一元二次方程 的要点

一元二次方程1. 一元二次方程的定义及一般形式：（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。

（2）一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0（a 0）。

其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2;③是整式方程。

2. 一元二次方程的解法（1 ）直接开平方法：形如（x a）2 b（b 0）的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a b或者x a 、、b，x a , b。

注意：若b<0,方程无解（2）因式分解法：一般步骤如下：①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0 ；②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。

（3）配方法:用配方法解一元二次方程ax2 bx c 0（a 0）的一般步骤①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为(x m)2 n(n 0)的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。

注意：当n 0时，方程无解(4)公式法：一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)根的判别式：b24ac0方程有两个不相等的实根:x b甘4/( b2 4ac 0)2af(x)的图像与x轴有两个交点0方程有两个相等的实根f(x)的图像与x轴有一个交点0方程无实根f(x)的图像与x轴没有交点3. 韦达定理(根与系数关系)我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c = 0之后，设它的两个根是x i 和X2，则&和X2与方程的系数a, b, c之间有如下关系：X i+X2 = b；X i?X2 = 2a a4. 一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。

一元二次方程的解法【知识点归纳与总结】一、概念：一元二次方程的一般形式为：ax 2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

二、基本思路与方法: 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

1 用直接开平方法解形如 (x-m)2=n (n≥0) 的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）75 (3x+1)2=7 （2）9x 2-24x+16=112．配方法：用配方法解方程ax 2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c 移到方程右边：ax 2+bx=-c 将二次项系数化为1：x 2+b a x=-ca方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x 2+b a x+(b 2a )2=-c a +(b2a)2方程左边成为一个完全平方式：(x+)2= 当b 2-4ac≥0时，x+=±∴ x= (这就是求根公式)例2．用配方法解方程 3x 2-4x-2=03．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b 2-4ac 的值，当b 2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c 的值代入求根公式x=(b 2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程 2x 2-8x=-54．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8(2) 2x2+3x=0(3) 6x2+5x-50=0(4)x2-2(+)x+4=0小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

一元二次方程的技巧1. 嘿，你知道吗？一元二次方程中配方可是个超棒的技巧呢！比如方程x²+6x+5=0，我们就可以通过配方变成(x+3)²-4=0，一下子就找到了解题的关键呀！这多神奇，就像给方程施了魔法一样。

2. 还有哦，用判别式来判断一元二次方程根的情况，这简直太好用啦！就像是有一双火眼金睛！例如对于方程x²-2x+1=0，计算判别式就知道它有两个相等的根。

这技巧能让我们快速了解方程的本质呀。

3. 喂，注意啦！利用韦达定理，那可真是解决问题的一把好手呀！比如方程x²+3x-4=0，两根之和为-3，两根之积为-4，这规律是不是很有意思？就好像是找到了方程的隐藏密码。

4. 哎呀呀，选取适当的方法来解方程也非常重要呢！有些方程用直接开平方法就很简单呀，就好像走了一条捷径，比如(x-2)²=9，一下子就能求出根了，多爽呀！5. 嘿，你想过没有？有时候从问题中发现一元二次方程的影子，然后运用我们的技巧去解决，那感觉就像是侦探找到了线索！比如计算一个长方形面积，通过已知条件就能列出一元二次方程，然后求解，超有成就感呢！6. 哇塞，一元二次方程的图像也是个很重要的方面哦！看那抛物线起起伏伏，多像人生的道路呀！通过图像我们能更直观地了解方程，这可不是一般的厉害。

7. 哈哈，一元二次方程的技巧还真是多种多样，需要我们细心去发掘呀！就像在宝藏中寻找珍贵的宝石，那种乐趣难以言表呀！8. 别忘了哦，仔细观察方程的特点，选择最合适的技巧，这是多么关键呀！就像量体裁衣一样，合适了才能完美呀！9. 一元二次方程的技巧真的很奇妙呀，能让我们轻松解开数学的谜团，让解题变得有趣又好玩！所以要好好掌握这些技巧呀，肯定能让我们在数学的海洋中畅游无阻！。

一元二次方程解法知识点总结一元二次方程是高中数学中重要的概念之一，解一元二次方程是解决实际问题中的关键步骤。

在本文中，我将总结一元二次方程解法的主要知识点。

以下是详细介绍：一、一元二次方程的定义和一般形式一元二次方程指形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是已知常数，且a ≠ 0。

二、求一元二次方程的解的三种方法1. 因式分解法因式分解法是解一元二次方程的一种简单方法，适用于方程可以因式分解的情况。

2. 完全平方式当一元二次方程无法因式分解时，我们可以使用完全平方式解方程。

公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)。

3. 直接法（配方法）当一元二次方程无法因式分解且也不适用完全平方式时，我们可以使用配方法解方程。

通过变形将一元二次方程转化为一个平方的求解问题。

三、一元二次方程解的判别式判别式用于判断一元二次方程的解的性质。

判别式的公式为：Δ = b² - 4ac，其中Δ≥0且Δ<0代表不同的解的情况。

四、一元二次方程解的特殊情况1. 重根情况：当判别式Δ = 0时，方程仅有一个解，此时方程的两个解重合。

2. 无解情况：当判别式Δ < 0时，方程无实数解。

五、一元二次方程解法的应用一元二次方程解法的应用非常广泛，例如可以用来解决关于运动、生活中的数学题目，比如求解物体下落时间、销售利润最大化等。

六、例题与解析为了更好地理解一元二次方程解法，以下是两个例题的详细解析：例题1: 解方程x² - 5x + 6 = 0。

解析：首先计算判别式Δ = b² - 4ac = (-5)² - 4*1*6 = 25 - 24 = 1。

由于判别式Δ > 0，方程有两个不相等的实数解。

接下来使用公式 x = (-b ± √Δ) / 2a 计算解，得到：x₁ = (5 + √1) / 2 = 3x₂ = (5 - √1) / 2 = 2所以，方程的解为x₁ = 3和x₂ = 2。

一元二次方程的概念（知识点考点一站到底）知识点☀笔记1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程概念三要素： (1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。

