广东商学院微积分II10年试题(A卷)
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广 东 商 学 院 试 题
2009-2010学年第二学期 考试时间120分钟
课程名称 微积分II （A 卷）课程代码：100013 共 2 页
…………………………………………………………………………………………………………
一、填空题（每题3分，共30分）
1、函数 的定义域是____________.
2、设 ，则=')(x f ________________.
3、广义积分⎰1
3
1
dx x
的敛散性为_____________.
4、⎰
-=1
1
2
2dx xe x
____________ .
5、若=-+=dz y x xy z 则,ln .
6、微分方程 的通解是 ____.
7、级数 的敛散性为 .
8、 已知边际收益R /(x)=3x 2+1000,R(0)=0,则总收益函数R(x)=____________.
9、交换 的积分次序= . 10、微分方程 的阶数为 _____阶. 二、单选题（每题3分，共15分）
1、下列级数收敛的是（ ）
A ，
B ，
C ，
D ， 2、，微分方程x y x
y
=+
1
/
的通解为（ ）
A ，c x y +=
331 B ，x c x y 1
)31(3+= C ， 231x y = D ，x
c x y 1
)(3+= 3、设D 为：122
≤+y x
，二重积分σd y x D
⎰⎰+22=（ ）
A,
314 B, π4 C,π3
2
D ，0
y x z -=dt 2t
)(lnx
⎰
=x f ∑∞
=+1
3
51n
n n 0sin )(2104=+'-''x y y x y ∑∞=1)45(n n ∑∞=13n n
x
y
dx dy =∑∞
=+121n n ⎰⎰
----1
1112
2
),(x x dydx y x f ∑∞=1!1n n
4、 若 A, //v u f f + B, //32v u f xy f +⋅
C,/2/v u f x f +⋅
D, /2/)3(v u f y x y x f ++⋅
5、2
）1ln(lim
x dt
t x
x ⎰
+→=（ ）
A, 0 B, 1 C, 2 D,
2
1
三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共32分） 1．已知⎰+=1
/.)(求,1
)(dx x xf x x x f
2. 求
⎰⎰D
yd x σ2
，其中D 是由 ，x=1和x 轴围成的区域。
3. 已知z=f(x,y)由方程0=+++y z e e
xy z
确定，求
y
z
x z ∂∂∂∂, 4.判定级数∑∞
=-1
n
!3）1（n n
n 的敛散性.
四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）：
1. 求由 和x 轴围成的图形的面积及该图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积。
2. 已知
x
表示劳动力，y
表示资本，某生产商的生产函数为
2254830010001000),(y x xy y x y x f z ---++==，劳动力的单位成本为200元，，每单位资本的成本为400元，总预算为100000元，问生产商应如何确定x 和y ，使产量达到最大？。
五、证明题（5分）
⎰⎰+=-≠-=a a a dx x f a dx x f x x f 0a
03
2
.)
1(3)(，证明1其中,)()(设
x y
=e ,1,1
===x x x y )
(则
,3,),,(2
=∂∂+===y
z
y x v y x u v u f z
广东商学院试题试题参考答案及评分标准 2009-2010学年第二学期
课程名称 微积分II （A 卷）课程代码100013 共2页
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一，
填空题（每小题3分，共30分）
1,
{}x
y y x ≤),( 2，
x
x
ln 2 3，发散 4，0 5，dy
y
dx x
)11
(
)11
（
-++
6，y=cx 7，收敛 8，R(x)=x 3+1000x 9， 10，2 二， 单选题（每小题3分，共15分） 1，B 2，B 3，C 4，C 5，D 三，
计算题（每小题8分，共32分）
1、 解：分）
2（1
1
10
1
/
1
)1()()
()(⎰
⎰⎰+-
=-
=dx
x x f dx x f x xf dx x xf
令
分）
4（22,1,
1tdt
dx t x t x =-==+
分）
8（1
/分）
6（2
1
2
1
3分）
4（21
3
4
267)2323
4
()1()(23
2
34)232()1(21
⎰⎰
⎰
-=-
-=∴
-=
-=-=
+f dx x xf t t dt
t dx x x
2、
分）
8（分）
6(1
4
1
03
分）
4(1
022分）
2(0
2
10
2
8
18
1212
1=====
⎰⎰
⎰
⎰⎰⎰x dx
x dx
y x dydx
y x yd x x x
D
σ
3、整理方程得：
分）2（0),,（=+++=y z e e z y x F xy
z
分）
4（1,1,
+=∂∂+=∂∂=∂∂z zy xy e z
F
xe y F
y e x
F
分）
8（分）
6(11,
1++-=∂∂∂∂-=∂∂+-=∂∂∂∂-=∂∂z
zy z xy e xe z
F y F
y z e ye z
F x F
x z
4、先用比值判别法判别∑
∞
=1!3n n n 的敛散性， （2分）
⎰⎰
----11112
2
),(y y dxdy
y x f
分）
6(分）
4（11101
3
lim 3!.）！1（3lim lim <=+=+=∞
→+∞→+∞→n n n u u n n n n n
n n
∑∞
=1!3n n n 收敛，所以∑∞
=-1
n !3）1（n n n 绝对收敛。
（8分） 四，
应用题（每小题9分，共18分）
1、解：
⎰===
e
e
x
dx
x s 1
分）
4（1
分）
2(1
ln 1
⎰
-=-==e
e
e
x
dx
x
V 1
分）
9（分）
8（1
分）
6（2
)
1
1()
1
(1
πππ
2、 解：约束条件为200x+400y-100000=0 （2分） 构造拉格朗日函数，
)100000400200(54830010001000)
100000400200(),(),(22-++---++=-++=y x y x xy y x y x y x f y x L λλ （4分）
,求一阶偏导数，
01000004002000
4001083000200881000///=-+==+--==+--=y x L y x L x y L y x λλλ（6分） 得唯一解为：⎩⎨
⎧==23040
y x ， （8分）
根据实际意义，唯一的驻点就是最大值点，该厂获得最大产量时的x 为40，y 为230. （9分） 五、证明题（5分） 证明：设
⎰=a
b
dx
x f 0
)(对等式两边积分，得： （2分）
⎰⎰-=-=-==
a
a
a
ab a bx x dx b x dx x f b 0
3
03
231)3
1
()()( （4分）
解得：
)1(33
+=
a a
b 题设结论得证。
（5分）。
