第9讲 几何变换之旋转(2)(教师版)

几何变换之旋转【中考剖析：】内容要求考点旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形; 能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前后的图形，指出旋转中心和旋转角．图形旋转后求角度、线段关系、长度、周长、面积【专题结构：】一、旋转有关概念1、旋转：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点'P，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．(如图)2、旋转问题应把握三元素：旋转中心、旋转角度和旋转方向．3、旋转的性质：旋转后的图形与原图形是全等的，对应的旋转角度相等．二、中心对称1、中心对称的有关概念：把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点(如图)三、共顶点旋转模型（证明基本思想SAS）P'Q'QPODCBAO共顶点等边三角形共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形四、旋转前后具有以下性质1、对应线段相等，对应角相等2、对应点位置的排列次序相同3、任意两条对应线段所在的直线夹角都等于旋转角【例题精讲：】 一、对旋转的初步认识【例1】正方形网格中，ABC ∆为格点三角形(顶点都是格点)，将ABC ∆绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到11AB C ∆．⑴在正方形网格中，作出11AB C ∆；(不要求写作法)⑵设网格小正方形的边长为1cm ，用阴影表示出旋转过程中线段BC 所扫过的图形，然后求出它的面积．(结果保留)【巩固】在下图的网格中按要求画出图象，并回答问题．π⑴先画出ABC ∆向下平移5格后的111A B C ∆，再画出ABC ∆以O 点为旋转中心，沿顺时针方向旋转90︒后的222A B C ∆；⑵在与同学交流时，你打算如何描述⑴中所画的222A B C ∆的位置？【例2】如图所示，ABC ∆是直角三角形，BC 是斜边，将ABP ∆绕点A 逆时针旋转后，能与'ACP ∆重合， 如果2AP =，那么'PP =______．【巩固】如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到矩形'''AB C D ，如果22CD DA ==，那么 'CC =_________．【例3】如图，在Rt ABC ∆中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且45DAE ∠=︒，将ADC ∆绕点A 顺时针旋转90︒后，得到AFB ∆，连接EF ，下列结论：①AED AEF ∆∆≌； ②ABE ACD ∆∆∽； ③BE DC DE +=； ④222BE DC DE += 其中正确的是( )A ．②④；B ．①④；C ．②③；D ．①③．D'C'B'D CB A二、大角夹半角模型在大角夹半角模型中比较常见的是90和 45， 120和 60．【例4】正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，15=∠EAD ， 30=∠FAB ,=AD 3，求AEF ∆的面积．【巩固】正方形ABCD 中，点E 在DC 延长线上，点F 在CB 延长线上， 45=∠EAF , 请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？【例5】四边形ABCD 是由等边ABC ∆和顶角为120的等腰ABD ∆拼成，将一个角顶点放在D 处，将 60角绕D 点旋转，该60角两边分别交直线BC 、AC 于M 、N ．交直线AB 于E 、F 两点，FEDCBA（1）当E 、F 分别在边AB 上时（如图1），求证：MN AN BM =+；【巩固】条件如例5，当E 、F 分别在边BA 的延长线上时如图2，求线段BM 、AN 、MN 之间又有怎样的数量关系?【例6】如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．三、等边三角形的“Y ”字型模型【例7】如图，是等边内一点，若，，，求的度数．【巩固】如图，P 是等边ABC ∆中的一个点，2,23,4PA PB PC ===，则ABC ∆的边长是 ．【例8】如图ABC ∆三边长分别是17BC =，18CA =，19AB =，过ABC ∆内的点P 向ABC ∆三边分别作垂线PD PE PF ，，，且=27BD CE AE ++，求BD BF +的长度．【例9】如图，在凸四边形ABCD 中，30,60ABC ADC ∠=∠=，,AD DC =证明:222BD AB BC =+．P ABC ∆3AP =4PB =5PC =APB ∠PCBADCBA【课后作业：】1、如图，将边长为2的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点B 顺时针旋转一个角度，若使重叠部分面积为433，则这个旋转的角度为多少？2、如图，四边形ABCD 是正方形，F 是BA 延长线上的点，ADF ∆旋转一定角度后得到ABE ∆，如果4AF =，7AB =． ⑴指出旋转中心和旋转角度； ⑵求DE 的长度．3、矩形的对角线相交于点O ，过点O 的直线交AD ，BC 于点E ，F ，2AB =，3BC =，则图中阴影部分的面积为_____4、正方形ABCD 中的ABP ∆绕点B 顺时针旋转能与'CBP ∆重合，若4BP =，求点P 所走过的路径长．HA'CAOFEDA5、（2012•珠海）如图，把正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转45得到正方形'''CD B A （此时，点'B 落在对角线AC 上，点'A 落在CD 的延长线上），''B A 交AD 于点E ，连接'AA 、CE ．求：直线CE 是线段'AA 的垂直平分线．6、如图，四边形ABCD 中， 135ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，AB5BC =6CD =，求AD7、正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O ，点E 在BD 上，AE 平分DAC ∠． 求证：EO AD AC-=2．P'DCBA8、如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?四、等腰直角三角形的“Y ”字型旋转【例1】如图，P 是正方形ABCD 内一点， 135=∠APB ，2=BP ，1=AP ．求PC 的长．【巩固】如图，在正方形ABCD 内有一点P ，且2=BP ，5=AP ，1=PC ，求BPC ∠度数大小和正方形ABCD 的边长．【例2】在ABC ∆中，90,,A AB AC D ∠==为斜边上任一点，求证：2222BD CD AD +=．【巩固】 D ,E 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 所在直线上的两点,满足135=∠DAE ,求证：222DE BE CD =+．【例3】四边形ABCD 被对角线BD 分为等腰直角ABD ∆和直角CBD ∆，其中A ∠和C ∠都是直角，另一条对角线AC 的长度为2，求四边形ABCD 的面积．【巩固】如图，以ABC Rt ∆的斜边BC 为一边，在ABC ∆的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果4=AB ，7=AO ，求AC 的长．DCBA五、三角形中的费马点【例4】若P 为ABC ∆所在平面上一点，且 120=∠=∠=∠CPA BPC APB ，则点P 叫做ABC ∆的费马点．（1）若点P 为锐角三角形ABC 的费马点，且︒=∠60ABC ，3=PA ，4=PC ，则PB 的值为______，（2）如图，在锐角三角形ABC 外侧作等边三角形'ACB ，连接'BB ，求证：'BB 过ABC ∆的费马点P ，且'BB PC PB PA ++=．【例5】如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转︒60得到BN ，连接EN 、AM 、CM ． （1）求证：AMB ∆≅ENB∆；（2）①当M 点在何处时，CM AM +的值最小；②当M 点在何处时，CM BM AM ++的值最小，并说明理由； （3）当CM BM AM ++的最小值为时，求正方形的边长．【课后作业：】1、如图，P 是正方形ABCD 内一点，a 2=BP ，a AP =，a 3=PC ）（0a >．求：（1）APB ∠的度数．（2）正方形的面积．2、已知：2=PA ，4=PB ，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧．（1）如图，当︒=∠45APB 时，求AB 及PD 的长；（2）当∠APB 变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB 的大小．3、已知正方形ABCD 内一点，E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为 62+,则此正方形的边长为_______．。

