完全平方公式1

因式分解完全平方公式
本文旨在介绍因式分解完全平方公式，帮助读者更好地理解和应用该公式。

请注意，本文不包含真实姓名和引用。

1. 什么是完全平方公式？
完全平方公式是一种用于因式分解二次方程的方法。

对于形如ax^2 + bx + c的二次多项式，如果其可以被写成(a1x + b1)^2的形式，那么我们称其为完全平方形式。

在求解二次方程或进行因式分解时，可以利用完全平方公式进行简化和化简。

2. 完全平方公式的表达式
完全平方公式可以表示为：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。

3. 如何应用完全平方公式进行因式分解？
为了利用完全平方公式进行因式分解，我们需要先将二次多项式化简为完全平方形式。

考虑二次多项式x^2 + 6x + 9。

我们可以看出该多项式的第一项是x的平方，第二项是2倍于x的系数的乘积，第三项是常数项的平方。

我们可以将其写成(x + 3)^2的形式，进而完成因式分解。

4. 完全平方公式的应用领域
完全平方公式在数学中有广泛的应用。

它可以用于求解二次方程、因式分解多项式、简化复杂的数学表达式等。

在代数学、高等数学、物理学和工程学等领域中，都会涉及到使用完全平方公式简化和解决问题。

本文介绍了因式分解完全平方公式的概念、表达式和应用领域。

通过理解和掌握完全平方公式，读者可以更好地处理与二次方程相关的问题，并在数学和相关学科中取得更好的成绩和进展。

希望本文能对您的学习和应用有所帮助。

完全平方公式8种变形完全平方公式是数学中一个重要的公式，它可以帮助我们求解一元二次方程的解，进而解决一些实际问题。

在学习完全平方公式时，我们不仅要熟记其基本形式，还需要了解其一些变形，以便更灵活地应用于解题过程中。

下面将介绍完全平方公式的8种变形，希望对大家的学习有所帮助。

1. 标准形式变形：完全平方公式的标准形式是：(a+b)²=a²+2ab+b²。

我们可以将其变形为：a²= (a+b)²-2ab-b²，这种变形可以帮助我们从平方项和常数项中提取出待求解的项。

2. 差平方变形：我们可以将完全平方公式改写为：(a-b)²=a²-2ab+b²。

这种变形用于需要处理差平方的情况，可以减少计算过程中的错误。

3. 完全平方差变形：如果我们遇到一个二次方程的形式是a²-b²=0，可以利用完全平方公式的变形来求解。

变形后的形式为(a+b)(a-b)=0，我们可以得到a+b=0或a-b=0，从而求得方程的解。

4. 半平方变形：在一些问题中，我们可能会遇到一个二次方程的形式是a√x+b=0。

我们可以将其改写为：(√x)²=-(b/a)，通过对等式两边开方并得到x的值，从而解决问题。

5. 配方法变形：配方法是解决一元二次方程的一种常用方法，我们可以将完全平方公式进行配方法的变形。

变形后的形式是(a+b)²-c²=(a+b+c)(a+b-c)，通过将多项式相加相减从而得到解。

6. 两边取平方根变形：当我们遇到一个二次方程的形式为a²=c²时，可以将完全平方公式应用于此。

变形后的形式是：a=±√c²，通过对两边同时取平方根，我们可以得到a的值。

7. 合并同类项变形：在解决一些复杂的方程时，我们可能会遇到一些多项式的平方和。

我们可以将其中的一些同类项合并，从而简化计算过程。

（1）完全平方公式（1）完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a ，b 可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式1. 下列运算正确的是( ) A ．326a a a ⋅= B ．3226()ab a b =C ．222()a b a b -=-D ．532a a -=答案：B2. 已知2()8m n -=，2()2m n +=，则22m n +=( ) A ．10 B ．6C ．5D ．3答案：C3. 当3a =，2b =时，222a ab b ++的值是( ) A ．5 B ．13C ．21D ．25答案：D4. 若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=，则下列式子一定成立的是( ) A ．0x y z ++= B ．20x y z +-=C ．20y z x +-=D ．20z x y +-=答案：D5. 若a 、b 是正数，1a b -=，2ab =，则a b +=( )A ．3-B ．3C ．3±D ．9答案：B6. 下列运算正确的是( ) A ．22232x x x -= B ．22(2)2a a -=-C ．222()a b a b +=+D ．