130314高二(理)数学直线的极坐标方程(课件)

1、负极径定义
阐明：普通情况下，极径都是正值； 在一些必要情况下，极径也能够取 负值。（？）
对于点M（，）负极径时要求： P
[1]作射线OP，使XOP=
O
X
[2]在OP反向延长 M
线上取一点M，使OM=
第1页
2、负极径实例
在极坐标系中画出点
M（－3，/4）位置
[1]作射线OP，使XOP= /4
或 5
4
4
第8页
和前面直角坐标系里直线方程表
示形式比较起来，极坐标系里直线表
示起来很不以便，要用两条射线组合 而成。原因在哪？
0Hale Waihona Puke 为了填补这个不足，能够考虑允许
极径能够取全体实数。则上面直线 极坐标方程能够表示为
( R)
4
或
5 ( R)
4
第9页
例题2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直
第6页
新课讲授
例题1：求过极点，倾角为 坐标方程。
4
射线极 M
分析：
如图，所求射线上
任一点极角都
﹚4
是 / 4，
o
x
其极径能够取任意非负数。故所求
直线极坐标方程为
( 0)
4
第7页
思考：
1、求过极点，倾角为5 射线极坐标
方程。
4
易得 5 ( 0)
4
2、求过极点，倾角为 方程。
4
直线极坐标
[2]在OP反向延长线 上取一点M，使
OM= 3
O M
P = /4
X
第2页
练习：写出点（6，6 ）负极径极坐标
答：（－6， +π） 或（－6，－ 11 +π）

x＋y＝1 由 y－x＝1 x＝0， 得 y＝1.
∴两条直线的交点的直角坐标为(0,1)， π 化为极坐标为(1，2)．
直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化及直线与圆的位置 关系的判断是高考模拟的重点内容.2012 年陕西高考以填空题的 形式考查了直线和圆的极坐标方程以及直线与圆的位置关系．
标方程，然后在直角坐标系下研究所要求解的问题，最后再将 直角坐标方程转化为极坐标方程即可．
[通一类] 3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线 ρ(cos θ＋sin θ)＝1 与 ρ(sin θ－cos θ)＝1 的交点的极坐标．
解：由 ρ(cos θ＋sin θ)＝1，得 x＋y＝1； 由 ρ(sin θ－cos θ)＝1，得 y－x＝1.
[悟一法]
求直线极坐标方程的步骤： (1)设(ρ，θ)为直线上任一点的极坐标． (2)写出动点满足的几何条件． (3)把上述条件转化为ρ，θ的等式． (4)化简整理．
[通一类] 1．若将例题中的“平行”改为“垂直”，如何求解？
π 解：如图所示，在直线 l 上任意取点 M(ρ，θ)，∵A(2，4)， π ∴|OH|＝2cos 4＝ 2. 在 Rt△OMH 中， |OH|＝|OM|cos θ， ∴ 2＝ρcos θ，即 ρcos θ＝ 2. π ∴过 A(2，4)且垂直于极轴的直线方程为 ρcos θ＝ 2.
[精讲详析]
本题考查直线的极坐标方程的求法，解题的关
键是通过解直角三角形得到动点 M 的等式．然后转化为关于 ρ， θ 的等式． 如图所示，设 M(ρ，θ)为直线 l 上的任意一点．
过点 M 作 MH⊥x 轴， π ∵A(2，4)， π ∴|MH|＝2sin 4＝ 2. 在 Rt△OMH 中，|MH|＝|OM|sin θ，即 ρsin θ＝ 2. π ∴过点 A(2，4)且平行于极轴的直线的极坐标方程为． ρsin θ＝ 2.

