斯特林公式及其精确化形式

韩山师范学院学生毕业论文（2012届）韩山师范学院教务处制诚信声明我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。

毕业论文作者签名：签名日期：年月日摘要：本文在蔡聪明教授的基础上猜想出斯特林公式新的探求过程，并改进了一些证明方法。

利用计算机的实验数据图，大胆猜想得出斯特林公式的改良式，最后运用传统的数学方法证明它比斯特林公式更加精确，并求出它的误差范围和相对误差范围，解决了参考文献[2]的作者蔡永裕没有解决的问题。

关键词：斯特林公式；改良式；误差；相对误差Abstract：This paper conjectures a new search of Stirling formula based on the research of Professor Cai Congming, and it also improves the proving methods. By using the experimental data generated by computer, we guess out the reform-type of Stirling formula audacity, which has proved to be more accurate economicaly than that of using the traditional mathematical methods. By determining its error limit and relative error range ,it solves the problem which the author of refs [2] Cai Yongyu left.Key words:Stirling formula;improved;error;relative error目录1. 斯特林公式的探求过程 (1)1.1用nn和对n n⎪⎭⎫⎝⎛2对n！进行估计 (1)1.2用nen⎪⎭⎫⎝⎛对n！进行估计 (3)1.3改进nen⎪⎭⎫⎝⎛的形式 (5)1.4证明斯特林公式 (6)2.用计算机求斯特林公式的精细化形式 (7)2.1猜想斯特林公式的改良式 (7)2.2构造改良式函数f（n） (8)2.3用线性回归求f（n） (11)2.4改良式的简单形式 (12)3. 改良式的相关证明 (12)3.1 n!的相关定理和推论 (12)3.2证明改良式比斯特林公式更好 (13)3.3求改良式的误差及相对误差范围 (14)4.结束语 (16)参考文献 (17)致谢 (18)斯特林公式及其精细化形式斯特林公式在数学分析、数论、概率论及相关领域的各个方面都有重要的应用。

斯特林数和自然数前m 项n 次方的求和公式将 n 个元素，分成 k 个非空子集，不同的分配方法种数，称为斯特林数（Stirling Number ），记为),(k n S ，n k ≤≤1。

例如，将4个物体d c b a ,,,分成3个非空子集，有下列6种方法：)}(),(),,{(d c b a ，)}(),(),,{(d b c a ，)}(),(),,{(c b d a ， )}(),(),,{(d a c b ，)}(),(),,{(c a d b ，)}(),(),,{(b a d c 。

所以，6)3,4(=S 。

斯特林数),(k n S 的值列表如下：容易看出，有 1),()1,(==n n S n S ，12)2,(1-=-n n S ，2)1,(2==-C n n S n 。

定理1 当 n k ≤≤2 时，有 ),()1,(),1(k n kS k n S k n S +-=+ 。

证 把1+n 个元素分成k 个非空子集，有),1(k n S +种不同分法。

把1+n 个元素分成k 个非空子集，也可以这样考虑：或者将第1+n 个元素单独作为1个子集，其余n 个元素分成1-k 个非空子集，这种情况下有)1,(-k n S 种不同做法；或者先将前n 个元素分成k 个非空子集，有),(k n S 种分法，再将第1+n 个元素插入这k 个子集，有k 种选择，这种情况下有k ),(k n S 种不同做法。

所以共有),()1,(k n kS k n S +-种分法。

两种考虑，结果应该是一样的，因此有 ),()1,(),1(k n kS k n S k n S +-=+ 。

如果规定当1<k 或n k >时，0),(=k n S ，则公式 ),()1,(),1(k n kS k n S k n S +-=+对 任何正整数n 和任何整数k 都成立。