2(1)21a a --=--答案：A7. 若a 满足22(38383)38383a -=-⨯，则a 值为( ) A ．83 B ．383C ．683D ．766答案：C8. 下列各式中，与2(1)x -相等的是( ) A ．21x - B ．221x x -+C ．221x x --D ．21x +答案：B9. 下列计算正确的是( )A．23325x x x += B．222()a b a b -=- C．326()x x -= D．2363412x x x ⋅=答案：C10. 若3a b +=，则222426a ab b ++-的值是( ) A ．12 B ．6C ．3D ．0答案：A11. 已知2225x y +=，7x y +=，且x y >，那么x y -的值等于( ) A ．1± B ．7±C ．1D ．1-答案：C12. 小明做题一向粗心，下面计算，他只做对了一题，此题是( ) A ．336a a a +=B ．257a a a ⋅=C ．326(2)2a a =D ．222()a b a ab b -=-+答案：B13. 某校数学课外活动探究小组，在老师的引导下进一步研究了完全平方公式．结合实数的性质发现以下规律：对于任意正数a 、b ，都有a b +≥成立．某同学在做一个面积为36002cm ，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述规律，求得用来作对角线用的竹条至少需要准备x cm ．则x 的值是( )A ．B ．C ．120D ．60答案：C14. 当2x =-时，代数式221x x -+-的值等于( ) A ．9 B ．9-C ．1D ．1-答案：B15. 已知3a b +=，339a b +=，则ab 等于( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：B16. 设22(53)(53)a b a b A +=-+，则A =( ) A ．30ab B ．15abC ．60abD ．12ab答案：C17. 若7m n +=，12mn =，则22m mn n -+的值是( ) A ．11 B ．13C ．37D ．61答案：B18. 运算结果为222mn m n --的是( ) A ．2()m n - B ．2()m n --C ．2()m n -+D ．2()m n +答案：B19. 已知2()8a b +=，2()12a b -=，则ab 的值为( ) A ．1B ．1-C ．4D ．4-答案：B20. 已知7x y +=，8xy =-，下列各式计算结果正确的是( ) A ．2()91x y -= B ．2265x y += C ．22511x y += D ．22567x y -=答案：B21. 不论x 、y 为什么实数，代数式22247x y x y ++-+的值( ) A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数答案：A22. 若156x =，144y =，则 221122x xy y ++的值是( ) A ．150 B ．45000 C ．450 D ．90000答案：B23. 不论m ，n 为何有理数，22248m n m n +--+的值总是( ) A ．负数 B ．0 C ．正数 D ．非负数答案：C24. 已知代数式2221a a -+-，无论a 取任何值，它的值一定是( ) A ．正数 B ．非正数 C ．非负数 D ．负数答案：D25. 已知实数x 满足13x x +=，则221x x+的值为____________。

完全平⽅公式定义两数和的平⽅，等于它们的平⽅和加上它们的积的2倍。

（a+b）²=a²﹢2ab+b²两数差的平⽅，等于它们的和减去它们的积的2倍。

﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²该公式是进⾏与变形的重要的知识基础，是中常⽤到的公式。

该知识点重点是对完全平⽅公式的熟记及应⽤。

难点是对公式特征的理解(如对公式中积的⼀次项的理解等）。

学习⽅法完全平⽅公式的转换这两个公式的结构特征：1. 左边是两个相同的⼆项式相乘，右边是三项式，是左边⼆项式中两项的平⽅和，加上或减去这两项乘积的2倍；2. 左边两项符号相同时，右边各项全⽤“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平⽅项⽤“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这⾥说项时未包括其符号在内）.3. 公式中的字母可以表⽰具体的数（或），也可以表⽰或等数学式．公式⼝诀⾸平⽅，尾平⽅，⾸尾相乘放中间。

