2016-2017学年北京市西城师大附中八年级下学期期中数学试题(含答案)

北师大版八年级下册数学期中测试卷学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题1.如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠C=36°，AD 平分∠BAC ，则图中等腰三角形的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.若,x y >则下列式子中错误的是（ ）A. 33x y ->-B. 33x y +>+C. 33x y ->-D.33x y > 3. 在平面直角坐标系中，将点P （3，2）向右平移2个单位长度，所得到的点的坐标为（ ） A. （1，2）B. （3，0）C. （3，4）D. （5，2）4.学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率是（ ）A. 23B.12 C.13 D . 145.如果分式||11x x -+的值为0，那么x 的值为（ ） A .-1B. 1C. -1或1D. 1或06.矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是( ) A. 邻边相等B. 四个角都是直角C. 对角线相等D. 对角线互相平分7.若方程()()211120m m x m x +--+-=是一元二次方程，则m 的值为（ ）A. 0B. ±1 C. 1D. –18.一次函数y =kx +b （k ，b 是常数，k ≠0）的图象如图所示，则不等式kx +b ＞0的解集是（ ）A .x ＞-2B. x ＞0 C. x ＜-2 D. x ＜09.若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+2x ﹣2=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A. k ＞12B. k ≥12C. k ＞12且k ≠1 D. k ≥12且k ≠1 10.若分式方程311x mx x -=--有增根，则m 等于（ ） A. －3B. －2C. 3D. 211.2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x 支，则可列方程为（ ）A.1(1)3802x x -= B. (1)380x x -= C. 1(1)3802x x +=D. (1)380x x +=12.已知:如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ，过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ，若AE=AP=1，PB=5．下列结论:①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为2；③EB ⊥ED ；④S △APD +S △APB =1+6；⑤S 正方形ABCD =4+6．其中正确结论的序号是（ ）A. ①③④B. ①②⑤C. ③④⑤D. ①③⑤二、填空题13.分解因式:3218x x - =___________________.14.一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数是__________________ 15.若x 1，x 2是一元二次方程2310x x -+=的两个根，则x 1+x 2=______，x 1x 2=______，2212x x +=_______．16.如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，且PA=1，PB=PD=2，则∠APB 的度数为_______．三、解答题17.已知222111x x xA x x ++=---. （1）化简A ；（2）当x 满足不等式组1030x x -≥⎧⎨-<⎩，且x 为整数时，求A 的值.18.解方程:（1）261x x -= （2）2(4)5(4)x x +=+19.有四张背面相同的纸牌A ，B ，C ，D ，其正面分别划有四个不同的几何图形（如图）．小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张．（1）用树状图（或列表法）表示两次模牌所有可能出现的结果（纸牌可用A 、B 、C 、D 表示）； （2）求摸出两张牌面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的纸牌的概率．20.如图，在△ABC 中，∠CAB 的平分线AD 与BC 的垂直平分线DE 交于点D ，DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 的延长线于N ． (1)求证:BM=CN ； (2)若AB=8，AC=4，求BM长．21.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−2，5)，B(−4，3)，C(−1，1)．（1）作出△ABC向右平移5个单位后所得到的△A1B1C1；（2）作出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．22. 兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．（1）第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？（2）老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出45时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？（利润=售价﹣进价）23.我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA中点．求证:中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中必证明）的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不答案与解析一、选择题1.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】由AC=BC，可得△ABC是等腰三角形，求得各角的度数，再利用角相等，可确定△BAD与△CAD也是等腰三角形．【详解】解:由图可知，∵AC=BC，∠C=36°，∴△ABC是等腰三角形，∴∠BAC=∠ABC=72°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD=∠C=36°∴△CAD为等腰三角形，∵∠BDA=∠C+∠CAD=72°=∠B，∴△BAD为等腰三角形，∴则图中等腰三角形由3个；故选:C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．2.若,x y >则下列式子中错误的是（ ）A. 33x y ->-B. 33x y +>+C. 33x y ->-D.33x y> 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质进行逐一判断即可．【详解】A 、在不等式x ＞y 的两边同时减去3，不等式仍成立，即x －3>y －3，故本选项不符合题意； B 、在不等式x ＞y 的两边同时加上3，不等式仍成立，即x+3＞y+3，故本选项不符合题意； C 、在不等式x ＞y 的两边同时乘-3，不等号方向发生改变，即-3x ＜-3y ，故本选项符合题意； D 、在不等式x ＞y 的两边同时除以3，不等式仍成立，即33x y>，故本选项不符合题意； 故选:C ．【点睛】本题考查不等式的基本性质，牢记并理解不等式的基本性质是解题的关键． 3. 在平面直角坐标系中，将点P （3，2）向右平移2个单位长度，所得到的点的坐标为（ ） A. （1，2） B. （3，0）C. （3，4）D. （5，2）【答案】D 【解析】试题分析:根据点的坐标平移规律”左减右加，下减上加”，可知横坐标应变为5，而纵坐标不变， 故选D ．考点:坐标的平移．4.学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团概率是（ ）A.23 B.12C.13 D . 14【答案】C【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与征征和舟舟选到同一社团的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解:画树状图得:∵共有9种等可能的结果，征征和舟舟选到同一社团的有3种情况，∴征征和舟舟选到同一社团的概率为:31 93 =．【点睛】掌握用树状图求概率是解本题的关键.5.如果分式||11xx-+的值为0，那么x的值为（）A. -1B. 1C. -1或1D. 1或0【答案】B【解析】【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．【详解】根据题意，得|x|-1=0且x+1≠0，解得，x=1．故选B．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件:（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．6.矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是( )A. 邻边相等B. 四个角都是直角C. 对角线相等D. 对角线互相平分【答案】D矩形、菱形、正方形都是平行四边形，所以一定都具有的性质是平行四边形的性质，即对角线互相平分. 故选D.7.若方程()()211120mm xm x +--+-=是一元二次方程，则m 的值为（ ）A. 0B. ±1 C. 1D. –1【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高指数是2的整式方程,且二次项系数不等于0,即可进行求解,【详解】因为方程()()211120mm x m x +--+-=是一元二次方程,所以212m +=, 10m -≠, 解得1m =±且1m ≠ 所以1m =-, 故选D.【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义. 8.一次函数y =kx +b （k ，b 是常数，k ≠0）的图象如图所示，则不等式kx +b ＞0的解集是（ ）A. x ＞-2B. x ＞0C. x ＜-2D. x ＜0【答案】A 【解析】 【分析】由图象可知kx ＋b ＝0的解为x ＝−2，所以kx ＋b ＞0的解集也可观察出来．【详解】从图象得知一次函数y ＝kx ＋b （k ，b 是常数，k ≠0）的图象经过点（−2，0），并且函数值y 随x 的增大而增大，因而则不等式kx ＋b ＞0的解集是x ＞−2． 故选:A ．【点睛】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．9.若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. k＞12B. k≥12C. k＞12且k≠1 D. k≥12且k≠1【答案】C 【解析】【详解】根据题意得k-1≠0且△=2²-4（k-1）×（-2）＞0，解得:k＞12且k≠1．故选C【点睛】本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac，关键是熟练掌握:当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．10.若分式方程311x mx x-=--有增根，则m等于（）A. －3B. －2C. 3D. 2 【答案】B【解析】【分析】先去掉分母，再将增根x=1代入即可求出m的值.【详解】解311x mx x-=--，去分母得x-3=m把增根x=1代入得m=1-3=-2故选B.【点睛】此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是熟知增根的含义.11.2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（）A.1(1)3802x x-= B. (1)380x x-=C. 1(1)3802x x+= D. (1)380x x+=【答案】B 【解析】【分析】设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛380场，可列出方程．【详解】设参赛队伍有x支，根据题意得:x（x﹣1）=380．故选B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．12.已知:如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过点A作AE的垂线交DE于点P，若AE=AP=1，PB=5．下列结论:①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为2；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+6；⑤S正方形ABCD=4+6．