幂函数、指数函数和对数函数-对数及其运算法则-教案

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1 / 34 必修1对数、对数函数、幂函数部分单元教学设计

一、教材分析

1、本单元教学内容的X围

第三章的主要内容是指数函数、对数函数和幂函数这三种函数模型.本章共分四大节，共14课时.

第一大节3.1指数与指数函数分2小节（3.11-3.12）共4课时.初中已经学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念的基础上，本节复习了正整数指数幂、零指数、负整数指数幂的概念，并且复习了正整数指数幂的运算法则.有了这些知识，本章将指数幂的概念和运算性质逐步扩充到有理指数幂以及实数指数幂. 接着通过两个具体的例子引入了指数函数，并对指数函数的图象和性质进行了研究.

第二大节3.2对数与对数函数分3小节（-3.2.3），共5课时，该节首先学习对数和对数的运算法则，然后再学习对数函数及其图象和性质，对数函数的图象是在画指数函数图象的对应值表的基础上描绘的，对数函数同指数函数一样，是以对数概念和运算法则作为基础讲授的.接着，通过对指数函数与对数函数的关系的研究给出了反函数的含义，并对这两种函数的增长差异进行了比较.

通过考查已经学过的函数，引出了幂函数的概念，然后研究了幂函数的图象和性质.

函数的应用（Ⅱ）也安排了1个课时，举例说明了指数函数、对数函数和幂函数在经济学、物理学等领域中的应用.

为了加强数学的应用意识，体现函数作为刻画现实世界变量之间相互关系的数学模型的作用，在第四大节的“探索与研究”中安排了“如何建立数学模型”的内容，在章末安排了“实习作业”.另外，在本章内容的讲解过程中，特别注意通过一些社会生活中的实例来展示指数函数、对数函数和幂函数作为函数模型的广泛应用.

为了体现数学文化的作用，本章安排了两个阅读材料，通过介绍对数方法产生的历史以及建立对数与指数的联系的过程，引导学生体会数学与社会生产生活之间的紧密联系，认识对数在人类社会发展、科技进步中的作用，以及社会生产生活的需要对数学发展的促进作用.另外，通过介绍对数方法先于指数概念，对数的发明没有应用指数与对数的互逆关系这一历史，可以让学生体会数学发展的不同轨迹，从而激发学生的学习兴趣. word 2 / 34

幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案

如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作

logaN=b，

其中a叫做底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式．

练习1 把下列指数式写成对数形式：

练习2 把下列对数形式写成指数形式：

练习3 求下列各式的值：

因为22=4，所以以2为底4的对数等于2．

因为53=125，所以以5为底125的对数等于3．

师：由定义，我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么？

生：a＞0且a≠1；b∈R；N∈R．

师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．）

生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab=N中N总是正数．

师：要特别强调的是：零和负数没有对数．

师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？

生：因为若a＜0，则N取某些值时，b可能不存在，如b=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，b不存在，如log02不存在；当N为0时，b可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N不为1时，b不存在，如log13不存在，N为1时，b可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值．因此，我们规定：a＞0，a≠1．

师：（板书）对数logaN（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28……．

练习4 计算下列对数：

lg10000，lg0.01，2log24，3log327，10lg105，5log51125．

师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想．

生：2log24=4．这是因为log24=2，而22=4．

生：3log327=27．这是因为log327=3，而33=27．

生：10lg105=105．

生：我猜想alogaN=N，所以5log51125=1125．

第四章 指数函数、对数函数与幂函数

4.1 指数与指数函数

4.1.1 实数指数幂及其运算

素养目标·定方向

课程标准

学法解读

1.理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值．

2．理解有理数指数幂的含义，能正确运用其运算法则进行化简、计算．

3．理解无理数指数幂，了解指数幂的拓展过程．

4．掌握实数指数幂的运算法则．

1.通过学习n次方根、n次根式概念及有理数指数幂含义，提升数学抽象素养．

2．通过根式运算性质、有理数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．

3．通过学习无理数指数幂，了解无限逼近思想，提升数学抽象素养．

4．通过实数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．

必备知识·探新知

知识点

n次方根

(1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__xn＝a__，则x称为a的n次方根．

(2)表示：

n为奇数 n为偶数

a∈R a＞0 a＝0 a＜0

x＝__na__ x＝__±na__ 0 不存在

思考：对于式子na中a一定是非负数吗？如不是，其范围是什么？

提示：不一定是非负数，其范围由n的奇偶决定；当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0．

知识点

根式 (1)当na有意义时，na称为根式，n称为__根指数__，a称为被开方数．

(2)性质：

①(na)n＝__a__；②nan＝ __a__，n为奇数，__|a|__，n为偶数.

思考：(na)n与nan中的字母a的取值范围是否一样？

提示：取值范围不同．式子(na)n中隐含a是有意义的，若n为偶数，则a≥0，若n为奇数，a∈R；式子nan中，a∈R．

分数指数幂的意义

知识点

正分数

指数幂 n为正整数，na有意义，且a≠0时，规定a1n ＝__na__

正分数mn，amn ＝__(na)m__＝nam

负分数

指数幂 s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a－s＝__1as__

指数与指数幂的运算

【学习目标】

1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.

2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点．

3．理解对数的概念及其运算性质．

4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指

数型函数、对数型函数进行变形处理.

5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质.

6．知道指数函数与对数函数互为反函数(a＞0，a≠1).

【要点梳理】

要点一、幂的概念及运算性质

1.整数指数幂的概念及运算性质

2.分数指数幂的概念及运算性质

为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义：

1nnaa

()mnmmnnaaa

-1mnmnaa

3．运算法则

当a＞0,b＞0时有：

（1）nmnmaaa；

（2）mnnmaa；

（3）0anmaaanmnm，；

（4）mmmbaab.

要点诠释：

(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；

(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(；

(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(.

要点二、根式的概念和运算法则

1．n次方根的定义：

若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根，即x=ny.

n为奇数时， y的奇次方根有一个，是负数，记为ny；零的奇次方根为零，记为00n；

n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为ny；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为00n.

2．两个等式

（1）当1n且*nN时，nnaa； （2）)(||)(,为偶数为奇数nanaann

要点诠释：

①计算根式的结果关键取决于根指数n的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a的形式，这样能避免出现错误．