河北省衡水市武邑中学19-20学年高三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设复数z=x+yi(x,y∈R)满足z=3+2i2+i5，则y+2x+1的值为()A. 32B. 23C. 1D. 132.设i为虚数单位，复数(1+i)(2−i)的实部为()A. 2B. −2C. 3D. −33.已知a⃗, b⃗ 为非零向量，“a⃗2b⃗ =b⃗ 2a⃗”为“|a⃗|a⃗=|b⃗ |b⃗ ”的()．A. 充分不必要条件B. 充分必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是()A. y=2−xB. y=x12C. y=log12x D. y=1x5.已知α+β=3π4，则(1−tanα)(1−tanβ)=()A. 2B. −2C. 1D. −16.将函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g(x)=sin(2x+π6)的图象，则函数f(x)的一个单调减区间可以为()A. [−π 3,5π 6] B. [−π 6,5π 6] C. [−π 12,5π 12] D. [π 6,2π 3]7.如图，在平行四边形ABCD中，AE=13AB，CF=13CD，G为EF的中点，则DG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 12AB⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 12AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB⃗⃗⃗⃗⃗ C. 13AB⃗⃗⃗⃗⃗ −13AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 13AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB⃗⃗⃗⃗⃗8. 执行如图所示的程序框图，则输出的a 值为( )A. −3B. 13 C. −12 D. 29. 公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方．如图，以O 为圆心的大圆直径为1，以AB 为直径的半圆面积等于AO 与BO 所夹四分之一大圆的面积，由此可知，月牙形(图中阴影部分)区域的面积可以与一个正方形的面积相等．现在在两个圆所围成的区域内随机取一点，则该点来自于阴影所示月牙形区域的概率是( )A. 13πB. 12π+1C. 1π+1D. √2π10. 已知椭圆x 24+y 2b 2=1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|+|AF 2|的最大值为5，则b 的值为( )A. 1B. √2C. √3D. √3311. 设函数f(x)={5−log 3(1−x),x <13x −2,x ≥1，则满足f(x)≥7的x 的取值范围是( )A. [89,1) B. [89,+∞)C. [2,+∞)D. [89,1)∪[2，+∞)12. 设双曲线C ：y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点为F ，过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，且与另一条渐近线交于点B ，若3OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率为( )A. √2B. 2C. 2√33D. √143二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若数列{a n }的前n 项和S n =13a n −1，则通项a n =______14. 已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1−a n =2n(n ∈N ∗)，则a nn 的最小值为______． 15. 过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，则1|AF|+1|BF|=______． 16. 直线y =2b 与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左支、右支分别交于B ，C 两点，A 为右顶点，O 为坐标原点，若∠AOC =∠BOC ，则该双曲线的离心率为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A =60°，2a =3b ．(Ⅰ)求sin B 的值； (Ⅱ)若b =2，求边c 的值．18. 某游戏棋盘上标有第0，1，2，…，100站，棋子开始位于第0站，选手抛掷均匀骰子进行游戏，若掷出骰子向上的点数不大于4，棋子向前跳出一站；否则，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束．设游戏过程中棋子出现在第n 站的概率为P n ．(1)当游戏开始时，若抛掷均匀骰子3次后，求棋子所走站数之和X 的分布列与数学期望； (2)证明：P n+1+13P n =P n +13P n−1(1≤n ≤98)；(3)若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记选手获胜．请分析这个游戏是否公平．19.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，D为BC的中点，∠BAC=90°，∠A1AC=60°，AB=AC=AA1=2．(Ⅰ)求证：A1B//平面ADC1；(Ⅱ)当BC1=4时，求直线B1C与平面ADC1所成角的正弦值．20.现在颈椎病患者越来越多，甚至大学生也出现了颈椎病，年轻人患颈椎病多与工作、生活方式有关，某调查机构为了了解大学生患有颈椎病是否与长期过度使用电子产品有关，在遂宁市中心医院随机的对入院的50名大学生进行了问卷调查，得到了如下的4×4列联表：未过度使用过度使用合计未患颈椎病15520患颈椎病102030合计252550(1)是否有99.5%的把握认为大学生患颈锥病与长期过度使用电子产品有关？