1、正负数、有理数的概念和分类(七上)

有理数及其相关概念一、正数与负数1、正数：大于0的数（“+”通常省略不写）叫正数。

2、负数：在正数前面加“—”的数叫负数（负数小于0）。

3、数0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界线。

4、正负数是表示相反意义的两个量，正数的"+"号平时可略去不写，有时为了强调，也可以写上，而负数前面的“—”号切记不能省略。

5、对于正负数概念，不能简单理解为带“+”的数是正数，带“—”的数是负数，如+0是0，—0也是0，当a是负数时，—a就代表正数。

二、有理数1、整数和分数统称为有理数。

2、整数包括正整数、0、负整数。

3、分数包括正分数和负分数。

4、整数可以看成是分母为1的分数。

5、有限小数和有限循环小数都可以用分数表示。

6、有理数的分类：（1）按符号分类：正有理数，0，负有理数；（2）按定义分类：整数，分数。

7、通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数。

8、如果用字母a表示。

则①a>0表示正数，②a<0表示负数，③表示非负数④表示非正数四、数轴数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线就叫数轴。

画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向。

①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴上要有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；原点的选定、正方向的选取和单位长度的确定，都可以根据实际需要规定。

②数轴上的点表示全体实数，有理数和数轴上的点不是一一对应的关系。

五、相反数1、相反数：只有符号不同的两个数，我们说其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。

正数的相反数是负数；0的相反数是0；负数的相反数是正数。

2、相反数的几何意义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。

3、互为相反数的两个数相加为0,。

六、绝对值1、几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作｜a｜，读作a的绝对值，绝对值不能是负数。

七年级数学上册有理数知识点、重点、难点、易错点归纳总结一、知识框架图知识点详列：1、正数和负数：数0既不是正数也不是负数。

正数和负数是表示两种具有相反意义的量。

2、有理数分类（1）按定义分类： （2）按性质符号分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数03、数轴：通常，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

它满足以下要求：（1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；（3）选取适当的长度为单位长度。

4、相反数：绝对值相等，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

0的相反数仍是0.5、绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记做|a|。

由绝对值的定义可得：|a-b|表示数轴上a点到b点的距离。

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.6、有理数比较大小正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。

7、有理数的四则运算（1）有理数的加法加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0.③一个数同0相加，仍得这个数。

运算律：加法交换律：a+b=b+a加法结合律:（a+b）+c=a+（b+c）(2)有理数的减法可转化为加法进行，减去一个数等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)。