《直线的极坐标方程》 PPT课件
在这个PPT课件中，我们将深入探讨直线的极坐标方程。从直线的极坐标概念 开始，到直线方程的解析表达，我们将详细讲解每个主题，并提供清晰的示 例和案例。
直线的极坐标概念
1 极坐标系
介绍极坐标系的定义和使用方法，以及它与直线方程的关系。
2 极坐标表示法
讲解如何使用极坐标表示直线，并提供实际应用案例。
3 极坐标角度
介绍极坐标中角度的概念，并解释如何利用角度表示直线。
直线的标准方程
1 标准方程定义
讲解直线的标准方程定义和推导过程。
2 斜率和截距
阐述如何利用斜率和截距表示直线的标准方程。
3 图形示例
提供图形示例，帮助理解标准方程的应用和意义。
直线的一般方程
1 一般方程定义
详细解释直线的一般方程定义和相关概念使其更加简洁雅观。
3 实际应用案例
提供实际应用案例，帮助理解一般方程的实际意义。
直线方程的解析表达
1
解析表达方法
介绍如何使用解析表达方法表示直线方程。
2
方程求解步骤
提供方程求解的详细步骤，帮助学生理解解析表达的过程。
3
实例分析
通过实例分析，展示解析表达方法的实际应用价值。
直线方程的参数方程
参数方程定义
详细解释直线的参数方程定 义和如何使用参数表示直线。
参数的意义
阐述参数在直线方程中的作 用和意义。
几何意义
通过几何意义解释参数方程 的实际应用。
直线方程的向量形式
向量方程定义
详细解释直线的向量方程定义和如何使用向量表示直线。
向量坐标
阐述向量坐标在直线方程中的使用方法和意义。
几何解释

[小问题· 大思维]
1．在直线的极坐标方程中，ρ的取值范围是什么？
提示：ρ的取值范围是全体实数，即ρ∈R. 2．在极坐标系中，点M(ρ，θ)与点P(－ρ，θ)之间有什么关 系？ 提示：若ρ<0，则－ρ>0，因此点M(ρ，θ)与点P(－ρ，θ)关 于极点对称．
[研一题]
[例 1] π 求过点 A(2，4)且平行于极轴的直线的极坐标方程．
即(x－1)2＋y2＝1. 直线 l 的直角坐标方程为 x－y－4＝0. 圆心 C(1,0)， 所以过点 C 与 l 垂直的直线方程为 x＋y－1＝0. 化为极坐标方程为 ρcos θ＋ρsin θ－1＝0， π 2 即 ρcos (θ－4)＝ 2 .
[悟一法]
解答此类问题应先将已知条件中的极坐标方程化为直角坐
[研一题] [例 3] 已知⊙C：ρ＝2cos θ，直线 l：ρcos θ－ρsin θ＝4，求
过点 C 且与直线 l 垂直的直线的极坐标方程．
[精讲详析]
本题考查极坐标与直角坐标的互化及直线极坐
标方程的求法．解答本题需要先求出直线的一般方程，然后化一 般方程为极坐标方程即可． ⊙C 的直角坐标方程是 x2＋y2－2x＝0，
x＋y＝1 由 y－x＝1 x＝0， 得 y＝1.
∴两条直线的交点的直角坐标为(0,1)， π 化为极坐标为(1，2)．
直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化及直线与圆的位置 关系的判断是高考模拟的重点内容.2012 年陕西高考以填空题的 形式考查了直线和圆的极坐标方程以及直线与圆的位置关系．
[悟一法]
求直线极坐标方程的步骤： (1)设(ρ，θ)为直线上任一点的极坐标． (2)写出动点满足的几何条件． (3)把上述条件转化为ρ，θ的等式． (4)化简整理．

新课讲授 例题1：求过极点，倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析： 如图，所求的射线 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 / 4，其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为

4 ( 0)
思考： 5 1、求过极点，倾角为 的射线的极 4 5 坐标方程。 易得 ( 0 ) 2、求过极点，倾角为 坐标方程。
点M(ρ 0，θ 0)，且极轴到此直线的角为α ，直 线l的极坐标方程为： ρ sin(α -θ ) =
ρ 0sin(α -θ 0)
.
阅读课本P16---17
了解柱坐标系的定义, 以及如何用
柱坐标系描述空间中的点.
z 设P是空间任意一点， P(ρ,θ,Z) 在oxy平面的射影为Q， 用(ρ ,θ )(ρ ≥0, 0≤θ ＜2π )表示点Q o y 在平面oxy上的极坐标， θ 点P的位置可用有 Q x 序数组(ρ ,θ ,z)表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱 坐标系. 有序数组(ρ ,θ ,Z)叫点P的柱 坐标，记作(ρ ,θ ,Z). 其中 ρ ≥0, 0≤θ ＜ 2π , -∞＜Z＜+∞
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的. 空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐 标 (ρ ,θ ,Z) 之间的变换公式为
x cos y sin z z
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它 在柱坐标系中的坐标.
由已知的对称直线的问题关于sin12一个圆的方程为在极坐标系中已知sinsin直线的方程是相切的一条化为极坐标方程为圆的方程为那么一条与此圆相切的面积所围成的的面积积就是扇形解
§1.3.2直线的极坐标方程

