几何结构之折叠、旋转(讲义)

初中数学折叠翻转教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解平面图形的折叠与翻转的概念及其性质；（2）学会运用折叠与翻转的方法解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、操作、猜想、验证等活动，培养学生的空间想象能力和动手操作能力；（2）学会用坐标系表示点、线的位置关系，运用坐标变化规律解决问题。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和探究精神；（2）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 折叠与翻转的定义及性质2. 折叠与翻转在实际问题中的应用3. 坐标系中折叠与翻转的表示方法三、教学重点与难点1. 重点：折叠与翻转的概念及其性质，折叠与翻转在实际问题中的应用。

2. 难点：坐标系中折叠与翻转的表示方法。

四、教学过程1. 导入新课（1）利用实物演示折叠与翻转，引导学生观察、思考；（2）提问：什么是折叠？什么是翻转？它们有什么性质？2. 自主探究（1）学生分组讨论，总结折叠与翻转的性质；（2）学生代表汇报探究结果，教师点评并总结。

3. 课堂讲解（1）讲解折叠与翻转的定义及性质；（2）举例说明折叠与翻转在实际问题中的应用；（3）讲解坐标系中折叠与翻转的表示方法。

4. 巩固练习（1）学生独立完成练习题，检查对折叠与翻转的理解；（2）教师批改练习题，及时反馈错误，进行讲解。

5. 课堂小结（1）学生总结本节课所学内容；（2）教师点评学生表现，强调折叠与翻转的重要性和应用价值。

6. 作业布置（1）巩固折叠与翻转的概念及性质；（2）运用折叠与翻转解决实际问题；（3）预习下一节课内容。

五、教学反思本节课通过观察、操作、猜想、验证等活动，让学生掌握了折叠与翻转的概念及其性质，并能运用折叠与翻转解决实际问题。

在教学过程中，注意引导学生主动探究，培养学生的空间想象能力和动手操作能力。

同时，利用坐标系表示点、线的位置关系，引导学生运用坐标变化规律解决问题，为后续学习打下基础。

在下一节课中，将继续巩固折叠与翻转的知识，并结合实际问题进行拓展，提高学生的运用能力。

旋转平移翻折的几何变换与性质旋转、平移和翻折是几何中常见的基本变换方式，它们在空间和平面几何中发挥着重要的作用。

本文将介绍旋转平移翻折的几何变换及其性质，推导其数学表达式，并通过具体的实例来说明其应用。

一、旋转变换旋转是指将平面或空间中的图形按照一定角度绕着旋转中心进行旋转的操作。

对于平面上的点(x, y)，其绕原点逆时针旋转θ度后的新坐标可以由以下公式计算得出：x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθ其中，x'和y'分别表示旋转后点的坐标，θ为旋转角度。

二、平移变换平移是指将平面或空间中的图形沿着指定的方向和距离进行移动的操作。

平移变换可以用一个向量来表示。

对于平面上的点(x, y)，其平移(dx, dy)后的新坐标可以由以下公式计算得出：x' = x + dxy' = y + dy其中，(dx, dy)为平移向量，x'和y'分别表示平移后点的坐标。

三、翻折变换翻折是指将平面或空间中的图形沿着指定的轴进行对称的操作。

对于平面上的点(x, y)，其关于直线y=k翻折后的新坐标可以由以下公式计算得出：x' = xy' = 2k - y其中，(x', y')为翻折后点的坐标，k为翻折轴的位置。

以上是旋转、平移和翻折的几何变换的数学表达式。

下面将通过实例说明它们在几何问题中的应用。

实例一：旋转变换假设有一张平面上的三角形ABC，顶点分别为A(1, 2)，B(3, 4)和C(5, 6)。

现在需要将该三角形绕原点顺时针旋转60度，求旋转后各顶点的坐标。

根据旋转变换的公式，旋转角度θ=60°，原点为旋转中心，可以计算得出旋转后的各顶点坐标为：A'(1*cos60° - 2*sin60°, 1*sin60° + 2*cos60°) = (0.5, 2.598)B'(3*cos60° - 4*sin60°, 3*sin60° + 4*cos60°) = (-1.133, 4.330)C'(5*cos60° - 6*sin60°, 5*sin60° + 6*cos60°) = (1.333, 7.464)实例二：平移变换假设有一条直线L，其方程为y = 2x - 1。

