湖南省长沙市第一中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析

湖南省2017—2018学年高一数学上学期期中考试卷（三）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知A={x|x+1＞0}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2}C．{﹣1，0，1}D．{0，1}2．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y= B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|3．已知函数f（x）=，则f（﹣2）=（）A．﹣4 B．4 C．8 D．﹣84．设f（x）=3x+3x﹣8，现用二分法求方程3x+3x﹣8=0在区间（1，2）内的近似解的，计算得f（1）＜0，f（1.25）＜0，f（1.5）＞0，f（2）＞0，则方程的根落在的区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定5．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（）A．y=log2x B．y=2x C． D．y=2.61cosx6．设，，c=log24，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c7．若函数y=（2a﹣1）x在R上为单调减函数，那么实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．C．a≤1 D．8．若集合A={x|log2x≤﹣2}，则∁R A=（）A．B．C．D．[，+∞）9．已知函数f（x）=x2﹣kx﹣1在[5，+∞）上单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，10）B．（﹣∞，10]C．[10，+∞）D．（10，+∞）10．函数y=|lg（x+1）|的图象是（）A．B．C．D．11．奇函数y=f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，且f（2）=0，则不等式f（x）≥0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2]∪（0，2]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[0，2]D．（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）12．已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A．（0，1） B． C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.）13．函数y=﹣lg（x+1）的定义域为．14．如果幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，），则f（4）的值等于．15．设f（x）是周期为2的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x，则=．16．下列四个命题：（1）函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上也单调递增，所以f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是增函数；（2）若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0；（3）符合条件{1}⊆A⊆{1，2，3}的集合A有4个；（4）函数f（x）=有3个零点．其中正确命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.）17．计算：（1）；（2）lg﹣lg+lg．18．已知函数．（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；（2）若f（x）在上的值域是，求a的值．19．已知集合A={x|x2﹣4x﹣5≥0}，集合B={x|2a≤x≤a+2}．（1）若a=﹣1，求A∩B和A∪B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．20．设f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y=x，当x＞2时，y=f（x）的图象是顶点为P（3，4），且过点A（2，2）的抛物线的一部分．（1）求函数f（x）在（2，+∞）上的解析式；（2）在直角坐标系中直接画出函数f（x）的图象；（3）写出函数f（x）的值域及单调增区间．21．某上市股票在30天内每股的交易价格P（元）与时间t（天）组成有序数对（t，P），点（t，P）落在下图中的两条线段上，该股票在30天内（包括30天）的日交易量Q（万股）与时间t（天）的部分数据如下表所示．