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完全平方公式

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完全平方公式一、知识结构二、重点、难点分析本节教学的重点是完全平方公式的熟记及应用.难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解).完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础。

1.两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.即：这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的. 这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二中两项的平方和，加上(这两项相加时)或减去(这两项相减时)这两项乘积的2倍;公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等代数式.2.只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式.在运用公式时，有时需要进行适当的变形，例如可先变形为或或者，再进行计算.在运用公式时，防止发生这样错误.3.运用完全平方公式计算时，要注意：(1)切勿把此公式与公式混淆，而随意写成.(2)切勿把乘积项中的2丢掉.(3)计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式条件的形式，则应运用乘法法则进行计算.4. 与都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.三、教法建议1.在公式的运用上，与平方差公式的运用一样，应着重让学生掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，教科书把公式中的字母同具体题目中的数或式子，用连结起来，逐项比较、对照，步骤写得完整，便于学生理解如何正确地使用完全平方公式进行计算.2.正确地使用公式的关键是确定是否符合使用公式的条件.重要的是确定两数，然后再看是否两数的和(或差)，最后按照公式写出两数和(或差)的平方的结果.3.如何使学生记牢公式呢?我们注意了以下两点.(1)既讲法，又讲理在教学中要讲法则、公式的应用，也要讲公式的推导，使学生在理解公式、法则道理的基础上进行记忆.我们引导学生借助面积图形对完全平方公式做直观说明，也是对说理的重视.在明白道理这个前提下的记忆，即使学生将来发生错误也易于纠正.(2)讲联系、讲对比、讲特点对于类似的内容学生容易混淆，比如在本节出现的(a+b)2=a2+b2的错误，其原因是把完全平方公式和旧知识(ab)2=a2b2及分配律弄混，排除新旧知识间相互干扰的一种作法是向学生指明新知识的特点.所以讲理是要讲联系、讲对比、讲特点.教学设计示例一、教学目标1.理解完全平方公式的意义，准确掌握两个公式的结构特征.2.熟练运用公式进行计算.3.通过推导公式训练学生发现问题、探索规律的能力.4.培养学生用数形结合的方法解决问题的数学思想.5.渗透数学公式的结构美、和谐美.二、学法引导1.教学方法：尝试指导法、讲练结合法.2.学生学法：本节学习了乘法公式中的完全平方，一个是两数和的平方，另一个是两数差的平方，两者仅一个符号不同.相乘的结果是两数的平方和，加上(或减去)两数的积的2倍，两者也仅差一个符号不同，运用完全平方公式计算时，要注意：(1)切勿把此公式与公式混淆，而随意写成.(2)切勿把乘积项2ab中的2丢掉.(3)计算时，要先观察题目是否符合公式的条件.若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算;若不能变为符合条件的形式，则应运用乘法法则进行计算.三、重点难点及解决办法(一)重点掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算.(二)难点综合运用平方差公式与完全平方公式进行计算.(三)解决办法加强对公式结构特征的深入理解，在反复练习中掌握公式的应用.四、课时安排一课时.五、教具学具准备投影仪或电脑、自制胶片.六、师生互动活动设计1.让学生自编几道符合平方差公式结构的计算题，目的是辨认题目的结构特征.2.引入完全平方公式，让学生用文字概括公式的内容，培养抽象的数字思维能力.3.举例分析如何正确使用完全平方公式，师生共练完成本课时重点内容.4.适时练习并总结，从实践到理论再回到实践，以指导今后的解题.七、教学步骤(一)明确目标本节课重点学习完全平方公式及其应用.(二)整体感知掌握好完全平方公式的关键在于能正确识别符合公式特征的结构，同时还要注意公式中2ab中2的问题，在解题过程中应多观察、多思考、多揣摩规律.(三)教学过程1.计算导入;求得公式(1)叙述平方差公式的内容并用字母表示;(2)用简便方法计算①10397②103 103(3)请同学们自编一个符合平方差公式结构的计算题，并算出结果.学生活动：编题、解题，然后两至三个学生说出题目和结果. 要想用好公式，关键在于辨认题目的结构特征，正确使用公式，这节课我们继续学习乘法公式.引例：计算，学生活动：计算，，两名学生板演，其他学生在练习本上完成，然后说出答案，得出公式.或合并为：教师引导学生用文字概括公式.方法：由学生概括，教师给予肯定、否定或更正，同时板书. 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.【教法说明】①复习平方差公式，主要是引起回忆，巩固公式;编题在于提高兴趣.②有了平方差公式的推导过程，学生基本建立起了一些特殊多项式乘法的认识方法，因此推导完全平方公式可以由计算直接得出.2.结合图形，理解公式根据图形完成下列问题：如图：A、B两图均为正方形，(1)图A中正方形的面积为____________，(用代数式表示)图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的面积分别为_______________________。

(2)图B中，正方形的面积为____________________，Ⅲ的面积为______________，Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积和为____________，用B、Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积表示Ⅲ的面积_________________。