初中数学旋转变换讲解教案教学目标：1. 理解旋转变换的概念和性质；2. 学会运用旋转变换解决实际问题；3. 培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 旋转变换的概念和性质；2. 旋转变换的应用。

教学难点：1. 旋转变换的理解和运用。

教学准备：1. 课件或黑板；2. 几何图形和模型。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾平移变换的概念和性质；2. 提问：除了平移变换，还有其他的变换吗？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解旋转变换的概念：旋转变换是指将一个图形绕着某一点转动一个角度的变换；2. 讲解旋转变换的性质：旋转变换不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置和方向；3. 举例说明旋转变换的应用：如将一个正方形绕着其中心旋转90度，得到的是另一个正方形；4. 引导学生进行实际操作，观察旋转变换的效果。

三、课堂练习（10分钟）1. 给出一些图形，让学生运用旋转变换将其转换成其他图形；2. 让学生运用旋转变换解决实际问题，如将一个建筑物的平面图旋转一定角度，得到的是建筑物的正视图或侧视图。

四、总结与拓展（5分钟）1. 总结旋转变换的概念和性质；2. 提问：旋转变换和平移变换有什么区别和联系？；3. 拓展：旋转变换在实际生活中的应用，如电影特效、机器人运动等。

教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了旋转变换的概念和性质，并能运用旋转变换解决实际问题。

在教学过程中，注意引导学生进行实际操作，培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

同时，通过提问和拓展，激发学生的学习兴趣和思考能力。

但在教学过程中，要注意旋转变换和平移变换的区别和联系，避免学生混淆。

教学过程一、课堂导入请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？•从现在到下课时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心．•如果从现在到下课时针转了_______度，分针转了_______度，秒针转了______度．二、复习预习图形的平移：把一个图形沿着某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状，大小完全相同。

图形的这种移动，叫做平移。

轴对称：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

同轴对称、平移一样，图形的旋转也是一种常见的图形变换，从以下几个方面可全面把握图形的旋转。

三、知识讲解考点1图形的旋转（1）定义：在平面内，将一个圆形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。

（2）生活中的旋转现象大致有两大类：一类是物体的旋转运动，如时钟的时针、分针、秒针的转动，风车的转动等；另一类则是由某一基本图形通过旋转而形成的图案，如香港特别行政区区旗上的紫荆花图案。

（3）图形的旋转不改变图形的大小和形状，旋转是由旋转中心和旋转角所决定，旋转中心可以在图形上也可以在图形外。

（4）会找对应点，对应线段和对应角。

考点2旋转的基本特征（1）图形在旋转时，图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。

（2）图形在旋转时，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等；（3）图形在旋转时，图形的大小和形状都没有发生改变。

