南通市2015届高三三模数学试题含答案
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. . （第10题） A B C D
E F
（第11题） P （第5题） 开始
输入x
y←5 x<4
y←x22x+2
输出y
结束 Y N
（第4题） 时间（小时） 频率
组距
0.004 0.008 0.012 0.016
0 50 75
100 125 150 南通市2015届高三第三次调研测试
一、填空题：本大题共14小题.每小题5分.共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．
1． 设集合A{3.m}.B{3m.3}.且AB.则实数m的值是 ▲
．
2． 已知复数z(1i)(12i)(i为虚数单位).则z的实部为 ▲ ．
3． 已知实数x.y满足条件||1||1xy≤≤,,则z2x+y的最小值是 ▲ ．
4． 为了解学生课外阅读的情况.随机统计了n名学生的课外阅读时间.所得数据都在[50.150]中.其频率分布直方图如图所示．已知在[50 75)，中的频数为100.则n的值为 ▲ ．
5． 在如图所示的算法流程图中.若输出的y的值为26.则输入的x的值为 ▲ ．
6． 从集合{1.2.3.4.5.6.7.8.9}中任取一个数记为x.则log2x为整数的概率为 ▲ ．
7． 在平面直角坐标系xOy中.点F为抛物线x28y的焦点.则F到双曲线2219yx的渐近线的距离为
▲ ．
8． 在等差数列{an}中.若an+an+24n+6（n∈N*）.则该数列的通项公式an ▲ ．
9． 给出下列三个命题：
①“a＞b”是“3a＞3b”的充分不必要条件；
②“α＞β”是“cosα＜cosβ”的必要不充分条件；
③“a0”是“函数f(x) x3+ax2（x∈R）为奇函数”的充要条件．
其中正确命题的序号为 ▲ ．
10．已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm.其表面展开图如图所示.则该空间几何体的体积
V ▲ cm3．
. .
11．如图.已知正方形ABCD的边长为2.点E为AB的中点．以A为圆心.AE为半径.作弧交AD于点F．若P为劣弧EF上的动点.则PCPD的最小值为 ▲ ．
12．已知函数322301()5 1xxmxfxmxx≤≤，，，＞.若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点.则实数m的取值范围为 ▲ ．
13．在平面直角坐标系xOy中.过点P（5.a）作圆x2+y22ax+2y10的两条切线.切点分别为M(x1.y1).N(x2.y2).且2112211220yyxxxxyy.则实数a的值为 ▲ ．
14．已知正实数x.y满足24310xyxy.则xy的取值范围为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题.共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
如图.在三棱柱ABCA1B1C1中.B1C⊥AB.侧面BCC1B1为菱形．
（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；
（2）如果点D.E分别为A1C1.BB1的中点.
求证：DE∥平面ABC1．
16．（本小题满分14分）
已知函数()sin()fxAx（其中A..为常数.
且A＞0.＞0.22＜＜）的部分图象如图所示．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）若3()2f.求sin(2)6的值．
A
B C D A1
B1 C1
（第15题） E
x y
O 2
2
（第16题） 3
3
. .
17．（本小题满分14分）
如图.在平面直角坐标系xOy中.椭圆22221xyab(a＞b＞0)的两焦点分别为F1(3.0).F2(3.0).且经过点(3.12)．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）设点B.C.D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点.点B与点D关于原点O对称．设直线CD.CB.OB.OC的斜率分别为k1.k2.k3.k4.且k1k2k3k4．
①求k1k2的值；
②求OB2+OC2的值．
18．（本小题满分16分）
为丰富市民的文化生活.市政府计划在一块半径为200 m.圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区.其中A.B分别在半径OP.OQ上.C.D在圆弧PQ上.CD∥AB；△OAB区域为文化展示区.AB长为503m；其余空地为绿化区域.且CD长不得超过．．．．200 m．
（1）试确定A.B的位置.使△OAB的周长最大？
（2）当△OAB的周长最大时.设∠DOC=2.试将运动休闲
区ABCD的面积S表示为的函数.并求出S的最大值．
A B C
D
P Q
（第18题） O y
x O F1 F2
B C
（第17题） D . .