或⾸平⽅，尾平⽅，两数⼆倍在中央。

也可以是：⾸平⽅，尾平⽅，积的⼆倍放中央。

同号加、异号减，负号添在异号前。

（可以背下来）即（注意：后⾯⼀定是加号）公式变形变形的⽅法（⼀）、变符号：例1：运⽤完全平⽅公式计算：（1）（2）分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第⼆⼩题为例，处理该问题最简单的⽅法是将这个式⼦中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套⽤公式计算。

解答：(1)原式=(2)原式=（⼆）、变项数：例2：计算：分析：完全平⽅公式的左边是两个相同的⼆项式相乘，⽽本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运⽤整体思想看成⼀项，从⽽化解⽭盾。

所以在运⽤公式时，(3a+2b+c)2可先变形为，直接套⽤公式计算。

解答：原式=（三）、变结构例3：运⽤公式计算：(1)(2)(3)分析；本例中所给的均是⼆项式乘以⼆项式，表⾯看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中⼀个因式作适当变形就可以了。

完全平方公式（1）【学习目标】1、了解完全平方公式几何背景。

会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算。

2、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。

【学习重点】会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算。

【学习过程】（教师寄语：热爱生命的人一定心中充满希望，飞舞在我们人生的舞台。

）一、课前预习：学习任务一：阅读教材第36—38页内容，思考并总结本节课学习的主要内容，写在下面的横线上：学习任务二：阅读课本36页---例题1以上的部分, 了解完全平方公式几何背景。

会推导完全平方公式1、思考：完全平方公式有几种推导的方法？把它们写在下面。

（1）写出完全平方公式字母表达式：（2）写出完全平方公式文字表达式：（3）分析公式左右两边的特点：左边：右边：（4）概括成口诀学习任务三：阅读课本36页例题1，完成下列问题。

1、分别指出例题1两式中的a，b。

2、总结使用完全平方公式进行计算应分几步？二、例题与训练例1.利用完全平方公式计算：(1)( 2x-3)2 (2)(4x+5y)2(3)(mn-a)2 (4)2331⎪⎭⎫⎝⎛-yx当堂练习1：⑴2)6(+a⑵2)7(-x⑶2)418(y-⑷2)3(ba+例2.利用完全平方公式计算：(1) (-2x+3y)2 (2) (-2x-3y)2当堂练习2:⑴2)34(yx+-⑵2)(ba--⑶ 2)3243(y x - ⑷2533⎪⎭⎫ ⎝⎛-y xy(5)()222m m --三、拓展与探究：1.(a-b)2与(b-a)2 的关系(a-b)2=__________(b-a)2=__________ 所以(a-b)2_____ (b-a)22. (a+b)2与(-a-b)2的关系(a+b)2=__________ (-a-b)2=__________ 所以(a+b)2_____ (-a-b)2四、跟踪练习1.计算：(13x+3y)2=_____________2. 计算：26x x ++_____2(3)x =+3.填上适当的数，使等式成立：24x x -+ =(x - 2) 4.( )2=14y 2-y+15.如果a 2+ma+9是一个完全平方展开的形式,那么m=_________.6.22()()a b a b +--=________.7.下列运算中,错误的运算有( )①(2x+y)2=4x 2+y 2, ②(a-3b)2=a 2-9b 2 ,③(-x-y)2=x 2-2xy+y 2 ,④(x-12)2=x 2-2x+14,A.1个B.2个C.3个D.4个8.运用公式计算①2)32y x + ②2)631(-t③2)2(n m -- ④2)42(-mn⑤2353⎪⎭⎫⎝⎛-y xy ⑥221⎪⎭⎫⎝⎛+-cd。

