2002全国初中数学竞赛试题及参考答案

当 α= A 时 , 由 α< B +
A
2
有
A < 2B. 下面证明 :当 A < 2 B 时 , 满足条件的点 E , F 存
只有偶次项 . 当 k = 2 t + 2 时 , 同法可证 . 综上可知 , 对于一切 k ∈N , 结论均成立 . 进一步地 , 我们说明 Q n ( x ) 是 n - 1 次多项式 . n 设 Q n ( x ) = an - 1 x n - 1 + an - 3 x n - 3 + … + an - 2
即 CF =
用 n + 1 换 n , Q n + 2 ( x ) Q n ( x ) = [ Q n + 1 ( x ) ]2
- 1,
α ) ,
) =0 ∴ sin ( B - C) sin ( 2 B + 2 C + 2α ( 5) A
作减 , 有 Q n + 1 ( x ) [ Q n - 1 ( x ) + Q n + 1 ( x ) ] = Q n ( x) [ Q n ( x) + Q n + 2 ( x) ] Q n + 1 ( x) Q n ( x) + Q n + 2 ( x) 所以 = . Qn ( x) Qn - 1 ( x) + Qn + 1 ( x) 诸式相乘 , 即有 Q n + 1 ( x ) = 2 x Q n ( x ) - Q n - 1 ( x ) ( n ≥ 2 ) ( 1)
= 2 bt x 2 t - ( 2 bt - 1 + at - 1 ) x 2 t a1 ) x + ( - 1)

2 x -3 a a322 4 34中 等 数 学2002 年四川省初中数学竞赛一、选择题(满分 36 分 ,每小题 6 分)5. 如果等腰梯形的下底与对角线长都是 10 厘1. 若 x < 1 , 则| ( ) .+ (2 - x ) 2 | 等于 米 ,上底与梯形的高相等 ,则上底的长是( ) 厘米. (A ) 5 2 (B ) 6 2 (C ) 5 (D ) 6(A ) 1 (B ) 3 - 2 x (C ) 2 x - 3 (D ) - 2 2. 如图 1 , 一个长为 10 米的梯子斜靠在墙上 ,梯子6. 关于 x 的两个方程 x 2+ 4 mx + 4 m 2 + 2 m + 3 = 0 , x 2 + (2 m + 1) x + m 2 = 0 中至少有一个方程有实根. 则 m 的取值范围是( ) .的顶端距地面的垂直距离为 8 米. 如果梯子的顶端下滑 1 米 ,那么 ,梯子底端的滑(A ) - 32 (C ) - 1 < m < - 1 4< m < 1 (B ) m ≤- 3 或 m ≥- 1(D ) m ≤- 3 或 m ≥1动距离() . (A) 等于 1 米4 2 2 2二、填空题(满分 54 分 ,每小题 9 分)(B) 大于 1 米 图 11. 如果 y = + + 2 , 则 2 x + y =(C) 小于 1 米(D ) 不能确定.3. 设 a 、b 都是正实数且1 么 ,b 的值为( ) .+ 1 b - 1 = 0. a - b2. 设 a 是一个无理数 ,且 a 、b 满足 ab + a - b = 1. 则 b = .3. 在一长 8 米、宽 6 米的花园中欲挖一面积为 24 米2的矩形水池 ,且使四边所留走道的宽度相同. 则 (A ) 1 + 5 (B ) 1 - 5 (C ) - 1 + 5 (D ) - 1 - 5该矩形水池的周长应是 米.2 2 2 2 4. 如图 2 , D 、E 分别是 △ABC 的 AC 、AB 边上的4. 若 x 1 、x 2 是方程 x 2 + 2 x - k = 0 的两个不等的点 , BD 、CE 相交于点 O . 若 S △OCD = 2 , S△OB E = 3 , 实数根 ,则 x 2 + x 2 - 2 是() . S = 4 ,那么 , S = .12△OBC四边形ADOE(A ) 正数(B ) 零(C ) 负数(D ) 不大于零的数14. 84. 5. 如图 3 , 立方体的每个面上都写着一个自然数 ,并且相对两个面所写二数之和相等. 若 10 的对面于是 ,当 m = 2时 , x 2 + x 2 取得最小值 ,且最小若 A 、C 种同一种植物 ,则 A 、C 有 4 ×1 种栽种法 , B 、D 都有 3 种栽种法 ,共有 4 ×3 ×3 = 36 种栽种方案 ;值为 2 × 3 3 2 24 - 31 2+ 7 = 8. 8 9若 A 、C 种不同的植物 ,则有 4 ×3 种种法 , B 、D 都有 2 种栽种法 ,一共有 4 ×3 ×2 ×2 = 48 种栽种法.三、15. (1) 可买 5 打或 4 打加 9 本 ,前者需付款 3100 ×5 = 15100 (元) ,后者只需付款 3100 ×4 + 013 ×9 = 14170 (元) . 故该班集体去买时 ,最少需付 14170 元.(2) 227 = 12 ×18 + 11 , 可买 19 打或 18 打加 11 本 ,前者需付款 2170 ×19 = 51130 ( 元) , 后者需付款 2170 ×18 + 013 ×11 = 51190 ( 元) , 比前者还要多付 0160 元. 故该年级集体去买 ,最少需付 51130 元.17. 1连结 BD 即可证明.(2) 大小关系是 ( AC + BC ) 2≥AB 2 + 4 CD 2 .如图 11 ,作 EB ⊥AB , EB = 2 CD . 应用 ( 1) 的结论 , 易证. 18. 设原来篮子 A 中有弹珠 x 个 ,则篮子 B 中有弹图 11 16. 由题意知方程有实根 ,Δ ≥0.有 - 24 m + 16 ≥0 , 则 m ≤2.