初中数学折叠翻转教案一、教学目标1. 让学生理解折叠与翻转的概念，掌握折叠与翻转的基本方法。

2. 培养学生观察、思考、动手操作的能力，提高空间想象能力。

3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。

二、教学内容1. 折叠与翻转的定义及基本方法。

2. 折叠与翻转在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 重点：折叠与翻转的概念、基本方法。

2. 难点：折叠与翻转在实际问题中的应用。

四、教学过程1. 导入：通过展示一些生活中的折叠与翻转现象，如衣服的折叠、翻转的魔方等，引发学生对折叠与翻转的兴趣，导入新课。

2. 新课讲解：(1) 折叠与翻转的定义：折叠是将一个图形沿着某条直线对折，使得对折后的两部分完全重合。

翻转是将一个图形绕着某一点旋转一定角度，使得旋转后的图形与原图形完全重合。

(2) 折叠与翻转的基本方法：讲解如何进行折叠与翻转，以及折叠与翻转的注意事项。

3. 动手操作：让学生亲自动手进行折叠与翻转，观察折叠与翻转前后的变化，加深对折叠与翻转的理解。

4. 实例讲解：通过一些实际问题，如折纸、制作立体图形等，讲解折叠与翻转在实际中的应用。

5. 练习巩固：布置一些有关折叠与翻转的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

6. 总结拓展：总结本节课所学内容，引导学生思考折叠与翻转在其他领域的应用，激发学生的学习兴趣。

五、教学评价1. 学生对折叠与翻转的概念、基本方法的掌握程度。

2. 学生动手操作、观察、思考的能力。

3. 学生运用数学知识解决实际问题的能力。

六、教学建议1. 注重学生的动手操作，提高学生的空间想象能力。

2. 结合实际问题，培养学生的应用意识。

3. 鼓励学生思考、探讨，提高学生的数学素养。

4. 适当增加练习量，巩固所学知识。

5. 注重个别辅导，提高学生的学习兴趣。

中考几何综合变换一．折叠类问题折叠问题的思考方式：折叠问题会出现在特殊三角形，平行四边形，矩形以及正方形中，一般在矩形和正方形中出现较多。

1.当折叠图形有直角时，一定并且可以构造出一线三等角模型，通过相似和全等来寻找线段之间的关系从而求解。

2.折叠问题一定会伴随着勾股定理出现，如果求线段长，可以设线段为x，通过折叠前后图形全等，在一个rt△中利用勾股定理建立方程思想，从而求解。

如果复杂，需要用到上面说的一线三等角来转化线段，进而利用勾股定理。

3.利用对称的性质：对应点连线所形成的线段一定被折痕垂直平分，可以通过此性质，延伸出多种做题方式（1）利用垂直，以及正方形，矩形中的垂直，构造双垂直模型，即射影定理，母子相似（2）利用中点，可以构造中位线，用中位线定理（3）利用中垂线的性质：中垂线上一点到线段两端点距离相等。

4.注：如果题目中出现对称的字眼，其本质也是折叠。

1.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．2.如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G，连接AG，作GH⊥AG，与AE 的延长线交于点H，连接CH．显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角平分线），并说明理由．二.旋转类旋转类题目一般伴随着手拉手模型和半角模型，在我之前的资料中有半角模型的收录。

1.其第一问通常是证明三角形全等，给出特殊条件，如旋转角为30 60 902.其第二问一般是将特殊条件取消，证明三角形相似，证明过程和1一样，都是手拉手sas3.其第三问往往是最难得题型，可以问当。

折叠与旋转类联想融通：把折叠、旋转放在动态几何里，你觉得会和你过去做过的题目有什么相同？什么不同？动态几何中出现了折叠、旋转、自然会用他们的性质，如折叠问题一定会用其全等的性质，更用其对称点连线被折痕垂直平分的性质；旋转问题一般也会用旋转角相等。