正-正=正+负；正-负=正+正；负-正=负+负；负-负=负+正。

（4）有理数的乘法乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

②任何数同0相乘，都得0.③乘积是1的两个数互为倒数。

④几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积为负。

第二章 有理数第一节 正数与负数一、基础知识1、正数与负数（1）正数：像3，1.8%，3.5这样大于0的数叫做正数．正数都大于0．（2）负数：像3-， 2.7-这样在正数前加上符号“-”（负）号的数叫做负数．负数都小于0． （3）符号：一个数前面的“+”，“-”号叫做它的符号．正数前面的“+” 号可以省略，注意3与3+表示是同一个正数． 负数前面的“-” 号不可以省略． （4）用正数和负数表示具有相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然． 比如：用正数表示向南，那么向北3km 可以用负数表示为3km -． “相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是要有量．2、“0”的特殊性（1）0既不是正数，也不是负数； （2）0是正数与负数的分界； （3）0是自然数； （4）0是偶数； （5）0是整数； （6）0是有理数； （4）0的意义：①0有时表示没有，比如文具盒中有0支铅笔，表示没有铅笔； ②0有时是一个数，比如0℃是一个确定的温度；③0有时也作为基准，比如海拔高度为0m 表示的是海平面的平均高度．3、常见名词：非负数：正数和零统称为非负数；非正数：负数和零统称为非正数；0是非正数，0是非负数；二、课前预习1．（2021•镇海区模拟）规定向右移动3个单位记作+3，那么向左移动2个单位记作（）A．+2B．﹣2C．+D．﹣【分析】一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：向右移动3个单位记作+3，那么向左移动2个单位记作﹣2．故选：B．2．（2021•大渡口区自主招生）下列四个数中，是负数的是（）A．1B．2C．3D．﹣4【分析】根据负数的特征可直接得到答案．【解答】解：1，2，3均为正数，﹣4为负数，故选：D．3．（2021春•江北区期中）我国是最早使用负数的国家，东汉初，在我国著名的数学书《九章算术》中，明确提出了“正负术”．如果盈利20元记作“+20元”，那么亏损30元记作（）A．﹣30元B．30元C．50元D．﹣50元【分析】利用相反意义量的定义判定即可．【解答】解：如果盈利20元记作“+20元”，那么亏损30元记作”﹣30元“，故选：A．4．（2021•河南模拟）如果零上10℃记作+10℃，那么零下3℃可记为（）A．﹣3℃B．+3℃C．±3℃D．℃【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【解答】解：∵零上10℃记作+10℃，∴零下3℃可记作﹣3℃．故选：A．5．（2021春•天心区月考）在下列选项中，既是分数，又是负数的是（）A．8B．C．﹣0.12D．﹣2【分析】利用分数及负数的定义判断即可得到结果．【解答】解：4个选项中，既是分数又是负数的是﹣0.12．故选：C．三、典型例题例1【基础】（2020•广西模拟）如果一个物体向上移动1m，记作+1m，那么这个物体向下移动了2m记作（）A．+1m B．﹣1m C．+2m D．﹣2m【分析】根据正负数是表示两种具有相反意义的量，则一个物体向上移动1m，记作+1m，那么这个物体向下移动了2m记作记作+2m．【解答】解：∵物体向上移动1m，记作+1m，∴物体向下移动了2m记作﹣2m．故选：D．【点评】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．例2 【提高】（2019秋•石家庄期末）两千多年前，中国人就开始使用负数，如果收入100元记作+100，那么支出60元应记作（）A．﹣60B．﹣40C．+40D．+60【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：根据题意，收入100元记作+100，则支出60元应记作﹣60．故选：A．【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．例3【冲刺】（2020•长春模拟）检验4个工件，每个工件以标准质量为基准，超过的质量记作正数，不足的质量记作负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的工件是（）A．﹣2B．﹣3C．3D．5【解答】解：﹣2最接近标准质量，故选：A．【点评】本题考查正数和负数；理解正数和负数在实际中的应用是解题的关键．四、课堂练习1．（2020秋•长春期末）四个数﹣1，0，1，中为负数的是（）A．﹣1B．0C．1D．【分析】根据负数小于0判断即可．【解答】解：，负数是﹣1．故选：A．2．（2021•双柏县模拟）如果盈利80元记作+80元，那么亏损40元记作元．【分析】根据相反意义量作答．【解答】解：盈利80元记作+80元，那么亏损40元记为﹣40元．故答案为：﹣40．3．（2021•云南模拟）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若气温零上5℃记作+5℃，若气温零下3℃，则记作℃．【分析】意义相反的量用正、负数表示．【解答】解：∵正、负数表示相反意义的量，气温零上5℃记作+5℃，∴气温零下3℃记作﹣3℃．故答案为：﹣3．4．