（1）根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；（2）根据表中数据确定日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式；（3）在（2）的结论下，用y（万元）表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几日交易额最大，最大值为多少？22．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有成立．（1）判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明它；（2）解不等式f（x2）＜f（2x）；（3）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有的a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、单项选择题1．D 2．C．3．B 4．B．5．A．6．D．7．B8．B．9．B．10．A 11．D12．C．二、填空题13．答案为：{x|x≥1}．14．答案为：2．15．答案为：．16．答案为：（3）（4）．三、解答题17．解：（1）==5÷=10．（2）lg﹣lg+lg===．18．证明：（1）证明：设x2＞x1＞0，则x2﹣x1＞0，x1x2＞0，∵=，∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）在（0，+∞）上是单调递增的．（2）∵f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，∴f（x）在上单调递增，∴，∴．19．解：（1）a=﹣1时，集合A={x|x2﹣4x﹣5≥0}={x|x≤﹣1或x≥5}，集合B={x|2a≤x≤a+2}={x|﹣2≤x≤1}，∴A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}，A∪B={x|x≤1或x≥5}．（2）∵A∩B=B，∴B⊆A，当B=∅时，2a＞a+2，解得a＞2；当B≠∅时，或，解得a≤﹣3．综上，a＞2或a≤﹣3．20．解：（1）∵当x＞2时，y=f（x）的图象是顶点在p（3，4），且过点A（2，2）的抛物线的一部分，可设y=a（x﹣3）2+4，再把点A（2，2）代入，可得2=a+4，求得a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣3）2+4（x＞2）．∴由于函数f（x）在R上是偶函数，它的图象关于y轴对称，故函数的解析式为f（x）=．（2）函数f（x）的图象如图所示：（3）由图象可得，函数f（x）的值域为（﹣∞，4]，单调增区间为（﹣∞，﹣3]，[0，3]．21．解：（1）（2）设Q=at+b（a，b为常数），将（4，36）与（10，30）的坐标代入，得．日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式为Q=40﹣t，0＜t≤30，t∈N*．（3）由（1）（2）可得即当0＜t≤20时，当t=15时，y max=125；当上是减函数，y＜y（20）＜y（15）=125．所以，第15日交易额最大，最大值为125万元．22．解：（1）f（x）是[﹣1，1]上的增函数．理由：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）∵＞0，即＞0，∵x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0．则f（x）是[﹣1，1]上的增函数．（2）由（1）可得f（x）在[﹣1，1]递增，可得不等式f（x2）＜f（2x），即为即解得0＜x≤，则解集为（0，]；（3）要使f（x）≤m2﹣2am+1对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，只须f（x）max≤m2﹣2am+1，即1≤m2﹣2am+1对任意的a∈[﹣1，1]恒成立，亦即m2﹣2am≥0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．令g（a）=﹣2ma+m2，只须，解得m≤﹣2或m≥2或m=0，则实数m的取值范围是{m|m=0或m≤﹣2或m≥2}．。

湖南省2017—2018学年高一数学上学期期中考试卷（四）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4}B．{3，4}C．{3}D．{4}2．三个数a=0.67，b=70.6，c=log0.76的大小关系为（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a3．下列四组中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）A．f（x）=x，B．f（x）=x，C．f（x）=x2，D．f（x）=|x|，g（x）=4．已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+，则下列结论正确的是（）A．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数B．f（x）是偶函数，g（x）是奇函数C．f（x）和g（x）都是偶函数D．