数学文化《纳皮尔与对数》

对数如果不等于1的正数a的b次幂等于正数N，那么幂指数b叫做正数N的以N＝b．a为底的对数．记为loga16、17世纪之交，精密的三角函数表已经出现．天文与航海等事业中的计算越来越精确；数字计算的工作量越来越繁重．这时迫切需要改进计算方法．在这样的历史条件下，苏格兰人纳皮尔在1594年创立了对数，那时指数的概念尚未完成，也没有指数符号．一直到18世纪，欧拉才发现指数与对数的天然关系，对数的建立先于指数，堪称历史上的珍闻．在纳皮尔之前，人们已懂得利用一个等比数列与一个等差数列的对应，可以把数的乘除运算转化为加减运算．例如下面两个数列各项依次对应：0 1 2 3 4 5 6 7 8…1 2 4 8 16 32 64 128 258…欲求第二行任意两数的积(或商)，只需要求与这两数所对应的第一行的两数的和(或差)，这个和(或差)数在第二行所对应的数即为所求之积(或商)．1544年德国人斯提非在《整数算术》中把第一行数叫做“代表者”．数学史家推测他的意愿可能是：要求两数之积(或商)，只需求两数的“代表者”的和(或差)即可，在斯提非时代还没有指数的概念，很多积与商(例如15×129，2047÷258)的“代表者”，斯提非是无法得到的，他只好说：“这个问题太狭窄了，所以不值得研究．”事实上，他已走到发明的边缘．可惜！纳皮尔不从指数出发，怎样得到对数的概念呢？斯提非所考察的等比数列与等差数列各项是离散的量，纳皮尔的方法是用连续的量来代替离散的量．他取一个定长的线段AB及一个从D点出发的射线DE(如图)．设质点C从A 向B作变速运动，其速度与它到B的距离成正比；质点F从D向右作匀速运动，其速度与C的初速度相同，当质点C运动到图中C点的时候，质点F运动到图中的F点，设CB＝x，DF＝y，纳皮尔称y为x的对数．“对数”这个术语是他创造的．纳皮尔觉察到，经过一系列相等的时间，x依等比数列减少，y依等差数列增加．和斯提非一样，“等差数列”y就是“等比数列”x的“代表者”(对数)．不过，纳皮尔比斯提非高明的地方是x和y作连续变化，所以打破了斯提非数列中均为整数的限制．如果用现代数学语言来叙述，就可以看出纳皮尔实质上是给出一个微分方程的近似解．然而，当时甚至连微分方程的概念都没有．纳皮尔完全没有用现代数学术语，而借用物理知识，直观地加以描述，得出了“对数”概念，后人把他引进的对数叫纳皮尔对数．纳皮尔花了20年的心血，编造了世界上第一个对数表，实际上是一个正弦对数列．我国“对数”的名称是这样来的：1653年波兰传教士穆尼阁与薛凤祚合编《比例对数表》，对数与对数表始传入我国．其中，lg2＝0.30103叫做“假数”(即借数)，“真数与假数对列成表”，所以叫做“对数表”．后来“假数”这个名称渐渐不用，把0.30103叫做2的“对数”．对数创立后，使乘方、开方三级运算可转化为乘、除二级运算；使乘、除二级运算可转化为加减一级运算，从而使繁难的运算转化为较简单的运算．18世纪大数学家拉普拉斯说，对数“用缩短计算的方式使天文学的寿命加倍”．可见发明对数在历史上的作用．。

