高考模拟2019届江苏省苏州市高三上学期期末考试数学word版有答案

2018-2019学年度高三上学期期末考试卷数学（理科）试题第I卷（选择题共60分）一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。

)1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,,选B2.复数（为虚数单位）的虚部是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以虚部是，故选D。

3.当时，执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 9B. 15C. 31D. 63【答案】C【解析】由程序框图可知，，，退出循环，输出的值为，故选C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.等比数列的前项和为，且成等差数列，若，则（）A. 15B. 16C. 18D. 20【答案】A【解析】设公比为，则等价于，故，所以，选A.5.若，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴，∴．选A．6.设，分别是正方形的边，上的点，且，，如果（，为实数），则的值为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，∴，．∴．故选．7.某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为直角梯形，俯视图为两个正方形，则该几何体的表面积为（）A. B. 61 C. 62 D. 73【答案】C【解析】由三视图画出几何体如图所示，上、下底面分别为边长是1、4的正方形；前、后两个侧面是上底为1，下底为4，高为4的梯形；左、右两个侧面是上底为1，下底为4，高为5的梯形．其表面积为．选C．8.设不等式组表示的平面区域为，若直线上存在内的点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】满足不等式组的可行域如图所示∵阴影部分满足不等式组的平面区域，联立解得∴点联立解得∴点∵直线恒过点∴∵观察图像可知，当直线在和之间时，才会存在内的点∴故选A点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9.已知，为的导函数，则的图像是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，为奇函数，图象关于原点对称，排除，又，可排除，故选A.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择主要考查考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.10.已知函数，若存在四个互不相等的实数根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，则，由题意，有两个不同的解，有两个不相等的实根，由图可知，得或，所以和各有两个解。

苏州市2018-2019学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高三数学2019.1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．．▲ ．1.已知集合{1,2,3}A=，{3,4}B=，则集合A B=I▲ ．2.复数12iiz+=(i )为虚数单位的虚部是▲ ．3.某班级50名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则成绩在60:80分的学生人数是▲ ．4.连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和为8的概率为▲ ．5.已知3sin()cosαπα-=，则tan()πα-的值是▲ ．6.如图所示的流程图中，若输入的,a b分别为4，3，则输出n的值为▲ ．7.在平面直角坐标系xOy中，中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(3,1)-，则该双曲线的离心率为▲ ．注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本调研卷共4页，包含填空题（第1题-第14题）、解答题（第15题-第20题）．本调研卷满分160分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2. 答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4. 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．8.曲线2e xy x =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 ▲ ．9.如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为 ▲ ．10.在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,3)A ，(4,6)B ，且圆心在直线210x y --=上的圆的标准方程为 ▲ ．11.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若51013S S =，则52010+S S S = ▲ ． 12.设函数22,0()2,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩若方程()3f x kx -=有三个相异的实根，则实数k 的取值范围是 ▲ ．13.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，,M N 分别是边,BC CD 上的两个动点，且BM DN MN +=，则AM AN u u u u r u u u rg 的最小值是 ▲ ．14．设函数22()||,f x ax x=-若对任意1(,0)x ∈-∞，总存在2[2,)x ∈+∞，使得21()()f x f x ≤，则实数a 的取值范围 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB BC ⊥，,E F 分别是11A C ，BC 的中点 （1） 求证:平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2） 求证：1//C F 平面ABE .▲ ▲ ▲16．（本题满分14分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，已知2cos 23b A c a =-. (1) 求B(2) 设函数3()cos sin()3f x x x π=+g，求()f A 的最大值 ▲ ▲ ▲如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6 （1） 求椭圆E 的标准方程； （2） 过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标.▲ ▲ ▲18．（本题满分16分）如图，长途车站P 与地铁站O 的距离为5千米，从地铁站O 出发有两条道路12,l l ，经测量，12,l l 的夹角为45o，OP 与1l 的夹角θ满足1tan 2θ=（其中02πθ<<）,现要经过P修一条直路分别与道路12,l l 交汇于,A B 两点，并在,A B 处设立公共自行车停放点. (1) 已知修建道路,PA PB 的单位造价分别为2/m 元千米和/m 元千米，若两段道路的总造价相等，求此时点,A B 之间的距离；(2) 考虑环境因素，需要对,OA OB 段道路进行翻修，,OA OB 段的翻修单价分别为/n 元千米和22/n 元千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定,A B 点的位置.▲ ▲ ▲已知函数32()4(,R)f x ax bx a a b =+-∈ （1） 当1a b ==时，求()f x 的单调增区间；（2） 当0a ≠，若函数()f x 恰有两个不同零点，求ba的值; （3） 当0a =时，若()ln f x x <的解集为(,)m n ，且(,)m n 中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围.▲ ▲ ▲20．（本题满分16分）定义：对任意*N n ∈，21n n n x x x +++-仍为数列{}n a 中的项，则称数列{}n x 为“回归数列”.(1) 已知*2(N n n a n =∈），判断{}n a 是否为“回归数列”，并说明理由；(2) 若数列{}n b 为“回归数列”，393,9b b ==，且对于任意*N n ∈，均有1n n b b +<成立① 求数列{}n b 的通项公式② 求所有的正整数,s t ，使得等式2123131s s t ss b b b ++-=+-成立 ▲ ▲ ▲苏州市2018-2019学年第一学期学业质量阳光指标调研卷数学Ⅱ（附加题）2019.121.【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．，若多做题，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 A.选修4-2,矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵723m M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵172n M m --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求实数,m nB.选修4-4,坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的方程是=4cos ρθ，在以极点为原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系中，直线l的参数方程为22x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数），若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值.C.选修4-5,不等式选讲（本小题满分10分） 设,,a b c 都是正数，求证：2221()2a b c a b c b c c a a b ++≥+++++【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)已知正四棱锥S ABCD -的底面边长和高均为2，从其五个顶点中任取三个，记这三个顶点围城的三角形面积为ζ. (1) 求概率(2)P ζ=； (2) 求ζ的分布列和数学期望.23. (本小题满分10分)如图，四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 是边长为1的正方形，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，PA 与平面PBC 所成角的正弦值为217（1） 求侧棱PA 的长;（2） 设E 为AB 中点，若PA AB ≥，求二面角B PC E --的余弦值.。

ab
2
顶点，原点 O 到直线 BD 的距离为 6 . 设点 P 在第一象限，且 PB x 轴，连接 PA 交椭圆于点 C . 3
（ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）若三角形 ABC 的面积等于四边形 OBPC 的面积，求直线 PA 的方程； （ 3）求过点 B,C, P 的圆方程（结果用 t 表示） .
又 MA (s 6, t 1),MB ( s 6, t 1) ，所以 6 s2 (t 1)2 0 ②
由①②解得： t
1 ，或 t
3
1（舍），所以 s2
70 .
9
AB
又圆 P 的圆心为 AB的中点 (0,t ) ，半径为
s，
2
所以圆 P 的标准方程为 x2 ( y 1)2
70 .
39
(3)设 M ( x0 , y0) ，则 lMA 的方程为 y y0
所以 8b2 ( 1)2 2b2 2 2b2 ，即 4 ( 1)2
2
，所以
5
2
. ………16 分
方法二：不妨设点 P 在第一象限，设直线 OP : y kx( k 0) ，代入椭圆 E2 : x2 2 y2 8b2 ，
解得 x0
2 2b 1 2k 2 ，则 y0
2 2bk
，
1 2k 2
直线 OP, OA 的斜率之积为
y2
y0 (
………12 分
1) y1
所以 ( x0 ( 1)x1 ) 2 2( y0 ( 1) y1 )2 2b 2
则 x02 2( 1)x0x1 ( 1)2 x12 2y02 4( 1) y0 y1 2( 1) 2 y12 2 2b2
(x02 2 y02) 2( 1)(x0 x1 2y0 y1) ( 1) 2( x12 2 y12 ) 2 2b2

江苏省苏州市2019届高三最后一卷数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知集合{|02}A x x =<<，{}1B x x =，则A B =____.【答案】{}|12x x << 【解析】 【分析】利用交集定义直接求解． 【详解】集合A {x |0x 2}=<<，{}B x x 1=，A B {x |1x 2}∴⋂=<<．故答案为：{x |1x 2}<<．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.设i 是虚数单位，复数i2ia z -=的模为1，则正数a 的值为_______．【解析】 【分析】先化简复数，再解方程21144a +=即得解.【详解】由题得i 1i 2i 22a az -==--， 因为复数z 的模为1，所以21144a +=，解之得正数a【点睛】本题主要考查复数的除法和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法．将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为_______．【答案】48【解析】【分析】先求出频率分布直方图左边三组的频率和，再求全团共抽取的人数.【详解】由题得频率分布直方图左边三组的频率和为15(0.03750.0125)0.75-⨯+=所以全团抽取的人数为：212(0.75)6÷⨯＝48.故答案为：48【点睛】本题主要考查频率分布直方图频率和频数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.执行如图所示的程序框图，输出的k的值为_______．【答案】4 【解析】试题分析：程序执行中的数据变化如下：133130,3,,,1,,,22244k a q a k a =====<= 313313312,,,3,,,4,,4488416164k a k a k =<==<==<成立，输出4k =考点：程序框图5.设x ∈[﹣1，1]，y ∈[﹣2，2]，记“以(x ，y)为坐标的点落在不等式221x y +≥所表示的平面区域内”为事件A ，则事件A 发生的概率为_______． 【答案】1﹣8π 【解析】 【分析】利用几何概型的概率公式求事件A 发生的概率.【详解】由题得x ∈[﹣1，1]，y ∈[﹣2，2]，对应的区域是长方形， 其面积为24=8⨯.设事件A 发生的概率为P ，故P ＝88π-＝1﹣8π．故答案为：1﹣8π【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a ＞b 且sin A cosCa b=，则A ＝_______． 【答案】2π【解析】 【分析】由题得sinB ＝cosC ，再求A 的大小. 【详解】因为sin cos A C a b =，所以sin cos sin sin A CA B=，则sinB ＝cosC ， 由a ＞b ，则B ，C 都是锐角，则B ＋C ＝2π，所以A ＝2π． 故答案为：2π【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.已知等比数列{}n a 满足112a =，且2434(1)a a a =-，则5a ＝_______． 【答案】8 【解析】 【分析】先求出3a 的值，再求5a 的值. 【详解】∵2434(1)a a a =- ∴2334(1)a a =-，则3a ＝2∴223512812a a a ===． 故答案为：8【点睛】本题主要考查等比中项的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．【解析】 【分析】解方程[(0)]2f f =即得a 的值. 【详解】∵0(0)223f =+= ∴[(0)](3)log 2a f f f == ∵[(0)]2f f = ∴log 22a =， 因0,a >所以解得a【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查指数对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 cm 。

苏州市2019届高三上学期期末学业质量阳光指标调研卷数学2019．1一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{1，3，5}，B ＝{3，4}，则集合A B ＝ ．答案：{3}考点：集合的运算。

解析：取集合A 、B 的公共部分即可，所以，A B ＝{3}2．复数12iiz +=（i 是虚数单位）的虚部是 ． 答案：－1考点：复数的运算，复数的概念。

解析：212i (12)2i i iz i i ++===-，所以，虚部为－1。

3．某班级50名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则成绩在60~80分的学生人数是 ．答案：25考点：频率分布直方图。

解析：成绩在60~80分的频率为：1－（0.1－0.3－0.1）＝0.5， 成绩在60~80分的学生人数为：50×0.5＝25。

4．连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和为8的概率为 ． 答案：536考点：古典概型。

解析：连续抛掷一颗骰子2次，共有36种可能，点数之和为8的有（2,6），（3,5），（4,4），（5,3），（6,2）所以，所求概率为：P ＝5365．已知3sin()cos απα-=，则tan()πα-的值是 ． 答案：13考点：三角函数的诱导公式。

解析：3sin()cos απα-=化为3sin cos 21αα-=（世纪网），得：1tan 3α=-， tan()πα-＝tan α-＝136．如图所示的流程图中，若输入的a ，b 分别为4，3，则输出的n 的值为 ．答案：3考点：程序框图。

解析：第1步：a ＝6，b ＝6，n ＝2；第2步：a ＝9，b ＝12，n ＝3，退出循环，所以，n ＝3 7．在平面直角坐标系xOy 中，中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 (﹣3，1)，则该双曲线的离心率为 ． 答案10考点：双曲线的性质。

2019届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2019.1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1. 已知集合A ＝{1，3，5}，B ＝{3，4}，则集合A ∩B ＝ Ｗ.2. 复数z ＝1＋2i i(i 为虚数单位)的虚部是 Ｗ. 3. 某班级50名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则成绩在60～80分的学生人数是 Ｗ.4. 连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和为8的概率为 Ｗ.5. 已知3sin(α－π)＝cos α，则tan(π－α)的值是 Ｗ.6. 如图所示的流程图中，若输入的a ，b 分别为4，3，则输出n 的值为 Ｗ.7. 在平面直角坐标系xOy 中，中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(－3，1)，则该双曲线的离心率为 Ｗ.8. 曲线y ＝x ＋2e x 在x ＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 Ｗ.9. 如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为 Ｗ.10. 在平面直角坐标系xOy 中，过点A (1，3)，B (4，6)，且圆心在直线x －2y －1＝0上的圆的标准方程为 Ｗ.11. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 5S 10＝13，则S 5S 20＋S 10＝ Ｗ. 12. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，－2x ，x <0，若方程f (x )－kx ＝3有三个相异的实根，则实数k 的取值范围是 Ｗ.13. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且BM ＋DN＝MN ，则AM →·AN →的最小值是 Ｗ.14. 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪2x －ax 2，若对任意x 1∈(－∞，0)，总存在x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 2)≤f (x 1)，则实数a 的取值范围是 Ｗ.二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB ⊥BC ，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点.求证：(1) 平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；(2) C 1F ∥平面ABE .。