几点说明：（1）在理解旋转特征时，首先要对照图形，找出旋转中心、旋转方向、对应点、旋转角。

（2）旋转的角度是对应线段的夹角或对应顶点与旋转中心连线的夹角。

（3）旋转中心的确定分两种情况，即在图形上或在图形外，若在图形上，哪一点旋转过程中位置没有改变，哪一点就是旋转中心；若在图形外，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心。

旋转讲义⑴平移、旋转、轴对称学习旋转变换与学习平移、轴对称的过程基本一致，主要都是研究变换过程中的不变量，是研究几何问题、发现几何结论的有效工具. 平移、轴对称、旋转都是全等变换，只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小. 由于变换方式的不同，故变换前后具有⑵旋转与中心对称中心对称是一种特殊的旋转(旋转180°)，满足旋转的性质，由旋转的性质可以得到中心对称与轴对称的关系. 作点A 关于x 轴的对称点B ，作点B 关于y 轴的对称点C ，则点A 与点C 关于原点对称.由此可知，将一点作上述两次轴对称变换相当于作出这个点 关于原点的对称点. ⑷两个图形成中心对称与中心对称图形1、利用旋转的性质确定一个旋转变换的旋转中心、旋转角，探索图形之间的变换关系. 例1、如图1，ΔACB 与ΔADE 都是等腰直角三角形，∠ACB 和∠ADE 都是直角，点C 在AE上，如果ΔACB 经逆时针旋转后能与ΔADE 重合.①请指出其旋转中心与旋转角度；②用图1作为基本图形，经过怎样的旋转可以得到图2？图1 图2例2、(2006四川眉山)数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O 旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°； 乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°. 以上四位同 学的回答中，错误的是（ ）A ．甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁例3、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△DEF 为等边三角形，AB=DE ，点B 、C 、D在x 轴上，点A 、E 、F 在y 轴上，下面判断正确的是（ ）A ．△DEF 是△ABC 绕点O 顺时针旋转90°得到的B ．△DEF 是△ABC 绕点O 逆时针旋转90°得到的C ．△DEF 是△ABC 绕点O 顺时针旋转60°得到的D ．△DEF 是△ABC 绕点O 顺时针旋转120°得到的例4、以图1的边缘所在直线为轴将该图案向右翻折180°得到的图形是（ ）2、利用旋转、中心对称的性质作图.例5、在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC 的三个顶点都在格点上 (每个小方格的顶点叫格点).画出△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后的△A 1B 1C 1，并求AA 1的长.例6、(2007江苏扬州)如图，△ABC 中A(-2，3)，B(-3，1)，C(-1，2)．⑴将△ABC 向右平移4个单位长度，画出平移后的△A 1B 1⑵画出△ABC 关于x 轴对称的△A 2B 2C 2；⑶画出△ABC 关于原点O 对称的△A 3B 3C 3；⑷在△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3中，△______与△______成轴对称，对称轴是______；△______与△______成中心对称，对称中心的坐 标是______．A B C D 图1例7、如图，△A ’B ’C ’是△ABC 旋转后得到的图形，请确定旋转中心、旋转角.例8、如图，已知△ABC 与△DEF 关于某一点对称，作出对称中心.3、中心对称图形的概念.例9、下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A.菱形B.等腰梯形C.等边三角形D.等腰直角三角形例10、下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．例11、如图是44 正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．例12、已知：如图甲，试用一条直线把图形分成面积相等的两部分（至少三种方法）.D4、综合利用平移、轴对称、旋转变换进行图案设计.例13、请用4块图1中的图形设计一个中心对称图形，把设计的图形画在下面10×10的方格中．（要求：以点O 为对称中心）5、利用图形变换的性质进行计算或证明.例14、(2007江苏扬州)用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线处后绕点M 按逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为 °．例15、(2007山东日照)如图，把边长为1的正方形ABCD 绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB ′C ′D ′，则它们的公共部分的面积 等于 ．例16、(2007四川成都)如图，将一块斜边长为12cm ，∠B=60°的直角三角板ABC ，绕点C 沿逆时针方向旋转90°至△A ’B ’C ’ 的位置，再沿CB 向右平移，使点B ’刚好落在斜边AB 上， 那么此三角板向右平移的距离是 cm ．例17、(2007浙江义乌)如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得它们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B 、C 、F 、D 在同一条直线上，且点C 与点F 重合（在图3 ~ 图6中统一用F 表示）（图1） （图2） （图3）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.A ’ C(C ’)A B C D E F图1⑴将图3中的△ABF 沿BD 向右平移到图4的位置，使点B 与点F 重合，请你求出平移的距离；⑵将图3中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图5的位置，A 1F 交DE 于点G ，请你求出线段FG 的长度；⑶将图3中的△ABF 沿直线AF 翻折到图6的位置，AB 1交DE 于点H ，请证明：AH=DH（图4） （图5） （图6）6、运用图形变换的思想解决问题.例18．如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 为边向内作等边△ABD ，连结DC ，以DC为边作等边△DCE ．B 、E 在C 、D 的同侧，若AB ＝2，则BE ＝ 1 ．例19、如图，在四边形ABCD 中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD ，DP ⊥AB 于P ，若四边形ABCD 的面积是16，求DP 的长.例20、(2007朝阳一模)已知：如图①，△ABC 是等边三角形，四边形BDEF 是菱形，其中DF=DB ，连接AF 、CD ．⑴观察图形，猜想AF 与CD 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不必证明； ⑵将菱形BDEF 绕点B 按顺时针方向旋转，使菱形BDEF 的一边落在等边△ABC 内部，在图②中画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，请问：⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；⑶在上述旋转过程中，AF 、CD 所夹锐角的度数是否发生变化？若不变，请你求出它的度数，并说明你的理由；若改变，请说明它的度数是如何变化的．CBADEF CB DP A例21、如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B = 90°，AD = 3，BC = 5，AB = 1，把线段CD 绕点D 逆时针旋转90°到DE 位置，连结AE ，则AE 的长为 .例22、如图，设P 是等边三角形ABC 内一点，PB=3，PA=4，PC=5，求∠APB 的度数.例23、如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD=CD. 求证：BD 2=AB 2+BC 2.图①图②DAB EBCP AABD例24、如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=900，E 、F 是BC 边上点，且∠EAF=45°.求证：222EF CF BE =+例25、(2007朝阳二模)已知：如图1，Rt ∆ABC 中，∠ACB=90°， D 为AB 中点，DE 、DF分别交AC 于E,交BC 于F ，且DE ⊥DF. ⑴如果CA=CB ，求证：AE 2+BF 2=EF 2；⑵如图2，如果CA<CB ，⑴中结论AE 2+BF 2=EF 2还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．例26、(2006黑龙江)已知∠AOB=90°，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ，将一个三角板直角顶点与点C 重合，它的两条直角边分别与OA 、OB （或它们的反向延长线）相交于点D 、E. 当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时(如图1)，易证：OD+OE=2OC. 当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给与证明；若不成立，线段OD 、OE 、OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明.ACB F E例27、(2007北京)在平面直角坐标系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为(11)，．将一个最短边长大于2的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上．⑴如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为；⑵若三角形纸片的直角顶点不与点O，F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形．例28、如图，已知△ABC．⑴请你在BC边上分别取两点D，E（BC的中点除外），连结AD，AE，写出使此图中只存在两对．．．．．面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明：AB+AC>AD+AE．AC例29、如图，△ABC中，∠ACB＝100°，∠CAB＝30°，P是△ABC内一点，且∠PAB＝20°，∠PCA＝40°，求∠PBA的度数。