其中正确结论的序号是（）A. ①③④B. ①②⑤C. ③④⑤D. ①③⑤【答案】D【解析】【分析】①首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD≌△AEB；②由①可得∠BEP=90°，故BE不垂直于AE过点B作BF⊥AE延长线于F，由①得∠AEB=135°所以∠EFB=45°，所以△EFB是等腰Rt△，故B到直线AE距离为3③利用全等三角形的性质和对顶角相等即可判定③说法正确；④由△APD≌△AEB，可知S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB，然后利用已知条件计算即可判定；⑤连接BD，根据三角形的面积公式得到S△BPD=1 2PD×BE=32，所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD6由此即可判定．【详解】由边角边定理易知△APD≌△AEB，故①正确；由△APD≌△AEB得，∠AEP=∠APE=45°，从而∠APD=∠AEB=135°，所以∠BEP=90°，过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，则BF的长是点B到直线AE的距离，在△AEP中，由勾股定理得2，在△BEP中，PB=5，PE=2，由勾股定理得:BE=3，∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90°，AE=AP，∴∠AEP=45°，∴∠BEF=180°-45°-90°=45°，∴∠EBF=45°，∴EF=BF，在△EFB中，由勾股定理得:EF=BF=62，故②是错误的；因为△APD≌△AEB，所以∠ADP=∠ABE，而对顶角相等，所以③是正确的；由△APD≌△AEB，∴PD=BE=3，可知S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB=S△AEP+S△BEP=12+6，因此④是错误的；连接BD，则S△BPD=12PD×BE=32，所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+6，所以S正方形ABCD=2S△ABD=4+6．综上可知，正确的有①③⑤．故选D.【点睛】考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题．二、填空题13.分解因式:3218x x=___________________.【答案】2(3)(3)x x x +-【解析】【分析】先提取公因式2x 后，再用平方差公式分解即可；【详解】解:3218x x - =()229x x -=2(3)(3)x x x +-；故答案为:2(3)(3)x x x +-；【点睛】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合应用，掌握提公因式法与公式法是解题的关键.14.一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数是__________________ 【答案】6【解析】【分析】 设这个多边形的边数是n ，根据多边形的内角和公式:()n 2180-⨯，列方程计算即可．【详解】解:设这个多边形的边数是n根据多边形内角和公式可得()n 2180720，-⨯=解得n 6=．故答案为:6．【点睛】此题考查的是根据多边形的内角和，求边数，掌握多边形内角和公式是解决此题的关键．15.若x 1，x 2是一元二次方程2310x x -+=的两个根，则x 1+x 2=______，x 1x 2=______，2212x x +=_______．【答案】 (1). 3 (2). 1 (3). 7【解析】【分析】 由一元二次方程根与系数的关系，即可求出答案．【详解】解:∵x 1，x 2是一元二次方程2310x x -+=的两个根， ∴12331b x x a -+=-=-=； 12111c x x a •===； ∴2212221212()23217x x x x x x =+-•=-⨯=+；故答案为:3；1；7．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握12bxxa+=-，12cx xa•=．16.如图，点P是正方形ABCD内的一点，且PA=1，PB=PD=2，则∠APB的度数为_______．【答案】105°【解析】【分析】过点P作PH⊥AB于H，由全等可知∠BAP=∠DAP=45°，从而得到∠APH=45°，然后通过AP可求出HP 的长，从而得到∠BPH，即可得到∠APB的度数．【详解】解:过点P作PH⊥AB于H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，在△APB和△APD中AB ADAP APPB PD=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△APB≌△APD，∴∠BAP=∠DAP，由∠BAD=90°，可知∠BAP=∠DAP=45°，∴∠APH=90°-45°=45°，∵PA=1，2sin45=︒，∴2sin==1PH PHBAPAP=∠∴PH=，∵，∴∠PBA=30°，∴∠BPH=90°-30°=60°，∴∠APB=∠APH+∠BPH=45°+60°=105°【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，三角函数，作出辅助线是解题的关键．三、解答题17.已知222111 x x xAx x++=---.（1）化简A；（2）当x满足不等式组1030xx-≥⎧⎨-<⎩，且x为整数时，求A的值.【答案】（1）11x-；（2）1【解析】【分析】（1）根据分式四则混合运算的运算法则，把A式进行化简即可．（2）首先求出不等式组的解集，然后根据x为整数求出x的值，再把求出的x的值代入化简后的A式进行计算即可．【详解】（1）原式=2(1)(1)(1)1x xx x x+-+--=111x xx x+---=11x xx+--=11x-（2）不等式组的解集为1≤x＜3 ∵x为整数，∴x＝1或x＝2，①当x＝1时，∵x﹣1≠0，∴A＝11x-中x≠1，∴当x＝1时，A＝11x-无意义．②当x＝2时，A ＝11x -＝1=12-1考点:分式的化简求值、一元一次不等式组.18.解方程:（1）261x x -= （2）2(4)5(4)x x +=+【答案】（1）x=10+3或=-10+3；（2）x=-4或x=1【解析】试题分析:（1）移项，运用配方法求解即可；（2）移项，运用因式分解法求解即可.试题解析（1）261x x -=（x -3）2=10x -3=10 或-10x =10+3或=-10+3（2）2(4)5(4)x x +=+(x +4)(x +4-5)=0x +4=0或x -1=0x =-4或x =119.有四张背面相同的纸牌A ，B ，C ，D ，其正面分别划有四个不同的几何图形（如图）．小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张．（1）用树状图（或列表法）表示两次模牌所有可能出现的结果（纸牌可用A 、B 、C 、D 表示）； （2）求摸出两张牌面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的纸牌的概率．【答案】（1）列表见解析；（2）概率为14【解析】【分析】 （1）因为是放回再摸出，所以总共有44=16⨯种情形，即可列出表格，详见解析；（2）根据要求:既是中心对称图形又是轴对称图形的是B 正方形、C 菱形，故所有可能中包含:两张牌都是B ，或者两张牌都是C ，或者是一张牌是B 、另一张牌是C 的三种情形，共计4种情况，即可求得概率．【详解】（1）所有可能出现的结果，如下表:共16种结果．（2）∵既是中心对称图形又是轴对称图形的是B 正方形、C 菱形 ，要使两次摸出的既是中心对称图形又是轴对称图形，也就是说16种结果中的两张牌都是B ，或者两张牌都是C ，或者是一张牌是B 、另一张牌是C 的的3种情形，即:（B ，B ）、（B ，C ）、（C 、B ）、（C 、C ）共四种情况， ∴摸出两张牌面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的纸牌的概率是41=164． 【点睛】本题考查概率相关知识，难度一般，是中考的常考知识点，正确理解题意，以及掌握概率的求法是顺利解题的关键．20.如图，在△ABC 中，∠CAB 的平分线AD 与BC 的垂直平分线DE 交于点D ，DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 的延长线于N ．(1)求证:BM=CN ；(2)若AB=8，AC=4，求BM 的长．【答案】(1)见解析；(2)2【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到DM=DN ，DB=DC ，根据HL 证明Rt △DMB ≌Rt △DNC ，即可得出BM=CN ；（2）由HL 证明Rt △DMA ≌Rt △DNA ，得出AM=AN ，证出2BM=AB-AC=4，即可得出BM=2．【详解】(1)证明:连接BD 、CD ，如图所示:∵AD 是∠CAB 的平分线，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴DM=DN ，∵DE 垂直平分线BC ，∴DB=DC ，在Rt △DMB 和Rt △DNC 中，DB DC DM DN =⎧⎨=⎩∴Rt △DMB ≌Rt △DNC(HL)，∴BM=CN ；(2) 由(1)得:BM=CN ，∵AD 是∠CAB 的平分线，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴DM=DN ，在Rt △DMA 和Rt △DNA 中，DA DA DM DN =⎧⎨=⎩∴Rt △DMA ≌Rt △DNA(HL)，∴AM=AN ，∵AM=AB-BM ，AN=AC+CN ，∴AB-BM=AC+CN ，∴2BM=AB-AC=8-4=4，∴BM=2．【点睛】考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟悉角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．21.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(−2，5)，B(−4，3)，C(−1，1)． （1）作出△ABC 向右平移5个单位后所得到的△A 1B 1C 1；（2）作出△ABC 关于x 轴对称的△A 2B 2C 2，并写出点C 2的坐标．【答案】（1）见解析；（2）见解析，C 2(1-，1-)【解析】【分析】（1）先平移ABC 的三个顶点，然后将平移后的顶点依次连接即可；（2）先求出ABC 三个顶点关于x 轴对称的点，然后将这三个点依次连接即可；【详解】（1）ABC 向右平移5个单位后所得到的111A B C △如下图所示:（2）ABC 关于x 轴对称的222A B C △如下图所示:2C 点的坐标为:()21,1C --【点睛】本题主要考查平面直角坐标系内部的平移和对称问题，熟练掌握图形的平移原则和对称原则是解决本题的关键．22.兴发服装店老板用4500元购进一批某款T 恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T 恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．（1）第一批该款式T 恤衫每件进价是多少元？（2）老板以每件120元的价格销售该款式T 恤衫，当第二批T 恤衫售出45时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T 恤衫每件售价至少要多少元？（利润=售价﹣进价）【答案】（1）第一批T 恤衫每件的进价是90元；（2）剩余的T 恤衫每件售价至少要80元.【解析】【分析】（1）设第一批T 恤衫每件进价是x 元，则第二批每件进价是（x+9）元，再根据等量关系:第二批进的件数=第一批进的件数可得方程；（2）设剩余的T 恤衫每件售价y 元，由利润=售价﹣进价，根据第二批的销售利润不低于650元，可列不等式求解.【详解】解:（1）设第一批T 恤衫每件进价是x 元，由题意，得45004950x x 9=+， 解得x=90经检验x=90是分式方程的解，符合题意. 答:第一批T恤衫每件的进价是90元. （2）设剩余的T恤衫每件售价y元．由（1）知，第二批购进495099=50件．由题意，得120×50×45+y×50×15﹣4950≥650，解得y≥80.答:剩余的T恤衫每件售价至少要80元.23.我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证:中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）【答案】（1）证明见解析；（2）四边形EFGH是菱形，证明见解析；（3）四边形EFGH是正方形.【解析】【分析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可．（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可．（3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明．【详解】（1）证明:如图1中，连接BD．∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH=12 BD，∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG=12 BD，∴EH∥FG，EH=GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形．（2）四边形EFGH是菱形．证明:如图2中，连接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD，∴△APC≌△BPD，∴AC=BD．∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF=12AC，FG=12BD，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．（3）四边形EFGH是正方形．证明:如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．考点:平行四边形的判定与性质；中点四边形．。

