排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？图中“”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。
但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。
插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法.应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（2）所分成的每一组至少分得一个元素(3) 分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用e 二次插板法例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、…．），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
相邻问题——捆绑法对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”在一起，看作一个“大”的元素，与其它元素排列，然后再对相邻的元素内部进行排列。
(例3）7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种站法？分析：先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，与其余4人共有5个元素做全排列，有55A种排法，然后对甲，乙，丙三人进行全排列由分步计数原理可得：5353A A种不同排法例4：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？解：将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有55A种排法，而三个女孩之间有33A种排法所以不同的排法共有：5353720A A（种）。
变式1：若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法？不同的排法有：（种）对于相邻问题,常常先将要相邻的元素捆绑在一起,视作为一个元素,与其余元素全排列,再松绑后它们之间进行全排列.这种方法就是捆绑法.不相邻问题——插空法对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可。
例4）7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种站法？分析：可先让其余4人站好，共有44A种排法，再在这4人之间及两端的5个“空隙”中选三个位置让甲，乙，丙插入，则有35 A种方法，这样共有3445AA种不同的排法。
变式2：若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？解：先把四个男孩排成一排有44A种排法，在每一排列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入空档中有35A种方法，所以共有：43451440A A=（种）排法。
变式3：男生、女生相间排列，有多少种不同的排法？23423428 A A A=解：先把四个男孩排成一排有44A种排法，在每一排列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入空档中有33A种方法，所以共有：4343144A A=（种）排法。
计数专题学习目标1.正确理解“标数”法计算路径数目；2.正确理解“加法原理”、“乘法原理”的意义和运用场景；2.正确理解“排列”、“组合”的意义、区别和计算公式；3.正确掌握“优选法”“捆绑法”、“插空法”、“隔板法”这些排列组合解题技巧，理解各种排列组合解题技巧的原理，所解决的问题类型及其解题方法；一. 标数法例题：在左下图中，从 A 点沿实线走最短路径到 B 点，共有多少条不同路线？分析与解：题目要求从左下向右上走，所以走到任一点，例如右上图中的D点，不是经过左边的 E 点，就是经过下边的 F 点。
如果到 E 点有 a 种走法（此处 a＝ 6），到 F 点有 b 种走法（此处 b＝ 4），根据加法原理，到 D 点就有（ a＋b）种走法（此处为 6＋ 4=10）。
我们可以从左下角 A 点开始，按加法原理，依次向上、向右填上到各点的走法数（见右上图），最后得到共有35 条不同路线。
二 .加乘原理加法原理：分情况、分类计数；乘法原理：分步骤完成，各步骤单独计数，再连乘；加乘混合：加法、乘法混合使用；（1）一个步骤内有多种情况时，在计算本步骤时用加法，再总体用乘法计算出所有情况；（2）总体分几种情况，分别计算各种情况时分步骤用乘法，再将各种情况汇总用加法加法原理与乘法原理的区别：乘法原理和加法原理是两个重要而常用的计数法则，在应用时一定要注意它们的区别。
乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积；加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务（一步完成任务），所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和。
例题：由 A 村去 B 村有 2 条路可走，由 B 村去 C村有 4 条路可走，问从 A 村经 B 村去 C村，共有多少种不同的走法？ A B C三 . 排列组合排列：有顺序要求（交换顺序，就产生新的计数）2乘法原理； A =5×45从 n 个不同的元素中取出 m ( m n ) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列．（ 1）两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同． （ 2）如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；（ 3）如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．计算： 乘法原理 ：从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数是n （n 1）（ n 2）L （ n，即m 1）P m（n n 1）（. n 2）L （ n m 1） n ，且等号右边从 n 开始，共有 m个因数相乘。
排列组合问题——插板法(分组)、插空法(不相邻)、捆绑法(相邻)插板法(m为空得数量)【基本题型】有ｎ个相同得元素,要求分到不同得m组中,且每组至少有一个元素,问有多少种分法？图中“"表示相同得名额,“”表示名额间形成得空隙,设想在这几个空隙中插入六块“挡板",则将这１0 个名额分割成七个部分,将第一、二、三、……七个部分所包含得名额数分给第一、二、三……七所学校,则“挡板"得一种插法恰好对应了１0 个名额得一种分配方法,反之,名额得一种分配方法也决定了档板得一种插法,即挡板得插法种数与名额得分配方法种数就是相等得,【总结】ﻫ需满足条件:ｎ个相同元素,不同个ｍ组,每组至少有一个元素,则只需在ｎ个元素得n－1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
ﻫ注意:这样对于很多得问题,就是不能直接利用插板法解题得。
但,可以通过一定得转变,将其变成符合上面3个条件得问题,这样就可以利用插板法解决,并且常常会产生意想不到得效果。
插板法就就是在n个元素间得(n—１)个空中插入若干个(b)个板,可以把n个元素分成(b+１)组得方法.应用插板法必须满足三个条件:(1) 这n个元素必须互不相异(2)所分成得每一组至少分得一个元素ﻫ(3)分成得组别彼此相异举个很普通得例子来说明把1０个相同得小球放入3个不同得箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况？问题得题干满足条件(1)(２),适用插板法,c9 2＝36 ﻫ下面通过几道题目介绍下插板法得应用e二次插板法ﻫ例8:在一张节目单中原有６个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况？ﻫ－o — o －ｏ－o -ｏ—o —三个节目ａｂｃ可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共就是c71×ｃ８１×c9 1=50４种【基本解题思路】将n个相同得元素排成一行,n个元素之间出现了(n－１)个空档,现在我们用(m—１)个“档板”插入(n-1)个空档中,就把ｎ个元素隔成有序得ｍ份,每个组依次按组序号分到对应位置得几个元素(可能就是１个、2个、3个、4个、…。