初中九年级课程教案：几何图形的旋转与变换几何图形的旋转与变换一、引言几何图形的旋转与变换是初中九年级数学课程中的重要内容之一。

通过学习几何图形的旋转与变换，学生可以更好地理解几何图形的性质和特点，并在实际应用中灵活运用。

本教案旨在帮助学生通过教师的引导和课堂互动，掌握几何图形的旋转与变换的基本概念、规律和方法。

二、几何图形的旋转1. 旋转的概念旋转是指通过固定某一点，将图形按照一定角度绕着这个点进行旋转的操作。

学生首先需要理解旋转的基本概念，从而为后续学习奠定基础。

2. 旋转的规律在学习旋转的过程中，学生需要了解旋转的规律，包括旋转角度与旋转后图形的位置关系、旋转方向等。

通过具体的实例分析和讨论，引导学生探索旋转的规律，深入理解旋转操作的特点和效果。

3. 旋转的应用将学生所学的旋转概念和规律应用于实际问题中，如旋转对称图形的性质、旋转后的面积和周长的变化等。

通过实际例题和解题过程的指导，激发学生的思维能力和问题解决能力，培养他们的应用能力和创新意识。

三、几何图形的变换1. 平移变换平移是指通过沿着某一方向将图形整体移动一个固定的距离，而保持图形的形状和大小不变。

学生需要了解平移变换的基本概念和规律，并能够运用平移变换解决具体问题。

2. 翻转变换翻转是指将图形沿着一条直线进行镜像对称的操作。

学生需要理解翻转变换的概念和规律，掌握翻转变换的方法和技巧，并能将其应用于解决计算和证明问题。

3. 缩放变换缩放是指通过改变图形的大小，使得图形与原来相似但不全等的操作。

学生需要掌握缩放变换的基本概念和规律，理解缩放比例和相似性的关系，并能运用缩放变换解决相应的问题。

四、几何图形旋转与变换的综合应用1. 综合应用训练在课堂中设置综合应用训练的环节，通过多种旋转与变换的组合运用，提高学生的综合应用能力和解决问题的能力。

教师可以设计一些有趣的应用题，引导学生找到合适的旋转与变换方法来解决问题。

2. 创新设计活动创新设计活动是培养学生创造力和动手能力的重要环节。

初中九年级课程教案：几何图形的旋转与变换一、引言在初中九年级的几何学课程中，旋转与变换是非常重要的概念。

通过学习几何图形的旋转与变换，学生们能够加深对图形性质和空间思维的理解。

本教案将介绍如何有效地教授几何图形的旋转与变换，以帮助学生们掌握这一重要知识点。

二、基础知识概述1. 什么是几何图形的旋转与变换？- 旋转：指围绕某个中心点按照一定角度进行图形的转动。

- 变换：指在平面上对图形进行改变位置、大小和方向等操作。

2. 几何图形的常见变换方式- 平移：指在平面上沿着某个方向移动图形，但保持其大小和方向不变。

- 旋转：指将图形按照一定角度围绕一个中心点进行旋转。

- 对称：指用一个线段或面来把整个图形分成两部分，其中两部分关于此线段或面相互重合。

- 缩放/放大：指保持图形内部各部分比例不变地调整整体尺寸。

3. 几何变换的作用通过旋转与变换，可以改变图形的位置、大小和方向。

这有助于学生们更好地理解图形之间的关系并推导出一些性质。

三、教学目标1. 知识目标：- 理解几何图形的旋转与变换的基本概念；- 掌握几何图形常见的旋转与变换方式；- 运用所学知识解决相关问题。

2. 能力目标：- 培养学生观察和思维能力，培养空间想象力；- 培养学生分析和解决问题的能力；- 提高学生合作和沟通能力。

四、教学过程1. 导入新知识：通过示例引发思考教师可使用实际物体或图片展示几何图形，并以给出不同角度观察对象的要求，引导学生思考并描述图形在不同角度下的变化。

通过这种方式，可以帮助学生们感受到旋转与变换对于图形产生的影响。

2. 学习几何图形的旋转与变换a. 教师讲解平移、旋转、对称和缩放等几何变换方式的定义、特点及基本步骤。

b. 展示具体案例，通过动态示意图或实物展示，引导学生们理解不同变换方式的效果。

c. 深入讲解旋转方式，引导学生们了解中心点、旋转角度和旋转方向对图形产生的影响。

3. 解决问题：应用所学知识a. 分组讨论或个人思考特定问题，并找到解决方案。

九年级数学《图形的旋转》教案北师大版一、教学目标：1. 知识与技能：让学生理解旋转变换的概念，掌握旋转变换的性质和特点，能够运用旋转变换解决实际问题。

2. 过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和合作精神。

二、教学重点：1. 旋转变换的概念和性质。

2. 旋转变换在实际问题中的应用。

三、教学难点：1. 旋转变换的理解和运用。

2. 旋转变换与其他几何变换的联系和区别。

四、教学准备：1. 教师准备旋转变换的课件和教学素材。

2. 学生准备笔记本和文具。

五、教学过程：1. 导入：教师通过展示一些旋转的图片，如风车、旋转门等，引导学生观察并思考这些现象的本质。

2. 新课导入：教师介绍旋转变换的概念，引导学生理解旋转变换的定义和特点。

3. 教学互动：教师引导学生通过观察、操作、思考等活动，探索旋转变换的性质和特点。

4. 例题解析：教师给出一些旋转变换的例题，引导学生运用旋转变换解决实际问题。

5. 练习与反馈：教师布置一些练习题，学生独立完成，教师进行反馈和讲解。

7. 课堂小结：教师对本节课的学习内容进行小结，强调重点和难点。

8. 课后作业：教师布置一些课后作业，巩固学生对旋转变换的理解和运用。

10. 教学评价：对学生的学习情况进行评价，包括知识掌握、能力培养和情感态度等方面。