3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。

一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

考点☀梳理考点1：一元二次方程的概念必备知识点：只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。

解题指导：① 要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。

如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。

② 将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0时，应满足（a≠0） 题型1 判断一元二次方程例1．（2022·江苏泰州·八年级期末）下列方程中是一元二次方程的是（ ） A ．()2224x x -+= B ．2220x x ++=C ．2130x x+-= D ．21xy +=【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程解决此题．【详解】解：A ．由（x -2）2+4=x 2，得-4x +8=0，那么（x -2）2+4=x 2不是一元二次方程，故不符合题意． B ．根据一元二次方程的定义，x 2+2x +2=0是一元二次方程，故符合题意．C ．根据一元二次方程的定义，x 2+1x-3=0不是一元二次方程，而是分式方程，故不符合题意．D ．根据一元二次方程，xy +2=1不是一元二次方程，故不符合题意． 故选：B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解决本题的关键． 例2．（2022·湖北十堰·八年级期末）下列是一元二次方程的是（ ） A ．ax 2+bx+c=0 B ．x -2=x 2C ．x 2-2=x （x -2）D ．11x x+=【答案】B【分析】根据一元二次方程的概念，对选项进行判断即可一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．【详解】A. ax 2+bx+c=0，当a ≠0是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. x -2=x 2是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；C. x 2-2=x （x -2）整理得220x -=，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；D.11x x+=，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意． 故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握定义是解题的关键． 练习1．（2022·湖北十堰·八年级期末）下列是一元二次方程的是（ ） A ．ax 2+bx+c=0 B ．x -2=x 2 C ．x 2-2=x （x -2）D ．11x x+=【答案】B【分析】根据一元二次方程的概念，对选项进行判断即可一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．【详解】A. ax 2+bx+c=0，当a ≠0是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. x -2=x 2是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；C. x 2-2=x （x -2）整理得220x -=，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；D.11x x+=，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意． 故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握定义是解题的关键．练习2．（2022·全国·九年级单元测试）下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A ．20ax bx c ++= B ．()222322x x x -=-C ．3270x x -+=D ．()2240x --=【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义判断选择即可．【详解】A ．当0a =时，原方程不是一元二次方程，故不符合题意； B ．原方程整理得：34x -=-，不是一元二次方程，故不符合题意； C ．3270x x -+=是一元三次方程，故不符合题意； D ．符合一元二次方程的定义，故符合题意； 故选D ．【点睛】本题考查判断一元二次方程．掌握一元二次方程的定义是解题关键．练习3．（2022·全国·九年级单元测试）下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．20ax bx c ++=B ．210x y --=C ．2210x x += D ．()()121x x -+=【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【详解】解：A 、当a =0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B 、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本不选项符合题意； C 、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D 、原方程整理得x 2+x -3=0是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 题型2 利用一元二次方程的概念求参数例1．（2022·江苏·九年级课时练习）当m 为何值时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5． (1)为一元二次方程； (2)为一元一次方程． 【答案】(1)m ＝3 (2)m ＝﹣1或m ＝0，m ＝2【分析】（1）根据一元二次方程的定义，可得答案； （2）根据一元一次方程的定义，可得答案．（1）由关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5一元二次方程，得1210m m ⎧-=⎨+≠⎩，解得m ＝3．当m ＝3时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5的一元二次方程．（2）由关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5的一元一次方程，得m +1＝0或11130m m m ⎧-=⎨++-≠⎩，解得m＝﹣1或m ＝0，m ＝2，当m ＝﹣1或m ＝0，m ＝2时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5的一元一次方程．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．例2．（2022·全国·九年级专题练习）若方程(2)310m m x mx --=是关于的一元二次方程，求m 的值． 【答案】2m =-．【分析】根据一元二次方程的定义得出m 2=2，20m -≠再求出答案即可．【详解】根据题意得2220m m ⎧=⎪⎨-≠⎪⎩ 解得22m m ⎧=±⎪⎨≠⎪⎩所以当方程2(2)310m m x mx ---=是关于的一元二次方程时，2m =-．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．m 【答案】4【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可 【详解】解：由题意，得4022m m +≠⎧⎨-=⎩解|m|-2=2得m=±4， 当m=4时，m+4=8≠0，当m=-4时，m+4=0不符合题意的要舍去， ∴m 的值为4．【点睛】本题考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 32mx x x mx -=-+程，m 应满足什么条件？ 【答案】1m ≠【分析】先把方程整理为一元二次方程的一般形式，根据二次项系数不为零可得答案． 【详解】解：2232mx x x mx -=-+，()()21320m x m x ∴-+--=结合题意得：10,m -≠ 1.m ∴≠【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 练习3．（2020·全国·九年级专题练习）当m 取何值时，方程1(1)320m m x x +-+-=是一元二次方程．【答案】m=-1【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程，列出方程求解即可.【详解】解：由题意可得：12m +=且m -1≠0， 解得：m=-1，∴当m=-1时，方程||1(1)320m m x x +-+-=是一元二次方程.【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．考点2：一元二次方程的一般式必备知识点：一元二次方程的一般形式是：()200ax bx c a ++=≠，其中2ax 是，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数，c 是常数项。

解一元二次方程的方法与技巧一元二次方程是数学中常见的类型之一，它的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为已知数，且a≠0。

解一元二次方程是求出满足该方程的解集，这需要一定的方法与技巧。

本文将介绍解一元二次方程的常用方法与技巧。

一、配方法配方法是解一元二次方程的常用且最基本的方法之一。

它的基本思想是通过变形将方程转化为完全平方的形式，从而便于求解。

具体步骤如下：Step 1: 通过系数a将方程两边都除以a，将一元二次方程化为标准形式，即x²+(b/a)x+(c/a)=0。

Step 2: 对方程两边进行配方，将x²+(b/a)x这一项转化为完全平方形式。

Step 3: 方程两边同时加上一个常数，使得方程等式两边的平方项形成完全平方。

Step 4: 将方程两边进行因式分解，使其左右两边可以化为(x+m)²=n 的形式。

Step 5: 求解方程(x+m)²=n，得出x的值。

二、因式分解法当一元二次方程可以进行因式分解时，可以通过这种方法来求解方程。

这种方法基于因式分解的原理，将一元二次方程转化为两个一次方程，然后求解得结果。

具体步骤如下：Step 1: 将一元二次方程进行因式分解，得到(a₁x+b₁)(a₂x+b₂)=0。

Step 2: 让a₁x+b₁=0和a₂x+b₂=0分别求解，得到两个一次方程的解。

Step 3: 将两个一次方程的解合并，得到一元二次方程的解集。

三、求根公式法求根公式法是解一元二次方程的另一种常用方法。

它适用于所有一元二次方程，无需考虑方程是否可以因式分解。

具体步骤如下：Step 1: 对一元二次方程ax²+bx+c=0，根据求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)，计算出判别式D=b²-4ac的值。

Step 2: 根据判别式D的值进行分类讨论：a) 若D>0，方程有两个不相等的实数根；b) 若D=0，方程有两个相等的实数根；c) 若D<0，方程没有实数根，但可以有复数根。

一元二次方程的解法的解题技巧总结一元二次方程是中学数学中的常见题型，求解方程的过程需要掌握一定的解题技巧。

下面将对一元二次方程的解题方法进行总结，希望对你的学习有所帮助。

一、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式可以表示为：ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 都是已知实数，且a ≠ 0。

二、求解一元二次方程的基本步骤求解一元二次方程的基本步骤如下：1. 将方程按照一般形式准确写出。

2. 判断一元二次方程是否可以因式分解，如果可以，进行因式分解得到两个一次方程，再求解这两个一次方程得到原方程的解。

3. 如果方程不可以因式分解，可以采用配方法，将方程转化为一个平方差的形式，再进行变量替换，进而求解得到方程的解。

4. 如果配方法不适用，可以采用求根公式，即二次方程的根公式，根据公式直接求解得到方程的解。

5. 对于复杂数字的解，应给出复数解的明确形式。

三、因式分解的技巧1. 一元二次方程的因式分解要找到两个整数 m、n，使得 a(m + n) + bn = 0。

2. 通过观察系数 a、b 的正负关系来判断 m 和 n 是否为整数。

3. 不断尝试不同的 m、n 值，直到找到满足条件的因式分解。

四、配方法的技巧1. 配方法是将一元二次方程转化为一个平方差的形式，即 a(x + m)²+ n = 0。

2. 通过观察系数 a、b、c 的关系来确定配方的具体步骤。

3. 根据配方法将方程转化为平方差的形式后，再进行变量替换，得到一个一次方程，从而求解得到方程的解。

五、求根公式的应用1. 一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)。

2. 公式中的 ±表示两个不同的解。

3. 当判别式 b² - 4ac 大于 0 时，方程有两个不相等的实数解。

4. 当判别式 b² - 4ac 等于 0 时，方程有一个实数解。

一元二次方程一、本节学习指导本节中我们要注意一元二次方程成立的条件，填空题最青睐这简单而又易忽视的知识。

其次就是根与系数的关系（韦达定理）、判别式，求根公式，这些需要我们重点记忆。

本节有配套学习视频。

二、知识要点1、定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程叫做一元二次方。

一元二次方程的标准式：ax2+bx+c=0 （a≠0）其中：ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项a是二次项系数，b是一次项系数2、一元二次方程根的判别式（二次项系数不为0）：“△”读作德尔塔，在一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）中△=b2-4ac△=b2-4ac>0 <====> 方程有两个不相等的实数根，即：x1,x2△=b2-4ac=0 <====> 方程有两个相等的实数根，即：x1=x2△=b2-4ac<0 <====> 方程没有实数根。

注：“<====>”是双向推导，也就是说上面的规律反过来也成立，如：告诉我们方程没有实数根，我们便可以得出△<03、一元二次方程根与系数的关系（二次项系数不为0;△≥0），韦达定理。

ax2+bx+c=0 （a≠0）中，设两根为x1,x2,那么有：因为：ax2+bx+c=0 （a≠0）化二次项系数为1可得，所以：韦达定理也描述为：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。