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.设全集U ＝｛x | x ≥2，x ∈N ｝，集合A ＝｛x | x 2≥5，x ∈N ｝，则U A ð＝ ▲ ． 【答案】{2} 【解析】试题分析：由题意得2{|2,5,}{|2}{2}U C A x x x x N x x x N =≥≤∈=≤≤∈= 考点：集合的补集2.复数i(0)12ia z a =<+，其中i 为虚数单位，||z ，则a 的值为 ▲ ． 【答案】－5 【解析】试题分析：i |i ||| 5.12i |12i |a a z z a =⇒====-++ 考点：复数的模3.双曲线22145x y -=的离心率为 ▲ ．【答案】32【解析】试题分析：由题意得22234,59.2c a b c e a ==⇒=⇒== 考点：双曲线离心率4.若一组样本数据9，8，x ，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为 ▲ ． 【答案】2 【解析】试题分析：由题意得12x =，所以方差为221(12201)25++++=考点：方差5.已知向量a =(1，2)，b =(x ，-2)，且a ⊥(a -b )，则实数x = ▲ ． 【答案】9 【解析】试题分析：由题意得2()5(4)909.a a b a a b x x x ⋅-=-⋅=--=-=⇒= 考点：向量数量积6.阅读算法流程图，运行相对应的程序，输出的结果为 ▲ ．【答案】53【解析】试题分析：第一次循环：2z =；第二次循环：1,2,3,x y z ===；第三次循环：2,3,5,x y z ===；第四次循环：3,5,86x y z ===>；结束循环，输出53y x = 考点：循环结构流程图7.函数22,0,()1,0xx f x x x ⎧⎪=⎨-+>⎪⎩≤的值域为 ▲ ．【答案】(,1]-∞ 【解析】试题分析：20()2(0,1];0,()1(,1)x x f x x f x x =∈>=-+∈-∞≤时,时，所以值域为(0,1](,1)(,1]-∞=-∞考点：分段函数值域8.连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，则事件“两次向上的数字之和等于7”发生的 概率为 ▲ ．（第6题图）【答案】16【解析】试题分析：连续2次抛掷一枚骰子共有36种基本事件，其中“两次向上的数字之和等于7”包含16,25,34,43,52,61++++++这6种基本事件，故所求概率为61.366= 考点：古典概型概率9.将半径为5的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为123,,r r r ，则123r r r ++＝ ▲ ． 【答案】5 【解析】试题分析：由题意得，扇形弧长为对应圆锥底面周长，所以1231232()255r r r r r r ππ++=⨯⇒++=考点：圆锥展开图10.已知θ是第三象限角，且2sin 2cos 5θθ-=-，则sin cos θθ+＝ ▲ ． 【答案】3125-考点：同角三角函数关系11.已知{}n a 是等差数列，a 5＝15，a 10＝－10，记数列{}n a 的第n 项到第n +5项的和为T n ，则n T 取得最小值时的n 的值为 ▲ ． 【答案】5或6 【解析】试题分析：由题意得1055105a a d -==--，所以58(5)540,0n a a n d n a =+-=-+=，而数列{}n a 的第n 项到第n+5项的和为连续6项的和，所以n T 取得最小值时的n 的值为第8项前3项或前2项，即n 的值为5或6 考点：等差数列性质12.若直线1:l y x a =+和直线2:l y x b =+将圆22(1)(2)8x y -+-=分成长度相等的四段弧，则22a b +＝ ▲ ． 【答案】18 【解析】试题分析：由题意得直线1:l y x a =+和直线2:l y x b =+截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直2=，即222221)(1)18.a b ==⇒+=+-+=考点：直线与圆位置关系13.已知函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为0x ，则200(1)sin 2x x x +＝ ▲ ． 【答案】12【解析】试题分析：由题意得y kx =与sin ,(,2)y x x ππ=-∈相切，切点为00(,sin )x x -，由导数几何意义得0cos k x =-，所以00000000sin sin cos sin cos x kx x x x x x x =-⇒-⋅=-⇒=，即000220000020sin cos 1.sin (1)sin 22(1)2sin cos cos x x x x x x x x x ==++ 考点：导数几何意义，同角三角函数关系 14.已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211ab+--的最小值为 ▲ ．【答案】4+ 【解析】 试题分析：1212441114444122[(44)(41)]2()2()1414134abaaa a a a a a++-------+-==++=++--4(41)4412(44)1=22+()43413a a a a ---++≥+⨯=-4+，当且仅当4(41)442(44)41a aa a ---=-时取等号考点：基本不等式求最值二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos 2cos a B +b AC c=．（1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆的面积为，6a b +=，求边c 的长． 【答案】（1）3C π=（2）c =考点：正余弦定理 16.（本小题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中， E ，F 分别是AB ，BC 的中点，A 1C 1 与B 1D 1交于点O .（1）求证：A 1，C 1，F ，E 四点共面；（2）若底面ABCD 是菱形，且OD ⊥A 1E ，求证：OD ⊥平面A 1C 1FE . （第16题图）1EA 1B【答案】（1）详见解析（2）详见解析（2）连接BD ，因为直棱柱中1DD ⊥平面1111A B C D ，11A C ⊂平面1111A B C D ，所以1DD ⊥11A C ． ………………………9分 因为底面A1B1C1D1是菱形，所以11A C 11B D ⊥． 又1DD 111=B D D ，所以11A C ⊥平面11BB D D ． ………………………11分因为OD ⊂平面11BB D D ，所以OD ⊥11A C ．又OD ⊥A1E ，11A C 11A E A =，11A C ⊂平面A1C1FE ，1A E ⊂平面A1C1FE ，所以OD ⊥平面A1C1FE. ………………………14分 考点：线线平行公理，线面垂直性质与判定定理 17.（本小题满分14分）图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C 为半圆弧ACB 的中点，渠宽AB 为2米．（1）当渠中水深CD 为0.4米时，求水面的宽度；（2）若把这条水渠改挖（不准填土）成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？【答案】（1）宽为1.6米．（2 【解析】试题分析：（1）本题实际上为求对应半圆上点的坐标：先建立直角坐标系，求出半圆弧ACB所在曲线方程：221(11,0)x y x y +=-≤≤≤．再根据水深CD 确定对应点纵坐标，代入圆方程求得横坐标，从而确定水面的宽度；（2）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，所以问题转化为求圆的切线：设切点(cos ,sin )(0)2P θθθπ-<<，则切线EF 的方程为cos sin 1x y θθ+=．从而可根据切线方程与两直线y ＝-1和y ＝0得交点坐标，求出对应等腰梯形的面积2sin cos S θθ+=，再根据导数求其最小值试题解析：（1）以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系xOy ，因为AB ＝2米，所以半圆的半径为1米，则半圆的方程为221(11,0)x y x y +=-≤≤≤． ………………………3分 因为水深CD ＝0.4米，所以OD ＝0.6米，在Rt △ODM中，0.8DM ===（米）． ………………………5分 所以MN ＝2DM ＝1.6米，故沟中水面宽为1.6米． ………………………6分（2）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点为(cos ,sin )(0)2P θθθπ-<<是圆弧BC 上的一点，过P 作半圆的切线得如图所示的直角梯形OCFE ，得切线EF 的方程为cos sin 1x y θθ+=． ……………………8分令y ＝0，得1(,0)cos E θ，令y ＝-1，得1sin (,1)cos F θθ+-． 设直角梯形OCFE 的面积为S ，则11sin 2sin ()()1cos cos cos S CF OE OC θθθθθ++=+⋅=+⨯= （02θπ-<<）． ……………………10分22cos cos (2sin )(sin )12sin cos cos S θθθθθθθ-+-+'==，令0S '=，解得6θπ=-， 当26θππ-<<-时，0S '<，函数单调递减；当06θπ-<<时，0S '>，函数单调递增． ………………………12分所以6θπ=-时，面积S．此时1sin()6cos()6CF π+-==π-……………14分 考点：圆方程，圆的切线，利用导数求最值 18.（本小题满分16分）如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2＝1的右焦点为F ，点B ，C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点（与y 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ． （1）当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积； （2）①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值；M NPFEyxO D CB A②求PB PM ⋅的取值范围．【答案】（1（2）①详见解析，②(9,)+∞ 【解析】试题分析：（1）直线PM 过椭圆的右焦点F ，就是直线CM 过椭圆的右焦点F,点M 就是直线CF 与椭圆的交点，列直线CF方程1y =-与椭圆方程联立的方程组，解得1)7M ，最后根据点到直线距离公式求高，根据两点间距离公式求底边长，算出三角形面积（2）①本题思路简单，就是利用点P 的坐标分别表示k1，k2，再计算k1·k2的值即可，但有一定运算量：先设(,2)P m -，立得21(2)30k m m--==--，再利用直线PC 与椭圆联立方程组求出交点M 坐标22284(,)44m m M m m --++，求出22212412148844m m m k m m m m ---+===--+②先利用点P 的坐标表示422=15364m PB PM m m ++⋅+，再令244m t +=>，化简函数式：27887t t PB PM t t t+-⋅==-+，最后结合函数单调性求值域试题解析：（1）由题意(0,1),(0,1)B C -，焦点F ，当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，则直线PM11y=-，即1y =-，联立，221,41,x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得1,7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,1x y =⎧⎨=-⎩（舍），即1)7M ． ………………2分连BF ，则直线BF11y+=，即0x +=， 而2BF a ==，d ===． ………………………4分故11222MBFSBF d =⋅⋅=⋅=． ………………………5分 （2）解法一：①设(,2)P m -，且0m ≠，则直线PM 的斜率为1(2)10k m m---==--，则直线PM 的方程为11y x m=--， 联立2211,1,4y x m x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2248(1)0x x m m ++=，解得22284(,)44m m M m m --++， ………8分所以22212412148844m m m k m m m m ---+===--+，21(2)30k m m --==--， 所以1231344k k m m ⋅=-⋅=-为定值． …………………10分 ② 由①知，(,3)PB m =-，2322222841212(,2)(,)4444m m m m m PM m m m m m ---+=--+=++++， 所以324222212121536(,3)(,)444m m m m m PB PM m m m m ++++⋅=-⋅-=+++， …………………13分 令244m t +=>，故22(4)15(4)367887t t t t PB PM t t t t-+-++-⋅===-+，因为87y t t=-+在(4,)t ∈+∞上单调递增，所以8874794PB PM t t ⋅=-+>-+=，即PB PM ⋅的取值范围为(9,)+∞．………16分解法二：①设点()000(,)0M x y x ≠，则直线PM 的方程为0011y y x x +=-， 令2y =-，得00(,2)1x P y --+. …………………7分 所以0101y k x -=，()020*******y k x x y +--==-+，所以()()()()2200001222000031313113441y y y y k k x x x y --+-=⋅===--（定值）. …………………10分 ②由①知，00(,3)1x PB y =+，0000(,2)1xPM x y y =+++， 所以()()()()20000000200023212311x y x x PB PM x y y y y y +⎛⎫⋅=+++=++ ⎪+++⎝⎭ =()()()()()()200000200412723211y y y y y y y -+-+++=++． …………………13分令()010,2t y =+∈，则()()8187t t PB PM t tt-+⋅==-++，因为87y t t=-++在(0,2)t ∈上单调递减， 所以8872792PB PM t t ⋅=-++>-++=，即PB PM ⋅的取值范围为(9,)+∞． ……16分考点：直线与椭圆位置关系 19.（本小题满分16分） 已知数列{}n a 满足：112a =，113n n n a a p nq -+-=⋅-，*n ∈N ,,p q ∈R . （1）若0q =，且数列{}n a 为等比数列，求p 的值； （2）若1p =，且4a 为数列{}n a 的最小项，求q 的取值范围. 【答案】（1）0p =或1p =.（2）2734q ≤≤ 【解析】试题分析：（1）113n n n a a p -+-=⋅，而数列{}n a 为等比数列，则可由2213a a a =求出0p =或1p =.再分别验证当0p =时，1n n a a +=12=符合题意；当1p =时，113n n n a a -+-=，利用累加法得1132n n a -=⋅符合题意.（2）1p =，113n n n a a nq -+-=-，利用累加法得()11312n n a n n q -⎡⎤=--⎣⎦，由题意转化为恒成立问题：对*n ∀∈N ，有()()141131271222n n n q a q -⎡⎤--=-⎣⎦≥恒成立，即()1232712n n n q ----≥对*n ∀∈N 恒成立.变量分离时需分类讨论：当5n ≥时，2120n n -->， 1232712n q n n ----≤恒成立，当3n ≤时，2120n n --<， 1232712n q n n --≥--恒成立，当4n =时，有00≥，分析数列()123275,12n n c n n n n --=∈--N *≥得为递增数列，所以当5n ≥时，5123272755124q --=--≤，当3n ≤时，数列()123273,12n n c n n n n --=≤∈--N *得为递增数列，所以当3n ≤时，312327=33312q --≥-- 试题解析：（1）0q =，113n n n a a p -+-=⋅，∴2112a a p p =+=+，321342a a p p =+=+， 由数列{}n a 为等比数列，得21114222p p ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0p =或1p =. (3)分当0p =时，1n n a a +=，∴12n a = 符合题意； ………………………4分当1p =时，113n n n a a -+-=， ∴()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=()12111131133322132n n n ----++++=+=⋅-，∴13n na a +=符合题意. ………………………6分（2）法一：若1p =，113n n n a a nq -+-=-， ∴()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=()()211331212n n q -++++-+++-⎡⎤⎣⎦=()11312n n n q -⎡⎤--⎣⎦. ………………8分∵数列{}n a 的最小项为4a ，∴对*n ∀∈N ，有()()141131271222n n n q a q -⎡⎤--=-⎣⎦≥恒成立， 即()1232712n n n q ----≥对*n ∀∈N 恒成立. ………………………10分当1n =时，有2612q --≥，∴136q ≥； 当2n =时，有2410q --≥，∴125q ≥； 当3n =时，有186q --≥，∴3q ≥；当4n =时，有00≥，∴q ∈R ； ………………………12分当5n ≥时，2120n n -->，所以有1232712n q n n ----≤恒成立，令()123275,12n n c n n n n --=∈--N *≥，则()()()2112222123540169n n n n n n c c n n -+--+-=>--， 即数列{}n c 为递增数列，∴5274q c =≤. ………………………15分 综上所述，2734q ≤≤. ………………………16分 法二：因为1p =，113n n n a a nq -+-=-，又4a 为数列{}n a 的最小项，所以43540,0,a a a a -⎧⎨-⎩≤≥即930,2740,q q -⎧⎨-⎩≤≥所以2734q ≤≤. …………………………………………………………8分 此时2110a a q -=-<，32320a a q -=-<，所以1234a a a a >>≥. …………………………………………………………10分 当4n ≥时，令1n n n b a a +=-，141127232304n n n b b q --+-=⋅-⋅->≥， 所以1n n b b +>，所以4560b b b <<<≤，即4567a a a a <<<≤. …………………………………………………………14分综上所述，当2734q ≤≤时，4a 为数列{}n a 的最小项， 即所求q 的取值范围为27[3,]4. …………………………………………………………16分考点：累加法求数列通项，数列单调性 20.（本小题满分16分）已知函数()e (21)xf x x ax a =--+（a ∈R ），e 为自然对数的底数．（1） 当a ＝1时，求函数()f x 的单调区间；（2） ①若存有实数x ，满足()0f x <，求实数a 的取值范围；②若有且只有唯一整数0x ，满足0()0f x <，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增.（2）①()32e ,14,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U②32e e e 35[,1)3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】试题分析：（1）当a ＝1时，()()e 211xf x x x =--+，先明确定义区间R ，再求导()()e '211x f x x =+-，求出导函数零点0，列表分析得单调区间：()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增.（2）①不等式存有性问题，一般利用变量分离，转化为对应函数最值求解：由()0f x <得()()e 211xx a x -<-，分离变量时需分类讨论：当1x =时，不等式显然不成立；当1x >时，()e 211x x a x ->-；当1x <时，()e 211x x a x -<-.以下问题转化为求()g x =()e 211x x x --最值，利用导数求得()g x 在区间()0-∞，和3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，()0,1和31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数．从而可得当1x >时，32e 342a g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，当1x <时，()01a g <=．即当1x >时，32e 342a g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，当1x <时，()01a g <=．②由①知需分类讨论：1a <时，0(,1)x ∈-∞，当324e a >时，0(1,)x ∈+∞，再由0()0f x <，得()()00()(,1)011g x a x g a g a >∈-∞⎧⎪=>⎨⎪-⎩，≤或()()0032()e (1,)34223g x ax g a g a g a <⎧⎪∈+∞⎪⎪⎪⎛⎫=<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪<⎪⎪⎩，，≥解得a 的取值范围为32e e e 35[,1)3,22⎛⎤⎥⎝⎦．试题解析：（1）当a ＝1时，()()e 211x f x x x =--+，()()e '211xf x x =+-， (1)分因为'(0)0f =，当(0,)x ∈+∞时，e 1,211x x >+>，∴'()0f x >， 当(,0)x ∈-∞时，0<e 1,211x x <+<，∴'()0f x <，所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增. …………………4分（2）①由()0f x <得()()e 211xx a x -<-．当1x =时，不等式显然不成立； 当1x >时，()e 211x x a x ->-；当1x <时，()e 211x x a x -<-. …………………6分记()g x =()e 211x x x --，()()()()()()222e e e '()232112111x x x g x x xx x x x x =-+---=--，∴ ()g x 在区间()0-∞，和3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，()0,1和31,2⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数． ∴ 当1x >时，32e 342a g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，当1x <时，()01a g <=． ……………………8分综上所述，所有a 的取值范围为()32e ,14,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U ． ………………………9分②由①知1a <时，0(,1)x ∈-∞，由0()0f x <，得0()g x a >，又()g x 在区间()0-∞，上单调递增，在()0,1上单调递减，且()01g a =>， ∴()1g a -≤，即e 32a ≥，∴e312a <≤. ………………………12分 当324e a >时，0(1,)x ∈+∞，由0()0f x <，得0()g x a <，又()g x 在区间312⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且32e 342g a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，∴()()23g a g a <⎧⎪⎨⎪⎩≥，解得32e 532a <e ≤. ………………………15分综上所述，所有a 的取值范围为32e e e 35[,1)3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦． ………………………16分考点：利用导数求单调区间，利用导数求函数最值附加题21.A 选修4 - 1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，四边形 ABDC 内接于圆，BD =CD ，过C 点的圆的切线与AB 的延长线交于E 点． （1）求证：2EAC DCE ∠=∠；（2）若BD ⊥AB ，BC =BE ，AE =2，求AB 的长．【答案】（1）详见解析（21- 【解析】试题分析：（1）等弦对等角，所以由BD=CD ，得∠C A D=∠B AD ．即∠C AE=2∠CAD ．因为CE 是圆的切线，所以由弦切角定理得∠C A D=∠DC E ．从而2EAC DCE ∠=∠；（2）因为BC=BE ，所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，所以AC=EC ．由切割线定理得EC2=AE ⋅BE ，即AB2=AE ⋅( AE －AB)，即AB2+2 AB-4=0，解得1-.试题解析：（1）证明：因为BD=CD ，所以∠BCD=∠CBD．因为CE 是圆的切线，所以∠ECD=∠CBD． …………………………………2分 所以∠ECD=∠BCD，所以∠BCE=2∠ECD．因为∠EAC=∠BCE，所以∠EAC=2∠ECD． …………………………………5分 （2）解：因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC=AB ． …………………………………6分 因为BC=BE ，所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，所以AC=EC ． ………………………7分 由切割线定理得EC2=AE ⋅BE ，即AB2=AE ⋅( AE －AB)，即AB2+2 AB-4=0，解得1-. …………………………………10分 考点：弦切角定理，切割线定理21.B 选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知二阶矩阵M 有特征值λ=3及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵M 对应的变换将点(-1,2)变换成(9,15) ，求矩阵M .【答案】1436-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦考点：矩阵特征值及特征向量21.C 选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩()t 为参数，在以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，求曲线1C 与2C 的交点在直角坐标系中的直角坐标.【答案】 【解析】试题分析：由代入消元得曲线C 1的普通方程yx ，注意消参数后x,y 的取值范围x ≥0；由222x y ρ=+得曲线C 2的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4.解射线方程与圆方程联立的方程组得交点坐标试题解析：解：由x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩t 得曲线C 1的普通方程yx(x ≥0)； …………………3分由ρ＝2，得ρ2＝4，得曲线C 2的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4. …………………………6分联立224,,(0)x y y x x ⎧+=⎪⎨=≥⎪⎩解得1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故曲线C 1与C 2的交点坐标为. …………………………10分 考点：参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程 21.D 选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）设函数f (x )＝1||x a+＋|x －a |(a ＞0)． （1）证明：f (x )≥2；（2）若f (3)＜5，求实数a 的取值范围．【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（1）由绝对值不等式性质得1||x a +＋|x －a|≥1|()|x x a a +--＝1a＋a ，又由基本不等式得1a＋a ≥2，所以f(x)≥2；（2）解含绝对值不等式，一般利用绝对值定义分类求解：当a>3时，f(3)＝1a ＋a ，由f(3)<5得当0<a ≤3时，f(3)＝6－a ＋1a ，由f(3)<5<a ≤3.最后求并集.试题解析：（1）证明：由a>0，有f(x)＝1||x a +＋|x －a|≥1|()|x x a a +--＝1a＋a ≥2，所以f(x)≥2. …………………………4分 （2）解：f(3)＝1|3|a+＋|3－a|. 当a>3时，f(3)＝1a ＋a ，由f(3)<5得…………………………6分 当0<a ≤3时，f(3)＝6－a ＋1a ，由f(3)<5<a ≤3. (8)分综上，a 的取值范围是. …………………………10分考点：绝对值不等式性质, 绝对值定义 22.（本小题满分10分）一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的,,A B C 三种商品有购买意向.已知该网民购买A 种商品的概率为34，购买B 种商品的概率为23，购买C 种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立. （1）求该网民至少购买2种商品的概率；（2）用随机变量h 表示该网民购买商品的种数，求h 的概率分布和数学期望. 【答案】（1）1724（2）2312E =h【解析】试题分析：（1）至少购买2种商品包括恰好购买2种商品及恰好购买3种商品，其中恰好购买3种商品包含一种情形，而恰好购买2种商品包含3中情形，所求概率为这四种情形概率的和：321321321321+(1)(1)(1)432432432432⨯⨯⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯（2）先确定随机变量h 可能取值为0,1,2,3,再分别求对应概率，（1）中已求出(2)P =h ，(3)P =h ，只需再求(0)P =h ，(1)P =h ，注意概率和为1，最后利用数学期望公式求数学期望试题解析：解：（1）记“该网民购买i 种商品”为事件,2,3i A i =，则：33211()4324P A =⨯⨯=, 232132132111()(1)(1)(1)43243243224P A =⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=, ………………………3分 所以该网民至少购买2种商品的概率为 3211117()()42424P A P A +=+=. 答：该网民至少购买2种商品的概率为1724. …………………………5分 （2）随机变量h 的可能取值为0,1,2,3,3211(0)(1)(1)(1)43224P ==-⨯-⨯-=h ,又211(2)()24P P A ===h , 31(3)()4P P A ===h , 所以11111(1)1242444P ==---=h . 所以随机变量h 的概率分布为：…………………………8分 故数学期望1111123012324424412E =⨯+⨯+⨯+⨯=h . …………………………10分考点：数学期望，概率分布23.（本小题满分10分）如图，由若干个小正方形组成的k 层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k 层有k 个小正方形.除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上.现对第k 层的每个小正方形用数字实行标注，从左到右依次记为12,,,k x x x ，其中{0,1}i x ∈（1i k ≤≤），其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为0x .（1）当k =4时，若要求0x 为2的倍数，则有多少种不同的标注方法？（2）当k =11时，若要求0x 为3的倍数，则有多少种不同的标注方法？【答案】（1）8（2）640【解析】试题分析：（1）本题方法为逆推：设第4层标注数字依次为1234,,,x x x x ，则第3层标注数字依次为12,x x +2334,x x x x ++，第2层标注数字依次为1232342,2x x x x x x ++++，所以第1层标注数字0x =123433x x x x +++为2的倍数，即1234x x x x +++是2的倍数，共有1+24C +1=8种标注方法.（2）同样设第11层标注数字依次为1211,,,x x x ，则第10层标注数字依次为12,x x +231011,,x x x x ++，第9层标注数字依次为123234910112,2,,2x x x x x x x x x ++++++，以此类推，可得0x =1291102103101011x C x C x C x x +++++是3的倍数，即只要121011x x x x +++是3的倍数. 共有（1+34C ）72⨯=640种标注方法.试题解析：解：（1）当k=4时，第4层标注数字依次为1234,,,x x x x ，第3层标注数字依次为12,x x +第k 层第3层第2层第1层（第23题图）2334,x x x x ++，第2层标注数字依次为1232342,2x x x x x x ++++， 所以0x =123433x x x x +++. …………………………2分 因为0x 为2的倍数，所以1234x x x x +++是2的倍数，则1234,,,x x x x 四个都取0或两个取0两个取1或四个都取1，所以共有1+24C +1=8种标注方法. …………………………4分（2）当k=11时，第11层标注数字依次为1211,,,x x x ，第10层标注数字依次为12,x x +231011,,x x x x ++，第9层标注数字依次为123234910112,2,,2x x x x x x x x x ++++++，以此类推，可得0x =1291102103101011x C x C x C x x +++++. (6)分因为28374651010101010101045,120,210,252C C C C C C C =======均为3的倍数，所以只要191102101011x C x C x x +++是3的倍数，即只要121011x x x x +++是3的倍数. ………………8分 所以121011,,,x x x x 四个都取0或三个取1一个取0，而其余七个349,,,x x x 能够取0或1，这样共有（1+34C ）72⨯=640种标注方法. …………………………10分考点：归纳，组合数性质。