19．（本小题满分16分）
已知数列{an}.{bn}中.a1=1.22111(1)nnnnabaa.n∈N.数列{bn}的前n项和为Sn．
（1）若12nna.求Sn；
（2）是否存在等比数列{an}.使2nnbS对任意n∈N*恒成立？若存在.求出所有满足条件的数列{an}的通项公式；若不存在.说明理由；
（3）若a1≤a2≤…≤an≤….求证：0≤Sn＜2．
20．（本小题满分16分）
已知函数1()lnfxaxx（a∈R）．
（1）若a=2.求函数()fx在(1.e2)上的零点个数（e为自然对数的底数）；
（2）若()fx恰有一个零点.求a的取值集合；
（3）若()fx有两零点x1.x2(x1＜x2).求证：2＜x1+x2＜13ea1．
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题.请选定其中两题．．．．．．.．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．
若多做.则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图.BC为圆O的直径.A为圆O上一点.过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P.AH⊥PB于H．
C
A B
O
P H . . 求证：PA·AHPC·HB．
B．[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中.已知点A（0.0）.B（2.0）.C（1.2）.矩阵01102M.点A.B.C在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为A.B.C.求△ABC的面积．
C．[选修44：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中.曲线C的参数方程为cossinxryr，，（为参数.r为常数.r＞0）．以原点O为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线l的极坐标方程为2cos()204．若直线l与曲线C交于A.B两点.且22AB.求r的值．
D．[选修45：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知实数a.b.c.d满足a＞b＞c＞d.求证：14936abbccdad≥．
. .
【必做题】第22、23题.每小题10分.共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图.正四棱柱ABCDA1B1C1D1中.12AAAB．
（1）求1AD与面11BBDD所成角的正弦值；
（2）点E在侧棱1AA上.若二面角EBDC1的余弦值为33.
求1AEAA的值．
23．（本小题满分10分）
袋中共有8个球.其中有3个白球.5个黑球.这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球.如果取出白球.则把它放回袋中；如果取出黑球.则该黑球不再放回.并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n次后.袋中白球的个数记为Xn．
（1）求随机变量X2的概率分布及数学期望E(X2)；
（2）求随机变量Xn的数学期望E(Xn)关于n的表达式．
A B C D A1 B1 C1 D1
（第22题） . .
南通市2015届高三第三次调研测试
数学学科参考答案及评分建议
一、填空题：本大题共14小题.每小题5分.共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．
1．【答案】0 2．【答案】3 3．【答案】3 4．【答案】1000 5．【答案】4
6．【答案】49 7．【答案】105 8．【答案】2n+1 9．【答案】③ 10．【答案】216
11． 【答案】525 12．【答案】（5.0） 13．【答案】3或 14．【答案】[1.83]
二、解答题：本大题共6小题.共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
如图.在三棱柱ABCA1B1C1中.B1C⊥AB.侧面BCC1B1为菱形．
（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；
（2）如果点D.E分别为A1C1.BB1的中点.
求证：DE∥平面ABC1．
解：（1）因三棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1为菱形.
故B1C⊥BC1．……………………………………………………………………… 2分
又B1C⊥AB.且AB.BC1为平面ABC1内的两条相交直线.
故B1C⊥平面ABC1． 5分
因B1C平面BCC1B1.
故平面ABC1⊥平面BCC1B1． 7分
（2）如图.取AA1的中点F.连DF.FE．
又D为A1C1的中点.故DF∥AC1.EF∥AB．
因DF平面ABC1.AC1平面ABC1.
故DF∥面ABC1． ………………… 10分 A
B C D A1
B1 C1
（第15题答图） E F A
B C D A1
B1 C1
（第15题） E