六、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索旋转变换的性质和特点。

2. 利用多媒体课件和实物模型，直观展示旋转变换的过程，帮助学生形象理解旋转变换的概念。

3. 创设有趣的数学问题，激发学生的学习兴趣，培养学生解决问题的能力。

4. 鼓励学生互相讨论、合作学习，提高学生的团队协作能力。

七、教学步骤：1. 导入：展示一些旋转的实物，如风车、旋转门等，引导学生观察并思考这些现象的本质。

2. 旋转变换的概念：介绍旋转变换的定义，解释旋转变换的特点。

6.几何变换在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角．旋转变换不改变图形的形状和大小．通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动同样大小的角度．旋转变换前后的图形有下列性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；（3）对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心．例题与求解例1如图，边长为1的正△A 1B 1C 1的中心为O ，将正△A 1B 1C 1绕中心O 旋转到△A 2B 2C 2，使得A 2B 2丄B 1C 1，则两个三角形的公共部分（即六边形ABCDEF ）的面积为__________________．（“新知杯”上海市竞赛试题）解题思路：S 六边形ABCDEF ＝22223A B C B CD S S ∆∆-，解题的关键是寻找CB 1，CB 2，CD ，C 1D 之间的关系．解：如图，连接OB 1，OB 2，B 1B 2，则OB 1＝OB 2，∠OB 1B 2＝∠OB 2B 1.又∠OB 1C ＝30°＝∠OB 2C ，∴∠CB 1B 2＝∠CB 2B 1，故CB 1＝CB 2.同理，B 2D ＝DC 1.设CB 1＝x ，则CB 2＝x ，CD ＝3x ，DC 1＝DB 2＝2x ，于是x ＋3x ＋2x ＝133x ⇒=+，故ABCDEF S 六边形＝22223A B C B CD S －＝2313333333424244x x x -⨯⨯=-=-.例2如图，已知△AOB ，△COD 都是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠CQD ＝90°，N ，M ，Q ，P 分别为AB ，CB ，CD ，AD 的中点．求证：四边形NMQP 为正方形．解题思路：连结BD ，AC ，并延长AC 交于点E ，则△OAC 可以看作是由△OBD 绕点O 逆时针旋转90°得到的，且∠AED ＝90°，这是证明本例的关键．解：∵N ，M 分别为线段AB ，CB 的中点，∴MN ＝12AC .同理MQ ＝12BD ，PQ ＝12AC ，PN ＝12BD .∵AC ＝BD ，∴MN ＝MQ ＝PQ ＝PN ，∴四边形NMQP 为菱形.∵MN ∥AC ，MQ ∥BD ，∴AC ⊥BD ，∴∠NMQ ＝90°，∴菱形NMQP 为正方形.例3如图，巳知在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为形内一点，且∠APB ＜∠APC ．求证：PB ＞PC ．（北京市竞赛试题）解题思路：以A 为中心，将△APB 旋转一个∠BAC ，使AB 边与AC 边重合，这时△APB 到了△AP 'C 的位置．解：APM AP C ' ≌，AP AP '＝，APB AP C '∠∠＝，P C PB '＝.连接PP '，由AP AP '＝得APP AP P ''∠∠＝，而APB APC ∠∠＜，即AP C APC '∠∠＜，∴PP C P PC ''∠∠＜，于是P C PC '＞，即PB PC ＞.AB C DE F O 1A 1B 1C 2A 2B 2C QABCDE M N O PABCPP '例4点B ，C ，E 在同一直线上，点A ，D 在直线CE 的同侧，AB ＝AC ，EC ＝ED ，∠BAC ＝∠CED ，直线AE ，BD 交于点F ．（1）如图1，若∠BAC ＝60°，则∠AFB ＝＿＿＿＿；如图2，若∠BAC ＝90°，则∠AFB ＝＿＿＿＿；（2）如图3，若∠BAC ＝α，则∠AFB ＝＿＿＿＿（用含α的式子表示）；（3）将图3中的△ABC 绕点C 旋转（点F 不与点A ，B 重合），得图4或图5．在图4中，∠AFB 与∠α的数量关系是＿＿＿；在图5中，∠AFB 与∠α的数量关系是＿＿＿．请你任选其中一个结论证明．（武汉市中考试题）AB CDEF图1A B CDEF图2AB CDEF图3ABCDEF 图4ABCD EF图5Q 解题思路：从特殊到一般，在动态的旋转过程中，有两组不变的关系：△ABC ∽△EDC ，△BCD ∽△ACE ，这是解本例的关键．例4（1）60°45°（2）90°－12α（3）∠AFB ＝90°－12α∠AFB ＝90°＋12α对∠AFB ＝90°－12α证明如下：∵AB ＝AC ，EC ＝ED ，∠BAC ＝∠CED ，∴△ABC ∽△EDC ，得∠ACB ＝∠ECD ，BC ACDC EC=，∠BCD ＝∠ACE ，∴△BCD ∽△ACE ，得∠CBD ＝∠CAE .∵∠AQF ＝∠BQC ，∠CBD ＝∠CAF ，∴∠AFB ＝∠ACB ＝18019022BAC α︒-∠=︒-.