直线与平面的夹角
一、基础过关
1．平面的一条斜线和这个平面所成角θ的范围是
( ) A ．0°<θ<90°
B ．0°≤θ<90°
C ．0°<θ≤90°
D ．0°<θ<180°
2．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，B 1C 与平面ABCD 所成的角是
( ) A ．90°
B ．30°
C ．45°
D ．60°
3．正四面体ABCD 中棱AB 与底面BCD 所成角的余弦值为
( ) A.12 B.13 C.33 D. 3 4．在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则sin α的值是
( ) A.32 B.22 C.104 D.64
5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为
( ) A.23 B.33 C.23 D.63
6．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a ＝(1,0,1)，b ＝(0,1,1)，那么这条斜线与平面所成的角是________．
二、能力提升
7．已知三棱锥S －ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为
( )
A.34
B.54
C.74
D.34 8.如图，∠BOC 在平面α内，OA 是平面α的一条斜线，若∠AOB ＝
∠AOC ＝60°，OA ＝OB ＝OC ＝a ，BC ＝2a ，OA 与平面α所成的
角为________．
9．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中侧棱长为2，底面边长为1，则BC 1
与侧面ACC 1A 1所成的角是__________________________.
10．在正四面体ABCD 中，E 为棱AD 的中点，连接CE ，求CE 和平面BCD 所成角的正弦值．
11.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.PD＝DC，E是PC的中点．求EB与平面ABCD夹角的余弦值．
12.如图，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
三、探究与拓展
13.已知几何体EFG—ABCD如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，
ADGE均为正方形，且边长为1，点M在边DG上．
(1)求证：BM⊥EF；
(2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°，若
存在，试求点M的位置；若不存在，请说明理由．
答案
1．A 2.C 3．C 4．D 5．D
6．60°
7．D
8．45° 9.π6 10．解 如图，过A 、E 分别作AO ⊥平面BCD ，EG ⊥平面BCD ，O 、G 为垂足．
∴AO 綊2GE ，AO 、GE 确定平面AOD ，
连接GC ，则∠ECG 为CE 和平面BCD 所成的角．
∵AB ＝AC ＝AD ，∴OB ＝OC ＝OD .
∵△BCD 是正三角形，
∴O 为△BCD 的中心，连接DO 并延长交BC 于F ，则F 为BC 的中点．令正四面体的棱长为1，
可求得CE ＝
32，DF ＝32，OD ＝33， AO ＝
AD 2－OD 2＝ 1－39＝63， ∴EG ＝66，在Rt △ECG 中，sin ∠ECG ＝EG CE ＝23
. 11．解 取CD 的中点M ，则EM ∥PD ，
又∵PD ⊥平面ABCD ，∴EM ⊥平面ABCD ，
∴BE 在平面ABCD 上的射影为BM ，
∴∠MBE 为BE 与平面ABCD 的夹角，
如图建立空间直角坐标系，
设PD ＝DC ＝1，
则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，
∴M ⎝⎛⎭⎫0，12，0，E ⎝⎛⎭
⎫0，12，12， ∴BE →＝⎝⎛⎭⎫－1，－12，12，BM →＝⎝
⎛⎭⎫－1，－12，0， cos 〈BM →，BE →〉＝BE →·BM →|BE →||BM →|＝1＋1432× 52
＝306，
∴BE 与平面ABCD 夹角的余弦值为306. 12．解 (1)如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系Dxyz .
则DA →＝(1,0,0)，CC ′→＝(0,0,1)．
连接BD ，B ′D ′.
在平面BB ′D ′D 中，延长DP 交B ′D ′于H .
设DH →＝(m ，m,1) (m >0)，
由已知〈DH →，DA →〉＝60°，
由DA →·DH →＝|DA →||DH →|cos 〈DH →，DA →〉，
可得2m ＝2m 2＋1.
解得m ＝2
2，所以DH →＝⎝⎛⎭⎫22，2
2，1.
因为cos 〈DH →，CC ′→〉＝22×0＋2
2×0＋1×1
1×2＝2
2，
所以〈DH →，CC ′→〉＝45°，即DP 与CC ′所成的角为45°.
(2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC →＝(0,1,0)．
因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×
01×2＝1
2，
所以〈DH →，DC →〉＝60°.
可得DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°.
13．(1)证明 ∵四边形ABCD ，CDGF ，ADGE 均为正方形，
∴GD ⊥DA ，GD ⊥DC ，又DA ∩DC ＝D ，
∴GD ⊥平面ABCD .
以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，
则B (1,1,0)，E (1,0,1)，F (0,1,1)．
∵点M 在边DG 上，故可设M (0,0，t ) (0≤t ≤1)．
∵MB →＝(1,1，－t )，EF →＝(－1,1,0)，
∴MB →·EF →＝1×(－1)＋1×1＋(－t )×0＝0，
∴BM ⊥EF .
(2)解 假设存在点M 使得直线MB 与平面BEF 所成的角为45°.
设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，