f（x）和g（x）都是奇函数5．已知函数f（x）=为自然对数的底数，则f[f（e）]=（）A．0 B．1 C．2 D．eln 26．已知幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（）的值为（）A．B．C．﹣4 D．47．函数/f（x）=（）x+3x的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（0，1） C．（﹣1，0）D．（1，2）8．函数f（x）=a（0＜a＜1）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，） B．（，+∞）C．（﹣∞，﹣）D．（﹣，+∞）9．函数f（x）=ln（|x|﹣1）的大致图象是（）A．B．C．D．10．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，则不等式f（lgx）＞f（﹣2）的解集是（）A．（，100）B．C．（，+∞）D．（0，）∪11．已知投资x万元经销甲商品所获得的利润为P=；投资x万元经销乙商品所获得的利润为Q=（a＞0）．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为（）A．B．5 C．D．2二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12．若100a=5，10b=2，则2a+b=．13．函数f（x）=的定义域是．14．若函数f（x）=|2x﹣2|﹣m有两个不同的零点，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（1）计算：27﹣2×log2+log23×log34；（2）已知0＜x＜1，且x+x﹣1=3，求x﹣x的值．16．已知A={x|2x2+ax+2=0}，B={x|x2+3x﹣b=0}，且A∩B={2}．（1）求a，b的值；（2）设全集U=AUB，求（∁U A）U（∁U B）．17．已知函数f（x）=b•a x（a＞0，且a≠1，b∈R）的图象经过点A（1，6），B （3，24）．（1）设g（x）=﹣，确定函数g（x）的奇偶性；（2）若对任意x∈（﹣∞，1]，不等式（）x≥2m+1恒成立，求实数m的取值范围．一、本大题共2个小题，每小题6分，共12分．18．设所有被4除余数为k（k=0，1，2，3）的整数组成的集合为A k，即A k={x|x=4n+k，n∈Z}，则下列结论中错误的是（）A．2016∈A0 B．﹣1∈A3C．a∈A k，b∈A k，则a﹣b∈A0D．a+b∈A3，则a∈A1，b∈A219．若函数f（x）=lg（ax﹣1）﹣lg（x﹣1）在区间[2，+∞）上是增函数，则a 的取值范围是．三、本大题共3个大题，共38分．（本小题满分38分）20．已知函数f（x）=x2+4ax+2a+6．（1）若函数f（x）=log2f（x）的最小值为2，求a的值；（2）若对任意x∈R，都有f（x）≥0成立，求函数g（a）=2﹣a|a+3|的值域．21．今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现，每一天中空气污染指数与f（x）时刻x（时）的函数关系为f（x）=|log25（x+1）﹣a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a 为空气治理调节参数，且a∈（0，1）．（1）若a=，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？22．已知函数f（x）=，g（x）=ax﹣3．（1）当a=l时，确定函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若对任意x∈[0，4]，总存在x0∈[﹣2，2]，使得g（x0）=f（x）成立，求实数a的取值范围．参考答案一、单项选择题：1．B2．C．3．D；4．A．5．C．6．D．7．C．8．B9．B．10．D．11．A．二、填空题：12．答案为1．13．答案为：（﹣∞，0）．14．答案为：（0，2）．三、解答题：15．解：（1）原式=﹣×+=9﹣×（﹣3）+2=11+3．（2）∵x+x﹣1=3，∴=x+x﹣1﹣2=3﹣2=1，∵0＜x＜1，∴x＜x﹣1，∴x﹣x=﹣1．16．解：（1）把x=2代入A中方程得：8+2a+2=0，解得：a=﹣5，把x=2代入B中方程得：4+6﹣b=0，解得：b=10；（2）由（1）得：A={，2}，B={﹣5，2}，∴全集U=A∪B={﹣5，，2}，∴∁U A={﹣5}，∁U B={}，则（∁U A）U（∁U B）={﹣5， }．17．解：（1）根据题意得：，⇒a=2，b=3．∴f（x）=3•2x；故g（x）=；g（x）定义域为R；∵g（﹣x）=；==；=﹣g（x）；所以，g（x）为奇函数．（2）设h（x）==，则y=h（x）在R上为减函数；∴当x≤1时，h（x）min=h（1）=；∵h（x）=≥2m+1在x≤1上恒成立：∴h（x）min≥2m+1⇒m≤；故m的取值范围为：（﹣∞，]．18．D．19．答案为：＜a＜!20．