北师大版八年级下册数学期中考试（含答案）班级： 姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．﹣3的绝对值是（ ）A ．﹣3B ．3C ．-13D ．132．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）A ．对边相等B ．对角相等C ．对角线相等D ．对角线互相平分3．对于函数y ＝2x ﹣1，下列说法正确的是（ ）A ．它的图象过点（1，0）B ．y 值随着x 值增大而减小C ．它的图象经过第二象限D ．当x ＞1时，y ＞04．在平面直角坐标系中，点A （﹣3，2），B （3，5），C （x ，y ），若AC ∥x 轴，则线段BC 的最小值及此时点C 的坐标分别为（ ）A ．6，（﹣3，5）B ．10，（3，﹣5）C ．1，（3，4）D ．3，（3，2）5．中国华为麒麟985处理器是采用7纳米制程工艺的手机芯片，在指甲盖大小的尺寸上塞进了120亿个晶体管，是世界上最先进的具有人工智能的手机处理器，将120亿个用科学记数法表示为（ ）A ．91.210⨯个B ．91210⨯个C ．101.210⨯个D ．111.210⨯个6．如果a ，那么a 的取值范围是（ ）A ．a 0=B ．a 1=C ．a 1≤D ．a=0a=1或7．下列说法中错误的是（ ）A ．12是0.25的一个平方根 B ．正数a 的两个平方根的和为0 C ．916的平方根是34D ．当0x ≠时，2x -没有平方根 8．如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为30海里的A 处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则此时轮船所在位置B 与灯塔P 之间的距离为（ ）A ．60海里B ．45海里C ．203海里D ．303海里9．如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（ ）A ．∵∠1＝∠3，∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）B ．∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）C ．∵AD ∥BC ，∴∠BAD+∠ABC ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）D ．∵∠DAM ＝∠CBM ，∴AB ∥CD （两直线平行，同位角相等）10．如图，已知∠ABC=∠DCB ，下列所给条件不能证明△ABC ≌△DCB 的是（ ）A ．∠A=∠DB ．AB=DC C ．∠ACB=∠DBCD ．AC=BD二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．如果表示a 、b 的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a ﹣b|+2()a b +的结果是________．2．若|x |＝3，y 2＝4，且x ＞y ，则x ﹣y ＝__________．32|1|0a b -++=，则2020()a b +=_________．4．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A ，且另三个锐角顶点B ，C ，D在同一直线上．若AB=2，则CD=________．5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，点F 是AD 的中点．若AB=8，则EF=________．6．如图，在ABC 中，点D 是BC 上的点，40BAD ABC ︒∠=∠=，将ABD ∆沿着AD 翻折得到AED ，则CDE ∠=______°．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解方程：21133x x x x =+++．2．先化简，再求值：2443(1)11m m m m m -+÷----，其中22m =.3．已知22a b -=，且1a ≥，0b ≤．（1）求b 的取值范围（2）设2m a b =+，求m 的最大值．4．如图，矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，过对角线BD 中点O 的直线分别交AB ，CD 边于点E ，F ．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．5．已知：如图所示，AD平分BAC，M是BC的中点，MF//AD，分别交CA延长线，AB于F、E．求证：BE=CF．6．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、B2、C3、D4、D5、C6、C7、C8、D9、D10、D二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、﹣2b2、1或5．3、1415、26、20三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、32 x=-2、22mm-+1．3、（1）12b-≤≤；（2）24、（1）略；（2）．5、略.6、（1）两次下降的百分率为10%；（2）要使每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.5元．。

北 师 大 版 数 学 八 年 级 下 学 期期 中 测 试 卷学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题：（每小题3分,共计30分）1.式子110,,,92a a a x a b yπ+++中,分式有（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 2.下列因式分解正确的是（ ）A. ()222442a ab b a b -+=-B. ()()2224x x x +-=-C. ()321ab ab ab b -=-D. ()24545a a a a +-=+- 3.若多项式21x ax --可分解为()()2x x m -+,则a m +的值为（ ）A. 2B. 1C. 2-D. 1- 4.若关于x 的分式方程1011a x x x +-=--有增根,则a 的值为（ ） A. 1a =- B. 1a = C. 2a =- D. 2a =5.如图所示,在平行四边形ABCD 中,DE 平分ADC ∠交BC 于,E AF DE ⊥,已知50DAF ︒∠=,则C ∠的度数是（ ）A. 100︒B. 80︒C. 120︒D. 110︒6.已知关于x 的方程x 2﹣x +m ＝0的一个根是3,则另一个根是（ ）A. ﹣6B. 6C. ﹣2D. 27.某型号手机原来销售单价是4000元,经过两次降价促销,现在的销售单价是2560元,若两次降价的百分率相同,则平均每次降价（ ）A. 10%B. 15%C. 20%D. 25%8.如图,在矩形ABCD 中,9,3,AD cm AB cm ==将其折叠,使点D 与点B 重合, 则重叠部分()BEF ∆的面积为（ ）2cmA. 15B. 152C. 6D. 59.两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工3个月,这时增加了乙队,两队又共同工作了2个月,总工程全部完成,已知甲队单独完成全部工程比乙队单独完成全部工程多用2个月,设甲队单独完成全部工程需x 个月,则根据题意可列方程中错误的是（ ） A. 3212x x +=- B. 32212x x x ++=- C. 3+2212x x +=- D. 3112()12x x x ++=- 10.关于x 的方程412a x x -=-的解为正整数,且关于x 的不等式组0128263a x x x -≤⎧⎪-⎨+>⎪⎩有解且最多有7个整数解,则满足条件的所有整数a 的值为_______．二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分)11.使分式211x x -+的值为0,这时x=_____． 12.已知3,5xy x y =+=,则32232x y x y xy ++的值为___________．13.已知a ,b 是一个等腰三角形的两边长,且满足a 2+b 2-6a -8b+25=0,则这个等腰三角形的周长为______________.14.已知12,x x 是关于的一元二次方程250x x a -+=的两个实数根,且221213x x +=,则a 的值为__________．15.已知112x y+=,则5756x xy y x xy y -+=-+ _________． 16.如图,在Rt ABC ∆中,90,30,6B BAC AC ︒︒∠=∠== ,将ABC ∆沿BC 向右平移得到DEF ∆,若四边形ACFD 的面积等于63,则平移的距离等于___________．三、解答题： (共46分)17.因式分解()1224x y ()()()()()222215x y x y x y x y -+-+-+18.解方程()212310x x --=（用配方法解方程）()()2255x x x -=- ()123131x x x --=+- ()22434111x x x -=--+ 19.重庆市有, , , , A B C D E 五个景区很受游客喜爱,一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游(只选一个景区)的意向做了一次随机调查统计,并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图．()1该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是_______人, m = 想去C 景区的人有_________人, 并补全条形统计图．()2被调查到的居民想去 景区旅游的人数最多,若该小区有居民2000人,估计去该景区旅游的居民约有多少人?()3小强同学赞假期间计划与父母从,...A B C D E 五个景区中,任选两个去旅游,求选至,B D 两个景区的概率,(要求列表求概率)20.函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用,下面我们就一类特殊的函数展开探索,画函数2y x =的图象,经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如下图所示： x …… -3 -2 -1 0 1 2 3 ……y…… 6 4 2 0 2 4 6 ……经历同样的过程画函数22y x =-和22y x =+的图象如下图所示,观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形：三个函数解析式中绝对值前面的系数相同,则图象的开口方向和形状完全相同,只有最高点和对称轴发生了变化．()1请直接写出2y x =与22y x =+的交点坐标和函数22y x =+的对称轴；()2在所给的平面直角坐标系内画出函数231y x =-+的图象(不列表),并写出函数231y x =-+的一条性质；()3结合函数图像,直接写出不等式231x x -+≤时x 的取值范围．21.在四边形ABCD 中,从以下四个条件中：①//AB CD ②//AD BC ③AD BC =④B D ∠=∠,其中任选两个能判定四边形ABCD 为平行四边形的概率为（ ） A. 13 B. 12 C. 23 D. 5622.一条笔直的公路上顺次有、、A B C 三地,小军早晨5:00从A 地出发沿这条公路骑自行车前往C 地,同时小林从B 地出发沿这条公路骑摩托车前往A 地,小林到地后休息了 1个小时, 然后掉头原路原速返回追赶小军,经过一段时间后两人同时到达C 地,设两人行驶的时间为x (小时),两人之间的距离为y (千米), y 与x 之间的函数图像如图所示,下列说法：①小林与小军的速度之比为2:1；②10:00时,小林到达A 地；③21:00时,小林与小军同时到达C 地；④BC 两地相距420千米,其中正确的有_________（只填序号）23.关于x 一元二次方程(a ＋1)x 2－2x ＋3＝0有实数根,则整数a 的最大值是_____.24.如图,在Rt ABC ∆中, 90,60, 2.ACB B BC ︒︒∠=∠==将ABC ∆绕点C 逆时针旋得到'''A B C ∆,且'B 恰好落在AB 上,连接'AA ,取'AA 中点D ．连接'B D ,则'B D 的长为 __________25.某“欣欣”奶茶店开业大酬宾推出...A B C D 四款饮料．