注意：（1）在一元二次方程应用题中，如果解出来得到的是两个根，那么我们要根据实际情况判断是否应舍去一个跟。

5、一元二次方程的求根公式：注：任何一元二次方程都能用求根公式来求根，虽然使用起来较为复杂，但非常有效。

三、经验之谈：对于韦达定理的文字描述希望同学们能理解，试着把二次项系数化1来观察一下。

求根公式也要牢记于心，使用很广泛。

解一元二次方程的口诀一元二次方程是高中数学中的重要内容之一，解一元二次方程是我们常常需要进行的数学运算之一。

为了更好地记忆和掌握解一元二次方程的方法，我们可以借助一个简单又实用的口诀，以帮助我们更好地理解和应用。

下面就让我们来学习一下解一元二次方程的口诀吧！口诀：前项是平方，后项是平方，常数项是常数，解一元二次方程。

这个口诀简单明了，通过四个要点来帮助我们解一元二次方程。

下面我将详细解释每一个要点，帮助大家更好地掌握解一元二次方程的方法。

第一要点：前项是平方。

在一元二次方程中，我们常常会看到一个平方项，例如x²。

这个平方项是方程的关键，它代表着方程的特殊性质。

当我们解一元二次方程时，需要首先注意前项是否是平方，如果不是平方，则不符合一元二次方程的形式。

第二要点：后项是平方。

除了前项是平方之外，一元二次方程还会有一个后项也是平方，例如2x² + 3x + 1中的1就是后项是平方。

后项的存在也是方程的特殊性质之一，它与前项一起构成了方程的基本形式。

第三要点：常数项是常数。

一元二次方程中，除了前项和后项是平方之外，还有一个常数项。

这个常数项是方程中的常数，它与变量x无关。

常数项的存在与大小会直接影响方程的解，需要我们在解方程时进行分析和计算。

第四要点：解一元二次方程。

当我们确定了一元二次方程的前项、后项和常数项之后，就可以开始解方程了。

解一元二次方程的方法有很多种，例如配方法、因式分解法、求根公式等。

不同的方法适用于不同的方程，通过灵活运用各种方法，我们可以得出方程的解。

通过这个简单的口诀，我们可以更好地理解和记忆解一元二次方程的方法。

在实际运用中，我们可以根据方程的形式来判断使用哪种方法进行求解。

同时，我们还需要注意方程是否有解以及解的个数，避免出现错误的计算结果。

总结起来，解一元二次方程的口诀是前项是平方，后项是平方，常数项是常数，解一元二次方程。

通过这个口诀，我们可以更好地掌握解一元二次方程的方法，为解决实际问题提供了有力的数学工具。

文案大全一元二次方程1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根； Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系： 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式： .acx x abx x )2(a 2ac 4b b x )1(212122,1=-=+-±-=，； ※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式 ac x x a b x x 2121=-=+，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记)（1）两根互为相反数 ⇔ a b-= 0且Δ≥0 ⇔ b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数 ⇔ a c=1且Δ≥0 ⇔ a = c 且Δ≥0；（3）只有一个零根 ⇔ ac = 0且a b-≠0 ⇔ c = 0且b ≠0；（4）有两个零根 ⇔ a c = 0且a b-= 0 ⇔ c = 0且b=0；（5）至少有一个零根 ⇔ ac=0 ⇔ c=0；（6）两根异号 ⇔ ac＜0 ⇔ a 、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值⇔ ac ＜0且a b-＞0⇔ a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值⇔ ac ＜0且a b-＜0⇔ a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根 ⇔ ac ＞0，a b-＞0且Δ≥0 ⇔ a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根 ⇔ a c ＞0，a b-＜0且Δ≥0 ⇔ a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.文案大全ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) 或 ax 2+bx+c=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--a 2ac 4b b x a 2ac 4b b x a 22. 7．求一元二次方程的公式：x 2-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数. 8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x ）： (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和. 9．分式方程的解法： .0)1(≠），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2≠分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（10. 二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧===------分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；⎪⎩⎪⎨⎧<-+-=--≥-+=-=-+-=+-+=+-+=--+=+)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x 1x (x1x 2)x 1x (x1x x x 4)x x ()x x (x x 2)x x (x x )1(212122122121212212212122222221221221212212221⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=-⇒=-4x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121）两边平方为（和分类为 ； ⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒==.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或 ；.0x ,0x :.1x x B sin A cos ,1A cos A sin ,90B A B sin x ,A sin x )4(2122212221>>=+==+︒=∠+∠==注意隐含条件可推出由公式时且如文案大全AB C cba.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121>>注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个解三角形1.三角函数的定义：在Rt ΔABC 中,如∠C=90°，那么sinA=c a =斜对； cosA=c b =斜对；tanA=ba=邻对； cotA=a b =对邻.2．余角三角函数关系 ------ “正余互化公式” 如∠A+∠B=90°, 那么：sinA=cosB ； cosA=sinB ； tanA=cotB ； cotA=tanB. 3. 同角三角函数关系：sin 2A+cos 2A =1； tanA ·cotA =1. ※ tanA=A cos A sin ※ cotA=Asin Acos 4. 函数的增减性：在锐角的条件下，正弦，正切函数随角的增大，函数值增大；余弦，余切函数随角的增大，函数值反而减小.5．特殊角的三角函数值：如图：这是两个特殊的直角三角形，通过设k, 它可以推出特殊角的直角三角函数 值，要熟练记忆它们.K3 KKKK2 K230°45°60°ABC ABC文案大全※ 6. 函数值的取值范围： 在0° 90°时.正弦函数值范围：0 1； 余弦函数值范围: 1 0； 正切函数值范围：0 无穷大； 余切函数值范围：无穷大 0.7.解直角三角形：对于直角三角形中的五个元素，可以“知二可求三”，但“知二”中至少应该有一个是边.※ 8. 关于直角三角形的两个公式： Rt △ABC 中: 若∠C=90°, .:m :R :r .m 2cR 2c b a r c c 斜边上中线外接圆半径，内切圆半径，；==-+=9．坡度： i = 1:m = h/l = tan α； 坡角: α.10. 方位角：11．仰角与俯角：12．解斜三角形：已知“SAS ” “SSS ” “ASA ” “AAS ” 条件的任意三角形都可以经过“斜化直”求出其余的边和角.※ 13．解符合“SSA ”条件的三角形：若三角形存在且符合“SSA ”条件，则可分三种情况：（1）∠A ≥90°，图形唯一可解； （2） ∠A ＜90°，∠A 的对边大于或等于它的已知邻边，图形唯一可解；（3）∠A ＜90°，∠A 的对边小于它的已知邻边，图形分两类可解. 14．解三角形的基本思路：（1）“斜化直，一般化特殊” ------- 加辅助线的依据；（2）合理设“辅助元k ”，并利用k 进一步转化是分析三角形问题的常用方法-------转化思想； （3）三角函数的定义，几何定理，公式，相似形等都存在着大量的相等关系，利用其列方程（或方程组）是解决数学问题的常用方法---------方程思想.北东北偏西30南偏东70仰角俯角水平线铅垂线lha i=1:m文案大全函数及其图象一 函数基本概念1.函数定义：设在某个变化过程中，有两个变量x,、y, 如对x 的每一个值, y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的函数，x 是自变量.※ 2.相同函数三个条件：（1）自变量范围相同；（2）函数值范围相同；（3）相同的自变量值所对应的函数值也相同.※3. 函数的确定：对于 y=kx 2(k ≠0), 如x 是自变量，这个函数是二次函数；如x 2是自变量，这个函数是一次函数中的正比例函数. 4.平面直角坐标系：（1）平面上点的坐标是一对有序实数，表示为: M （x,y ），x 叫横坐标，y 叫纵坐标； （2）一点，两轴，（四半轴），四象限，象限中点的坐标符号规律如右图：（3） x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0; 即“x 轴上的点纵为0，y 轴上的点横为0”；反之也 成立；（4）象限角平分线上点M(x,y) 的坐标特征:x=y <=> M 在一三象限角平分线上； x=-y <=> M在二四象限角平分线上. （5）对称两点M(x 1,y 1), N(x 2,y 2) 的坐标特征：关于y 轴对称的两点 <=> 横相反，纵相同； 关于x 轴对称的两点 <=> 纵相反，横相同； 关于原点对称的两点 <=> 横、纵都相反. 5.坐标系中常用的距离几个公式 -------“点求距”（1）如图，轴上两点M 、N 之间的距离：MN=|x 1-x 2|=x 大-x 小 , PQ=|y 1-y 2|=y 大-y 小 . （2）如图， 象限上的点M （x,y ）:到y 轴距离：d y =|x|； 到x 轴距离: d x =|y|；22y x r +=到原点的距离：.（3）如图，轴上的点M （0,y ）、N （x,0）到原点的距离： MO=|y|； NO=|x|.※（4）如图，平面上任意两点M （x 2,y 2）、N （x 2,y 2）之间的距离： .)y y ()x x (d 221221-+-=xyo + +_ _-- ++ -xyoM(x,y )r xyo M(x,y )N(x,y )C文案大全※ 6. 几个直线方程 :y 轴 <=> 直线 x=0 ； x 轴 <=> 直线 y=0 ； 与y 轴平行，距离为∣a ∣的直线 <=> 直线 x=a ； 与x 轴平行，距离为∣b ∣的直线 <=> 直线 y=b. 7. 函数的图象：(1) 把自变量x 的一个值作为点的横坐标，把与它对应的函数值y 作为点的纵坐标，组成一对有序实数对，在平面坐标系中找出点的位置，这样取得的所有的点组成的图形叫函数的图象；(2) 图象上的点都适合函数解析式，适合函数解析式的点都在函数图象上；由此可得“图象上的点就能代入”-------重要代入！