固体物理答案

第六章

6.1 一维周期场中电子的波函数xk应满足布洛赫定理，若晶格常数为a，电子的波函数为（1）xaxksin（2）xaixk3cos（3）ikaxfx （f是某个确定的函数）试求电子在这些状态的波矢

解：布洛赫函数为xeaxkikak

（1）xaxaaxasin)sin()(sin

xaeaxaikasin)(sin 1ikae ，ka ，ak

（2）xaixaiaxai3cos33cos3cos

同理，1ikae ，ka ，ak

（3）axfaaxf)1(

axfaxf'' 此处1'，1ikae，20或ka ，ak20或

6.2已知一维晶格中电子的能带可写成kakamakE2cos81cos8722，式中a是晶格常数，m是电子的质量，求（1）能带的宽度，（2）电子的平均速度，

（3） 在带顶和带底的电子的有效质量

解：能带宽度为 minmaxEEE， 由极值条件 0dkkdE， 得

0cossin21sin2sin41sinkakakakaka 上式的唯一解是0sinka的解，此式在第一布里渊区内的解为ak或0

当k＝0时，kE取极小值minE，且有00minEE

当ak时，kE取极大值maxE ，且有22max2maaEE

由以上的可得能带宽度为22minmax2maEEE

（2）电子的平均速度为kakamadkkdEv2sin41sin1

（3）带顶和带底电子的有效质量分别为

mkakamkEmakakak322cos21cos1222

12200201coscos222kkmmkakamEk

6.2 一维周期势场为

bnaxbanbnaxbnanaxbmWxV)1(021222当当，

其中ba4 ，W为常数，求此晶体第一及第二禁带宽度

解：据自由电子近似得知禁带宽度的表示式为

ngVE2 ，

其中nV是周期势场xV傅立叶级数的系数，该系数为：

dxexVaVnxaiaan22/2/1

求得，第一禁带宽度为

dxexVaVExaiaag22/2/11221

dxexbmWbnxaibb22222412

dxxbxbmWbbb2cos2412222

3228bmW

第二禁带宽度为

dxexVaVExaiaag42/2/21221

dxexbmWbxaibb2222412

dxxbxbmWbbbcos2412222

222bmW

6.3 用紧束缚近似计算最近邻近似下一维晶格s态电子能带，画出kE，km与波矢的关系，证明只有在原点和布里渊区边界附近，有效质量才和波矢无关。

解： 根据紧束缚近似，

RsikaeJJEkE100 对一维，最近邻aRs

则 ikaikaeeJJEkE100kaJJEcos100

kE为余弦函数 （图省） 有效质量

kaaJkEmcos2212222

km的图也省， 在原点附近，ka很小，1coska

2122aJm 在布里渊区边界，ak，ka，1coska

21221222aJaJm

6.4 某晶体电子的等能面是椭球面 32322212122mkmkmkE，坐标轴1，2，3互相垂直。求能态密度。

解：由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为

1222232322222121EmkEmkEmk

将上式与椭球公式1222222czbyax

比较可知，在波矢空间内电子的等能面是一椭球面，与椭球的体积

abc34 比较可得到，能量为E的等能面围成的椭球体积

2/332132234Emmm

由上式可得

dEEmmmd2/1321324

能量区间dEEE内电子的状态数目

dEEmmmVdVdzcc2/1321323222

cV是晶体体积，电子的能态密度

2/1321322EmmmVdEdzENc

6.5 已知能带为：zyxakakakkEcoscoscos

其中0，0，a为晶格常数，试求

（1） 能带宽度

（2） 电子在波矢)1,1,1(2a状态下的速度

（3） 能带底附近电子的能态密度

解：（1） 0sinxxakakE，nakx

0sinyyakakE，naky

0sinzzakakE，nakz

可看出，n为偶数时E为极小值，n为奇数时为极大值

2111＝＋＝顶E

2111＝＝底E

故，能带宽度24＝底顶EEE

（2）kvjvivvzyx 其中

xxxakakEvsin11 yyyakakEvsin11 zzzakakEvsin11

在)1,1,1(2ak时avvyx1avz1kajiav1

（3） 能带底n为偶数，可取为零，故akx，aky，akz均很小

据21cos2xx )1(x有222222211211211akakakkEzyx

2222222222zyxkakaka2222222222akakakEzyx

用和6.5题相同的方法，其中222EE，212am，222am，232am

则：2/122212EE

6.6 用紧束缚模型求最近邻近似的s态电子能带公式，写出二维正三角形网络的能带，计算电子的速度及有效质量张量。

解：001iRsEkEJJeskR

对二维正三角晶格（如图），

6个最近邻的坐标为

0,a，0,a，aa23,2，aa23,2，aa23,2，aa23,2

代入上式并化简得：

akakakJJEkEyxx23cos2cos2cos100

电子速度：jvivvyx，其中

akakakaJkEvyxxxx23cos2sinsin211 y

x

akakaJkEvyxyy23sin2cos3211

由于yxijkkEm2211

akakakJamyxxxx23cos2coscos22121

akakJamyxyy23cos2cos32121

akakJamyxxy23sin2sin32121

6.7 用紧束缚近似计算面心立方晶格最近邻近似下s态电子能带

（1） 证明在k＝0附近，能带的等能面是球形的，导出有效质量。

（2） 画出[100]与[111]方向的kE曲线。

（3） 画出yxkk平面内能量的等值线。

解：（1）001iEkEJJesskRR

面心立方最近邻有十二个原子，其Rs位置在

220202022aaaaaakji

将这些Rs代入上式并简化可得：

2cos2cos2cos2cos2cos2cos4100akakakakakakJJEkExzzyyx 在k＝0附近，xk，yk，zk，均很小，利用21cos2xx，（x<<1, 则得

2222221002211221122112211221122114akakakakakakJJEkExzzyyx

故 222210024zyxkkkaJJEkE

由于aJaJkEmmiii12221222112281

其余0ijm

（2） 在[100]方向，0zykk，则

2cos841100akJJJEkEx

即可按此函数作图（图省）

在[111]方向，kkkkzyx

2cos122cos4321002100kaJJEkaJJEkE

可据上函数作图（图省）

（4） 在yxkk平面内，0zk

akakakakJJEkExyyx21cos2cos21cos2cos4100

等值线即 CkE （C为常数）

6.8 对体心立方晶格，用紧束缚法近似计算最近邻近似下s态电子能带，证明在带底和带顶附近等能面近似为球形，写出电子的有效质量。

解：s态电子能带可表示为001iRsEkEJJeskR

对体心立方，最近邻原子为8个，其Rs为：2a，2a，2a

zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxkkkaikkkaikkkaikkkaikkkaikkkaikkkaikkkaieeeeeeeeJJEkE22222222100[