24.3第3课时 圆内接四边形

A
OB
DC
E
2.课本30页练习1、2.
六、小结 本节课你有什么收获？ 到现在,我们学习的与圆有关的辅助线
有哪些?
七、作业 课堂作业: 1,必做题:书本上第32页第9题 2,选做题:书本上第32页第11题 家庭作业：一张试卷
已知P为⊙O外一点,PB,PD分别交⊙O于A、B、C、D,
求证：AC AP
•
3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
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4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
B
A PD
O C
5,四边形ABCD内接于圆,AC平分 ∠BAD,延长DC交AB的延长线于点E, 若AC=EC,求证:AD=EB
AOBDCE•32页第10题已知:如图,⊙O1与⊙O2相交于A、B两点， 经过A的直线与⊙O1交于点C,与⊙O2交于点D.过B的 直线与⊙O1交于点E,与⊙O2交于点F．求证：CE∥DF．
C
O1
E
A D
O2
BF
注意:相交两圆的公共弦是常用的辅助线.

10．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°， ∠BAD＝65°.求证：
(1)AD＝CD； 证明：∵四边形 ABCD 内接于⊙O， ∴∠ADC＝180°－∠B＝130°. ∵∠ACD＝25°， ∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°. ∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.
则 AE＝( )
A．3
B．3 2
C．4 3
D．2 3
【点拨】连接 AC，如图， ∵BA 平分∠DBE，∴∠1＝∠2. ∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA，∴AC＝AD＝5. ∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°， ∴AE＝ AC2－CE2＝ 52－（ 13）2＝2 3.
【答案】D
12．如图，点 O 为线段 BC 的中点，点 A，C，D 到点 O 的距离 相等，若∠ABC＝30°，则∠ADC 的度数是( C ) A．130° B．140° C．150° D．160°
14．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，点 M 是 AC 的中点， 以 AB 为直径作⊙O 分别交 AC，BM 于点 D，E.连接 DE， 使四边形 DEBA 为⊙O 的内接四边形．
(1)求证：∠A＝∠ABM＝∠MDE； 证明：∵∠ABC＝90°，点 M 是 AC 的中点， ∴AM＝CM＝BM. ∴∠A＝∠ABM.
1．[中考·兰州]如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若四边形 ABCO 是平行四边形，则∠ADC 的度数为( C ) A．45° B．50° C．60° D．75°
2．[中考·黄石]如图，已知⊙O 为四边形 ABCD 的外接圆，O 为
圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O 的半径长为

性质定理1
圆内接四边形的对角互补
如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶 点共圆.
性质定理2 圆内接边形的外角等于它的内角 的对角。
如果四边形的一个外角等于它的内角的 对角，那么它的四个顶点共圆.
性质定理的逆命题成立吗？
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
(2)如果点D在⊙O内部。 则∠B+∠E=180°
∵∠B+∠ADC=180°∴∠E=∠ADC
同样矛盾。∴点D不可能在⊙O内。
综上所述，点D只能在圆周上，四点共圆。 A D
E O
B
C
（2）
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
假设：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°
求证：A,B,C,D在同一圆周上（简称四点共圆）.
A
E
D
证明：(1)如果点D在⊙O外部。 则∠AEC+∠B=180°因∠B+∠D=180° B
得∠ D=∠AEC与“三角形外角大于任意
O
C
（1）
不相邻的内角”矛盾。故点D不可能在圆外。
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
o 圆 1与
圆o2都经过A,B两点。经过点A
的直线CD与圆o1交于点C,与圆o2交与点经过点B
的直线EF与圆o1交于点E,与圆o2交与点F.
求证：CE//DF. 证明：连接AB

=
°．
2．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=40°，则∠D = °．
D
O
A
C
B
第2题
第3题
第4题
3．如图，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O，且∠C
=2∠A． 则BD=
．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCO是平行四边
形．则∠ADC= °．
5．已知：如图，以等腰三角形ABC的底边BC为 直径的⊙O分别 交两腰AB，AC于点D，E，连
证于明点：D∵.A求D证是:∠DEBA=CD的C.平分线，
∴∠DAC＝∠DAE.
∵四边形ABCD内接于圆， ∴∠BAD＋∠DCB＝180°(圆内接四边形的对角互补). ∵∠BAD＋∠DAE＝180°
E
A D
∴∠DCB＝∠DAE
而∠DAC＝∠DBC（在同圆中，同弧所对的圆周角相等）
，
B
∴∠DCB＝∠DBC，
视角新现
圆内接四边形的性质定理： 圆内接四边形的对角互补。
B
新的发现： 圆内接四边形的外角等于它的内对角。
A
O D
C E
DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，则∠DCE与∠A相等吗？∠ 想一想：
为什么？
∠DCE=∠A
圆内接四边形的外角等于它的内对角。
新知讲解 典例精讲
例1 如图,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,与△ABC的外接圆交
O
C
∴DB＝DC.
如图，AD为△ABC的外角∠EAC的平分线，与 △ABC的外接圆交于点D，F为BC上的点．
(1)求证：BD＝DC； (2)请你再补充一个条件使直线DF一定经过圆
心，并说明理由．