解：（1）函数f（x）=log2f（x）的最小值为2，即f（x）的最小值为4；∵f（x）=x2+4ax+2a+6=（x+2a）2+2a+6﹣4a2≥4；∴2a+6﹣4a2=4⇒a=1 或a=；（2）∵函数f（x）≥0恒成立，∴△=16a2﹣4（2a+6）≤0，计算得出：﹣1；∴g（a）=2﹣a|a+3|=2﹣a（a+3）=﹣（a+）2+；∵g（a）在区间[﹣1，]单调递减；∴g（a）min=g（）=﹣，g（a）max=g（﹣1）=4．∴函数g（a）的值域为[﹣，4]．21．解：（1）a=时，f（x）=|log25（x+1）﹣|+2，x∈[0，24]，令|log25（x+1）﹣|=0，解得x=4，因此：一天中第4个时刻该市的空气污染指数最低．（2）令f（x）=|log25（x+1）﹣a|+2a+1=，当x∈（0，25a﹣1]时，f（x）=3a+1﹣log25（x+1）单调递减，∴f（x）＜f（0）=3a+1．当x∈[25a﹣1，24）时，f（x）=a+1+log25（x+1）单调递增，∴f（x）≤f（24）=a+1+1．联立，解得0＜a≤．可得a∈．因此调节参数a应控制在范围．22．解：（1）由题意：当a=l时，确定函数h（x）=f（x）﹣g（x）=）=﹣x+3．∵x∈（0，+∞）则=＞0，∴h（x）在（0，+∞）上是单调增函数．（2）由题意：x∈[0，4]上函数f（x）=的值域M=[3，5]，设函数g（x）=ax﹣3的值域N．∵x0∈[﹣2，2]，g（x）=ax﹣3．当a=0时，g（x）=﹣3，即值域N={﹣3}，∵M⊆N，∴不满足题意．当a＞0时，函数g（x）在定义域内为增函数，其值域N=[﹣2a﹣3，2a﹣3]，∵M⊆N，∴需满足，解得：a≥4．当a＜0时，函数g（x）在定义域内为减函数，其值域N=[2a﹣3，﹣2a﹣3]，∵M⊆N，∴需满足解得：a≤﹣4．综上所得：对任意x∈[0，4]，总存在x0∈[﹣2，2]，使得g（x0）=f（x）成立，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．。

湖南省2017—2018学年高一数学上学期期中考试卷（二）（考试时间100分钟满分120分）一、单项选择题（每小题5分，共60分）1．若全集U={1，2，3，4，5}，A={2，4，5}，B={1，2，5}，则（∁U A）∩B=（）A．{2，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4，5}D．{1}2．已知x3=4，则x等于（）A．B．C．log34 D．log433．函数y=的定义域为（）A．{x|x＜1}B．{x|x≥1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x≤1}4．下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是（）A．B．C．D．5．下列函数中，增长速度最慢的是（）A．y=e x B．y=lnx C．y=x100D．y=2x6．函数的递减区间是（）A． B．（0，+∞）C．（0，1]D．[1，+∞）7．y=的图象大致是（）A． B．C．D．8．关于函数f（x）=x2﹣2x+1的零点，下列说法正确的是（）A．因为f（0）⋅f（2）＞0，所以f（x）在（0，2）内没有零点B．因为1是f（x）的一个零点，所以f（0）⋅f（2）＜0C．由于f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，所以f（x）在（﹣∞，0）内有唯一的一个零点D．以上说法都不对9．对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）是偶函数C．f（x）是非奇非偶函数D．f（x）既是奇函数又是偶函数10．函数f（x）=的零点为（）A．﹣4或﹣2 B．﹣4或2 C．﹣2或4 D．﹣2或211．集合M由正整数的平方组成，即M={1，4，9，16，25，…}，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的，M对下列运算是封闭的是（）A．加法B．减法C．乘法D．除法12．已知a，b是两个不相等的实数，集合A={a2﹣4a，﹣1}，B={b2﹣4b+1，﹣2}，若映射f：x→x表示将集合A中的元素x映射到集合B中仍然为x，则a+b 等于（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算：=．14．某班现有学生40人，其中15人喜爱篮球运动，20人喜爱排球运动，另有10人对这两项运动都不感兴趣（即均不喜爱），则该班喜爱排球运动但不喜爱蓝球运动的人数为．15．已知集合A={（x，y）|x2=y+1，|x|＜2，x∈Z}，试用列举法表示集合A=．16．已知函数的图象表示打字练习的“学习曲线”，其中N表示打字速度（字/min），t（h）表示达到打字水平N（字/min）所需要的学习时间．依此学习规律要想达到90字/min的打字速度，所需的学习时间为小时．三、解答题（本大题共5小题，共40分）17．已知某种病毒每经30min繁殖为原来的2倍，并且这种病毒的繁殖规律为y=e kt，其中k为常数，t表示时间，单位：h，y表示病毒个数．（1）求常数k；（2）经过5h，1个这样的病毒能繁殖为多少个？18．是否存在这样的实数a，使得函数f（x）=x2+（3a﹣2）x+a﹣1图象在区间（﹣1，3）上与x轴有且只有一个交点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．19．