(3) 坐标平面上，横轴叫自变量轴，纵轴叫函数轴；利用已知的图象，可由自变量值查出函数值，也可由函数值查出自变量值；可由自变量取值范围查出对应函数值取值范围，也可由函数值取值范围查出对应自变量取值范围；(4) 函数的图象由左至右如果是上坡，那么y 随x 增大而增大（叫递增函数）；函数的图象由左至右如果是下坡，那么y 随x 增大而减小（叫递减函数）. 8. 自变量取值范围与函数取值范围：一次函数1. 一次函数的一般形式：y=kx+b . (k ≠0)2. 关于一次函数的几个概念：y=kx+b (k ≠0)的图象是一条直线，所以也叫直线y=kx+b,图象必过y 轴上的点( 0,b )和x 轴上的点( -b/k,0 )；注意：如图，这两个点也是画直线图象时应取的两个点. b 叫直线y=kx+b (k ≠0)在y 轴上的截距，b 的本质是直线与y轴交点的纵坐标，知道截距即知道解析式中b 的值.x y (x,y)00(0,b)(-b/k, 0)b -b/k, 即取点对角 03.y=kx+b (k≠0) 中，k，b符号与图象位置的关系：yxok>0, b>0k>0, b<0图象过一二三象限，图象上坡.图象过一三四象限，图象上坡.图象过一二四象限，图象下坡.图象过二三四象限，图象下坡.4. 两直线平行：两直线平行 <=> k1=k2※两直线垂直<=> k1k2=-1.5. 直线的平移：若m＞0,n＞0, 那么一次函数y=kx+b图象向上平移m个单位长度得y=kx+b+m；向下平移n 个单位长度得y=kx+b-n （直线平移时，k值不变）.6.函数习题的四个基本功：(1) 式求点：已知某直线的具体解析式，设y=0，可求出直线与x轴的交点坐标（x0 ,0）；设x=0，可求出直线与y轴的交点坐标(0,y0)；已知两条直线的具体解析式，可通过列二元一次方程组求出两直线的交点坐标(x0 ,y0)；交点坐标的本质是一个方程组的公共解；(2) 点求式：已知一次函数图象上的两个点，可设这个函数为y=kx+b，然后代入这两个点的坐标，得到关于k、b的两个方程，通过解方程组求出k、b，从而求出解析式 ------ 待定系数法；(3) 距求点：已知点M(x0 ,y0)到x轴,y轴的距离和所在象限，可求出点M的坐标；已知坐标轴上的点P到原点的距离和所在半轴，可求出点P的坐标；(4) 点求距：函数题经常和几何相结合，利用点的坐标与它所在的象限或半轴特征可求有关线段的长，从而使得函数问题几何化.正比例函数1.正比例函数的一般形式：y=kx (k≠0)；属于一次函数的特殊情况；（即b=0的一次函数）它的图象是一条过原点的直线；也叫直线y=kx.2．画正比例函数的图象：正比例函数y=kx (k≠0)的图象必过(0,0)点和（1，k）点，注意：如图，这两个点也是画正比例函数图象时应取的两个点，即列表如右：xy(x, y)1K(0,0)(1,K)文案大全文案大全3.y=kx (k ≠0)中，k 的符号与图象位置的关系：k>0k<0.象限，图象下坡.4. 求正比例函数解析式：已知正比例函数图象上的一点，可设这个正比例函数为y=kx,把已知点的坐标代入后, 可求k, 从而求出具体的函数解析式------ 待定系数法.二次函数1. 二次函数的一般形式：y=ax 2+bx+c.(a ≠0)2. 关于二次函数的几个概念：二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax 2+bx+c ；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c ）点.3. y=ax 2(a ≠0)的特性：当y=ax 2+bx+c (a ≠0)中的b=0且c=0时二次函数为y=ax 2 (a ≠0);这个二次函数是一个特殊的二次函数，有下列特性：（1）图象关于y 轴对称；（2）顶点（0，0）；（3）y=ax 2(a ≠0)可以经过补0看做二次函数的一般式，顶点式和双根式，即： y=ax 2+0x+0, y=a(x-0)2+0, y=a(x-0)(x-0). 4. 二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象及几个重要点的公式：5. 二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)中，a 、b 、c 与Δ的符号与图象的关系： (1) a ＞0 <=> 抛物线开口向上； a ＜0 <=> 抛物线开口向下； (2) c ＞0 <=> 抛物线从原点上方通过； c=0 <=> 抛物线从原点通过；文案大全c ＜0 <=> 抛物线从原点下方通过；(3) a, b 异号 <=> 对称轴在y 轴的右侧； a, b 同号 <=> 对称轴在y 轴的左侧；b=0 <=> 对称轴是y 轴；(4) Δ＞0 <=> 抛物线与x 轴有两个交点；Δ=0 <=> 抛物线与x 轴有一个交点（即相切）； Δ＜0 <=> 抛物线与x 轴无交点.6．求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax 2+bx+c ，并把这三点的坐标代入，解关于a 、b 、c 的三元一次方程组，求出a 、b 、c 的值, 从而求出解析式-------待定系数法. 8．二次函数的顶点式： y=a(x-h)2+k (a ≠0)； 由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标（h, k ），对称轴方程 x=h 和函数的最值 y 最值= k.9．求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标（x 0,y 0）和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y=a(x-x 0)2+ y 0，再代入另一点的坐标求a ，从而求出解析式.（注意：习题无特殊说明，最后结果要求化为一般式）10. 二次函数图象的平行移动：二次函数一般应先化为顶点式，然后才好判断图象的平行移动；y=a(x-h)2+k的图象平行移动时，改变的是h, k 的值, a 值不变，具体规律如下： k 值增大 <=> 图象向上平移； k 值减小 <=> 图象向下平移； （x-h ）值增大 <=> 图象向左平移； (x-h)值减小 <=> 图象向右平移.11. 二次函数的双根式：(即交点式) y=a(x-x 1)(x-x 2) (a ≠0)；由双根式直接可得二次函数图象与x 轴的交点（x 1,0）,（x 2,0）.12. 求二次函数的解析式：已知二次函数图象与x 轴的交点坐标（x 1,0），（x 2,0）和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y= a(x-x 1)(x-x 2)，再代入另一点的坐标求a ，从而求出解析式. （注意：习题最后结果要求化为一般式）13．二次函数图象的对称性：已知二次函数图象上的点与对称轴，可利用图象的对称性求出已知点的对称点，这个对称点也一定在图象上.反比例函数1. 反比例函数的一般形式：);0k (kx y xk y 1≠==-或图象叫双曲线.※ 2. 关于反比例函数图象的性质： 反比例函数y=kx -1中自变量x 不能取0, 故函数图象与y 轴无交点; 函数值y 也不会是0, 故图象与x 轴也不相交.3. 反比例函数中K的符号与图象所在象限的关系：图象过二四象限，图象上坡.图象过一三象限，图象下坡.k>0k<04. 求反比例函数的解析式：已知反比例函数图象上的一点，即可设解析式y=kx-1, 代入这一点可求k 值，从而求出解析式.函数综合题1．数学思想在函数问题中的应用：数学思想经常在函数问题中得到体现，例如：分析函数习题常常需要先估画符合题意的图象,利用数形结合降低难度；而点求式、式求点、点求距、距求点等基本操作则是转化思想在函数中应用；当函数问题与几何问题相结合时，方程思想则成为解决问题的基本思路；函数习题中，当图象与图形不唯一、点位置不唯一、可知条件不唯一时，往往造成函数问题的分类.2．数学方法在函数问题中的应用：建立坐标系、建立新函数、函数问题几何化、挖掘隐含条件、分类讨论、相等关系找方程、不等关系找不等式、等量代换、配方、换元、待定系数法、等各种数学方法在函数中经常得到应用，了解这些数学方法是十分必要的.3．函数与方程的关系：正比例函数y=kx (k≠0)、一次函数y=kx+b (k≠0)都可以看作二元一次方程，而二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)可以看作二元二次方程，反比例函数)0k(xky≠-=可以看作分式方程，这些函数图象之间的交点，就是把它们联立为方程组时的公共解.4．二次函数与一元二次方程的关系：（1）如二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)中的Δ＞0时，图象与x轴相交，函数值y=0，此时, 二次函数转化为一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，这个方程的两个根x1 、x2是二次函数y=ax2+bx+c与x轴相交两点的横坐标，交点坐标为（x1 ,0）（x2 ,0）；（2）当研究二次函数的图象与x轴相交时的有关问题时，应立即把函数转化为它所对应的一元二次方程，此时，一元二次方程的求根公式，Δ值，根系关系等都可用于这个二次函数.（3）如二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)中的Δ＞0时，图象与x轴相交于两点A（x1 ,0）,B（x2 ,0）有重要关系式: OA=|x1|, OB=|x2|,若需要去掉绝对值符号,则必须据题意做进一步判断；同样,图象与y轴交点C(0,c),也有关系式: OC=|c|.5．二元二次方程组解的判断：一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，若消去一个未知数，则转化为一元二次方程，此时的Δ值将决定原方程组解的情况，即：Δ＞0 <=> 方程组有两个解；Δ=0 <=>方程组有一个解；Δ＜0 <=>方程组无实解.文案大全初三数学应知应会的知识点 ( 圆 )几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）文案大全文案大全几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高文案大全文案大全三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、 弦 切角、 圆的切线、 圆的割线、 两圆的内公切线、 两圆的外公切线、 两圆的内（外） 公切线长、 正多边形、 正多边形的中心、 正多边形的半径、 正多边形的边心距、 正 多边形的中心角. 二 定理：1．不在一直线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形. 三 公式：1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR ；（2）弧长L=180R n π；（3）圆的面积S=πR 2. （4）扇形面积S 扇形 =LR 21360R n 2=π；（5）弓形面积S 弓形 =扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.（如图） 2.圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧 =2πrh ； (r:底面半径；h:圆柱高)（2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 =LR 21. （L=2πr ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径）四 常识：1． 圆是轴对称和中心对称图形. 2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数.3． 三角形的外心 ⇔ 两边中垂线的交点 ⇔ 三角形的外接圆的圆心；三角形的内心 ⇔ 两内角平分线的交点 ⇔ 三角形的内切圆的圆心.4． 直线与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径）直线与圆相交 ⇔ d ＜r ； 直线与圆相切 ⇔ d=r ； 直线与圆相离 ⇔ d ＞r.5． 圆与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到圆心的距离，其中R 、r 表示两个圆的半径且R ≥r ）两圆外离 ⇔ d ＞R+r ； 两圆外切 ⇔ d=R+r ； 两圆相交 ⇔ R-r ＜d ＜R+r ； 两圆内切 ⇔ d=R-r ； 两圆内含 ⇔ d ＜R-r.6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.7．关于圆的常见辅助线：文案大全文案大全文案大全。

