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k 0 n
k 0 n
~ Ak f ( xk ) f k
Ak (b a ) .
k 0
故求积公式是稳定的.上页Biblioteka 下页4.2 牛顿—柯特斯公式
为便于上机计算，通常在内插求积公式中我们 通常取等距节点，即将积分区间[a,b]划分n等分， 即令步长h=(b-a)/n，且记x0=a, xn=b，则节点记为 xk=x0+kh(k=0,1,…n)，然后作变换: t=(x-x0)/h, 代入 求积系数公式，将会简化计算.
I a
b
ab f ( x ) d x (b a) f ( ) 2
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一般地, 在区间[a, b]上适当选取点xk (k=0,1,,n), 然后用 f(xk) 的加权平均值作为f() 的近似值, 可得到 更为一般的求积公式 n b I f ( x ) d x Ak f ( xk ) I n
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例2 确定求积公式中的待定系数，使其代数精 度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.
I
2h
2 h
f ( x ) d x A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
解 令 f (x)=1, x, x2 代入公式两端并令其相等，得
A1 A0 A1 4h A1 ( h) A1h 0 A1 A1 0 2 16 2 2 3 A1 ( h) A1h ( 2h) A1 A1 h 3 3 8 4 解得 A1 A1 h, A0 h 3 3
a
F ( x ) 已知，在高等数学中可用牛顿—莱布尼兹公式
I a f ( x ) d x F ( b ) F ( a )
进行计算，但在工程计算和科学研究中，经常会遇 到被积函数f(x)的下列一些情况：
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b
（1） f(x)复杂，求原函数困难，列如
f ( x ) ax bx c
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得求积公式为
8 4 8 I f ( x ) d x hf ( h) hf (0) hf (h) 2 h 3 3 3
2h
令 f (x)=x3，得
8 0 x d x h[( h)3 h3 ] 0 2h 3
2h 3
令 f (x)=x4，得
64 5 2h 4 8 16 5 4 4 h x d x h[( h) h ] h 2 h 5 3 3
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k 0
4.1.2 代数精度的概念 数值求积方法的近似方法，为要保证精度，我 们自然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确 地成立，这就提出了所谓代数精度的概念. 定义1 如果求积公式
I a f ( x ) d x
b
k 0
Ak f ( xk )
n
(1) 对所有次数不超过m的多项式都精确成立； (2) 至少对一个m+1次多项式不精确成立， 则称该公式具有m次代数精度.
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4.1.1 数值求积的基本思想 由积分中值定理, 对连续函数f(x), 在区间[a, b] 内至少存在一点，使
I a f ( x ) d x ( b a ) f ( )
只要对平均高度 f() 提供一种近似算法, 便可相应 地获得一种数值求积方法. 即所谓矩形公式. 几何图形见书p98.
n h 0 k 0 a
其中h=max(xi-xi-1)，则称求积公式ΣAkf(xk)是收敛的. 在求积公式ΣAkf(xk)中，由于计算f(xk)可能产 ~ ~ 生误差δk，实际得到 f，即 f ( xk ) f k k. 记 k n n ~ ~ I n ( f ) Ak f ( xk ), I n ( f ) Ak f k .
ba 右 [1 1] b a, 2 当 f(x)=x时，
a
此时公式精确成立。
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对于求积公式
I f ( x ) d x Ak f ( xk ) I n
b a k 0
n
给定n+1个互异的求积节点 x0 , x1,, xn-1, xn , 令求积公式对 f(x)=1, x, , xn 精确成立,即得 A0 A1 An b a 2 b a2 A x A x A x 1 1 n n 0 0 2 b n 1 a n 1 n n n A0 x0 A1 x1 An xn n1 求解该方程组即可确定求积系数Ak, 所得到的求积公 式至少具有n 次代数精度.
a
b
由上式确定系数的公式称为插值型求积公式。
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由插值余项定理, 其求积余项为
R( f ) I I n [ f ( x ) Ln ( x )]dx
a b
b
a
f ( n1) ( ) n ( x xk )dx ( n 1)! k 0
其中=(x)
如果求积公式是插值型的，按照插值余项式
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1 f ( x) 4 1 x
以上的 4种情况都不能用牛顿—莱布尼兹公 式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需 要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题； 另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也 相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算 问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的 方法。
a k 0
其中：点xk叫求积节点, 系数Ak叫求积系数. Ak仅与节 点xk的选取有关, 而与被积函数 f(x)无关.
