2011年注电公共基础真题解析

故 df =
8.答案：B 解析： 利用换元法， 设 x = u ，∫ 9.答案：D 解 析 ： 记 a = ∫ f (t )dt ， 有 f ( x) = x 2 + 2a ， 对 f ( x) = x 2 + 2a 在 [0,2] 上 积 分 ， 有
0 2
dx x (1 + x)
=∫
du 2 du = 2∫ = 2 arctan u + C = 2 arctan x + C 2 u (1 + u ) (1 + u 2 )
1 / 19
续，而函数 f ( x )g ( x ) 在点 x0 = 0 处间断。 6.答案：D 解析：记 f ( x) = x − sin x ，则当 x > 0 时， f / ( x) = 1 − cos x ≥ 0 ， f ( x) 单调增， f ( x) > f (0) = 0 。 7. 答案：C 解析：如果 P0 是可微函数 f ( x, y ) 的极值点，由极值存在必要条件，在 P0 点处有 ∂f ∂f dx + dy = 0 。 ∂x ∂y ∂f ∂f = 0， = 0， ∂x ∂y
x3 3
−8 5 ⋅
x2 2
1 0
+4 5
5 5−4 5+4 5 3 5 5 = 3
12.答案：A 解析：旋转体的体积问题： 设旋转体由曲线 y = f ( x) 与直线 x = a, x = b 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成，则 其体积 V = ∫ π [ f ( x)] dx ，根据题意计算得
−2 2
11.答案：D 解析：连接点（0,2）与点（1,0）的直线段的方程为 y = −2 x + 2 ，使用第一类曲线积分化定积分公 式，有
2 / 19
∫ (x
L
2
+ y 2 )ds =
2
∫ [x
1 0
2
+ (−2 x + 2) 2
]
5dx
=
∫ (5 x
0
1
− 8 x + 4) 5dx1 0来自=5 5⋅ =2− x 2
3 / 19
16.答案：A dy du y / ，则 y = ux ， = (ux ) = u + ⋅x， dx dx x du du 1 1 代入原方程得： u + x − u = tan u ， x = tan u ，整理得： du = dx ，两边积分得： dx tan u dx x cos u 1 1 1 y ∫ sin u du = ∫ x dx ， ∫ sin u d sin u = ∫ x dx ，解得： ln sin u = ln Cx ， sin u = Cx , 将 u = x 代 入 ， 得 y sin = Cx 。 x 17. 解析：这是一阶齐次方程，令 u = 答案：B 解析：用行初等变换求逆矩阵 A −1 。
b a 2
V = ∫ π (e − x ) 2 dx = π ∫ e − 2 x dx = −
0 0
+∞
+∞
π
2∫
+∞
0
e − 2 x d (−2 x) = −
π
2
⋅ e −2 x
+∞ 0
=−
π
2
(0 − 1) =
π
2
13.答案：D 解析：级数 ∑ u n 收敛，有 lim u n = 0 ， lim
30.答案：D。 解析： 当质元处在平衡位置处，质元的动能、势能及总能量均达到最大值。 当质元处在最大位移处，质元的动能、势能及总能量均为零。 依据题意可知，当质元处于波峰处时（即最大位移处） ，其动能与势能均应为零。 31.答案：B 解析：相位差为
2011 年注电公共基础真题解析
1.答案：B 解析：直线的方向向量为 s = (1,1,1) ，平面的法向量为 n = (1,−2,1) ， s ⋅ n = 1 − 2 + 1 = 0 ，这两个向量垂 直，直线与平面平行，又直线上的点（0,1,0）不在平面上，故直线与平面不重合。 2.答案：A 解析：在空间直角坐标系中，如果曲面方程 F ( x, y, z ) = 0 中，缺少某个变量，那么该方程一般表示 一个柱面。 例如，方程 F ( x, y ) = 0 一般表示一个母线平行于 z 轴的柱面，方程 G ( x, z ) = 0 ， H ( y, z ) = 0 依 次表示一个母线平行于 y 轴、x 轴的柱面。 x2 y2 例如：方程 2 − 2 = 1 表示母线平行于 z 轴的双曲柱面。 a b 3. 答案：D 解析：无穷小的比较
15.答案：C 解析：该方程可以使用分离变量法计算。
2 − x 2 dy 1 dx = dy 2 y 2− x 1 1 1 − ⋅ d (2 − x 2 ) = dy 2 y 2 2− x xydx = x
两边积分得： 1 1 1 d (2 − x 2 ) = ∫ dy ∫ 2 2 y 2− x 1 − ⋅ 2 2 − x 2 = ln C1 y 2 − − 2 − x 2 = ln C1 y y = Ce −
n =1 ∞
n →∞
∞ 50 50 = ∞ ，故级数 ∑ 发散。 n →∞ u n =1 u n n
14.答案：C 解析：有条件知 lim
0 < x < 4。
an na n a n = 2 ，得 lim = lim ⋅ lim n = 2 ，再由 − 2 < x − 2 < 2 ，得 n →∞ ( n + 1) a n →∞ ( n + 1) n →∞ a n →∞ a n +1 n +1 n +1