总结解一元二次方程的常用技巧解一元二次方程是数学中的基础知识之一，也是很多学生常常遇到的问题。

掌握解一元二次方程的常用技巧对于提高数学能力和解题速度具有重要意义。

本文将总结解一元二次方程的常用技巧，帮助读者更好地掌握这一知识点。

一、一元二次方程的定义及基本形式一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程。

其一般形式为：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，且a ≠ 0。

二、求解一元二次方程的常用技巧1. 通过因式分解法求解当一元二次方程可以被因式分解为两个一次因式相乘的形式时，我们可以通过解这两个一次方程来求解原方程。

例如，对于方程x² - 5x + 6 = 0，可以因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x = 2或x = 3，即原方程的解为x = 2或x = 3。

2. 利用配方法求解当一元二次方程不能直接进行因式分解时，可以利用配方法来求解。

配方法的基本思路是通过添加合适的常数使得方程左边成为一个平方差的形式，从而方便求解。

具体步骤如下：a. 如果原方程为ax² + bx + c = 0，首先计算方程的判别式Δ = b² -4ac。

b. 如果Δ大于0，则可得到两个实根。

假设方程的根为x₁和x₂，则通过方程x₁ + x₂ = -b/a和x₁x₂ = c/a来求解。

c. 如果Δ等于0，则可得到两个相等的实根。

通过方程x = -b / 2a来求解。

d. 如果Δ小于0，则无实根，方程只有复数解。

举例说明：以方程x² - 4x + 4 = 0为例，使用配方法来求解：a. 计算Δ = (-4)² - 4 * 1 * 4 = 0。

b. 由于Δ等于0，方程有两个相等的实根x = -(-4) / 2*1 = 2。

即原方程的解为x = 2。

3. 利用求根公式求解一元二次方程还可以通过求根公式来求解。

一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a。

一元二次方程知识点的总结知识结构梳理（1）含有 个未知数。

（2）未知数的最高次数是1、概念 （3）是 方程。

（4）一元二次方程的一般形式是 。

（1） 法，适用于能化为 的一元.二次方程(2) 法，即把方程变形为ab=0的形式， 2、解法 （a ，b 为两个因式）， 则a=0或(3） 法 （4) 法,其中求根公式是 当 时,方程有两个不相等的实数根.（5) 当 时，方程有两个相等的实数根。

当 时，方程有没有的实数根。

可用于解某些求值题（1） 一元二次方程的应用 (2） （3) 可用于解决实际问题的步骤 （4）（5）（6） 知识点归类建立一元二次方程模型知识点一 一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2。

同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式.例 下列关于的方程,哪些是一元二次方程？ ⑴；⑵；（3)；（4)；（5）知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为(a ，b ，c 是已知数，)。

其中a ，b,c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项.注意:（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必须把它先化为一般形式。

（3)形如不一定是一元二次方程,当且仅当时是一元二次方程。

例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）; （2）； （3)例2 已知关于的方程是一元二次方程时,则知识点三 一元二次方程的解一元二次方程使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解,如：当时,所以是方程的解。

一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

知识点四建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。

一元二次方程的解法技巧
1. 直接开平方法，简单又好用哦！就像解方程x²=4，那 x 不就等于正负 2 嘛，一下子就解出来啦，多爽！
2. 配方法，哇，可神奇啦！比如解方程x²+6x+5=0，把它配成完全平方的形式，就像给它穿上合适的衣服一样，然后就容易解啦！
3. 公式法，这可是个厉害的家伙呢！不管啥样的一元二次方程都能搞定。

