【复习专题】中考数学复习：代几综合题—以代数为主的综合
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代几综合题（以代数为主的综合）
知识梳理
教学重、难点
作业完成情况
典题探究
例1 已知抛物线cbxaxy2与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、
C（5，0）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点D为线段OA的一个三等分点, 求直线DC的解析式；
（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达
抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A，求使点P运动的总路径
最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．
例2 在平面直角坐标系xOy中，抛物线223ymxmxn经过(35)(02)PA，，，两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为B，将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于C点，求直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，求到直线OBOCBC，，距离相等的点的坐标．
例3在平面直角坐标系xOy中，抛物线2yxbxc与x轴交于A、B两点（点A在点B
的左侧．．），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线ykx沿y轴向上平移
3个单位长度后恰好经过B、C两点．
（1） 求直线BC及抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD =∠ACB，求点P
的坐标；
（3）连结CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．
例4在平面直角坐标系xOy中，抛物线23454122mmxmxmy与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上.
(1) 求点B的坐标；
(2) 点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D。使得ED=PE. 以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动时，C点、D点也随之运动)
当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；
若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q点运动时，M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值.
演练方阵
A档（巩固专练）
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A(－2，0)、
B(6，0)，与y轴交于点C，直线CD∥x轴，且与抛物线交于点D，P是抛物线上一动
点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作PQ⊥CD于点Q，将△CPQ绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0º﹤α﹤90º），当cosα=35，且旋转后点P的对应点'P恰好落在x轴上时，求点P的坐标．
2．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A．C．D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=45．
（1）求过A．C．D三点的抛物线的解析式；
（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；
（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．
x y
O 1 1 3．已知抛物线22-43-2-3mmxmxmy的最低点A的纵坐标是3，直线bmxy经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C.
（1）求抛物线与直线AB的解析式.
（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90°，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求sin∠BDE的值.
（3）过B点作x轴的平行线BG,点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6，设点N在直线BG上，请你直接写出使得∠AMB+∠ANB=450的点N的坐标.
4．如图，把△OAB放置于平面直角坐标系xOy中，90OAB，32,2OAAB，把△OAB沿x轴的负方向平移2OA的长度后得到△DCE.
（1）若过原点的抛物线2+yaxbxc经过点B、E，求此抛物线的解析式；
（2）若点P在该抛物线上移动，当点P在第一象限内时，过点P作xPQ轴于点Q，连结OP.若以O、P、Q为顶点的三角形与以B、C、E为顶点的三角形相似，直接写出点P的坐标；
（3）若点M(-4，n) 在该抛物线上，平移抛物线，记平移后点M的对应点为M′，点B的对应点为B′．
当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形M′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
5．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是0,2()，过点A作直线垂直y轴，点B是直线上异于点A的一点，且ÐOBA=a.过点B作直线的垂线m，点C在直线m上，且在直线的下方，ÐOCB=2a.设点C的坐标为x,y().
（1） 判断△OBC的形状，并加以证明；
（2） 直接写出y与x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（3） 延长CO交（2）中所求函数的图象于点D.求证：CD=CO×DO. A O x B
C D y
E
B档（提升精练）
1．如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，
抛物线2yxbxc经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）b= ,c= ；
（2）点E是Rt△ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线
交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下,抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三
角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.
2．如图，在平面直角坐标系xOy中， 已知矩形ABCD的两个顶点B、C的坐标分别是B（1，0）、C（3，0）．直线AC与y轴交于点G（0，6）．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点 Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
（1）求直线AC的解析式；
（2）当t为何值时，△CQE的面积最大？最大值为多少？
（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使得以C、Q、E、H为顶点的四边形是菱形？ 备用图 PQE yxABDOCG
3．如图，二次函数212yxmxn的图象与y轴交于点N，其顶点M在直线32yx上运动，O为坐标原点.
（1）当m＝－2时，求点N的坐标；
（2）当△MON为直角三角形时，求m、n的值；
（3）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－4，2)，B(－4，－3)，C(－2，2)，当抛物线212yxmxn在对称轴左侧的部分与△ABC的三边有公共点时，求m的取值范围.
4．如图，已知半径为1的1Oe与x轴交于AB，两点，OM为1Oe的切线，切点为M，圆心1O的坐标为(20)，，二次函数2yxbxc的图象经过AB，两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求切线OM的函数解析式；
（3）线段OM上是否存在一点P，使得以POA，，为顶点的三角形与1OOM△相似．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
ABO1yxMO 5．如图，二次函数y=ax2+2ax+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，∠CBO的正切值是2．
(1)求此二次函数的解析式．
(2)动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终止运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点．
①直接写出点P所经过的路线长．
②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E、作DF⊥AB于点F，连接PE、PF，在旋转过程中，∠EPF的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF 的度数；若变化，请说明理由．
③在②的条件下，连接EF，求EF的最小值．
6．小明同学在研究某条抛物线2(0)yaxa的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请你帮小明解答以下问题：
（1）若测得22OAOB（如图1），求a的值；
（2）对同一条抛物线，小明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BFx
轴于点F，测得1OF，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标．．．；
（3）对该抛物线，小明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B所连的线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
C档（跨越导练）
1． 在平面直角坐标系xOy中，抛物线2229yxmxm与x轴交于A，B两点（点AyxBACO在点B的左侧，且OA＜OB），与y轴的交点坐标为（0，－5）.点M是线段AB上的任意一点，过点M（a，0）作直线MC⊥x轴，交抛物线于点C，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D（C，D不重合），点P是线段MC上一点，连结CD，BD，PD.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当1a时，问点P在什么位置时，能使得PD⊥BD；
（3）若点P满足14MPMC，作PE⊥PD交x轴于点E，问是否存在这样的点E，使得PE=PD，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
2. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线222yxmxmm的顶点为C.
（2）求点C的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）直线2yx与抛物线交于A、B两点，点A在抛物线的对称轴左侧.
①若P为直线OC上一动点，求△APB的面积；
②抛物线的对称轴与直线AB交于点M，作点B关于直线MC的对称点'B. 以M为圆心，MC为半径的圆上存在一点Q，使得2'2QBQB的值最小，则这个最小值为 .
3．已知二次函数2yaxbxc（0a）的图象经过点(10)A，，(20)B，，(02)C，，直线xm（2m）与x轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线xm（2m）上有一点E（点E在第四象限），使得EDB、、为顶点的三角形与以AOC、、为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．