定理2 对任何整数 n 1≥ 和 0≥k ，有∑-=--=1)()1(!1),(k i n i k i i k C k k n S 。

excel斯透奇斯规则求组数斯特林公式（又称斯特林逼近公式）是数学中常用的一种组合估值公式，用来估计阶乘函数n!的值。

它由英国数学家詹姆斯·斯特林于1730年左右发现并证明。

斯特林公式的形式为：n!≈√(2πn)*(n/e)^n其中，n是一个正整数，π是圆周率，e是自然常数（底数为e的自然对数约等于2.718）。

斯特林公式给出了阶乘的一个相对精确的近似计算值，特别适用于计算大的阶乘，从而避免了直接计算阶乘可能产生的大整数溢出问题。

为了求解斯特林公式在其中一范围内的组数，我们可以利用斯特林公式的逆运算，即求解斯特林公式中的n。

首先，我们需要确定一个目标值，作为我们所要求解的组数的上限。

假设我们所要求解的组数上限为N。

则斯特林公式给出的逼近计算值为：√(2πN)*(N/e)^N我们可以通过不断地增加n的值，将斯特林公式计算值逐步逼近目标值N，从而确定一个最接近N的整数n。

具体的求解过程如下：1.初始化起始值为一个正整数n，假设为12. 根据斯特林公式计算当前 n 的近似计算值，记为 value。

value = √(2πn) * (n / e)^n3. 判断 value 是否小于目标值 N。

- 如果 value < N，则将 n 增加一定增量（例如 1），并继续计算步骤 2- 如果value ≥ N，则停止计算，并记录此时的 n 值。

4.输出记录的n值作为最终的组数估计结果。

需要注意的是，斯特林公式的近似计算值只是一个估计值，可能会存在一定的误差。

因此，在使用斯特林公式求解组数时，需要根据实际情况进行适当调整和修正。

此外，斯特林公式的计算过程较为复杂，需要计算平方根和次方等复杂运算，因此在实际计算时可能会存在一定的计算复杂性和时间消耗。

对于大的组数，可能需要使用计算机或计算工具来进行计算。

综上所述，我们可以通过斯特林公式和其逆运算，求解给定目标值下的组数。

然而需要注意的是，斯特林公式只是一个近似计算值，可能存在一定的误差，因此在实际应用中需要谨慎使用，并结合实际情况进行适当的修正和验证。

反常识数学公式(二)反常识数学公式集锦引言在数学领域，存在一些看似荒诞可笑的公式，但它们却具有令人难以置信的数学证明和应用。

本文将介绍一些反常识数学公式，并附上相应的例子和解释。

斯特林公式（Stirling’s Formula）斯特林公式是一种估计阶乘函数的公式，由苏格兰数学家詹姆斯·斯特林于1730年提出。

公式表示为：n! ≈ √(2πn)(n/e)^n其中，n表示任意正整数，π是圆周率（约等于），e是自然常数（约等于）。

例如，当n=5时，可以使用斯特林公式来估计5的阶乘：5! ≈ √(2π/)^5) ≈实际上，5的阶乘等于120，而斯特林公式得到的结果只是一个近似值。

费马大定理（Fermat’s Last Theorem）费马大定理是数学史上最著名的问题之一，由法国数学家皮埃尔·费马于1637年提出。

公式表述为：x^n + y^n ≠ z^n, (x, y, z为正整数，n为大于2的整数)这个定理的意思是，对于任何大于2的整数n，不存在正整数解（x, y, z），使得x的n次方加上y的n次方等于z的n次方。

例如，当n=3时，费马大定理可以表示为：x^3 + y^3 ≠ z^3这意味着无论如何选取正整数x、y和z，它们的三次方之和不可能相等。

费马大定理在数学中被广泛研究和讨论，并直到1995年才由英国数学家安德鲁·怀尔斯成功证明。

错误的证明（False Proof）在数学中，有时候会出现一些看似正确的证明方法，但实际上是错误的。

以下是一个例子：定理：1=2 证明： - 设a=b - 则：a^2 = ab （两边同时乘以a）- 渐进计算：a^2 - b^2 = ab - b^2 （两边同时减去b^2） - 因为a=b，所以有：a^2 - b^2 = ab - b^2 - 这可以变形为：(a+b)(a-b)= b(a-b) - 接下来，我们可以约分，得到：a+b = b - 由于a=b，所以可以继续变形：b+b = b - 继续简化：2b = b - 除以b得到：2 = 1 - 因此，我们得到了1=2的结论。

斯特林公式推导斯特林公式（LeibnizFormula）又称作斯特林公理（LeibnizAxiom），是丹斯斯特林发现的一个重要的数学定理。

斯特林在17世纪的十月份发现了斯特林公式，它是一个描述任何函数的一元微积分的有用定理。

斯特林公式的推导将有助于我们更好地理解微积分的原理，其中包括对函数的微分和对它的积分，以及它们如何相互作用的。

斯特林公式是一个多项式，可以用来求出任何函数的一阶导数。

这个定理描述了函数的一阶微分与它在曲线上的积分之间的关系。

它表明，如果函数f (x) x=a可导，那么它的一阶导数f(a)于函数f(x)[a, b] 之间的积分。

这里的a和b是一个区间，也可以用作不定积分的边界。

也就是说，斯特林公式可以用来求出函数的一阶导数。

斯特林公式的推导由基本的微积分概念和定理开始，这些定理源于古希腊时期，并在数学发展的早期受到了很多关注。

斯特林公式的推导基于2个基本的概念：变量和函数。

变量是可变的量，函数是描述它们之间关系的表示式。

函数的性质和概念在古希腊时期也受到了很多关注，当时函数被定义为一个可以变化的量，这就是定积分的概念。

斯特林公式的推导首先涉及到对函数的微分。

微分是在给定的点之外取微小变量的方法，它可以用来求出函数的一阶导数，这也是斯特林公式中涉及的概念之一。

首先，我们将一般函数定义为：f(x)=f(x+Δx)这里f (x)表示函数，Δ x表示变量。

接下来，我们可以求出函数f(x)Δx的微分，它由变量Δ x的极限与函数f(x)增量之比而定： limΔx→0 [ f(x+Δx)-f(x) ] /x = f(x)这里f(x)表示函数f(x)的一阶导数。