动态几何要研究规律性，故与过去不同之处应该是引入函数吧。

解法归一：用轴对称、旋转的性质，别的与其他动点无异。

动态几何中出现了折叠、旋转、自然会用他们的性质，如折叠问题一定会用其全等的性质，更用其对称点连线被折痕垂直平分的性质。

其中较难题目更是如此，切记！和折叠一样，动态几何中的旋转，一般也用旋转角相等，对应点与旋转中心三点可连成等腰三角形。

一、几何图形的折叠与旋转类、例28-1-1 已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．图28-1-1①图28-1-1②（1）如图28-1-1①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标为____________________；（2）如图28-1-1②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．交流分享：（1）略；（2）折叠出角平分线，用一线三角相似；（3）不仅又多一个相似的直角三角形，还产生了一个等腰三角形。

例28-1-2 （1）如图28-1-1①，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（-8,0），直线BC 经过点B （-8,6）C （0，6），将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α得到四边形OA ′B ′C ′，此时直线OA ′、直线B ′C ′分别与直线BC 相交于点P 、Q 。

（1）四边形OABC 的形状是______，当α=90°时，BPBQ的值是____；（2）①如图（2），当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在y 轴正半轴时，求BPBQ的值；②如图（3），当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在直线BC 上时，求△OPB ′的面积；（3）在四边形OABC 旋转过程中，当0°<α≤180°时，是否存在这样的点P 和点Q ，使12BP BQ =？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

5.当点A 的对应点A 落在AB 边的起始位置上时即停止转动，则B 点转过的路径长为 __________ .（结果保留n如图，在网格纸中有一 Rt A ABC.以点A 为旋转中心，分别画出△ 180°的三角形.旋转与折叠（讲义）、知识点睛1. 旋转特征____________ 、 __________ 和 ___________ 为旋转三要素.旋转是 _____________ ,不改变图形的 ______________ ,旋转会出现 ________________ L 2. 折叠特征折叠是 ________________ ， __________________ 对称轴.对称轴两侧 _________________________________ ,对称轴 _______________ ^寸应点的连线.二、精讲精练2.如图，点O 是等边△ ABC 内一点，/ AOB=110°° / BOC=145°将厶BOC 绕点C 按顺时针 方向旋转60°得到△ ADC,连接OD,则/ AOD=（ ）1. 如图，在△ ABC 中，/ CAB=70°在同 平面内，将△ ABC 绕点A 旋转到△ AB 的位置, 使得 CC // AB,贝U/ BAB=( A . 30°B . 35°) C . 40°D . 50A . 40°B . 45°C . 50°3.如图，将等腰 Rt A ABC 绕点A 逆时针旋转 的面积为（ )A 」B .c. G36D . 55°15后得到△ AB' C 若AC=1,则图中阴影部分D . 3-3如图，在三角板ABC 中，/ ACB=90° / B=30° AC=1 .三角板绕直角顶点C 逆时针旋转, 第1题图B'第3题图4. A 'B6. 如图，在网格纸中有一 Rt A ABC.7. （1）将厶ABC 以点C 为旋转中心，顺时针旋转180°画出旋转后对应的△ A i BiC ; 8.（2）将厶ABC 以点A 为旋转中心旋转90°画出旋转后对应的△ AB2C 2.9. 如图，在△ ABC 中，/ ACB=90°, / A=20°若将△ ABC 沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的点E 处，则/ ADE 的度数是（ ） A . 30°B . 40°C . 5010. 如图，△ ABC 的周长为30cm ,把厶ABC 的边AC 对折，使顶点C 和点A 重合，折痕交BC 边于点D ，交AC 边于点E,连接AD ,若AE=4cm ，则厶ABD 的周长是（ ） A . 22cmB . 20cmC . 18cmD . 15cmAB/C11.如图，在Rt A ABC 中，/ ABC=90° / C=60° AC=10，将BC 向BA 方向翻折过去，使点 C落在BA 上的点C',折痕为BE 则EC 的长为 _______________ .12. 如图，在 Rt A ABC 中，/ C=90° / A=30° BC=1,点 D 在 AC 上，将△ ADB 沿直线 BD 翻折后，点A 落在点E 处，如果AD 丄ED,那么线段DE 的长为 ______________ :13. 如图，在△ ABC 中，/ CAB=Z B=30° AB=2?3，点D 在BC 边上，把△ ABC 沿AD 翻折使AB 与AC 重合，得到△ AB' D 则△ABC 与△ AB'I 重叠部分的面积为 __________ :AC'E【参考答案】、知识点睛1. 旋转特征旋转中心、旋转方向和旋转角度称为旋转三要素•旋转是全等变换，不改变图形的形状和大小，旋转会出现等腰三角形.2. 折叠特征折叠也是全等变换，折痕所在的直线是对称轴.对称轴两侧对应边相等、对应角相等, 对称轴垂直平分对应点的连线.二、精讲精练1. C2. B3. B4. 巨35. 略6. 略7. C8. A9. 5 .3 510. .3 13亞11.2。