纳皮尔对数的几何定义纳皮尔对数是一种数学函数，它的几何定义可以通过一个有趣的故事来阐述。

在一个古老的城市中，有一座高耸入云的塔楼。

这座塔楼有着特殊的魔力，据说它能够连接人类的心灵和宇宙的奥秘。

有一天，一位年轻的数学家来到了这座塔楼前。

他对数学充满了好奇，希望能够从这座神秘的塔楼中获得一些启示。

当他走进塔楼时，他被迎接进了一个巨大的圆形大厅。

大厅中间有一面巨大的镜子，镜子反射出了宇宙中的星辰与星座。

年轻的数学家被这壮观的景象深深吸引住了。

他想要破解这个谜题，于是他开始思考如何用数学来描述这些星星的位置。

他观察到，镜子中的星星似乎按照某种规律排列着。

他思考了很久，终于发现了一种数学函数，能够准确地描述星星的位置。

这个函数被他称为纳皮尔对数。

它的定义是这样的：对于任意一个正实数x，纳皮尔对数ln(x)等于以x为底的自然对数与基础数e之比。

年轻的数学家开始使用纳皮尔对数来计算星星的位置，他发现这个函数具有非常有趣的性质。

当x接近于0时，ln(x)趋近于负无穷；当x接近于1时，ln(x)趋近于0；而当x趋近于正无穷时，ln(x)趋近于正无穷。

这些性质使得纳皮尔对数成为了描述很多自然现象的重要工具。

年轻的数学家感到非常兴奋，他意识到纳皮尔对数的几何定义不仅仅是一种数学函数，它还蕴含了宇宙的奥秘和人类智慧的结晶。

从那一天起，纳皮尔对数成为了数学家们探索宇宙奥秘的重要工具。

人们通过纳皮尔对数的计算，解析了星星的位置、天体运动的规律，甚至是量子物理中微观世界的微妙变化。

纳皮尔对数的几何定义不仅仅是一个数学概念，它是人类智慧与宇宙之间的桥梁。

它让我们能够更深入地探索宇宙的奥秘，感受到宇宙的无限魅力。

它象征着人类对知识的追求和对宇宙的敬畏。

正因为如此，纳皮尔对数在数学和科学的领域中扮演着重要的角色。

它不仅仅是一种函数，更是人类智慧的结晶，是人类与宇宙对话的桥梁。

让我们一起感受纳皮尔对数的魅力，探索宇宙的奥秘吧！。

对数函数的发展史对数函数的发展史是一个跨越数个世纪，涉及众多数学家和科学家的历史。

它既包括了数学理论的重大突破，也包括了人类对自然世界的深入理解。

以下是对数函数发展史的详细介绍。

**一、背景**对数函数的发展史始于16世纪，当时科学家们面临着解决复杂的数字计算问题，例如求解高次方程，或是进行大量乘法运算。

这些问题在当时是非常困难的，因为它们需要大量的计算时间和精力。

**二、约翰·纳皮尔的贡献**1. 纳皮尔是一位苏格兰数学家和天文学家，他在16世纪末解决了这个问题。

他发明了一种新的数学方法，可以简化大量计算，使这些问题变得相对容易。

这种方法就是对数。

2. 纳皮尔的对数概念是基于一种称为“幂”的概念，即一个数的指数运算。

例如，2的3次方是8，这个“8”就是2的3次幂的结果。

纳皮尔发现，对于任何两个正数a和b （其中b>1），都存在一个数x，使得a等于b的x次幂。

这个数x就被称为“以b为底数的a的对数”。

**三、亨利·布里格斯和微积分**1. 布里格斯是英国的一位数学家，他对纳皮尔的对数概念进行了改进和推广。

他引入了“自然对数”的概念，即以e为底数的对数（e是一个无理数，约为2.71828）。

布里格斯的贡献对于现代数学有着重大影响。

2. 17世纪，微积分学开始兴起。

微积分是研究变化率和变化量的数学分支。

在对数函数的发展过程中，微积分学提供了一种新的工具来研究和理解对数函数的性质和行为。

**四、查尔斯·洛夫斯托尔和欧拉**1. 洛夫斯托尔是英国的一位数学家和天文学家，他在对数函数的研究中取得了重要进展。

他发现对数函数与指数函数之间存在一种密切的关系，这为研究它们的性质提供了新的视角。

2. 欧拉是瑞士的数学家，被誉为“数学界的巨匠”。

他对对数函数有着深入的研究，并发现了许多重要的性质和应用。

欧拉还对对数表的发展做出了重要贡献，这对后来的科学计算和对数函数的应用具有重要意义。

对数译名称的由来
对数（Logarithm）这一数学术语的由来可以追溯到17世纪初，由苏格兰数学家约翰·纳皮尔（John Napier）首次提出并使用。

纳皮尔在1614年发布了他的著作《Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio》（《奇异对数表的描述》），这是“对数”这一术语首次对外公布的文献。

纳皮尔的对数概念是为了简化复杂的数学计算，特别是乘法和除法运算，以及涉及到幂和根的运算。

在那个没有计算器和电脑的时代，对数成为了简化天文学和航海学计算的重要工具。

“对数”这个名词由两部分组成：“对”和“数”。

在纳皮尔的概念中，“对”表示对应或相配，因为在他的对数系统中，每个数的对数与另一个数成对应关系；而“数”自然是指数字或数值。

因此，“对数”可以理解为一种与原数成对应关系的数值，通过查找表格或计算可以找到两个数的乘积或比例关系，而不需要直接进行乘法或除法运算。

随后，这一概念被进一步发展和完善，尤其是在约翰·凯普勒（Johannes Kepler）和亨利·布里格斯（Henry Briggs）的工作中，后者与纳皮尔合作，发展了以10为底的对数，即我们现在所熟
知的常用对数（以10为底的对数）和自然对数（以e为底的对数）。