苏州市2018-2019学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高三数学2019.1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．．▲ ．1.已知集合{1,2,3}A=，{3,4}B=，则集合A B=I▲ ．2.复数12iiz+=(i )为虚数单位的虚部是▲ ．3.某班级50名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则成绩在60:80分的学生人数是▲ ．4.连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和为8的概率为▲ ．5.已知3sin()cosαπα-=，则tan()πα-的值是▲ ．6.如图所示的流程图中，若输入的,a b分别为4，3，则输出n的值为▲ ．7.在平面直角坐标系xOy中，中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(3,1)-，则该双曲线的离心率为▲ ．注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本调研卷共4页，包含填空题（第1题-第14题）、解答题（第15题-第20题）．本调研卷满分160分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2. 答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4. 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．8.曲线2e xy x =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 ▲ ．9.如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为 ▲ ．10.在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,3)A ，(4,6)B ，且圆心在直线210x y --=上的圆的标准方程为 ▲ ．11.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若51013S S =，则52010+S S S = ▲ ． 12.设函数22,0()2,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩若方程()3f x kx -=有三个相异的实根，则实数k 的取值范围是 ▲ ．13.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，,M N 分别是边,BC CD 上的两个动点，且BM DN MN +=，则AM AN u u u u r u u u rg 的最小值是 ▲ ．14．设函数22()||,f x ax x=-若对任意1(,0)x ∈-∞，总存在2[2,)x ∈+∞，使得21()()f x f x ≤，则实数a 的取值范围 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB BC ⊥，,E F 分别是11A C ，BC 的中点 （1） 求证:平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2） 求证：1//C F 平面ABE .▲ ▲ ▲16．（本题满分14分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，已知2cos 23b A c a =-. (1) 求B(2) 设函数3()cos sin()3f x x x π=+g，求()f A 的最大值 ▲ ▲ ▲如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6 （1） 求椭圆E 的标准方程； （2） 过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标.▲ ▲ ▲18．（本题满分16分）如图，长途车站P 与地铁站O 的距离为5千米，从地铁站O 出发有两条道路12,l l ，经测量，12,l l 的夹角为45o，OP 与1l 的夹角θ满足1tan 2θ=（其中02πθ<<）,现要经过P修一条直路分别与道路12,l l 交汇于,A B 两点，并在,A B 处设立公共自行车停放点. (1) 已知修建道路,PA PB 的单位造价分别为2/m 元千米和/m 元千米，若两段道路的总造价相等，求此时点,A B 之间的距离；(2) 考虑环境因素，需要对,OA OB 段道路进行翻修，,OA OB 段的翻修单价分别为/n 元千米和22/n 元千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定,A B 点的位置.▲ ▲ ▲已知函数32()4(,R)f x ax bx a a b =+-∈ （1） 当1a b ==时，求()f x 的单调增区间；（2） 当0a ≠，若函数()f x 恰有两个不同零点，求ba的值; （3） 当0a =时，若()ln f x x <的解集为(,)m n ，且(,)m n 中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围.▲ ▲ ▲20．（本题满分16分）定义：对任意*N n ∈，21n n n x x x +++-仍为数列{}n a 中的项，则称数列{}n x 为“回归数列”.(1) 已知*2(N n n a n =∈），判断{}n a 是否为“回归数列”，并说明理由；(2) 若数列{}n b 为“回归数列”，393,9b b ==，且对于任意*N n ∈，均有1n n b b +<成立① 求数列{}n b 的通项公式② 求所有的正整数,s t ，使得等式2123131s s t ss b b b ++-=+-成立 ▲ ▲ ▲苏州市2018-2019学年第一学期学业质量阳光指标调研卷数学Ⅱ（附加题）2019.121.【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．，若多做题，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 A.选修4-2,矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵723m M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵172n M m --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求实数,m nB.选修4-4,坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的方程是=4cos ρθ，在以极点为原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系中，直线l的参数方程为22x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数），若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值.C.选修4-5,不等式选讲（本小题满分10分） 设,,a b c 都是正数，求证：2221()2a b c a b c b c c a a b ++≥+++++【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)已知正四棱锥S ABCD -的底面边长和高均为2，从其五个顶点中任取三个，记这三个顶点围城的三角形面积为ζ. (1) 求概率(2)P ζ=； (2) 求ζ的分布列和数学期望.23. (本小题满分10分)如图，四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 是边长为1的正方形，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，PA 与平面PBC 所成角的正弦值为217（1） 求侧棱PA 的长;（2） 设E 为AB 中点，若PA AB ≥，求二面角B PC E --的余弦值.。

2019.12019届高三模拟考试试卷（满分160分，考试时间120分钟）一、 填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分.1. 已知集合 A = {1 , 3, 5}, B = {3 , 4}，则集合 A A B = ____________ W .1+ 2i2. 复数z = —（i 为虚数单位）的虚部是 _________ W .3. 某班级50名学生某次数学考试成绩 （单位：分）的频率分布直方图如图所示， 则成绩在60〜80分的学生人数是 4. 5. 6. W .连续抛掷一颗骰子 2次，已知 3sin （ a — n ）= COS a ，贝y tan （n — a 的值是如图所示的流程图中，若输入的 a , b 分别为4, 3，则输出n 的值为7•在平面直角坐标系 xOy 中，中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 （—3, 1），则该双曲线的离心率为W .8.曲线y = x + 2e x 在x = 0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 _____________ W .9•如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为W.10. 在平面直角坐标系xOy中，过点A(1, 3), B(4, 6)，且圆心在直线x—2y—1 = 0上的圆的标准方程为 ____________ W.11. 设S n是等比数列｛a n｝的前n项和，若S5 =3，则S0S5S0=_____________W•9—x + 2x, x> 0,12. 设函数f(x)=弋若方程f(x) —kx= 3有三个相异的实根，则实数k的—2x, x<0,取值范围是W.BM + DN = MN，则AM • AN的最小值是______ W.214. 设函数f(x) = -― ax2，若对任意冯€ ( —a, 0)，总存在［2 ,+^ )，使得f^)xw f(X1),则实数a的取值范围是_________ W .二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1BQ1中，已知AB丄BC, E, F分别是A1C1, BC的中点.求证:(1) 平面ABE丄平面B1BCC1；(2) C1F //平面ABE.13.如图，在边长为2的正方形BC, CD上的两个动点，且16. (本小题满分14分)在厶ABC中，角A, B, C所对的边为a, b, c,已知2bccos A= 2c—3a.⑴求角B的大小；(2)设函数f(x) = cos x • sin(x+~3 —"J3)，求f(A)的最大值.17. (本小题满分14分)1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上，离心率为-的椭圆E的左顶点为A,点A到右准线的距离为 6.(1) 求椭圆E的标准方程；3(2) 过点A且斜率为纟的直线与椭圆E交于点B，过点B与右焦点F的直线交椭圆E于点M，求点M的坐标.如图，长途车站P与地铁站0的距离为•亏千米，从地铁站0出发有两条道路丨1, 12,1 n经测量，11, 12的夹角为45°, 0P与11的夹角B满足tan 0 =寸(其中0＜肚三)，现要经过P修一条直路分别与道路11, 12交汇于A, B两点，并在A, B处设立公共自行车停放点•(1)已知修建道路PA, PB的单位造价分别为2m元/千米和m元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点A, B之间的距离；(2)考虑环境因素，需要对0A, 0B段道路进行翻修，OA, 0B段的翻修单价分别为元/千米和2 ,2n元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定A, B点的位置•已知函数f(x) = ax3+ bx2—4a(a, b€ R).⑴当a= b = 1时，求f(x)的单调增区间；b(2) 当0时，若函数f(x)恰有两个不同的零点，求；的值；a(3) 当a= 0时，若f(x)<ln x的解集为(m, n),且(m, n)中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围•定义：对于任意n € N * ,X n+ X n+2 - X n +1仍为数列｛x n｝中的项，则称数列｛X n｝为“回归数列” (1)已知a n= 2n(n€ N*)，判断数列｛a n｝是否为“回归数列”，并说明理由；⑵若数列｛b n｝为“回归数列”，b3= 3, b g= 9,且对于任意n€ N，均有b n<b n+1成立•①求数列｛b n｝的通项公式；b S+ 3s+1- 1②求所有的正整数s, t，使得等式b：2+ 3s_ [ = b t成立•2019届高三模拟考试试卷（四）数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）21. 【选做题】在A , B, C三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分•若多做, 则按作答的前两题计分•解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. （选修42 :矩阵与变换）7 m 7 1" n —7]已知矩阵M = 的逆矩阵M —1= ，求实数m, n的值..23」」一2 mB. （选修44:坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆C的方程是尸4cos B .在以极点为原点，极轴为x轴正半轴的平面直「返x=-^t + m,角坐标系中，直线I的参数方程是< 厂（t为参数）.若直线I与圆C相切，求实数l y曹的值.C. （选修45:不等式选讲）设a, b, c都是正数，求证:bT-+ 匸+ *》詁 + b + c).b +c c+ a a+ b 2' '【必做题】第22, 23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤•22. 已知正四棱锥SABCD的底面边长和高均为2，从其五个顶点中任取三个，记这三个顶点围成的三角形的面积为E⑴求概率P(E= 2);(2)求E的分布列和数学期望.23. 如图，在四棱锥PABCD中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧面PAD丄平21面ABCD , PA = AD , PA与平面PBC所成角的正弦值为⑴求侧棱PA的长;设点E为AB中点，若PA> AB，求二面角BPCE的余弦值.2019届高三模拟考试试卷（苏州）数学参考答案及评分标准12. (— 2, 2— 2 3) 13. 8 2— 814. [0 , 1]15. 证明：（1）在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1丄底面ABC. 因为AB?平面ABC ，所以BB 1丄AB.（2分）因为 AB 丄 BC , BB 1n BC = B , BB 1, BC?平面 B 1BCC 1, 所以AB 丄平面B 1BCC 1.（4分） 又AB?平面ABE ，所以平面⑵取AB 中点G ,连结EG , FG. 因为E , F 分别是A 1C 1, BC 的中点,1所以 FG // AC ,且 FG = 2AC.(8 分) 因为 AC / A 1C 1，且 AC = A 1C 1, 所以 FG // EC 1,且 FG = EC 1,所以四边形FGE6为平行四边形，(11分) 所以 C 1F // EG.因为EG?平面ABE , C 1F?平面ABE , 所以C 1F //平面ABE.(14分) 16. 解：(1)在厶 ABC 中，因为 2bcos A = 2c — 3a ,所以 2sin Bcos A = 2sinC — 3sin A.(2 分) 在厶 ABC 中，sin C = sin(A + B), 所以 2sin Bcos A = 2sin(A + B) — . 3sin A ,即 2sin Bcos A = 2sin Acos B + 2cos AsinB —冷3sin A , 所以 3sin A = 2cos Bsin A , (4 分)n又 B € (0, n )，所以 B = —.(6 分)1. {3}2. — 13. 254. 365. 36. 37. 108. |9. 2 3 10. (x — 5)2+ (y — 2)2=17由正弦定理asin A b _ c sin B sin C ‘在厶ABC 中, sin A M 0,所以 cos B =1 n所以 f(A) = 2sin(2A+~—).n5 n在厶 ABC 中，B = 6，且 A + B + C = n ，所以 A € (0, ~^), (12 分)n nn n n1所以2A + 3€ (3, 2 n )所以当2A +~3 =—，即A = 时，f(A)的最大值为？.(14分) 2 217. 解:(1)设椭圆方程为 字+ by 2= 1(a>b>0)，半焦距为c , 因为椭圆的离心率为 £所以c =1，即a = 2c.2 a 22因为A 到右准线的距离为6,所以a + 2 = 3a = 6, （2分） 解得 a = 2, c = 1, （4 分）2 2所以b 2= a 2— c 2= 3，所以椭圆E 的标准方程为 乡+卷=1.（6分） 3⑵ 直线AB 的方程为y = 2（x + 2）, 3(y = 2( x + 2), 由 22得 x 2 + 3x + 2 = 0,解得 x =— 2或 x =— 1,则点B 的坐标为（一1, 3）.（9 分）3由题意，得右焦点 F （1 , 0），所以直线BF 的方程为y = — 3（x — 1）.（11分） 13得 7x 2— 6x — 13= 0,解得 x =— 1 或 x = — , (13 分)所以点M 坐标为（号，-詈）.（14分）18. 解：（1）以O 为原点，直线 OA 为x 轴建立平面直角坐标系,n1 1因为 0<, tan 0 = ?，所以 OP : y =器.设 P （2t , t ），由 OP = .5,得 t = 1，所以 P （2 , 1）.（2 分）（解法1）由题意得2m PA = m PB ，所以BP = 2PA ，所以点B 的纵坐标为3. 因为点B 在直线y = x 上，所以B （3, 3）, （4分）(2) f(x) = cos x • (sin x • cos n n—+ cos x • sin —)—33(8分)1 =2sin xcos x +討—2x + 1)—1 n 八 2Sin(2x + 亍)，(10 分)I y = — 3 (x—1),由2 2J — + = 1 4十 3 ',所以 AB = 3PB = 325.T T2 — b = 2 (a — 2),由BP = 2FA , 得 所以丫"-b =-2，l b = 3,所以 A(3, 0), B(3, 3), AB = , (3 — 2) 2+ 32=劣. 答：点A , B 之间的距离为 乎千米.(6分)⑵(解法 1)设总造价为 S,贝U S = n OA + 2 ,2n • 0B = (0A + 2 20B) n , 设y = 0A + 2 20B ，要使S 最小，只要y 最小.当 AB 丄x 轴时，A(2, 0),这时 0A = 2, 0B = 2 2, 所以 y = 0A + 2 20B = 2+ 8= 10.(8 分)当AB 与x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为y = k(x — 2) + 1(k 工0). 令y = 0，得点A 的横坐标为2 —1，所以0A = 2 —丄；k k 2k — 1令x = y ,得点B 的横坐标为2——"CO 分） 1 2k — 12-k>0,且 k — 1 >0，所以 k<0 或 k>1 , 一 厂一 1 4 (2k — 1) y = 0A +2 20B = 2—： +k k — 11— 4 —( k + 1)( 3k — 1)y'= k ^+(k —1)2 =k 2 (k — 1)2.(12 分)当k<0时，y 在( — a, — 1)上递减，在(—1, 0)上递增，3 3所以 y min = y|k =-1= 9<10，此时 A(3, 0), B(2 2)； (14 分)当 k>1 时，y = 2—十 + 8 (k — ： + 4 = 10+ k^ —十=10+ . 3k +1) >10.k k — 1 k — 1 k k ( k — 1)千米处.（16分）(解法2)如图，作为 P(2, 1)，所以 0Q = 1.(解法2)由题意得2m PA = m PB ，所以BP = 2PA.设 A(a , 0)(a>0)，又点 B 在射线 y = x(x>0)上，所以可设 B(b , b)(b>0),3a =Q ,(4 分)因为 此时 综上，要使0A , OB 段道路的翻修总价最少,A 位于距0点3千米处，B 位于距0点^2-Q ,作PN // 0B 交0A 于点N ,因因为/ BOQ = 45°，所以QM = 1 , 0M = _2, 所以PM = 1, PN = 0M = ,2.由 PM // OA , PN // oB ,得 O B =AA , O A = AB ，（8分）设总造价为 S ,贝U S = n OA + 2 2n • OB = （OA + 2 2OB ） n , 设y = OA + 2 2OB ，要使S 最小，只要y 最小.y = OA + 2迄OB = （OA + 2V20B ）（O|+ OA ） = 5 + <2（^+ 2OB ）> 9, （14 分） 当且仅当OA ={2OB 时取等号，此时 OA = 3, OB = 弩. 答：要使OA , OB 段道路的翻修总价最少， A 位于距O 点3千米处，B 位于距。