分别得出结论：学生活动：在教师引导下回答问题.【教法说明】利用图形讲解，增强学生对公式的直观理解，以便更好地掌握公式，同时也培养学生数形结合的数学思想。

3.探索新知，讲授新课(1)引例：计算教师讲解：在中，把x看成a，把2y看成b，在中把2x看成a，把3y看成b，则、，就可用完全平方公式来计算，即【教法说明】引例的目的在于使学生进一步理解公式的结构，为运用公式打好基础.(2)例1 运用完全平方公式计算：学生活动：学生独立在练习本上尝试解题，3个学生板演. 【教法说明】让学生先模仿公式解题，学生可能会出现一些问题，这也正是学生对公式理解、应用和熟练程度上存在的需要解决的问题，反馈后要紧扣公式，重点讲解，达到解决问题的目的，关于例呈中(3)的计算，可对照公式直接计算，也可变形成4.尝试反馈，巩固知识练习一运用完全平方公式计算：(1) (2) (3)(4) (5) (6)(7) (8) (9)(l0)学生活动：学生在练习本上完成，然后同学互评，教师抽看结果，练习中存在的共性问题要集中解决.5.变式训练，培养能力练习二运用完全平方公式计算：(l) (2) (3) (4)学生活动：学生分组讨论，选代表解答.练习三(1)有甲、乙、丙、丁四名同学，共同计算，以下是他们的计算过程，请判断他们的计算是否正确，不正确的请指出错在哪里.甲的计算过程是：原式乙的计算过程是：原式丙的计算过程是：原式丁的计算过程是：原式(2)想一想，与相等吗?为什么?与相等吗?为什么?学生活动：观察、思考后，回答问题.【教法说明】练习二是一组数字计算题，使学生体会到公式的用途，也可以激发学生学习兴趣，调动学生的学习积极性，同时也起到加深理解公式的作用.练习三第(l)题实际是课本例4，此题是与平方差公式的综合运用，难度较大.通过给出解题步骤，让学生进行判断，使难度降低，学生易于理解，教师要注意引导学生分析这类题的结构特征，掌握解题方法.通过完成第(2)题使学生进一步理解与之间的相等关系，同时加深理解代数中a具有的广泛意义.练习四运用乘法公式计算：(l) (2)(3) (4)学生活动：采取比赛的方式把学生分成四组，每组完成一题，看哪一组完成得快而且准确，每组各派一个学生板演本组题目.【教法说明】这样做的目的是训练学生的快速反应能力及综合运用知识的能力，同时也激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛.(四)总结、扩展这节课我们学习了乘法公式中的完全平方公式.引导学生举例说明公式的结构特征，公式中字母含义和运用公式时应该注意的问题.八、布置作业要练说，得练听。

听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。

我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。

当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。

平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。

P133 1，2.(3)(4).参考答案其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。

不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。

这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。

日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。

宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。

至元明清之县学一律循之不变。

明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。

到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。

其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。

而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。

“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。

于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。

在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。

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完全平方公式

完全平方公式


如何用完全平方公式解决实际问题，比如计算房间面积、计算价格等。
用完全平方公式解决实际问题
完全平方公式的证明
解答
用完全平方公式计算代数式的值
验证完全平方公式
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感谢观看
公式表述
$a^2$：一个数的平方是指这个数与自己的平方的乘积。例如，$5^2 = 5 \times 5 = 25$。
平方的含义
$(a \pm b)^2$：一个数的完全平方是指这个数与另一个数的平方和它们两倍的乘积的乘积。例如，$(3 \pm 2)^2 = 3^2 \pm 2 \times 3 \times 2 + 2^2 = 9 \pm 12 + 4 = 13 \pm 12$。
差的平方等于平方的差
公式
$(ab)^2 = a^2b^2$
解释
两个数的乘积的平方等于每个数的平方与另一个数的乘积。
积的乘方等于乘方的积
03
完全平方公式的应用
完全平方公式可以用来简化代数式，将复杂的表达式化为简单的形式。
简化代数式
在解一元二次方程时，完全平方公式可以用来求解方程的根。
解方程
在代数中的应用
完全平方的含义
$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$：可以用图形表示完全平方公式。首先画一个矩形，长为$a$，宽为$b$。将矩形分割成两个正方形和四个矩形。两个正方形的面积分别为$a^2$和$b^2$，四个矩形的面积分别为两个$ab$。将这些面积相加得到$(a \pm b)^2$。
公式的图形表示
02
完全平方公式的性质
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$
完全平方公式12种变形公式

完全平方公式12种变形公式

完全平方公式12种变形公式完全平方公式12种变形公式是一类经典的数学公式，也叫广义完全平方公式，它可以将表示为一元二次方程的某一种形式的不定方程都变形为一元二次方程，从而使求解方程变得更加容易。