求积公式的截断误差为 n b R( f ) I I n a f ( x ) d x Ak f ( xk )
R(f) 又称为求积余项. 这类数值积分方法通常称为机械求积，其特点 是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开 了牛-莱公式寻求原函数的困难.
确定参数xk和Ak的代数问题.
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4.1.3 插值型求积公式 设给定一组节点 a x0 x1 xn1 xn b 且已知f(x)在这些节点上的函数值 f(xk), 则可求得f(x) 的拉格朗日插值多项式(因为Ln(x)的原函数易求)
Ln ( x ) f ( x k )l k ( x )
故求积公式具有3次代数精度.
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如果我们事先选定求积节点xk，譬如，以区间 [a, b]的等距分点作为节点，这时取m=n求解方程组 即可确定求积系数Ak，而使求积公式至少具有 n次 代数精度. 本章第2节介绍这样一类求积公式，梯形 公式是其中的一个特例.
如为了构造出上面的求积公式，原则上是一个
j 0
n
注意到lk(xj)=δkj，上式右端实际上即等于Ak，因而
下面式子成立.
Ak l k ( x ) d x k 0,1,, n.
a
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b
综上所述，我们有结论为
结论1 具有n+1个节点的数值求积公式
I f ( x ) d x Ak f ( xk )
b a k 0 n
2
（2） f(x)的原函数不能用初等函数形式表示，例如
1 sin x x2 2 f ( x) , e , sin x , ln x x
（3） f(x)的原函数虽然可用初等函数形式表示，但 其原函数表示形式相当复杂，例如
（4） f(x)本身没有解析表达式，其函数关系由表格 或图形给出，列如为实验或测量数据.
~ In ( f ) In ( f )
~ Ak [ f ( xk ) f k ] ,
k 0
n
成立，则称求积公式ΣAkf(xk)是稳定的，
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定理2 若求积公式ΣAkf(xk)中所有系数Ak>0， 则此求积公式是稳定的.
证明 对任给ε>0，若取δ=ε/(b-a), 对所有k都有 ~ f ( x k ) f k ( k 0,1, , n) n 则有 ~ ~ I n ( f ) I n ( f ) Ak [ f ( xk ) f k ]
子，对于次数不超过n的多项式f(x)，其余项 R(f )
等于零，因而这时求积公式至少具有n次代数精度.
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反之，如果求积公式至少具有n次代数精度，
则它必定是插值型的. 事实上，这时求积公式对
于插值基函数 lk(x)应准确成立，即有
b
a
l k ( x )dx A j l k ( x ) Ak .
第4章
• 4.1 引言
数值积分与数值微分
本章基本内容
• 4.2 牛顿—柯特斯公式
• 4.3 复化求积公式
• 4.4 龙贝格求积公式
• 4.5 高斯求积公式
• 4.6 数值微分
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4.1 引
言
实际问题当中常常要计算积分，有些数值方法， 如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相 联系. b 对定积分 I f ( x ) d x 的被积函数 f (x ) 的原函数
b
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例如, 用区间[a, b]两端点的函数值 f(a)与f(b)的
算术平均值作为f() 的近似值, 可导出求积公式
I
b a
ba f ( x) d x [ f (a ) f (b)] 2
这便是人们所熟知的梯形公式. 如果改用区间[a, b]的中点 c=(ab)/2 处的函数值 f(c)近似代替f(), 则又可导出所谓(中)矩形公式
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4.2.1 牛顿—柯特斯公式
ba , 设将积分区间[a, b]划分成 n等分,步长h= n
求积节点取为xk=a+kh (k = 0,1,,n),由此构造插值型 求积公式, 则其求积系数为