（2020•雅安）如果用+3℃表示温度升高3摄氏度，那么温度降低2摄氏度可表示为﹣．【分析】直接利用正负数的意义分析得出答案．【解答】解：如果用+3℃表示温度升高3摄氏度，那么温度降低2摄氏度可表示为：﹣2℃．故答案为：﹣2℃．五、巩固练习1．（2021•高邮市模拟）某超市出售的一种品牌大米袋上，标有质量为（20±0.15）kg的字样，从超市中任意拿出该品牌大米两袋，它们的质量最多相差0.3kg．【分析】根据超市出售的某种品牌的大米袋上，标有质量为（20±0.15）kg的字样，可以求得从超市中任意拿出两袋大米，它们的质量最多相差多少．【解答】解：∵某超市出售的一种品牌大米袋上，标有质量为（20±0.15）kg的字样，∴它们的质量最多相差：0.15﹣（﹣0.15）＝0.15+0.15＝0.3（kg），故答案为：0.3．2．（2021春•莲湖区期中）某公交车每月的支出费用为5000元，每月的乘车人数x与每月的利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（票价是固定不变的）：x50010001500200025003000…y/元﹣4000﹣3000﹣2000﹣1000m1000…（1）请直接写出上表中m的值；（2）观察表中数据可知，每月的乘车人数达到2500人时，该公交车才不会亏损；（3）当每月乘车人数为4000时，请你估计每月的利润为多少元．【分析】（1）根据表格中的变化过程即可求解；（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2500人以上时，该公交车才不会亏损，即可求解；（3）由表中的数据推理即可求解．【解答】解：（1）在这个变化过程中，由表中的数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元；∴m＝﹣1000+1000＝0；（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2500人以上时，该公交车才不会亏损，故答案为：2500；（3）由表中的数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，当每月的乘车人数为2500人时，利润为0元，故每月乘车人数为4000人时，每月的利润是＝3000（元）．3．（2019秋•方城县期中）某自行车厂一周内计划平均每天生产200辆自行车，由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）：星期一二三四五六日增减产量/辆+5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9（1）根据记录的数据可知，该厂星期五生产自行车190辆．（2）根据上表记录的数据可知，该厂本周实际生产自行车1409辆．（3）该厂实行每日计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另外奖励15元，若完不成每天的计划量，则少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？（4）若该厂实行每周计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每辆另外奖励15元，若完不成每周的计划量，则少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到该厂星期五生产自行车的数量；（2）根据题意和表格中的数据，可以得到该厂本周实际生产自行车的数量；（3）根据题意和表格中的数据可以解答本题；（4）根据题意和表格中的数据可以解答本题．【解答】解：（1）∵超产记为正、减产记为负，∴星期五生产自行车200﹣10＝190（辆），故答案为：190；（2）该厂本周实际生产自行车200×7+（+5）+（﹣2）+（﹣4）+（+13）+（﹣10）+（+16）+（﹣9）＝1409（辆），故答案为：1409；（3）200×7+（+5）+（﹣2）+（﹣4）+（+13）+（﹣10）+（+16）+（﹣9）＝1409（辆），1409×60+（5+13+16）×15+（﹣2﹣4﹣10﹣9）×20＝84550（元），答：该厂工人这一周的工资总额是84550 元；（4）实行每周计件工资制的工资为1409×60+9×15＝84675（元），答：该厂工人这一周的工资总额是84675元．第二节有理数一、基础知识1、有理数（1）整数：正整数、0、负整数统称为整数．所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合．（2）分数：正分数、负分数统称为分数．有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数．（3）有理数：整数和分数统称为有理数．2、有理数的分类：（1）()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数 （2）()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数二、课前预习1．（2021•梅列区一模）下列各数属于负整数的是（ ） A ．2B ．﹣2C ．﹣D ．0【分析】根据负整数的定义即可判定选择项． 【解答】解：在2，﹣2，﹣，0中，属于负整数的是﹣2．故选：B ．2．（2021春•杨浦区校级期中）在0.2，﹣（﹣5），﹣，15%，0，5×（﹣1）3，﹣22，﹣（﹣2）2这八个数中，非负数有（ ） A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【分析】根据大于等于0的数是非负数，可得答案．