，逐渐对数学产生了兴趣，遇到问题时从多方面去思考，深入钻研．因此小明的数学成绩进步很快，初二的一学年中，小明在四次考试的数学成绩是80、85、92、95．看完这则小通讯，请谈谈你的看法．你以为在这些数据中最能反映学习态度重要性的是哪一对数据?两者相差多少?相比较而言最能反映学习兴趣重要性的是初一时的75分和初二时的95分，两者相差达20分.这个20分在数学上就称为极差.问题1该表显示:某某2001年2月下旬和2002年同期的每日最高气温问: 2001年2月下旬某某的气温的极差是多少？ 2002年同期的某某的气温的极差又是多少？结论: 2001年的2月下旬的气温变化幅度大于2002年同期的变化幅度.经计算可以看出,对于2月下旬的这段时间而言, 2001年和2002年某某地区的平均气温相等,?思考：什么样的指标可以反映一组数据变化X 围的大小？我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化X 围.用这种方法得到的差称为极差(range)极差＝最大值－最小值．在生活中,我们常常会和极差打交道.班级里个子最高的学生比个子最矮的学生高多少?家庭中年纪最大的长辈比年纪最小的孩子大多少?这些都是求极差的例子.极差是最简单的一种度量数据波动情况的量,但只能反映数据的波动X 围,不能衡量每个数据的变化情况,而且受极端值的影响较大. 思考此图反映的是一年中和新加坡气温变化情况．根据你的观察，为什么说新加坡是“四季温差不大”，而是“四季分明”呢？51015202521日22日23日24日25日26日27日28日问题2．我们来看这么一个问题：小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的五次测试成绩如下表所示．谁的成绩较为稳定？为什么？能通过计算回答吗?由计算可知，两人测试成绩的平均值都是13分．但相比之下，小明的成绩大部分集中在13分附近，而小兵的成绩与其平均值的离散程度较大．通常，如果一组数据与其平均值的离散程度较小，我们就说它比较稳定．请同学们根据上表提供的数据画出折线图(与下图作比较)．请同学们进一步思考，什么样的数能反映一组数据与其平均值的离散程度？从表和图中可以看到，小兵的测试成绩与平均值的偏差较大，而小明的较小．那么如何加以说明呢？可以直接将各数据与平均值的差进行累加吗？在下表中写出你的计算结果并进行小结，可以用它来比较两组数据围绕其平均值的波动情况(离散程度)吗？(给同学们足够的时间计算和讨论)对于每次成绩－平均成绩求和的结果为零（请同学们说说为什么？）．那么，你能提出一个可行的方案吗？请在下表的红色格子中写上新的计算方案，并将计算结果填入表中．(部分学生可能提出求差后求绝对值再求和的方法等，要多肯定和比较，引导学生共同导出方差的计算公式)考虑实际情况，如果一共进行了7次测试，小明因故缺席两次，怎样比较谁的成绩更稳定?请将你的方法与数据填入下表中．(通过两X 表格的对比让学生进一步明白：为什么要用“每次成绩”和“平均成绩”相减；为什么要“平方”；为什么求“平均数”比“求和”好．)我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况．这个结果通常称为方差（variance ）．公式为21222...)))(((12x x x x x x n s⎡⎤=++---⎢⎥方差越大,说明这组数据偏离平均值的情况越严重,即离散程度较大,数据也越不稳定．我们通常用S2表示一组数据的方差，用表示一组数据的平均数，x1、x2、…表示各个数据．上面问题中方差的计算式就是从方差的计算过程，可以看出S2的数量单位与原数据的不一致，因此在实际应用时常常将求出的方差再开平方，这就是标准差（standarddeviation），用符号表示为．发现：方差越小，波动越小.方差越大，波动越大.（二）例题解析例请计算刚才问题中小明和小兵五次测试成绩的极差、方差和标准差．解小明和小兵五次测试成绩的极差分别为14-12=2和16-10=6．小明和小兵五次测试成绩的方差分别为(其中小明和小兵5次测试成绩的平均数都为13)经过比较可知，小明的测试成绩较为稳定．（三）小结1. 了解极差，方差和标准差的意义．2. 知道极差，方差和标准差的计算方法．3. 会利用极差，方差和标准差的计算结果来分析一组数据的离散程度。