接下来，我们可以利用定积分的概念来证明斯特林公式，它描述了函数的一阶导数与它的积分之间的关系。

可以证明，如果函数f (x)在x = a处可导、且具有可积性，那么它的一阶导数由如下的定积分决定：f(a)=ab∫f(x)dx这里的b是一个区间，也可以用作不定积分的边界。

组合数近似公式
组合数是数学中的一个概念，表示从n个不同元素中选取r个元素的组合方式的数量。

用符号C(n,r)来表示。

对于较小的n和r，可以直接使用组合数公式计算，即C(n,r) = n! / (r!(n-r)!),其中"!"表示阶乘。

然而，当n和r很大时，计算阶乘的运算量非常大，很难直接计算。

在这种情况下，可以使用近似公式来计算组合数。

常见的近似公式之一是斯特林公式（Stirling's approximation），即：
n! ≈ √(2πn)(n/e)^n
根据斯特林公式，可以得到组合数的近似公式：
C(n,r) ≈ √(2πn)(n/e)^n / [√(2πr)(r/e)^r * √(2π(n-r))((n-r)/e)^(n-r)]
这个近似公式可以用于估算组合数的值，特别是当n和r都很大时。

需要注意的是，这个近似公式只是提供了一个近似的数量级，不是准确的计算结果。

对于精确的计算，应使用精确的组合数公式。

拓展：
除了斯特林公式外，还有其他的组合数近似公式。

其中，包括高斯近似公式、泊松分布近似等等。

这些公式都是为了在计算复杂的组合数时提供一个近似的解决方案。

同时，还可以结合计算机编程以及算法优化等方法，来提高组合数计算的效率。

n阶乘近似公式n阶乘近似公式是一种用来计算阶乘的近似值的方法。

阶乘是指从1乘到n的连续整数的乘积，通常用n!表示。

在实际计算中，当n 的值非常大时，直接计算n!往往会遇到计算量过大的问题。

因此，人们提出了一种近似计算n!的方法。

n阶乘近似公式的核心思想是利用数学的逼近方法，通过一系列运算逼近出n!的近似值。

其中最著名的近似公式是斯特林公式，它可以用来计算较大的n的阶乘。

斯特林公式的表达式如下：n! ≈ √(2πn) * (n/e)^n其中，π是圆周率，e是自然对数的底数，约等于2.71828。

斯特林公式的近似效果较好，特别是在n较大时。

然而，需要注意的是，斯特林公式仅为n!提供了一个近似值，并不能完全等同于精确值。

因此，在具体应用中，需要根据实际需求和精度要求来选择适当的计算方法。

除了斯特林公式外，还有其他一些近似计算n!的方法。

例如，泰勒级数展开法可以将n!表示为一系列无穷级数的求和形式，通过截断级数来近似计算n!。

此外，还有一些递推公式和递推关系可以用来计算n!的近似值。

这些方法各有优劣，适用于不同的问题和场景。

在实际应用中，n阶乘近似公式可以帮助我们高效地计算阶乘。

无论是在数学领域的研究中，还是在工程技术的实际应用中，阶乘的计算都是非常常见的。

通过使用近似公式，我们可以快速获得阶乘的近似值，从而简化计算过程，提高计算效率。

n阶乘近似公式是一种用来计算阶乘的近似值的方法。

斯特林公式是其中最著名的一种近似公式，可以用来计算较大的n的阶乘。

除了斯特林公式外，还有其他一些方法可以用来近似计算n!。

这些方法在实际应用中具有重要的意义，可以帮助我们高效地计算阶乘。

斯特林公式推导
按照斯特林公式推导，我们可以做出准确的计算。

斯特林公式是一种用来计算不定积分的方法，它的公式是：∫u'(x)dx=u(x)+C，其中u(x)是待求积分函数，u'(x)表示u(x)的一阶导数，C是定值。

斯特林公式可以帮助我们计算不定积分，给出正确的答案。

斯特林公式不仅可以用来计算一般函数的不定积分，也可以用来计算复杂函数的不定积分，如指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数等。