【解答】解：0.2＞0，﹣（﹣5）＞0，15%＞0，0＝0是非负数， 故选：A ．三、典型例题例1【基础】（2019秋•云冈区期末）下列各数：﹣5，1.1010010001…，3.14，，20%，，有理数的个数有（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【分析】直接利用有理数的定义进而判断得出答案．【解答】解：有理数有﹣5，3.14，，20%共4个．故选：B．【点评】此题主要考查了有理数，正确把握有理数的定义是解题关键．例2【基础】（2020•阳新县校级模拟）下列各数：﹣，1.010010001，，0，﹣π，﹣2.626626662…（每两个2之间多一个6），0.12，其中有理数的个数是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：﹣，1.010010001，，0，﹣π，﹣2.626626662…（每两个2之间多一个6），0.12，其中有理数有：﹣，1.010010001，，0，0.12，个数是5．故选：C．例3【提高】（2020•长春模拟）在0、﹣1.5、﹣2、这四个数中，属于负分数的是（）A．0B．C．﹣1.5D．﹣2【解答】解：﹣1.5是负分数，故选：C．例4【冲刺】（2019秋•临洮县期中）把下列各数填在相应的括号内：﹣19，2.3，﹣12，﹣0.92，，0，﹣，0.563，π正数集合{ …}；负数集合{ …}；负分数集合{ …}；非正整数集合{ …}．【分析】按照有理数的分类以及意义直接填空即可．【解答】解：正数集合{2.3，，0.563，π…}；负数集合{﹣19，﹣12，﹣0.92，﹣…}；负分数集合{﹣0.92，﹣…}；非正整数集合{﹣19，﹣12，0 …}．故答案为：{ 2.3，，0.563，π…}；{﹣19，﹣12，﹣0.92，﹣…}；{﹣0.92，﹣…}；{﹣19，﹣12，0 …}．【点评】此题考查有理数的分类，注意：非正包括负数和0；分数包括小数．例5【冲刺】2019秋•崇川区校级月考）把下列各数填在相应的大括号内15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14正整数集合{ …}负整数集合{ …}整数集合{ …}分数集合{ …}．【分析】按照有理数的分类填写．有理数，根据整数，正数，正分数，负有理数的定义可得出答案．【解答】解：正整数集合{15，171，…}负整数集合{﹣3，﹣4，…}整数集合{15，﹣3，﹣4，171，0，…}分数集合{﹣，0.81，，﹣3.1，3.14 …}．【点评】本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．四、课堂练习1．（2021•黄冈模拟）最大的负整数是（）A．0B．1C．﹣1D．不存在【分析】根据负整数的概念和有理数的大小进行判断．【解答】解：负整数是负数且是整数，即最大的负整数是﹣1．故选：C．2．（2021春•杨浦区期中）下列说法正确的是（）A．整数就是正整数和负整数B．负整数的相反数就是非负整数C．有理数中不是负数就是正数D．零是自然数，但不是正整数【分析】按照有理数的分类填写：有理数．【解答】解：A、整数就是正整数和负整数，还有0，故本选项错误；B、负整数的相反数就是正整数，故本选项错误；C、有理数中不是负数就是正数，还有0，故本选项错误；D、零是自然数，但不是正整数，本选项正确；故选：D．3．（2021春•江油市月考）在﹣，，0，﹣1，0.4，π，2，﹣3，﹣6这些数中，有理数有m个，自然数有n个，分数有k个，则m﹣n﹣k的值为（）A．3B．2C．1D．4【分析】除π外都是有理数，所以m＝8；自然数有0和2，所以n＝2；分数有﹣，，0.4，所以k＝3；代入计算就可以了．【解答】解：根据题意m＝8，n＝2，k＝3，所以m﹣n﹣k＝8﹣2﹣3＝8﹣5＝3．故选：A．五、巩固练习1．（2021春•杨浦区校级期中）在数，﹣0.4，0.2，3.14，0.1010010001…（每两个之间多一个0），120%，，100这8个数中，有理数有个．【分析】根据有理数是整数、有限小数或无限循环小数，可得答案．【解答】解：在，﹣0.4，0.2，3.14，0.1010010001…（每两个之间多一个0），120%，，100中，有理数有﹣0.4，0.2，3.14，120%，，100等5个．故答案为：5．2．（2021春•南岗区校级月考）百分数160%化成分数是．【分析】写成分数线形式，根据分数基本性质约分即可．【解答】解：160%＝＝，故答案为：．3．（2021春•吴中区月考）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a、b为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，）、（3，）都是“共生有理数对”．（1）数对（﹣2，1）、（5，）中是“共生有理数对”的是；（2）若（﹣3，m）是“共生有理数对”，求m的值．【分析】根据分别计算a﹣b和ab+1，看是否相等进行判断．【解答】解：（1）∵﹣2﹣1＝﹣3，﹣2×1+1＝﹣1，∴﹣2﹣1≠﹣2×1+1，数对（﹣2，1）不是共生有理数对；而5﹣＝，5×+1＝，∴5﹣＝5×+1，数对（5，）是共生有理数对．故答案为：（5，）．（2）∵（﹣3，m）是共生有理数对，∴﹣3﹣m＝﹣3m+1，解得m＝2．答：m的值是2．第三节数轴一、基础知识1、数轴（1）数轴：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．