专题二毕节申考备考攻略命题规律纵观近5年毕节中考数学试卷，几何图形的折叠或旋转是每年的必考内容，其中2014年第20题、2015年第8题考查三角形的折叠,2016年第15题考查正方形的折叠,2017年第14题结合正方形考查三角形的旋转, 2018年第14题考查三角形的折叠.预计2019年将继续考查几何图形的折叠或旋转.解题策略【解析】连接AE.由几何图形折叠珂前后的图形全等，结合正方形的性! 质可得BG= FG, AB = AD=AF, IZD=4=ZAFE= 90°.利用HL ；可得RtAAFE^RtAADE,由此〃可得EF = DE.由点G是BC的中点，可得FG =CG=3,则GE=3^rDE.在RtZxECG 中，ZC=90°，CG=3,GE=3 + DE,CE=6 —DE，根据勾股定理，#(6-DE)2+32 = (3+DE)\解方程即可得到DE的长.毕节中考备考攻略中考重难点突破毕节中考专题过关婪型2 几何图形的旋转（2018 •自贡中考）如图，在边长为a的正方形ABCD中,把边BS绕点£逆时针旋转60°,得到线段BW,连接AM并延长，交CD于点N,连接MC,则△MNC的面积【解析】由旋转的性质可知BC=BM,又由旋转角ZCBM= 60°,得△MBC是等边三角形MC = BC=a.作ME±BC于点E,MF丄CD于点F,根据“三线合一”可得BE- EC,根据同位角相等两直线平行（或同旁内角互补两直线平行或同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行）可得AB//ME//CD,则AM=MN・cA N B2.如图，已知在AABC中，ZB4C〉90°,点D为EC的中点，点E在AC上，将沿DE折叠,使得点C恰好落在B4的延长线上的点F 处，连接AD，下列结论不一定正确的是（C ）A.AE=EFB.AB=2DEC.AADF和的面积相等D.AADE和ZXFDE的面积相等针对训练3. （2018・白银中考）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把ZVLDE绕点A顺时针旋转90°到AABF的位置，若四边形AECF的面积为25, DE=2,则A. 5C. 7B. 723D. /29AE的长为 D ）4. （2018 •桂林中考）如图，在正方形ABCD中，AB=3,点M在CD的边上，且DM= 1, AAEM与AADM关于AM所在的直线对称,将按顺时针方向绕点A旋转90°得到连接EF,则线段EF的长为（C ）4. （2018 •桂林中考）如图，在正方形ABCD 中，AB =3,点M 在CD 的边上，且DM= 1, AAEM 与 AADM 关于AM 所在的直线对称,将按顺时针方向绕点A 旋转90°得到连接 EF,则线段EF 的长为 （C ）5. （2018・苏州中考）如图，在RtAABC 中，ZB = 90°,AB=2y5,BC=y5.将绕点A 按逆时针方向旋转90°得到△ AB fC\连接£C,则毕节中考专题过关1. （2018・大连中考）如图，将AABC绕点B逆时针旋转―得到△EED,若点A恰好在ED的延长线上，则ZCAD的度数为（C ）A. 90°—& C. 180°-<B.a D. 2a2. （2018・新疆中考）如图，矩形纸片ABCD中，AB =6 cm,BC= 8 cm.现将其沿AE对折,使得点B 落在边AD上的点D处，折痕与边BC交于点E, 则CE的长为（D ）A. 6 cm B. 4 cm C. 3 cm D. 2 cmA B\ D\B E C C. 3 cm3. (2018・天津中者)如图，将一个三角形纸片4£C 沿过点B的直线折叠，使点C落在边上的点E 处,折痕为则下列结论一定正确的是(D ) A,AD=BD B. AE=ACC. ED+EE=DBD. AE+CB=AB4. （2018 •临安中考）如图，在直角梯形ABCD中, AD//BC.AB丄BC,AD=2,BC=3,将腰CD以D为中心逆时针旋转90。