又由根与系数关系 ,得 珠(25 - x ) 个. 又记原来 A 中弹珠号码数的平均数为 a , B 中弹珠号码数的平均数为 b . 则由题意得ax + (25 - x ) b = 1 + 2 + + 25 = 325 ,ax - 15 - a = 1 , 2 23 27 x - 1 4 x 1 + x 2 = 2 4- m+ 8 . b (25 - x ) + 15 12 3 3 2 26 - x - b = 4 .∵m ≤3 , ∴4 - m ≥4 - 3> 0. 从而 ,x = 9.( x - 1) 2 3 - 2 x 那2≥3 -m 4 3 - 2 .4 3即原来篮子 A 中有9 个弹珠.(江苏省海门中学汤文卿提供)由题设有 10 + a = 12 + b = 15 + c . 故 c = 2. 于是 a = 7 , b = 5. 6. 11< m ≤18. 图 2 图 3写的是质数 a ,12 的对面写的是质数 b ,15 的对面写的是质数 c ,则 a 2 + b 2 + c 2 - ab - ac - bc = .6. △ABC 的一边长为 5 ,另外两个边长恰是方程 2 x 2 - 12 x + m = 0 的两个根. 则 m 的取值范围是.三、(20 分) 某公司生产电脑 ,1997 年平均每台生产成本为 5 000 元 ,并以纯利润20 %标定出厂价. 1998 年开始 ,公司加强管理和技术改造 ,从而生产成本逐 年降低 ,2001 年每台电脑出厂价仅是 1997 年出厂价的80 % ,但公司却得到50 %的纯利润. 求以 1997 年生产成本为基数 ,1997 年至 2001 年生产成本平均每年降低的百分数(精确到 0101) . (计算时 : 2 = 11414 , 3 = 11732 , 5 = 21236. ) 2 三、1997 年出厂价为 5 000 (1 + 20 %) = 6 000 (元) . 设 2001 年每台电脑生产成本为 x 元. 则 x (1 + 50 %) = 6 000 ×80 %. 解得 x = 3 200 (元) . 又设每年生产成本降低 y . 则 (1 - y ) 4 ×5 000 = 3 200. 解得 y = 1 - ≈1 - ≈11 %.5 21236 答 :略. 四、如图 6 ,连结 OA 、OB 、 OC ,则 PA = PD ·PO= PB ·PC .于是 , B 、C 、O 、D 四点共圆. 有2 2 22∑则 ① ∴ ②BDCD即 = +2002 年第 4 期 35四、(20 分) 如图 4 , P 是 ⊙O 外一点 , PA 与 ⊙O 切于 A , PBC 是 ⊙O 的割线 , AD ⊥ PO 于 D . 求证 :P B ∶BD = PC ∶CD .五、( 20 分) 将最小的 31 个自然数分成 A 、B 两组 , 10 在 A 组中. 如果把 10 从 A 组移到 B 组中 , 则 A 组中各数 图 4的算术平均数增加 1, B 组中各数的算术平均数也增加 1. 问 A 组中原有多少个数 ?△PCD ∽ △POB .PC = PO = PO. 图 6CD OB OC又 ∵△POC ∽ △PBD , PO = PB .OC BD 由式 ①、②,有 PB =PC.五、设 A 组中有 k + 1 个数 x 0 , x 1 ,, x k ,其中 x 0 = 10. B 组中有 30 - k 个数 x k + 1 , x k + 2 ,, x 30 . 依题意有x ++ x10 + x + + x12参 考 答 案1k=k 1k + 1+ 2,一、1. (B ) 2. (B )10 + x k + 1 + + x 30 = x k + 1 + + x 30 + 1 .3. (C ) .由题设可得a +b = 1 ,ab a - b31 - k x 1 + + x k 10 1k ( k + 1) k + 1 230 - k 2 , 即 a 2 - b 2 = ab . 有 a - b= 1.x k + 1 + + x 30 = 10 - 1 .bab- 1 + 5(30 - k ) (31 - k ) 31 - k 2k 2 + 21 k解得 a=2(负值舍去) . 于是 , x 1 ++ x k =2,①4. (A )5. (D )6. (B )二 、1. 5 2. - 1 3. 204. 39. 5x k + 1 ++ x 30 =30但 x i = 486 , i = 1- 330 + 41 k - k 22.②如 图 5 , 设 S △AOD = x ,S △AOE = y . 则有因而由式 ①, ②得 - 330 + 62 k = 2 ×486 = 972.则 k = 21.x = 2 , y = 3 .故 A 组中原有 22 个数.3 + y5. 19.4 2 + x 4 图 5(四川大学数学学院 唐贤江 提供)k。