比如面对2x²+3x-1=0，直接用公式一套，答案就出来啦，酷不酷？
4. 因式分解法，嘿嘿，这就像是拆礼物一样好玩！像解x²-5x+6=0，一下子分解成(x-2)(x-3)=0，那答案不就显而易见啦！
5. 观察对称，有时候方程就像对称的艺术品，抓住对称轴能省好多事儿呢！比如某个方程的图像是对称的，那利用这点来解题，不是很棒嘛？
6. 代入试探，就像摸着石头过河，试试这个值，试试那个值，说不定就找到答案啦！遇到一个比较难搞的方程，咱就一个个去试呀。

7. 利用图像，一元二次方程的图像可是会说话的哟！看着图像的走势，就大概能知道答案在哪个范围啦，多有趣！
8. 巧妙变形，有时候给方程变个小魔术，把它变个样子，解题就容易多啦！就好像把一个复杂的东西变简单啦，哈哈！
我觉得这些解法技巧都超有用的呀，掌握了它们，解一元二次方程就不再是难题啦！。

9年级一元二次方程的所有知识点一、一元二次方程的概念。

1. 定义。

- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

2. 判断一个方程是否为一元二次方程的步骤。

- 首先看方程是否是整式方程。

- 再看方程是否只含有一个未知数。

- 最后看未知数的最高次数是否为2。

例如x^2+2x - 1 = 0是一元二次方程，而x^2+(1)/(x)-1 = 0不是一元二次方程（因为它不是整式方程），xy + x^2=1也不是一元二次方程（因为它含有两个未知数）。

二、一元二次方程的解法。

1. 直接开平方法。

- 对于形如x^2=k(k≥0)的方程，解为x=±√(k)。

- 例如，方程x^2=9，解得x = 3或x=-3。

- 对于形如(ax + b)^2=k(k≥0)的方程，解为ax + b=±√(k)，然后进一步求解x，即x=(-b±√(k))/(a)。

例如(2x - 1)^2=4，则2x - 1=±2，当2x - 1 = 2时，2x=3，x=(3)/(2)；当2x - 1=-2时，2x=-1，x =-(1)/(2)。

2. 配方法。

- 步骤：- 把方程化为一般形式ax^2+bx + c = 0(a≠0)。

- 移项，使常数项移到方程右边，得到ax^2+bx=-c。

- 二次项系数化为1，即方程两边同时除以a（x^2+(b)/(a)x =-(c)/(a)）。

- 在方程两边加上一次项系数一半的平方，即x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=-(c)/(a)+((b)/(2a))^2。

- 左边写成完全平方式(x +(b)/(2a))^2=-(c)/(a)+frac{b^2}{4a^2}，然后用直接开平方法求解。

一元二次方程知识点以及考点分析一、知识概述《一元二次方程》①基本定义：简单来说，一元二次方程就是一个未知数，它的最高次数是2的整式方程。

比如，ax²+bx+c=0(a≠0)就是一个典型的一元二次方程。

②重要程度：在数学学习中，一元二次方程可是个大热门，它在代数、几何等多个领域都有广泛应用，是中学数学学习的重点，不管你是升学还是实际应用，这个知识点都是避不开的。

③前置知识：学这个知识点之前，你得先搞定一元一次方程，了解基础的代数运算和简单的因式分解等。

④应用价值：说实话，一元二次方程在现实生活中的应用可不少。

比如建筑设计、物理运动中的抛物线计算，甚至经济学中的一些模型也用得到它。

掌握好了，感觉瞬间高大上了呢！二、知识体系①知识图谱：一元二次方程可是代数家族里的一颗重要明珠，它和因式分解、根与系数的关系、不等式等都有千丝万缕的联系。

②关联知识：它和函数图像、几何变换、求解最值问题等也紧密相连。

③重难点分析：重点是求解一元二次方程的步骤和理解根与系数的关系；难点在于复杂方程的求解和实际应用场景的抽象建模。

④考点分析：考试中，一元二次方程的求解方法、判别式的运用、韦达定理的应用等都是常考的。

而且，还经常结合实际问题，考你的应用能力。

三、详细讲解（以方法技能类为主）【方法技能类】①基本步骤：求解一元二次方程，直接开方法、配方法、公式法或者因式分解法都是常见的。

比如公式法，就是把方程写成标准形式，然后直接套公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)求解。

②关键要点：解题时，一定要看清方程的系数，特别是a不能为0，否则就不是一元二次方程了。

还有，应用公式法时，要注意判别式的值，它决定了方程的根的情况。

③常见误区：很多同学容易在计算判别式时出错，或者求根时忘了考虑正负根号。

还有，对于无实数根的情况，也要给出明确说明。

④技巧提示：如果方程看起来复杂，不妨先尝试因式分解简化一下。

还有，别忘了联系实际，检查求出的解是否合理。

学习一元二次方程应注意的几个问题一元二次方程是初中数学的重要内容之一，应用十分广泛。

为了帮助同学们学好这部分内容，现将一元二次方程的考点内容归类分析，谈谈学习一元二次方程时应注意的几个问题。

一、注意隐含条件一元二次方程中除了隐含着二次项系数a≠0和一元二次方程有实根的条件（判别式Δ≥0）外，其他相关隐含条件也不能忽视。

例1 关于x的方程a2x2+（2a-1）x+1=0的两根互为倒数，求a的值。

错解：设已知方程的两根为α，β。

∵α与β互为倒数，∴αβ=1，即1a2=1。

∴a=±1。

剖析：上述解法中忽视了隐含条件“二次项系数a≠0”和“一元二次方程有实根的条件（判别式Δ≥0）”，因而答案错误。

正确答案应为a=-1。

例2 已知关于x的方程（1-2a）x2+2[]a+1x-1=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围。

错解：由1-2a≠0得a≠12。

由Δ=（2[]a+1）2-4（1-2a）（-1）=-4a+8>0，得a<2。

故答案为a<2且a≠12。

剖析：错解中忽略了被开方数非负这个条件，即a+1≥0，解得a≥-1，所以正确答案为-1≤a<2且a≠12。

二、注意方程“有实数根”和“有两个实数根”的区别方程“有实数根”说明该方程可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程；方程“有两个实数根”说明该方程一定是一元二次方程。

例3 若关于x的方程ax2-4x+3=0有实数根，则a 的非负整数值是（）A。

1 [WB]B。

0，1C。

0，1，2[DW]D。

1，2，3错解：由题意，得a≠0且Δ=（-4）2-4×3a≥0，解得a≤43且a≠0。

故选A。

剖析：此题应分a=0和a≠0两种情况来考虑。

（1）当a=0时，x=43，方程有实根。

（2）当a≠0时，由Δ=（-4）2-4×3a≥0，得a ≤43且a≠0。

故a=1。

综上可知，a的非负整数值为0，1。

故选B。

三、注意实际问题中方程的根有意义的条件例4 一个三角形的最大边长是2[]3，其余两边是关于x的方程x2+（m-3）x-m+1=0的两个根，当m 为何值时，这个三角形是直角三角形？错解：设三角形两边为a，b，由题意，得[JB（{]a+b=-（m-3），ab=-m+1，a2+b2=（2[]3）2，[JB）]解得m=5或m=-1。

