2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习教学案：专题四_数列

江苏 新高考

数列在江苏高考中地位十分突出，考分比例远远大于课时比例，常在压轴题位置考查代数论证能力.江苏卷数列解答题始终与特殊数列密切联系，源于课本，高于课本，不搞“递推式”“数列不等式”之类的超教学范围的知识考查，导向非常好.但由于能力考查要求较高，多年来造成区分度很差的困惑.2013年的数列解答题降低了难度，但2014年又回升了.到2015年不仅是超纲了，而且难度也加大了，2016年把数列、集合结合命题，难度较大，2017年考查数列的新定义问题和论证等差数列，难度也不低.

数列题的常规类型可分两类：一类是判断、证明某个数列是等差、等比数列；另一类是已知等差、等比数列求基本量.这个基本量涵义很广泛，有项、项数、公差、公比、通项、和式以及它们的组合式，甚至还包括相关参数.但江苏考题真正的难度在等差、等比数列的性质灵活运用上.

第1课时数列中的基本量计算(基础课)

[常考题型突破]

等差、等比数列的基本运算

[必备知识]

1．通项公式

等差数列：an＝a1＋(n－1)d；

等比数列：an＝a1·qn－1.

2．求和公式

等差数列：Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d；

等比数列：Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q(q≠1)．

[题组练透]

1．(2017·镇江期末)已知数列{an}为等比数列，且a1＋1，a3＋4，a5＋7成等差数列，则公差d＝________.

解析：设等比数列{an}的公比为q，

则a3＝a1q2，a5＝a1q4，

由a1＋1，a3＋4，a5＋7成等差数列，

得2(a1q2＋4)＝a1＋1＋a1q4＋7，

即q2＝1.

所以d＝a1q2＋4－a1－1＝3.

答案：3

2．(2017·镇江调研)Sn是等差数列{an}的前n项和，若SnS2n＝n＋14n＋2，则a3a5＝________.

解析：因为 SnS2n＝n＋14n＋2，所以令n＝1可得，S1S2＝26＝13，即a12a1＋d＝13，化简可得d＝a1，所以a3a5＝a1＋2da1＋4d＝3a15a1＝35.

答案：35

3．(2017·苏北四市期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2a2＋3，S3＝2a3＋3，则公比q的值为________．

解析：因为S2＝2a2＋3，S3＝2a3＋3，所以a3＝2a3－2a2，所以a3－2a2＝a1q2－2aq＝0，所以q2－2q＝0，q≠0，则公比q＝2.

答案：2

4．(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝74，S6＝634，则a8＝________.

解析：设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3，得q≠1，则 S3＝a11－q31－q＝74，S6＝a11－q61－q＝634，

解得 q＝2，a1＝14，

则a8＝a1q7＝14×27＝32.

答案：32

5．(2017·苏锡常镇一模)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，且a2＋a5＝4，则a8的值为________．

解析：因为等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，且a2＋a5＝4，

所以 2×a11－q91－q＝a11－q31－q＋a11－q61－q，a1q＋a1q4＝4，

解得a1q＝8，q3＝－12，

所以a8＝ a1q7＝(a1q)(q3)2＝8×14＝2.

答案：2

[方法归纳]

等差(比)数列基本运算的策略

(1)在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个最基本的元素．

(2)在进行等差(比)数列项的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体代换法，以减少计算量．

等差、等比数列的性质

[必备知识]

等差数列 等比数列

性

质 (1)若m，n，p，q∈N*，

且m＋n＝p＋q，

则am＋an＝ap＋aq (1)若m，n，p，q∈N*，

且m＋n＝p＋q，

则am·an＝ap·aq

(2)an＝am＋(n－m)d (2)an＝amqn－m

(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列 (3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(Sm≠0)

[题组练透]

1．(2017·苏州考前模拟)已知等比数列{an}满足an>0，n∈N*，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝________.

解析：由a5·a2n－5＝22n(n≥3)，得a2n＝22n，则an＝2n，故log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.

答案：n2

2．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.