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试 一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223y xy x y xy x +--+的值是（A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35． 答（ ）２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12；（C ） 16； （D ）18． 答（ ）３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ）４．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ）５． 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ）８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则（Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21； 答（ ）11=S 3S =132=S（C ）c > 2； （D ）c = 2． 答（ ） 二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ．２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+acb 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x － y ， x y ，yx四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC 中，AB ＜AC ＜BC ，D 点在BC 上，E 点在BA 的延长线上，且BD ＝BE ＝AC ，ΔBDE 的外接圆与ΔABC 的外接圆交于F 点（如图）．求证：BF ＝AF ＋CF三、将正方形ABCD 分割为 2n 个相等的小方格（n 是自然数），把相对的顶点A ，C 染成红色，把B ，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7. 答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4. 答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是(A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD ,AB=2CD , ︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10 答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 答( ) 二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(baa b . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N. 1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论: Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值. 其中正确的是(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ 4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B)53124x x x x x >>>>; (C)52413x x x x x >>>>; (D)24135x x x x x >>>>. 5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于5 6.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角, 则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22-(B)22(C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n , p ,那么m :n :p 等于(A)cb a1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin . 答( ) 8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+ 答( ) 二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB ,AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题 第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A ，B 、C ，D ，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0 B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0 〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4 B．等于5C．等于6 D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。

2002年全国初中数学竞赛试题参考答案
张劲松
【期刊名称】《小学语文》
【年(卷),期】2002(000)021
【摘要】
【总页数】4页(P28-31)
【作者】张劲松
【作者单位】中国教育学会中学数学教学专业委员会秘书处
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
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