1 1 0 0 2 0 1 0 1 − 2 0 −1 0 3 0 1 2 0 1 0 1 − 2 0 −1 0 3 0 1 0 4 1 2 1 − 2 0 −1 0 1 0 1 2 。 −1
3 所以 A = 4 − 2 18.答案：A。
∫
2
0
f ( x)dx = ∫ ( x 2 + 2a )dx =
0
2
8 8 8 16 + 4a = a ，即： a = + 4a ，解得 a = − ，所以 f ( x) = x 2 − 。 3 9 9 3
10.答案：B 解法一：采用第二类换元法：设 x = 2 sin t ，这积分上下限变为
π π π
β = 0 ，就称β是比α高阶的无穷小。 α β ② 若 lim = C ≠ 0 ，就称β是与α同阶的无穷小。 α β ③ 若 lim = 1 ，就称β是与α等价的无穷小，记作 α ~ β 。 α
① 若 lim 3 x − 1 3 x ln 3 由计算可知， lim = = ln 3 ，所以选择 D。 x →0 1 x 4.答案：A
解析：由 A 的伴随矩阵的秩为 1 知 A 的行列式为零，由 A = −(a + 2)(a − 1) 2 = 0 ，得 a = 1 ， a = −2 ， 当 a = 1 时，A 的二阶子式全为零，其伴随矩阵的秩不可能为 1，故为 a = −2 。 19.答案：B 解析：由条件知， λ1 = 1 ， λ 2 = 2 ， λ3 = 0 是矩阵 A 的特征值，而 α 1 , α 2 , α 3 是对应的特征向量，故
2
π
2
~−
π
2
。
π
2
π
2
−2
∫
2
4 − x 2 dx =
−
∫π
2
2
2 2 − (2 sin t ) 2 d (2 sin t ) =
2 2 ∫ 2 cos t ⋅ 2d sin t = 4 ∫ cos td sin t = 4 ∫ cos tdt = 8∫ cos tdt −
2
π
2
−
π
2
−
π
0
2
1 π = 8 × × = 2π 2 2 解法二：由定积分的几何意义，知 ∫ 4 − x 2 dx 等于半径为 2 的圆的面积的一半。
环图，净功为循环曲线所包围的面积。 29.答案：C 解析：把 t = 0.1 、 x = 2 代入平面简谐波方程计算：
y = 0.01 cos[10π (25t − x)] = 0.01 × cos[10π × (25 × 0.1 − 2)] = 0.01 × cos 5π = 0.01 × (−1) = −0.01m 。
± 1， ,2， ，lim 解析： 函数 f ( x) 有无穷多个间断点 x = 0，
x →0
x − x2 x − x2 1 而 lim = ∞(k = ±1,±2, ) ， = ， x → ± k sin πx sin πx π
故 f ( x) 有一个可去间断点。 5.答案：A 解析过程：用举例子的方法来判断： 1，x ≥ 0 连续的例子：设 x0 = 0 ，函数 f ( x ) = ， g ( x ) = 0 ，则 f ( x ) 在点 x0 间断， g ( x ) 在点 x0 连 0，x < 0 续，而函数 f ( x )g ( x ) 在点 x0 = 0 处连续。 1，x ≥ 0 间断的例子：设 x0 = 0 ，函数 f ( x ) = ， g ( x ) = 1 ，则 f ( x ) 在点 x0 间断， g ( x ) 在点 x0 连 0，x < 0
4 / 19
2 0 0 有 Q AQ = 0 1 0 。 0 0 0
−1
20.答案：C 解析：求解所给方程组， 1 − 1 0 该方程组系数矩阵为： 1 0 − 1 设 x 2 = k1 ， x 4 = k 2 ， x1 k1 − k 2 1 −1 x 2 k1 1 0 解得基础解系为： = = k + k 1 2 1 0 。 x3 k1 1 x k 0 4 2 21.答案：C。 解析：当 A ⊂ B 时， P( A B) 达到最小值，这时有 P( AB) = P( A) = 0.3 。 22.答案：D。 4 2 3 2 3 解析：这份密码被译出的概率=1-三个人都不能译出的概率= 1 − × × = 1 − = 。 5 3 4 5 5 23.答案：B 1 1 1 解析： P X ≤ = ∫ 2 f ( x)dx = 2 ∫ 2 xdx = ，随机变量 Y 服从 n = 3 ， p = 的二项分布，所以 − ∞ 0 2 4 4 1 3 9 。 P{Y = 2} = C 32 ⋅ ⋅ = 4 4 64 24.答案：C。 解析：当 X～N(0,1)时，有 X 2 ~ χ 2 ，故选项（C）正确；由于题中没有给出 X 和 Y 相互独立， （B） 选项不一定成立。 注：设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X ~ N (0,1) ， Y ~ χ 2 (n ) ，则 T = 布，记作 t = (n ) 。 设随机变量 X 与 Y 相互独立， 且 X ~ χ 2 (n1 ) ，Y ~ χ 2 (n2 ) ， 则T = 的 F 分布，记作 F = (n1 , n2 ) 。 25.答案：B。