(2)已知在患有颈锥病的10名未过度使用电子产品的大学生中，有3名大学生又患有肠胃炎，现在从上述的10名大学生中，抽取3名大学生进行其他方面的排查，记选出患肠胃炎的学生人数为ε，求ε的分布列及数学期望．参考数据与公式：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82821.已知函数f(x)=x−mln x−1，且f(x)的最小值为0．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)=a(x−1)−af(x)(a>0)，且对于任意的x∈(1,e2)，都有g(x)+1>x恒成立．求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cos(θ−π3)，直线l过点P(1,0)且倾斜角为π3．(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；(Ⅱ)设直线l与曲线C交于两点A，B，求|PA|+|PB|的值．23.已知函数f(x)=|x+2|+|x−3|．(1)解不等式f(x)≤3x−2；(2)若函数f(x)最小值为M，且2a+3b=M(a>0,b>0)，求12a+1+3b+1的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：由z=x+yi(x,y∈R)满足z=3+2i2+i5可以求出x和y的值，代入y+2x+1可求值．本题考查复数的概念及代数表示，是基础题．解：z=3+2i2+i5=3−2+i=1+i，又z=x+yi，所以x=1，y=1．所以y+2x+1=1+21+1=32．故选A．2.答案：C解析：本题考查复数代数形式的乘除运算及复数的基本概念，属于基础题．由(1+i)(2−i)=2−i+2i+1=3+i可得答案．解：因为(1+i)(2−i)=2−i+2i+1=3+i，所以复数(1+i)(2−i)的实部为3．故选C．3.答案：B解析：本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查学生的计算能力，属于基础题．若a⃗2b⃗ =b⃗ 2a⃗，则|a⃗|2b⃗ =|b⃗ |2a⃗，从而即可得a⃗=b⃗ ，若|a⃗|a⃗=|b⃗ |b⃗ ，可得a⃗=b⃗ ，即可得其关系．解：若a⃗2b⃗ =b⃗ 2a⃗成立，则|a⃗|2b⃗ =|b⃗ |2a⃗，则向量a⃗与b⃗ 的方向相同，且|a⃗|2|b⃗ |=|b⃗ |2|a⃗|，从而|a⃗|=|b⃗ |，所以a⃗=b⃗ ；若|a⃗|a⃗=|b⃗ |b⃗ ，则向量a⃗与b⃗ 的方向相同，且|a⃗|2=|b⃗ |2，从而|a⃗|=|b⃗ |，所以a⃗=b⃗ ．所以“a⃗2b⃗ =b⃗ 2a⃗”为“|a⃗|a⃗=|b⃗ |b⃗ ”的充分必要条件，故选B．4.答案：B解析：本题考查指数函数、对数函数、幂函数的单调性，属于基础题．分别判断每个函数在(0,+∞)上的单调性即可．解：y=x12在(0,+∞)上单调递增，y=2−x,y=log12x和y=1x在(0,+∞)上都是减函数．故选B．5.答案：A解析：本题主要考查两角和的正切公式，注意公式的灵活应用，属于基础题．由题意可得tan(α+β)=−1=tanα+tanβ1−tanαtanβ，即tanα+tanβ=tanαtanβ−1，代入(1−tanα)(1−tanβ)的展开式，化简可得结果．解：若α+β=3π4，则tan(α+β)=−1=tanα+tanβ1−tanαtanβ，∴tanα+tanβ=tanαtanβ−1．∴(1−tanα)(1−tanβ)=1−tanα−tanβ+tanαtanβ=1−(tanαtanβ−1)+tanαtanβ=2，故选A．6.答案：C解析：本题考查的知识要点：三角函数平移变换，正弦型函数图象及其性质的应用，考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．利用三角函数的平移变换的应用和正弦型函数单调性求法，求出f(x)单调递减区间即可求解．解：函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g(x)=sin(2x+π6)的图象，即把函数g(x)=sin(2x+π6)的图象，向左平移π4个单位，即得到f(x)的图象，故f(x)=sin(2x+π2+π6)=sin(2x+2π3)，，令：π2+2kπ≤2x+2π3≤2kπ+3π2(k∈Z)，解得：−π12+kπ≤x≤kπ+5π12(k∈Z)，当k=0时，−π12≤x≤5π12，故选C．7.答案：A解析：本题考查了向量的加法原理与向量的减法原理，以及平面向量基本定理，属于基础题．解题的关键是运用向量加法和减法的三角形法则或平行四边形法则，将要求的向量一步一步向已知的向量转化．解：∵AE=13AB，CF=13CD，G为EF的中点，∴DG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DF⃗⃗⃗⃗⃗ +FG⃗⃗⃗⃗⃗ =23DC⃗⃗⃗⃗⃗ +12FE⃗⃗⃗⃗⃗=23AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12(FD⃗⃗⃗⃗⃗ +DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12(−23AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AE⃗⃗⃗⃗⃗ −AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2AB⃗⃗⃗⃗⃗ −1AB⃗⃗⃗⃗⃗ +1(1AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AB⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选A．8.