它满足以下要求：（2）原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点．原点是数轴的基准点．（3）正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向．选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似的方法依次表示1-，3-，…．-，2（4）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．2、数轴的画法（1）画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；（2）在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：（3）确定向右的方向为正方向，用箭头表示；（4）选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致．3、有理数与数轴的关系（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来．（2）数轴上的点并不全是有理数，如π也可以在数轴上表示，但π并不是有理数．（3）正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边．4、利用数轴比较有理数的大小在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数．二、课前预习1．（2021•长春一模）如图，数轴上点A对应的数是2，将点A沿数轴向左移动3个单位至点B，则点B 对应的数是（）A．﹣1B．0C．3D．5【分析】点A向左移动3个单位，则2﹣3＝﹣1．【解答】解：∵点A表示的数为2，将点A向左移动三个单位，∴2﹣3＝﹣1，即点B表示的数为﹣1．故选：A．2．（2021•河南模拟）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是（）A．﹣3.2B．﹣3C．﹣2D．﹣0.5【分析】由数轴上数的特征可得该数的取值范围，再进行判断即可．【解答】解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于﹣3，且小于﹣1，因此备选项中，只有选项C符合题意，故选：C．3．（2021•南海区一模）数轴上表示﹣6和4的点分别是A和B，则线段AB的长度是（）A．﹣2B．2C．﹣10D．10【分析】计算数轴上两点间距离．【解答】解：AB＝4﹣（﹣6）＝10．故选：D．三、典型例题例1【基础】（2020•鼓楼区一模）数轴上，点A、B分别表示﹣1、7，则线段AB的中点C表示的数是（）A．2B．3C．4D．5【分析】数轴上点A所表示的数为a，点B所表示的数为b，则AB的中点所表示的数为．【解答】解：线段AB的中点C表示的数为：＝3，故选：B．【点评】考查数轴表示数的意义和方法，掌握中点所表示的数的计算方法是得出正确答案的前提．例2【基础】（2019秋•张店区期末）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列代数式值是负数的是（）A．a+b B．﹣ab C．a﹣b D．﹣a+b【分析】根据a，b在数轴的位置，即可得出﹣1＜a＜0，b＞1，然后对每一个式子进行分析，即可得出答案．【解答】解：∵﹣1＜a＜0，b＞1，∴a+b＞0，﹣ab＞0，a﹣b＜0，﹣a+b＞0，故选：C．【点评】此题主要考查了实数与数轴、正数和负数以及代数式求值，根据已知得出a，b取值范围是解题关键，是一道基础题．例3【提高】（2020•绥化一模）如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数为﹣2，那么点B表示的数是（）A．﹣1B．0C．3D．4【分析】根据数轴的单位长度为1，点B在点A的右侧距离点A5个单位长度，直接计算即可．【解答】解：点B在点A的右侧距离点A有5个单位长度，∴点B表示的数为：﹣2+5＝3，故选：C．【点评】本题主要考查数轴，解决此题时，明确数轴上右边的数总是比左边的数大是解题的关键．例4【冲刺】（2019秋•仁寿县期末）已知a+b＜0，且b＜0＜a，则数a、b在数轴上距离原点较近的是（）A．a B．bC．a、b一样远近D．无法判断【分析】根据已知条件判断出a，b的符号及绝对值的大小即可．【解答】解：∵a+b＜0，且b＜0＜a，∴|a|＜|b|，∴数a在数轴上距离原点较近，故选：A．【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上右边的数总比左边的大的特点是解答此题的关键．例5【冲刺】（2019秋•思明区校级月考）一只小球落在数轴上的某点P0，第一次从P0向左跳1个单位到P1，第二次从P1向右跳2个单位到P2，第三次从P2向左跳3个单位到P3，第四次从P3向右跳4个单位到P4……若按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点P100所表示的数恰好是2019，则这只小球的初始位置点P0所表示的数是（）A．1969B．1968C．﹣1969D．﹣1968【分析】根据移动的规律，列方程求解即可．【解答】解：设P0所表示的数是a，则a﹣1+2﹣3+4﹣…﹣99+100＝2019，即：a+（﹣1+2）+（﹣3+4）+…+（﹣99+100）＝2019．a+50＝2019，解得：a＝1969．点P0表示的数是1969．