解析：∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0.

∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2.

∴S6＝6a1＋6×6－12d＝6.

答案：6

3.(2017·南通二调)已知{an}是公差不为0的等差数列，Sn是其前n项和．若a2a3＝a4a5，S9＝27，则a1的值是________．

解析：因为等差数列{an}满足S9＝27，所以S9＝9a5＝27，所以a5＝3，因为a2a3＝a4a5，所以(a5－3d)(a5－2d)＝(a5－d)a5,4a5d＝6d2，又因为等差数列{an}的公差不为0，所以d＝2，所以a1＝a5－4d＝3－4×2＝－5.

答案：－5

4．设公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，－217＜d＜－19，则当Sn取最大值时，n的值为________．

解析：法一：∵Sn＝n＋nn－12d，

∴Sn＝d2n2＋1－d2n.

∵函数y＝d2x2＋1－d2x的图象的对称轴方程为x＝－1d＋12，且开口向下，又－217＜d＜－19，

∴9＜－1d＋12＜192.∴Sn取最大值时，n的值为9.

法二：由an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)d＞0，

得n－1＜1－d.

∵19＜－d＜217，∴172＜1－d＜9.

又n∈N*，∴n－1≤8，即n≤9.故S9最大．

答案：9

[方法归纳]1等差、等比数列性质的应用的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.

2应牢固掌握等差、等比数列的性质，特别是等差数列中“若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”这一性质与求和公式Sn＝na1＋an2的综合应用.

[课时达标训练]

[A组——抓牢中档小题]

1．(2017·南通三模)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若公差d＝2，a5＝10，则S10的值是________．

解析：法一：因为等差数列{an}中a5＝a1＋4d＝10，d＝2，所以a1＝2，所以S10＝10×2＋1010－12×2＝110.

法二：在等差数列{an}中，a6＝a5＋d＝12，所以S10＝10a1＋a102＝5(a5＋a6)＝5×(10＋12)＝110.

答案：110

2．(2017·全国卷Ⅲ改编)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为________．

解析：设等差数列{an}的公差为d，

因为a2，a3，a6成等比数列，所以a2a6＝a23，

即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2.

又a1＝1，所以d2＋2d＝0.

又d≠0，则d＝－2，

所以数列{an}前6项的和S6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.

答案：－24

3．(2017·北京高考)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则a2b2＝________.

解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

则a4＝－1＋3d＝8，解得d＝3；

b4＝－1·q3＝8，解得q＝－2.

所以a2＝－1＋3＝2，b2＝－1×(－2)＝2，

所以a2b2＝1.

答案：1

4．已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5S3＝3，则a5a3的值为________．

解析：由题意S5S3＝5a1＋10d3a1＋3d＝3，化简得d＝4a1，

则a5a3＝a1＋4da1＋2d＝17a19a1＝179.

答案：179

5．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则k＝1n 1Sk＝________.

解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

依题意有 a1＋2d＝3，4a1＋6d＝10，解得 a1＝1，d＝1，

所以Sn＝nn＋12，1Sn＝2nn＋1＝21n－1n＋1，

因此k＝1n 1Sk＝21－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1

＝2nn＋1.

答案：2nn＋1

6．(2017·盐城期中)在数列{an}中，a1＝－2101，且当2≤n≤100时，an＋2a102－n＝3×2n恒成立，则数列{an}的前100项和S100＝________.

解析：因为当2≤n≤100时，an＋2a102－n＝3×2n恒成立，

所以a2＋2a100＝3×22，a3＋2a99＝3×23，…，a100＋2a2＝3×2100，以上99个等式相加，

得3(a2＋a3＋…＋a100)＝3(22＋23＋…＋2100)＝3(2101－4)，所以a2＋a3＋…＋a100＝2101－4，

又因为a1＝－2101，所以S100＝a1＋(a2＋a3＋…＋a100)＝－4.

答案：－4

7．(2017·常州前黄中学国际分校月考)在数列{an}中，an＋1＝an1＋3an，a1＝2，则a20＝