初中几何旋转和折叠教案教学目标：1. 理解旋转和折叠的概念及其在几何中的应用。

2. 学会用图形旋转和折叠的方法解决几何问题。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

教学内容：1. 旋转的概念及性质2. 折叠的概念及性质3. 旋转和折叠在几何中的应用教学步骤：一、导入（5分钟）1. 利用图片或实物展示旋转和折叠的实例，引导学生观察和思考。

2. 提问：什么是旋转？什么是折叠？它们在几何中的应用有哪些？二、讲解旋转和折叠的性质（15分钟）1. 讲解旋转的性质：旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。

2. 讲解折叠的性质：折叠是将图形沿着某条直线对折，对折后的两部分完全重合。

3. 通过示例，讲解旋转和折叠在几何中的应用，如证明两条线段相等、证明两个角相等等。

三、练习题解答（15分钟）1. 布置练习题，要求学生独立完成。

2. 选取部分学生的作业进行讲解和分析，解答学生的问题。

四、拓展与应用（15分钟）1. 引导学生思考：旋转和折叠在实际生活中的应用有哪些？2. 举例子，如折纸艺术、建筑设计等，让学生感受旋转和折叠在实际生活中的重要性。

五、总结与反思（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，让学生总结旋转和折叠的性质及应用。

2. 引导学生思考：如何更好地运用旋转和折叠解决几何问题？教学评价：1. 课堂讲解：观察学生对旋转和折叠概念的理解程度，以及对旋转和折叠性质的掌握情况。

2. 练习题解答：评估学生在实际应用中运用旋转和折叠解决几何问题的能力。

3. 学生反馈：了解学生对旋转和折叠在实际生活中的应用的认识，以及对本节课的教学意见和建议。

教学资源：1. 图片或实物展示旋转和折叠的实例。

2. 练习题及相关几何图形。

教学建议：1. 注重学生空间想象能力的培养，多用直观的示例引导学生理解和掌握旋转和折叠的性质。

2. 鼓励学生积极参与课堂讨论，提问并及时解答学生的问题。

3. 结合生活中的实例，让学生感受旋转和折叠的实际应用，提高学生学习的兴趣和积极性。

旋转与翻折的立体几何变换方法立体几何是数学中的一个重要分支，研究的是空间中的图形和物体。

在立体几何中，旋转和翻折是常见的几何变换方法，它们可以改变一个图形或物体的位置和形状，使之具有不同的视觉效果和空间特征。

本文将探讨旋转和翻折的立体几何变换方法，并介绍其应用领域和实际意义。

一、旋转的立体几何变换方法旋转是指将一个物体或图形绕某个轴心进行转动的几何变换方法。

在立体几何中，旋转可以分为二维旋转和三维旋转两种形式。

二维旋转是指将一个平面图形绕某个点进行旋转，使之保持在同一平面内。

常见的二维旋转有顺时针旋转和逆时针旋转两种方式。

通过改变旋转角度和旋转中心，可以实现不同程度和方向的旋转效果。

三维旋转是指将一个立体物体绕某个轴心进行旋转，使之在三维空间中改变位置和形状。

三维旋转可以分为绕X轴旋转、绕Y轴旋转和绕Z轴旋转三种方式。

通过改变旋转角度和旋转轴心，可以实现物体在空间中的不同方向和角度的旋转效果。

旋转在立体几何中具有广泛的应用，例如在计算机图形学中，通过旋转可以实现三维模型的动画效果；在建筑设计中，通过旋转可以改变建筑物的外观和立面效果；在机械制造中，通过旋转可以实现零件的加工和装配等。