一元二次方程的解法规律总结1．一元二次方程的解法1直接开平方法：根据平方根的意义,用此法可解出形如a x 2=a ≥0,b )a x (2=-b ≥0类的一元二次方程．a x 2=,则a x ±=；b )a x (2=-,b a x ±=-,b a x +=．对有些一元二次方程,本身不是上述两种形式,但可以化为a x 2=或b )a x (2=-的形式,也可以用此法解．2因式分解法：当一元二次方程的一边为零,而另一边易分解成两个一次因式的积时,就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0,使方程xx －3＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立,所以方程xx －3＝0有两个根,而不是一个根． 3配方法：任何一个形如bx x 2+的二次式,都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方,把方程归结为能用直接开平方法来解的方程．如解07x 6x 2=++时,可把方程化为7x 6x 2-=+,22226726x 6x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++,即2)3x (2=+,从而得解． 注意：1“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1．2解一元二次方程时,一般不用此法,掌握这种配方法是重点．3公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++a ≠0的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．在0ac 4b 2≥-的前提下,a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方程的一般步骤：①先把方程化为一般形式,即0c bx ax 2=++a ≠0的形式；②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值要注意它们的符号；③计算0ac 4b 2<-时,方程没有实数根,就不必解了因负数开平方无意义；④将a 、b 、c 的值代入求根公式,求出方程的两个根．说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程,而公式法则是最普遍,最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．2．一元二次方程根的判别式一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．而根的情况,由ac 4b 2-的值来确定．因此ac 4b 2-=∆叫做一元二次方程0c bx ax 2=++的根的判别式．△>0⇔方程有两个不相等的实数根．△＝0⇔方程有两个相等的实数根． △<0⇔方程没有实数根．判别式的应用1不解方程判定方程根的情况；2根据参数系数的性质确定根的范围；3解与根有关的证明题．3．韦达定理及其应用定理：如果方程0c bx ax 2=++a ≠0的两个根是21x x ，,那么a c x x ab x x 2121=⋅-=+，． 当a ＝1时,c x x b x x 2121=⋅-=+，．应用：1已知方程的一根,不解方程求另一根及参数系数；2已知方程,求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数；3已知方程两根,求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程；4已知两数和与积求两数．4．一元二次方程的应用1面积问题；2数字问题；3平均增长率问题．步骤：①分析题意,找到题中未知数和题给条件的相等关系包括隐含的；②设未知数,并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；③找出相等关系,并用它列出方程；④解方程求出题中未知数的值；⑤检验所求的答数是否符合题意,并做答．这里关键性的步骤是②和③．注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展,解题的方法是相同的,但因一元二次方程有两解,要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义．。

一元二次方程学习要点学习目标：1.要求学生会根据具体问题列出一元二次方程，会识别一元二次方程及各部分名称。

2.会用估算的方法探索一元二次方程的解或近似解。

学习重难点：重点：1、认识产生一元二次方程知识的必要性。

2、探索一元二次方程的解或近似解。

难点：1、列方程的探索过程。

2、培养学生的估算意识和能力。

学习要点：学习目标11.会根据实际问题列出方程2.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

从一元二次方程的定义可知，一元二次方程需具备以下三个条件：(1)只含有一个未知数，即未知数有且只有一个。

如果方程中未知数的个数多于1个，那么它就不是一元二次方程。

(2)未知数的最高次数是2，即未知数的最高次数不能低于2，也不能高于2。

但方程中是否存在一次项或常数项，并没有提出要求。

因此，可将方程进行降幂排列，观察未知数的最高次数是否为2。

(3)方程的两边是整式。

整式是单项式和多项式的统称。

说明分母不能含有未知数，被开数不能含有未知数。

只要某个方程不符合以上三条中的一条,那它就不是一元二次方程.反之,是一元二次方程,那么它就一定满足以上三个条件.3.一元二次方程的一般形式的相关概念及剖析概念：把方程化成形式ax 2+bx +c =0(a ≠0),这种形式叫一元二次方程的一般形式.即一般形式为：20(,,0)ax bx c a b c a ++=≠为常数，.各部分名称：，，分别称为一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a ，b 分别称为二次项系数和一次项系数。

剖析：(1)一元二次方程的一般形式是将方程变形和整理后的一种很有规律的表达形式,它的左边是未知数的二次三项式的降幂排列,且其中a 通常写成大于0的形式,而右边是0.(2)当一元二次方程化成一般形式后,左边的三个单项式ax 2,bx ,c 分别叫做二次项,一次项和常数项;且常数a ,b 分别叫二次项系数和一次项系数.(3)一元二次方程的一般形式是用配方法或公式法求一元二次方程根的基础.4.判断一个方程是不是一元二次方程时应注意的问题(1)判断一个方程是否是一元二次方程，应以化简后的结果为准。