答案：D解析：解：当i=1时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=−3，i=2；当i=2时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=−12，i=3；当i=3时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=13，i=4；当i=4时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=2，i=5；可知周期为3，∵2016=3×672，∴输出的a值为2，故选D．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．9.答案：B解析：本题考查几何概型，属于基础题．先求出阴影部分面积，再用几何概型概率公式可得．解：阴影部分面积等于π16−(π16−12×12×12)=18，所以根据几何概型得P=1818+π4=11+2π．故选：B．10.答案：C解析：本题考查椭圆的概念与几何意义，属于基础题．利用椭圆的定义，结合|BF2|=|AF2|的最大值为5，可得当且仅当AB⊥x轴时，|AB|的最小值为3，由此可得结论．解：由题意：|BF2|+|AF2|+|AB|=4a=8．∵|BF2|+|AF2|的最大值为5，∴|AB|的最小值为3．当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值， 此时A (−c,32)，B (−c,−32)， 代入椭圆方程可得：c 24+94b 2=1．∵c 2=4−b 2， ∴4−b 24+94b 2=1，∴b =√3． 故选C .11.答案：D解析：本题考查的知识点是分段函数的应用，指数不等式和对数不等式的解法，难度中档． 若f(x)≥7，则{x <15−log 3(1−x)≥7或{x ≥13x −2≥7，解得答案．解：∵函数f(x)={5−log 3(1−x),x <13x−2,x ≥1, 若f(x)≥7，则{x <15−log 3(1−x)≥7或{x ≥13x−2≥7, 解得89≤x <1或x ≥2， 故选D ．12.答案：C解析：解：双曲线C ：y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点为F(0,−c)，渐近线方程为y =±a b x ， 若3OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得 BF =2FA ，由F 到渐近线y =ab x 的距离FA =√a 2+b 2=b ，BF =2b ， 在直角三角形OAF 中，OF =c ，可得OA =√c 2−b 2=a ，在直角三角形OAB 中，可得OB =√a 2+9b 2， 由OF 为∠AOB 的平分线可得 OAOB=FABF ，即√a 2+9b2=b2b ， 化为a 2=3b 2，由b 2=c 2−a 2， 可得3c 2=4a 2， 则e =c a=2√33．故选：C ．设出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，由题意可得BF =2FA ，运用点到直线的距离公式可得AF ，BF ，运用勾股定理和三角形的内角平分线定理，结合离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，考查内角平分线定理的运用，以及勾股定理的运用，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题．13.答案：3⋅(−12)n解析：解：由S n =13a n −1，得a 1=13a 1−1，即a 1=−32； 当n ≥2时，S n−1=13a n−1−1，两式作差可得：a n =13a n −13a n−1，则a n =−12a n−1(n ≥2)． ∴数列{a n }是以−32为首项，以−12为公比的等比数列， 则a n =−32⋅(−12)n−1=3⋅(−12)n ． 故答案为：3⋅(−12)n ．由题意求得首项，且得到数列{a n }是以−12为首项，以−12为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式得答案．本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．14.答案：2解析：本题考查数列的通项公式的求法及应用，函数的性质的应用，属于中档题．首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用函数的性质求出最小值．解：数列{a n}满足a1=2，a n+1−a n=2n(n∈N∗)，则：a n−a n−1=2(n−1)，n≥2，…a3−a2=2×2，a2−a1=2×1，以上(n−1)个式子相加得：a n−a1=2(1+2+3+⋯+n−1)，所以：a n=2+2⋅n(n−1)2，n≥2，故：a n=n2−n+2，n≥2，当n=1时，a1=2(符合通项)．故：a n=n2−n+2．则：a nn =n2−n+2n=n+2n−1，设：f(n)=n+2n，根据函数的性质可知当n=1或n=2时，函数f(n)取最小值，故：f(n)min=f(1)=f(2)=3，所以：a nn的最小值为2．故答案为2．15.答案：1解析：本题主要考查抛物线的应用和抛物线定义.对于过抛物线焦点的直线与抛物线关系，常用抛物线的定义来解决．根据抛物线方程可求得焦点坐标和准线方程，设过焦点的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，根据韦达定理可求得x1x2的值，又根据抛物线定义可知|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，代入1|FA|+1|FB|，答案可得．解：易知F坐标(1,0)，准线方程为x=−1．设过F点直线方程为y=k(x−1)，代入抛物线方程，得k2(x−1)2=4x．化简后为k2x2−(2k2+4)x+k2=0．