二、翻折的立体几何变换方法翻折是指将一个图形或物体沿某个轴线进行翻转的几何变换方法。

在立体几何中，翻折可以分为二维翻折和三维翻折两种形式。

二维翻折是指将一个平面图形沿某条线进行对称翻转，使之在同一平面内改变位置和形状。

常见的二维翻折有水平翻折、垂直翻折和对角线翻折三种方式。

通过改变翻折轴线，可以实现不同方向和位置的翻折效果。

三维翻折是指将一个立体物体沿某个平面进行对称翻转，使之在三维空间中改变位置和形状。

三维翻折可以分为水平翻折、垂直翻折和对角线翻折三种方式。

通过改变翻折平面，可以实现物体在空间中的不同位置和形状的翻折效果。

翻折在立体几何中也有广泛的应用，例如在纸艺中，通过翻折可以制作出各种精美的折纸作品；在建筑设计中，通过翻折可以改变建筑物的外观和结构；在产品设计中，通过翻折可以实现产品的折叠和收纳等。

与直角有关的折叠、旋转（讲义）一、知识点睛1．折叠与旋转都是 _______ ，变换前后 ________ 、 ______ 都相等，从而实现条件的转移．2． 基本图形中有直角，要考虑直角如何使用——看作 关系，看作 ，看 作_____ 等；如果直角被转移，关注转移之后直角的情况（被转移，被分割，或者跟其他几何特征结合） ，考虑如何用直角的性质解决问题．3． 变换过程中产生直角：折叠过程中，对称轴 __ 对应点所连的线段（从而产生直角）；旋转过程中，由特殊的边、角关系产生直角．1. 如图，在 Rt △ABC 中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，将 BC 向 BA 方向翻 折过去，使点 C 落在 BA 上的点 C ′处，折痕为 BE ，则 EC 的长度是（）A ．5 3B ．5 3 5C ．10 5 3D ． 5 3第 1 题图 如图，在正方形纸片直线折叠，使点 C 落在 EF 上，落点为 N ，折痕交 CD 边于点 M ，BM 与 EF 交于点 P ，再展开．则下列结论：①CM ＝DM ；②∠ABN ＝30°；③AB 2 3CM 2； ④△ PMN 是等边三角形．其中正确的有（）A ．1 个B ．2个C ．3个D ．4 个3. 把一张矩形纸片 ABCD 按如图方式折叠，使顶点 B 和顶点 D 重合，折痕是EF ．若 BF ＝4，CF ＝2，则∠ DEF ＝．精讲精练第 2 题图ABCD 中， E ，F 分别是 AD ，BC 的中点，沿过点 B 的 2.第 3 题图第 4 题图4. 如图， CD 是Rt △ABC 斜边 AB 上的高，将△ BCD 沿 CD 折叠， B 点恰好落 在 AB 的中点 E 处，则∠ A 等于 ____ ．5. 如图，正方形 ABCD 中，AB=6，点 E 在边 CD 上， CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△ AFE ，延长 EF 交边 BC 于点 G ，连接 AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG=GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC =3. 其中正确的结论有（）个．第 8题图 第 9 题图9. Rt △ABC 中，已知∠ C ＝90°，∠B ＝50°，点D 在边 BC 上，BD ＝2CD ．把△ABC 绕着点 D 逆时针旋转 m （0<m <180）度后，如果点 B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么 m ＝ ______ ．6. 动手操作：在矩形纸片 C ．3 D ． 4ABCD 中，AB=3，AD=5. 如图所示，折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的 A 处，折痕为 PQ ，当点 A 在 BC 边上移动时，折痕的端点 P 、Q 也随之移动 . 若限定点 P 、 Q 分别在 AB 、AD 边上移动，则点 A 在BC 边上可移动的最大距离为.7. 如图，在 Rt △ABC 中，∠ ABC=90°，∠ACB=30°， 将△ ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 15°后得到 △AB 1C 1，B 1C 1交 AC 于点 D ，如果 AD=2 2，则 △ABC 的周长等于 ．8. 如图，在 Rt △ABC 中， ACB=90°， A=30°，将△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 n 度后得到△ EDC ，此时点 D 在AB 边上， 斜边 DE 交AC 边于点 F ，则 n 的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ）A ．30，2B ．60，2C ．60， 3D ． 60， 3D 第 5 题图 EC 1210. 如图，P 是等边△ ABC 内一点， AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB 的度数．A11. 如图，正方形 ABCD 中有一点 P ，且 PA=1，PB=2，PC=3，求 APB 的度数．12. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ ABC=30°，∠ ADC=60°， AD=CD ．