故选：A．【点评】考查数轴表示数的意义，利用移动规律列出方程是解决问题的关键．四、课堂练习1．（2021•邢台模拟）如图，在数轴上，注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是（）A．段①B．段②C．段③D．段④【分析】根据数轴的意义及其表示数的性质，可确定四段中各包含的整数个数，即可确定正确答案．【解答】解：段①﹣2.3～﹣1.1中有整数﹣2；段②﹣1.1～0.1中有整数﹣1和0；段③0.1～1.3中有整数1；段④1.3～2.5中有整数2；∴有两个整数的是段②．故选：B．2．（2020秋•宽城区期末）有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数b满足﹣a＜b＜a，则b 的值不可能是（）A．2B．0C．﹣1D．﹣3【分析】根据a的范围确定出﹣a的范围，进而确定出b的范围，判断即可．【解答】解：根据数轴上的位置得：2＜a＜3，∴﹣3＜﹣a＜﹣2，∵﹣a＜b＜a，∴﹣3＜b＜3，则b的值不可能为﹣3．故选：D．3．（2020•丰台区模拟）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a和3，将点A向左平移1个单位长度，得到点C．若OC＝OB，则a的值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．2【分析】先用含a的式子表示出点C，根据CO＝BO列出方程，求解即可．【解答】解：由题意知：A点表示的数为a，B点表示的数为3，C点表示的数为a﹣1．因为CO＝BO，所以|a﹣1|＝3，解得a＝﹣2或4∵a＜0，∴a＝﹣2．故选：B．4．（2021春•杨浦区校级期中）数轴上到表示数﹣4点距离为3的点所表示的数为．【分析】到数轴上一点距离相等的点有两个，要分类讨论．【解答】解：距离点数﹣4为3个单位长度的点有两个，它们分别是﹣4+3＝，﹣4﹣3＝，故答案为﹣或．五、巩固练习1．（2021•海淀区校级模拟）数轴上A，B两点（不与原点O重合）分别表示有理数x1，x2，AB的中点为P，若x1﹣x2＜0，且|x1|＞|x2|，则关于原点O的位置，下列说法正确的是（）A．点O在点A的左侧B．点O在点P的右侧C．点O与点P重合D．点O在线段AP上【分析】根据中点坐标公式可得P表示的数是（x1+x2），再根据x1﹣x2＜0，且|x1|＞|x2|，可得A表示的数是负数，可得P表示的数是负数，从而求解．【解答】解：∵AB的中点为P，∴P表示的数是（x1+x2），∵x1﹣x2＜0，且|x1|＞|x2|，∴A表示的数是负数，∴P表示的数是负数，∴点O在点P的右侧．故选：B．2．（2021•长兴县模拟）数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，若点B表示的数为1，则点A 表示的数是．【分析】首先画出数轴，然后再根据题意可得点B向右平移2个单位长度就是A，进而可得答案．【解答】解：点A表示的数：1+2＝3，故答案为：3．3．（2021春•朝阳区校级月考）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C表示的数分别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”．（1）当点A表示数﹣2，点B表示数2时，下列各数，0，1，4是点A、B的“倍分点”的是；（2）当点A表示数﹣10，点B表示数30时，P为数轴上一个动点，①若点P是点A，B的“倍分点”，求此时点P表示的数；②若点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，直接写出此时点P表示的数．【分析】根基题干提供新定义求解．（1）根据所提供四个数字求解．（2）分类讨论点P位置求解．【解答】解：（1）1，4．（2）①设点P对应的数为x．当点P在AB之间时，∵AB＝30+10＝40，∴BP＝AB时，BP＝10，即x＝30﹣10＝20．当BP＝AB时，BP＝30，即x＝30﹣30＝0．当点P在点B右侧，AP＝3BP．即x+10＝3（x﹣30），解得x＝50．当点P在点A左侧，BP＝3AP．即30﹣x＝3（﹣10﹣x），解得x＝﹣30．综上，x＝20，0，50，﹣30．②由①得点P是倍分点时，P表示的数为20，0，50，﹣30．当A为倍分点，点P在AB之间时，AB＝3AP，40＝3（x+10），解得x＝．P在点A左侧时，AP＝3AB，﹣10﹣x＝3×40，解得x＝﹣130．AB＝3AP，40＝3（﹣10﹣x），解得x＝．点P在点B右侧，AP＝3AB，x﹣（﹣10）＝3×40，解得x＝110．当点B为倍分点时，同理可求x＝110，，，﹣90．综上，P点表示的数可为：20，0，50，﹣30，，﹣130，，110，，，第四节相反数一、基础知识1、相反数互为相反数，a表示任意（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．一般地，a与a一个数，可以是正数、负数，也可以是0．特别地，0的相反数是0．相反数是成对出现的．（2）相反数的几何意义：①互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．②求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可．