一元二次方程的概念及解法要点一、一元二次方程的概念1．一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式()ax bx c a 2++=0≠0，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．3.要点归纳（1）要判断一个方程是一元二次方程，必须符合以下三个标准：①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． ②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． ③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式ax bx c 2++=0 (a ≠0)．要特别注意对于关于x 的方程ax bx c 2++=0．当a ≠0时，方程是一元二次方程；当a =0且b ≠0时，方程是一元一次方程．（3）关于x 的一元二次方程式()ax bx c a 2++=0≠0的项与各项的系数．ax 2为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．【例1】下面关于x 的方程中：①ax bx c 2++=0；②()()x x 223−9−+1=1；③x x21++5=0；④x x 23−2+5−6=0；⑤||x x 2−3−3=0；⑥x kx 2++3=0（k 为常数）是一元二次方程_________． 【解析】（1）②⑥．【变式1】判断下列各式哪些是一元二次方程． ①；②；③；④； ⑤ ；⑥ ；⑦ ．【答案】②③⑥.【解析】①不是方程；④不是整式方程；⑤ 含有2个未知数，不是一元方程；⑦ 化简后没有二次项，不是2次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．【例2】关于x 的方程2x 2−(a +1)x =x (x −1)−1的一次项系数是-1，则a .【答案】原方程化简为x 2-ax+1=0,则-a=-1,a=1.21x x ++2960x x −=2102y =215402x x −+=2230x xy y +−=232y =2(1)(1)x x x +−=21x x ++215402x x −+=2230x xy y +−=2(1)(1)x x x +−=【变式2-1】若一元二次方程()()m x m x m 222−2+3+15+−4=0的常数项为零，则m 的值为_________．由题意可知，m 2−4=0，m −2≠0，故m =−2【变式2-2】若a b a b x x 2+−−3+1=0是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值．分以下几种情况考虑： ①a b 2+=2，a b −=2，此时a 4=3，b 2=−3；②a b 2+=2，a b −=1，此时a =1，b =0； ③a b 2+=1，a b −=2，此时a =1，b =−1；【例3】（1）已知关于x 的一元二次方程()m x x m 22−1+2+−1=0有一个根是x =0，则m 的值为_______．（1）由于为一元二次方程，∴m −1≠0，而x =0代回方程得到：m 2−1=0．综上可知m =−1．（2）x=1是x 2−ax +7=0的根，则a= .【答案】当x=1时，1-a+7=0,解得a=8.（3）已知关于x 的一元二次方程 有一个根是0，求m 的值. 由题意得【变式3-1】如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是( ) A ．-3，2 B ．3，-2 C ．2，-3 D ．2，3 【答案】A ；【解析】∵ x ＝2是方程x 2+px+q ＝0的根，∴ 22+2p+q ＝0，即2p+q ＝-4 ①同理，12+p+q ＝0，即p+q ＝-1 ②联立①，②得 解之得：【变式3-2】已知a 是一元二次方程x x 2−2−1=0的根，求下列各式的值：①a a 1−；②a a221+；③a a a 22−3−3++52． （2）①由a a 2−2−1=0知，a ≠0，故a a 1−2−=0，即a a1−=2；②a a a a 22211⎛⎫+=−+2=6 ⎪⎝⎭；③由于a a 2=2+1，代入所求得，原式a a a 2+1−3=2+1−3++5=52． 22(1)210m x x m −++−=24,1,p q p q +=−⎧⎨+=−⎩3,2.p q =−⎧⎨=⎩【例4】关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是12x =−，21x =，（a ，m ，b 均为常数，0a ≠），则方程2(2)0a x m b +++=的解是__________．（3）14x =−，21x =−．【变式4-1】关于x 的方程a （x+m ）2+n=0（a ，m ，n 均为常数，m≠0）的解是x 1=﹣2，x 2=3，则方程a （x+m ﹣5）2+n=0的解是（ ）A ．x 1=﹣2，x 2=3B ．x 1=﹣7，x 2=﹣2C ．x 1=3，x 2=﹣2D ．x 1=3，x 2=8 【答案】D ；【思路点拨】把后面一个方程中的x ﹣5看作整体，相当于前面一个方程中的x 求解.【解析】∵关于x 的方程a （x+m ）2+n=0的解是x 1=﹣2，x 2=3，（m ，n ，p 均为常数，m≠0）， ∴方程a （x+m ﹣5）2+n=0变形为a[（x ﹣5）+m]2+n=0，即此方程中x ﹣5=﹣2或x ﹣5=3， 解得x=3或x=8．故选D ．要点二、一元二次方程的解法1． 直接开平方法：适用于解形如()(),≥ax b c a c 2+=≠00的一元二次方程． 2． 配方法：解形如()ax bx c a 2++=0≠0的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是： ① 将二次项系数化为1． ② 将常数项右移．③配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）． ④化成()x m n 2+=的形式．⑤若≥n 0，直接开平方得出方程的解．【例5】解方程：（1）()x x x 22−6+9=5−2 （2）()()x x 224−2−3−1=0【解析】（1）()()x x 22−3=5−2，()x x −3=±5−2，x 1=2，x 28=3．（2）()()x x 224−2=3−1，()()x x 2−2=±3−1，x 1=−3，x 2=1【变式5】解方程： (1) 3x+2）2=4（x ﹣1）2；(2)（x-2）2=25.【答案】解：(1) 3x+2=±2（x ﹣1），∴3x+2=2x ﹣2或3x+2=﹣2x+2， ∴x 1=﹣4；x 2=0．(2) (x-2)=±5 ∴x-2=5或x-2=-5 ∴x 1=7,x 2=-3.【例6】用配方法解方程：（1）x x 2−4−1=0（2）x x 22−8−3=0（3）x x 24−6−4=0【解析】（1）x x 2−4−1=0，()x 2−2=5，x =2±，x 1=2x 2=2；（2）x x 22−8−3=0，()x 22−2=11，x =2，x 1=2x 2=2； （3）x x 24−6−4=0，x 2325⎛⎫−= ⎪416⎝⎭，x 1=2，x 11=−2．【变式6】用配方法解方程：（1）2x 2﹣4x ﹣3=0； （2）3x 2﹣12x ﹣3=0. 【思路点拨】方程(1) (2)的的次项系数不是1，必须先化成1，才能配方，这是关键的一步．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，目的是把方程化为的形式，然后用直接开平方法求解． 【答案与解析】解：（1）∵2x 2﹣4x ﹣3=0，∴，∴，∴x ﹣1=±，∴．（2）3x 2﹣12x ﹣3=0，3x 2﹣12x=3， x 2﹣4x=1， x 2﹣4x+4=1+4，2()(0)mx n P P +=≥（x ﹣2）2=5， x ﹣2=， x 1=2+，x 2=2﹣；（3）2x 2+3=5x （4） 【答案】（3）. （4）①当时，此方程有实数解，；②当时，此方程无实数解.3.公式法：将()ax bx c a 2++=0≠0进行配方可以得到：b b ac x a a 222−4⎛⎫+= ⎪24⎝⎭． 当≥b ac 2−40时，两个根为,x 12=b ac 2−4=0时，两根相等为bx x a12−==2；当b ac 2−4<0时，没有实数根．可以用△表示b ac 2−4，△称为根的判别式．20x px q ++=2235x x +=2253x x −=−25322x x −=−2225535()()2424x x −+=−+251()416x −=5144x −=±123,12x x ==20x px q ++=222()()22p px px q ++=−+224()24p p qx −+=240p q −≥12x x ==240p q −＜运用公式法解一元二次方程的一般步骤是： ①把方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值； ③计算b ac 2−4的值；④若≥b ac 2−40，则代入公式求方程的根； ⑤若b ac 2−4<0，则方程无实数根． 【例7】解方程：（1）()x x 2−5=2+1（2）()x x x x 1⎛⎫6+1+4−3=22+ ⎪2⎝⎭【解析】（1）()x x x x 22−5=2+1⇒−2−7=0，()2=2−4⨯1⨯−7=32△，∴原方程的解为：x 1=1+，x 2=1−（2）()x x x x x x 21⎛⎫6+1+4−3=22+⇒6+−4=0 ⎪2⎝⎭，()△2=1−4⨯6⨯−4=97故,x 12，∴原方程的解为：x 1=，x 2=． 【教师备课提示】这道题主要是想让孩子们练习用公式法去解一元二次方程，牢记解一元二次方程的公式．4.因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：② 将方程化为一元二次方程的一般形式；③ 把方程的左边分解为两个一次因式的积，方程右边是零； ③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的解．【例8】解方程：（1）22320x x −−= （2）2(21)36x x −=−（3）26x −=−【解析】（1）22320x x −−=，(21)(2)0x x +−=，112x =−，22x =；（2）2(21)36x x −=−，2(21)3(12)x x −=−，2(21)(1)0x x −+=，112x =，21x =−．（3）1x =，2x =． 【教师备课提示】这道题主要是想让孩子们练习用因式分解的方法去解一元二次方程． 【变式8】解方程：（1）﹣3x 2+22x ﹣12=12．（2）3x 2﹣x ﹣4=0【思路点拨】先把方程变形，然后利用因式分解法解方程，注意对于二次项系数的分解． 【答案与解析】解：（1）原式变形得：3x 2﹣22x+24=0，（3x ﹣4）（x ﹣6）=0， 3x ﹣4=0或x ﹣6=0， ∴ x 1=，x 2=6． （2）3x 2﹣x ﹣4=0，分解因式得：（3x ﹣4）（x+1）=0， ∴（3x ﹣4）=0或（x+1）=0 ∴ x 1=，x 2=﹣1；【例9】选择合适的方法求解下列方程：（1）x x 2547−25−572=0（2）x 23=1【解析】（1）方程系数较大，公式法过于麻烦，考虑用因式分解，由于572−547=25，故可以简单分解为：()()x x 547−572+1=0，解为x 1=−1，x 2572=547．（2）公式法解决：()△2=−4⨯3⨯−1=18>0，所以由公式法知x =解为x 1，x 2【课后作业】1．（北京市第十三中学2010-2011九年级数学期中）如果关于x 的方程()a x x 2−1+5−6=0是一元二次方程，则（ ） A ．a >1 B ．a =1 C ．a <1 D ．a ≠12．如果关于x 的方程()m m x x 2−7−3−+3=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为______．3．关于x 的一元二次方程x ax a 2++=0的一个根是x =3，则a =________．4．若实数a ，b ，c 满足a b c 4−2+=0，则关于x 的一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0一定有一个根_________．5．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x x 2−12+35=0的根，则该三角形的周长为（ ） A ．14 B ．12 C ．12或14 D ．以上都不对【解析】1．D ；2．−3；3．9−4；4．x =−2；5．B6．已知a 是方程x x 2+−1=0的根，求a a a 32−−3+1的值．【解析】由题意a a 2+−1=0，∴a a 2=−+1，∴原式()()a a a a a a 22=−+1−−3+1=−2++1=−1．7．解方程：（1）()x 22−4−6=03（2）x x 22−8−198=0 （3）()()x x −5−7=1【解析】（1）1x 1=，x 2=7；（2）x 1=2，x 2=2；（3）()()x x x x 2−5−7=1⇒−12+34=0，△2=12−4⨯1⨯34=8，故,x 1212±==628．解关于x 的方程：（1）x mx m n 222−2+−=0（2）x a ax a 22+3=4−2+1（3）()()a b c x ax a b c 2−++2++−=0【解析】（1）原式可以因式分解为：()()x m n x m n −−−+=0，解为x m n 1=+，x m n 2=−．（2）x a 1=3−1，x a 2=+1．（3）二次项系数中含有字母，所以要加以讨论， ①若a b c −+=0，则原方程成为()ax a b c 2++−=0若a =0，则c b −=0，原方程为x 0+0=0，x 可为一切实数． 若a ≠0，则a b c ax a a−−+−2===−122． ②若a b c −+≠0，则原方程成为[]()()()x a b c x a b c +1−+++−=0，得x 1=−1，c a bx a b c2−−=−+．9．解方程：()()x x x x 2222+−22+=3．【解析】设x x m 22+=，则原方程化为m m 2−2−3=0，即()()m m −3+1=0，代回可得：()()x x x x 222+−32++1=0，即x x 22+−3=0或x x 22++1=0．x x 22+−3=0，可化为()()x x 2+3−1=0，解得x 1=1，x 23=−2；x x 22++1=0，用公式法解决，△2=1−4⨯2⨯1=−7<0，故此方程无实数根．综上方程解为：x 1=1，x 23=−2．。