函数的概念、定义域、解析式

函数的概念与定义域

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一、函数的概念

一、映射1．映射：设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有惟一元素和它对应，这样的对应叫做集合A到集合B的映射，记作：BAf:;

2．象与原象：如果BAf:是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的元素叫做象，

a叫做原象;

3.映射的性质：

①方向性：集合A到集合B的映射与集合B到集合A的映射是不同的;

②任意性：集合A中的任意一个元素在集合B中都要有象，但不要求B中的每一个元素在A中都要有原象;

③惟一性：集合A中元素的象是惟一的，即“一对一”、“多对一”是允许的，但“一对多”是不允许的.二、函数1．定义：设A、B是两个非空数集．．，BAf:是从A到B的一个映射，则映射BAf:就叫做A到B的函数，记作：xfy;2．函数的三要素为:定义域、值域、对应法则，两个函数当且仅当定义域和对应法则分别相同时，二者才能称为同一函数;3．函数的表示法有：解析式、列表法、图像法.

例1、（1）给出下列四个对应,是映射的是（ ）

① ② ③ ④

A.②④ B.①② C. ②③ D.①④

(2)设|02,|12,AxxByy在下图中,能表示从集合A到集合B的映射是

ambcnABambcpABnambpABnambABc.A y

1 2 xO 1 2

.B y

1 2 xO 2

1

.D y

1 2 1 2

x O

.C y

1 2 1 2

O x (3)已知集合04Pxx，02Qxx，下列不表示．．．从P到Q的映射是

1． 下列各组函数中表示同一函数的是

（A）xxf)(与2)()(xxg （B）||)(xxxf与22)(xxxg)0()0(xx

（C）||)(xxf与33)(xxg （D）11)(2xxxf与)1(1)(ttxg

2． 设xxf11)(，则)]([xff的表达式为

（A）x （B）2)1(1x （C）x （D）x11

3． 已知45)1(2xxxf，则)(xf等于

（A）352xx （B）1072xx （C）1072xx （D）642xx

4． 求下列函数的定义域：

（1）25|12|xxy （2）||12xxy

5． 设32)(xxf，54)(xxg，若)()]([xgxhf则)(xh＿＿＿＿＿

6． 函数)(xf满足条件xxfxf1)1()(2，求)(xf的解析式＿＿＿＿＿．

7． 已知函数baxxay2的值域为]7,4[，求ba,的值

8． 函数的定义域是[－1,4],求函数的定义域。

9． 若函数的定义域是R,求m的取值范围.

10． 已知

,则 。

11． 如果函数对任意实数都有,求的值。

12． 求函数的值域。

13． 求函数的值域。 14． 函数的定义域是,求其值域。

15． 求函数的值域。

16． 函数的定义域是,值域为,求m的值范围。

17． 设,求函数的解析式及函数的定义域。

18． 一次函数满足,求的解析式。

19． .求函数的值域。

20． 分别求出下列函数的解析式:

1) 2)

3）(2)23fxx 4）11()1fxx

1

一、 求函数的定义域

1、求下列函数的定义域：

⑴221533xxyx

⑵211()1xyx

⑶021(21)4111yxxx

（4） f(x)=232xx；

（5）f(x)=29x；

（6）f(x)=1x－xx2；

（7）0(1)xyxx；

（8）22423xyxx

2、设函数fx()的定义域为[]01，，则函数fx()2的定义域为_ _ _；函数fx()2的定义域为________；

3、若函数(1)fx的定义域为[]23，，则函数(21)fx的定义域是 ；函数1(2)fx的定义域为 。

4、f(x)的定义域为[0,1]，求f(x＋1)的定义域。

5、已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。

二、求函数的值域

5、求下列函数的值域：

⑴223yxx ()xR

⑵223yxx [1,2]x

⑶311xyx

⑷311xyx (5)x

（5）12yxx 2

（6）求函数y＝－x2＋4x－1 ，x∈[-1,3) 的值域

三、求函数的解析式

1、已知函数2(1)4fxxx，求函数()fx，(21)fx的解析式。

2、已知()fx是二次函数，且2(1)(1)24fxfxxx，求()fx的解析式。

3、已知函数()fx满足2()()34fxfxx，则()fx= 。

4、已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。（配凑法或换元法）

5、已知函数f(x)满足1()2()fxfxx，求函数f(x)的解析式。（消去法）

1 函数定义域值域的求解方法

专题一：【求定义域】：

1、求下列函数的定义域：

⑴221533xxyx

(2) 函数y=2122xxxx的定义域是（ ）

(3) 函数6542xxxy的定义域是( )

2、设函数fx()的定义域为[]01，，则函数fx()2的定义域为_ _ _；函数fx()2的定义域为________；

3、若函数(1)fx的定义域为[]23，，则函数(21)fx的定义域是 ；函数1(2)fx的定义域为 。

专题二：【求值域】：

函数的值域是函数三要素之一，求函数的值域是深入学习函数的基础，它常涉及多种知识的综合应用，下面通过例题讲解，多方探寻值域的途径。

一、直接法：（从自变量x的范围出发，推出()yfx的取值范围）

例1．求函数2xy的值域。

二、配方法（是求二次函数值域的基本方法，如2()()()Fxafxbfxc的函数的值域问题，均可使用配方法）

例2．求函数242yxx（[1,1]x）的值域。

2 三、分离常数法（分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法）

例4．求函数125xyx的值域。

四、换元法（运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，如yaxbcxd（a、b、c、d均为常数，且0a）的函数常用此法求解。

例4．求函数212yxx的值域。

五、函数的单调性法（确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域，形如求函数0kxkxy的值域（kx0时为减函数；kx时为增函数））

例5．求函数12yxx的值域。

六、数型结合法（函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法）