1千克A 饮料的原料是2千克苹果,3千克梨,1千克西瓜；1千克B 饮料的原料是2千克苹果,3千克梨,1千克西瓜；1千克C 饮料的原料是3千克苹果,9千克梨, 6千克西瓜；1千克D 饮料的原料是2千克苹果,6千克梨,4千克西瓜；如果每千克苹果的成本价为2元,每千克梨的成本价为1.2元,每千克西瓜的成本价为3.5元．开业当天全部售罄,销售后,共计苹果的总成本为100元,并且梨的总成本为126元,那么西瓜的总成本为_____元26.如图,在ABD ∆中,点,E F 分别在.AB AD 上,()1如图1．若460BFD FBA ︒∠=∠=,且 8DF BD ==,求AF()2如图2,若1,, ,902AB BD BF EF BE DF DBF ADB ︒⊥⊥=∠+∠=． 求证： 2BF EF =27.阅读下列材料材料一：对于任意的非零实数x 和正实数k ,如果满足3kx 为整数,则称k 是x 的一个整商系数, 例如：当2,3x k ==时,23kx =,则称3是2的一个整商系数； 当32,2x k ==时,13kx =,则称32是2的一个整商系数； 当1,62x k =-=时,13kx =-,则称6是12-的一个整商系数； 给论：一个非零实数x 有无数个整商系数k ,其中最小的一个整商系数记为()k x ；例如： ()312,622k k ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭, 材料二：对于一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根12,x x ,有如下关系：1212,b c x x x x a a +=-= 请根据材料解决下列问题()712k ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()3k -= ()2若关于x 的方程：220x bx ++=的两根分别为12,x x ,且满足()()1212k x k x +=,求b 的值．答案与解析一、选择题：（每小题3分,共计30分）1.式子110,,,92a a a x a b yπ+++中,分式有（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【答案】B【解析】【分析】根据分式的定义进行解答即可,即分母中含有未知数的式子叫分式． 【详解】解：1a π+的分母中的π不是字母,是数字,故不是分式；10,9a x a b y++分母中含有字母,是分式； 因此分式有2个,故选：B ．【点睛】本题考查的是分式的定义,在解答此题时要注意分式是形式定义,只要是分母中含有未知数的式子即为分式．2.下列因式分解正确的是（ ）A. ()222442a ab b a b -+=-B. ()()2224x x x +-=-C. ()321ab ab ab b -=-D. ()24545a a a a +-=+- 【答案】A【解析】【分析】分别利用因式分解的定义以及整式的乘法运算法则分别判断得出即可．【详解】解：A 、()222442a ab b a b -+=-,是因式分解,符合题意；B 、()()2224x x x +-=-,是整式的乘法运算,故此选项错误；C 、32(1)(1)(1)ab ab ab b ab b b -=-=+-,原选项分解不彻底,故此选项错误；D 、()24545a a a a +-=+-,不是因式分解,故此选项错误；故选：A ．【点睛】此题主要考查了因式分解的定义以及整式的乘法运算,正确掌握相关概念是解题关键． 3.若多项式21x ax --可分解为()()2x x m -+,则a m +的值为（ ）A. 2B. 1C. 2-D. 1-【答案】A【解析】【分析】多项式分解因式结果利用多项式乘以多项式法则计算,利用多项式相等的条件求出m 和a 的值即可．【详解】解：根据题意得：21x ax --＝()()2x x m -+＝2(2)2x m x m +--, 可得：21,2m m a -=--=-, 解得：13,22m a == ∴31222a m +=+= 故选：A ．【点睛】此题考查了因式分解与整式乘法运算的关系,熟练掌握整式乘法运算法则是解本题的关键． 4.若关于x 的分式方程1011a x x x +-=--有增根,则a 的值为（ ） A. 1a =-B. 1a =C. 2a =-D. 2a =【答案】C【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程有增根,得到x ﹣1＝0,求出x 的值,代入整式方程计算即可求出a 的值．【详解】解：方程两边都乘以x ﹣1,得：a ＋1＋x ＝0,∵方程有增根,∴x ＝1,将x ＝1代入整式方程,得：a ＋1＋1＝0,解得：a ＝﹣2,故选：C ．【点睛】此题考查了分式方程的增根,增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．5.如图所示,在平行四边形ABCD 中,DE 平分ADC ∠交BC 于,E AF DE ⊥,已知50DAF ︒∠=,则C ∠的度数是（ ）A. 100︒B. 80︒C. 120︒D. 110︒【答案】A【解析】【分析】 根据直角三角形两锐角互余可得∠ADF ＝40°,根据角平分线的定义可得∠ADC ＝2∠ADF ＝80°,再根据平行四边形的性质得AD ∥BC ,进而得∠C ＋∠ADC ＝180°即可解决问题．【详解】解：∵AF ⊥DE ,∴∠AFD ＝90°,∵∠DAF ＝50°,∴∠ADF ＝90°﹣50°＝40°,∵DE 平分∠ADC ,∴∠ADC ＝2∠ADF ＝80°,∵四边形ABCD 平行四边形,∴AD ∥BC ,∴∠C ＋∠ADC ＝180°,∴∠C ＝100°,故选：A ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的性质、角平分线的定义等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型．6.已知关于x 的方程x 2﹣x +m ＝0的一个根是3,则另一个根是（ ）A. ﹣6B. 6C. ﹣2D. 2【答案】C【解析】【分析】由于已知方程的二次项系数和一次项系数,所以要求方程的另一根,可利用一元二次方程的两根之和与系数的关系．【详解】解：设a 是方程x 2﹣5x +k ＝0的另一个根,则a +3＝1,即a ＝﹣2．故选：C ．【点睛】此题主要考查一元二次方程的根,解题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系．7.某型号手机原来销售单价是4000元,经过两次降价促销,现在的销售单价是2560元,若两次降价的百分率相同,则平均每次降价（ ）A. 10%B. 15%C. 20%D. 25%【答案】C【解析】【分析】根据原来售价是4000元,经过两次降价且降价百分率相同后销售单价为2560元,设两次降价的百分率为x ,一次降价为()40001x -,两次降价为()240001x -得出 ()240001x -=2560,算出x ． 【详解】解：设两次降价的百分率为x ,由题意得：4000（1﹣x ）2＝2560∴（1﹣x ）2＝256400∴1﹣x ＝±0.8 ∴x 1＝1.8（舍）,x 2＝0.2＝20%故选：C ．【点睛】熟悉一元二次方程的增长率和下降率的相关题型,注意分析是一次增长（下降）,还是二次增长（下降）问题．8.如图,在矩形ABCD 中,9,3,AD cm AB cm ==将其折叠,使点D 与点B 重合, 则重叠部分()BEF ∆的面积为（ ）2cmA. 15B. 152C. 6D. 5【答案】B【解析】【分析】设DE＝xcm,由翻折的性质可知DE＝EB＝x,则AE＝（9﹣x）cm,在Rt△ABE中,由勾股定理求得ED的长；由翻折的性质可知∠DEF＝∠BEF,由矩形的性质可知BC∥AD,从而得到∠BFE＝∠DEF,故此可知∠BFE ＝∠FEB,得出FB＝BE,最后根据三角形的面积公式求解即可．【详解】解：设DE＝xcm．由翻折的性质可知DE＝EB＝x,∠DEF＝∠BEF,则AE＝（9﹣x）cm．在Rt△ABE中,由勾股定理得；BE2＝EA2＋AB2,即x2＝（9﹣x）2＋32．解得：x＝5．∴DE＝5cm．∵四边形ABCD为矩形,∴BC∥AD．∴∠BFE＝∠DEF．∴∠BFE＝∠FEB．∴FB＝BE＝5cm．∴△BEF的面积＝12BF•AB＝12×3×5＝152（cm2）；故选：B．【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用,等腰三角形的判定、三角形的面积公式,证得△BEF 为等腰三角形,从而得到FB的长是解题的关键．9.两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工3个月,这时增加了乙队,两队又共同工作了2个月,总工程全部完成,已知甲队单独完成全部工程比乙队单独完成全部工程多用2个月,设甲队单独完成全部工程需x 个月,则根据题意可列方程中错误的是（ ） A. 3212x x +=- B. 32212x x x ++=- C. 3+2212x x +=- D. 3112()12x x x ++=- 【答案】A【解析】【分析】设甲队单独完成全部工程需x 个月,则乙队单独完成全部工程需要（x －2）个月,根据甲队施工5个月的工程量+乙队施工2个月的工程量=总工程量1列出方程,然后依次对各方程的左边进行变形即可判断．【详解】解：设甲队单独完成全部工程需x 个月,则乙队单独完成全部工程需要（x －2）个月,根据题意,得：5212x x +=-； A 、3212x x +=-,与上述方程不符,所以本选项符合题意； B 、32212x x x ++=-可变形为5212x x +=-,所以本选项不符合题意； C 、3+2212x x +=-可变形为5212x x +=-,所以本选项不符合题意； D 、3112()12x x x ++=-的左边化简得5212x x +=-,所以本选项不符合题意． 故选：A ．【点睛】本题考查了分式方程的应用,属于常考题型,正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．10.关于x 的方程412a x x -=-的解为正整数,且关于x 的不等式组0128263a x x x -≤⎧⎪-⎨+>⎪⎩有解且最多有7个整数解,则满足条件的所有整数a 的值为_______．【答案】﹣2,﹣1【解析】【分析】表示出分式方程解,由分式方程的解为正整数确定出a 的值,表示出不等式组的解集,由不等式组最多有7个整数解,即可得到a 的取值范围,从而得出满足条件的所有整数a 的值．【详解】解：分式方程去分母得：8﹣4x ＝ax ﹣x ,解得：x ＝83a +, 由分式方程解为正整数,得到a ＋3＝1,2,4,8,解得：a ＝﹣2,﹣1,1,5,又∵x ≠2,∴a ≠1,∴a ＝﹣2,﹣1,5,不等式组整理得：5x x a <⎧⎨≥⎩, 解得：a ≤x ＜5,由不等式组有解且最多有7个整数解,得到整数解为4,3,2,1,0,﹣1,﹣2,∴﹣3＜a ＜5,∴整数解为4,3,2,1,0,﹣1,﹣2,则满足题意a 的值为﹣2,﹣1,故答案为：﹣2,﹣1．【点睛】此题考查了分式方程的解,以及一元一次不等式组的整数解,熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分)11.使分式211x x -+的值为0,这时x=_____． 【答案】1【解析】试题分析：根据题意可知这是分式方程,211x x -+＝0,然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0,解之得x=1,经检验可知x=1是分式方程的解.答案为1.考点：分式方程的解法12.已知3,5xy x y =+=,则32232x y x y xy ++的值为___________． 【答案】75【解析】【分析】将所求的代数式利用提公因式法和公式法进行因式分解,然后代入求值即可．【详解】解：∵xy ＝3,x ＋y ＝5,∴3223222(2)x y x y xy xy x xy y ++=++2()xy x y =+235=⨯75=．故答案为：75．【点睛】本题考查了因式分解的应用,熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键．13.已知a ,b 是一个等腰三角形的两边长,且满足a 2+b 2-6a -8b+25=0,则这个等腰三角形的周长为______________.【答案】10或11【解析】【分析】先运用分组分解法进行因式分解,求出a ,b 的值,然后根据等腰三角形的性质即可得出结论.【详解】∵a 2+b 2-6a -8b +25=0,∴(a 2﹣6a +9)+(b 2﹣8b +16)=0,∴(a ﹣3)2+(b ﹣4)2=0,∴a =3,b =4.分两种情况讨论：①当腰为3时,等腰三角形的周长为3+3+4=10,当腰为4时,等腰三角形的周长为4+4+3=11.综上所述：该等腰三角形的周长为10或11.故答案为：10或11.【点睛】本题考查了因式分解及等腰三角形的性质,解题的关键是运用分组分解法进行因式分解.14.已知12,x x 是关于的一元二次方程250x x a -+=的两个实数根,且221213x x +=,则a 的值为__________．【答案】6【解析】【分析】根据根与系数的关系,可得x 1＋x 2＝5,x 1•x 2＝a ,又由于221213x x +=,即可得方程52﹣2a ＝13,解此方程即可求得答案．【详解】解：∵x 1,x 2是关于的一元二次方程250x x a -+=的两个实数根,∴x 1＋x 2＝5,x 1•x 2＝a ,∵221213x x +=,∴（x 1＋x 2）2﹣2x 1•x 2＝13,即52﹣2a ＝13,解得a ＝6,当a ＝6时,△＝52﹣4×6＝1＞0（符合题意）,∴a ＝6．故答案为：6．【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系以及完全平方式的应用．