苏州市2019届高三第一学期期末调研数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、已知集合{}1>=x x A ，{}3<=x x B ，则集合=B A ． 2、已知复数iiz 21-=，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为 ． 3、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线16322=-y x 的离心率为 ． 4、用分层抽样的方法从某高中校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20 人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为 ． 5、一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为20.，目标未受损的概率为40.，则目标受损 但未完全击毁的概率为 ．6、阅读下面的流程图，如果输出的函数)(x f 的值在区间],[2141内，那么输入的实数x 的 取值范围是 ．7、已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≤431y x x x y ，则目标函数y x z -=28、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若7772-==S a ,，则7a 9、在平面直角坐标系xOy 中，已知过点),(11M 的直线l 与圆52122=-++)()(y x 相切，且与直线01=-+y ax 垂直，则实数10、一个长方体的三条棱长分别为983,,，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面 积没有变化，则圆孔的半径为 ． 11、已知正数y x ,满足1=+y x ，则1124+++y x 的最小值为 ． 12、若832παtantan =，则=-)tan(8πα ．13、已知函数⎩⎨⎧>-≤-=05042x e x x x f x ,,)(，若关于x 的方程05=--ax x f )(恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a 的取值集合为 个．14、已知C B A ,,是半径为1的圆O 上的三点，AB 为圆O 的直径，P 为圆O 内一点（含圆周），则⋅+⋅+⋅的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明 或演算步骤）15、已知函数212232--=x x x f cos sin )(． （1）求函数)(x f 的最小值，并写出取得最小值时的自变量x 的集合 （2）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且3=c ，0=)(C f ，若A B sin sin 2=，求b a ,的值．16、如图，已知直四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，F 是1BB 的中点，M 是线 段1AC 的的中点．（1）求证：直线//MF 平面ABCD ；（2）求证：平面⊥1AFC 平面11A ACC ．17、已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且过点),(12-P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于),(11y x A),(22y x B 两点，若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．18、某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥（图1）将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸（图2）如下：其中，点E A ,为x 轴上关于原点对称的两点，曲线BCD 是桥的主体，C 为桥顶，且曲线 段BCD 在图纸上的图形对应函数的解析式为],[,22482-∈+=x xy ，曲线段DE AB ,均 为开口向上的抛物线段，且E A ,分别为两抛物线的顶点．设计时要求：保持两曲线在各衔 接处),(D B 的切线的斜率相等．（1）求曲线段AB 在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；（2）车辆从A 经B 到C 爬坡．定义车辆上桥过程中某点P 所需要的爬坡能力为：=P M （该点P 与桥顶间的水平距离）⨯（设计图纸上该点P 处的切线的斜率），其中P M 的单 位：米．若该景区可提供三种类型的观光车：①游客踏乘；②蓄电池动力；③内燃机动力， 它们的爬坡能力分别为80.米，51.米，02.米，又已知图纸上一个单位长度表示实际长度1米，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？19、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22-=n n a S （*∈N n ）．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足1211212121133221+-+--++-+=+n n n n b b b b a )( ，求数列{}n b 的 通项公式；（3）在（2）的条件下，设n n n b c λ+=2，问是否存在实数λ，使得数列{}n c （*∈N n ）是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明你的理由．20、已知函数x k x x f )(ln )(1--=（R ∈k ）． （1）当1>x 时，求函数)(x f 的单调区间和极值；（2）若对于任意],[2e e x ∈，都有x xf ln )(4<成立，求实数k 的取值范围； （3）若21x x ≠，且)()(21x f x f =，证明：ke x x 221<．附加题21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A . 选修4-1:几何证明选讲如图,E 是圆O 内两条弦AB 和CD 的交点,过AD 延长线上一点F 作圆O 的切线FG ,G 为切点,已知EF=FG ,求证:EF ∥CB.(第21-A 题)B . 选修4-2:矩阵与变换 已知矩阵A=2113⎡⎤⎢⎥⎣⎦,B=1101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,求矩阵C ,使得AC=B.C . 选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为1222x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ-4cos θ=0,已知直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,求线段AB 的长.D . 选修4-5:不等式选讲已知a ,b ,x ,y 都是正数,且a+b=1,求证:(ax+by )(bx+ay )≥xy.【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22.口袋里装有大小相同的卡片八张,其中三张标有数字1,三张标有数字2,两张标有数字3.第一次从口袋里任意抽取一张,放回口袋后第二次再任意抽取一张,记第一次与第二次取到卡片上的数字之和为ξ.(1) ξ为何值时,其发生的概率最大?请说明理由;(2) 求随机变量ξ的数学期望E(ξ).23.在平面直角坐标系xOy中,已知两点M(1,-3),N(5,1),若点C的坐标满足=t+(1-t)(t∈R),且点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A,B两点.(1) 求证:OA⊥OB;(2) 在x轴上是否存在一点P(m,0),使得过点P任作一条抛物线的弦,并以该弦为直径的圆都过原点?若存在,求出m的值及圆心的轨迹方程;若不存在,请说明理由.苏州市2019届高三第一学期期末考试答案1.(1,3)2.-12思路分析先化z=a+b i(a ,b ∈R)的形式或设z=a+b i(a ,b ∈R),再去分母.解法1z=(1-i )i 2i ·i=1+i-2=-12-12i,所以z 的虚部是-12.解法2设z=a+b i(a ,b ∈R),则2i(a+b i)=1-i,即-2b+2a i =1-i,所以-2b=1,得b=-12易错警示复数z=a+b i(a ,b ∈R)的虚部是b ,不是b i .3.3思路分析先求出a 2∶b 2∶c 2.由已知,得a 2∶b 2∶c 2=3∶6∶9,得e 2=22=3,所以e=3.4.900思路分析根据分层抽样的特点,建立比例式.设该校学生总数为n ,则300 =45-20-1045,得n=900.5.0.4设“目标受损但未完全击毁”为事件A ,则其对立事件 是“目标未受损或击毁目标”.P (A )=1-P ( )=1-(0.4+0.2)=0.4.解后反思在数学中,“但”与“且”的意义本质上是相同的.6.[-2,-1]流程图表示输出分段函数f (x )=2 ,∈[-2,2],2,∉[-2,2]的值.令f (x )得≤ ≤2,≤2≤12,解得-2≤x ≤-1.7.5思路分析先画出可行域,并解出.可行域是以A (3,1),B (3,2),C (2.5,1.5)为顶点的△ABC 及它的内部.z=2x-y=(2,-1)·(x ,y )≤(2,-1)·(3,1)=5.解后反思利用向量数量积的几何意义——一个向量的模与另一个向量在该向量上的投影的乘积,比平移直线更直观.8.-13思路分析可先求出基本量a 1,d ,再求a 7;也可利用S 7=7a 4先求出a 4.在等差数列{a n }中,S 7=7a 4=-7,所以a 4=-1.又a 2=7,所以公差d=-4,从而a 7=a 4+3d=-1-12=-13.9.12思路分析可用过圆上一点的切线方程求解;也可用垂直条件,设切线方程(x-1)-a (y-1)=0,再令圆心到切线的距离等于半径.因为点M 在圆上,所以切线方程为(1+1)(x+1)+(1-2)(y-2)=5,即2x-y-1=0.由两直线的法向量(2,-1)与(a ,1)垂直,得2a-1=0,即a=12.思想根源以圆(x-a )2+(y-b )2=r 2上一点T (x 0,y 0)为切点的切线方程为(x 0-a )(x-a )+(y 0-b )(y-b )=r 2.10.3思路分析先不考虑在哪个面上钻孔,考察圆柱半径与高的关系,再检验.设圆柱的底面半径为r ,高为h ,该长方体上面钻孔后其表面积少了两个圆柱底面,多了一个圆柱侧面.由题意,得πr 2+πr 2=2πrh ,得r=h.经检验,只有r=3符合要求,此时在8×9的面上打孔.易错警示实际应用问题须检验.11.94解法1令x+2=a ,y +1=b ,则a+b=4(a>2,b>1),4 +1 =14(a+b 4≥14(5+4)=94,当且仅当a=83,b=43,即x=23,y=13时取等号.解法2(幂平均不等式)设a=x+2,b=y+1,则4 +2+1+1=4 +1 =22+12 ≥(1+2)2 +=94.解法3(常数代换)设a=x+2,b=y+1,则4+2+1+1=4 +1 = ++ + 4 =54+ + 4 ≥94,当且仅当a=2b 时取等号.思想根源(权方和不等式)若a ,b ,x ,y ∈(0,+∞),则 2 + 2 ≥( + )2+,当且仅当 =时取等号.12.思路分析可先记t=tan π8,最后再代入化简.解法1记t=tan π8=1-cos π4sin π4=2-1,则tan α=32t.所以tan=32 - 1+32 2= 2+3 2解法2tan =32tan π8-tan π81+32tan 2π8=tan π82+3tan 2π8=sin π8cos π82cos 2π8+3sin 2π8sin π4解后反思有时,“硬做”也是必须的.13.-e ,-5ln5,2思路分析化为定曲线与两条动直线共有三个公共点.关键是两条动直线关于x 轴对称,其交点在x 轴上.方程|f (x )|-ax-5=0⇔f (x )=ax+5或f (x )=-ax-5.所以曲线C :y=f (x )与两条直线l :y=ax+5和m :y=-ax-5共有三个公共点.由曲线的形状可判断直线l 与曲线C 总有两个交点,所以可有情况是:直线m 与曲线C 相切,直线m 与曲线C 相交两点但其中一点是l ,m 的交点-5,0.由m 与C 相切,得当a>0时,y=-ax-5与f (x )图像在x ≤0的一侧相切.设切点为(x 0,y 0),则f'(x 0)=2x 0=-a ,x 0=-2.又切线方程为y-y 0=-a (x-x 0),得y=-ax+ax 0+y 0=-ax+a ·-+ 24-4=-ax- 24-4=-ax-5,得a=2.同理当a<0时,可得a=-e .由题易知a ≠0,从而m 与C 相切时,a=2或a=-e;由点-5,0在C 上,得当a>0时,交点位于f (x )图像在x ≤0的一侧,此时有f =25 2-4=0,a=52;当a<0时,交点位于f (x )图像在x>0的一侧,此时有f e -5-5=0,a=-5ln5,故由交点在C 上得a=52或a=-5ln5.经判断,a 的这四个值均满足要求.解后反思先确定a 的可能值,再检验,较易操作.也可考虑定曲线y=|f (x )|与动直线y=ax+b 的公共点的问题.14.-43,4思路分析固定顶点A ,B 后,就是一个双动点问题,与单个动点问题类似.解法1在平面直角坐标系xOy 中,设A (-1,0),B (1,0),C (cos α,sin α),P (r cos β,r sin β),其中α∈(0,π),r ∈[0,1],β∈R .· + · + · =3r 2-1-2r cos(β-α)∈[3r 2-2r-1,3r 2+2r-1]⊆-43,4,当r=13,β=α时,取得最小值-43;当r=1,β=π+α时,取得最大值4.解法2 · + · + · =( + )2-( - )24+ ·( + )=(2 )2-24+2 ·= 2+2 ·-1.以O 为坐标原点,建立直角坐标系,设P (x 0,y 0),C (cos θ,sin θ),则 2+2 · -1=3 02+3 02-2x 0cos θ-2y 0sin θ-1,其中x 0cos θ+y 0sin θ= 02+ 02sin(θ+φ)∈[- 02+ 02, 02+ 02].令t= 02+ 02∈[0,1],则3t 2-2t-1≤ 2+2 · -1≤3t 2+2t-1,得到 2+2 · -1∈-43,4.解法3 · + · + · =( + )2-( - )24+ ·( + )=(2 )2- 24+2 · = 2+2 ·-1.若知道 · =( - )·( + )=PO 2-OB 2, · + · =( + )· =2 · ,可加快计算速度.实际上,PO 2-OB 2=r 2-1,由向量数量积的定义知2 · =2 ·( - )∈[2r 2-2r ,2r 2+2r ].更进一步, · + · + · =3 2-2 · -1=3 -13 2-43.思想根源设G 是△ABC 的重心,P 是平面ABC 上任意一点,则 · + · + ·=3 2- 2+ 2+ 26.15.思路分析(1)首先把函数化简为f (x )=A sin(ωx+φ)+B 的形式,其中A>0,ω>0.(2)利用正弦、余弦定理,列出关于边a ,b 的方程组.规范解答(1)因为f (x )x-12(1+cos2x )-12(2分)=sin 2 1,(4分)所以函数f (x )的最小值是-2,(5分)此时2x-π6=2k π-π2,k ∈Z,得x=k π-π6,k ∈Z,即x 的取值集合为 = π-π6, ∈Z .(7分)(2)由f (C )=0,得sin 2 1.又C ∈(0,π),所以2C-π6=π2,得C=π3.(9分)由sin B=2sin A 及正弦定理,得b=2a.(11分)由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,得a 2+b 2-ab=3.(13分)由=2 , 2+ 2- =3,解得 =1,=2.(14分)16.思路分析(1)要证MF ∥平面ABCD ,只要证MF 与平面ABCD 内的某直线平行.当F 沿 移到B 时,M 恰好移到AC 的中点E.也可以找MF 所在的平面AC 1F 与底面ABCD 的交线.(2)只要先证MF ⊥平面ACC 1A 1,只要证EB ⊥平面ACC 1A 1.规范解答(1)证法1如图1,连结AC ,取AC 的中点E ,连结ME ,EB.因为M ,E 分别是AC 1,AC 的中点,所以ME 12C 1C.(2分)又F 是B 1B 的中点,且B 1B C 1C ,得FB12C 1C ,所以MEFB ,四边形MFBE 是平行四边形,(4分)所以MF ∥EB.因为MF ⊄平面ABCD ,EB ⊂平面ABCD ,所以MF ∥平面ABCD.(7分)图1证法2如图2,延长C 1F ,CB 相交于点G ,连结AG.因为FB12C 1C ,所以F 是GC 1的中点.(2分)又因为M 是AC 1的中点,所以MF ∥AG.(4分)因为MF ⊄平面ABCD ,AG ⊂平面ABCD ,所以MF ∥平面ABCD.(7分)图2(2)如图1,因为底面ABCD 是菱形,得BA=BC ,又E 是AC 的中点,所以EB ⊥AC.因为A 1A ⊥平面ABCD ,EB ⊂平面ABCD ,所以A 1A ⊥EB.(9分)由(1)知,MF ∥EB ,所以MF ⊥AC ,MF ⊥A 1A.(11分)又因为A 1A ∩AC=A ,A 1A ,AC ⊂平面ACC 1A 1,所以MF ⊥平面ACC 1A 1.(13分)因为MF ⊂平面AFC 1,所以平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.(14分)17.思路分析(1)由e 求得a ∶b ∶c.(2)最简单直接的解法是:利用PA ,PB 的斜率互为相反数,直接求出A ,B 的坐标.规范解答(1)由e==得a ∶b ∶c=2∶1∶3,椭圆C 的方程为 24 2+ 22=1.(2分)把P (2,-1)的坐标代入,得b 2=2,所以椭圆C 的方程是 28+ 22=1.(5分)(2)由已知得PA ,PB 的斜率存在,且互为相反数.(6分)设直线PA 的方程为y+1=k (x-2),其中k ≠0.由+1= ( -2),2+4 2=8,消去y ,得x 2+4[kx-(2k+1)]2=8,即(1+4k 2)x 2-8k (2k+1)x+4(2k+1)2-8=0.(8分)因为该方程的两根为2,x A ,所以2x A =4(2 +1)2-81+4 2,即x A =8 2+8 -21+4 2.从而y A =4 2-4 -14 2+1.(10分)把k 换成-k ,得x B =8 2-8 -21+4 2,y B =4 2+4 -14 2+1.(12分)计算,得k AB = --=8-16 =-12,是定值.(14分)解后反思利用直线PA 与椭圆C 已经有一个交点P (2,-1),可使得解答更简单.由+1= ( -2), 2+4 2=8,得+1= ( -2),4( 2-1)=4- 2,当(x ,y )≠(2,-1)时,可得+1= ( -2),4 ( -1)=- -2.解得=8 2+8 -24 2+1,=4 2-4 -14 2+1.以下同解答.下面介绍一个更优雅的解法.由A ,B 在椭圆C :x 2+4y 2=8上,得(x 1+x 2)(x 1-x 2)+4(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0,所以k AB = 1- 2 1- 2=-14· 1+21+2.同理k PA =1+1 1-2=-14· 1+21-1,k PB =2+1 2-2=-14· 2+22-1.由已知,得k PA =-k PB ,所以1+1 1-2=-2+1 2-2,且1+2 1-1=-2+2 2-1,即x 1y 2+x 2y 1=2(y 1+y 2)-(x 1+x 2)+4,且x 1y 2+x 2y 1=(x 1+x 2)-2(y 1+y 2)+4.从而可得x 1+x 2=2(y 1+y 2).所以k AB =-14· 1+ 21+2=-12,是定值.18.思路分析(1)首先B (-2,1).设曲线段AB 对应函数的解析式为f (x ),则f (-2)=1且f'(-2)=12.(2)先算出M P 的最大值.规范解答(1)首先B (-2,1),由y'=-16 (4+ 2)2,得曲线段BCD 在点B 处的切线的斜率为12.(2分)设曲线段AB 对应函数的解析式为y=f (x )=a (x-m )2(x ∈[m ,-2]),其中m<-2,a>0.由题意,得 (-2)= (-2- )2=1,'(-2)=2 (-2- )=12,解得=-6,=116.(4分)所以曲线段AB 对应函数的解析式为y=116(x+6)2(x ∈[-6,-2]).(5分)(2)设P (x ,y ),记g (x )=M P =(0-x )+6), ∈[-6,-2],∈[-2,0].(7分)①当x ∈[-6,-2]时,g (x )的最大值为g (-3)=98;(10分)②当x ∈[-2,0]时,g (x )-g (-2)=-( 2-4)2(4+ 2)2≤0,即g (x )≤g (-2)=1,得g (x )的最大值为g (x )max =98.(13分)综上所述,g (x )max =98.(14分)因为0.8<98<1.5<2,所以,游客踏乘的观光车不能过桥,蓄电池动力、内燃机动力观光车能够顺利过桥.(16分)19.思路分析(1)利用a n =1, =1,- -1,≥2,得到a n+1与a n 的关系.(2)与(1)类似,相当于(-1) n 项和为1.当n ≥2时,(-1)n+1 2 +1=1 -1-1.(3)即c n+1-c n >0对n ∈N *恒成立.考虑分离出λ.规范解答(1)a 1=S 1=2.由a n+1=S n+1-S n =(2a n+1-2)-(2a n -2),得a n+1=2a n .(2分)所以数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列,a n =2n .(4分)(2)由1 1= 12+1,得b 1=32.(5分)当n ≥2时,1-1 -1=(-1)n+12 +1,得b n =(-1)n 2 +12.(8分)所以b n =1,1) 2 +12,≥2.(9分)(3)假设数列{c n }是单调增数列,则c n+1-c n =2n +λ(b n+1-b n )>0对n ∈N *恒成立.①当n=1时,由2+0,得λ<8;(11分)②当n ≥2时,b n+1-b n =(-1)n+12 +1+12 +1-(-1)n 2 +12=(-1)n+12 +2+32 +1.若n=2k ,k ∈N *,则λ<12-( -1)+3·2-(2 +1)恒成立,而12-( -1)+3·2-(2 +1)单调递增,当n=2时取最小值3219,得λ<3219;(13分)若n=2k+1,k ∈N *,则λ>-12-( -1)+3·2-(2 +1)恒成立,而-12-( -1)+3·2-(2 +1)单调递减,当n=3时取最大值-12835,得λ>-12835.(15分)综上所述,存在实数λ,且λ的取值范围是-12835(16分)解后反思特别要注意对n=1时的单独处理.20.思路分析(1)只要注意对k 的讨论.(2)分离出k ,转化为k>K (x )恒成立问题.(3)先说明0<x 1<e k <x 2,从而只要证e k <x 2<e 2 1,只要证f (x 1)=f (x 2)转化为关于x 1的不等式对0<x 1<e k 恒成立问题.规范解答(1)f'(x )=ln x-k ,其中x>1.(1分)①若k ≤0,则x>1时,f'(x )>0恒成立,f (x )在(1,+∞)上单调递增,无极值;(2分)②若k>0,则f (x )在(1,e k ]上单调递减,在[e k ,+∞)上单调递增,(4分)有极小值f (e k )=-e k ,无极大值.(5分)(2)问题可转化为k>1x-1对x ∈[e,e 2]恒成立.(7分)设K (x )=1x-1,则K'(x )=42ln x+11=4 2(ln x-1)+1.当x ∈[e,e 2]时,K'(x )≥1>0,所以K (x )在[e,e 2]上单调递增,K (x )max =K (e 2)=1-8e2.(9分)所以实数k 的取值范围是1-8e 2,+∞.(10分)(3)因为f'(x )=ln x-k ,所以f (x )在(0,e k ]上单调递减,在[e k ,+∞)上单调递增.不妨设0<x 1<e k <x 2.要证x 1x 2<e 2k ,只要证x 2<e 21.因为f (x )在[e k ,+∞)上单调递增,所以只要证f (x 1)=f (x 2)即要证(ln x 1-k-1)x 1<(k-ln x 1-1)e 21.(12分)令t=2(k-ln x 1)>0,只要证(t-2)e t +t+2>0.设H (t )=(t-2)e t +t+2,则只要证H (t )>0对t>0恒成立.H'(t )=(t-1)e t +1,H ″(t )=t e t >0对t>0恒成立.所以H'(t )在(0,+∞)上单调递增,H'(t )>H'(0)=0.(14分)所以H (t )在(0,+∞)上单调递增,H (t )>H (0)=0.综上所述,x 1x 2<e 2k .(16分)21.A.规范解答由切割线定理,得FG 2=FD ·FA.(2分)因为EF=FG ,所以EF 2=FD ·FA ,即 =.(5分)又因为∠EFA=∠DFE ,所以△EFA ∽△DFE.所以∠EAF=∠DEF.(8分)因为∠EAF=∠BAD=∠BCD ,所以∠DEF=∠BCD.所以EF ∥CB.(10分)B.规范解答因为AC=B ,所以C=A -1B.(2分)由|A|=2113=6-1=5,得A -13-112.(6分)所以3-112110-1341-3=35-15-3(10分)C.思路分析化曲线C 的极坐标方程为直角坐标方程,可利用直线l 的标准参数方程的几何意义求线段AB 的长.规范解答因为曲线C 经过极点,所以其极坐标方程也为ρ2sin 2θ-4ρcos θ=0,(2分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的直角坐标方程为y 2-4x=0.(4分)把直线l 的标准参数方程代入,得t 2+82t=0,解得t 1=0,t 2=-82.(8分)所以AB=|t 2-t 1|=82.(10分)易错警示必须先说明“曲线C 经过极点”,才能在方程ρsin 2θ-4cos θ=0两边同乘ρ,否则新方程表示的曲线可能比曲线C 多一个极点.D.思路分析化x 2+y 2为xy ,显然可用基本不等式x 2+y 2≥2xy.规范解答因为a ,b ,x ,y 都是正数,且a+b=1,所以(ax+by )(bx+ay )=ab (x 2+y 2)+(a 2+b 2)xy ≥ab ·2xy+(a 2+b 2)xy=(a+b )2xy=xy.(9分)当且仅当x=y 时,取等号.(10分)22.思路分析本质上就是要求出ξ的分布,否则怎么说明理由?规范解答(1)设第一次与第二次取到卡片上数字分别为X ,Y.则P (X=1)=P (Y=1)=P (X=2)=P (Y=2)=38,P (X=3)=P (Y=3)=28.随机变量ξ的可能取值为2,3,4,5,6.(2分)P (ξ=2)=P (X=1)P (Y=1)=964,P (ξ=3)=P (X=1)P (Y=2)+P (X=2)P (Y=1)=932,P (ξ=4)=P (X=1)P (Y=3)+P (X=3)P (Y=1)+P (X=2)P (Y=2)=2164,P (ξ=5)=P (X=2)P (Y=3)+P (X=3)P (Y=2)=316,P (ξ=6)=P (X=3)P (Y=3)=116.(7分)所以当ξ=4时,其发生的概率最大.(8分)(2)由(1)可知E (ξ)=2×964+3×1864+4×2164+5×1264+6×464=24064=154.(10分)解后反思利用ξ=X+Y 来计算P (ξ=k ),条理清楚,不易出错.思想根源实际上,因为ξ=X+Y ,所以E (ξ)=E (X )+E (Y )=158+158=154.23.思路分析可直接判断点C 的轨迹是直线MN ,也可设C (x ,y ),得关于(x ,y )的参数方程.(1)只要证 · =x 1x 2+y 1y 2=0.可利用根与系数的关系.(2)设弦为EF ,则 ·=0,可设直线EF 的方程为x-m=λy.规范解答(1)由 =t +(1-t ) ,得 - =t ( - ),即 =t .所以点C 的轨迹就是直线MN ,其轨迹方程为x-y-4=0.(2分)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由- -4=0,2=4 ,消去x ,得y 2-4y-16=0,所以y 1y 2=-16.而x 1x 2= 124· 224=16,所以 · =x 1x 2+y 1y 2=0.所以OA ⊥OB.(4分)(2)设经过点P (m ,0)的弦EF 所在的直线方程为x-m=λy.设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则以EF 为直径的圆经过原点等价于x 1x 2+y 1y 2=0.由- = ,2=4 ,得y 2-4λy-4m=0.当Δ=16λ2+16m>0时,y 1+y 2=4λ,y 1y 2=-4m.从而x 1x 2=12 2216=m 2.所以m 2-4m=0,解得m=0或m=4.(6分)①若m=0,则λ≠0,此时圆心D (x ,y )满足 =2 2,=2 (λ≠0).圆心的轨迹方程为y 2=2x (y ≠0).(8分)②若m=4,则λ∈R,此时圆心D (x ,y )满足=2 2+4, =2 .圆心的轨迹方程为y 2=2(x-4).(10分)易错警示不要轻易舍去m=0的情况.。