它具有广泛的应用，如科学、工程等。

完全平方公式一共有12种，每一种都是由一元二次方程的左右两边变形得到的。

下面分别介绍它们的变形过程和形式：1. 令变形：即左边的方程可以变成 [x^2+2kx+k^2=(x+k)^2]，右边可以变形为 [ax^2+2kx+2x+k^2=ax^2+2kx+2x+k^2]。

2.方相加变形：即左边的方程可以变成[x^2+(2k+a)x+ka^2=(x+k)^2+a^2]，右边可以变形为[ax^2+(2k+a)x+ka^2=(x+k)^2+a^2]。

3.乘变形：即左边的方程可以变成 [x^2+2kxy+ky^2=(x+ky)^2]，右边可以变形为 [ax^2+2kxy+ky^2=(x+ky)^2]。

4.方相减变形：即左边的方程可以变成[x^2+(2k-a)x+ka^2=(x+k)^2-a^2]，右边可以变形为[ax^2+(2k-a)x+ka^2=(x+k)^2-a^2]。

5.项变形：即左边的方程可以变成[x^2+(2k+1)x+k^2-a=x^2+(2k+1)x-a+k^2]，右边可以变形为[ax^2+(2k+1)x+k^2-a=x^2+(2k+1)x-a+k^2]。

6.积变形：即左边的方程可以变成[(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab]，右边可以变形为[ax^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]。

7. 乘积变形：即左边的方程可以变成[x^2+2abx+b^2=a^2(x+b)^2]，右边可以变形为[ax^2+2abx+b^2=a^2(x+b)^2]。

8.积变形：即左边的方程可以变成 [x^2-2abx+b^2=a^2(x-b)^2]，右边可以变形为 [ax^2-2abx+b^2=a^2(x-b)^2]。

完全平方公式知识讲解

完全平方公式知识讲解

完全平方公式知识讲解
假设方程的两个解是x1和x2，那么根据求根公式的推导，可以得到
完全平方公式的一般形式如下：
x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a)
x2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a)
首先，将 ax^2+bx+c=0 变形为 x^2 + (b/a)x + c/a = 0。

然后，将方程右侧的常数项移动到方程左侧，得到x^2+(b/a)x=-c/a。

接着，我们将方程左侧的平方项和一次项组合成一个完全平方，即(x + (b/2a))^2 = (1/4a^2)(b^2 - 4ac)。

继续变形，得到x + (b/2a) = √((b^2 - 4ac)/(4a^2))。

再将方程左侧的二次项系数变为1，即 x = -b/(2a) ± √((b^2 -
4ac)/(4a^2))。

最后，简化形式，得到 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

通过上述推导过程，我们得到了完全平方公式。

使用这个公式，可以
快速而准确地求解一元二次方程的解。

需要注意的是，完全平方公式适用于任意实数系数的二次方程。

但在
实际应用中，可能会遇到无实数解或有重复解的情况。

因此，在使用完全
平方公式求解一元二次方程时，需要根据情况进行判断和处理。

完全平方公式

完全平方公式

完全平方公式1、完全平方公式：()2222b ab a b a ++=+； ().2222b ab a b a +-=-即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的两倍。

2、深入理解： 完全平方公式的条件：⑴二项式的平方。

完全平方公式的结论：⑴ 三项式 ；⑵有两项平方项，且是正的；另一项是二倍项，符号看前面。

口诀记忆：“头平方，尾平方，头尾两倍在中央”；3、逆运算：()2222b a b ab a ±=+±例1：计算下列各式： （1）、2)52(y x +（2）、2)221(y x -例2：（1）()212-+b a （2）5z)4y -(x 5-4++）（z y x例3：如果多项式92+-mx x 是一个完全平方式，则m 的值是。

例4：计算：()()_________22=--+b a b a ；()__________222-+=+b a b a 练习：1、如果多项式k xy x ++82是一个完全平方式，则k 的值是。

2、已知。

y ，xy y x 的值求22x 60,17+==+3、若13a a +=,求221a a +的值。

课下练习：1、下列计算中正确的是（）A.222)(b a b a +=+B. 222)(b a b a -=-C.22224)2(y xy x y x +-=-D.25541)521(22++=+x x x 2、下列各式计算结果为2xy －x 2－y 2的是（）A ．（x －y ）2B ．（－x －y ）2C ．－（x+y ）2D ．－（x －y ）23、已知,,,则代数式的值为( ) A.12 B.13 C.25 D.264、计算下列各式：（1）(3m-n)(m-2n) （2）()()()()()222312-+++--+x x x x x（3）、()2101684212⨯⨯⨯⨯-（4）、22)(2)())((b a b a b a b a --++-+5、如图15－2－3，AB ＝a ，P 是线段AB 上一点，分别以AP 、BP 为边作正方形.图15－2－3(1)设AP ＝x ，则两个正方形的面积之和S ＝__________；(2)当AP 分别为13a 和12a 时，两个正方形的面积的和分别为S 1和S 2，比较S 1和S 2的大小：__________.。