上海市上海交通大学附属中学2021届高三上学期摸底考试数学试题
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上海市上海交通大学附属中学2021年高三上学期摸底考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．设全集1,3,5,7U，集合1,5Ma，MU，5,7UM，则实数a的值是____________.
2．若复数z满足232zzi，其中i为虚数单位，则z______．
3．已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点为(10,0)F，两条渐近线的方程为43yx，则该双曲线的标准方程为 .
4．行列式240135143的第2行第3列元素的代数余子式的值为______.
5．若变量,xy满足约束条件1211xyxyy，则3zxy的最小值为__________．
6．五位同学排成一排，其中甲、乙必须在一起，而丙、丁不能在一起的排法有________种
7．已知na为等差数列，nS为其前n项和.若1918aa，47a，则8S______.
8．设291(21)xx21101211(2)(2)(2)aaxaxax，则01211aaaa的值为__________．
9．有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为_________
10．函数22xxafxa为奇函数，则实数a的值为______. 11．关于x的方程1xax有且仅有一个负根，则实数a的取值范围是______.
12．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM＝2MF，则直线OM的斜率的最大值为________.
13．已知函数()sin()(0),24fxx+x， 为()fx的零点,4x为()yfx图像的对称轴,且()fx在51836，单调,则的最大值为__________．
14．在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为2222(,)yxPxyxy；
当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点A，则点A的“伴随点”是点A
②单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C关于y轴对称；
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.
二、单选题
15．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）
A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件
16．若P是平面外一点，则下列命题正确的是（ ）
A．过P只能作一条直线与平面相交
B．过P可作无数条直线与平面垂直
C．过P只能作一条直线与平面平行
D．过P可作无数条直线与平面平行
17．已知函数()3sincos(0)fxxx的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为2的等差数列,把函数()fx的图象沿x轴向左平移6个单位,得到函数()gx的图象.关于函数()gx,下列说法正确的是（ ） A．在,42上是增函数 B．其图象关于直线4πx对称
C．函数()gx是奇函数 D．当2,63x时,函数()gx的值域是[2,1]
18．已知符号函数1,0sgn0,01,0xxxx，fx是R上的增函数，1gxfxfaxa，则（ ）
A．sgnsgngxx
B．sgnsgngxx
C．sgnsgngxfx
D．sgnsgngxfx
三、解答题
19．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2cos(coscos)CaBbAc.
（1）求角C；（2）若7c，332ABCS，求ABC的周长.
20．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=12AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.
（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
21．已知3a，函数2min21,242Fxxxaxa，其中,min,,ppqpqqpq.
（Ⅰ）求使得等式2242Fxxaxa成立的x的取值范围；
（Ⅱ）求Fx在区间0,6上的最大值Ma.
22．各项均为正数的数列nb的前n项和为nS，且对任意正整数n，都有21nnnSbb．
（1）求数列nb的通项公式；
（2）如果等比数列na共有2016项，其首项与公比均为2，在数列na的每相邻两项ia与1ia之间插入i个*1()iibiN后，得到一个新的数列nc．求数列nc中所有项的和；
（3）是否存在实数，使得存在*nN，使不等式1182011nnnnnbnbbb成立，若存在，求实数的范围，若不存在，请说明理由．
23．如图，已知曲线221:12xCy，曲线，P是平面上一点，若存在过点P的直线与12,CC都有公共点，则称P为“C1—C2型点”．
(1)在正确证明1C的左焦点是“C1—C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
(2)设直线ykx与2C有公共点，求证1k，进而证明原点不是“C1—C2型点”；
(3)求证：圆2212xy内的点都不是“C1—C2型点”．
参考答案
1．8或2
【分析】
由1,3,5,7U，MU，5,7UM，可得出集合M，在根据1,5Ma得出5a的值，从而求出a.
【详解】
因为1,3,5,7U，MU，5,7UM，所以1,3M，又1,5Ma，
所以53a，所以8a或2.
故答案为：8或2.
【点睛】
本题主要考查集合间的关系，属于基础题.
2．12i
【解析】
【分析】
设复数zabi，(a、b是实数)，则zabi，代入已知等式，再根据复数相等的含义可得a、b的值，从而得到复数z的值．
【详解】
解：设zabi，(a、b是实数)，则zabi，
232zzi，
2232abiabii，
33a，2b，
解得1a，2b，
则12zi
故答案为12i．
【点睛】
本题着重考查了复数的四则运算和复数相等的含义，属于基础题．
3．2213664xy 【分析】
由410,3bca ,22100ab,解出,ab的值，从而可得结果.
【详解】
由题意得,410,3bca
,22100ab,
6,8ab
故该双曲线的标准方程为2213664xy,
故答案为2213664xy.
【点睛】
本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题.
4．4
【分析】
根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第3列后所余下的2阶行列式为第2行第3列元素的代数余子式，求出值即可．
【详解】
解：由题意得第2行第3列元素的代数余子式
23232414241414M
故答案为：4．
【点睛】
本题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，属于基础题．
5．7
【分析】
先画出二元一次不等式所表示的可行域，目标函数为截距形，3yxz，直线的截距越大，z值越小，可见最优解为(2,1)，则3zxy的最小值为7.
【点睛】
请在此输入点睛！
【详解】
请在此输入详解！
6．24
【分析】
根据题意，先使用捆绑法，将甲乙看成一个“元素”，再将丙、丁单独排列，进而将若甲、乙与第5个元素分类讨论，分析丙丁之间的不同情况，由乘法原理，计算可得答案．
【详解】
根据题意，先将甲乙看成一个“元素”，有2种不同的排法，
将丙、丁单独排列，也有2种不同的排法，
若甲、乙与第5个元素只有一个在丙丁之间，则有1224C种情况，
若甲、乙与第5个元素都在丙丁之间，有2种不同的排法，
则不同的排法共有22(24)24种情况.
故答案为：24．
【点睛】
本题考查排列、组合的综合运用，涉及相邻与不能相邻的特殊要求，注意处理这几种情况的特殊方法． 7．64
【分析】
由等差数列的性质可得：195182aaa，解得5a．可得188458()4()2aaSaa．
【详解】
解：由等差数列的性质可得：195182aaa，解得59a．
又47a，
则188458()4()4(97)642aaSaa．
故答案为：64．
【点睛】
本题考查等差数列的下标和性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．-2.
【详解】
令21x，即令1x得9201211112112aaaa.
9．1236
【解析】
由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，
半球的直径为棱锥的底面对角线，
由棱锥的底底面棱长为1，可得22R． 故22R，
故半球的体积为：3222 ()326，
棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积13V，
故组合体的体积为1236
即答案为1236
【点睛】本题考查由三视图还原几何体，并求其体积和表面积，根据已知的三视图，判断几