(2) 取 AB 中点 G，连结 EG，FG. 因为 E，F 分别是 A1C1，BC 的中点， 1 所以 FG∥AC，且 FG＝ AC.(8 分) 2 因为 AC∥A1C1，且 AC＝A1C1， 所以 FG∥EC1，且 FG＝EC1， 所以四边形 FGEC1 为平行四边形，(11 分) 所以 C1F∥EG. 因为 EG⊂平面 ABE，C1F⊄平面 ABE， 所以 C1F∥平面 ABE.(14 分) 16. 解：(1) 在△ABC 中，因为 2bcos A＝2c－ 3a， 由正弦定理 ， sin C 所以 2sin Bcos A＝2sinC－ 3sin A.(2 分) 在△ABC 中，sin C＝sin(A＋B)， 所以 2sin Bcos A＝2sin(A＋B)－ 3sin A， 即 2sin Bcos A＝2sin Acos B＋2cos AsinB－ 3sin A， 所以 3sin A＝2cos Bsin A，(4 分) 3 在△ABC 中，sin A≠0，所以 cos B＝ . 2 π 又 B∈(0，π)，所以 B＝ .(6 分) 6 sin A sin B (2) f(x)＝cos x·(sin x·cos 3 π π ＋cos x·sin )－ (8 分) 4 3 3
{
)
3 3 3 5 所以 A( ，0)，B(3，3)，AB＝ （3－ ）2＋32＝ . 2 2 2 3 5 答：点 A，B 之间的距离为 千米.(6 分) 2 (2) (解法 1)设总造价为 S，则 S＝n·OA＋2 2n·OB＝(OA＋2 2OB)·n， 设 y＝OA＋2 2OB，要使 S 最小，只要 y 最小. 当 AB⊥x 轴时，A(2，0)，这时 OA＝2，OB＝2 2， 所以 y＝OA＋2 2OB＝2＋8＝10.(8 分) 当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y＝k(x－2)＋1(k≠0). 1 1 令 y＝0，得点 A 的横坐标为 2－ ，所以 OA＝2－ ；

2019届江苏省苏州市高三第一次模拟考试数学试卷【含答案及解析】姓名 ____________ 班级 _______________ 分数____________、填空题1. 设全集U={ x|x > 2 , x € N },集合A={ x|x 2 > 5, x € N },则----------- --2.复数•一* :，其中i为虚数单位，1' = ；■，则a的值为3.双曲线一一:的离心率为4 5-4.若一组样本数据9, 8, x, 10, 11的平均数为10，则该组样本数据的方差为5.x=已知向量a= ( 1 , 2 ) , b=(x , -2 ) ，且a丄 (a-b )，则实数6. 阅读算法流程图，运行相应的程序，输出的结果为7. 函数.5的值域为 _________________ •［-r +l.r>08. 连续2次抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字123,4,5,6 ）,则事件次向上的数字之和等于 7”发生的概率为 ______________ •9. 将半径为5的圆分割成面积之比为，：；的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为 片片齐，贝V 片+ q = ____________________ •11. 已知］:是等差数列，a 5 = 15, a 10 =- 10,记数列］;的第n 项到第n+ 5项的和为T n ，贝V \］~］取得最小值时的n 的值为 ______________ •12. 若直线1 ■—以和直线I 1' - / ■:- >将圆 ：| ■-分成长度相等的四段弧，贝V 屮峠护= ______________ •10.已知；y 是第三象限角，且 ，贝y=J 113. 已知函数f ( x ) =— kx ( x > 0, k € R )有且只有三个零点,14. 已知 论丄,口.处((H)，贝V 丄+ 丄 的最小值为 _______________________4I 二血］=方二、解答题15.在中，三个内角A , B, C 所对的边分别为a , b , c ,且满足-r(1)求角C 的大小； 2 )若匕加［的面积为 {,「［_：,求边；的长•16.如图，在直四棱柱 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中， E , F 分别是AB , 的中点，A 1 C 1 与B 1 D 1 交于点O •(1) 求证：A 1 , C 1 , F , E 四点共面；(2) 若底面ABCD 是菱形，且 八 A 1 E ，求证: 「. _ 平面A 1 C 1 FE .17. 图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图 2所示，其中C 为半圆弧的中点，渠宽AB 为2米•设此三个零点中的最大值为，则(“)BC(1)当渠中水深CD为0. 4米时，求水面的宽度；(2)若把这条水渠改挖(不准填土)成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？18. 如图，已知椭圆O ：二+ y 2 = 1的右焦点为F,点B, C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线I : y = —2上的一个动点(与y轴交点除外)，直线PC交椭圆于另一点M .<7VJ sCF1■(1)当直线PM过椭圆的右焦点F时，求AFBM的面积；(2 ［①记直线BM BP的斜率分别为k 1 , k 2，求证：k 1 • k 2为定值;②求害亶好的取值范围.19. 已知数列；，满足：一，“.-匚：' -.,-'已(1)若汀匚，且数列；:为等比数列，求-的值；2 )若:/ -1 ，且-为数列；:的最小项，求"的取值范围.20. 已知函数( a € R )，■为自然对数的底数(1 )当a = 1时，求函数的单调区间；（2 ）①若存在实数•，满足 ，求实数 的取值范围； ②若有且只有唯一整数，满足求实数的取值范围21. 如图，四边形 ABDC 内接于圆，BD=CD ，过C 点的圆的切线与 AB 的延长线交22. 已知二阶矩阵M 有特征值.=3及对应的一个特征向量-"（，并且矩阵M对应的变换将点-1,2）变换成 （9,15 ），求矩阵M .23. 在直角坐标系 xOy 中，已知曲线U 的参数方程是（f 为松数），在以求AB 的长.购买意向.已知该网民购买种商品的概率为一，购买:种商品的概率为）求该网民至少购买2种商品的概率； ）用随机变量 -表示该网民购买商品的种数，求-的概率分布和数学期望坐标原点O 为极点, ■：-，求曲线轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的交点在直角坐标系中的直角坐标的极坐标方程是24.设函数f—+ |x — a|25. ）证明: ）若f> 2 ；v 5，求实数a 的取值范围一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A.B.C 三种商品有购买 :种商品的概率为 假设该网民是否购买这三种商品相互独立26. 如图，由若干个小正方形组成的k层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k层有k个小正方形.除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上•现对第k层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为，其中> 「二)，其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为(1 )当k = 4 时，若要求.为2的倍数，则有多少种不同的标注方法？2 )当k = 11 时，若要求为3的倍数，则有多少种不同的标注方法?参考答案及解析第1题【答案】{2}【解析】试题分析：由SE肓得异={i | A X 2 A-'兰5, x e xV} = {> 12 x s JTj c jV} = {?}第2题【答案】—5【解析】据分析；“令*=昌诗"FY第3题【答案】3亍I茎【解析】分析：由题意得z上-点5=9 ="二冃口2第4题【答案】2【解析】试题分析：由题意得"12 ,因此方差为如2S5+D.2第5题【答案】9【解析】试题分析：由S6BS■ (a-i)土口*一口 b ==*(H= X jc・OnH = 9一第6题【答案】£【解析】试题井析：第一次循环，—丄；第二炭循环:；第三;欠循环：丫7一紅"I7§;第匹欠循环:A =\>^5,z=8>6 -结束循环，输出二弋x3第7题【答案】【解析】试题分折：疋时/W=2X G(0.I]；X＞时丿⑴一H+1班pQ ,因此值域为OJ]IK7O J〉・(Y U]第8题【答案】1&【解析】试题分折；连续哋掷一枚戢子共有獅中基本事件，其中两次向上的数字之和等于产包含Ld.2+53+4.4+注十2©十1这鲜槿本事件,故所求抚率为U36 6第9题【答案】5【解析】试题分析：由题音得，扇形弧长为对应面罔长「因此2"; f 时■加汀第10题【答案】31^25【解析】1试题分析；由血十;及少如叨三]得:2R 21 1 . 7 _ _ (2ccs^ --)1 -rtos- -1 5 oos1^ - -cos6?-^-=0 ^cos^ = -: tcos/7 = -—f因为夕是第三象限角§25 5 257 . 24 . j],fJr0xCos(? = -—・从而SUJ^ = -—，sin^+CDsr?=-—.2、2、2r5"第11题【答案】【解析】试题分析；由题意得川■壽字、因此％■码X—和■■刃十Oq・D ,而数列血｝的第颐lu~-、到第卅顽的和为连续fl项的和，因此忙I职得最小值时的比的值为第颐前濒或前濒，蚯的倩为弓或首第12题【答案】18【解析】试趣分朴由题亘得直线A 和宜线人截得圆的弦所对圆周角相等，胃为直鼠因此Ek倒两直线匿离皆为卓"、即“=?£】+夕兰（2逅心1尸十（一2血冲厅«=1S第13题【答案】【解析】试题井朴由題意ffr-fcv与T・rinz空『2方相切，切点为（心.血兀〕，, - - sift K.由导数几何意义得上・・00压；因此蘇厂—诬％ h—兀=一纽吧品十，COS A' 1(1 + ― 2 *»m 兀COSY0■c^s* r c第14题【答案】1 2 1十丄七卯亠斗丄”2讥丄十丄鸭亠4恥伽-1)] t 1 4 - 4i7 —1 山4d —1 3 +丄生丄辽越3 4- — da4 白一1叫m 呦时取等号第15题【答案】析】4(^-1)2(4-4a>=斗十空,当且仅当 J — Jj 4m41 34-4cx 4口 7(1) C = —; C2) c=2VI【解析】试颗分析；⑴因为求角,所以利用正弦定理将边化角得和』十应M車2込亡=沁如站观恥M二“亡二皿八的…皿n U KM ,也可利用r C余弦走理将甬化边，有一定的运算童，最后很据三角形內角范围确走所求角的值⑵ 因/已所以三角形面积公武诜坪$讣J胡沁。