此题难度不大,解题的关键是掌握：若二次项系数为1,常用以下关系：x 1,x 2是方程x 2＋px ＋q ＝0的两根时,x 1＋x 2＝﹣p ,x 1x 2＝q 性质的应用．15.已知112x y+=,则5756x xy y x xy y -+=-+ _________． 【答案】34-【解析】【分析】 首先把112x y+=去分母可得y ＋x ＝2xy ,然后把5756x xy y x xy y -+-+变形后代入y ＋x ＝2xy ,约分化简即可． 【详解】解：∵112x y+=, ∴11()2xy xy x y+=, ∴y ＋x ＝2xy , ∴5755()766x xy y x y xy x xy y x y xy-++-=-++- 52726xy xy xy xy ⨯-=- 34xy xy=-34=-, 故答案为：34-． 【点睛】此题主要考查了分式的计算,关键是正确利用等式的性质把式子变形．16.如图,在Rt ABC ∆中,90,30,6B BAC AC ︒︒∠=∠== ,将ABC ∆沿BC 向右平移得到DEF ∆,若四边形ACFD 的面积等于63,则平移的距离等于___________．【答案】2【解析】【分析】根据30°的直角三角形的性质求出BC ,再根据勾股定理求得AB 长,最后根据平行四边形的面积公式计算即可．【详解】解：∵∠B ＝90°,∠BAC ＝30°,AC ＝6,∴BC ＝12AC ＝3, ∴在Rt △ABC 中,2233AB AC BC =-=由平移的性质可知,四边形ABED 的平行四边形,则CF 3363解得：CF ＝2,故答案为：2．【点睛】本题考查的是平移的性质、含30°的直角三角形的性质、勾股定理,掌握含30°的直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．三、解答题： (共46分)17.因式分解()1224x y()()()()()222215x y x y x y x y -+-+-+【答案】（1）(2)(2)xy x y ；（2）()()4322x y x y -++ 【解析】【分析】（1）原式利用公式法分解即可；（2）原式先利用十字相乘法分解,再把系数中的公约数提出来即可．【详解】解：（1）原式＝(2)(2)x y x y ；（2）原式＝()()()()53x y x y x y x y -++--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()6424x y x y =+--()()4322x y x y =-++．【点睛】此题考查了因式分解的三种方法：公式法、十字相乘法以及提公因式法,熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键,注意因式分解要分解到不能分解为止．18.解方程()212310x x --=（用配方法解方程）()()2255x x x -=-()123131x x x --=+- ()22434111x x x -=--+【答案】（1）12334444x x =+=-；（2）121,52x x ==；（3）13x =-；（4）无解 【解析】【分析】（1）二次项的系数化为1,移项、配方、开方即可求解；（2）先移项,再提取公因式（x ﹣5）,进而得出答案；（3）观察可得最简公分母是（x ＋3）（x ﹣1）,方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解即可；（4）观察可得最简公分母是（x ＋1）（x ﹣1）,方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解即可．【详解】解：（1）231022x x --=, 23122x x -= 2223313()()2424x x -+=+ 2317()416x -=344x -=±∴123344x x ==； （2）()()2550x x x ---=()()2150x x --=210x -=或50x -= ∴121,52x x ==； （3）两边同时乘以（x ＋3）（x ﹣1）得2(1)2(3)(3)(1)x x x x --+=+-22212623x x x x x -+--=+- 解得：13x =- 检验：当13x =-时,（x ＋3）（x ﹣1）≠0, ∴13x =-是原方程的解；（4）两边同时乘以（x ＋1）（x ﹣1）得 2(1)43(1)x x +-=-22433x x +-=-解得：1x =检验：当x＝1时,（x＋1）（x﹣1）＝0,∴1x=是原方程的增根,原方程无解．【点睛】本题考查了一元二次方程和分式方程的解法,解一元二次方程和分式方程的基本思想是“转化思想”,把一元二次方程转化为一元一次方程,把分式方程转化为整式方程求解,解分式方程一定注意要验根．19.重庆市有,,,,A B C D E五个景区很受游客喜爱,一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游(只选一个景区)的意向做了一次随机调查统计,并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图．()1该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是_______人,m=想去C景区的人有_________人,并补全条形统计图．()2被调查到的居民想去景区旅游的人数最多,若该小区有居民2000人,估计去该景区旅游的居民约有多少人?()3小强同学赞假期间计划与父母从,...A B C D E五个景区中,任选两个去旅游,求选至,B D两个景区的概率,(要求列表求概率)【答案】（1）200,35%,40,补全条形统计图见解析；（2）B,700；（3）1 10【解析】【分析】（1）用想去D景区的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数,再计算想去B景区的百分比得到m的值,然后计算出想去C景区的人数后补全条形统计图；（2）利用条形条形图可判断想去B景区旅游的人数最多,用2000乘以m%可估计该景区旅游的居民大约人数；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数,找出选到B,D两个景区的结果数,然后根据概率公式计算．【详解】解：（1）20÷10%＝200,所以该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是200人,m%＝70200×100%＝35%,即m＝35；想去C 景区的人数为：200﹣20﹣70﹣20﹣50＝40（人）,故答案为200,35%,40．补全条形统计图为：（2）被调查到的居民想去B 景区旅游的人数最多,故答案为：B ．2000×35%＝700,所以估计去该景区旅游的居民约有700人；（3）列表如下：共有20种等可能的结果数,其中选到B ,D 两个景区的结果数为2,所以选到B ,D 两个景区的概率＝212010=． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ,再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ,然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了条形统计图和用样本估计总体．20.函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用,下面我们就一类特殊的函数展开探索,画函数2y x =的图象,经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如下图所示： x …… -3 -2 -1 0 1 2 3 ……y …… 6 4 2 0 2 4 6 ……经历同样的过程画函数22y x =-和22y x =+的图象如下图所示,观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形：三个函数解析式中绝对值前面的系数相同,则图象的开口方向和形状完全相同,只有最高点和对称轴发生了变化．()1请直接写出2y x =与22y x =+的交点坐标和函数22y x =+的对称轴；()2在所给的平面直角坐标系内画出函数231y x =-+的图象(不列表),并写出函数231y x =-+的一条性质；()3结合函数图像,直接写出不等式231x x -+≤时x 的取值范围．【答案】（1）交点坐标为（﹣1,2）,对称轴为直线x ＝﹣2；（2）图像见解析,性质：函数231y x =-+的图象的对称轴为直线x ＝3（答案不唯一）；（3）753x ≤≤ 【解析】【分析】（1）根据所给图像即可得到答案；（2）画出函数231y x =-+的图象,结合所画图像即可得到相应的图像性质；（3）先画出y x =的函数图像,再通过与231y x =-+联立方程求出交点坐标,结合函数图像即可得到答案．【详解】解：（1）由图像可知：2y x =与22y x =+的交点坐标为（﹣1,2）,函数22y x =+的对称轴为直线x ＝﹣2；（2）函数231y x =-+的图象如图所示：性质：函数231y x =-+的图象的对称轴为直线x ＝3（答案不唯一）；（3）函数y x =的图像如图所示：令231x x -+=,当30x -≥时,2(3)1x x -+=,解得5x =,则5y x ==,∴231y x =-+与y x =的一个交点坐标为（5,5）,当30x -<时,2(3)1x x -+=,解得73x =, 则73y x ==, ∴231y x =-+与y x =的另一个交点坐标为（73,73）,∴由图像可知：不等式231x x -+≤的解集为753x ≤≤, 故答案为：753x ≤≤． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数的图象及性质,利用数形结合思想是解决本题的关键．21.在四边形ABCD 中,从以下四个条件中：①//AB CD ②//AD BC ③AD BC =④B D ∠=∠,其中任选两个能判定四边形ABCD 为平行四边形的概率为（ ）A. 13B. 12C. 23D. 56【答案】C【解析】【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与能使四边形ABCD 成为平行四边形的情况,再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果,能使四边形ABCD 成为平行四边形的有8种情况,分别为：①②,①④,②③,②④,②①,④①,③②,④②,∴从中任选两个条件,能使四边形ABCD 成为平行四边形的概率是：82123=． 故选：C ．【点睛】此题考查了平行四边形的判定及列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比,熟练掌握平行四边形的判定方法是解决本题的关键．22.一条笔直的公路上顺次有、、A B C 三地,小军早晨5:00从A 地出发沿这条公路骑自行车前往C 地,同时小林从B 地出发沿这条公路骑摩托车前往A 地,小林到地后休息了 1个小时, 然后掉头原路原速返回追赶小军,经过一段时间后两人同时到达C 地,设两人行驶的时间为x (小时),两人之间的距离为y (千米), y 与x 之间的函数图像如图所示,下列说法：①小林与小军的速度之比为2:1；②10:00时,小林到达A 地；③21:00时,小林与小军同时到达C 地；④BC 两地相距420千米,其中正确的有_________（只填序号）【答案】②④【解析】【分析】根据第一段图像可求得两人的速度和,结合第二段图像可求得小林的速度,进而可得小军的速度,由此可判断①；根据“时间＝路程÷速度”可判断②；根据“时间＝路程差÷速度差”可判断③、④．【详解】解：由题意可得v林＋v军＝300÷3＝100（千米/小时）200÷100＝2（小时）则v林＝300÷（2＋3）＝60（千米/小时）v军＝100－60＝40（千米/小时）∴v林:v军＝60:40＝3:2,∴①错误；∵300÷60＝5（小时）5＋5＝10,∴②正确；∵40×（3＋2＋1）＝240（千米）240÷（60－40）＝12（小时）5＋3＋2＋1＋12＝23∴小林和小军在23:00到达C地,∴③错误；∵12×60－300＝420,∴④正确．故答案为：②④．【点睛】本题考查了一次函数的应用,理解函数图象上点的实际意义是解决本题的关键．23.关于x的一元二次方程(a＋1)x2－2x＋3＝0有实数根,则整数a的最大值是_____.【答案】－2【解析】【分析】若一元二次方程有实数根,则根的判别式△=b 2-4ac≥0,建立关于a 的不等式,求出a 的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【详解】∵关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2－2x ＋3＝0有实数根,∴△=4-4（a+1）×3≥0,且a+1≠0,解得a≤-23,且a≠-1, 则a 的最大整数值是-2．故答案为-2．【点睛】本题考查了根的判别式,一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系： ①当△＞0时,方程有两个不相等的实数根；②当△=0时,方程有两个相等的实数根；③当△＜0时,方程无实数根．上面的结论反过来也成立．也考查了一元二次方程的定义．24.如图,在Rt ABC ∆中, 90,60, 2.ACB B BC ︒︒∠=∠==将ABC ∆绕点C 逆时针旋得到'''A B C ∆,且'B 恰好落在AB 上,连接'AA ,取'AA 的中点D ．