已知函数f（x）=x2+bx+c，且f（1）=0．（1）若函数f（x）是偶函数，求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最大值和最小值；（3）要使函数f（x）在区间[﹣1，3]上单调递增，求b的取值范围．20．已知函数（k∈Z）在（0，+∞）上为增函数．（1）求k值，并写出相应的f（x）的解析式；（2）对于（1）中得到的函数f（x），试判断是否存在正实数m，使得函数g（x）=1﹣mf（x）+（2m﹣1）x在区间[﹣1，2]上的值域为？若存在，求出m值；若不存在，请说明理由．21．若非零函数f（x）对于任意的实数a，b均有f（a+b）=f（a）⋅f（b），且当x＜0时，f（x）＞1．（1）求f（0）的值；（2）求证：；（3）求证：f（x）＞0；（4）求证：f（x）为减函数；（5）当时，解不等式f（x2+x﹣3）⋅f（5﹣x2）≤．参考答案一、单项选择题1．D．2．B3．A．4．C．5．B．6．B．7．B8．D．9．A．10．B．11．C．12．D．二、填空题13．答案为：414．答案为：15．15．答案为：{（﹣1，0），（0，﹣1），（1，0）}，16．答案为：144．三、解答题17．解：（1）∵t=0时，y=1，t=0.5时，y=2，∴2=e0.5k，解得k=2ln2=ln4．（2）由（1）知，∴当t=5时，y=45=210=1024．∴经过5h，1 个这样的病毒能繁殖1024个．18．解：∵△=（3a﹣2）2﹣4（a﹣1）=9a2﹣16a+8＞0，∴函数f（x）必有两个不相等的零点．又函数f（x）的图象在区间（﹣1，3）上与x轴有且只有一个交点，∴由零点存在性定理，可得f（﹣1）⋅f（3）≤0，即（2﹣2a）⋅（10a+2）≤0，解得a≤或a≥1．因此存在实数满足题设条件．19．解：（1）∵函数为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），x∈R恒成立，即：x2﹣bx+c=x2+bx+c∴b=0又∵f（1）=0．∴c=﹣1∴f（x）=x2﹣1；（2）由（1）易知其对称轴为：x=0∴当x=0时， f（x）min=﹣1，当x=3时，f（x）max=8；（3）∵函数f（x）在区间[﹣1，3]上单调递增∴，∴b≥2即b≥2时，f（x）在区间[﹣1，3]上是递增的．20．解：（1）依题意，﹣k2+k+2＞0，即k2﹣k﹣2＜0⇒﹣1＜k＜2，又k∈Z，∴k=0或1，故f（x）=x2．（2）由（1）知g（x）=﹣mx2+（2m﹣1）x+1，（其中m＞0，x∈[﹣1，2]），因而，g（x）图象的开口向下，对称轴为，由于g（﹣1）=2﹣3m，g（2）=﹣1∈，，结合图象，只可能有2﹣3m=﹣4⇒m=2，此时符合题意．所以，存在实数m=2满足题意．[本题因为g（2）=﹣1∈，所以不可能出现的情形．] 21．解：（1）取a=b=0，得f（0）=[f（0）]2，而f（x）≠0，所以f（0）=1．证明：（2）取a=x，b=﹣x，则f（0）=f（x）•f（﹣x）=1，则．证明：（3）由（2）及x＜0时，f（x）＞1，可知∈（0，1），即x＞0时，f（x）∈（0，1）．再结合（1）知f（x）＞0，x∈R．证明：（4）当b＜0时，a+b＜a，f（b）＞1，f（a）＞0，∴f（a+b）=f（a）⋅f（b）＞f（a）⋅1=f（a），故f（x）为减函数．（5）∵，且f（2）＞0，∴．于是不等式f（x2+x﹣3）⋅f（5﹣x2）≤可以化为f（x+2）≤f（2），再由f（x）为R上的减函数得x+2≥2⇒x≥0∴不等式的解集为[0，+∞）．。

2017-2018学年湖南省长沙一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）全集U=R，A={x|x（x+3）＜0}，B={x|x＜﹣1}，则阴影部分表示的集合为（）A．{x|x＞0}B．{x|﹣3＜x＜0}C．{x|x＜﹣1}D．{x|﹣3＜x＜﹣1} 2．（5分）集合M={x|x=5k﹣2，k∈Z}，P={x|x=5n+3，n∈Z}，S={x|x=10m+3，m∈Z}之间的关系是（）A．S⊊P⊊M B．S=P⊊M C．S⊊P=M D．P=M⊊S3．（5分）利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：那么方程2x=x2的一个根位于下列区间的（）A．（0.6，1.0）B．（1.4，1.8）C．（1.8，2.2）D．（2.6，3.0）4．（5分）在同一坐标系中，函数与y=log a（﹣x）（其中a＞0且a≠1）的图象只可能是（）A． B． C．D．5．（5分）已知，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a6．（5分）已知函数f（x）是R上的偶函数，且f（x+6）=f（x），当x∈（﹣3，0）时，f（x）=2x﹣5，则f（8）=（）A．﹣1 B．﹣9 C．5 D．117．（5分）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．B． C．D．8．（5分）函数f（x）=2x+log2|x|的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．39．（5分）一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）t等于（）A．lg B．