2019届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2019.1一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1. 已知集合A ＝{1，3，5}，B ＝{3，4}，则集合A ∩B ＝ Ｗ.2. 复数z ＝1＋2ii(i 为虚数单位)的虚部是 Ｗ.3. 某班级50名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则成绩在60～80分的学生人数是 Ｗ.4. 连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和为8的概率为 Ｗ.5. 已知3sin(α－π)＝cos α，则tan(π－α)的值是 Ｗ.6. 如图所示的流程图中，若输入的a ，b 分别为4，3，则输出n 的值为 Ｗ.7. 在平面直角坐标系xOy 中，中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(－3，1)，则该双曲线的离心率为 Ｗ.8. 曲线y ＝x ＋2e x在x ＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 Ｗ.9. 如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为 Ｗ.10. 在平面直角坐标系xOy 中，过点A (1，3)，B (4，6)，且圆心在直线x －2y －1＝0上的圆的标准方程为 Ｗ.11. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 5S 10＝13，则S 5S 20＋S 10＝ Ｗ. 12. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，－2x ，x <0，若方程f (x )－kx ＝3有三个相异的实根，则实数k的取值范围是 Ｗ.13. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且BM ＋DN ＝MN ，则AM →·AN →的最小值是 Ｗ.14. 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －ax 2，若对任意x 1∈(－∞，0)，总存在x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 2)≤f (x 1)，则实数a 的取值范围是 Ｗ.二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB ⊥BC ，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点.求证： (1) 平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2) C 1F ∥平面ABE .16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知2bc cos A ＝2c －3a . (1) 求角B 的大小；(2) 设函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3－34)，求f (A )的最大值.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于点M ，求点M 的坐标.如图，长途车站P 与地铁站O 的距离为 5千米，从地铁站O 出发有两条道路l 1，l 2，经测量，l 1，l 2的夹角为45°，OP 与l 1的夹角θ满足tan θ＝12(其中0<θ<π2)，现要经过P 修一条直路分别与道路l 1，l 2交汇于A ，B 两点，并在A ，B 处设立公共自行车停放点.(1) 已知修建道路PA ，PB 的单位造价分别为2m 元/千米和m 元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点A ，B 之间的距离；(2) 考虑环境因素，需要对OA ，OB 段道路进行翻修，OA ，OB 段的翻修单价分别为n 元/千米和22n 元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定A ，B 点的位置.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－4a (a ，b ∈R ). (1) 当a ＝b ＝1时，求f (x )的单调增区间；(2) 当a ≠0时，若函数f (x )恰有两个不同的零点，求b a的值；(3) 当a ＝0时，若f (x )<ln x 的解集为(m ，n )，且(m ，n )中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围.定义：对于任意n ∈N *，x n ＋x n ＋2－x n ＋1仍为数列{x n }中的项，则称数列{x n }为“回归数列”.(1) 已知a n ＝2n (n ∈N *)，判断数列{a n }是否为“回归数列”，并说明理由；(2) 若数列{b n }为“回归数列”，b 3＝3，b 9＝9，且对于任意n ∈N *，均有b n <b n ＋1成立. ①求数列{b n }的通项公式；②求所有的正整数s ，t ，使得等式b 2s ＋3s ＋1－1b 2s ＋3s －1＝b t 成立.2019届高三模拟考试试卷(四)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分.若多做，则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 723的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ n －7－2 m ，求实数m ，n 的值.B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，圆C 的方程是ρ＝4cos θ.在以极点为原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋m ，y ＝22t (t 为参数).若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值.C. (选修45：不等式选讲)设a ，b ，c 都是正数，求证：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥12(a ＋b ＋c ).【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22. 已知正四棱锥SABCD的底面边长和高均为2，从其五个顶点中任取三个，记这三个顶点围成的三角形的面积为ξ.(1) 求概率P(ξ＝2)；(2) 求ξ的分布列和数学期望.23. 如图，在四棱锥PABCD中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧面PAD⊥平面ABCD，PA＝AD，PA与平面PBC所成角的正弦值为21 7.(1) 求侧棱PA的长；(2) 设点E为AB中点，若PA≥AB，求二面角BPCE的余弦值.2019届高三模拟考试试卷(苏州)数学参考答案及评分标准1. {3}2. －13. 254.536 5. 13 6. 3 7. 10 8. 239. 2 3 10. (x －5)2＋(y －2)2＝17 11. 11812. (－2，2－23) 13. 82－8 14. [0，1]15. 证明：(1) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC . 因为AB ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AB .(2分)因为AB ⊥BC ，BB 1∩BC ＝B ，BB 1，BC ⊂平面B 1BCC 1， 所以AB ⊥平面B 1BCC 1.(4分)又AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(6分)(2) 取AB 中点G ，连结EG ，FG . 因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点， 所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC .(8分)因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1，所以四边形FGEC 1为平行四边形，(11分) 所以C 1F ∥EG .因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE .(14分)16. 解：(1) 在△ABC 中，因为2b cos A ＝2c －3a ， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，所以2sin B cos A ＝2sin C －3sin A .(2分) 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )，所以2sin B cos A ＝2sin(A ＋B )－3sin A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos B ＋2cos A sin B －3sin A ， 所以3sin A ＝2cos B sin A ，(4分) 在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos B ＝32. 又B ∈(0，π)，所以B ＝π6.(6分)(2) f (x )＝cos x ·(sin x ·cos π3＋cos x ·sin π3)－34(8分)＝12sin x ·cos x ＋32cos 2x －34＝14sin 2x ＋34(cos 2x ＋1)－34＝12sin(2x ＋π3)，(10分) 所以f (A )＝12sin(2A ＋π3).在△ABC 中，B ＝π6，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ∈(0，5π6)，(12分)所以2A ＋π3∈(π3，2π)，所以当2A ＋π3＝π2，即A ＝π12时，f (A )的最大值为12.(14分)17. 解：(1) 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，半焦距为c ，因为椭圆的离心率为12，所以c a ＝12，即a ＝2c .因为A 到右准线的距离为6，所以a ＋a 2c＝3a ＝6，(2分)解得a ＝2，c ＝1，(4分)所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2) 直线AB 的方程为y ＝32(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32（x ＋2），x 24＋y 23＝1，得x 2＋3x ＋2＝0，解得x ＝－2或x ＝－1，则点B 的坐标为(－1，32).(9分)由题意，得右焦点F (1，0)，所以直线BF 的方程为y ＝－34(x －1).(11分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－34（x －1），x 24＋y23＝1，得7x 2－6x －13＝0，解得x ＝－1或x ＝137，(13分)所以点M 坐标为(137，－914).(14分)18. 解：(1) 以O 为原点，直线OA 为x 轴建立平面直角坐标系， 因为0<θ<π2，tan θ＝12，所以OP ：y ＝12x .设P (2t ，t )，由OP ＝5，得t ＝1，所以P (2，1).(2分)(解法1)由题意得2m ·PA ＝m ·PB ，所以BP ＝2PA ，所以点B 的纵坐标为3. 因为点B 在直线y ＝x 上，所以B (3，3)，(4分)所以AB ＝32PB ＝352.(解法2)由题意得2m ·PA ＝m ·PB ，所以BP →＝2PA →.设A (a ，0)(a >0)，又点B 在射线y ＝x (x >0)上，所以可设B (b ，b )(b >0)，由BP →＝2PA →，得⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＝2（a －2），1－b ＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3，(4分)所以A (32，0)，B (3，3)，AB ＝（3－32）2＋32＝352.答：点A ，B 之间的距离为352千米.(6分)(2) (解法1)设总造价为S ，则S ＝n ·OA ＋22n ·OB ＝(OA ＋22OB )·n ， 设y ＝OA ＋22OB ，要使S 最小，只要y 最小. 当AB ⊥x 轴时，A (2，0)，这时OA ＝2，OB ＝22， 所以y ＝OA ＋22OB ＝2＋8＝10.(8分)当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0). 令y ＝0，得点A 的横坐标为2－1k ，所以OA ＝2－1k；令x ＝y ，得点B 的横坐标为2k －1k －1.(10分) 因为2－1k >0，且2k －1k －1>0，所以k <0或k >1，此时y ＝OA ＋22OB ＝2－1k ＋4（2k －1）k －1，y ′＝1k 2＋－4（k －1）2＝－（k ＋1）（3k －1）k 2（k －1）2.(12分)当k <0时，y 在(－∞，－1)上递减，在(－1，0)上递增， 所以y min ＝y |k ＝－1＝9<10，此时A (3，0)，B (32，32)；(14分)当k >1时，y ＝2－1k ＋8（k －1）＋4k －1＝10＋4k －1－1k ＝10＋3k ＋1k （k －1）>10.综上，要使OA ，OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距O 点3千米处，B 位于距O 点322千米处.(16分)(解法2)如图，作PM ∥OA 交OB 于点M ，交y 轴于点Q ，作PN ∥OB 交OA 于点N ，因为P (2，1)，所以OQ ＝1.因为∠BOQ ＝45°，所以QM ＝1，OM ＝2， 所以PM ＝1，PN ＝OM ＝ 2.由PM ∥OA ，PN ∥OB ，得2OB＝PA AB ，1OA ＝PBAB，(8分)所以2OB＋1OA ＝PA AB ＋PBAB＝1.(10分)设总造价为S ，则S ＝n ·OA ＋22n ·OB ＝(OA ＋22OB )·n ， 设y ＝OA ＋22OB ，要使S 最小，只要y 最小.y ＝OA ＋22OB ＝(OA ＋22OB )(2OB＋1OA)＝5＋2(OA OB ＋2OBOA)≥9，(14分) 当且仅当OA ＝2OB 时取等号，此时OA ＝3，OB ＝322.答：要使OA ，OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距O 点3千米处，B 位于距O 点322千米处.(16分)19. 解：(1) 当a ＝b ＝1时，f (x )＝x 3＋x 2－4，f ′(x )＝3x 2＋2x .(2分) 令f ′(x )>0，解得x >0或x <－23，所以f (x )的单调增区间是(－∞，－23)和(0，＋∞).(4分)(2) (解法1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2b 3a .(6分)因为函数f (x )有两个不同的零点，所以f (0)＝0或f (－2b3a )＝0.当f (0)＝0时，得a ＝0，不合题意，舍去；(8分) 当f (－2b 3a )＝0时，代入得a (－2b 3a )3＋b (－2b 3a )2－4a ＝0，即－827(b a )3＋49(b a )3－4＝0，所以ba ＝3.(10分)(解法2)由于a ≠0，所以f (0)≠0，由f (x )＝0，得b a ＝4－x 3x 2＝4x2－x (x ≠0).(6分)设h (x )＝4x 2－x ，h ′(x )＝－8x3－1，令h ′(x )＝0，得x ＝－2.当x ∈(－∞，－2)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减；当x ∈(－2，0)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增. 当x >0时，h (x )的值域为R ，故不论b a 取何值，方程b a ＝4－x 3x 2＝4x2－x 有且仅有一个根；(8分)当x <0时，h (x )min ＝h (－2)＝3，所以b a ＝3时，方程b a ＝4－x 3x 2＝4x2－x 恰有一个根－2，此时函数f (x )＝a (x ＋2)2(x －1)恰有两个零点－2和1.(10分)(3) 当a ＝0时，因为f (x )<ln x ，所以bx 2<ln x . 设g (x )＝ln x －bx 2，则g ′(x )＝1x －2bx ＝1－2bx2x(x >0).当b ≤0时，因为g ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上递增，且g (1)＝－b ≥0，所以在(1，＋∞)上，g (x )＝ln x －bx 2≥0，不合题意；(11分) 当b >0时，令g ′(x )＝1－2bx2x＝0，得x ＝12b， 所以g (x )在(0，12b )上递增，在(12b，＋∞)上递减， 所以g (x )max ＝g (12b)＝ln 12b －12. 要使g (x )>0有解，首先要满足ln12b －12>0，解得b <12e①.(13分) 因为g (1)＝－b <0，g (e 12)＝12－b e>0，要使f (x )<ln x 的解集(m ，n )中只有一个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧g （2）>0，g （3）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ln 2－4b >0，ln 3－9b ≤0，解得ln 39≤b <ln 24 ②.(15分)设h (x )＝ln x x ，则h ′(x )＝1－ln xx2. 当x ∈(0，e)时，h ′(x )>0，h (x )递增；当x ∈(e ，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )递减. 所以h (x )max ＝h (e)＝1e >h (2)＝ln 22，所以12e >ln 24.由①②，得ln 39≤b <ln 24.(16分)20. 解：(1) 假设数列{a n }是“回归数列”， 则对任意n ∈N *，总存在k ∈N *，使a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a k 成立，即2n ＋4·2n －2·2n ＝2k ，即3·2n ＝2k，(2分)此时等式左边为奇数，右边为偶数，不成立，所以假设不成立， 所以数列{a n }不是“回归数列”.(4分) (2) ① 因为b n <b n ＋1，所以b n ＋1<b n ＋2，所以b n ＋b n ＋2－b n ＋1>b n 且b n ＋b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋2－(b n ＋1－b n )<b n ＋2. 又数列{b n }为“回归数列”，所以b n ＋b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋1， 即b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1，所以数列{b n }为等差数列.(6分)因为b 3＝3，b 9＝9，所以b n ＝n (n ∈N *).(8分)②因为b 2s ＋3s ＋1－1b 2s ＋3s －1＝b t ，所以t ＝3s ＋1＋s 2－13s ＋s 2－1(*).因为t －3＝2（1－s 2）3s ＋s 2－1≤0，所以t ≤3. 又t ∈N *，所以t ＝1，2，3.(10分)当t ＝1时，(*)式整理为3s＝0，不成立.(11分) 当t ＝2时，(*)式整理为s 2－13s＝1.设c n ＝n 2－13n (n ∈N *)，因为c n ＋1－c n ＝2n （1－n ）＋33n ＋1， 所以当n ＝1时，c n <c n ＋1；当n ≥2时，c n >c n ＋1， 所以(c n )max ＝c 2＝13<1，所以s 无解.(14分)当t ＝3时，(*)式整理为s 2＝1，因为s ∈N *，所以s ＝1.综上所述，使得等式成立的所有的正整数s ，t 的值是s ＝1，t ＝3.(16分)2019届高三模拟考试试卷(四)(苏州) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：由MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 723⎣⎢⎡⎦⎥⎤ n －7－2 m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mn －1402n －6－14＋3m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，(4分) 所以⎩⎪⎨⎪⎧mn －14＝1，2n －6＝0，－14＋3m ＝1，(8分)解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝3.(10分)B. 解：由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x ，即圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.(3分)又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋m ，y ＝22t ，消t ，得x －y －m ＝0.(6分)因为直线l 与圆C 相切，所以|2－m |2＝2，所以m ＝2±2 2.(10分)C. 证明：因为(a ＋b ＋c )(a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b)＝12[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b )(4分) ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c 2a ＋b＋b ＋ca 2b ＋c＋c ＋ab 2c ＋a 2＝12(a ＋b ＋c )2，(8分) 所以a 2b ＋c＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b ≥12(a ＋b ＋c ).(10分)22. 解：(1) 当ξ＝2时，所取三点是底面ABCD 的四个顶点中的任三个， 所以P (ξ＝2)＝C 34C 35＝410＝25.(2分)(2) ξ的可能取值为2，5，2 2.P (ξ＝2)＝25；P (ξ＝5)＝4C 35＝25；(4分)P (ξ＝22)＝C 12C 35＝15.(6分)所以ξ的分布列为(8分)ξ的数学期望为E (ξ)＝2×25＋5×25＋22×15＝22＋25＋45.(10分)23. 解：(1) 取AD 中点O ，BC 中点M ，连结OP ，OM ， 因为PA ＝AD ，所以OP ⊥AD . 因为平面PAD 上平面ABCD ，OP ⊂平面PAD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以OP ⊥平面ABCD ， 所以OP ⊥OA ，OP ⊥OM .又四边形ABCD 是正方形，所以OA ⊥OM .以O 为原点，OA ，OM ，OP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，如图，(1分) 则A (12，0，0)，D (－12，0，0)，B (12，1，0)，C (－12，1，0).设P (0，0，c )(c >0)，则PB →＝(12，1，－c )，CB →＝(1，0，0).设平面PBC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，(3分)则⎩⎪⎨⎪⎧12x 1＋y 1－cz 1＝0，x 1＝0，取z 1＝1，则y 1＝c ，从而n 1＝(0，c ，1).设PA 与平面PBC 所成角为α，因为PA →＝(12，0，－c )，所以sin α＝|cos 〈PA →，n 1〉|＝|PA →·n 1||PA →|·|n 1|＝c14＋c 2·c 2＋1＝217， 解得c 2＝34或c 2＝13，所以PA ＝1或PA ＝216.(5分)(2) 由(1)知，PA ≥AB ＝1，所以PA ＝1，c ＝32. 由(1)知，平面PBC 的一个法向量为n 1＝(0，c ，1)＝(0，32，1).(6分) 设平面PCE 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，而CE →＝(1，－12，0)，PC →＝(－12，1，－32)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －12y ＝0，－12x ＋y －32z ＝0，取x ＝1，则y ＝2，z ＝3，即n 2＝(1，2，3).(8分)设二面角BPCE 的平面角为β，所以|cos β|＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2372×22＝67＝427. 根据图形得β为锐角，所以二面角BPCE 的余弦值为427.(10分)。