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有x1x2=1，根据抛物线性质可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1∴1|FA|+1|FB|=1x1+1+1x2+1=x1+x2+2x1·x2+x1+x2+1=x1+x2+2x1+x2+2=1．故答案为1．∴1|AF|+1|BF|=1x1+1+1x2+1=x1+x2+2x1+x2+2=1" id="MathJax-Element-5919-Frame"role="presentation" tabindex="0">" id="MathJax-Element-46-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">16.答案：√192解析：解：∵∠AOC=∠BOC，∴∠AOC=60°，∴C(2√33b,2b)，代入双曲线x2a2−y2b2=1，可得43b2a2−4=1，∴b=√152a，∴c=√a2+b2=√192a，∴e=ca =√192，故答案为√192．利用条件得出∠AOC=60°，C(2√33b,2b)，代入双曲线x2a2−y2b2=1，可得43b2a2−4=1，b=√152a，即可得出结论．本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．17.答案：解：(Ⅰ)在△ABC 中，由正弦定理a sinA =bsinB ，及A =60°，2a =3b ，可得sinB =√33．(Ⅱ)由b =2及2a =3b ，可得a =3， 由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ， 即c 2−2c −5=0， 可得c =1+√6．解析：(Ⅰ)在△ABC 中，由正弦定理即可解得sin B 的值．(Ⅱ)由已知利用余弦定理可得：c 2−2c −5=0，即可解得c 的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：解：(1)由题意可知，随机变量X 的可能取值有3、4、5、6，P(X =3)=(23)3=827，P(X =4)=C 31⋅(23)2⋅(13)=49，P(X =5)=C 32⋅(23)⋅(13)2=29，P(X =6)=(13)3=127．所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，E(X)=3×827+4×49+5×29+6×127=4；(2)依题意，当1≤n ≤98时，棋子要到第(n +1)站，有两种情况：由第n 站跳1站得到，其概率为23P n ；由第(n −1)站跳2站得到，其概率为13P n−1． 所以，P n+1=23P n +13P n−1．同时减去P n 得P n+1+13P n =(23P n +13P n−1)+13P n =P n +13P n−1(1≤n ≤98)； (3)依照(2)的分析，棋子落到第99站的概率为P 99=23P 98+13P 97， 由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有P 100=13P 98．所以P 100<P 99，即最终棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率，游戏不公平．解析：本题考查在离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查概率表达式的证明，考查概率的求法及应用，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)由题意可知，随机变量X 的可能取值有3、4、5、6，分别求出相应概率，由此能求出随机变量X 的分布列和数学期望．(2)依题意，当1≤n ≤98时，棋子要到第(n +1)站，有两种情况：由第n 站跳1站得到，其概率为12P n ；可以由第(n −1)站跳2站得到，其概率为12P n−1.由此能证明P n+1−P n =−12(P n −P n−1) (1≤n ≤98)．(3)依照(2)的分析，棋子落到第99站的概率为P 99=12P 98+12P 97，由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有P 100=12P 98.从而最终棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率，游戏不公平．19.答案：(Ⅰ)证明：连接A 1C ，交AC 1于O ，连接OD ，∵D 为BC 的中点， ∴OD//A 1B ，∵A 1B ⊄，OD ⊂平面ADC 1， ∴A 1B//平面ADC 1；(Ⅱ)解：建立如图所示的坐标系，则A(0,0，0)，D(1,1，0)，C 1(0,3，√3)，B 1(2,1，√3)，C(0,2，0)， ∴AD .=(1,1，0)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，√3)，设平面ADC 1的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{x +y =03y +√3z =0，n ⃗ =(1,−1,√3)，∵B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1，−√3)，∴直线B 1C 与平面ADC 1所成角的正弦值=|√5⋅√4+1+3|=3√1010．解析：(Ⅰ)连接A 1C ，交AC 1于O ，连接OD ，证明OD//A 1B ，即可证明：A 1B//平面ADC 1； (Ⅱ)建立如图所示的坐标系，求出平面ADC 1的法向量，利用向量方法，即可求直线B 1C 与平面ADC 1所成角的正弦值．本题考查线面平行，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．20.