连接'B D ,则'B D 的长为 __________7【解析】分析】先根据30°的直角三角形的性质求得BC 长,进而求得AC 长,再根据旋转的性质可证△B'BC 和△A'AC 为等边三角形,进而可证'90A AB ︒∠=,最后再利用勾股定理计算即可．【详解】解：∵90,60ACB B ︒︒∠=∠=,∴9030BAC B ︒︒∠=-∠=,∵2BC =,∴24AB BC ==,∴在Rt △ABC 中,2223ACAB BC , ∵旋转,∴'2B C BC ==,'A C AC ==''A CA B CB ∠=∠,又∵60B ︒∠=,∴△B'BC 为等边三角形,∴'60B CB B ︒∠=∠=,'2B B BC ==,∴''60A CA B CB ︒∠=∠=,∴△A'AC 为等边三角形,∴'A A AC =='60A AC ︒∠=,∵点D 为'A A 的中点,∴1'2AD A A ==∵4AB =,'2B B =,∴''422AB AB B B =-=-=,∵30BAC ︒∠=,'60A AC ︒∠=,∴''90A AB A AC BAC ︒∠=∠+∠=,∴在Rt △AB'D 中,'B D ===【点睛】本题考查了含30°的直角三角形的性质、勾股定理、图形旋转的性质、等边三角形的判定及性质,熟练掌握相关图形的性质及判定是解决本题的关键．25.某“欣欣”奶茶店开业大酬宾推出...A B C D 四款饮料．1千克A 饮料的原料是2千克苹果,3千克梨,1千克西瓜；1千克B 饮料的原料是2千克苹果,3千克梨,1千克西瓜；1千克C 饮料的原料是3千克苹果,9千克梨, 6千克西瓜；1千克D 饮料的原料是2千克苹果,6千克梨,4千克西瓜；如果每千克苹果的成本价为2元,每千克梨的成本价为1.2元,每千克西瓜的成本价为3.5元．开业当天全部售罄,销售后,共计苹果的总成本为100元,并且梨的总成本为126元,那么西瓜的总成本为_____元【答案】192.5【解析】【分析】设A 饮料a 千克,B 饮料b 千克,C 饮料c 千克,D 饮料d 千克,根据“苹果的总成本为100元,并且梨的总成本为126元”列出方程组,在解方程组的时候注意整体思想的应用,进而可得答案．【详解】解：设A 饮料a 千克,B 饮料b 千克,C 饮料c 千克,D 饮料d 千克,根据题意,得：100223221263396 1.2a b c d a b c d ⎧+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩, 整理得：2()(32)50()(32)35a b c d a b c d +++=⎧⎨+++=⎩, 解得：153220a b c d +=⎧⎨+=⎩, ∴3.5(64) 3.5(15202)192.5a b c d +++=⨯+⨯=,故答案为：192.5．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,根据题意找到等量关系,列出方程组,解方程组时注意整体思想的应用是解决本题的关键．26.如图,在ABD ∆中,点,E F 分别在.AB AD 上,()1如图1．若460BFD FBA ︒∠=∠=,且 8DF BD ==,求AF()2如图2,若1,, ,902AB BD BF EF BE DF DBF ADB ︒⊥⊥=∠+∠=． 求证： 2BF EF =【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）过点B 作BH ⊥AD ,先证△BDF 为等边三角形,根据三线合一及勾股定理可求得HF 和BH 的长,根据460FBA ︒∠=得15FBA ︒∠=进而可求得45A ︒∠=,结合90BHA ︒∠=可证得43AH BH ==,进而得解；（2）过点D 作DG ⊥BF ,先证△DGB ≌△DGF 得2BF BG =,再证△DGB ≌△BFE 得BG EF =,等量代换即可．【详解】（1）解：如图,过点B 作BH ⊥AD ,垂足为点H ,∵60BFD ︒∠=, 8DF BD ==∴△BDF 为等边三角形,∴ 8BF BD ==,又∵BH ⊥AD ,∴1 42HF HD DF ===, ∴在Rt △BFH 中,22228443BH BF HF =-=-=∵460FBA ︒∠=,∴15FBA ︒∠=,∴45A BFD FBA ︒∠=∠-∠=,∵BH ⊥AD ,∴90BHA ︒∠=,∴45ABH A ︒∠=∠=, ∴43AH BH ==,∴434AF AH HF =-=-；（2）如图,过点D 作DG ⊥BF ,垂足为点G ,∵AB BD ⊥,DG ⊥BF ,BF EF ⊥,∴90DBA DGB DGF BFE ︒∠=∠=∠=∠=, ∴90DBF FBA ︒∠+∠=,90DBF GDB ︒∠+∠=,∵1902DBF ADB ︒∠+∠=, ∴12FBA GDB ADB ∠=∠=∠, ∴GDB GDF ∠=∠,在△DGB 与△DGF 中,GDB GDF DG DGDGB DGF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DGB ≌△DGF （ASA ）,∴DB DF =,BG GF =,∴2BF BG =,。

2016-2017学年北京大学附中八年级（下）期中数学试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题3分，本题共30分）1．（3分）关于x的方程ax2﹣3x+2=0是一元二次方程，则（）A．a＞0B．a≠0C．a=1D．a≥02．（3分）用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（）A．x2﹣2x=5B．2x2﹣4x=5C．x2+4x=5D．x2+2x=5 3．（3分）直线y=x﹣1的图象经过的象限是（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限4．（3分）若顺次连结四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD 必定是（）A．菱形B．对角线相互垂直的四边形C．正方形D．对角线相等的四边形5．（3分）直线y=kx﹣1一定经过点（）A．（0，﹣1）B．（1，0）C．（0，k）D．（1，k）6．（3分）已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程x2﹣14x+48=0的根，则这个三角形的周长为（）A．11B．17C．17或19D．197．（3分）下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x﹣2y=2的解是（）A．B．C．D．8．（3分）在平面直角坐标系中，点O为原点，直线y=kx+b交x轴于点A（﹣2，0），交y轴于点B．若△AOB的面积为8，则k的值为（）A．1B．2C．﹣2或4D．4或﹣4 9．（3分）两条直线y=k1x+b1和y=k2x+b2相交于点A（﹣2，3），则方程组的解是（）A．B．C．D．10．（3分）如图，矩形ABCD中，P为CD中点，点Q为AB上的动点（不与A，B重合）．过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N．设AQ的长度为x，QM与QN 的长度和为y．则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共18分，每空2分）11．（2分）方程（x﹣1）2﹣2=0的根为．12．（2分）将直线y=﹣2x+3向下平移4个单位长度，所得直线的解析式为．13．（4分）已知菱形两条对角线长分别是4cm和8cm，则它的边长为，面积为．14．（2分）如果关于x的方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是．15．（2分）如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，且∠DAE：∠BAE=3：2，则∠CAE 的度数为．16．（2分）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为（2，0），则下列说法：①y随x的增大而增大；②b＞0；③关于x的方程kx+b=0的解为x=2；④kx+b＞0的解集是x＞2．其中说法正确的有．（把你认为说法正确的序号都填上）17．（2分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：已知（图1）：Rt△ABC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．小敏的作法如下（图2）：①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；②连接BO并延长，在延长线上截取OD=BO；③连接DA，DC．则四边形ABCD即为所求．老师说：“小敏的作法正确．”请回答：小敏的作图依据是．18．（2分）如图，直线y=x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…按此作法进行去，点B n的坐标为（n为正整数）．三、解答题（本大题共计52分）19．（16分）按要求解下列一元二次方程（1）2x2+4x﹣7=0（配方法）．（2）2x2﹣3x+2=0（公式法）．（3）解方程：x2﹣7x+10=0（用适当方法）．（4）5（x+1）2=7（x+1）（用适当方法）．20．（5分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+1）x+2=0．（1）求证：此方程总有两个实数根．（2）若此方程的两个实数根都是整数，求m的整数值．21．（5分）直线l1经过点A（﹣1，0）与点B（2，3），另一直线l2经过点B，且与x轴交于点P（m，0）．（1）求l1的解析式；（2）若△ABP的面积为3，求m的值．22．（5分）如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD 延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．23．（5分）子曰：“吾十有五而志于学，三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心所欲，不逾矩．”﹣﹣《论语•第二章•为政篇》列方程解决下面问题：读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？24．（5分）有这样一个问题：探究函数y=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的图象与性质．小东对函数y=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）函数y=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的自变量x的取值范围是．（2）下表是y与x的几组对应值．①m=．②若M（﹣7，﹣720），N（n，720）为该函数图象上的两点，则n=．（3）在平面直角坐标系xOy中，A（x A，y A），B（x B，﹣y A）为该函数图象上的两点，且A为2≤x≤3范围内的最低点，A点的位置如图所示．①标出点B的位置．②画出函数y=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（0≤x≤4）的图象．25．（6分）已知关于x的两个一元二次方程：方程①：；方程②：x2+（2k+1）x﹣2k﹣3=0．（1）若方程①有两个相等的实数根，求：k的值（2）若方程①和②只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根．（3）若方程①和②有一个公共根a，求代数式（a2+4a﹣2）k+3a2+5a的值．26．（5分）（1）如图1，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，若AC=2a，BC=a，则△BCD的周长为．（2）O为正方形ABCD的中心，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且△EDF 的周长等于AD的长．①在图2中求作△EDF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；②在图3重新画出△EDF，连接OF、OE，求∠EOF的度数．2016-2017学年北京大学附中八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题3分，本题共30分）1．（3分）关于x的方程ax2﹣3x+2=0是一元二次方程，则（）A．a＞0B．a≠0C．a=1D．a≥0【分析】因为一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，且a≠0），依据一般形式即可进行判断．【解答】解：要使ax2﹣3x+2=0是一元二次方程，必须保证a≠0．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，关键要记住二次项系数不为0．2．（3分）用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（）A．x2﹣2x=5B．2x2﹣4x=5C．x2+4x=5D．x2+2x=5【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方分别进行解答，即可得出答案．