2019-2020学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）I．1．（5分）已知集合{|1}B=-，0，1，4}，则A B=A x x=…，{12．（5分）已知i是虚数单位，复数(1)(2)=++的虚部为3，则实数b的值为．z bi i3．（5分）从2名男生和1名女生中任选2名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概率为．4．（5分）为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的车辆数，得到以下频率分布直方图（如图），已知在[5，7)之间通过的车辆数是440辆，则在[8，9)之间通过的车辆数是．5．（5分）如图是一个算法流程图，若输入的x值为5，则输出的y值为．6．（5分）已知等比数列{}n a 中，10a >，则“12a a <”是“35a a <”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要” )7．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 的坐标为(0,)b ，若12120F PF ∠=︒，则该双曲线的离心率为 ． 8．（5分）若x ，y 满足约束条件0010x x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„，则3z x y =+的最大值为 ．9．（5分）如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同，已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为25π，弧长为4cm π的扇形，则该冰淇淋的体积是 3cm ．10．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，若直线20()x my m m R +++=∈上存在点P ，使得过点P 向圆22:2O x y +=作切线PA （切点为)A ，满足2PO PA =，则实数m 的取值范围为 ．11．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:2l y =与函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的图象在y 轴右侧的公共点从左到右依次为1A ，2A ⋯，若点1A 的横坐标为1．则点2A 的横坐标为 ．12．（5分）如图，在平面四边形ABCD 中，已知3AD =，4BC =，E ，F 为AB ，CD 的中点，P ，Q 为对角线AC ，BD 的中点，则PQ EF u u u r u u u rg的值为 ．13．（5分）已知实数x ，y 满足2()12x x y y +=+，则2254x y -的最小值为 ． 14．（5分）已知函数,2()48,25xexx e f x x x x⎧⎪⎪=⎨-⎪>⎪⎩…（其中e 为自然对数的底数），若关于x 的方程22()3|()|20f x a f x a -+=恰有5个相异的实根，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知向量3(sin ,)4a x =r，(cos ,1)b x =-r ．（1）当//a b rr 时，求tan 2x 的值；（2）设函数()2()f x a b b =+r r r g，且(0,)2x π∈，求()f x 的最大值以及对应的x 的值． 16．（14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，D ，E 分别是AB ，1B C 的中点． （1）求证：//DE 平面11ACC A ； （2）若DE AB ⊥，求证：1AB B C ⊥．17．（14分）为响应“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的社会主义新农村建设，某自然村将村边一块废弃的扇形荒地（如图）租给蜂农养蜂、产蜜与售蜜．已知扇形AOB 中，23AOB π∠=，23OB =（百米），荒地内规划修建两条直路AB ，OC ，其中点C 在¶AB 上(C 与A ，B 不重合），在小路AB 与OC 的交点D 处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区．设BDC θ∠=，蜂巢区的面积为S （平方百米）．（1）求S 关于θ的函数关系式；（2）当θ为何值时，蜂巢区的面积S 最小，并求此时S 的最小值．18．（16分）如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”．过椭圆第一象限内一点P 作x 轴的垂线交其“辅圆”于点Q ，当点Q 在点P 的上方时，称点Q 为点P 的“上辅点”．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上的点3(1,)的上辅点为(1,3)．（1）求椭圆E 的方程； （2）若OPQ ∆的面积等于12，求上辅点Q 的坐标； （3）过上辅点Q 作辅圆的切线与x 轴交于点T ，判断直线PT 与椭圆E 的位置关系，并证明你的结论．19．（16分）已知数列{}n a 满足12n n S na a =+，34a =，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和． （1）求1a 和2a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）设*1231111()2462n n T n N S S S S n=+++⋯+∈++++． ①若23k T T T =，求k 的值；②求证：数列{}n T 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积． 20．（16分）已知函数()()a lnxf x a R x+=∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当函数()f x 与函数()g x lnx =图象的公切线l 经过坐标原点时，求实数a 的取值集合；（3）证明：当1(0,)2a ∈时，函数()()h x f x ax =-有两个零点1x ，2x ，且满足12111x x a +<．2019-2020学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）已知集合{|1}A x x =…，{1B =-，0，1，4}，则A B =I {1，4} ． 【解答】解：{|1}A x x =Q …，{1B =-，0，1，4}， {1A B ∴=I ，4}．故答案为：{1，4}．2．（5分）已知i 是虚数单位，复数(1)(2)z bi i =++的虚部为3，则实数b 的值为 1 ． 【解答】解：(1)(2)(2)(21)z bi i b b i =++=-++Q 的虚部为3，213b ∴+=，即1b =．故答案为：1．3．（5分）从2名男生和1名女生中任选2名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概率为23． 【解答】解：从2名男生和1名女生中任选2名参加青年志愿者活动， 基本事件总数233n C ==，选中的恰好是一男一女包含的基本事件个数11212m C C ==， 则选中的恰好是一男一女的概率为23m p n ==． 故答案为：23． 4．（5分）为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的车辆数，得到以下频率分布直方图（如图），已知在[5，7)之间通过的车辆数是440辆，则在[8，9)之间通过的车辆数是 100 ．【解答】解：由频率分布直方图得：在[5，7)之间通过的车辆的频率为0.240.200.44+=， 在[8，9)之间通过的车辆的频率为0.10， 设在[8，9)之间通过的车辆数为n ． Q 在[5，7)之间通过的车辆数是440辆，∴4400.440.1n=，解得100n =． 则在[8，9)之间通过的车辆数为100． 故答案为：100．5．（5分）如图是一个算法流程图，若输入的x 值为5，则输出的y 值为2 ．【解答】解：输入5x =，不满足0x <，所以运行2log (51)2y =-=， 故答案为：26．（5分）已知等比数列{}n a 中，10a >，则“12a a <”是“35a a <”的 充分不必要 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要” ) 【解答】解：在等比数列{}n a 中，10a >，则由12a a <，得11a a q <，即1q >，∴243115a a q a q a =<=；反之，由243115a a q a q a =<=，得21q >，即1q >或1q <-，当1q <-时，112a a q a >=．∴等比数列{}n a 中，10a >，则“12a a <”是“35a a <”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．7．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 的坐标为(0,)b ，若12120F PF ∠=︒，则该双曲线的离心率为． 【解答】解：在平面直角坐标系xOy 中，已知点1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 的坐标为(0,)b ， 由12120F PF ∠=︒，可得：cb，即222233()c b c a ==-， 即2223c a =，所以双曲线的离心率为：c e a ==． 8．（5分）若x ，y 满足约束条件0010x x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„，则3z x y =+的最大值为 3 ．【解答】解：作出不等式组0010x x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„对应的平面区域如图：设3z x y =+得1133y x z =-+，平移直线1133y x z =-+，由图象可知当直线1133y x z =-+经过点(0,1)A 时，直线1133y x z =-+的截距最大，此时z 最大，此时3z =，故答案为：3．9．（5分）如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同，已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为2 5π，弧长为4cmπ的扇形，则该冰淇淋的体积是161663π+3cm．【解答】解：Q圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为25π，弧长为4cmπ的扇形，∴圆锥底面半径为422rππ==，圆锥母线长41025lππ==，圆锥的高为2210246h=-∴半个冰淇淋小球的半径2R=，∴该冰淇淋的体积是：2311422323V ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=．． 10．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，若直线20()x my m m R +++=∈上存在点P ，使得过点P 向圆22:2O x y +=作切线PA （切点为)A ，满足PO =，则实数m 的取值范围为 {|0m m „或4}3m … ．【解答】解：根据题意，圆22:2O x y +=，其圆心为O ，半径r =若点P 向圆22:2O x y +=作切线PA ，满足PO ，又由OA r == 则有222||||||2PO PA OA -==，变形可得2PO =，若直线20()x my m m R +++=∈上存在点P2，变形可得：2340m m -…， 解可得：0m „或43m …，即m 的取值范围为{|0m m „或4}3m …；故答案为：{|0m m „或4}3m …．11．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:2l y =与函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的图象在y 轴右侧的公共点从左到右依次为1A ，2A ⋯，若点1A 的横坐标为1．则点2A 的横坐标为 3 ．【解答】解：因为点1A 的横坐标为1，即当1x =时，1()sin()62f x πω=+=，所以266k ππωπ+=+或52()66k k Z ππωπ+=+∈， 又直线1:2l y =与函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的图象在y 轴右侧的公共点从左到右依次为1A ，2A ⋯，所以566ππω+=， 故23πω=， 所以：函数的关系式为2()sin()36f x x ππ=+．当23x =时，f （3）21sin(3)362ππ=⨯+=， 即点2A 的横坐标为3，1(3,)2为二函数的图象的第二个公共点．故答案为：3．12．（5分）如图，在平面四边形ABCD 中，已知3AD =，4BC =，E ，F 为AB ，CD 的中点，P ，Q 为对角线AC ，BD 的中点，则PQ EF u u u r u u u r g 的值为 74- ．【解答】解：如图，连接FP ，FQ ，EP ，EQ ，E Q ，F 为AB ，CD 的中点，P ，Q 为对角线AC ，BD 的中点，∴四边形EPFQ 为平行四边形，∴1()2PQ EQ EP AD BC =-=-u u u r u u u r u u u ru u ur u u u r ，1()2EF EP EQ AD BC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，且3AD =，4BC =， ∴2217()44PQ EF AD BC =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r g ．故答案为：74-．13．（5分）已知实数x ，y 满足2()12x x y y +=+，则2254x y -的最小值为 4 ． 【解答】解：实数x ，y 满足2()12x x y y +=+， 化为：(2)()1x y x y +-=，令2x y m +=，x y n -=，则1mn =．解得23m nx+=，3m ny-=．则222222222221116116545()4()(2816)(28)(228)4 33999m n m nx y m mn n m mm m+--=-=++=+++=g…，当且仅当212mn=⎧⎪⎨=⎪⎩，212mn=-⎧⎪⎨=-⎪⎩时，即112xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，112xy=-⎧⎪⎨=-⎪⎩时取等号．2254x y∴-的最小值为4．故答案为：4．14．（5分）已知函数,2()48,25xexxef xxxx⎧⎪⎪=⎨-⎪>⎪⎩„（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程22()3|()|20f x a f x a-+=恰有5个相异的实根，则实数a的取值范围为12{}[2eU，4)5．【解答】解：当2x„时，令()10xef xe'=-=，解得1x=，所以当1x„时，()0f x'>，则()f x单调递增，当12x剟时，()0f x'<，则()f x单调递减，当2x>时，4848()555xf xx x-==-单调递减，且()[0f x∈，4)5作出函数()f x的图象如图：（1）当0a=时，方程整理得2()0f x=，只有2个根，不满足条件；（2）若0a>，则当()0f x<时，方程整理得22()3()2[()2][()]0f x af x a f x a f x a++=++=，则()20f x a=-<，()0f x a=-<，此时各有1解，故当()0f x>时，方程整理得22()3()2[()2][()]0f x af x a f x a f x a-+=--=，()2f x a =有1解同时()f x a =有2解，即需21a =，12a =，因为f （2）22212e e e ==>，故此时满足题意；或()2f x a =有2解同时()f x a =有1解，则需0a =，由（1）可知不成立； 或()2f x a =有3解同时()f x a =有0解，根据图象不存在此种情况，或()2f x a =有0解同时()f x a =有3解，则21245a a e >⎧⎪⎨<⎪⎩„，解得245a e <„，故2[a e ∈，4)5（3）若0a <，显然当()0f x >时，()2f x a =和()f x a =均无解， 当()0f x <时，()2f x a =-和()f x a =-无解，不符合题意．综上：a 的范围是12{}[2e U ，4)5故答案为12{}[2e U ，4)5二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知向量3(sin ,)4a x =r，(cos ,1)b x =-r ．（1）当//a b rr 时，求tan 2x 的值；（2）设函数()2()f x a b b =+r r r g，且(0,)2x π∈，求()f x 的最大值以及对应的x 的值． 【解答】解：（1）Q //a b rr ，∴3sin cos 04x x --=， ∴3tan 4x =-，∴232tan 242tan 2917116x x tan x -===---； （2）()2()f x a b b =+r rr g 222a b b =+rr r g232sin cos 222x x cos x =-++ 3sin 2cos22x x =++32sin(2)42x π=++，Q (0,)2x π∈，∴52(,)444x πππ+∈， ∴242x ππ+=，即8x π=时，()f x 取得最大值322+． 16．（14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，D ，E 分别是AB ，1B C 的中点． （1）求证：//DE 平面11ACC A ； （2）若DE AB ⊥，求证：1AB B C ⊥．【解答】证明：（1）取AC 、1CC 的中点分别为M 、N ，D Q ，M 分别为AB ，AC 的中点，//DM BC ∴，且12DM BC =，E Q 、N 分别为1CB ，1CC 的中点，11//EN B C ∴，且1112EN B C =， 又11//BC B C ，11BC B C =，//DM EN ∴，且DM EN =，∴四边形DENM 为平行四边形，//DE MN ∴，又DE 不在平面11ACC A 内，MN 在平面11ACC A ，//DE ∴平面11ACC A ；（2）连接CD ，由CA CB =，且D 为AB 的中点可知CD AB ⊥，又DE AB ⊥，CD DE D =I ，且CD 、DE 都在平面CDE 内，AB ∴⊥平面CDE ，又1B C 在平面CDE 内， 1AB B C ∴⊥．17．（14分）为响应“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的社会主义新农村建设，某自然村将村边一块废弃的扇形荒地（如图）租给蜂农养蜂、产蜜与售蜜．已知扇形AOB 中，23AOB π∠=，23OB =（百米），荒地内规划修建两条直路AB ，OC ，其中点C 在¶AB 上(C 与A ，B 不重合），在小路AB 与OC 的交点D 处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区．设BDC θ∠=，蜂巢区的面积为S （平方百米）．（1）求S 关于θ的函数关系式；（2）当θ为何值时，蜂巢区的面积S 最小，并求此时S 的最小值．【解答】解：（1）23AO OB ==，23AOB π∠=， 由余弦定理得：222(23)(23)22323cos 63AB π=+-⨯⨯⨯=， 在BDO ∆中，由正弦定理得sin sin BD BOBOD BDO=∠∠，∴23sin()6BD πθ=-， 23sin()6sin BD πθθ-∴=，23sin()66sin AD πθθ-=-， ∴蜂巢区的面积：AOD CDB AOD BDO COB S S S S S S ∆∆∆∆=+=+-扇形2116sin sin 26226AO AD AO BO BD πθππππ-=+-g g g g g g g ，整理，得S 关于θ的函数关系式为：36tan S θπθ=+-，5(,)66πθπ∈． （2）对36tan S θπθ=+-求导，得236S sin θ'=-， 令0S '=，解得4πθ=或34πθ=， 当(,)64ππθ∈时，0S '<，S 递减，当3(,)44ππθ∈时，0S '>，S 递增，当3(4πθ∈，5)6π时，0S '<，S 递减，综上所述，S 的最小值只可有在4πθ=或θ趋近56π时取得， 当4πθ=时，32S π=+，当56πθ=时，43332S ππ=->+， ∴当θ为4π时，蜂巢区的面积S 最小，S 的最小值为32π+．18．（16分）如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”．过椭圆第一象限内一点P 作x 轴的垂线交其“辅圆”于点Q ，当点Q 在点P 的上方时，称点Q 为点P的“上辅点”．已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>上的点3(1,)的上辅点为(1,3)．（1）求椭圆E的方程；（2）若OPQ∆的面积等于12，求上辅点Q的坐标；（3）过上辅点Q作辅圆的切线与x轴交于点T，判断直线PT与椭圆E的位置关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）Q椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>上的点3)的上辅点为3)，∴辅圆的半径为132R=+=，椭圆长半轴为2a R==，将点3代入椭圆方程22214x yb+=中，解得1b=，∴椭圆E的方程为2214xy+=；（2）设点(Q x，)y，则点(P x，1)y，将两点坐标分别代入辅圆方程和椭圆方程可得，22004x y+=，22114xy+=，故22014y y=，即012y y=，又00111()22OPQS x y y∆=-=，则011x y=，将011x y=与22114xy+=联立可解得2x=2y=∴点Q的坐标为(2,2)；（3）直线PT与椭圆E相切，证明如下：设点(Q x，)y，由（2）可知，001(,)2P x y，与辅圆相切于点Q的直线方程为000()xy y x xy-=--，则点4(,0)Tx，直线PT 的方程为：00001420()4y y x x x x -=--，整理得00022x y y y =-+，将00022x y y y =-+与椭圆2214x y +=联立并整理可得，2200222000210x x x x y y y -+=， 由一元二次方程的判别式22004400440x x y y =-=V ，可知，上述方程只有一个解，故直线PT 与椭圆E 相切．19．（16分）已知数列{}n a 满足12n n S na a =+，34a =，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和． （1）求1a 和2a 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）设*1231111()2462n n T n N S S S S n=+++⋯+∈++++． ①若23k T T T =，求k 的值；②求证：数列{}n T 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．【解答】解：（1）Q 数列{}n a 满足12n n S na a =+，34a =，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和； 221121222()0S a a a a a ∴=+=+⇒=；331123232232()242S a a a a a a a a =+=++⇒==⇒=；猜想2(1)n a n =-； 当2(1)n a n =-时； 左边[02(1)]222(1)2n n n S n n +-=⨯=-；右边12(1)02(1)n na a n n n n +=⨯-+=-； 两边相等； 即猜想成立2(1)n a n ∴=-；(1)n S n n =-；（2）∴11112(1)1n S n n n n n ==-+++； ∴1231111111111112462223111n n nT S S S S n n n n n =+++⋯+=-+-+⋯+-=-=+++++++；①23k T T T =⨯Q ；∴23111342k k k =⨯=⇒=+． ②对于给定的*n N ∈，若存在k ，t n ≠，k ，*t N ∈，使得n k t T T T =g ；1n n T n =+Q ，只需111n k tn k t =⨯+++， 两边取倒数，即111(1(1)(1)n k t +=++，即1111n k t kt =++；即kt nt nk n =++，(1)n k t k n+=-；取1k n =+，则(2)t n n =+； 1(2)n n n n T T T ++=⨯；∴对数列{}n T 中的任意一项，总可以表示成该数列其他两项之积．20．（16分）已知函数()()a lnxf x a R x+=∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当函数()f x 与函数()g x lnx =图象的公切线l 经过坐标原点时，求实数a 的取值集合；（3）证明：当1(0,)2a ∈时，函数()()h x f x ax =-有两个零点1x ，2x ，且满足12111x x a +<．【解答】解：（1）对()a lnx f x x +=求导，得21()a lnxf x x --'=， 令()0f x '=，解得1a x e -=，当1(0,)a x e -∈时，()0f x '>，()f x 单调递增． 当1(a x e -∈，)+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减．（2）设公切线l 与函数()g x lnx =的切点为0(x ，0)y ，则公切线l 的斜率001()k g x x ='=， 公切线l 的方程为：0001()y y x x x -=-，将原点坐标(0,0)代入，得01y =，解得0x e =． 公切线l 的方程为：1y x e =，将它与()a lnx f x x +=联立，整理得21a x lnx e=-．令21()m x x lnx e=-，对之求导得：22()x e m x ex -'=，令()0m x '=．当x ∈时，()0m x '<，()m x 单调递减，值域为2(,)2ln +∞，当)x ∈+∞时，()0m x '>，()m x 单调递增，值域为2(,)2ln +∞， 由于直线l 与函数()f x 相切，即只有一个公共点，因此．故实数a 的取值集合为2{}2ln ．（3）证明：2()a lnx ax h x x+-=，要证()h x 有两个零点，只要证2()k x ax lnx a =--有两个零点即可．k （1）0=，即1x =时函数()k x 的一个零点．对()k x 求导得：1()2k x ax x '=-，令()0k x '=，解得x当x >时，()0k x '>，()k x 单调递增；当0x <时，()0k x '<，()k x 单调递减．当x =()k x取最小值，(1)0k k <=，22221()(1)12k x ax lnx a ax x a ax x a ax x =-->---=-+->-+，必定存0x >在使得二次函数2001()02u x ax x =-+>， 即00()()0k x u x >>．因此在区间上0)x 必定存在()k x 的一个零点．综上所述，()h x 有两个零点，一个是1x =，另一个在区间)+∞上．下面证明12111x x a+<． 由上面步骤知()h x 有两个零点，一个是1x =，另一个在区间)+∞上．不妨设11x =，2x >12211111x x x +=+<+，下面证明11a+即可．令1()1v a a =，对之求导得21()0v a a '=-<， 故v （a）在定义域内单调递减，11()1()02v a v a =>=，即11a． 证明完毕．。

