3-3 泰勒公式

常用十个泰勒绽开公式常用bai泰勒绽开公式如下：1、due^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……zhi+x^n/n!+……2、daoln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。

(-∞<x<∞)4、cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+……(-∞<x<∞)5、arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)6、arccos x = π- ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……) (|x|<1)7、arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)8、sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+……(-∞<x<∞)9、cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)10、arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - ……(|x|<1)11、arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)扩展资料：数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其四周取值的公式。

假如函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的状况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。

泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。

十个常用泰勒公式展开常用泰勒公式是在微积分中常用的一种展开函数的方法，可以将一个复杂的函数表示为一系列简单的多项式函数的和。

这些多项式函数的系数与原函数在某个点的导数有关，通过计算这些导数可以得到展开式的各项系数。

以下是十个常用的泰勒公式展开。

1. 正弦函数展开：正弦函数的泰勒展开式为：sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...2. 余弦函数展开：余弦函数的泰勒展开式为：cos(x) = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ...3. 自然指数函数展开：自然指数函数的泰勒展开式为：e^x = 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + ...4. 对数函数展开：对数函数的泰勒展开式为：ln(1+x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ...5. 幂函数展开：幂函数的泰勒展开式为：(x+a)^n = a^n + n*a^(n-1)*x + (n*(n-1)*a^(n-2)*x^2)/2! + ...6. 反正弦函数展开：反正弦函数的泰勒展开式为：arcsin(x) = x + (x^3)/6 + (3*x^5)/40 + ...7. 反余弦函数展开：反余弦函数的泰勒展开式为：arccos(x) = π/2 - arcsin(x) = π/2 - x - (x^3)/6 - (3*x^5)/40 - ...8. 反正切函数展开：反正切函数的泰勒展开式为：arctan(x) = x - (x^3)/3 + (x^5)/5 - (x^7)/7 + ...9. 双曲正弦函数展开：双曲正弦函数的泰勒展开式为：sinh(x) = x + (x^3)/3! + (x^5)/5! + (x^7)/7! + ...10. 双曲余弦函数展开：双曲余弦函数的泰勒展开式为：cosh(x) = 1 + (x^2)/2! + (x^4)/4! + (x^6)/6! + ...以上是十个常用的泰勒公式展开。

泰勒公式拉格朗日余项取值范围泰勒公式是数学分析中一个非常重要的工具，而其中的拉格朗日余项更是有着关键的作用。

咱们今天就来好好聊聊泰勒公式拉格朗日余项的取值范围这个事儿。

我记得有一次给学生们讲这部分内容的时候，有个学生瞪着大眼睛一脸懵地问我：“老师，这泰勒公式的拉格朗日余项到底是个啥呀？怎么感觉这么抽象！”我笑着回答他：“别着急，咱们慢慢捋捋就清楚啦。

”先来说说泰勒公式。

简单来讲，泰勒公式就是用多项式来近似表示一个函数。

想象一下，一个复杂的函数就像是一条弯弯曲曲的小路，而泰勒公式就是给咱们提供了一条相对直一点的近路，能让咱们在一定范围内更方便地了解这个函数的大致情况。

那拉格朗日余项呢？它其实就是用来衡量这个近似程度的一个东西。

就好比你要估计一个箱子里苹果的数量，你先大致数了一下，然后拉格朗日余项就告诉你这个估计和实际数量之间可能的误差有多大。

咱们来具体看看拉格朗日余项的表达式。

对于一个 n 阶可导的函数f(x)，在点 x₀处的泰勒展开式为：f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) +[f''(x₀)/2!](x - x₀)² +... + [f⁽ⁿ⁾(x₀)/n!](x - x₀)ⁿ + Rₙ(x) 。

这里的 Rₙ(x) 就是拉格朗日余项，它的表达式是：Rₙ(x) = [f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n + 1)!](x -x₀)ⁿ⁺¹，其中ξ 是介于 x₀和 x 之间的某个数。

要确定拉格朗日余项的取值范围，这可不是一件轻松的事儿。

得考虑函数的性质、导数的范围等等好多因素。

比如说，如果函数的导数有界，那拉格朗日余项的绝对值就会有一个上限。

再举个例子，假如有个函数 f(x) = sin(x)，咱们在 x₀ = 0 处做泰勒展开。

一阶展开是f(x) ≈ x ，这时候拉格朗日余项 R₁(x) = -cos(ξ)x² / 2 ，因为 -1 ≤ cos(ξ) ≤ 1 ，所以 |R₁(x)| ≤ |x²| / 2 。