完全平方公式讲解完全平方公式是数学中的一种重要概念，作为学习数学的基本概念，它在帮助我们掌握数学的过程中发挥了重要作用。

完全平方公式是一种表明数学关系的工具，有助于理解数学中的概念和现象。

下面将对完全平方公式做一个详细的说明。

完全平方公式可以表达多项式中数学性质的关系，对于指定的数学现象能够有效地剖析。

完全平方公式的形式一般为$ax^2 +bx+c=0$，其中a，b，c是实数，a≠0。

完全平方公式可以解释如下：$ax^2+bx+c$表示等式左侧，等式右侧也可以写成一个完全平方形式：$(x+α)^2+β=0$。

α和β是两个实数，α=－b/2a，β=c/a。

完全平方公式可以用来解决多项式的根，即求出多项式的原根，也可以直接得出结果。

下面用完全平方公式来解决求解多项式根的问题，$ax^2 +bx+c=0$，求解x的值：$(x+α)^2+β=0$将其化为一元二次方程，有：$x^2+2αx+α^2+β=0$根据二次公式：$x_1,x_2=-αpm sqrt{α^2-4(1)β}$将α和β的值代入，可得：$x_1,x_2=frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$将该公式带入到多项式中，就能得出多项式的根：$x_1=frac{-b+sqrt{b^2-4ac}}{2a}，x_2=frac{-b-sqrt{b^2-4ac}}{2a}$完全平方公式还可以用来解决含有绝对值的一元二次不等式，新的形式如下：$|ax^2 +bx+c|=0$。

可以看出，此类不等式左侧的绝对值变成了括号，这就使其转换成普通的一元二次不等式，此时就可以使用完全平方公式来解决了。

完全平方公式的用途还不止如此，它还可以用来处理有理函数，特别是能够使有理函数形式更清楚、更简便，更具有可读性。

因此，完全平方公式也被广泛应用于高等数学中。

完全平方公式也可以解决三次方程，其具体步骤如下：首先，将三次方程转化为一次二次mixed型方程，即有如下形式：$ax^3+bx^2+cx+d=0$，然后，利用完全平方公式将其中的二次项处理，将它变成完全平方的形式，有：$(x^2+2αx+α^2)+β=0$，将α和β的值代入，即可得出解，最后，将解代入原方程中，检查解的有效性。

一元二次方程完全平方公式大家好，今天我们来聊聊一元二次方程的完全平方公式。

这可是数学里一个很重要的工具，掌握了它，对解决各种方程会有大帮助。

别着急，我们慢慢来，搞清楚了你会发现它其实挺简单的。

1. 什么是完全平方公式？1.1 公式的定义首先，完全平方公式指的是：( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ) 和 ( (ab)^2 = a^2 2ab + b^2 )。

简单说，就是当我们把一个表达式像 (a+b) 或者 (ab) 的平方展开时，它的结果可以用这个公式来表示。

是不是听上去有点神奇？1.2 为什么叫完全平方？名字里有“完全平方”，是因为这个公式帮助我们将一个二次项的完全平方展开成两个一阶项的和。

打个比方，就像把一块大蛋糕切成了两个小蛋糕，每块蛋糕都很容易看清楚。

2. 完全平方公式的实际应用2.1 在方程中的应用当我们遇到一元二次方程，比如 ( x^2 + 6x + 9 = 0 ) 时，运用完全平方公式可以很方便地解开它。

