大学物理-量子力学基础习题思考题及答案
习题
22-1．计算下列客体具有MeV 10动能时的物质波波长，(1)电子；（2）质子。
解：(1) 电子高速运动，设电子的总能量可写为：20K E E m c =+ 用相对论公式，
22224
0E c p m c =+ 可得
p =
=
=
h p
λ=
=
834
-=
131.210m -=⨯
（2）对于质子，利用德布罗意波的计算公式即可得出：
3415h 9.110m p λ--====⨯
22-2．计算在彩色电 视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为kV 0.25，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。
解：（1）用非相对论公式：
m
meU h mE h 123
193134108.71025106.1101.921063.622p h ----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====λ（2）用相对论公式：
4
20222c m c p +=E
eU E E k ==-20c m
m eU eU c m h
mE
h 122
20107.722p
h -⨯=+=
==
）
（λ
22-3．一中子束通过晶体发生衍射。已知晶面间距nm 1032.72-⨯=d ，中子的动能eV 20.4k =E ，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角.
解：先利用德布罗意波的计算公式即可得出波长：
34
11
h 1.410p m λ--====⨯
再利用晶体衍射的公式，可得出：2sin d k ϕλ= 0,1,2k =…
1111
1.410sin 0.095227.3210k d λϕ--⨯===⨯⨯ ， 5.48ϕ=
22-4．以速度m/s 1063⨯=v 运动的电子射入场强为5V/cm =E 的匀强电场中加速，为使电子波长
A 1=λ，电子在此场中应该飞行多长的距离？
解：34
10
h 110p m λ--====⨯
可得：U=150.9V ，所以 U=Ed ，得出d=30.2cm 。
22-5．设电子的位置不确定度为
A 1.0，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为keV 1，计算电子能量的不确定度。
解：由测不准关系： 34
2410
1.0510 5.2510220.110h p x ---⨯∆===⨯∆⨯⨯ 由波长关系式：E
c
h
=λ 可推出： E E c h ∆=∆λ
2
151.2410E E E J hc pc
λ-∆∆===⨯∆ 22-6．氢原子的吸收谱线
A 5.4340=λ的谱线宽度为
A 102
-，计算原子处在被激发态上的平均寿命。 解：能量hc
E h νλ
==
，由于激发能级有一定的宽度ΔE ，造成谱线也有一定宽度Δλ，两
者之间的关系为：2
hc
E λ
λ∆=∆
由测不准关系，/2,E t ∆∆≥平均寿命τ=Δt ，则
22224t E hc c λλτλπλ=∆===∆∆∆102112108
(4340.510)510s 4 3.141010310
----⨯=
=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 22-7．若红宝石发出中心波长m 103.67-⨯=λ的短脉冲信号，时距为
)s 10(ns 19-，计算该信号的波长宽度λ∆。
解：光波列长度与原子发光寿命有如下关系：
x c t ∆=∆
22
24x x p λλπλλ∆==≈
∆∆∆ 72
2389
(6.310) 1.32310nm 31010
c t λλ---⨯∆===⨯∆⨯⨯
22-8．设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为h L ≥∆∆θ，式中L ∆为粒子角动量的不确定度，θ∆为粒子角位置的不确定度。
证明：当粒子做圆周运动时，半径为r ，角动量为：L=rmv=rp 其不确定度
P r L ∆=∆
而做圆周运动时： θ∆=∆r x
利用：h x P ≥∆•∆ 代入，可得到：h L ≥∆∆θ。
22-9．计算一维无限深势阱中基态粒子处在0=x 到3/L x =区间的几率。设粒子的势能分布函数为：
⎩
⎨⎧><∞=<<=L x x x U L x x U 和0,)(0,0)(
解：根据一维无限深势阱的态函数的计算，当粒子被限定在0一化的波函数为：⎪⎩⎪⎨⎧><=ψ<<=
ψL x x x L x x l
n l x n
n 和0,0)(0,sin 2)(π
概率密度为： L x x l
n l x P n <<=0,sin 2)(2π
粒子处在0=x 到3/L x =区间的几率：3
2sin 2131sin 2)(230
πππn n x l n l x P l
n -==⎰
如果是基态，n=1，则3
20
2112()sin sin 0.195323
l
n P x x l l πππ=
=-=⎰