斯特林公式的发明者是18世纪德国数学家斯特林。

斯特林公式的使用方法很简单，只需将待求积分函数u(x)带入斯特林公式，解导数u'(x)，然后求得u(x)的积分为：u(x)+C，这样斯特林公式就帮助我们解出了我们所求的不定积分。

总之，斯特林公式可以用来计算不定积分这一难题，简化计算给我们提供了很大的便利。

同时它也给出了正确的答案，被数学家们广泛使用，是一个重要的积分计算公式。

斯特林公式之证明n!≈√(2πn)*(n/e)^n其中n!表示n的阶乘，π是圆周率，e是自然对数的底数。

下面我们来证明斯特林公式。

首先，我们需要使用泰勒级数的展开来估算n的阶乘。

根据泰勒级数公式，对于一个光滑的函数f(x)在x=a处的展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...其中f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示二阶导数，以此类推。

我们来考虑对数函数ln(x)在x=e处的泰勒级数展开式。

我们有：ln(x) = ln(e) + ln'(e)(x-e) + ln''(e)(x-e)²/2! + ln'''(e)(x-e)³/3! + ...由于ln(e) = 1，根据对数函数的性质，我们知道ln'(e) = 1/e，ln''(e) = -1/e²，ln'''(e) = 2/e³，以此类推。

将这些值代入到泰勒级数展开式中，我们可以得到：ln(x) = 1 + (x-e)/e + (-1/e²)(x-e)²/2! + (2/e³)(x-e)³/3!+ ...接下来，我们对ln(x)进行积分。

由于积分是微分的逆过程，我们注意到对于ln(x)的一阶导数是1/x，因此ln(x)的不定积分为：∫ln(x)dx = xln(x) - x + C其中C为常数。

现在，我们将ln(n)的积分值带入斯特林公式中。

我们有：∫ln(n)dx = nln(n) - n + C而n!的定义为n!=1*2*3*...*n，对于这个表达式，我们可以转化为求n!的对数值：ln(n!) = ln(1 * 2 * 3 * ... * n) = ln(1) + ln(2) + ln(3)+ ... + ln(n)然后我们将ln(n!)写成对数之和的形式，得到：ln(n!) = ∫ln(n)dx = nln(n) - n + C因此，我们可以得到：n! = e^(nln(n) - n) * e^C现在，我们再次来考虑斯特林公式：n!≈√(2πn)*(n/e)^n我们来比较两个表达式，看是否相似：e^(nln(n) - n) * e^C ≈ √(2πn) * (n/e)^n我们注意到e^C是一个常数，不影响我们的比较。

斯特林公式推导范文首先，我们从n!的定义开始推导，n!表示从1到n的所有正整数的乘积。

我们可以将n!表示为：n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1接下来，我们取对数两边：ln(n!) = ln(n*(n-1)*(n-2)*...*2*1)由于ln(a*b) = ln(a) + ln(b)，我们可以将ln(n!)展开为：ln(n!) = ln(n) + ln(n-1) + ln(n-2) + ... + ln(2) + ln(1)现在，我们使用泰勒级数展开来近似这个和式。

泰勒级数展开将函数表示为无穷级数的形式，它是许多函数的重要近似方法。

泰勒级数展开公式如下：f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)^2f''(a)/2!+(x-a)^3f'''(a)/3!+...我们可以将ln(n)在x=a=1展开，其中n是无穷级数中的自变量，a是展开点：ln(n) = ln(a) + (n-a)d/dx ln(x)，x=a + (n-a)^2d^2/dx^2 ln(x)，x=a/2! + (n-a)^3d^3/dx^3 ln(x)，x=a/3! + ...因为我们展开点是1，所以a=1，我们可以简化这个泰勒级数展开为：ln(n) = (n-1)d/dx ln(x)，x=1 + (n-1)^2d^2/dx^2 ln(x)，x=1/2! + (n-1)^3d^3/dx^3 ln(x)，x=1/3! + ...现在，我们取到n的整数部分（n-1），并将其视为连续的变量n。

我们可以将d/dx ln(x)表示为1/x，d^2/dx^2 ln(x)表示为-1/x^2，d^3/dx^3 ln(x)表示为2/x^3，依此类推。

然后，我们将每一项进行近似：(n-1)d/dx ln(x)，x=1 ≈ (n-1)(1/1) = n-1(n-1)^2d^2/dx^2 ln(x)，x=1 ≈ (n-1)(-1/1^2) = -(n-1)(n-1)^3d^3/dx^3 ln(x)，x=1 ≈ (n-1)(2/1^3) = 2(n-1)将这些代入之前的泰勒级数展开ln(n) ≈ (n-1) - (n-1) + 2(n-1) + ...=n-1现在，我们取指数，得到：n!≈e^(n-1)对斯特林公式的推导就到此为止。