【例1】对应边相等求线段长，即可得所求角的正切值． 由题意得：AD =AB =5，EN =CB =12， ∴CD =AC -AD =13-5=8， ∴123tan 82
ECD ∠==．
【例2】连接EC ，由题意可得△ACE 是等边三角形，
A
B
C
D
E
∴EC =AC =BC =ED ，
易证△ECD ≌△EAD ，∴CD =AD =AB =2， 故CD 的长为2．
【例3】特殊特殊度数必然有特殊图形． ∵15BAD ∠=︒，∴15CAE ∠=︒，∴60AFH ∠=︒ 过点A 作AH ⊥DE 交DE 于H 点，
H
F
E
D
C
B
A
∵AD =6cm
，∴AH =cm
，HF =cm ，
∴AF =
，10CF =-，故CF
的长为10-．
【例4】方法较多，举一种与旋转相关的做法． 设EAF BAF α∠=∠=，DAE BAG β∠=∠=，
α+β
βα
β
αG
A B
C
D
E
F
则GAF GFA αβ∠=+=∠，∴GF =GA =EA
=
∴6CF CG GF =-=-，∴CF
的长为6-
【例5】（1）利用旋转的性质：旋转角都相等． 易证△AEB ≌△ADC ，∴∠ABE=∠ACD ，如下左图， 如下右图，由“8字”模型可得：∠FPC=∠FAB=90°．
（2）由（1）可知∠BPC=90°， ∵AD=3，AC=6
，∴CD = 易证△CAD ∽△CPE ，∴CA CD AD
CP CE PE
==
，
可得：PE
，CP =，
∴PD =
∴127
210
PDE
S
=
=
． ∴△PDE 的面积为27
10
．
【例6】
①②显然正确，下分析③：
连接BD 、EG ，222222a b BD EG +=+，记BE 、DG 交点为H 点，
H
A
B
C
D
E
F
G
222BD BH DH =+，222EG EH GH =+， 222DE DH EH =+，222BG BH GH =+，
∴2222DE BG BD EG +=+，
∴222222DE BG a b +=+． 故正确的结论有①②③．
【例7】还有一组等腰相似．
∵BG =AG =5，BC =3，∴CG =4，DG =1， 连接AG
，∴AG =A
B
C
D E
F
G
易证△BEC ∽△BGA ，CE BC
AG BA
=
， 代入解得：CE
故CE
【例8】转化比例．
连接AC 、AC '，易证ABB '△∽ACC '△，
CC AC
BB AB
'=
'，求出AB 即可． 连接AG ，设AB x '=，则B G x '=，DG =x -4，
22222AG AB B G AD DG ''=+=+，
代入得：()2
22274x x x +=+-，解得：15x =，213x =-（舍），
∴CC AC BB AB '==
'．
【例9】（3，4，5）是一组勾股数，通过旋转构造直角三角形．
法一：如图，将三个小三角形面积分别 123S S S 、、
S 3
S 2
S 1
P A
B C
考虑到△ABC 是等边三角形，可将△APB 旋转到△ADC 位置，
可得：2133133462ADP
PCD
S S S
S
+=+=
+⨯⨯=，
C
C C
同理可得：21
21
434
62
S S +=+⨯⨯=， 2231
53462S S +=
+⨯⨯=， ∴(
)123218S S S ++，∴1239S S S ++=，
故选A ．
法二：如图，易证∠APB=150°，过点A 作BP 的垂线交BP 延长线于点H ，
H
P
A
B
C E
则13
22
AH AP =
=
，PH =
，
4BH =
，
)2229271625944S AB AH BH =
=+=+++=+=⎝．
【例10】如果是120°，可以分为60°+60°．
如图，将△AHB 旋转至△APC （严格的辅助线说明并不能这样）
P
易证△APH 是等边三角形，又∠CHP=30°，∴△PCH 是直角三角形，
CH CH AH PH ==
，又227CH AH +=
，可得：CH ，AH=2， 则PC=BH=1，又△BDH ∽△BCP ， DH BH PC BP =
，代入数据得：1
3
DH =．
【例11】（1）思路1：如图，'PBP △是等腰直角三角形，∴'45BPP ∠=︒，
'PP ==AP=1，'3AP CP ==，∴'APP △是直角三角形，
∴'APP ∠=90°，∴9045135APB ∠=︒+︒=︒，
P'
B
A
D
C
P
思路2：类似．
（2）过点B 作'BP ⊥BP ，且满足'BP BP =，连接'P A 、'PP ，
易证'ABP △≌CBP △，即相当于将△CBP 绕点B 逆时针旋转90°，