例5如图，已知凸五边形ABCDE 中，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA ，∠ABC ＝2∠DBE ．求证：∠ABC ＝60°．（北京市竞赛试题）解题思路：将△ABE 以B 为旋转中心顺时针旋转∠ABC ，使得AB 与BC 重合，落在△CBE '位置，则△ABE ≌△CBE ′，AE ＝CE ′，BE ＝BE ′，∠CBE ′＝∠ABE ．解：∵2EBE ABC DEB '∠∠∠＝＝，∴EBD E BD '∠∠＝.连接DE '.∵BD BD ＝，EBD E BD '∠∠＝，BE BE '＝，∴EBD E BD ' ≌，得ED E D CD CE ''＝＝＝，∴CDE ' 为正三角形，DCE '∠＝60°，又BC ＝CD ＝CE ’，则12E BD DCE ''∠∠＝＝30°.∴260ABC EBE E BD ''∠∠∠︒＝＝＝.AB CDEE '例6如图，已知正方形ABCD 内一动点E 到A ，B ，C 三点的距离之和的最小值为26+，求此正方形的边长．（广东省竞赛试题）解题思路：本例是费马点相关的问题的变形，解题的关键是确定最小值时E 点的位置，通过旋转变换，把EA ，EB ，EC 连结起来．解：将△ABE 绕B 点逆时针旋转60°，得△FBG ，连接GE ，FC ，则△BEG 为等边三角形，GE ＝BE ，∴FC ≤FG ＋GE ＋EC ，即FC ≤EA ＋EB ＋EC ，∵FC 为定长，∴当E 点落在FC 上时，FC ＝EA ＋EB ＋EC 为最小值.∵∠FBC ＝150°，FB ＝BC ，∴∠BCF ＝∠BFC ＝15°，而∠GEB ＝60°，∴∠EBC ＝45°，即E 在正方形ABCD 的对角线BD 上.作FH ⊥BC 交CB 延长线于H ，设BC ＝x ，则FB ＝x ，FH ＝2x ，HB ＝32x ，在Rt △FHC 中，由2223(26)()()22x x x +=++，得x ＝2或x ＝－2（舍去），即正方形的边长为2.课后练习1．如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC ＝120°的等腰三角形，∠MDN ＝60°，则△AMN 的周长＝_____________．（重庆市竞赛试题）ABCDM N 第1题AB CMN第2题xy O第3题2．如图，在等腰Rt △ABC 的斜边AB 上取两点M ，N ，使∠MCN ＝45°，记AM ＝m ，MN ＝x ，BN ＝n ，则以线段x ，m ，n 为边长的三角形的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随x ，m ，n 的变化而变化（安徽省竞赛试题）3．如图，直线y ＝443x -+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针旋转90°后得到△AO 'B '，则点B ′的坐标是（）A ．（3，4）B ．（4，5）C ．（7，4）D ．（7，3）（丽水市中考试题）4．如图，正方形ABCD 中，已知AB ＝3，点分别在BC ，CD 上，且∠BAE ＝30°，∠DAF ＝15°，求△AEF 的面积．（“希望杯”邀请赛试题）ABCDE 例6题图ABCD F第4题ABCD图①ABDP 图②第5题5．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°．求证：BC ＋DC ＝AC ；（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，P 为四边形ABCD 内一点，且∠APD ＝120°，求证：PA ＋PD ＋PC ≥BD ．（江苏省竞赛试题）6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，△ADE 是正三角形，点D 在边BC 上，已知BD ︰DC ＝2︰3，当△ABC 的面积是50cm 2时，求△ADE 的面积．（日本数学奥林匹克试题）ABCDE第6题BCOP第7题7．如图，已知O 是锐角三角形ABC 内一点，∠AQB ＝∠BOC ＝∠COA ＝120°，P 是△ABC 内任一点．求证：PA ＋PB ＋PC ≥OA ＋OB ＋OC ．（杭州市竞赛试题）8．（1）如图1，已知正方形ABCD 和正方形CGEF （CG ＞BC ），B ，C ，G 在同一条直线上，M 为线段AE 的中点．探究：线段MD ，MF 的关系；（2）如图2，若将正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转45°，使得正方形CGEF 的对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上，M 为AE 的中点．试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，若将正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转 ，M 为AE 的中点．试问：第（1）问中探究的结论是否成立？（大连市竞赛试题）A BCDE F GM图1ABCD EF GM 图2ABCD EF GM图39．已知正方形ABCD 和等腰Rt △BEF ，BE ＝EF ，∠BEF ＝90°．