第三章 中值定理与导数的应用一、知识点梳理1.中值定理费马引理 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任一)(0x U x ∈，有))()(( )()(00x f x f x f x f ≥≤或，那么0)(0='x f .罗尔中值定理 如果函数)(x f 满足(1) 在闭区间],[b a 上连续;(2) 在开区间),(b a 内可导;(3) 在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =,那么至少存在一点),(b a ∈ξ,使得0)(=ξ'f .拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 满足(1) 在闭区间],[b a 上连续;(2) 在开区间),(b a 内可导；那么至少存在一点),(b a ∈ξ,使等式))(()()(a b f a f b f -ξ'=- 或)()()(ξf ab a f b f '=-- （3-1） 成立.注意 式（3-1）称为拉格朗日中值公式，也可写为x x x f x f x x f Δ)Δ()()Δ(000⋅θ+'=-+ )10(<θ<称为函数的有限增量公式.定理 如果函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零,那么)(x f 在区间I 上是一个常数. 柯西中值定理 如果函数)(x f 及)(x F 满足(1) 在闭区间],[b a 上连续；(2) 在开区间),(b a 内可导；(3) 对任一()b a x ,∈，0)(≠'x F ,那么至少存在一点),(b a ∈ξ,使等式)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=-- （3-2） 成立.拉格朗日中值定理又称微分中值定理,在微积分学中占有重要的地位.（3-1）式表明函数在一个区间上的平均变化率等于函数在该区间上某一瞬时变化率.罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形))()((b f a f =,而柯西中值定理又是它的推广.2． 洛必达法则定理1(00型) 设 （1）当a x →时,函数)(x f 及)(x F 都趋于零;（2）在点a 的某去心邻域内,)(x f '及)(x F '都存在，且0)(≠'x F ;（3）)()(lim x F x f a x ''→存在(或为无穷大); 那么 )()(lim )()(lim x F x f x F x f a x a x ''=→→. 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.注意 （1）如果)()(x F x f ''当a x →时仍属00型，且这时)(x f '，)(x F '能满足定理1中)(x f ，)(x F 所要满足的条件，那么可以继续使用洛必达法则，即)()(lim )()(lim )()(lim x F x f x F x f x F x f a x a x a x ''''=''=→→→. 且可以以此类推.（2）定理1中,将""a x →改为""+∞→x ,""-∞→x 或者""∞→x ,在相应的条件下,结论也成立. 例如，对于""∞→x 时的未定式00有以下定理. 定理2(0型) 设 （1）当∞→x 时,函数)(x f 及)(x F 都趋于零;（2）当X x >||时, )(x f '及)(x F '都存在，且0)(≠'x F ; （3）)()(limx F x f x ''∞→存在(或为无穷大); 那么 )()(lim )()(lim x F x f x F x f x x ''=∞→∞→. 注意 对于""a x →或""∞→x 时的未定式∞∞型,也有相应的洛必达法则. 3.泰勒公式泰勒（Taylor ）中值定理1 如果函数)(x f 在0x 处具有n 阶导数，那么存在0x 的一个邻域)(0x U ，对任一)(0x U x ∈,有 +-''+-'+=200000)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f )()(!)(00)(x R x x n x f n n n +-+, （3-3） 其中))(()(0n n x x o x R -= （3-4）公式（3-3）称为)(x f 在0x 处（或按)(0x x -的幂展开）的带有佩亚诺(Peano)余项的n 阶泰勒公式，而)(x R n 的表达式（3-4）称为佩亚诺余项.泰勒（Taylor ）中值定理2 如果函数)(x f 在0x 的某个邻域)(0x U 内具有直到()1+n 阶导数,那么对任一)(0x U x ∈,有+-''+-'+=200000)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f )()(!)(00)(x R x x n x f n n n +-+, （3-5） 其中10)1()()!1()()(++-+ξ=n n n x x n f x R (ξ介于0x 与x 之间). （3-6） 公式（3-5）称为)(x f 在0x 处（或按)(0x x -的幂展开）的带有拉格朗日余项的n 阶泰勒公式，而)(x R n 的表达式（3-6）称为拉格朗日余项.在泰勒公式（3-3）中，如果取00=x ，则有带有佩亚诺(Peano)余项的麦克劳林(Maclaurin)公式+''+'+=2!2)0()0()0()(x f x f f x f )(!)0()(n n n x o x n f ++. （3-7） 在泰勒公式（3-5）中，如果取00=x ，则ξ介于0与x 之间.因此可以令()10<<=θθξx ，于是得到带有拉格朗日余项的麦克劳林公式+''+'+=2!2)0()0()0()(x f x f f x f ()1)1()(!1)(!)0(+++++n n n n x n x f x n f θ ()10<<θ. （3-8）常用函数的n 阶麦克劳林展开式：)(!!212n n x x o n x x x e +++++= ; )()!12()1(!7!5!3sin 2121753n n n x o n x x x x x x +--++-+-=-- ; )()!2()1(!6!4!21cos 122642++-++-+-=n n n x o n x x x x x ; )()1(32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-+-+-=+- ; )(1112n n x o x x x x+++++=- ; +-++=+2!2)1(1)1(x x x αααα )(!)1()1(n n x o x n n ++--+ααα .4.函数的单调性与曲线的凹凸性（1）函数单调性的判别法定理1 设函数)(x f y =在],[b a 上连续,在),(b a 内可导.1）如果在),(b a 内0)(≥'x f ,且等号仅在有限多个点处成立，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加；2）如果在),(b a 内0)(≤'x f ,且等号仅在有限多个点处成立，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调减少.如果函数)(x f 在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且在区间内只有有限个驻点，那么驻点和导数不存在的点有可能是函数单调区间的分界点.（2）曲线的凹凸性与拐点定义 设)(x f 在区间I 上连续,如果对I 上任意两点21,x x ,恒有 2)()(22121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 那么称)(x f 在区间I 上的图形是(向上)凹的（或凹弧）;如果恒有2)()(22121x f x f x x f +>⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 那么称)(x f 在区间I 上的图形是(向上)凸的（或凸弧）.定理2 设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内具有一阶和二阶导数,那么1）若在),(b a 内0)(>''x f ,则)(x f y =在],[b a 上的图形是凹的.2）若在),(b a 内0)(<''x f ,则)(x f y =在],[b a 上的图形是凸的.设)(x f y =在区间I 上连续，0x 是I 的内点.如果曲线)(x f y =经过点))(,(00x f x 时,曲线的凹凸性改变了,则称点))(,(00x f x 是这曲线的拐点.找区间I 上连续曲线)(x f y =的拐点可按以下步骤：1） 求)(x f ''；2） 令0)(=''x f ，解出该方程在区间I 内的实根，并求出在区间。