答案：解：(1)根据列联表，计算观测值K 2=50×(20×15−5×10)225×25×30×20=253≈8.333>7.879，且P(k 2≥7.879)=0.005=0.5%，∴有99.5%的把握认为大学生患颈锥病与长期过度使用电子产品有关系；(2)根据题意，ɛ的所有可能取值为0，1，2，3；∴P(ε=0)=C73C103=724，P(ε=1)=C31⋅C72C103=2140，P(ε=2)=C32⋅C71C103=740，P(ε=3)=C33C103=1120；∴ε的分布列如下：∴ε的数学期望为Eɛ=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910=0.9．解析：本题考查了独立性检验和离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．(1)根据列联表，计算观测值，对照临界值即可得出结论；(2)根据题意知随机变量ɛ的所有可能取值，计算对应的概率值，写出ε的分布列，再计算数学期望值．21.答案：解：(1)∵f(x)=x−mln x−1，x∈(0,+∞)，∴f′(x)=1−mx，当m≤0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0,+∞)上为增函数，无最小值；当m>0时，由f′(x)=0，得x=m，∴x∈(0,m)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(m,+∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．∴f(x)min=f(m)=m−mln m−1=0．令φ(m)=m−mln m−1(m>0)，φ′(m)=1−ln m−1=−ln m，由φ′(m)=−ln m=0，得m=1.易知φ(m)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，且φ(1)=0．∴f(x)min=f(m)=m−mln m−1=0只有一解m=1．∴函数f(x)的解析式为f(x)=x−ln x−1；(2)由g(x)=a(x−1)−af(x)(a>0)，可得g(x)=aln x(a>0)．∴g(x)+1>x⇒aln x>x−1，又因为x∈(1,e2)，∴alnx>x−1⇒a>x−1lnx，设ℎ(x)=x−1lnx (x∈(1,e2))，∴ℎ′(x)=lnx−(1−1x)(lnx)2，令k(x)=lnx −1+1x (x ∈(1,e 2))，则k′(x)=1x −1x 2=x−1x 2>0，∴k(x)在(1,e 2)上为增函数，∴k(x)>k(1)=0.∴ℎ′(x)=lnx−(1−1x)(lnx)2>0，∴ℎ(x)=x−1lnx(x ∈(1,e 2))为增函数，∴ℎ(x)<ℎ(e 2)=e 2−12， ∴a 的取值范围是[e 2−12,+∞)．解析：本题题考查了导数和函数的单调性和最值的关系，以及不等式恒成立的问题，考查了转化能力和运算能力，属于难题．(1)先求导，再分类讨论，利用导数研究其函数单调性及最值，得f(x)min =f(m)=m −mln m −1=0只有一解m =1，进而可得函数f(x)的解析式；(2)使不等式成立，等价于aln x >x −1，构造函数，则在区间(1,e 2)上存在单调递增区间，再求导，根据导数与函数的单调性求出a 的范围即可．22.答案：解：(Ⅰ)∵曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos(θ−π3)，∴ρ=4(cosθcos π3+sinθsin π3)=2cosθ+2√3sinθ，∴ρ2=2ρcosθ+2√3ρsinθ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2x +2√3y ，即(x −1)2+(y −√3)2=4． ∵直线l 过点P(1,0)且倾斜角为π3．∴直线l 的参数方程为{x =1+12ty =√32t.(t 为参数)． (Ⅱ)设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，将{x =1+12ty =√32t，(t 为参数)代入(x −1)2+(y −√3)2=4， 整理得t 2−3t −1=0，t 1+t 2=3，t 1t 2=−1， ∴|PA|+|PB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√13．解析：(Ⅰ)曲线C 的极坐标方程转化为ρ2=2ρcosθ+2√3ρsinθ，由此能求出曲线C 的直角坐标方程；由直线l 过点P(1,0)且倾斜角为π3，能求出直线l 的参数方程．(Ⅱ)设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，将{x =1+12ty =√32t ，(t 为参数)代入(x −1)2+(y −√3)2=4，由此能求出|PA|+|PB|．本题考查曲线的直角坐标方程、直线的参数方程的求法，考查两线段和的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.答案：解：(1)|x +2|+|x −3|≤3x −2，当x <−2时，−x −2−x +3≤3x −2，即x ≥35，无解； 当−2≤x ≤3时，x +2−x +3≤3x −2，即73≤x ，得73≤x ≤3； 当x >3时，x +2+x −3≤3x −2，即x ≥1，得x >3． 故所求不等式的解集为[73,+∞)．(2)因为f(x)=|x +2|+|x −3|≥|(x +2)−(x −3)|=5， 所以2a +3b =5(a >0,b >0)，则2a +1+3(b +1)=9，12a+1+3b+1= 19(12a+1+3b+1)[2a +1+3(b +1)]=19[10+3(b+1)2a+1+3(2a+1)b+1]⩾169．当且仅当{2a +1=b +1,2a +3b =5,a >0,b >0,即{a =58,b =54时取等号．故12a+1+3b+1的最小值为169．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式以及转化思想，考查学生计算能力，属于基础题．(1)通过讨论x 的范围，求出各个区间上的x 的范围，取并集即可；(2)根据基本不等式求出12a+1+3b+1的最小值即可．。