按图1的位置，使点F 在BC 上，取DF 的中点G ，连结EG ，CG ．（1）探索EG ，CG 的数量关系和位置关系并证明；（2）将图中△BEF 绕点B 顺时针旋转45°，再连结DF ，取DF 中点G （如图2），第（1）问中的结论是否仍然成立？请你证明；（3）将图1中△BEF 绕点B 转动任意角度（在0°～90°之间），再连结DF ，取DF 的中点G （如图3），第（1）问中的结论是否仍成立？不必证明．ABCDEFG图3ABCD EFG图2图1ABC DE G10．在平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点A （3，0），B （0，4）．以点A 为旋转中心，把△ABO 顺时针旋转，得△ACD ．记旋转角为α，∠ABO 为β．（1）如图1，当旋转后点D 恰好落在AB 边上时，求点D 的坐标；（2）如图2，当旋转后满足BC ∥x 轴时，求α与β之间的数量关系；（3）当旋转后满足∠AOD ＝β时，求直线CD 的解析式．（天津市中考试题）AC D O y x图1B ACDO yx图2B 第10题ABCP第11题11．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2AD ，点P 在△ABC 内，且PA PB ＝5，PC ＝2，求△ABC 的面积．（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）课后习题参考答案1.2提示:MN=BM+CN2.B 提示:△ACM ≌△BCD.∠ACM=∠BCD,CM=CD,∠MCN=∠NCD=45°,又CN=CN,则△MNC ≌△DNC,MN=ND=x ,AM=BD=m ,又∠DBN=45°+45°=90°,故m 2+n2=x 2.3.D 4.4.3-提示:将△ADF'绕点A 顺时针方向旋转90°,到△ABG 的位置,则△AEF ≌△AEG.∠AEF=∠AEG=∠FEC=60°,BE=1,EC=BC-BE=1,1-),S △AEF=S △ABG =12EG·AB=3.5.(1)提示:延长BC 至E,使CE=CD连结DE,证明△ACD ≌△BED.(2)将△ABD 绕点A 旋转60°到△ACB’,连结B’D,B’P,则四边形AB’DP 符合(1)的条件,于是B’P=PA+PD连结AC,则△ABD ≌△ACB’.BD=B’C,B’C≤PB’+PC=PA+PD+PC,从而BD≤PA+PD+PC.6.直接解题有困难,△ABC 绕点A 逆时针旋转120°,240°拼成正△MBC(如图),则正△ADE 变为正△AD 1E 1和正△AD 2E 2易知,六边形DE D 1E 1D 2E 2是正六边形,△DD 1D 2是正三角形,其面积是△ADE 面积的3倍.因此,设法由正△MBC 面积为150求出△DD 1D 2的面积,问题就解决了.注意到BD:DC=CD 1:D 1M=MD 2:D 2B=2:3,连结DM,则S △ADE =13S △ABD =36cm 2,而122MD D DCD S S =36cm 2.同理,可得12DD D S =150-3×36=42cm 2,故S △ADE =1312DD D S =14cm 2.7.如图,将BP,BO,BC 绕点B 沿顺时针方向旋转60°，变为BP'，BO’,BC’连结OO’,PP’,则△BOO’,△BPP’都是正三角形.因此OO’=OB,PP’=PB,显然△BO’C’≌△BOC,△BP’C ≌△BPC,由于∠BO’C=∠BOC=120°=180°-∠BO’O,∴A,O,O’,C’四点共线.故AP+PP’+P’C≥AC’=AO+OO’+O’C,即PA+PB+PC≥OA+OB+OC.8.(1)提示:延长DM 交EF 于N,由△ADM ≌△ENM,得DM=MN,MF=12DN,FD=FN,故MD 丄MF.(2)延长DM 交CE 于N,连结DF,FN 先证明△ADM ≌△ENM,再证明△CDF ≌△ENF.第(1)问中的结论仍成立.(3)第(1)问中的结论仍成立,延长DM 至N,使MN=DM,连结DF,FN,证法同上.9提示:EG=CG,EG 丄CG,B,E,D 在一条直线上,(2)仍然成立，延长EG 交CD 于H 点△FEG ≌△DHG,△ECH,△ECG 为等腰直角三角形.(3)仍然成立.10.(1)612(,)55D (2)α＝2β(3)如图1,△OAE ≌△DAE,△ABO ≌△ABD,B,D,C,三点共线.设D(a ,b ),则222222(3)3,(4)4,a b a b ⎧-+=⎨+-=⎩解得9672,2525a b ==,∴9672(,)2525D ,可得直线CD 的解析式为7424y x =-+.如图2,同理可得,7424y x =+.11．提示:易证∠ACB=90°,如图，将△APC 绕点A 顺时针旋转60°,得到△AQO,点D 为AB 的中点，连结PQ,得到△APQ 为等边三角形.过点Q 作QE 丄AP,垂足为E,则∠AQE=30°,QE=32,AE=PE连结DE,则DE=12BP=52，于是DE 2=(52)2=QE 2+QD 2,从而∠DQE=90°,∠AQD=∠AQE+∠EQD=120°=∠APC.过点C 作CF 丄AP 交AP 的延长线于点F ，得到∠CPF=60°,∵PC=2,∴PF=1,CF=3,于是AC 2=AF 2+CF 2=22(31)(3)723++=+,∴S △ABC =2S △ACD =6732+。