【解答】解：A、因为本方程的一次项系数是﹣2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；B、先在等式的两边同时除以2，得到x2﹣2x=，因为此方程的一次项系数是﹣2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；C、因为本方程的一次项系数是4，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方4；故本选项正确；D、因为本方程的一次项系数是2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；故选：C．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．3．（3分）直线y=x﹣1的图象经过的象限是（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限【分析】由y=x﹣1可知直线与y轴交于（0，﹣1）点，且y随x的增大而增大，可判断直线所经过的象限．【解答】解：直线y=x﹣1与y轴交于（0，﹣1）点，且k=1＞0，y随x的增大而增大，∴直线y=x﹣1的图象经过第一、三、四象限．故选：D．【点评】本题考查了一次函数的性质．关键是根据图象与y轴的交点位置，函数的增减性判断图象经过的象限．4．（3分）若顺次连结四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD 必定是（）A．菱形B．对角线相互垂直的四边形C．正方形D．对角线相等的四边形【分析】根据矩形的四个角为直角得到∠FEH=90°，又EF为三角形ABD的中位线，根据中位线定理得到EF与DB平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠EMO=90°，同理根据三角形中位线定理得到EH与AC平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AOD=90°，根据垂直定义得到AC与BD垂直．【解答】解：∵四边形EFGH是矩形，∴∠FEH=90°，又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，∴EF是三角形ABD的中位线，∴EF∥BD，∴∠FEH=∠OMH=90°，又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，∴EH是三角形ACD的中位线，∴EH∥AC，∴∠OMH=∠COB=90°，即AC⊥BD．故选：B．【点评】此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．这类题的一般解法是：借助图形，充分抓住已知条件，找准问题的突破口，由浅入深多角度，多侧面探寻，联想符合题设的有关知识，合理组合发现的新结论，围绕所探结论环环相加，步步逼近，所探结论便会被“逼出来”．5．（3分）直线y=kx﹣1一定经过点（）A．（0，﹣1）B．（1，0）C．（0，k）D．（1，k）【分析】将各点分别代入解析式，等式成立者即为正确答案．【解答】解：A、将（0，﹣1）代入y=kx﹣1得，﹣1=﹣1，等式成立，故本选项正确；B、将（1，k）代入y=kx﹣1得，k=k﹣1，等式不成立，故本选项错误；C、将（0，k）代入y=kx﹣1得，k=﹣1，等式不一定成立，故本选项错误；D、将（1，k）代入y=kx﹣1得，k=k﹣1，等式不成立，故本选项错误；故选：A．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要明确，点的坐标符合函数解析式．6．（3分）已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程x2﹣14x+48=0的根，则这个三角形的周长为（）A．11B．17C．17或19D．19【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．【解答】解：解方程x2﹣14x+48=0得第三边的边长为6或8，依据三角形三边关系，不难判定边长2，6，9不能构成三角形，2，8，9能构成三角形，∴三角形的周长=2+8+9=19．故选D．【点评】求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．7．（3分）下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x﹣2y=2的解是（）A．B．C．D．【分析】根据两点确定一条直线，当x=0，求出y的值，再利用y=0，求出x的值，即可得出一次函数图象与坐标轴交点，即可得出图象．【解答】解：∵x﹣2y=2，∴y=x﹣1，∴当x=0，y=﹣1，当y=0，x=2，∴一次函数y=x﹣1，与y轴交于点（0，﹣1），与x轴交于点（2，0），即可得出C符合要求，故选：C．【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程的关系，将方程转化为函数关系进而得出与坐标轴交点坐标是解题关键．8．（3分）在平面直角坐标系中，点O为原点，直线y=kx+b交x轴于点A（﹣2，0），交y轴于点B．若△AOB的面积为8，则k的值为（）A．1B．2C．﹣2或4D．4或﹣4【分析】首先根据题意画出图形，注意要分情况讨论，①当B在y的正半轴上时②当B在y的负半轴上时，分别求出B点坐标，然后再利用待定系数法求出一次函数解析式，得到k的值．【解答】解：（1）当B在y的正半轴上时，如图1，∵△AOB的面积为8，∴×OA×OB=8，∵A（﹣2，0），∴OA=2，∴OB=8，∴B（0，8）∵直线y=kx+b交x轴于点A（﹣2，0），交y轴于点B（0，8）．∴，解得：；（2）当B在y的负半轴上时，如图2，∵△AOB的面积为8，∴×OA×OB=8，∵A（﹣2，0），∴OA=2，∴OB=8，∴B（0，﹣8）∵直线y=kx+b交x轴于点A（﹣2，0），交y轴于点B（0，﹣8）．∴解得：．故选：D．【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，关键是要根据题意分两种情况讨论，然后再利用待定系数法求出答案．9．（3分）两条直线y=k1x+b1和y=k2x+b2相交于点A（﹣2，3），则方程组的解是（）A．B．C．D．【分析】由题意，两条直线y=k i x+b1和y=k2x+b2相交于点A（﹣2，3），所以x=﹣2、y=3就是方程组的解．【解答】解：∵两条直线y=k i x+b1和y=k2x+b2相交于点A（﹣2，3），∴x=﹣2、y=3就是方程组的解．∴方程组的解为：．故选：B．【点评】本题主要考查了二元一次方程（组）和一次函数的综合问题，两直线的交点就是两直线解析式所组成方程组的解，认真体会一次函数与一元一次方程之间的内在联系．10．（3分）如图，矩形ABCD中，P为CD中点，点Q为AB上的动点（不与A，B重合）．过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N．设AQ的长度为x，QM与QN 的长度和为y．则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．=PE•AB；S△PAB=S△PQB+S△PAQ=QN•PB+【分析】根据三角形面积得出S△PABPA•MQ，进而得出y=，即可得出答案．【解答】解：连接PQ，作PE⊥AB垂足为E，∵过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N∴S=PE•AB；△PABS△PAB=S△PQB+S△PAQ=QN•PB+PA•MQ，∵矩形ABCD中，P为CD中点，∴PA=PB，∵QM与QN的长度和为y，=S△PQB+S△PAQ=QN•PB+PA•MQ=PB（QM+QN）=PB•y，∴S△PAB=PE•AB=PB•y，∴S△PAB∴y=，∵PE=AD，∴PE，AB，PB都为定值，∴y的值为定值，符合要求的图形为D，故选：D．【点评】此题主要考查了动点函数的图象，根据已知得出y=，再利用PE=AD，PB，AB，PB都为定值是解题关键．二、填空题（本题共18分，每空2分）11．（2分）方程（x﹣1）2﹣2=0的根为x1=1+，x2=1﹣．【分析】先移项，写成（x+a）2=b的形式，然后利用数的开方解答．【解答】解：移项得，（x﹣1）2=2，开方得，x﹣1=±，解得x1=1+，x2=1﹣．故答案为x1=1+，x2=1﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b （b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．12．（2分）将直线y=﹣2x+3向下平移4个单位长度，所得直线的解析式为y=﹣2x﹣1．【分析】直接根据“上加下减”的平移规律求解即可．【解答】解：将直线y=﹣2x+3向下平移4个单位长度，所得直线的解析式为y=﹣2x+3﹣4，即y=﹣2x﹣1．故答案为y=﹣2x﹣1．【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．13．（4分）已知菱形两条对角线长分别是4cm和8cm，则它的边长为，面积为16cm2．【分析】根据菱形的性质及勾股定理即可求得其边长和面积的值．【解答】解：因为菱形的两条对角线长分别为4和8，由勾股定理得菱形的边长=，因为菱形的面积=对角线乘积的一半，所以菱形的面积=．故答案为，16cm2．【点评】本题考查菱形的性质以及勾股定理，关键是根据菱形的性质及勾股定理解答．14．（2分）如果关于x的方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是k＜1且k≠0．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=（﹣6）2﹣4k ×9＞0，然后解两个不等式，求出它们的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k≠0且△=（﹣6）2﹣4k×9＞0，解得k＜1且k≠0．故答案为k＜1且k≠0．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．15．（2分）如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，且∠DAE：∠BAE=3：2，则∠CAE 的度数为18°．【分析】根据矩形的性质可得∠BAD=90°，OA=OD，然后根据比例求出∠DAE=54°，∠BAE=36°，再根据等边对等角可得∠DAO=∠ADO，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AOB=2∠DAO，再根据直角三角形两锐角互余求出∠ADO，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AOB，最后根据直角三角形两锐角互余解答．【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠BAD=90°，OA=OD，∵∠DAE：∠BAE=3：2，∴∠DAE=54°，∠BAE=36°，∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠AOB=2∠DAO，∵AE⊥BD，∠BAD=90°，∴∠BAE=∠ADO=36°，∴∠AOB=72°，∴∠CAE=90°﹣72°=18°．故答案为：18°．【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形两锐角互余的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．16．（2分）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为（2，0），则下列说法：①y随x的增大而增大；②b＞0；③关于x的方程kx+b=0的解为x=2；④kx+b＞0的解集是x＞2．其中说法正确的有②③．（把你认为说法正确的序号都填上）【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解．【解答】解：由图象得：图象过一、二、四象限，则k＜0，b＞0，当k＜0时，y随x的增大而减小，故①错误，②正确，由图象得：与x轴的交点为（2，0），则当x=2时y=0，当x＞2时，y＜0，当x＜2时，y＞0，故③正确，④错误．故答案为②③．【点评】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，利用数形结合是求解的关键．17．（2分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：已知（图1）：Rt△ABC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．小敏的作法如下（图2）：①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；②连接BO并延长，在延长线上截取OD=BO；③连接DA，DC．则四边形ABCD即为所求．老师说：“小敏的作法正确．”请回答：小敏的作图依据是对角线互相平分且相等的四边形是平行四边形．【分析】直接利用小敏的作法结合矩形的判定方法得出答案．【解答】解：小敏的作图依据是：对角线互相平分且相等的四边形是平行四边形；方案一：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②有一个角是直角的平行四边形是矩形；方案二：①直角三角形斜边是中线等于斜边的一半；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③对角线相等的平行四边形是矩形．