“对数”的名称由来于其最初的提出者约翰·纳皮尔的工作，其含义源于这种数学工具将复杂运算转换为简单查表或对应关系的能力。

对数是由苏格兰数学家纳皮尔发明的，纳皮尔为了简化天文学问题的球面三角计算，在没有指数概念的情况下发明了对数，并于1614年在《奇妙对数定律说明书》中，介绍了他的方法和研究成果.
18世纪的欧拉深刻地揭示了指数与对数的密切联系，他曾说“对数源出于指数”。

在纳皮尔的著作发表40年后，对数传入我国，logarithm一词被译成“比例数”，后又逐步演变成“对数”，意指“对（照）表中的数”，清代数学家戴照等，经过独立的刻苦研究，也取得了很多成就。

现在通用的“常用对数”，是与纳皮尔同时期的英国数学家布里格斯引入的，并于1617年出版了常用对数表.1622年，英国数学家斯皮德尔给出了以e为底的自然对数表.
恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡儿的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说：对数可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”
由此可见，对数的发明对于人们研究科学和了解自然起了重大作用.。

对数之父——纳皮尔文化易醉人1971年5月15日，尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”的邮票，这些邮票精美简洁，浓缩了人类文明发展的智慧结晶.其中有这么一枚邮票（如右图），它讲述了纳皮尔及对数的发现.约翰·纳皮尔（John Napier ）1550年生于苏格兰爱丁堡附近.早年的纳皮尔聪颖过人，十三岁那年就被送往圣·安德鲁斯大学学习，主修宗教.之后曾旅居欧洲，直至二十一岁那年返回家乡结婚成家，并育有两个儿子.不幸的是，幸福生活只维持了七八年时间，1579年妻子伊丽莎白·斯特林(Elizabeth Stirling)突然离世，为了照看孩子与便于生活，随后又于艾格尼丝·奇泽姆(Agnes Chisholm)结婚，并育有十个子女，其中第二个儿子罗伯特·纳皮尔(Robert Napier)曾在后期帮助父亲整理撰写了相关文著.早期的纳皮尔所关注的似乎与数学并无太多关联，宗教理应是那段时光的关键词.他热衷宗教，是一个十足狂热的新基督教徒.他曾在自己的著作《圣·约翰启示录的新发现》中指责罗马教皇，称其是反基督教者，并要求国王清除皇室及宫里内外所有的天主教徒及无神论者，并大胆预言最后审判日将在百年后降临.除了对宗教的疯狂外，纳皮尔还乐于试验与发明.他为了提高堡内农作物及禽畜的产量，敢于尝试用不同成分的肥料及盐分调配来使土壤酸碱度适宜，从而提高作物的产量.为了便于生产，他还发明了一种可以控制煤矿中水压的水压泵.纳皮尔还热爱军事，在西班牙即将侵略苏格兰时，他曾天马行空地想象建造一个“清除方圆4公里内所有高度超过1英尺的生物的大炮”，一种可以“清除周边所有障碍物且能移动的火力战车”等等，是否建造已不可考究，但这些天才的想象足以让世人感受到他那如野马脱缰般的思维正将震撼并改变着世界.虽然爱好非常广泛，但纳皮尔对数学的激情正在迸发.当时各个科学领域都在急速发展.物理发面，伽利略正在奠定力学基础；地理方面，麦哲伦的环球旅行开启了海航探险的新时代；天文方面，哥白尼的“日心说”已经广为世人接受，开普勒创立了行星运动三大定律.这些从生活中抛出的数学问题都有一个共同特征——繁杂的计算.为了让科学家们从复杂的数学运算中解脱出来，纳皮尔横空出世了.纳皮尔在研究球面三角时，曾受启发于“)]cos()[cos(21sin sin B A B A B A +--=⋅(积化和差公式)”，再加上有前人关注一组等差数列与一组等比数列，比如：,......8,7,6,5,4,3,2,1,0:}{n 及,......256,128,64,32,16,8,4,2,1:}2{n 相比之下，第二个数列数字庞大，计算复杂，但要求它们两个数字的乘积，却可以通过找第一个数列相对应的数字和来实现，如：12864⨯，对应的应是76+，那我们从第1个数列中找第13个数字8192即可.纳皮尔从上面两个事例发现，乘除高级别的运算可以借助于加减低级别的运算来实现.纳皮尔的研究视角已经显现出了朴素的对数思想，他专注了余生20年，来寻求一般数字在运算中简化的方式，并于1614年出著《奇妙的对数表的描述》（Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ），其中正式向世人介绍了对数原理.当然相比我们现在所学的对数，纳皮尔对数原始传统了些.直到1616年，英国数学家H ·布里格斯（Henry Briggs ）拜访这位暮年老人，建议改良对数为以十为底，并制作对数表，这些成果发表于1619年的《奇妙对数规则的结构》，可惜，那时纳皮尔已经过世两年了.勇士般的数学大师给世人留下了无法逾越的功绩.拉普拉斯曾说“对数的发明，不仅减省了天文学家的工作，而且相当于倍增其寿命”，伽利略更是说：给我空间，时间和对数，我就可以创造一个宇宙！。