(这是边文，请据需要手工删加)江苏省苏州市2019届高三第一次模拟考试数学参考答案及评分标准 1. {3} 2. －1 3. 25 4.536 5. 136. 37. 108. 239. 23 10. (x －5)2＋(y －2)2＝17 11. 118 12. (－2，2－23) 13. 82－8 14. [0，1]15. (1) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，因为AB ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AB.(2分)又因为AB ⊥BC ，BB 1∩BC ＝B ，BB 1，BC ⊂平面B 1BCC 1， 所以AB ⊥平面B 1BCC 1.(4分)又AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(6分) (2) 取AB 中点G ，连接EG ，FG.(第15题)因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点， 所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC.(8分)因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1，所以四边形FGEC 1为平行四边形，(11分) 所以C 1F ∥EG.又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE.(14分)16. (1) 在△ABC 中，因为2bcos A ＝2c －3a ， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，所以2sin B cos A ＝2sin C －3sin A ．(2分)又因为在△ABC 中，sin C ＝sin (A ＋B )，所以2sin B cos A ＝2sin(A ＋B )－3sin A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos B ＋2cos A sin B －3sin A ， 所以3sin A ＝2cos B sin A ．(4分)又因为在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos B ＝32， 又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6.(6分)(2) f (x )＝cos x ·⎝⎛⎭⎫sin x ·cos π3＋cos x ·sin π3－34(8分) ＝12sin x ·cos x ＋32cos 2 x －34 ＝14sin 2x ＋34(cos 2x ＋1)－34 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，(10分) 所以f (A )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3， 因为在△ABC 中，B ＝π6，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ∈⎝⎛⎭⎫0，56π，(12分) 所以2A ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，2π，所以当2A ＋π3＝π2， 即A ＝π12时，f (A )的最大值为12.(14分)17. (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，半焦距为c ，因为椭圆的离心率为12，所以c a ＝12，即a ＝2c ，又因为A 到右准线的距离为6，所以a ＋a 2c ＝3a ＝6，(2分)解得a ＝2，c ＝1，(4分)所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2)直线AB 的方程为y ＝32(x ＋2)，由⎩⎨⎧y ＝32（x ＋2），x 24＋y23＝1，得x 2＋3x ＋2＝0，解得x ＝－2或x ＝－1， 则点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，32.(9分)由题意，右焦点F(1，0)，所以直线BF 的方程为y ＝－34(x －1)，(11分)由⎩⎨⎧y ＝－34（x －1），x 24＋y23＝1，得7x 2－6x －13＝0，解得x ＝－1或x ＝137，(13分)所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫137，－914.(14分) 18. (1) 以O 为原点，直线OA 为x 轴建立平面直角坐标系， 因为0＜θ＜π2，tan θ＝12，所以OP ：y ＝12x ，设P (2t ，t )，由OP ＝5，得t ＝1，所以P (2，1)．(2分)方法一：由题意得2m ·P A ＝m ·PB ，所以BP ＝2P A ，所以点B 的纵坐标为3， 又因为点B 在直线y ＝x 上，所以B (3，3)，(4分) 所以AB ＝32PB ＝352.方法二：由题意得2m ·P A ＝m ·PB ，所以BP →＝2P A →.设A (a ，0)(a ＞0)，又点B 在射线y ＝x (x ＞0)上，所以可设B (b ，b )(b ＞0)，由BP →＝2P A →，得⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＝2（a －2），1－b ＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3，(4分)所以A ⎝⎛⎭⎫32，0，B (3，3)， AB ＝⎝⎛⎭⎫3－322＋32＝352.答：A ，B 之间的距离为352km.(6分)(2) 方法一：设总造价为S ，则S ＝n ·OA ＋22n ·OB ＝(OA ＋22OB )·n ， 设y ＝OA ＋22OB ，要使S 最小，只要y 最小． 当AB ⊥x 轴时，A (2，0)，这时OA ＝2，OB ＝22， 所以y ＝OA ＋22OB ＝2＋8＝10.(8分)当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)， 令y ＝0，得点A 的横坐标为2－1k ，所以OA ＝2－1k .令x ＝y ，得点B 的横坐标为2k －1k －1.(10分) 因为2－1k ＞0且2k －1k －1＞0，所以k ＜0或k ＞1，此时y ＝OA ＋22OB ＝2－1k ＋4（2k －1）k －1，y ′＝1k 2＋－4（k －1）2＝－（k ＋1）（3k －1）k 2（k －1）2，(12分) 当k ＜0时，y 在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增， 所以y min ＝y |k ＝－1＝9＜10，此时A (3，0)，B ⎝⎛⎭⎫32，32；(14分)当k ＞1时，y ＝2－1k ＋8（k －1）＋4k －1＝10＋4k －1－1k ＝10＋3k ＋1k （k －1）＞10.综上所述，要使OA ，OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距O 点3 km 处，B 位于距O 点322km 处．(16分)(第18题)方法二：如图，作PM ∥OA 交OB 于点M ，交y 轴于点Q ，作PN ∥OB 交OA 于点N ，因为P(2，1)，所以OQ ＝1，又因为∠BOQ ＝45°，所以QM ＝1，OM ＝2， 所以PM ＝1，PN ＝OM ＝ 2.由PM ∥OA ，PN ∥OB ，得2OB ＝P A AB ，1OA ＝PBAB ，(8分)所以2OB ＋1OA ＝P A AB ＋PBAB＝1.(10分)设总造价为S ，则S ＝n ·OA ＋22n ·OB ＝(OA ＋22OB )·n ， 设y ＝OA ＋22OB ，要使S 最小，只要y 最小．y ＝OA ＋22OB ＝(OA ＋22OB )⎝⎛⎭⎫2OB ＋1OA ＝5＋2⎝⎛⎭⎫OA OB ＋2OB OA ≥9，(14分) 当且仅当OA ＝2OB 时取等号，此时OA ＝3，OB ＝322.答：要使OA ，OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距O 点3 km 处，B 位于距O 点322km 处．(16分)19. (1) 当a ＝b ＝1时，f(x)＝x 3＋x 2－4，f′(x)＝3x 2＋2x.(2分) 令f′(x)＞0，解得x ＞0或x ＜－23，所以f(x)的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(0，＋∞)．(4分) (2) 方法一：f′(x)＝3ax 2＋2bx ，令f′(x)＝0，得x ＝0或x ＝－2b3a ，(6分)因为函数f(x)有两个不同的零点，所以f(0)＝0或f ⎝⎛⎭⎫－2b3a ＝0. 当f(0)＝0时，得a ＝0，不合题意，舍去；(8分)当f ⎝⎛⎭⎫－2b 3a ＝0时，代入得a ⎝⎛⎭⎫－2b 3a 3＋b ⎝⎛⎭⎫－2b3a 2－4a ＝0， 即－827⎝⎛⎭⎫b a 3＋49⎝⎛⎭⎫b a 3－4＝0，所以ba ＝3.(10分)方法二：由于a ≠0，所以f(0)≠0，由f(x)＝0，得b a ＝4－x 3x 2＝4x2－x(x ≠0)．(6分)设h(x)＝4x 2－x ，h′(x)＝－8x3－1，令h′(x)＝0，得x ＝－2，当x ∈(－∞，－2)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减； 当x ∈(－2，0)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增； 当x ∈(0，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增， 当x ＞0时，h(x)的值域为R ，故不论b a 取何值，方程b a ＝4－x 3x 2＝4x2－x 有且仅有一个根；(8分)当x ＜0时，[h (x )]min ＝h (－2)＝3，所以b a ＝3时，方程b a ＝4－x 3x 2＝4x 2－x 恰有一个根－2，此时函数f (x )＝a (x ＋2)2(x －1)恰有两个零点－2和1.(10分) (3) 当a ＝0时，因为f (x )＜ln x ，所以bx 2＜ln x ， 设g (x )＝ln x －bx 2，则g ′(x )＝1x －2bx ＝1－2bx 2x(x ＞0)．当b ≤0时，因为g ′(x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－b ≥0， 所以在(1，＋∞)上，g (x )＝ln x －bx 2≥0，不合题意；(11分) 当b ＞0时，令g ′(x )＝1－2bx 2x ＝0，得x ＝12b， 所以g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12b 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12b ，＋∞上单调递减， 所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12b ＝ln 12b －12， 要使g (x )＞0有解，首先要满足ln12b －12＞0，解得b ＜12e. ①(13分) 又因为g (1)＝－b ＜0，g (e 12)＝12－b e ＞0，要使f (x )＜ln x 的解集(m ，n )中只有一个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧g （2）＞0，g （3）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ln 2－4b ＞0，ln 3－9b ≤0，解得ln 39≤b ＜ln 24. ②(15分)设h (x )＝ln xx ，则h ′(x )＝1－ln x x 2.当x ∈(0，e)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减． 所以h (x )max ＝h (e)＝1e ＞h (2)＝ln 22，所以12e ＞ln 24，所以由①和②得，ln 39≤b ＜ln 24.(16分)20. (1) 假设{a n }是“回归数列”，则对任意n ∈N *，总存在k ∈N *，使a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a k 成立， 即2n ＋4·2n －2·2n ＝2k ，即3·2n ＝2k ，(2分)此时等式左边为奇数，右边为偶数，不成立，所以假设不成立， 所以{a n }不是“回归数列”．(4分)(2) ①因为b n ＜b n ＋1，所以b n ＋1＜b n ＋2，所以b n ＋b n ＋2－b n ＋1＞b n 且b n ＋b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋2－(b n ＋1－b n )＜b n ＋2. 又因为{b n }为“回归数列”， 所以b n ＋b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋1，即b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1，所以数列{b n }为等差数列．(6分) 又因为b 3＝3，b 9＝9，所以b n ＝n (n ∈N *)．(8分)②因为b 2s ＋3s ＋1－1b 2s ＋3s －1＝b t ，所以t ＝3s ＋1＋s 2－13s ＋s 2－1，(*)因为t －3＝2（1－s 2）3s ＋s 2－1≤0，所以t ≤3，又因为t ∈N *，所以t ＝1，2，3.(10分)当t ＝1时，(*)式整理为3s ＝0，不成立．(11分) 当t ＝2时，(*)式整理为s 2－13s ＝1.设c n ＝n 2－13n (n ∈N *)，因为c n ＋1－c n ＝2n （1－n ）＋33n ＋1， 所以当n ＝1时，c n ＜c n ＋1；当n ≥2时，c n ＞c n ＋1， 所以(c n )max ＝c 2＝13＜1，所以s 无解．(14分)当t ＝3时，(*)式整理为s 2＝1，因为s ∈N *，所以s ＝1.综合所述，使得等式成立的所有的正整数s ，t 的值是s ＝1，t ＝3.(16分)江苏省苏州市2019届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21. A. 由MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 723⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －7－2m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mn －1402n －6－14＋3m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，(4分) 所以⎩⎪⎨⎪⎧mn －14＝1，2n －6＝0，－14＋3m ＝1，(8分)解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝3.(10分)B . 由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x ， 即圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.(3分)又由⎩⎨⎧x ＝22t ＋m ，y ＝22t ，消去t ，得x －y －m ＝0，(6分)因为直线l 与圆C 相切，所以|2－m |2＝2，所以m ＝2±2 2.(10分)C . 因为(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b ＝12[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]⎝⎛a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋⎭⎫c 2a ＋b (4分)≥12⎣⎢⎡a ＋b ·c 2a ＋b＋b ＋c ·a 2b ＋c＋c ＋a ·⎦⎥⎤b 2c ＋a 2＝12(a ＋b ＋c )2，(8分) 所以a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b ≥12(a ＋b ＋c )．(10分)22. (1) ξ＝2时，所取三点是底面ABCD 的四个顶点中的任意三个， 所以P(ξ＝2)＝C 34C 35＝410＝25.(2分)(2) ξ的可能取值为2，5，2 2. P (ξ＝2)＝25；P (ξ＝5)＝4C 35＝25；(4分)P (ξ＝22)＝C 12C 35＝15.(6分)所以ξ的分布列为(8分)ξ的数学期望为E (ξ)＝2×25＋5×25＋22×15＝22＋25＋45.(10分)23. (1) 取AD 中点O ，BC 中点M ，连接OP ，OM ，因为PA ＝PD ，所以OP ⊥AD.(第23题)又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，OP ⊂平面PAD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以OP ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥OA ，OP ⊥OM.又因为四边形ABCD 是正方形，所以OA ⊥OM.以O 为原点，OA ，OM ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz(如图)，(1分) 则A ⎝⎛⎭⎫12，0，0，D ⎝⎛⎭⎫－12，0，0，B ⎝⎛⎭⎫12，1，0，C ⎝⎛⎭⎫－12，1，0. 设P(0，0，c)(c ＞0)，则PB →＝⎝⎛⎭⎫12，1，－c ，CB →＝(1，0，0)． 设平面PBC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，(3分) 则有⎩⎪⎨⎪⎧12x 1＋y 1－cz 1＝0，x 1＝0，取z 1＝1，则y 1＝c ，从而n 1＝(0，c ，1)．设P A 与平面PBC 所成的角为α， 因为P A →＝⎝⎛⎭⎫12，0，－c ，所以sin α＝|cos 〈P A →，n 1〉|＝|P A →·n 1||P A →|·|n 1|＝c14＋c 2·c 2＋1＝217，解得c 2＝34或c 2＝13，所以P A ＝1或P A ＝216.(5分)(2) 由(1)知P A ≥AB ＝1，所以P A ＝1，c ＝32. 由(1)知平面PBC 的一个法向量为n 1＝(0，c ，1)＝⎝⎛⎭⎫0，32，1.(6分) 设平面PCE 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，而CE →＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0，PC →＝⎝⎛⎭⎫－12，1，－32， 所以⎩⎨⎧x －12y ＝0，－12x ＋y －32z ＝0，取x ＝1，则y ＝2，z ＝3，即n 2＝(1，2，3)．(8分)设二面角BPCE 的平面角为β， 所以|cos β|＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝2372×22＝67＝427， 根据图形得β为锐角，所以二面角BPCE 的余弦值为427.(10分)。