2、多重符号的化简（1）一个正数前面不管有多少个“+”号，都可以全部去掉；（2）一个正数前面有偶数个“-”号，也可以把“-”号全部去掉；（3）一个正数前面有奇数个“-”号，则化简后只保留一个“-”号（4）口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“-”号的个数，“负正”是指化简的最后结果的符号二、课前预习1．（2021•金牛区模拟）﹣2022的相反数是（）A．2022B．﹣C．D．﹣2022【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此判断即可．【解答】解：﹣2022的相反数是是2022．故选：A．2．（2021春•杨浦区校级期中）下列说法正确的是（）A．符号相反的两个数互为相反数B．一个数的相反数一定是正数C．一个数的相反数﹣定比这个数本身小D．一个数的相反数的相反数等于原数【分析】利用相反数的意义对每个选项进行辨别，对于错误的选项可以举出反例，选出正确选项．【解答】解：相反数是只有符号不同的两个数，零的相反数仍旧是零．∵3和﹣5的符号相反，但3和﹣5不是相反数，∴A选项错误；∵5的相反数是﹣5，∴B选项错误；∵﹣2的相反数是2，2＞﹣2，∴C选项错误；∵一个数的相反数是它本身，∴D选项正确；故选：D．3．（2021•虹口区二模）下列各数中，2的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．﹣【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：2的相反数是：﹣2．故选：B．三、典型例题例1【基础】（2020•郑州二模）﹣2020的相反数是（）A．﹣2020B．2020C．﹣D．【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：﹣2020的相反数是：2020．故选：B．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．例2【基础】（2019秋•新都区期末）﹣（﹣）的相反数是（）A．3B．﹣3C．D．﹣【分析】直接利用互为相反数的定义得出答案．【解答】解：﹣（﹣）＝的相反数是：﹣．故选：D．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相关定义是解题关键．例3【提高】（2020•天河区模拟）如图，表示互为相反数的两个点是（）A．M与Q B．N与P C．M与P D．N与Q【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．【解答】解：2和﹣2互为相反数，此时对应字母为M与P．故选：C．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．例4【提高】（2019秋•遵化市期末）若﹣（+a）＝+（﹣2），则a的值是（）A．B．C．2D．﹣2【分析】根据相反数的意义得出结果．【解答】解：因为﹣（+a）＝+（﹣2），所以﹣a＝﹣2，所以a＝2，故选：C．【点评】本题考查了相反数的意义．解题的关键是明确一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．例5【冲刺】（2019秋•襄汾县期末）数轴上A点表示﹣3，B、C两点表示的数互为相反数，且点B到点A 的距离是2，则点C表示的数应该是__________．【分析】根据相反数的定义和到点A的距离是2的点的概念，求得点B表示的数为﹣1或﹣5，则点C 表示的数应该是1或5．【解答】解：∵点B到点A的距离是2，∴点B表示的数为﹣1或﹣5，∵B、C两点表示的数互为相反数，∴点C表示的数应该是1或5．故答案为1或5．【点评】本题考查了数轴的有关概念以及相反数的定义．例6【冲刺】（2020•皇姑区二模）如果a表示有理数，那么下列说法中正确的是（）A．+a和﹣（﹣a）互为相反数B．+a和﹣a一定不相等C．﹣a一定是负数D．﹣（+a）和+（﹣a）一定相等【解答】解：A、+a和﹣（﹣a）互为相反数；错误，二者相等；B、+a和﹣a一定不相等；错误，当a＝0时二者相等；C、﹣a一定是负数；错误，当a＝0时不符合；D、﹣（+a）和+（﹣a）一定相等；正确．故选：D．四、课堂练习1．（2021•宁波模拟）与2021相加和为零的数是（）A．﹣2021B．C．0D．【分析】根据有理数加法法则：相反数相加为0可得答案．【解答】解：﹣2021+2021＝0．故选：A．2．（2021•历下区一模）5的相反数是（）A．B．±5C．25D．﹣5【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：5的相反数是：﹣5．故选：D．3．（2021•汉阳区校级模拟）实数﹣5的相反数是（）A．﹣5B．C．﹣D．5【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：实数﹣5的相反数是：5．故选：D．五、巩固练习1．（2021春•杨浦区校级期中）下列说法正确的是（）A．符号相反的两个数互为相反数B．一个数的相反数一定是正数C．一个数的相反数﹣定比这个数本身小D．一个数的相反数的相反数等于原数【分析】利用相反数的意义对每个选项进行辨别，对于错误的选项可以举出反例，选出正确选项．【解答】解：相反数是只有符号不同的两个数，零的相反数仍旧是零．∵3和﹣5的符号相反，但3和﹣5不是相反数，∴A选项错误；∵5的相反数是﹣5，∴B选项错误；∵﹣2的相反数是2，2＞﹣2，∴C选项错误；∵一个数的相反数是它本身，∴D选项正确；故选：D．2．（2021•盐城模拟）|﹣π|的相反数是（）A．﹣πB．πC．﹣D．【分析】直接利用互为相反数的定义得出答案．【解答】解：∵|﹣π|＝π，。