常用十个泰勒展开公式常用泰勒展开公式如下：1、e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。

(-∞<x<∞)4、cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)5、arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)6、arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1)7、arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)8、sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+…… (-∞<x<∞)9、cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)10、arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - …… (|x|<1)11、arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。

如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。

泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。

3-3泰勒公式教 学 内 容一、问题的提出1.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处连续,则有 «Skip Record If...» [«Skip Record If...»]2.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处可导,则有«Skip Record If...»«Skip Record If...»例如, 当«Skip Record If...»很小时, «Skip Record If...» , «Skip Record If...» （如下图）不足: 1、精确度不高；2、误差不能估计。

问题: 寻找函数«Skip Record If...»,使得«Skip Record If...»误差 «Skip Record If...» 可估计设函数«Skip Record If...»在含有«Skip Record If...»的开区间«Skip Record If...»内具有直到«Skip Record If...»阶导数,«Skip Record If...»为多项式函数«Skip Record If...»误差 «Skip Record If...»二、«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的确定分析:1.若在«Skip Record If...»点相交«Skip Record If...»2.若有相同的切线«Skip Record If...»3.若弯曲方向相同«Skip Record If...» «Skip Record If...»近似程度越来越好 xe y =xy +=1o x e y =o xy =)1ln(x y +=。

泰勒公式百科名片泰勒公式在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。

如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。

泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

目录公式定义证明1.麦克劳林展开式2.麦克劳林展开式的应用泰勒展开式1.原理2.余项泰勒简介1.简介公式定义泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。

（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。

）证明我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。

设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。