0
为了弥补这个不足，可以考虑允许 极径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表示为
( R)
4
或
5 ( R)
4
(0)表示极角 的为一条射线 ＝(R)表示极角 的为一条直线
例题2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直
于极轴的直线L的极坐标方程。
解：如图，设点M(, )
M
为直线L上除点A外的任
§1.3.2直线的极坐标方程
复习引入： 怎样求曲线的极坐标方程？
答：与直角坐标系里的情况一样，求 曲线的极坐标方程就是找出曲线上动 点Ｐ的坐标与之间的关系，然后列 出方程(,)=0 ：求过极点，倾角为 的极坐标方程。
4
的射线 M
分析：
如图，所求的射线
上任一点的极角都
6、在极坐标系中， ＝4与 sin圆 相切的一条
直线的方程(是B )
A、sin2,B、cos 2 C、cos 4,D、cos 4
解：圆＝4sin的化为直角坐标方程是
x2 y2 4y 0即x2 (y 2)2 4 那么一条与此圆相切圆的的方程为
x 2化为极坐标方程为cos 2
7、曲＝ 线0，＝(0)和＝4所围成的
﹚4
是 / 4，其
o
x
极径可以取任意的非负数。故所求
直线的极坐标方程为 ( 0)
4
思考：
1、求过极点，倾角为5 的射线的极
坐标方程。
易得
4
5 (
0)
2坐、标求方过程极。点，倾角或 为4
4
的直线的极 5
4
4
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形
式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不
方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？

例3：设点P的极坐标为(1,1) ，直线 l 过点P且与极轴所成的角为 ,求直线l
的极坐标方程。 M
1 P
o ﹚ 1 ﹚ x
2020/12/10
11
解：如图，设点 M(,)为直线上除
点P外的任意一点，连接OM
则 O M , x O M 由点P的极坐标知
OP 1 xOP1
设直线L与极轴交于点A。则在MOP
2
怎样求曲线的极坐标方程？
答：与直角坐标系里的情况一样，求 曲线的极坐标方程就是找出曲线上动 点Ｐ的坐标与之间的关系，然后列 出方程(,)=0 ，再化简并讨论。
2020/12/10
3
曲线的极坐标方程
定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(,)=0 ；
2020/12/10
4
5
思考：
1、求过极点，倾斜角为5 的射线的
极坐标方程。
4
易得 极坐标方程。
4
的直线的
或5
4
4
2020/12/10
6
和前面的直角坐标系里直线方程的表
示形式比较起来，极坐标系里的直线
表示起来很不方便，要用两条射线组 合而成。原因在哪？
9
练习：设点A的极坐标为A( a , 0 ) ，直 l
线过点A且与极轴所成的角为 ,求直l
线的极坐标方程。
解：如图，设点 M(,)
M
为直线 l 上异于A的点
连接OM，在MOA中有
﹚
oA
x
a
sin()sin() 即 显然A点也
s in ( ) a s in 满足上方程。

2012年上学期
1. 说明下列极坐标方程表示什么 曲线，并画图。
5 ( 2) ( R) 6
湖南长郡卫星远程学校 制作 12 2012年上学期
2. 在极坐标系中，求适合下列条 件的直线或圆的极坐标方程：
(1)过极点，倾斜角是 的直线； 3 ( 2)过点( 2, ), 并且和极轴垂直的直线 。 3
l
o
湖南长郡卫星远程学校 制作 12
x
2012年上学期
例2.求过点A(a, 0)(a>0), 且垂直
于极轴的直线l的极坐标方程.
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2012年上学期
例3.设点P的极坐标为(ρ1, θ1), 直
线l过点P且与极轴所成的角为α, 求直
线l的极坐标方程.
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
坐标方程。
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2012年上学期
探究2：
，
M

A1
湖南长郡卫星远程学校
N
F1
F2
制作 12
A2
2012年上学期
《考一本》P15-P17
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2012年上学期
简单曲线的极坐标方程：直线的极坐标方程
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2012年上学期
求曲线的极坐标方程的一般步骤:
①在曲线上任取一动点P(ρ, θ)
②利用几何法或坐标法建立ρ与θ的
方程.
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2012年上学期
例1.如图, 直线l经过极点, 从极轴到 直线l的角是