lg C．D．10．（5分）设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]都有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“依函数”，区间[a，b]为“依区间”，设f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x﹣3在区间[a，b]上是“依函数”，则它的“依区间”可以是（）A．[3，4]B．[2，4]C．[2，3]D．[1，4]11．（5分）已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g （x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式成立的是（）A．f（1）＜f（a）＜f（b） B．f（a）＜f（b）＜f（1） C．f（a）＜f（1）＜f （b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）12．（5分）已知函数f（x）=且f（2a）﹣（2a+2）2＜f（12﹣a）﹣（14﹣a）2，则实数a的取值范围为（）A．（2，4） B．（4，14）C．（2，14）D．（4，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）幂函数f（x）的图象过点，那么f（8）的值为．14．（5分）已知集合A中元素（x，y）在映射f下对应B中元素（x+y，x﹣y），则B中元素（4，﹣2）在A中对应的元素为．15．（5分）函数y=log（x2﹣2x﹣3）的单调减区间为．16．（5分）已知函数f（x）满足对任意实数m，n，都有f（m+n）=f（m）+f（n）﹣1，设g（x）=f（x）+（a＞0，a≠0），若g（ln2017）=2018，则=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）计算：（1）（2）．18．（12分）已知集合A={ x|0＜ax+1≤3}，集合B={ x|﹣＜x＜2}．（1）若a=1，求C A B；（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）若直线y=m与该图象有三个公共点，从左至右分别为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），求s=x1+x2•x3的取值范围．20．（12分）某商场经营一批进价为a元/台的小商品，经调查得知如下数据．若销售价上下调整，销售量和利润大体如下：（1）在下面给出的直角坐标系中，根据表中的数据描出实数对（x，y）的对应点，并写出y与x的一个函数关系式；（2）请把表中的空格里的数据填上；（3）根据表中的数据求P与x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？21．（12分）已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=2log2（1﹣x）．（1）求函数f（x）及g（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（2x）=m有解，求实数m的取值范围．22．（12分）已知f（x）=ax2+bx+c（a，b∈R，a≠0）．（I）当a=1，b=2时，若存在实数x1，x2（x1≠x2）使得|f（x i）|=2（i=1，2），求实数c的取值范围；（II）若a＞0，函数f（x）在[﹣5，﹣2]上不单调，且它的图象与x轴相切，记f（2）=λ（b﹣2a），求实数λ的取值范围．2017-2018学年湖南省长沙一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）全集U=R，A={x|x（x+3）＜0}，B={x|x＜﹣1}，则阴影部分表示的集合为（）A．{x|x＞0}B．{x|﹣3＜x＜0}C．{x|x＜﹣1}D．{x|﹣3＜x＜﹣1}【解答】解：阴影部分表示的集合为A∩B，而A={x|x（x+3）＜0}={x|﹣3＜x ＜0}，故A∩B={x|﹣3＜x＜﹣1}，故选：D．2．（5分）集合M={x|x=5k﹣2，k∈Z}，P={x|x=5n+3，n∈Z}，S={x|x=10m+3，m∈Z}之间的关系是（）A．S⊊P⊊M B．S=P⊊M C．S⊊P=M D．P=M⊊S【解答】解：∵集合M={x|x=5k﹣2=5（k﹣1）+3，k∈Z}，P={x|x=5n+3，n∈Z}，∴M=P，S={x|x=10m+3，m∈Z}=S={x|x=5×2m+3，m∈Z}⊊P={x|x=5n+3，n∈Z}，∴S⊊P=M，故选：C．3．（5分）利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：那么方程2x=x2的一个根位于下列区间的（）A．（0.6，1.0）B．（1.4，1.8）C．（1.8，2.2）D．（2.6，3.0）【解答】解：令f（x）=2x﹣x2，由表知f（1.8）=3.482﹣3.24＞0，f（2.2）=4.595﹣4.84＜0，∴方程2x=x2的一个根所在的区间为（1.8，2.2）．故选：C．4．（5分）在同一坐标系中，函数与y=log a（﹣x）（其中a＞0且a≠1）的图象只可能是（）A． B． C．