《纳皮尔发明对数的故事》
小朋友们，今天给你们讲一个很厉害的人的故事，他叫纳皮尔。

纳皮尔呀，是个特别聪明的人。

那时候，人们计算数字可麻烦啦。

他就天天想啊想，怎么能让计算变得简单点呢。

有一天，纳皮尔突然有了个好主意。

他经过好多好多的尝试和努力，终于发明了对数。

这下子，计算数字就变得容易多啦。

小朋友们，纳皮尔是不是很了不起？
《纳皮尔发明对数的故事》
小朋友们，咱们来讲纳皮尔的故事。

以前计算数字可难了。

纳皮尔就想办法。

想了好久好久。

终于想到了对数。

大家都高兴坏了。

小朋友们，觉得纳皮尔聪明不？
《纳皮尔发明对数的故事》小朋友们，听我讲纳皮尔。

计算数字让人头疼。

纳皮尔要帮忙。

想啊想。

发明了对数。

小朋友们，佩服纳皮尔不？。

对数发明的历史1、对数发明的背景16世纪前半叶，欧洲人热衷于地理探险和海洋贸易，需要更为准确的天文知识，而天文学的研究中，需要大量烦琐的计算，特别是三角函数的连乘，天文学家们苦不堪言。

德国数学家约翰·维尔纳首先推出了三角函数的积化和差公式，即sinα·sinβ=[cos(α-β)－cos(α+β)]/2 ,cosα·cosβ=[cos(α-β)＋cos(α+β)]/2 .大大简化了三角函数连乘的计算。

比如，计算sin67°34'×sin9°3'，可以从三角函数表查出sin67°34'=0.92432418，sin9°3'=0.15729632。

但随后的乘法的计算十分烦琐，且容易出错。

（请你不用计算器，手算一下0.92432418×0.15729632=？，记住还要验算一遍，以保证计算正确哦！）用维尔纳的三角函数积化和差公式，计算就大大简便了：sin67°34'×sin9°3'＝cos(67°34'-9°3')－cos(67°34'+9°3')＝[cos(58°31')－cos(76°37')]/2＝[0.52225052-0.23146492]/2＝0.14539280这个公式还可以用于把任何二个数的乘法计算转为加减法计算，方法如下：若求小于1的二个数a与b的乘积可以先由反三角函数表查得使a=sinα=a ,sin β=b的α与β,然后计算(α-β)和(α+β)，再由三角函数表查得cos(α-β)与cos(α+β) ,最后应用上面的公式求出它们的一半,就得所要求的数。

由于大于1的数可用小于1的数乘上10n表示,因此上面的两个公式实际上对于任意两个数都是适宜的。

数学史纳皮尔对数
在数学中，自然对数的底数是一个常见的数学常数，通常用字母�e 表示。

纳皮尔对数是以数学家约翰·纳皮尔（John Napier）的名字命名的，他是苏格兰的数学家和神职人员。

纳皮尔对数的定义：
1.纳皮尔对数的定义：
•纳皮尔对数是以e为底的对数，通常用ln 表示。

数学上表示为ln(x)。

2.对数的定义：
•如果by=x，那么y是以b为底x的对数。

换句话说，y=log b(x)。

3.纳皮尔对数的性质：
•ln⁡(1)=0ln(1)=0，因为e0=1。

•ln(e)=1，因为e1=e。

•ln(a⋅b)=ln(a)+ln(b)，即纳皮尔对数的乘法法则。

•ln(ba)=ln(a)−ln(b)，即纳皮尔对数的除法法则。

纳皮尔对数的应用：
1.微积分与解析几何：
•纳皮尔对数常常在微积分和解析几何中出现，特别是在处理指数和对数函数的微分和积分时。

2.概率与统计：
•在概率和统计中，纳皮尔对数常被用于处理概率和对数似
然比等问题。

3.金融学：
•在金融学中，纳皮尔对数经常用于计算复利和展示资产的增长。

4.工程学：
•在工程学中，纳皮尔对数也经常用于处理信号处理和系统动力学等问题。

纳皮尔对数在数学和应用领域都有广泛的应用，是许多重要数学理论和科学问题的基础。