1.1正负数、有理数、数轴知识要点1、正数和负数的概念负数：比0小的数正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数2、有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数3、数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

精讲精练正负数一、正数与负数的产生1、在日常生活中，常会遇到下面的一些量，能用学过的数表示吗？例1汽车向东行驶3千米和向西行驶2千米．例2温度是零上10℃和零下5℃．例3收入500元和支出237元．在例1中，如果规定向东为正，那么向西为负．汽车向东行驶３千米记作３千米，向西行驶２千米记作-２千米．在例２中，通常规定零上为正，于是零下为负，零上10℃就用10℃表示，零下5℃则用-5℃来表示．在例３中，如果规定收入为正，收入500元计作500元，那么支出237元应记作-237元．为了表示具有相反意义的量，上面我们引进了-5、-2、-237，这样的数是一种新数，叫做负数．过去学过的那些数（零除外），如10、3、500等，叫做正数．正数前面有时也可以放上一个“+”（读作“正”）号，如5可以写成+5，+5和5是一样的．注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。

（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。

所以省略“+”的正数的符号是正号。

2、生活中具有相反意义的量如：运进5吨与运出3吨；上升7米与下降8米；向东50米与向西47米等都是生活中遇到的具有相反意义的量.请你也举一个具有相反意义量的例子： .3、正数、负数的概念1）大于0的数叫做，小于0的数叫做。