D．【解答】解：，由图易知故选C5．（5分）已知，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a【解答】解：a=∈（0，1），b=＜0，c=log23＞1．∴c＞a＞b．故选：B．6．（5分）已知函数f（x）是R上的偶函数，且f（x+6）=f（x），当x∈（﹣3，0）时，f（x）=2x﹣5，则f（8）=（）A．﹣1 B．﹣9 C．5 D．11【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+6）=f（x），则f（8）=f（2），又由函数为偶函数，则f（2）=f（﹣2），又由当x∈（﹣3，0）时，f（x）=2x﹣5，则f（﹣2）=2×（﹣2）﹣5=﹣9；则有f（8）=f（2）=f（﹣2）=﹣9；故选：B．7．（5分）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．B． C．D．【解答】解：∵函数的定义域为R，∴对任意x∈R，ax2﹣x+a≠0恒成立，若a=0，则x≠0，不合题意；若a≠0，则△=（﹣1）2﹣4a2＜0，解得a或a．∴实数a的取值范围是．故选：B．8．（5分）函数f（x）=2x+log2|x|的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数f（x）=2x+log2|x|的零点个数，即为函数y=﹣2x的图象和函数y=log 2|x|的图象的交点个数．如图所示：数形结合可得，函数y=﹣2x 的图象和函数y=log 2|x|的图象的交点个数为2，故选：C．9．（5分）一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）t等于（）A．lg B．lg C．D．【解答】解：a千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）为t，a（1﹣8%）t=，两边取对数，lg0.92t=lg0.5，即tlg0.92=lg0.5，∴t=故选：C．10．（5分）设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]都有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“依函数”，区间[a，b]为“依区间”，设f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x﹣3在区间[a，b]上是“依函数”，则它的“依区间”可以是（）A．[3，4]B．[2，4]C．[2，3]D．[1，4]【解答】解：由题意f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x﹣3在区间[a，b]上是“依函数”，则|f（x）﹣g（x）|≤1，即|x2﹣3x+4﹣（2x﹣3）|≤1，即，解得：1≤x≤4，所以它的“依区间”是[1，4]故选：D．11．（5分）已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g （x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式成立的是（）A．f（1）＜f（a）＜f（b） B．f（a）＜f（b）＜f（1） C．f（a）＜f（1）＜f （b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）【解答】解：易知函数f（x）=e x+x﹣2在R上是增函数，g（x）=lnx+x﹣2在（0，+∞）上也是增函数；又∵f（a）=0，f（1）=e+1﹣2＞0，g（b）=0，g（1）=0+1﹣2＜0，∴0＜a＜1＜b；故f（a）＜f（1）＜f（b）；故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=且f（2a）﹣（2a+2）2＜f（12﹣a）﹣（14﹣a）2，则实数a的取值范围为（）A．（2，4） B．（4，14）C．（2，14）D．（4，+∞）【解答】解：函数f（x）=在定义域（﹣2，+∞）上为减函数，由2a＞﹣2，且12﹣a＞﹣2得：a∈（﹣1，14），令g（x）=f（x）﹣（x+2）2=，则g′（x）=＜0恒成立，故g（x）为减函数，若f（2a）﹣（2a+2）2＜f（12﹣a）﹣（14﹣a）2，则2a＞12﹣a，解得：a＞4，综上可得：a∈（4，14），故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）幂函数f（x）的图象过点，那么f（8）的值为．【解答】解：设幂函数的解析式为f（x）=xα，∵幂函数f（x）的图象过点，∴4α=，∴α=﹣．∴f（8）===，故答案为：．14．（5分）已知集合A中元素（x，y）在映射f下对应B中元素（x+y，x﹣y），则B中元素（4，﹣2）在A中对应的元素为（1，3）．【解答】解：由题意可得，解得，即B中元素（4，﹣2）在A中对应的元素为（1，3）．故答案为：（1，3）．15．（5分）函数y=log（x2﹣2x﹣3）的单调减区间为（3，+∞）．【解答】解：令t=x2﹣2x﹣3＞0，求得x＜﹣1，或x＞3，故函数的定义域为{x|x＜﹣1，或x＞3}，且函数y=log t，故本题即求二次函数t在定义域内的增区间．