内容基本要求略高要求较高要求旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形．能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前后的图形，指出旋转中心和旋转角．能运用旋转的知识解决简单的计算问题；能运用旋转的知识进行图案设计．旋转变换在平面几何中有着广泛的应用，特别是在解(证)有关等腰三角形、等边三角形、正方形、相等的线段等问题时，常常可以考虑用旋转变换构造全等三角形，以集中条件、解答问题.当已知条件和所求部分不能直接联系时，一般考虑旋转变换，使分散的条件集中在一个基本几何图形中，这样常常能使问题得以简便地解决.但运用旋转时应注意以下三点：一是确定旋转中心；二是确定旋转图形；三是确定旋转角度及方向.图形中出现有公共端点的相等线段，并且线段另一端对应的角度互补或互余时，可进行旋转变换. 通过旋转60︒的角，可以使原来图形中的线段转化到其它位置．板块三 利用旋转构造辅助线及几何图形【例 1】 (“希望杯”全国数学邀请赛试题) 如图所示，在正方形ABCD 中，3AB =，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且30BAE ∠=o ，15DAF ∠=o ，求AEF ∆的面积．FED CB A【例 2】 如图所示，在等腰直角ABC ∆的斜边AB 上取两点M 、N ，使45MCN ∠=︒，记AM m =，MN x =，BN n =，求证：以x 、m 、n 为边长的三角形的形状是直角三角形.x m n N M CBA中考要求例题精讲几何变换之旋转（2）【例 3】 四边形ABCD 被对角线BD 分为等腰直角三角形ABD 和直角三角形CBD ，其中A ∠和C ∠都是直角，另一条对角线AC 的长度为2，求四边形ABCD 的面积．DCBA【例 4】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O 。