咱们可以将这个方程看成 ( (x+3)^2 = 0 )，这样就一目了然，( x+3 ) 的平方等于零，所以 ( x ) 就是 3。

是不是很简单？2.2 在实际问题中的应用完全平方公式不仅仅用在数学题里，实际生活中也很有用。

比如说，你在计算一个面积问题时，知道了边长变化的情况，就可以用这个公式来简化计算。

就像你有一块长方形的地，要是边长变了，用这个公式可以轻松找到新面积，省时省力！3. 如何记住和运用公式3.1 记忆小窍门记住公式不难，我们可以用一些简单的口诀。

比如 ( (a+b)^2 ) 的展开式，可以记成“平方头，平方尾，中间两倍”。

这样就能帮助我们更快地记住公式，也不容易搞混。

3.2 练习与应用最好的记忆方法就是多做题。

拿出几道练习题来做，不仅能加深对公式的理解，还能提高你的解题速度。

开始可能会觉得有点难，但别灰心，多做几道，慢慢就能得心应手了。

总结一元二次方程的完全平方公式，看似简单，但它却是数学中的一个小宝藏。

第1章第6节完全平方公式（1）教案一、教学目标：知识与技能目标：经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力；了解完全平方公式的几何背景。

会运用完全平方公式进行一些数的简便运算。

过程与方法目标：会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算；综合运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算。

情感与态度目标：经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力二、重点难点：重点：弄清完全平方公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点；会用完全平方公式进行运算难点：会用完全平方公式进行运算、综合运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算。

三、教学过程复习引入：（1）（mn+a）（mn - a）（2）（3a – 2b）（3a+2b）（3）（3a + 2b）（3a+2b）（4）（3a – 2b）（3a - 2b）探索新知：一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种。

（如图）用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较你发现了什么？观察得到的式子，想一想：（1）（a+b ）2等于什么？你能不能用多项式乘法法则说明理由呢？（2）（a-b ）2等于什么？小颖写出了如下的算式：（a —b ）2=[a+（—b ）]2。

她是怎么想的？你能继续做下去吗？由此归纳出完全平方公式：（a+b ）2=a2+2ab+b2（a —b ）2=a2—2ab+b2教师在此时应该引导观察完全平方公式的特点，并用自己的言语表达出来。

例：（利用完全平方公式计算）（1）（2x-3）2解：（2x-3）2=（2x ）2- 2·（2x ）·3 + 32=4x 2 – 12x +9巩固练习1、下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算（1）（2）（3）（4）2、计算下列各式：（1）（2）（3） （4）（5）（6）4、填空：（1）（2）（3）课堂小结：熟记完全平方公式，会用完全平方公式进行运算。

完全平方公式（1）一、教学目标：1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展推理水平。

2、会推导完全平方公式，并能使用公式实行简单的计算。

3、了解(a+b)2=a2+2ab+b2的几何背景。

4、经历由一般的多项式乘法向乘法公式过渡的探究过程,进一步培养学生归纳总结的水平,并给公式的应用打下基础。

二、教学重难点教学重点；完全平方公式的准确应用。

教学难点；掌握公式中字母表达式的意义及灵活使用公式实行计算。

三、教学和活动过程：1、整个教学过程叙述：教材“完全平方公式”内容共含两课时。

本节是其中的第一课时，需40分钟完成。

2、具体教学过程设计如下：〈一〉、提出问题[引入] 同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，你会计算下列各题吗?(x+3)2=_______________，(x-3)2=_______________，这些式子的左边和右边有什么规律?再做几个试一试：(2m+3n)2=_______________，(2m-3n)2=_______________，〈二〉、分析问题1、[学生回答] 分组交流、讨论多项式的结构特点(2m+3n)2= (2m)2+2·2m·3n+(3n)2=4m2+12mn+9n2，(2m-3n)2= (2m)2-2·2m·3n+(3n)2=4m2-12mn+9n2，（1）原式的特点。

两数和的平方。

（2）结果的项数特点。

等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍（3）三项系数的特点（特别是符号的特点）。

（4）三项与原多项式中两个单项式的关系。

2、[学生回答] 总结完全平方公式的语言描述：两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍；3、[学生回答] 完全平方公式的数学表达式：两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们乘积的两倍(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.4、完全平方公式的几何背景：用不同的形式表示图形的总面积并实行比较，你发现了什么？(a+b)2=a2+2ab+b2你能使用公式计算下列各式吗?(-x-3)2=______________， (-x+3)2=_______________。