再利用二次函数的性值可得t在定义域内的增区间为（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．16．（5分）已知函数f（x）满足对任意实数m，n，都有f（m+n）=f（m）+f（n）﹣1，设g（x）=f（x）+（a＞0，a≠0），若g（ln2017）=2018，则=﹣2015．【解答】解：∵函数f（x）满足对任意实数m，n，都有f（m+n）=f（m）+f（n）﹣1，设令m=m=0，则f（0）=2f（0）﹣1，解得：f（0）=1，令m=x，n=﹣x，则f（0）=f（x）+f（﹣x）﹣1，即f（x）+f（﹣x）=2，∵g（x）=f（x）+（a＞0，a≠0），∴g（﹣x）=f（﹣x）+=f（﹣x）+，故g（x）+g（﹣x）=f（x）+f（﹣x）+1=3，∴g（ln2017）+=2018+=3，即=﹣2015，故答案为：﹣2015三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）计算：（1）（2）．【解答】解：（1）原式=﹣3×3a b=﹣9a；（2）原式=•+log22=+=．18．（12分）已知集合A={ x|0＜ax+1≤3}，集合B={ x|﹣＜x＜2}．（1）若a=1，求C A B；（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=1时，集合A={ x|﹣1＜x≤2}，故集合B={ x|﹣＜x＜2}；∴∁A B={ x|﹣1＜x≤﹣或x=2}；…（5分）（2）A∩B=A，则A⊆B，A中不等式解集分三种情况讨论：①a=0时，A=R，A⊆B不成立；…（7分）②a＜0时，A=\{ x|≤x＜﹣}，由A⊆B得，解得a＜﹣4；…（9分）③a＞0时，A={ x|﹣＜x≤}，由A⊆B得，解得a≥2；…（11分）综上所述，a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）．…（12分）19．（12分）已知函数（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）若直线y=m与该图象有三个公共点，从左至右分别为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），求s=x1+x2•x3的取值范围．【解答】解：（1）函数，当x＞1时，f（x）=lnx递增；当0＜x＜1时，f（x）=﹣lnx递减；当x≤0时，f（x）=2x+3递增，则y=f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0）和（1，+∞），单调递减区间为（0，1）．（2）由题知直线y=m与该图象有三个公共点，则m∈（0，3]，由得，故．20．（12分）某商场经营一批进价为a元/台的小商品，经调查得知如下数据．若销售价上下调整，销售量和利润大体如下：（1）在下面给出的直角坐标系中，根据表中的数据描出实数对（x，y）的对应点，并写出y与x的一个函数关系式；（2）请把表中的空格里的数据填上；（3）根据表中的数据求P与x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？【解答】解：（1）如下图．由图知y是x的一次函数，可求得y=﹣3x+162．（2）（3）由（1）知销售单价为x元时，日销售量y=162﹣3x（台）．由表格知进价为30元，则日销售利润P=（162﹣3x）•（x﹣30）=﹣3x2+252x﹣4860=﹣3（x﹣42）2+432（30≤x≤54）故当x=42时，P取最大值，即销售单价为42元时，可获得最大日销售利润．21．（12分）已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=2log2（1﹣x）．（1）求函数f（x）及g（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（2x）=m有解，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）+g（x）=2log2（1﹣x），∴f（﹣x）+g（﹣x）=2log2（1+x）①，又f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，∴﹣f（x）+g（x）=2log2（1+x）②，∴由①②得：g（x）=log2（1﹣x2），f（x）=log2，（2）由=﹣1+∈（﹣1，1），可得f（2x）＜0，∵当x＜0时，函数f（2x）单调递减，∴当m＜0时，关于x的方程f（2x）=m有解，∴实数m的取值范围是m＜0．22．（12分）已知f（x）=ax2+bx+c（a，b∈R，a≠0）．（I）当a=1，b=2时，若存在实数x1，x2（x1≠x2）使得|f（x i）|=2（i=1，2），求实数c的取值范围；（II）若a＞0，函数f（x）在[﹣5，﹣2]上不单调，且它的图象与x轴相切，记f（2）=λ（b﹣2a），求实数λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：方程x2+2x+c=2有两个不等的根，且x2+2x+c=﹣2无根，所以可得；（Ⅱ）由a＞0，函数f（x）在[﹣5，﹣2]上不单调，且它的图象与x轴相切，可得，即，由f（2）=λ（b﹣2a），得，令，∴2＜t＜8，且=．。