4
, 求直线l的极坐标方程。

4
的射线 M
分析：
如图，所求的射线上
任一点的极角都
﹚4
是 / 4，其
o
x
极径可以取任意的非负数。故所求
直线的极坐标方程为
( 0)
4
第三页，编辑于星期五：十点 五十一分。
思考：
1、求过极点，倾角为 5 的射线的极
坐标方程。
易得
4
5 (
0)
2坐、标求方过程极。点，倾 角或 为 4
4
的直线的极 5
第十一页，编辑于星期五：十点 五十一分。
3、极坐s标 in 方 1(程 R)表示的曲线
3
A、两条相交的直线
B、两条射线
C、一条直线
D、一条射线
解：由已知sin 1 可得cos 2 2
3
3
所以得tan 2 即 y 2
4x 4
两条直线l1 : 2x 4y 0,l2 : 2x 4y 0 所以是两条相交直线
第九页，编辑于星期五：十点 五十一分。
练习 1、求过A(点 2,)平行于极轴的直
4
解 ： 在 直 线 l上 任 意 取 点 M ( , )
A(
2
,
4
)
M
A(2, ) 4
M H 2 sin 2
4
O
在 R t O M H 中 ，M H ＝ O M s in ,
H
即 sin 2
所 以 ， 过 点 A(2, )平 行 于 极 轴 的 直 线 方 程 4
的面积
A
即S142 8
6
3
O
B
X
第十六页，编辑于星期五：十点 五十一分。
＝12sin( )，则过圆心与极轴垂直 的

练习：设点P的极坐标为A( a , 0) ，直 l 线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直 线l 的极坐标方程。 M 解：如图，设点 M ( , ) ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM， MOA 中有 在
a sin( ) sin( ) 即
解：圆＝4 sin 的化为直角坐标方程是 x 2 y 2 4 y 0即x 2 ( y 2) 2 4 那么一条与此圆相切的 圆的方程为 x 2化为极坐标方程为 cos 2
7、曲线＝0，＝ ( 0)和＝4所围成的 3 面积 _________ .
4、直线 cos 2关于直线＝ 对称的直线 4 方程为 ( B ) A、 cos 2, B、 sin 2 C、 sin 2, D、＝2sin
解：此题可以变成求直 x 2关于y x 线 的对称直线的问题 即y 2化为极坐标方程为 sin 2

解：由图可知围成的面 积就是扇形AOB 的面积 1 2 8 即S 4 6 3
A
O
B
X
OM cos MOA OA 即 cos a 可以验证，点A的坐标也满足上式。
求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图； 2、设点 M ( , ) 是直线上任意一点； 3、连接MO； 4、根据几何条件建立关于 , 的方 程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。
0
为了弥补这个不足，可以考虑允许 极径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表示为

4 ( R)
或
5 ( R) 4
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。

解：由图可知围成的面 积就是扇形AOB 的面积 1 2 8 即S 4 6 3
A
O
B
X
4、直线 cos 2关于直线＝ 对称的直线 4 方程为 ( B ) A、 cos 2, B、 sin 2 C、 sin 2, D、＝2sin
解：此题可以变成求直 x 2关于y x 线 的对称直线的问题 即y 2化为极坐标方程为 sin 2
§1.3.2直线的极坐标方程
复习引入：
怎样求曲线的极坐标方程？
答：与直角坐标系里的情况一样，求 曲线的极坐标方程就是找出曲线上动 点Ｐ的坐标与之间的关系，然后列 出方程(,)=0 ，再化简并讨论。
新课讲授 例题1：求过极点，倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析： 如图，所求的射线 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 / 4，其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为 ( 0)
OM cos MOA OA 即 cos a 可以验证，点A的坐标也满足上式。
求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图； 2、设点 M ( , ) 是直线上任意一点； 3、连接MO； 4、根据几何条件建立关于 , 的方 程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。
0
为了弥补这个不足，可以考虑允许 极径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表示为

4 ( R)
或
5 ( R) 4
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。
例题2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直 于极轴的直线L的极坐标方程。 解：如图，设点 M ( , ) M 为直线L上除点A外的任 意一点，连接OM ﹚ o A x 在 Rt MOA 中有