求证：BD 2=AB 2+BC 2．13. 如图，一个牧童在小河的南 400m 的A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西800m 北 700m 处，他想把他的马牵到小河边去饮水， 然后回家．他要完成这 件事情所走的最短路程是多少？小河B14. 如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，AE=3，BE=1，P 为AC 上的动点，求PB+PE 的最小值．15. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ______ cm．第15 题图第16 题图 1 第16 题图216. 如图，小明要给正方形桌子买一块正方形的桌布．铺成图 1 时，四周垂下的桌布，其长方形部分的宽均为20cm；铺成图 2 时，四周垂下的部分都是等腰直角三角形，且桌面四个角的顶点恰好在桌布边上，则要买桌布的边长是 ______ cm．17. 勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成的图案，它可以验证勾股定理．在下面的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠ BAC=30°，AB=4．作△ PQR使得∠ R=90°，点H在边QR 上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，那么△PQR的周长等于．QB三、回顾与思考【参考答案】一、知识点睛1. 全等变换，对应线段、对应角2. 垂直，距离，高；3. 垂直平分二、精讲精练1．B 2．C 3．60° 4．30°5．C 6．2 7．6+2 3 8．C 9．80°或120° 10．150°，证明（略）11．135°证明（略）12．（略）13．1700m，证明（略）14．5 证明（略）15．15 16．40 2+80 17．27+13 3与直角有关的折叠、旋转（随堂测试）1. 将直角边长为5cm的等腰直角△ ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C，′ 求图中阴影部分的面积．' BDDB D BAEC ECC ．2D ． 12. 如图，在矩形纸片 ABCD 中， AB=2，AD=1，沿过点 B 的直线折叠，使点 A落在边 CD 上的点 A ′处，折痕交边 AD 于点 E ． （1）求∠DA ′E 的大小； （2）求△ A ′BE 的面积．参考答案】25 3 1.62. （1）60°，（2） 4 2 3与直角有关的折叠、旋转（作业）1. 如图，有一块矩形纸片 ABCD ， AB=8，AD=6．将纸片折叠，使得 AD 边落在AB 边上，折痕为 AE ，再将△ AED 沿 DE 向右翻折，AE 与 BC 的交点为F ， 则 CF 的长为（ ）'C7.A．3B．2 D．2 3第 6 题图两块完全一样的含30°角的三角板重叠在一起，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，则此时两直角顶点C，C 间的距离是若绕长直角边中点M 转动，如图，∠A＝30°，AC＝10，将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE，EF 为折痕，∠ BAE=30°，AB= 3 ，折叠后，点 C 落在AD 边上的C1 处，处，则BC 的长为（）3. 如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B落在点 F 处，折痕为AE，且EF=3．则AB 的长为（） A ．3B．4 C．4. 第 2 题图第 3 题图如图所示，在完全重合放置的两张矩形纸片面的矩形纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为点G，连接DG，则图中阴影部分的面积为（）ABCD 中，AB=4，BC=8，将上5.A． 4 33B．6 C．185D．365如图所示，已知在三角形纸片∠BCA=90°．在AC 上取一点A 与BC 延长线上的点 D 重合，则DE 的长度为（AB=6，A．6 B．3 3ABC 中，BC=3，E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，）C．2 3 D．36.并且点 B 落在EC1 边上的B1AF第 5 题图C．3B8. 如图，把一正方形纸片ABCD 沿MN 折叠使得B点恰好落在AD 边的中点 E处，试说明△ AME 的三边之比为3:4:5．9. （1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点，则PB+PE 的最小值是___ ；（2）如图2，∠AOB=45°，P 是∠ AOB 内一定点，PO=10，Q、R 分别是OA、OB 上的动点，求△ PQR 周长的最小值．（要求画出示意图，写出解题过程）BB图19. 如图，四边形ABCD 是直角梯形，且AB=BC=2AD，PA=1，PB=2，PC=3．（1）求∠ APB的度数；（2）求AB2；（3）求梯形ABCD 的面积．44111.C2. D3. C4. C5. C6. 57.略 2）5 2 2 ；（3） 15+6 2参考答案】8.（1） 5 ；（ 2）10 2 9.（1）135°；。