故答案为：对角线互相平分且相等的四边形是平行四边形【点评】此题主要考查了复杂作图以及平行四边形和矩形的判定方法，正确掌握矩形的判定方法是解题关键．18．（2分）如图，直线y=x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…按此作法进行去，点B n的坐标为（，）（n为正整数）．【分析】由A1（1，0），可知B1的横坐标为1，由于B1，B2，B3，..，Bn都在直线y=x上，可知B1，B2，B3，..，Bn各点的横坐标与纵坐标相等，即B1（1，1），由勾股定理得OB1=，由此可得A2（，0），则B2（，），由勾股定理得OB2=2，则A3（2，0），则B3（2，2），…，由此得出一般结论．【解答】解：∵B1，B2，B3，…，B n都在直线y=x上，∴B1，B2，B3，…，B n各点的横坐标与纵坐标相等，由A1（1，0），得B1（1，1），此时OB1=，可知，A2（，0），则B2（，），同理可得B3（2，2），…，则B n（，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查了一次函数的综合运用．关键是明确直线y=x上点的横坐标与纵坐标相等特点，由易到难，由特殊到一般，得出规律．三、解答题（本大题共计52分）19．（16分）按要求解下列一元二次方程（1）2x2+4x﹣7=0（配方法）．（2）2x2﹣3x+2=0（公式法）．（3）解方程：x2﹣7x+10=0（用适当方法）．（4）5（x+1）2=7（x+1）（用适当方法）．【分析】（1）根据配方法可以解答此方程；（2）根据公式法可以解答此方程；（3）根据因式分解法可以解答此方程；（4）先移项，然后根据提公因式法可以解答此方程．【解答】解：（1）2x2+4x﹣7=0（配方法）2x2+4x=7x2+2x=（x+1）2=x+1=，∴x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；（2）2x2﹣3x+2=0（公式法）a=2，b=﹣3，c=2，△=（﹣3）2﹣4×2×2=﹣7＜0，故原方程无解；（3）x2﹣7x+10=0（x﹣2）（x﹣5）=0∴x﹣2=0，x﹣5=0解得，x1=2，x2=5；（4）5（x+1）2=7（x+1）5（x+1）2﹣7（x+1）=0（x+1）[5（x+1）﹣7]=0（x+1）（5x﹣2）=0∴x+1=0或5x﹣2=0，解得，x1=﹣1，x2=0.4．【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的解答方法．20．（5分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+1）x+2=0．（1）求证：此方程总有两个实数根．（2）若此方程的两个实数根都是整数，求m的整数值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=（2m﹣1）2≥0，由此即可证出此方程总有两个实数根；（2）利用求根公式求出方程的两个根，由此方程的两个实数根都是整数且m也为整数，即可求出m的值．【解答】（1）证明：∵原方程为一元二次方程，∴m≠0，∴△=b2﹣4ac=（2m+1）2﹣4×m×2=4m2+4m+1﹣8m=4m2﹣4m+1=（2m﹣1）2．∵（2m﹣1）2≥0，∴△≥0，∴此方程总有两个实数根．（2）解：，∴，，∵方程的两个根都是整数且m也为整数，∴m=±1．【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用求根公式求出方程的解．21．（5分）直线l1经过点A（﹣1，0）与点B（2，3），另一直线l2经过点B，且与x轴交于点P（m，0）．（1）求l1的解析式；（2）若△ABP的面积为3，求m的值．【分析】（1）利用待定系数法确定直线l1的函数关系式；（2）过点B作BE⊥x轴于点E，则BE=3，再由△APB的面积为3，可确定AP的长度，继而可得m的值．【解答】解：（1）设直线l1的表达式为y=kx+b，则，解得：．∴直线l1的函数关系式为：y=x+1．（2）过点B作BE⊥x轴于点E，则BE=3，∵△APB的面积为3，∴AP×BE=3，即AP=2，又∵点A的坐标为（﹣1，0），点P的坐标为（m，0），∴m的值为﹣3或1．【点评】本题考查了两直线相交的问题，三角形的面积，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，注意分类讨论思想的运用．22．（5分）如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD 延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．由题意易得△AOE≌△COE，∴∠AOE=∠COE=90°，∴BE⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；（2）根据有一个角是90°的菱形是正方形．由题意易得∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC=2∠ADO=90°，∴四边形ABCD是正方形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．又∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC（三线合一），即AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．又∵△ACE是等边三角形，∴EO平分∠AEC（三线合一），∴∠AED=∠AEC=×60°=30°，又∵∠AED=2∠EAD∴∠EAD=15°，∴∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°（三角形的一一个外角等于和它外角不相邻的两内角之和），∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC=2∠ADO=90°，∴平行四边形ABCD是正方形．【点评】此题主要考查菱形和正方形的判定，要灵活应用判定定理及等腰三角形的性质、外角的性质定理．23．（5分）子曰：“吾十有五而志于学，三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心所欲，不逾矩．”﹣﹣《论语•第二章•为政篇》列方程解决下面问题：读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？【分析】设周瑜逝世的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3，根据个位平方等于年龄，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再由而立之年督东吴可确定x的值，此题得解．【解答】解：设周瑜逝世的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3，根据题意得：10（x﹣3）+x=x2，解得：x1=5，x2=6，当x1=5时，周瑜的年龄是25岁，∵25非而立之年，∴不符合题意，舍去；当x2=6时，周瑜的年龄是36岁，符合题意．答：周瑜的年龄是36岁．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．（5分）有这样一个问题：探究函数y=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的图象与性质．小东对函数y=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）函数y=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的自变量x的取值范围是全体实数．（2）下表是y与x的几组对应值．①m=﹣60．②若M（﹣7，﹣720），N（n，720）为该函数图象上的两点，则n=11．（3）在平面直角坐标系xOy中，A（x A，y A），B（x B，﹣y A）为该函数图象上的两点，且A为2≤x≤3范围内的最低点，A点的位置如图所示．①标出点B的位置．②画出函数y=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（0≤x≤4）的图象．【分析】（1）根据函数的定义即可求解；（2）①把x=﹣2代入函数解析式可求得m的值；②观察给定表格中的数据可发现函数图象上的点关于点（2，0）对称，再根据点M、N的坐标即可求出n值；（3）①找出点A关于点（2，0）对称的点B1，再找出与点B1纵坐标相等的B2点；②根据表格描点、连线即可得出函数图象．【解答】解：（1）函数y=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的自变量x的取值范围是全体实数．故答案为：全体实数．（2）①当x=﹣2时，y=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）=﹣60．②观察表格中的数据可得出函数图象关于点（2，0）中心对称，∴﹣7+n=2×2，解得：n=11．故答案为：﹣60，11．（3）①作点A关于点（2，0）的对称点B1，再在函数图象上找与点B1纵坐标相等的B2点．②根据表格描点、连线，画出图形如图所示．【点评】本题考查了多次函数的图象与性质，根据给定表格找出函数图象关于点（2，0）中心对称是解题的关键．25．（6分）已知关于x的两个一元二次方程：方程①：；方程②：x2+（2k+1）x﹣2k﹣3=0．（1）若方程①有两个相等的实数根，求：k的值（2）若方程①和②只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根．（3）若方程①和②有一个公共根a，求代数式（a2+4a﹣2）k+3a2+5a的值．【分析】（1）由方程有两个相等的实数根，由根的判别式可得到关于k的方程则可求得k的值；（2）由方程②的判别式可求得该方程总有两个实数根，则可知方程①没有实数根；（3）把x=a分别代入两个方程，整理即可求得所求代数式的值．【解答】解：（1）∵方程①有两个相等的实数根，∴，则k≠﹣2，△1=b2﹣4ac=（k+2）2﹣4（1+）×（﹣1）=k2+4k+4+4+2k=k2+6k+8，则（k+2）（k+4）=0，∴k=﹣2，k=﹣4，∵k≠﹣2，∴k=﹣4；（2）∵△2=（2k+1）2﹣4×1×（﹣2k﹣3）=4k2+4k+1+8k+12=4k2+12k+13=（2k+3）2+4＞0，∴无论k为何值时，方程②总有实数根，∵方程①、②只有一个方程有实数根，∴此时方程①没有实数根．（3）根据a是方程①和②的公共根，∴③，a2+（2k+1）a﹣2k﹣3=0④，∴③×2得：（2+k）a2+（2k+4）a﹣2=0⑤，⑤+④得：（3+k）a2+（4k+5）a﹣2k=5，代数式=（a2+4a﹣2）k+3a2+5a=（3+k）a2+（4k+5）a﹣2k=5．故代数式的值为5．【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．26．（5分）（1）如图1，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，若AC=2a，BC=a，则△BCD的周长为3a．（2）O为正方形ABCD的中心，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且△EDF 的周长等于AD的长．①在图2中求作△EDF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；②在图3重新画出△EDF，连接OF、OE，求∠EOF的度数．【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得出BD=AD，得出△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+AC，即可得出结果；（2）①在AD上截取AH=DE，再作EH的垂直平分线，交AD于F，△EDF即为所求；②连接OA、OD、OH，由正方形的性质得出∠1=∠2=45°，由SAS证明△ODE≌△OAH，得出∠DOE=∠AOH，OE=OH，得出∠EOH=90°，证出EF=HF，由SSS 证明△EOF≌△HOF，得出∠EOF=∠HOF=45°即可；也可以根据等腰△EOH的三线合一的性质得：OF是∠EOH的平分线，可得结论．【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线交AC于点D，∴BD=AD，∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+AC=a+2a=3a，故答案为：3a；（2）①如图2，在AD上截取AH=DE，连接EH，作EH的垂直平分线，交DH于F，连接EF，则△EDF就是所求作的三角形；（2）如图2，连接OD、OA、OH，∵O为正方形的中心，∴OA=OD，∠DOA=90°，在△AHO和△DEO中，，∴△AHO≌△DEO（SAS），∴OE=OH，∠4=∠3，∴∠EOH=∠DOA=90°∵OF是EH的垂直平分线，∴EF=FH，在△EOF和△HOF中，，∴△EFO≌△HOF（SSS），∴∠EOF=∠HOF，∵∠EOH=∠DOA=90°．∴∠EOF=45°．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质和作图等知识；属于基础题，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键第31页（共31页）。